【从菜鸟开始学通信】基于瑞利衰落信道的 SISO/SIMO/MISO/MIMO 系统容量分析【含matlab代码】

紫气东来168

580人浏览 · 2026-05-17 00:36:36

紫气东来168 · 2026-05-17 00:36:36 发布

基于瑞利衰落信道的 SISO/SIMO/MISO/MIMO 系统容量分析

摘要

本文主要研究在瑞利衰落（Rayleigh Fading）信道条件下的 MIMO（Multiple Input Multiple Output，多输入多输出）通信系统。假设系统具有 (M) 个发送天线和 (N) 个接收天线，并分析其遍历容量（Ergodic Capacity）与中断容量（Outage Capacity）的性能。

MIMO 是一种在发送端和接收端同时采用多根天线的通信技术，通过建立多个独立空间信道，可以显著提升系统容量和频谱利用率，而无需增加系统带宽。

在无线通信中，由于信号通过不同传播路径到达接收端，各路径具有不同的传播时延，同时不同方向上的波叠加形成驻波场，从而导致快速衰落现象，这种衰落称为瑞利衰落。

博客背景与论文介绍

本文的学习路线与知识体系主要围绕以下论文展开：论文链接

Z. Shang, “Mitigating Hardware Impairments in Multi-User Multi-Layer MIMO Systems via Weighted Fusion Precoding,” IEEE Communications Letters, vol. 30, pp. 1841–1845, 2026.

该论文主要研究：

多用户多层 MIMO 系统（Multi-User Multi-Layer MIMO）
硬件损伤抑制（Hardware Impairments Mitigation）
融合预编码（Fusion Precoding）
加权优化策略（Weighted Optimization）

论文核心目标是在存在硬件非理想因素的情况下，通过加权融合预编码方法提升系统性能与通信可靠性。

在现代无线通信系统中，由于：

功率放大器非线性；
IQ 失衡；
相位噪声；
ADC/DAC 量化误差；

等硬件问题的存在，传统理想 MIMO 预编码算法性能会明显下降。因此，如何在硬件损伤条件下设计鲁棒预编码器，已经成为 5G-A 与 6G MIMO 通信中的重要研究方向。

该论文提出了一种：

$\text{Weighted Fusion Precoding}$

方法，通过融合不同预编码矩阵的优势，实现：

多用户干扰抑制；
硬件损伤缓解；
系统容量提升；
BER 性能优化。

因此，在阅读该论文之前，需要系统掌握：

无线通信基础
瑞利衰落信道
MIMO 系统模型
多用户 MIMO
预编码理论
硬件损伤建模
矩阵优化理论

本文后续内容将围绕这些前置知识展开介绍。

关键词

遍历容量（Ergodic Capacity）
中断容量（Outage Capacity）
MIMO
MISO
SIMO
SISO
瑞利衰落（Rayleigh Fading）
信噪比（SNR）

一、引言

1.1 MIMO 技术

MIMO（Multiple Input Multiple Output，多输入多输出）是一种在发送端和接收端均采用多天线的通信系统结构，通过构建多个独立信道来提升通信容量。

MIMO 系统的重要特点之一是具有极高的频谱利用效率。在不增加带宽的前提下，MIMO 技术能够显著提升系统容量和频谱效率。

其核心思想是：

利用空间资源获取分集增益与复用增益；
在提升系统可靠性的同时提高传输速率；
代价是发送端与接收端复杂度增加。

由于不同天线之间具有足够间隔，因此：

天线相关性降低；
链路性能提升；
数据吞吐量增加。

研究表明，在瑞利衰落环境下，OFDM 系统结合 MIMO 技术可以显著提升系统容量。

此外，大多数 MIMO 信道在空间上是相关的而非独立的。2001 年 11 月的 3GPP 会议中，Lucent、Nokia、Siemens 与 Ericsson 联合提出了 MIMO 信道标准化建议。

