【C++进阶】二叉搜索树：原理详解与代码实现（插入+查找+删除+中序遍历）
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文章目录
1.二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或是一棵空树，或是具有以下性质的二叉树：
- 若它的左子树不为空，则左子树所有节点的值都小于等于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树所有节点的值都大于等于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
- 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值multimap/multiset支持插入相等值
2.二叉搜索树的性能分析
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其高度为：logN
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其高度为：N
所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
显然二叉搜索树的效率无法满足需求，所以需要使用二叉搜索树的变形：平衡二叉搜索树AVL和红黑树，才能适应在内存中存储和搜索数据
二分查找也可以实现O(logN)级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
- 需要存储在支持下标随机访问的结构中并且有序
- 插入和删除的效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据
3.二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下：
- 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
- 树不为空，按二叉搜索树性质，插入值比当前节点大往右走，插入值比当前节点小往左走，找到空位置插入新节点
- 如果支持插入相等的值，插入值跟当前节点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新节点。（要注意的是保持逻辑一致性，插入相等值的位置要保持一致）
3.1 不支持插入相同节点
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
// 二叉搜索树的节点
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BST
{
//typedef BSTNode<class T> key;w
using Node = BSTNode<K>;
public:
// 插入
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
// 当树为空时直接新增节点，赋值给 _root 指针
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
// 要插入的值大于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
// 要插入的值小于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// cur指向的节点的值和要插入的key相等，不允许插入，返回false
return false;
}
}
// 插入新节点并与树相连
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
3.2 支持插入相同节点
如果要实现支持插入相同节点的插入函数
只需要在寻找要插入的位置时要插入的节点大于等于当前节点往右走，小于往左走
插入新节点时要插入的节点大于等于其父节点的值挂在右孩子，小于挂在左孩子
// 插入（支持插入重复节点，大于等于挂在右孩子）
bool Insert2(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
// 当树为空时直接新增节点，赋值给 _root 指针
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key <= key)
{
// 要插入的值大于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
// 要插入的值小于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
}
// 插入新节点并与树相连
cur = new Node(key);
if (parent->_key <= key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
4.二叉搜索树的查找
- 从根开始比较，查找 x，x 比根的值大则往右边找，x 比根值小则往左边查找
- 最多查找高度次，走到空还没找到说明这个值不存在
- 如果不支持插入相等的值，找到 x 即可返回
- 如果支持插入相等的值，意味着有多个 x 存在，一般要求查找中序的第一个 x。
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
5.二叉树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，返回 false
如果查找元素存在则分为以下四种情况（假设要删除的节点为 N ）
- 要删除的节点 N 左右孩子均为空
- 要删除的节点 N 左孩子为空，右孩子节点不为空
- 要删除的节点 N 右孩子为空，左孩子节点不为空
- 要删除的节点 N 左右孩子节点均不为空
对应以上四种情况的解决方案：
- 把 N 节点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除 N 节点
- 把 N 节点的父亲对应孩子指针指向 N 的左孩子
- 把 N 节点的父亲对应孩子指针指向 N 的右孩子，直接删除 N 节点
- 无法直接删除 N 节点，因为 N 的两个孩子无处安放，只能使用替换法删除。找 N 左子树的值最大节点R（最右节点）或者 N 右子树的值最小节点（最左节点）代替 N，因为这两个节点中任意一个，放到 N 的位置，都满足二叉搜索树的规则。代替 N 的意思就是 N 和 R 两个节点的值交换，转而变成删除 R 节点，R 节点符合情况 2 或情况 3，可以直接删除
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
// 要删除的值大于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
// 要删除的值小于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// cur指向的节点是要删除的节点
// 0-1 个孩子的情况
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
// 要删除的节点是根节点时，直接改变_root的指向
_root = _root->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
// 要删除的节点在左边
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
// 要删除的节点在右边
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
// 要删除的节点是根节点时，直接改变_root的指向
_root = _root->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
// 要删除的节点在左边
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
// 要删除的节点在右边
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else
{
// 2个孩子的情况
// 使用替换法删除，用左子树最大节点或右子树最小节点
// 这里使用右子树的最小节点作为代替节点去删除
// 要注意右子树的根节点是右子树最小节点的情况
// 一定要把 cur 赋值给 rightMinP，否则当右子树的根节点是最小值时不进入while循环，程序就会报错
Node* rightMinP = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinP = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
// 此时rightMin指向的节点是右子树最小节点，用右子树最小节点的值覆盖cur节点的值
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMinP->_left == rightMin)
{
// 右子树最左节点不是右子树的根节点
rightMinP->_left = rightMin->_right;
}
else
{
// 右子树最左节点是右子树根节点
rightMinP->_right = rightMin->_right;
}
delete rightMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
6. 二叉搜索树中序遍历
二叉搜索树中序遍历序列是有序的
在类内部实现递归，对外公开要再多套一层
对外提供无参的InOrder()，调用私有的递归函数
template<class K>
class BST
{
//typedef BSTNode<class T> key;
using Node = BSTNode<K>;
public:
// 二叉搜索树的中序遍历是有序的
// 在类内部实现递归，对外公开要再多套一层
// 对外提供无参的InOrder()，调用私有的递归函数
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
Node* _root = nullptr;
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
};
7. 二叉搜索树 key 和 key/value 使用场景
7.1 key 使用场景
只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 key 即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key 在不在。key 的搜索场景实现二叉搜索树支持增删查，但不支持修改，修改 key 会破坏搜索树的结构
场景1：小区无人值守车库。车辆进入时扫描车牌是否在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆无法进入
场景2：检查一篇英文文章中单词拼写是否正确。将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示
7.2 key二叉搜索树完整代码
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BST
{
//typedef BSTNode<class T> key;
using Node = BSTNode<K>;
