煅体选择困难症

这是个严谨的数学问题.
在前面的文章里我说过，在不考虑暴击的情况下普攻的DPS公式是
$$DPS=0.625\times AD\times (1+S)$$
其中AD为攻击力，S为额外攻速。那么现在提出一个问题，在 煅体过程中选择什么碎片对DPS提升最高？比如以下就是个选择场景：

是选择11攻击力还是11%攻击速度？
我们用严谨的数学来进行分析吧。
首先公式是一个二元函数，我们分别对AD和S求偏导。
$$\frac{\partial DPS}{\partial AD}=0.625\times (1+S)$$
$$\frac{\partial DPS}{\partial S}=0.625\times AD$$
令两者相等，可以得到平衡点：
$$0.625\times (1+S)=0.625\times AD⟹1+S=AD$$
AD远大于1+S，意味着提高S收益更高。

引入经济变量

但是在游戏里，AD和S的经济价值是不一样的，S增加1也就是100%攻速，
其经济消耗远大于1点攻击力。从上面的截图可以看出AD增加1的经济价值等于S增加0.01。
所以我们的数学分析方法要修改了。所以要将引入一个新变量G，代表Gold金币。建立公式：

$$\begin{gathered} AD=G, \\ S=G/100 \end{gathered}$$
于是按照链式法则，方程变成了：
$$\frac{\partial DPS}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial G}=\frac{0.625\times AD}{100}$$

$$\frac{\partial DPS}{\partial AD}\frac{\partial AD}{\partial G}=0.625\times (1+S)$$
得到平衡点为
$$0.625\times (1+S)=\frac{0.625\times AD}{100}⟹1+S=\frac{AD}{100}$$
计算得出
$$AD=100+100S$$
当$AD>100+100S$时，购买攻速收益大于购买攻击力。
当$AD<100+100S$时，购买攻击力收益大于购买攻速。

实际例子

那么以实际例子来分析：

这个英雄的额外攻速为1.61152,攻击力为269,那么100+100S=261.152,购买11点攻击力后的DPS为：
$$0.625\times 280\times (1+1.61152)=457.016$$

0.625* 280* (1+1.61152)=457.016

购买11%攻击速度后的DPS为：
$$0.625\times 269\times (1+1.72152)=457.55555$$

0.625* 269* (1+1.72152)=457.55555

验证结果正确。

为什么用“额外攻速”而不用“总攻击频率”？

这正是本公式的实战精髓所在。如果使用总攻击频率（包含基础攻速），公式中会混入复杂的攻速收益率系数，导致极难口算。而采用额外攻速作为变量，巧妙地利用了“1点AD = 1%攻速”的经济模型，在最终公式中消去了复杂的收益率系数，只剩下直观的“乘以100”。
在快节奏的游戏里，你不需要按计算器，只需要看一眼面板：把额外攻速的小数点向右移动两位（乘以100），再加上100，就能瞬间判断出当前该补什么属性！

极端还是补偿的数学思考

从公式里可以看出，攻击力高了则不要继续攻击力，走补偿方案能让收益最大化。这是一个简单的乘法模型$z=xy$，如果x远大于y，x提升1，z提升的量等于较小的y。反之，提升的量是较大的x。