MUSIC，全称 Multiple Signal Classification，的核心思想是：

利用阵列接收信号协方差矩阵的特征分解，将观测空间分解为信号子空间和噪声子空间。真实声源方向的导向向量位于信号子空间内，因此与噪声子空间正交。通过搜索使导向向量与噪声子空间最正交的方向，即可得到声源方向估计。

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1. 阵列信号处理的基本问题

假设有一个由 $M$ 个传感器组成的阵列，例如 $M$ 个麦克风。空间中有 $K$ 个远场窄带信号源，它们从不同方向到达阵列。

目标是估计这 $K$ 个信号源的到达方向：

Θ={θ1,θ2,…,θK} \Theta = \{\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_K\} Θ={θ1​,θ2​,…,θK​}

对于二维平面阵列或三维空间阵列，方向通常写为方位角和俯仰角：

$$\Theta =\{({\theta }_1,{\varphi }_1),({\theta }_2,{\varphi }_2),\dots ,({\theta }_K,{\varphi }_K)\}$$

其中：

• $\theta$：俯仰角或极角；
• $\varphi$：方位角；
• $K$：声源数量；
• $M$：阵列传感器数量。

MUSIC 算法通常要求：

$$K<M$$

因为至少需要保留一个维度作为噪声子空间。

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2. 远场窄带阵列信号模型

2.1 单个声源的阵列响应

假设一个窄带平面波从方向 $\theta$ 到达阵列。对于第 $m$ 个传感器，接收到的信号可以看作参考信号的延迟版本：

$$x_m(t)=s(t-{\tau }_m)$$

其中：

• $x_m(t)$：第 $m$ 个传感器接收到的信号；
• $s(t)$：源信号；
• ${\tau }_m$：声波到达第 $m$ 个传感器相对于参考点的时间延迟。

如果信号是窄带信号，可以写成复指数形式：

$$s(t)=\alpha (t)e^{j2\pi f_{0}t}$$

其中 $\alpha (t)$ 是缓慢变化的复包络，$f_0$ 是中心频率。

延迟后的信号为：

$$s(t-{\tau }_m)=\alpha (t-{\tau }_m)e^{j2\pi f_0(t-{\tau }_m)}$$

窄带假设认为包络变化较慢，因此：

$$\alpha (t-{\tau }_m)\approx \alpha (t)$$

于是：

$$s(t-{\tau }_m)\approx \alpha (t)e^{j2\pi f_{0}t}{e}^{-j2\pi f_0{\tau }_m}$$

也就是：

$$x_m(t)\approx s(t)e^{-j2\pi f_0{\tau }_m}$$

因此，延迟在窄带模型中等价为一个相位差。

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2.2 导向向量

把所有 $M$ 个传感器的相位响应写成向量，得到方向 $\theta$ 对应的导向向量：

$$\mathbf{a}(\theta )=\left[\begin{array}{c}{e}^{-j2\pi f_0{\tau }_1(\theta )}\\ e^{-j2\pi f_0{\tau }_2(\theta )}\\ ⋮\\ e^{-j2\pi f_0{\tau }_M(\theta )}\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{M\times 1}$$

导向向量描述的是：

如果信号来自方向 $\theta$，那么它在阵列各个传感器上应该呈现怎样的相位关系。

对于二维或三维 DOA，导向向量可写成：

$$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )=\left[\begin{array}{c}{e}^{-j2\pi f_0{\tau }_1(\theta ,\varphi )}\\ e^{-j2\pi f_0{\tau }_2(\theta ,\varphi )}\\ ⋮\\ e^{-j2\pi f_0{\tau }_M(\theta ,\varphi )}\end{array}\right]$$

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3. 阵列几何与时延模型

3.1 传感器位置

设第 $m$ 个传感器的位置为：

$${\mathbf{p}}_m=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\end{array}\right]$$

所有传感器位置构成矩阵：

$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{p}}_1^T\\ {\mathbf{p}}_2^T\\ ⋮\\ {\mathbf{p}}_M^T\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{M\times 3}$$