目前 3GPP 和 3GPP2 推荐两种链路级 MIMO 信道模型：

基于相关性的模型（Correlation-Based）
基于子路径的模型（Subpath-Based）

信道相关性对系统容量的影响已经成为 MIMO 技术的重要研究方向。

1.2 瑞利衰落

在无线通信中，接收信号通常通过反射、折射、散射等多条路径传播到接收端。

由于：

各路径传播时间不同；
多方向波叠加形成驻波；

因此会产生快速衰落现象，即瑞利衰落。

瑞利衰落属于小尺度衰落，通常叠加在：

阴影衰落；
路径损耗；

等大尺度衰落之上。

在多径传播环境中，接收信号包络服从瑞利分布。同时由于接收端移动等因素，信号幅度和相位不断变化，因此称为瑞利衰落。

1.3 遍历容量与中断容量

由于无线信道状态随时间随机变化，因此信道容量通常采用统计意义进行描述。

（1）遍历容量

遍历容量（Ergodic Capacity）表示随机信道在所有衰落状态下最大信息速率的时间平均值。

其公式为：

$\log_2(1+\text{SNR})$

其中：

(B)：系统带宽
(\text{SNR})：信噪比

（2）中断容量

中断容量（Outage Capacity）表示：

系统以某一传输速率通信时，能够以 (1-p%) 的概率成功传输。

其中：

(p)：允许中断概率

中断概率定义为：

$P_{\text{out}} = P(C(H)<R)$

对应容量表达式为：

$(1-P_{\text{out}})B\log_2(1+C(H))$

二、系统模型与信号模型

2.1 SISO 系统

SISO（Single Input Single Output，单输入单输出）是传统无线通信系统。

特点：

发送端一个天线；
接收端一个天线；
只有一条传输路径；
数据速率较低。

SISO 模型

在这里插入图片描述

发射端：1 根天线
接收端：1 根天线

2.2 SIMO 系统

SIMO（Single Input Multiple Output，单输入多输出）系统中：

发射端：1 根天线
接收端：多根天线

其优势：

降低误码率；
提高数据速率；
提升接收分集增益。

在复杂环境中，电磁波会通过多条路径传播到接收端，因此接收端采用多天线能够有效对抗多径衰落。

SIMO 模型

在这里插入图片描述

(N=2)

2.3 MISO 系统

MISO（Multiple Input Single Output，多输入单输出）系统中：

发送端：多根天线
接收端：1 根天线

其主要特点：

发送端进行空间分集；
降低多径传播影响；
提高链路可靠性。

MISO 模型

在这里插入图片描述

(M=2)

2.4 MIMO 系统

MIMO（Multiple Input Multiple Output）系统中：

发送端采用多天线；
接收端采用多天线。

MIMO 也被称为空间分集（Spatial Diversity）技术。

其优势包括：

提升系统容量；
增强覆盖范围；
提高系统性能；
提升频谱利用率。

MIMO 模型

在这里插入图片描述

(M=2)
(N=2)

