一、UCP 的完整数学公式

UCP 使用一维标量卡尔曼滤波器，所有运算在内核中以定点整数完成。缩放因子记为 S（默认 ucp_kalman_scale = 1024），单位为 μs × S。

符号说明

• x̂_{k|k-1}：第 k 步的状态预测值（传播延迟估计，单位 μs × S）
• p_{k|k-1}：第 k 步的预测误差协方差（单位 S²）
• z_k：第 k 步的 RTT 测量值（rtt_us × S）
• Q_k：过程噪声协方差（自适应调整）
• R_k：测量噪声协方差（自适应调整）
• K_k：卡尔曼增益

步骤 1 — 状态与协方差预测

x̂_{k|k-1} = x̂_{k-1|k-1}
p_{k|k-1} = p_{k-1|k-1} + Q_k

做什么：将上一时刻的传播延迟估计作为当前预测。过程噪声 Q_k 被加到协方差上，表示对状态可能发生变化的不确定性有所增加。UCP 认为传播延迟在短时间窗口内是恒定的（随机游走模型）。

步骤 2 — 计算创新（Innovation）

ε_k = z_k - x̂_{k|k-1}

做什么：测量值减去预测值，得到“新信息”。若 ε_k > 0，说明当前 RTT 高于预测的传播延迟，可能包含排队延迟；若接近零或负（理论上不可能低于真实传播延迟），则说明滤波器跟踪良好。

步骤 3 — 离群值门控（Outlier Gating）

threshold_gate = max(5ms × S, jitter_ewma × gate_factor × S)
如果 |ε_k| > threshold_gate，则丢弃该样本，不更新滤波器状态。

做什么：用硬阈值拒绝偏离过大的样本。jitter_ewma 是历史创新绝对值的指数加权滑动平均（见步骤 7）。门控的物理含义：正常传播延迟波动不应超过 5 ms（或更高抖动下的动态阈值）。超过此限，认为是排队延迟、网络突发或其他非传播延迟信号，禁止进入传播延迟估计通道。

步骤 4 — 测量噪声自适应（R 自适应）

jitter_diff = jitter_ewma - jr_thresh × S
如果 jitter_diff > 0：
    R_k = ucp_kalman_r + jitter_diff × ucp_kalman_r / (jr_scale × S)
否则：
    R_k = ucp_kalman_r

做什么：当网络抖动（jitter_ewma）高于阈值 jr_thresh 时，增大测量噪声协方差 R_k。这意味着滤波器会更不信任当前的测量值，减弱其对传播延迟估计的修正力度，防止估计被噪声带偏。

步骤 5 — 过程噪声提升（Q 提升，Q-Boost）

如果 |ε_k| > threshold_boost × S：
    Q_boosted = Q_base × boost_factor
否则：
    Q_boosted = Q_base × q_min_factor
Q_k = max(Q_boosted, Q_min_bound)

做什么：当创新异常大时（超出另一个门限 threshold_boost），临时提升过程噪声 Q_k。这会使协方差 p 迅速增大，卡尔曼增益也随之增大，滤波器转而更相信测量值，从而能快速收敛到新的传播延迟水平，应对路径突变。

步骤 6 — 卡尔曼增益计算与状态更新

K_k = p_{k|k-1} / (p_{k|k-1} + R_k)          （定点整数除法，分子分母同除以 S）
x̂_{k|k} = x̂_{k|k-1} + (K_k × ε_k) / S
p_{k|k}   = (S - K_k) × p_{k|k-1} / S

做什么：标准线性卡尔曼更新。增益 K_k 决定新信息 ε_k 的权重。测量噪声 R_k 大则增益小，滤波器更相信预测值；协方差 p_{k|k-1} 大则增益大，滤波器更相信测量值。更新后的 x̂_{k|k} 就是新一步的传播延迟估计（将用于后续 BDP 计算）。

步骤 7 — 信号分解：排队延迟与抖动估计

qdelay_instant = max(0, (z_k - x̂_{k|k}) / S)           （单位：μs）
qdelay_avg     = (qdelay_avg × 7 + qdelay_instant) / 8   （EWMA 平滑）
jitter_ewma    = EWMA( |ε_k| / S )                        （另一个 EWMA）

做什么：将滤波后的 RTT 测量分解为传播延迟（x̂_{k|k}/S）和瞬时排队延迟（qdelay_instant）。qdelay_avg 是指数加权平滑后的排队延迟，用于增益衰减和主动减窗决策。jitter_ewma 是指数加权平滑后的绝对创新，用于动态门控和测量噪声自适应。

步骤 8 — 滤波收敛条件

如果 p_{k|k} < p_converged_threshold 且 sample_cnt >= min_samples：
    卡尔曼滤波器收敛。
    用 x̂_{k|k} / S 更新全局 min_rtt_us，并替代原滑动窗口最小值。