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3.2 远场平面波方向向量

对于三维空间中的远场平面波，方向可以用单位向量表示：

$$\mathbf{u}(\theta ,\varphi )=\left[\begin{array}{c}\sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{array}\right]$$

其中：

$$\Vert \mathbf{u}(\theta ,\varphi ){\Vert }_2=1$$

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3.3 远场时延

若声速为 $c$，则第 $m$ 个传感器相对于阵列参考点的时延可以写成：

$${\tau }_m(\theta ,\varphi )=-\frac{{\mathbf{p}}_m^T\mathbf{u}(\theta ,\varphi )}{c}$$

展开为：

$${\tau }_m(\theta ,\varphi )=-\frac{x_m\sin \theta \cos \varphi +y_m\sin \theta \sin \varphi +z_m\cos \theta }{c}$$

如果选择第一个传感器作为参考点，则相对时延为：

$${\tau }_m(\theta ,\varphi )=-\frac{({\mathbf{p}}_m-{\mathbf{p}}_1{)}^T\mathbf{u}(\theta ,\varphi )}{c}$$

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4. 多声源阵列信号模型

假设有 $K$ 个远场窄带信号源，它们的方向分别为：

$${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_K$$

对于第 $k$ 个声源，其导向向量为：

$$\mathbf{a}({\theta }_k)$$

把所有导向向量拼成阵列流形矩阵：

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}\mathbf{a}({\theta }_1)& \mathbf{a}({\theta }_2)& \cdots & \mathbf{a}({\theta }_K)\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{M\times K}$$

声源信号向量为：

$$\mathbf{s}(t)=\left[\begin{array}{c}{s}_1(t)\\ s_2(t)\\ ⋮\\ s_K(t)\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$$

噪声向量为：

$$\mathbf{n}(t)=\left[\begin{array}{c}{n}_1(t)\\ n_2(t)\\ ⋮\\ n_M(t)\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{M\times 1}$$

阵列接收信号向量为：

$$\mathbf{x}(t)=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ ⋮\\ x_M(t)\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{M\times 1}$$

于是多声源阵列信号模型为：

$$\boxed{\mathbf{x}(t)=\mathbf{As}(t)+\mathbf{n}(t)}$$

这就是 MUSIC 算法的基本数据模型。

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5. 协方差矩阵推导

MUSIC 不直接对单个时刻的 $\mathbf{x}(t)$ 做处理，而是利用其二阶统计量，即协方差矩阵：

$${\mathbf{R}}_{xx}=\mathbb{E}\left[\mathbf{x}(t){\mathbf{x}}^H(t)\right]$$

其中 $H$ 表示共轭转置。

代入阵列模型：

$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{As}(t)+\mathbf{n}(t)$$

得到：

$${\mathbf{R}}_{xx}=\mathbb{E}\left[(\mathbf{As}(t)+\mathbf{n}(t))(\mathbf{As}(t)+\mathbf{n}(t){)}^H\right]$$

展开：

$${\mathbf{R}}_{xx}=\mathbb{E}\left[\mathbf{As}(t){\mathbf{s}}^H(t){\mathbf{A}}^H\right]+\mathbb{E}\left[\mathbf{As}(t){\mathbf{n}}^H(t)\right]+\mathbb{E}\left[\mathbf{n}(t){\mathbf{s}}^H(t){\mathbf{A}}^H\right]+\mathbb{E}\left[\mathbf{n}(t){\mathbf{n}}^H(t)\right]$$

假设信号与噪声互不相关：

$$\mathbb{E}[\mathbf{s}(t){\mathbf{n}}^H(t)]=0$$

$$\mathbb{E}[\mathbf{n}(t){\mathbf{s}}^H(t)]=0$$

于是交叉项消失：

$${\mathbf{R}}_{xx}=\mathbf{A}\mathbb{E}[\mathbf{s}(t){\mathbf{s}}^H(t)]{\mathbf{A}}^H+\mathbb{E}[\mathbf{n}(t){\mathbf{n}}^H(t)]$$

