1、数学手册--德语翻译为英语，再基于英文进行学术编辑，最初的起源竟然是苏联俄文版。

----原版是1996年德文版《Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Vol 1》，实际上德文的Vol 1应该是Teil I，和上图右侧的Teil II对应。德文版本的出版商是Teubner，这个出版商位于Stuttgart(斯图加特)和Leipzig(莱比锡)。Taschenbuch的意思是口袋书/袖珍书，Mathematik是数学的意思，因此这本书的德文书名就是《Teubner数学口袋书》，其中的Teubner是出版商，也就是说其他出版商也可以有自己的《数学口袋书》。因此这本书就是{出版社--编辑者}绑定的口碑作为卖点。

----从德文到英文的翻译是由Bruce Hunt完成的。翻译为英语以后，又由Eberhard Zeidler（艾伯哈德.蔡德勒）作为学术编辑进行了彻底重构(增删改)。在这样一个过程中，学术编辑Eberhard Zeidler是更重要的贡献者，因此排在前面，翻译者Bruce Hunt则排在后面。学术编辑Eberhard Zeidler所在的单位是Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences，位于Leipzig(莱比锡)。这个单位的翻译是《普朗克数学研究所》。

----再往前追溯，德文原版并不是整本书的起点。实际上，该书首版于1958年，其起源(origin)是对一本苏联数学手册的翻译，所以他最初的作者并非一人，而是众多编者接力完成的。后来由Eberhard Zeidler主导了重大修订。Zeidler本人是德国国家科学院院士，也曾是马普学会(普康科学会)莱比锡数学研究所所长，学术地位极高。而上图中说的1996年版本，已经是后来修订后的版本。

----再回到俄文版，这个俄文版是1958年编写的，另一本俄文数学全景大书《数学：它的内容方法和意义》是1956年出版的，也被认为是数学手册中的集大成者，它们两者是什么关系？如下：

----被德国数学界持续关注并由Zeidler重整的这本书的俄文版，是一本实用工具书，最早的首版时间是1945年，包含公式定理和数据的手册，供人随时查阅，是工程技术人员的案头常备参考书。--

----《数学：它的内容方法和意义》则是一种数学科普综述，一套旨在讲述“数学是什么”的普及性读物，其俄文首版时间是1956年，中文翻译首版的时间是1958年。适合于高中生大学生以及数学爱好者，旨在帮助理解而非应付计算。

----回到本系列【数学全景地图】系列，上一篇已经分析了《数学：它的内容方法和意义》，从这个书中归纳总结【数学全景地图】。而本篇，则从这本Zeidler作为学术编辑的《数学指南》来归纳总结和校验【数学全景地图】。下面简称这本书为《Zeidler数学指南》。

2、这本《Zeidler数学指南》的目录：

----Level-0的Content组织非常简单！

----【分析学(Analysis)】。

----【代数学(Algebra)】。

----【几何学(Geometry)】。

----【数学基础(Foundations of Mathematics)】。

----【变分法和最优化】。

----【概率----数学中的几率】。

----【数论和计算科学】。

3、在Introduction中作者对这个粗颗粒的分类进行了说明，仅2页纸，非常简单。

----Fundamental branches of mathematics are Albebra, geometry, and analysys. //数学的基础分支，就是代数学、几何学、分析学！

----代数学，最原始的形式就是方程。作者把代数学的历史算到了公元前1800年代。

----几何学，最由代表性的就是欧几里得几何原本。

----分析学，基于极限(limit)，从17世纪牛顿和莱布尼兹的微积分开始。////如本系列前面的文章分析，分析学实际上始于微积分的严格化，也就是把牛顿莱布尼兹的那种凭感觉的微积分，变成了柯西发明的极限概念及极限符号(lim)为标志的严格化。