三、问题一：遍历容量与 99% 中断容量绘制

本文利用 MATLAB 对以下四种系统进行仿真：

SISO
SIMO
MISO
MIMO

3.1 遍历容量分析

根据实验结果：
\

遍历容量随着 SNR 增大而增加；
当 (M=N=2) 时，容量最大。

即：

$C_{\text{MIMO}} > C_{\text{SIMO}} > C_{\text{MISO}} > C_{\text{SISO}}$

3.2 中断容量分析

实验结果表明：

中断容量同样随 SNR 增加而增大；
(M=N=2) 时性能最佳；
当中断概率达到 99% 时，中断容量远小于遍历容量。

3.3 遍历容量与中断容量对比

结论如下：

两种容量均随 SNR 提升而增加；
MIMO 系统始终具有最大容量；
遍历容量明显大于中断容量。

四、问题二：遍历容量推导与证明

4.1 遍历容量公式

遍历容量定义为：

$C=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}C_i$

其中：

$C_i=\log_2\left(1+\frac{\phi^2}{\sigma^2}\right)$

上述公式适用于并行信道。

4.2 MIMO 系统模型

MIMO 信号模型：

$Y = H X + N$
在这里插入图片描述

其中：

(Y)：接收信号向量
(H)：信道矩阵
(X)：发送信号向量
(N)：高斯噪声

噪声满足：

$\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2 I_N)$

协方差矩阵：

$E[XX^H]=R_X$

$E[YY^H]=R_Y$

在非并行信道条件下，发送功率分配为：

$R_X=\frac{P}{M}I_M$
在这里插入图片描述

其中：

(P)：总发送功率
(M)：发送天线数

五、问题三：高 SNR 条件下验证

在这里插入图片描述

在：

$\text{SNR}=40/45/50/55/60\text{ dB}$

条件下，分析天线数量与遍历容量关系。

实验结果表明：

遍历容量随天线数量增加而增加；
在高 SNR 条件下近似呈线性增长；
SNR 越高，增长斜率越大。

六、主要实验结果

通过实验可以得到以下结论：

6.1 SNR 对容量的影响

无论是：

遍历容量；
中断容量；

都随着 SNR 提升而增大。

6.2 不同系统容量比较

遍历容量大小规律：

$\text{MIMO}>\text{SIMO}>\text{MISO}>\text{SISO}$

即：

MIMO 容量最高；
SISO 容量最低。

6.3 高信噪比特性

在高 SNR 条件下：

遍历容量近似线性增长；
增加天线数量可以显著提高系统容量。

七、总结

本文研究了：

瑞利衰落环境下的 MIMO 信道；
不同天线结构系统容量性能。

分析对象包括：

SISO
SIMO
MISO
MIMO

通过 MATLAB 仿真研究：

遍历容量；
中断容量；

并完成对应公式推导与验证。

最终得到以下结论：

所有系统容量均随 SNR 增加而提高；
MIMO 系统容量始终最高；
遍历容量大于中断容量；
高 SNR 条件下容量近似线性增长。

总体而言，MIMO 技术能够显著提高无线通信系统容量与频谱利用率，在未来无线通信系统中具有广阔的发展前景。

附录 2：证明与数学推导

1. MIMO 系统模型

在 MIMO 系统中，接收信号模型可表示为：

$Y = H X + N$

其中：

$Y$ 表示接收信号向量；
$H$ 表示信道矩阵；
$X$ 表示发送信号向量；
$N$ 表示信道噪声。

噪声矩阵 $N$ 服从复高斯分布：

$\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2 I_N)$

其协方差满足：

$E[XX^H] = R_X$

$E[YY^H] = R_Y$

$E[NN^H] = R_N$

2. 互信息推导

根据信息论定义，输入与输出之间的互信息为：

$I (X; Y) = H (X) - H (X ∣ Y)$

也可以写成：

$I (X; Y) = H (Y) - H (Y ∣ X)$

由于：

$Y = H X + N$

在给定 $X$ 的情况下，仅剩噪声项，因此：

$H (Y ∣ X) = H (N)$

于是：

$I (X; Y) = H (Y) - H (N)$

3. 高斯噪声熵计算

噪声的概率密度函数为：

$f(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}\right)$

根据信息熵定义：

$H(N)=\int_{-\infty}^{\infty} -f(n)\log_2 f(n)\,dn$

代入高斯分布后可得：

$\frac{1}{2}\log_2(2\pi e\sigma^2)$

因此互信息可以表示为：

$H(Y)-\frac{1}{2}\log_2(2\pi e\sigma^2)$

4. 接收信号熵

由于接收信号 $Y$ 同样服从高斯分布，因此其概率密度函数为：

$\frac{1}{\sqrt{2\pi(P+\sigma^2)}} \exp\left( -\frac{y^2}{2(P+\sigma^2)} \right)$

信道容量定义为互信息的最大值：

$C=\max I(X;Y)$

因此：

$C=\frac{1}{2}\log_2\left(2\pi e(P+\sigma^2)\right)-\frac{1}{2} \log_2 \left( 2\pi e\sigma^2 \right)$

化简可得经典 AWGN 信道容量公式：

$\frac{1}{2} \log_2 \left( 1+\frac{P}{\sigma^2} \right)$

5. SVD 奇异值分解

对信道矩阵 $H$ 进行奇异值分解（SVD）：

$H = UDV^H$

其中：

$\in \mathbb{C}^{M\times M}$
$\in \mathbb{C}^{M\times N}$
$\in \mathbb{C}^{N\times N}$