定义声源协方差矩阵：

$${\mathbf{R}}_{ss}=\mathbb{E}[\mathbf{s}(t){\mathbf{s}}^H(t)]$$

定义噪声协方差矩阵：

$${\mathbf{R}}_{nn}=\mathbb{E}[\mathbf{n}(t){\mathbf{n}}^H(t)]$$

因此：

$$\boxed{{\mathbf{R}}_{xx}=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H+{\mathbf{R}}_{nn}}$$

若噪声为空间白噪声，则：

$${\mathbf{R}}_{nn}={\sigma }^2\mathbf{I}$$

所以：

$$\boxed{{\mathbf{R}}_{xx}=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H+{\sigma }^2\mathbf{I}}$$

这是 MUSIC 算法最核心的协方差矩阵模型。

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6. 有限快拍下的协方差估计

实际应用中，无法直接计算数学期望 $\mathbb{E}[\cdot ]$，只能用有限个观测样本估计。

假设有 $L$ 个快拍：

$$\mathbf{x}(1),\mathbf{x}(2),\dots ,\mathbf{x}(L)$$

则样本协方差矩阵为：

$$\boxed{{\hat{\mathbf{R}}}_{xx}=\frac{1}{L}\sum _{\ell =1}^L\mathbf{x}(\ell ){\mathbf{x}}^H(\ell )}$$

也可以把所有快拍组成矩阵：

$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cccc}\mathbf{x}(1)& \mathbf{x}(2)& \cdots & \mathbf{x}(L)\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{M\times L}$$

则：

$$\boxed{{\hat{\mathbf{R}}}_{xx}=\frac{1}{L}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H}$$

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7. 特征值分解与子空间划分

由于 ${\mathbf{R}}_{xx}$ 是 Hermitian 矩阵，因此可以进行特征值分解：

$${\mathbf{R}}_{xx}=\mathbf{U\Lambda }{\mathbf{U}}^H$$

其中：

$$\mathbf{U}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{u}}_1& {\mathbf{u}}_2& \cdots & {\mathbf{u}}_M\end{array}\right]$$

是特征向量矩阵，

$$\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_M)$$

是特征值矩阵。

假设特征值按从大到小排序：

$${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_M$$

在理想情况下，若存在 $K$ 个信号源，则：

• 前 $K$ 个较大的特征值对应信号子空间；
• 后 $M-K$ 个较小的特征值对应噪声子空间。

因此可以写成：

$$\mathbf{U}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{U}}_s& {\mathbf{U}}_n\end{array}\right]$$

其中：

$${\mathbf{U}}_s=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{u}}_1& {\mathbf{u}}_2& \cdots & {\mathbf{u}}_K\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{M\times K}$$

称为信号子空间；

$${\mathbf{U}}_n=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{u}}_{K+1}& {\mathbf{u}}_{K+2}& \cdots & {\mathbf{u}}_M\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{M\times (M-K)}$$

称为噪声子空间。

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8. 为什么导向向量与噪声子空间正交？

这是 MUSIC 算法的核心。

由协方差模型：

$${\mathbf{R}}_{xx}=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H+{\sigma }^2\mathbf{I}$$

其中：

• $\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H$ 是信号协方差项；
• ${\sigma }^2\mathbf{I}$ 是空间白噪声协方差项。

令：

$$\mathbf{S}=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H$$

如果 $\mathbf{A}$ 满列秩（不同方向来的声源，在阵列上产生的空间相位模式不能互相“伪装”），且 ${\mathbf{R}}_{ss}$ 非奇异，则：

$$\mathrm{rank}(\mathbf{S})=K$$

因为 $\mathbf{S}$ 是一个 $M\times M$ 矩阵，而 $K<M$，所以它只占据 $K$ 维信号子空间，还剩下 $M-K$ 维空间不包含信号成分。这 $M-K$ 维空间就是信号子空间的正交补，也就是噪声子空间。

因此，对于噪声子空间中的任意向量 ${\mathbf{u}}_n$，有：

$${\mathbf{A}}^H{\mathbf{u}}_n=0$$

于是：

$$\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H{\mathbf{u}}_n=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}({\mathbf{A}}^H{\mathbf{u}}_n)=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}0=0$$