----应用数学的主要分支，作者列举了3个，分别是常微分方程和偏微分方程(ODE和PDE)、变分法和最优化，计算科学。

----基础数学的内容，作者列出了2个，一个叫数理逻辑(mathematical logic)，另一个叫集合论(set theory)。这两个数学分支是在19世纪(18xx年)才出现的。数理逻辑考察的是可能性(存在/不存在，如果...则等诸如此类，再定量化就是概率了)。

----Set theory is basically a powerful language for formulating mathematics. //集合论可以看作是一个形式化的数学语言，用来描述数学理论和方法，也就是数学的严格化证明的哪一套东西，和数学逻辑是一脉相承的。属于纯数学的、理论的。

----In modern mathematics there are opposing tendencies visible. On the one hand, we observe an increase in the degree of specialization. On the other hand, there are open questions coming from the theory of elementary particles, cosmology and modern technology which have such a high degree of complexity that they can only be approached through a synthesis of quite diverse areas of mathematics. This leads to a unification of mathematics and to an increasing elemination of the non-natural split between pure and applied mathematics. 

----在现代数学中，存在着明显的对立倾向。一方面，我们观察到专业化程度的增加。另一方面，存在来自基本粒子理论、宇宙学和现代技术的开放性问题，这些问题具有高度的复杂性，因此只能通过综合各种数学领域来解决。这导致了数学的统一，并日益消除了纯数学和应用数学之间的割裂。

4、来看看分析学的下一级内容编排。

----分析学的基础：导数/微分和积分。导数包括一个变量的和多个变量的(偏导数)，积分也有一个变量和多个变量的(多重积分)。

----分析学中的高阶部分：从多个变量/偏导数，到向量代数和向量分析。从实变量函数到复变量函数(复变函数)。还有常微分方程ODE和偏微分方程，前面的Introduction把它们归类为应用数学，但在本书的章节编排中则实际放在了分析学下面。此外，还有一个重头的部分是积分变换(Integral transformations)，这是傅里叶变换、拉普拉斯变换等的一个上位分类，也放在了这个分析学里。

5、再来看看代数学的编排情况。

----代数学一共包括了7节，分别是：基础代数，矩阵(Matrices)，线性代数，多线性代数，代数结构(群环域)，伽罗瓦理论和代数方程，数论。

----从中可以看到，该书把代数结构(群域环)放在代数学下面了，而有些书则把这些从传统的Algebra中抽取出来单列为抽象代数/近世代数。包括后面的伽罗瓦理论，还有多线性代数里的李代数(Lie algebras)都是抽象代数/近世代数的代表。

----数论，通常也是单列出来，但该书则把它归类到了代数学的章节之下。重要的是，数论在这本书里涵盖到了，作为要给数学的一个分支。

----细看以下基础代数的部分：组合学，行列式，矩阵，线性方程组，多项式计算，代数基本定理，部分分式分解。多项式计算和分解，部分分式的分解，这两个属于传统代数里高阶的代表，比如Cardano求解三次方程，和求解二次方程的因式分解，以及分式的分解(公因式)，都需要某种和乘法相【逆】的观察法法或求解法，才能分解出来。而不像多项式乘法，运用公式即可，是【正】向的公式应用。

6、再来看看几何学的编排。

----基础几何学，欧几里得几何和非欧几何都属于基础几何学，非欧几何还分为非欧椭圆几何(Elliptic geometry)、非欧双曲几何(Hyperbolic geometry)。

----微分几何，从其下的前两节来看，是研究平面曲线和空间曲线，比如曲线的长度，要使用微分方法。

----代数几何，从3.8.3节来看，把几何的直观思维用于研究积分的运算。

----现代物理中的几何，比如一个物理的磁场的任意空间位置上的磁场强度和磁力(线)方向。

7、再来看看数学基础的内容编排。

----数学的语言。数学证明的方法。原生集合论。数理逻辑。公理化方法。

----公理化方法，就是所谓【数学严格化】的套路，欧几里得几何原本中就出现的五大公理五大公设作为基础、推导出几何原本的所有结论，就是【公理化方法】或【数学严格化】的代表。

