---

0. 前言

在线性代数的复习中，理解“初等行变换不改变向量组间的线性关系”是处理向量组等价、线性表示等问题的基石。本篇博文梳理了向量组判别、施密特正交化、特殊矩阵性质以及矩阵秩的深层联系。

---

1. 向量组的等价性与线性关系

1.1 初等行变换的核心性质

核心结论： 初等行变换不改变列向量组之间的线性关系。

1.2 判别向量组 $\alpha$ 和 $\beta$ 不等价的题型思路

在解题中，若要证明两个向量组不等价，可从以下两个切入点分析：

1. 秩的视角： - 设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，$B=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$。

• 若在不同 $x$ 值取值下，$r(A)\ne r(B)$，则两向量组必然不等价。

2. 线性表示视角：

• 若 $A$ 中的某一行（或向量）无法由 $B$ 的任意行（或向量）线性表示，则 $A$ 与 $B$ 不等价。

---

2. 向量组的施密特（Schmidt）正交规范化

当我们需要将一组线性无关的向量组化为标准正交基时，采用以下步骤：

2.1 正交化

设原始向量组为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots$

• ${\beta }_1={\alpha }_1$
• ${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$
• 补充： ${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$

2.2 规范化（单位化）

将得到的正交向量组进行长度归一化：

• ${\eta }_1=\frac{{\beta }_1}{\Vert {\beta }_1\Vert }$
• ${\eta }_2=\frac{{\beta }_2}{\Vert {\beta }_2\Vert }$

---

3. 行列式计算技巧与重要思想

3.1 分块矩阵行列式

重要思想：分块与拆解
对于 $m$ 阶方阵 $A$ 和 $n$ 阶方阵 $B$：

$$\left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|$$

3.2 对角矩阵的几何与代数性质

• 几何直观： 对角矩阵相对于坐标轴做缩放（伸缩或放大）。例如 $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$ 表示对 $x$ 轴放大 2 倍，对 $y$ 轴放大 4 倍。
• 代数性质： 对角矩阵满足乘法交换律，即 ${\Lambda }_1{\Lambda }_2={\Lambda }_2{\Lambda }_1$。

3.3 常用矩阵恒等式

• $(A+E)(A-E)=A^2-E$
• $A^m{A}^k=A^{m+k}=A^k{A}^m$

---

4. 特殊矩阵与伴随矩阵的秩

4.1 反对称矩阵

• 定义：$A^T=-A$。
• 补充要点： 若 $A$ 为奇数阶反对称矩阵，则 $|A|=0$。

4.2 伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的秩定理

这是线性代数中的高频考点，务必熟记：
$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{llcc}n,& r(A)=n1,& r(A)=n-10,& r(A)<n-1\end{array}$$

---

5. 核心方法论：$AB=0$ 的深度转化

5.1 视角转换

当遇到 $AB=0$ 时，应将其看作齐次线性方程组 $Ax=0$。

• 结论： $B$ 的每一个列向量都是 $Ax=0$ 的解向量。

5.2 秩的约束关系

基于解空间的维数（基础解系所含向量个数为 $n-r(A)$），可以推导出：

$$r(B)\le n_A-r(A)$$

注： 其中 $n_A$ 为矩阵 $A$ 的列数。

---

6. 总结

本笔记通过对向量组等价性、正交化、分块行列式及 $AB=0$ 逻辑的梳理，构建了从基础计算到深层秩关系的知识网络。在处理复杂题目时，“将矩阵相乘转化为方程组解”的这种思维方式，是提升解题速度的关键。

---