这说明：在 ${\mathbf{u}}_n$ 这个方向上，信号协方差项不起作用，只剩下白噪声项。

因此：

$${\mathbf{R}}_{xx}{\mathbf{u}}_n=(\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H+{\sigma }^2\mathbf{I}){\mathbf{u}}_n$$

代入 $\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H{\mathbf{u}}_n=0$：

$${\mathbf{R}}_{xx}{\mathbf{u}}_n=0+{\sigma }^2{\mathbf{u}}_n={\sigma }^2{\mathbf{u}}_n$$

这正好满足特征值定义：

$${\mathbf{R}}_{xx}{\mathbf{u}}_n={\lambda }_n{\mathbf{u}}_n$$

因此，噪声子空间中的特征向量对应的特征值为：

$$\boxed{{\lambda }_n={\sigma }^2}$$

注意，这里的结论依赖于空间白噪声假设：

$${\mathbf{R}}_{nn}={\sigma }^2\mathbf{I}$$

如果噪声不是空间白噪声，而是有色噪声，那么噪声子空间中的特征值不一定全部等于 ${\sigma }^2$，MUSIC 的标准正交性推导也需要相应修正，例如先进行噪声白化处理。

由于噪声子空间中的任意向量 ${\mathbf{u}}_n$ 都满足：

$${\mathbf{A}}^H{\mathbf{u}}_n=0$$

而 $\mathbf{A}$ 的列正是各真实声源方向的导向向量：

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}\mathbf{a}({\theta }_1)& \mathbf{a}({\theta }_2)& \cdots & \mathbf{a}({\theta }_K)\end{array}\right]$$

因此，对于任意真实声源方向 ${\theta }_k$，有：

$$\boxed{{\mathbf{a}}^H({\theta }_k){\mathbf{u}}_n=0}$$

把所有噪声特征向量合起来：

$$\boxed{{\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}({\theta }_k)=0}$$

这就是 MUSIC 的正交性条件。

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9. MUSIC 空间谱推导

既然真实方向的导向向量与噪声子空间正交，那么可以通过检测以下量的大小来判断候选方向是否为真实方向：

$${\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )\Vert }_2^2$$

如果 $\theta$ 是真实方向，则：

$${\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )\Vert }_2^2\approx 0$$

如果 $\theta$ 不是真实方向，则：

$${\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )\Vert }_2^2>0$$

为了把真实方向变成谱峰，MUSIC 定义伪谱：

$$\boxed{P_{\text{MUSIC}}(\theta )=\frac{1}{{\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )\Vert }_2^2}}$$

因为：

• 分母越小，谱值越大；
• 真实方向处，分母接近 $0$；
• 因此真实方向处会出现尖锐峰值。

等价地：

$${\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )\Vert }_2^2={\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{U}}_n{\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )$$

因此 MUSIC 谱也常写为：

$$\boxed{P_{\text{MUSIC}}(\theta )=\frac{1}{{\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{U}}_n{\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )}}$$

对于二维角度搜索：

$$\boxed{P_{\text{MUSIC}}(\theta ,\varphi )=\frac{1}{{\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta ,\varphi )\Vert }_2^2}}$$

实际实现中通常加入极小正数 $ϵ$ 防止除零：

$$P_{\text{MUSIC}}(\theta ,\varphi )=\frac{1}{{\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta ,\varphi )\Vert }_2^2+ϵ}$$

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10. DOA 估计

单声源情况下，DOA 估计为：

$$\boxed{\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }{P}_{\text{MUSIC}}(\theta )}$$

二维方向估计为：

$$\boxed{(\hat{\theta },\hat{\varphi })=\arg \underset{\theta ,\varphi }{\max }{P}_{\text{MUSIC}}(\theta ,\varphi )}$$

多声源情况下，需要寻找 MUSIC 谱中的前 $K$ 个峰值：

{θ^1,θ^2,…,θ^K}=TopKPeaks⁡(PMUSIC(θ)) \boxed{ \{\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2,\dots,\hat{\theta}_K\}= \operatorname{TopKPeaks}\left(P_{\text{MUSIC}}(\theta)\right) } {θ^1​,θ^2​,…,θ^K​}=TopKPeaks(PMUSIC​(θ))​