----牛顿莱布尼兹微积分，被质疑没有严格的定义而后来催生了所谓微积分严格化并以此作为数学分析的开端。而这个公理化方法(axiomatic method)，则需要结合X个基本的公理公设，然后使用逻辑学的方法。

----这个逻辑学又属于远古的哲学，大概经过扩展以适应数学严格证明、变成了所谓的数理逻辑(Mathematical logic)。

----当然这些严格化的证明，不会只有一个方法，因此有一个证明方法(Methods of proof)的章节。

----在使用哲学逻辑/数理逻辑/文字表达的语言逻辑/数学语言特有的表达及符号进行严格化证明，还需要使用到集合论(Naive Set Theory)，集合论本身就是作为一种数学语言，如前面的Introduction所介绍的----Set theory is basically a powerful language for formulating mathematics. (集合论可以看作是一个形式化的数学语言)。

----集合论本身又被称为公理(axioms of set theory)。集合论本身又作为一种数学的语言(Set theory is basically a powerful language for formulating mathematics)。古典的哲学上的逻辑本身就是一种类似于诡辩的自然语言艺术。数理逻辑则是在古典逻辑上为了数学的证明而作的逻辑增强。//如本系列前面的文章所总结的，这些都是数学专业的保留地，工科专业不需要钻研特别深。反而是通过基础的方法来了解可能更合适，如下面列出的数学证明方法。

----数学证明方法包括：间接证明(Indirect Proof)，演绎证明(Induction Proof)，唯一性证明(Uniqueness Proof)，存在性证明(Existence Proof)，不正确的证明(Incorrect Proofs)。

----一个例子：证明当x无限趋近于3的时候，x^2无限趋近于9，这是本系列文章此前的一个例子，要证明它！而不是“显然”。这就是抽象数学、数学证明要做的事情。记住这个例子，让我们面对诸如集合论很枯燥无聊这样的想法时更加释然，照着极限的定义及使用极限进行证明的例子把考试通过即可，不必纠结它。

8、总结：

----Zeidler这部数学指南，其最终的起源时1950年代苏联的著作，和另一本同样是1950年代的苏联数学著作《数学：它的内容方法和意义》，分别定位于数学原理公式大全、数学范围科普，通过它们来归纳【数学全景地图】，是合适的的视角。

----Zeidler的这部数学指南，把数学这样进行划分：数学的基础分支(代数学、分析学、几何学）。数学的应用分支(常微分方程和偏微分方程、变分法和数学优化、计算科学)。数学的基础(数理逻辑和集合论)。这样的分类方法有一定的道理。比如代数学就有基础代数学和近世代数/抽象代数，后者以群环域为基本概念，无论在那个分类里，都是抽象代数，其名字也现实它属于代数学。至于是否要把它从代数学里单拎出来，还是把它归类到代数学里，只是写作的需要。再比如，常微分方程和偏微分方程，本文的Introduction里明确把它划分到应用数学里，单在实际的内容编排里则放在分析学里。

----以欧几里得几何原本为范例，数学学科/理论的一大追求，就是以公理化方法(axiomatic method)为代表的严格证明(和证伪)。集合论在本书中被称为公理(axioms of set theory)。集合论本身又作为一种数学的语言(Set theory is basically a powerful language for formulating mathematics)。古典的哲学上的逻辑本身就是一种类似于诡辩的自然语言艺术。数理逻辑(Mathematical Logic)则是在古典逻辑上为了数学的证明而作的逻辑增强。这些共同构成了数学严格化(Rigor of Mathematics)和数学证明的基础。对广大的非数学专业和数学理论爱好者而言，记住一个所谓的数学证明的例子或有助于理解数学严格化的概念：当x无限接近与3的时候x^2无限接近于9。

<<<<<<<<完>>>>>>>>