public:
// 插入
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
// 当树为空时直接新增节点，赋值给 _root 指针
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
// 要插入的值大于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
// 要插入的值小于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// cur指向的节点的值和要插入的key相等，不允许插入，返回false
return false;
}
}
// 插入新节点并与树相连
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
// 要删除的值大于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
// 要删除的值小于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// cur指向的节点是要删除的节点
// 0-1 个孩子的情况
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
// 要删除的节点是根节点时，直接改变_root的指向
_root = _root->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
// 要删除的节点在左边
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
// 要删除的节点在右边
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
// 要删除的节点是根节点时，直接改变_root的指向
_root = _root->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
// 要删除的节点在左边
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
// 要删除的节点在右边
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else
{
// 2个孩子的情况
// 使用替换法删除，用左子树最大节点或右子树最小节点
// 这里使用右子树的最小节点作为代替节点去删除
// 要注意右子树的根节点是右子树最小节点的情况
// 一定要把 cur 赋值给 rightMinP，否则当右子树的根节点是最小值时不进入while循环，程序就会报错
Node* rightMinP = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinP = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
// 此时rightMin指向的节点是右子树最小节点，用右子树最小节点的值覆盖cur节点的值
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMinP->_left == rightMin)
{
// 右子树最左节点不是右子树的根节点
rightMinP->_left = rightMin->_right;
}
else
{
// 右子树最左节点是右子树根节点
rightMinP->_right = rightMin->_right;
}
delete rightMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
// 二叉搜索树的中序遍历是有序的
// 在类内部实现递归，对外公开要再多套一层
// 对外提供无参的InOrder()，调用私有的递归函数
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
Node* _root = nullptr;
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
};
7.3 key/value 使用场景
每一个关键码 key 都有与之对应的值 value，value可以是任意类型对象。树的结构中（节点）除了需要存储 key 还要存储对应的 value，增/删/查还是以 key 为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到对应的 value。key/value的搜索场景实现的二叉搜索树支持修改，但不支持修改 key，修改 key 会破坏二叉搜索树的性质，可以修改 value
场景1：简单中英互译字典。树的结构中（节点）存储 key（英文）和 value（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文
场景2：商场无人值守车库。入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场
场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在则说明第一次出现，插入（单词, 1），单词存在则++单词对应次数
7.4 key/value 二叉搜索树代码实现
template<class K, class V >
class BST
{
//typedef BSTNode<class T, class V> key;
using Node = BSTNode<K, V>;
public:
// C++11提供的强制生成构造
BST() = default;
// 拷贝构造
BST(const BST<K, V>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
// 赋值重载
BST<K, V>& operator=(BST<K, V> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
// 析构
~BST()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
// 插入
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
// 当树为空时直接新增节点，赋值给 _root 指针
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
// 要插入的值大于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
// 要插入的值小于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// cur指向的节点的值和要插入的key相等，不允许插入，返回false
return false;
}
}
// 插入新节点并与树相连
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
// 查找：查找返回到的节点，可以进行修改
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
// 没有找到则返回空
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
// 要删除的值大于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
// 要删除的值小于cur指向的节点的值
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// cur指向的节点是要删除的节点
// 0-1 个孩子的情况
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
// 要删除的节点是根节点时，直接改变_root的指向
_root = _root->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
// 要删除的节点在左边
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
// 要删除的节点在右边
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
// 要删除的节点是根节点时，直接改变_root的指向
_root = _root->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
// 要删除的节点在左边
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
// 要删除的节点在右边
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else
{
// 2个孩子的情况
// 使用替换法删除，用左子树最大节点或右子树最小节点
// 这里使用右子树的最小节点作为代替节点去删除
// 要注意右子树的根节点是右子树最小节点的情况
// 一定要把 cur 赋值给 rightMinP，否则当右子树的根节点是最小值时不进入while循环，程序就会报错
Node* rightMinP = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinP = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
// 此时rightMin指向的节点是右子树最小节点，用右子树最小节点的值覆盖cur节点的值
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMinP->_left == rightMin)
{
// 右子树最左节点不是右子树的根节点
rightMinP->_left = rightMin->_right;
}
else
{
// 右子树最左节点是右子树根节点
rightMinP->_right = rightMin->_right;
}
delete rightMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
// 二叉搜索树的中序遍历是有序的
// 在类内部实现递归，对外公开要再多套一层
// 对外提供无参的InOrder()，调用私有的递归函数
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
Node* _root = nullptr;
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
// 后序析构
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
// 深拷贝（前序拷贝）
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
};
AtomGit 是由开放原子开源基金会联合 CSDN 等生态伙伴共同推出的新一代开源与人工智能协作平台。平台坚持“开放、中立、公益”的理念，把代码托管、模型共享、数据集托管、智能体开发体验和算力服务整合在一起，为开发者提供从开发、训练到部署的一站式体验。
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