对于二维空间：

$$\boxed{\{({\hat{\theta }}_k,{\hat{\varphi }}_k){\}}_{k=1}^K=\mathrm{TopKPeaks}\left(P_{\text{MUSIC}}(\theta ,\varphi )\right)}$$

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11. 声源数量估计

MUSIC 算法需要知道声源数量 $K$，因为必须知道前多少个特征向量属于信号子空间，后多少个属于噪声子空间。

常见方法包括：

1. 固定指定 $K$；
2. 特征值间隙法；
3. AIC 准则；
4. MDL 准则。

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11.1 特征值间隙法

设协方差矩阵特征值为：

$${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_M$$

计算相邻特征值比值：

$$g_i=\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_{i+1}}$$

或者用 dB 形式：

$$g_i^{\text{dB}}=10{\log }_{10}\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_{i+1}}$$

如果在 $i=K$ 处出现最大间隙，则估计：

$$\boxed{\hat{K}=\arg \underset{i}{\max }{g}_i}$$

直观理解是：

信号特征值较大，噪声特征值较小。信号子空间与噪声子空间之间通常会出现明显的特征值断崖。

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11.2 MDL 准则

MDL，全称 Minimum Description Length，最小描述长度准则。

假设有 $M$ 个传感器、$L$ 个快拍。对于候选声源数 $k$，考虑后 $M-k$ 个特征值：

$${\lambda }_{k+1},{\lambda }_{k+2},\dots ,{\lambda }_M$$

定义几何平均：

$$G_k={\left(\prod _{i=k+1}^M{\lambda }_i\right)}^{\frac{1}{M-k}}$$

定义算术平均：

$$A_k=\frac{1}{M-k}\sum _{i=k+1}^M{\lambda }_i$$

则 MDL 准则为：

$$\mathrm{MDL}(k)=-L(M-k)\log \frac{G_k}{A_k}+\frac{1}{2}k(2M-k)\log L$$

最终选择：

$$\boxed{\hat{K}=\arg \underset{k}{\min }\mathrm{MDL}(k)}$$

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11.3 AIC 准则

AIC，全称 Akaike Information Criterion，赤池信息准则。

其形式为：

$$\mathrm{AIC}(k)=-2L(M-k)\log \frac{G_k}{A_k}+2k(2M-k)$$

最终选择：

$$\boxed{\hat{K}=\arg \underset{k}{\min }\mathrm{AIC}(k)}$$

一般来说：

• AIC 更容易高估声源数量；
• MDL 更保守，常用于实际阵列信号处理。

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12. 宽带 MUSIC

前面的推导基于窄带信号模型。但声音信号通常是宽带信号，因此需要宽带 MUSIC。

设频率点为：

$$f_1,f_2,\dots ,f_Q$$

对于每个频率 $f_q$，都可以构造频率相关的导向向量：

$$\mathbf{a}(f_q,\theta )=\left[\begin{array}{c}{e}^{-j2\pi f_q{\tau }_1(\theta )}\\ e^{-j2\pi f_q{\tau }_2(\theta )}\\ ⋮\\ e^{-j2\pi f_q{\tau }_M(\theta )}\end{array}\right]$$

每个频率都有对应的协方差矩阵：

$${\mathbf{R}}_{xx}(f_q)$$

以及噪声子空间：

$${\mathbf{U}}_n(f_q)$$

一种常见的非相干宽带 MUSIC 谱为：

$$\boxed{P_{\text{WB-MUSIC}}(\theta )=\sum _{q=1}^Q\frac{1}{{\Vert {\mathbf{U}}_n^H(f_q)\mathbf{a}(f_q,\theta )\Vert }_2^2+ϵ}}$$

对于二维方向：

$$\boxed{P_{\text{WB-MUSIC}}(\theta ,\varphi )=\sum _{q=1}^Q\frac{1}{{\Vert {\mathbf{U}}_n^H(f_q)\mathbf{a}(f_q,\theta ,\varphi )\Vert }_2^2+ϵ}}$$

