针对本次数维杯杯的A题，我们一共提供了共计750种方案，具体每一种方案涉及的算法可见文末表格

问题一五种做法

问题二五种做法

问题三五种做法

问题四的6种做法

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摘要

本文围绕磁悬浮列车悬浮系统的电磁力建模、垂向动力学响应计算及功率放大器故障识别展开研究。全文以电流、悬浮间隙、实际电磁力、车体加速度等监测数据为基础，依次构建物理先验约束的回归模型、二自由度动力学模型、卡尔曼平滑反演模型与多方法异常检测模型，实现由理想电磁力拟合到故障判别的递进分析。

针对问题一，本文依据电流方向与悬浮间隙对电磁力的主导作用，构造带符号电流二次特征，并采用最小二乘法识别电磁力二元函数关系。模型在 99999 个理想环境样本上取得决定系数 0.878800，残差总体围绕零水平波动，说明该物理特征能够刻画电磁力主要变化规律。

针对问题二，本文将车体与悬浮架抽象为二自由度垂向耦合系统，把 16 个电磁铁实际电磁力合成为悬浮架时变外部激励，并通过线性插值与 RK45 数值积分求解动力响应。计算得到 9 s 时车体位移为 -0.037305 m，悬浮架位移为 -0.021135 m，悬浮间隙为 0.081135 m。

针对问题三，本文在全车功率放大系数相同且固定的条件下，利用卡尔曼平滑重构悬浮间隙加速度，并结合车体与悬浮架动力学反演实际总电磁力。进一步以理想总电磁力为基准估计统一放大系数，得到均值 0.7183，低于正常区间下界，判定整列车悬浮系统存在功率放大器异常。

针对问题四，本文首先指出在各电磁铁功率放大系数独立时变条件下，单时刻总电磁力方程不足以唯一反演 16 个逐台系数，因而转向贡献度异常检测。综合孤立森林、局部离群因子和滑动 Z-score 多数投票，16 台电磁铁均未被判为故障，最终故障电磁铁集合为空。

关键词：电磁力建模；二自由度动力学；卡尔曼平滑；功率放大系数；异常检测

模型假设

1.视车体与悬浮架为垂向运动中的集中质量系统，不考虑横向、纵向及转动自由度影响。

2.假设空气弹簧在研究时段内满足线性弹簧—阻尼作用关系，刚度与阻尼系数保持不变。

3.视 16 个电磁铁实际电磁力合力为悬浮架所受外部电磁激励，不考虑电磁铁安装位置差异引起的力矩效应。

4.假设悬浮间隙、车体加速度和电流监测序列在采样时刻同步有效，测量噪声可通过平滑或统计方法处理。

5.在问题三中假设 16 台电磁铁功率放大系数完全相同且固定；在问题四中假设各电磁铁功率放大系数可随时间独立变化。

文件	方法名称	一句话大白话
Q0
Q00
q1a	综合方法：带截距线性回归	把 $I|I|/z^2$ 当作一个整体特征，加上截距项做线性回归，然后画出散点图、残差图、3D曲面等一整套评估图表
q11	方法一：简单线性回归	直接假设 $F = k \cdot I^2/z^2$，只用一个数除一个数算出比例系数 $k$
q12	方法二：对数线性化多元回归	两边取对数把乘法变成加法，然后用多元线性回归同时估出 $k$、$\alpha$、$\beta$，顺便验证指数是否接近理论值 2 和 -2
q13	方法三：非线性最小二乘（最精确）	—非线性最小二乘（最精确）
q14	方法四：扩展修正模型	在间隙 $z$ 上加一个小修正量 $z_0$，变成 $F = k \cdot I^2/(z+z_0)^2$，用非线性拟合同时找最优的 $k$ 和 $z_0$
q2a	综合方法：scipy RK45 + 完整分析	用 scipy 内置的自适应步长求解器一键积分，顺手画出位移、间隙、速度、相空间、能量五张图做全套分析
q21	方法一：手动 RK4	自己手写 RK4 循环，每步用四个斜率加权平均往前推，是最经典的教科书做法
q22	方法二：scipy ODE45 自适应	让求解器自动判断每步该走多大，误差大就缩步、误差小就放步，精度有保证且不浪费计算量
q23	方法三：改进欧拉法（Heun法）vs 普通欧拉	先用欧拉预测下一步，再用预测值修正一次取平均，比纯欧拉精度高一阶，同时保留普通欧拉作误差对比
q24	方法四：矩阵指数法（半解析）	把线性部分写成矩阵，每步内把电磁力看成常数，直接用矩阵指数精确求解线性方程，不用迭代近似，理论上比 RK 更严格
q3a	综合方法：完整分析	用车体加速度直接反推弹簧力，再除以理想电磁力得到η，顺手画出η时程、分布、力对比、输入数据四张全套分析图
q31	方法一：准静态直接反解法	假设悬浮架"不动"，把两个方程合并成一个简单除法：η = 系统总重力需求 ÷ 理想电磁力
q32	方法二：完整动力学反解法	不偷懒，把悬浮架加速度也算进去，从间隙数据差分出$\ddot{z}_f$后联立两个方程一起反解η，顺便和准静态法做误差对比
q33	方法三：滑动窗口积分法	不逐点求导（噪声大），改成对一段时间窗口内的方程积分，用速度变化量和力的积分之比来估η，窗口越大噪声越小
q34	方法四：最小二乘统计估计法	把所有时刻的方程堆成一个大方程组，用最小二乘一口气求出最优η，同时给出置信区间和假设检验，最后把三种方法的结果放在一张图里对比
q4a	综合方法：完整分析	用车体加速度反推总体η时程，画出悬浮间隙、加速度、电流热图、力占比等全套分析图，给出系统级故障初判
q41	方法一：残差基础检验法	假设所有电磁铁都正常，算出"应该有多大力"，再和"实际有多大力"相减，残差持续偏大就说明系统整体有问题
q42	方法二：电流一致性横向比较法	正常情况下16台电磁铁应该"平均出力"，把每台电流平方占全部的比例算出来，谁长期偏高或偏低谁就有问题
q43	方法三：物理贡献度分析法	把"电磁力贡献占比"代替电流占比，偏差大的台标记为故障，还能根据偏差方向区分是功率突增还是衰减
q44	方法四：假设检验+变点检测法	用CUSUM统计量监控每台电流贡献是否在某时刻突然"跳变"，一旦累积和超过报警线就定位故障时间点，再用Pettitt检验验证显著性
q45	方法五：机器学习集成异常检测	用三种机器学习/统计方法各自给每台电磁铁打"是否异常"的标签，少数服从多数——至少两种方法都说有问题才最终判定为故障