经过变换后：

$\hat{y}=D\hat{x}+\hat{n}$

设奇异值为：

$\sqrt{\lambda_i}$

则 MIMO 信道被分解为多个并行子信道。

6. 接收信号最大熵分析

设接收信号概率密度函数为：

$g (y)$

则其熵为：

$-\int_{-\infty}^{\infty} g(y)\log g(y)\,dy$

满足：

$\int_{-\infty}^{\infty} g(y)\,dy = 1$

以及：

$\int_{-\infty}^{\infty} g(y)y^2dy \le P+\sigma^2$

当 $H (Y)$ 最大时，互信息达到最大，从而获得最大信道容量。

7. 噪声熵进一步推导

由于：

$N\sim \mathcal{N}_c(0,\sigma^2I_N)$

因此：

$H(N)=\log(\pi e\sigma^2)$

8. 接收信号协方差矩阵

接收信号协方差矩阵为：

$E[(Y-E(Y))(Y-E(Y))^H]$

展开可得：

$E[(HX+N-E(Y))(HX+N-E(Y))^H]$

进一步化简：

$=E\left\{ [H(X-E(X))+N] [H(X-E(X))+N]^H \right\}$

继续推导：

$\left[ HH^H(X-E(X))(X-E(X))^H + NN^H \right]$

最终得到：

$=\sigma^2I_N + HH^HR_X$

因此：

$H(Y)_{\max}= \log \left[ \pi e ( \sigma^2I_N+HH^HR_X ) \right]$

9. MIMO 信道容量最终表达式

因此 MIMO 信道容量为：

$C=\log\left[\pi e(HH^HR_X+\sigma^2I_N)\right] -\log(\pi e\sigma^2)$

最终化简为：

$\log \left| I_N + \frac{1}{\sigma^2} HH^HR_X \right|$

这就是经典的 MIMO 信道容量表达式。

10. 结论

通过上述推导可以得到：

MIMO 信道容量来源于多个空间并行子信道；
信道容量与：
- 发射功率；
- 信噪比；
- 天线数量；
- 信道矩阵秩；
  密切相关；
在高 SNR 条件下，MIMO 系统容量近似线性增长；
奇异值分解（SVD）能够将 MIMO 信道转化为多个独立并行信道；
增加收发天线数量能够显著提升频谱效率与系统容量。

代码

% License: This code is licensed under the GPLv2 license. If you in any way
% use this code for research that results in publications, please cite our
% original article listed above.
% Z. Shang, "Mitigating Hardware Impairments in Multi-User Multi-Layer MIMO Systems via % Weighted Fusion Precoding," in IEEE Communications Letters, vol. 30, pp. 1841-1845, 
% 2026, doi: 10.1109/LCOMM.2026.3688411.
clc
clear all
close all

SNR  = 0:1e-1:4e1;   
% the system signal-to-noise ratio with dB 
r= 0.7;  
%% Author:zixia shang  
% University of New South Wales
% Telecommunications Engineering
% Email address: zixia.shang@ieee.org
% 05/11/2022

ergodic11=ergodiccapacities (1,1,SNR,r);
ergodic12=ergodiccapacities (1,2,SNR,r);
ergodic21=ergodiccapacities (2,1,SNR,r);
ergodic22=ergodiccapacities (2,2,SNR,r);
outage11=outagecapacities (1,1,SNR,r,99);
outage12=outagecapacities (1,2,SNR,r,99);
outage21=outagecapacities (2,1,SNR,r,99);
outage22=outagecapacities (2,2,SNR,r,99);

figure(11)
subplot(2,2,1)
semilogy(SNR,ergodic11,'r')
subtitle('M_T=N_R=1')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
subplot(2,2,2)
semilogy(SNR,ergodic12,'g')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
subtitle('M_T=1 N_R=2')
subplot(2,2,3)
semilogy(SNR,ergodic21,'b')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
subtitle('M_T=2 N_R=1')
subplot(2,2,4)
semilogy(SNR,ergodic22,'k')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
subtitle('M_T=N_R=2')
sgtitle('MIMO Ergodic Capacity')

figure(12)
hold on
semilogy(SNR,ergodic11, ...
    'r',SNR,ergodic12, ...
    'g',SNR,ergodic21, ...
    'b',SNR,ergodic22,'k')
grid on
title('MIMO Ergodic Capacity for different number of antennas')
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Ergodic Capacity  (bit/s/Hz)')
legend('M_T=N_R=1','M_T=1 N_R=2','M_T=2 N_R=1','M_T=N_R=2')
hold off

figure(13)
subplot(2,2,1)
semilogy(SNR,outage11,'r')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
subtitle('M_T=N_R=1')
subplot(2,2,2)
semilogy(SNR,outage12,'g')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
subtitle('M_T=1 N_R=2')
subplot(2,2,3)
semilogy(SNR,outage21,'b')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
subtitle('M_T=2 N_R=1')
subplot(2,2,4)
semilogy(SNR,outage22,'k')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
subtitle('M_T=N_R=2')
sgtitle('MIMO Outage Capacity')