这种方法的思想是：

每个频率点独立形成一个 MUSIC 空间谱，然后将多个频率的谱进行叠加，增强真实方向的峰值稳定性。

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13. MUSIC 算法完整步骤总结

步骤 1：采集阵列信号

得到多通道信号：

$$\mathbf{x}(t)=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ ⋮\\ x_M(t)\end{array}\right]$$

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步骤 2：估计协方差矩阵

$${\hat{\mathbf{R}}}_{xx}=\frac{1}{L}\sum _{\ell =1}^L\mathbf{x}(\ell ){\mathbf{x}}^H(\ell )$$

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步骤 3：特征值分解

$${\hat{\mathbf{R}}}_{xx}=\mathbf{U\Lambda }{\mathbf{U}}^H$$

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步骤 4：划分信号子空间和噪声子空间

$$\mathbf{U}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{U}}_s& {\mathbf{U}}_n\end{array}\right]$$

其中：

$${\mathbf{U}}_s=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{u}}_1& \cdots & {\mathbf{u}}_K\end{array}\right]$$

$${\mathbf{U}}_n=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{u}}_{K+1}& \cdots & {\mathbf{u}}_M\end{array}\right]$$

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步骤 5：构造候选方向的导向向量

对于每个候选方向 $\theta$ 或 $(\theta ,\varphi )$，计算：

$$\mathbf{a}(\theta )$$

或：

$$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )$$

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步骤 6：计算 MUSIC 空间谱

$$P_{\text{MUSIC}}(\theta )=\frac{1}{{\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )\Vert }_2^2+ϵ}$$

或：

$$P_{\text{MUSIC}}(\theta ,\varphi )=\frac{1}{{\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta ,\varphi )\Vert }_2^2+ϵ}$$

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步骤 7：寻找谱峰

单声源：

$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }{P}_{\text{MUSIC}}(\theta )$$

多声源：

{θ^k}k=1K=TopKPeaks⁡(PMUSIC(θ)) \{\hat{\theta}_k\}_{k=1}^{K}= \operatorname{TopKPeaks}\left(P_{\text{MUSIC}}(\theta)\right) {θ^k​}k=1K​=TopKPeaks(PMUSIC​(θ))

二维方向：

$$\{({\hat{\theta }}_k,{\hat{\varphi }}_k){\}}_{k=1}^K=\mathrm{TopKPeaks}\left(P_{\text{MUSIC}}(\theta ,\varphi )\right)$$

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14. MUSIC 成立的主要条件

MUSIC 算法通常依赖以下条件：

1. 声源数量满足：

   $$K<M$$

2. 阵列流形矩阵 $\mathbf{A}$ 满列秩：

   $$\mathrm{rank}(\mathbf{A})=K$$

3. 声源之间不能完全相干，否则 ${\mathbf{R}}_{ss}$ 可能秩亏。

4. 噪声通常假设为空间白噪声：

   $${\mathbf{R}}_{nn}={\sigma }^2\mathbf{I}$$

5. 协方差矩阵估计需要足够多的快拍。

6. 导向向量模型必须与真实传播模型匹配。

对于声学定位而言，如果实际是近场场景，却使用远场导向向量，则可能导致定位误差。

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15. 总结

MUSIC 算法可以总结为以下数学链条：

$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{As}(t)+\mathbf{n}(t)$$

$${\mathbf{R}}_{xx}=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^H+{\sigma }^2\mathbf{I}$$

$${\mathbf{R}}_{xx}=\mathbf{U\Lambda }{\mathbf{U}}^H$$

$$\mathbf{U}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{U}}_s& {\mathbf{U}}_n\end{array}\right]$$

真实声源方向满足：

$${\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}({\theta }_k)=0$$

因此构造：

$$\boxed{P_{\text{MUSIC}}(\theta )=\frac{1}{{\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta )\Vert }_2^2}}$$

最后通过搜索谱峰得到 DOA：

$$\boxed{\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }{P}_{\text{MUSIC}}(\theta )}$$

其本质是：

真实方向的导向向量属于信号子空间，因此与噪声子空间正交。MUSIC 通过寻找这种正交关系最强的方向，实现高分辨率声源定位。