做什么：当协方差足够小且已有足够样本时，认为滤波器的传播延迟估计已经稳定可靠。此后 BBR 状态机的 min_rtt_us 将由卡尔曼滤波器提供，不再使用原始滑动窗口。

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二、BBR-S 的完整数学公式

BBR-S 使用自适应托比特卡尔曼滤波器（ATKF），将 RTT 测量建模为下界截断的观测过程。以下按论文《BBR-S: Improving BBR’s Minimum RTT Estimation and Bandwidth Probing》中的描述，列出核心数学公式。

符号说明

• x̂_{k|k-1}：第 k 步状态预测值（真实最小 RTT）
• P_{k|k-1}：预测误差协方差
• z_k：测量 RTT
• Q_k：过程噪声协方差（自适应估计）
• R_k：测量噪声协方差（自适应估计）
• K_k：卡尔曼增益
• ε_k：创新
• α, β：噪声估计的学习率

步骤 1 — 预测

x̂_{k|k-1} = x̂_{k-1|k-1}
P_{k|k-1} = P_{k-1|k-1} + Q_k

做什么：与 UCP 相同，假设真实最小 RTT 是缓慢变化的随机游走。过程噪声 Q_k 控制状态的不确定性。

步骤 2 — 托比特测量模型与创新计算

BBR-S 的测量模型为截断正态分布：

z_k = max(x_k + v_k, x_k)

其中 v_k ∼ N(0, R_k) 是测量噪声。对于高于下限的观测值，似然为标准正态；对于等于下限的观测值，概率为累积分布。

创新计算（使用条件期望）：

ε_k = z_k - E[z_k | x̂_{k|k-1}, R_k]

其中 E[z | x̂] = x̂ + √R_k × λ(α)，α = x̂ / √R_k，λ(α) = φ(α)/(1−Φ(α)) 是逆米尔斯比。φ 和 Φ 分别是标准正态的 PDF 和 CDF。

做什么：当测量值接近或处于下限时，标准线性创新会低估真实的误差。通过条件期望校正，托比特滤波器将截断效应纳入创新，避免高估最小 RTT。这相当于内嵌了一个概率性的下界约束。

步骤 3 — 自适应噪声协方差估计

Q̂_k = (1−α) Q̂_{k−1} + α (K_k × ε_k)²
R̂_k = (1−β) R̂_{k−1} + β (ε_k² − P_{k|k−1})

做什么：基于创新的实际统计量，动态估计 Q 和 R。ε_k² 是创新总能量，减去预测协方差 P_{k|k-1} 后可得到测量噪声方差 R 的无偏估计。(K_k ε_k)² 则反映过程噪声的贡献。这是噪声协方差匹配方法，理论上在平稳环境下可收敛到真实的噪声方差。

步骤 4 — 托比特卡尔曼增益与更新

K_k = P_{k|k-1} / (P_{k|k-1} + R̂_k)           （标准形式，但须做截断修正）
更新时，需要使用包含截断修正的似然梯度来更新状态：
x̂_{k|k} = x̂_{k|k-1} + K_k × ε_k_corrected
P_{k|k}   = (1 − K_k) P_{k|k-1}

做什么：尽管增益计算形式与标准 KF 相同，但这里的 ε_k_corrected 是经过截断修正后的创新（步骤 2）。这确保了在样本数量有限且截断效应明显时，状态估计不会偏向更高值。

步骤 5 — 收敛与带宽探测

BBR-S 用 x̂_{k|k} 作为最小 RTT 估计输入 BBR 带宽探测。噪声估计的收敛性会影响状态精度，论文通过仿真验证了在移动网络下的RTT降低和吞吐量保持。

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三、两者的根本差异（表格总结）

步骤	UCP	BBR-S
状态预测	随机游走，固定 Q 自适应增强	随机游走，自适应估计 Q
创新处理	标准线性创新	使用逆米尔斯比进行截断校正
异常处理	硬阈值门控，直接拒绝超出 5 ms 的样本	概率截断模型，将截断效应内嵌于创新计算
噪声估计	基于抖动的启发式 R 自适应，Q 临时提升	基于协方差匹配的自适应 Q、R 在线估计
信号分解	有：从滤波结果中分解出 qdelay_instant 和 jitter_ewma，用于拥塞控制	无：仅输出最小 RTT 估计
核心数学工具	标准标量线性卡尔曼 + 工程规则	截断正态分布模型 + 逆米尔斯比 + 自适应噪声估计
假设	无分布假设，仅物理门控	假设测量噪声（高于下限部分）服从正态分布

UCP 的公式是实用主义的：用最少的数学结构保证鲁棒性，将不可建模的网络噪声直接拒之门外，并分解出多路信号驱动控制。BBR-S 的公式是学术理论导向的：用截断分布和自适应估计寻求在特定噪声假设下的最优解。