figure(14)
hold on
semilogy(SNR,outage11,'r')
semilogy(SNR,outage12,'g')
semilogy(SNR,outage21,'b')
semilogy(SNR,outage22,'k')
grid on
xlabel('SNR  (dB)')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
grid on
title('MIMO Outage Capacity for different number of antennas')
xlabel('SNR  (dB)')
legend('M_T=N_R=1','M_T=1 N_R=2','M_T=2 N_R=1','M_T=N_R=2')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
hold off
figure(15)
hold on
semilogy(SNR,ergodic11,'k')
semilogy(SNR,ergodic12,'k')
semilogy(SNR,ergodic21,'k')
semilogy(SNR,ergodic22,'k')
semilogy(SNR,outage11,'b')
semilogy(SNR,outage12,'b')
semilogy(SNR,outage21,'b')
semilogy(SNR,outage22,'b')
grid on
title('Ergodic Capacity vs Outage Capacity')
xlabel('SNR  (dB)')
legend('ergodiccapacities M_T=N_R=1','ergodiccapacities M_T=1 N_R=2','ergodiccapacities M_T=2 N_R=1','ergodiccapacities M_T=N_R=2','outagecapacities M_T=N_R=1','outagecapacities M_T=1 N_R=2','outagecapacities M_T=2 N_R=1','outagecapacities M_T=N_R=2')
ylabel('Capacity  (bit/s/Hz)')
hold off
figure(16)
clear all
w=1:1:20;
%x = ones(1,20);
for n = 1:20
    x40(n) = ergodiccapacities (n,n,40,0);
    x45(n) = ergodiccapacities (n,n,45,0);
    x50(n) = ergodiccapacities (n,n,50,0);
    x55(n) = ergodiccapacities (n,n,55,0);
end
hold on
plot(w,x40,'k-+')
plot(w,x45,'g-+')
plot(w,x50,'r-+')
plot(w,x55,'b-+')
hold off
grid on
xlabel('the number of antennas(M=N)')
ylabel('Ergodic Capacity  (bit/s/Hz)')
legend('SNR=40','SNR=45','SNR=50','SNR=55')
title('Ergodic Capacity of mimo systems with different number of antennas at high SNR')

function [capacities] = ergodiccapacities (M,N,SNR,r)
% M-the number of transmitted antennas M 
% N-the number of Receive antennas N 
% SNR-the system signal-to-noise ratio with dB 
% rt-Correlation coefficient of the transmitter. 
% (Equal to zero when the channel transmission is not correlated)
for X =1:M
    for Y=1:M
        Rt(X,Y) = r^(abs(X-Y));
    end
end
Re = 0.7;  
for X =1:N
    for Y=1:N
        Rr(X,Y) = Re^(abs(X-Y));
    end
end
MCrun = 1000;
snr  = 10.^(0.1*SNR);  % Signal to noise ratio conversion
capacities = zeros(1,length(SNR));
for ll = 1:length(SNR)
    capa = zeros(1,MCrun);    
    for nn =1:MCrun
        % Rayleigh 
        H = Rr^(1/2)*(sqrt(1/2).* (randn(N,M) + Y.* randn(N,M)))*Rt^(1/2);
        capa(nn) = log2(det(eye(N)+snr(ll)/M*H*H'));
    end
    capacities(ll)=mean(capa);
    Hh = waitbar(ll/length(SNR));
end
close(Hh)
end

function [capacities] = outagecapacities (M,N,SNR,rt,n)
% M-the number of transmitted antennas M 
% N-the number of Receive antennas N 
% SNR-the system signal-to-noise ratio with dB 
% rt-Correlation coefficient of the transmitter. 
% (Equal to zero when the channel transmission is not correlated)
% n-outage(Interruption rate)

for X =1:M
    for Y=1:M
        Rt(X,Y) = rt^(abs(X-Y));
    end
end

Re = 0.7; 
for X =1:N
    for Y=1:N
        Rr(X,Y) = Re^(abs(X-Y));
    end
end

MCrun = 1000;
snr  = 10.^(0.1*SNR); % Signal to noise ratio conversion
capacities = zeros(1,length(SNR));
for ll = 1:length(SNR)
    capa = zeros(1,MCrun);    
    for nn =1:MCrun
        % Rayleigh        
        H = Rr^(1/2)*(sqrt(1/2).* (randn(N,M) + Y.* randn(N,M)))*Rt^(1/2);      
        capa(nn) = (1-0.01*n)*log2(det(eye(N)+snr(ll)/M*H*H'));
    end
    capacities(ll)=mean(capa);
    Hh = waitbar(ll/length(SNR));
end
close(Hh)
end