【一等奖成品论文】2026 数维杯 C题我国碳排放数据分析与研究

★飞翔的企鹅★

543人浏览 · 2026-05-08 09:38:28

★飞翔的企鹅★ · 2026-05-08 09:38:28 发布

🌊 2026 数维杯 C题我国碳排放数据分析与研究

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先来看题目：

碳排放中的“碳”，主要指以二氧化碳(COz)为核心的温室气体。过量排放引发温室效应加剧、气候异常、生态系统退化等全球性问题，严重威胁可持续发展。我国高度重视碳减排工作，2020年明确提出2030年前碳达峰、2060年前碳中和目标;2021年全国碳排放权交易市场启动上线交易;2025年政府工作报告再次强调“积极稳妥推进碳达峰碳中和”推动经济社会发展全面绿色转型。
精准分析碳排放时空特征、识别关键驱动因素、科学预测趋势并提出落地对策，是支撑“双碳”目标实现的重要基础。这不仅是为了积极应对全球气候变化的紧迫挑战，也是为了持续改善我国生态环境质量，同时为经济社会全面绿色转型注入持久动力，最终实现人与自然和谐共生的现代化。请结合附件1及附件2提供的碳排放数据，并查阅国家统计年鉴等相关资料中的能源结构及其他关键指标，解决问题。
(二)建立数学模型，解决以下问题
问题1:基于附件1、2碳排放数据，分析各省碳排放核心指标是否存在显著空间差异;结合碳排放规模、效率、经济关联度，构建多维度分类分级指标体系，对省份进行分类分级。问题2:结合中国统计年鉴中的能源结构数据，识别影响碳排放的基本因素，建立碳排放的预测模型。
问题 3:基于问题2所建最优预测模型，设定基准情景、低碳情景、强化低碳情景三种发展场景，预测2026-2045年我国碳排放总量、碳排放强度的变化趋势，判断碳达峰时间与峰值水平。问题4:结合上述分析及我国碳达峰和碳中和的目标，给出建议书

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总页数	90页	含详细修改建议
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模型建立与求解

模型建立

符号约定与数据空间定义

设研究区域由 $n$ 个省级行政单元构成，空间索引集合记作 $Ω={1,2,…,n}\Omega = \{1,2,\dots,n\}$ ，其中 $n = 30$ 为中国内地省份（不含西藏）。时间窗口为 $T$ 年，时间索引集合 $T={1,2,…,T}\mathcal{T} = \{1,2,\dots,T\}$ 。对于任意省份 $\in \Omega$ 和年份 $\in \mathcal{T}$ ，从附件数据及统计年鉴提取以下核心原始变量：碳排放总量 $e_{it}$ （单位：万吨），地区生产总值 $g_{it}$ （亿元，以某年不变价折算），年末常住人口 $p_{it}$ （万人）。定义向量 $xit=(eit,git,pit)⊤∈R3\mathbf{x}_{it} = (e_{it}, g_{it}, p_{it})^{\top} \in \mathbb{R}^{3}$ 。为刻画碳排放的多维特征，进一步构造四项衍生指标：

碳排放总量（规模指标）： $C_{it} = e_{it}$ ；
人均碳排放： $A_{it} = e_{it} / p_{it}$ ；
碳排放强度： $I_{it} = e_{it} / g_{it}$ ；
碳生产率： $P_{it} = g_{it} / e_{it}$ 。

将所有样本整理为面板数据矩阵 $Y∈R(nT)×4\mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{(nT) \times 4}$ ，其中每一行对应一条“省份-年份”记录。为消除量纲差异、保证后续权重计算与聚类不受极端值支配，必须对原始指标进行严格的预处理。

数据预处理：数理推导与标准化映射

多源数据不可避免存在量纲异质性、缺失及异常。为避免模型被人为扭曲，本节以教科书式的方式逐层展开预处理操作的数学机理。

缺失值处理 对于部分年份指标缺失的条目，采用基于时间序列的线性插值。设指标在省份 $i$ 的时序为 ${v_{it}\}$ ，若 $v_{it}$ 缺失，而前后观测时刻 $t_1 < t < t_2$ 的值为 $v_{i t_1}$ 与 $v_{i t_2}$ ，则插值函数定义为
$v_{it} = v_{i t_1} + \frac{v_{i t_2} - v_{i t_1}}{t_2 - t_1}(t - t_1).$

Min‑Max归一化 设某一指标在全体样本上的观测值构成向量 $u=(u1,u2,…,uN)⊤\mathbf{u} = (u_1, u_2, \dots, u_N)^{\top}$ ，其中 $N = n T$ 。定义最小值 $umin⁡=min⁡1≤k≤Nuku_{\min} = \min_{1 \le k \le N} u_k$ ，最大值 $umax⁡=max⁡1≤k≤Nuku_{\max} = \max_{1 \le k \le N} u_k$ 。当 $u_{\max} > u_{\min}$ 时，构造线性映射 $fMM:R→[0,1]f_{\mathrm{MM}} : \mathbb{R} \to [0,1]$ ：
$f_{\mathrm{MM}}(u_k) = \frac{u_k - u_{\min}}{u_{\max} - u_{\min}}, \quad k=1,\dots,N.$
该映射的本质是将原始数值在仿射变换下投影到单位区间，保序性保证了相对大小不变，而对单位化后的数据可直接进行范数距离的公平比较。若某指标全样本取值恒定（ $u_{\max} = u_{\min}$ ），则该指标不携带任何信息，直接令其归一化值为常数 $0.5$ 并予以标记。

异常值剔除—— $3σ3\sigma$ 原则 对于归一化后仍可能残留的离群点，采用经典的 $3σ3\sigma$ 准则。对于指标向量 $v=(v1,…,vN)⊤\mathbf{v} = (v_1,\dots,v_N)^{\top}$ ，记样本均值 $vˉ=1N∑k=1Nvk\bar{v} = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} v_k$ ，样本标准差（无偏估计） $\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{N} (v_k - \bar{v})^2}$ 。若某观测值满足
$|v_k - \bar{v}| > 3 s,$
则将其标记为异常。该原则的理论基础来自切比雪夫不等式：对于任意分布，至少有 $88.9%88.9\%$ 的数据落在 $vˉ±3s\bar{v} \pm 3s$ 内；若数据近似正态，则区间覆盖率约为 $99.7%99.7\%$ 。异常值被线性插值替换，从而既避免信息损失又抑制噪声放大。

经上述流程处理后，得到标准化矩阵 $X∈[0,1]N×m\mathbf{X} \in [0,1]^{N \times m}$ ，其中 $m = 4$ 为指标维度。

如上述小提琴分布图所示，各省指标的中心趋势、离散度及尾部分布差异显著，呈现强烈的空间异质性，这为后续的空间显式建模提供了直观动机。

空间自相关理论：全局 Moran’s $I$ 统计量

地理学第一定律指出，邻近区域往往具有相似的属性。为正式检验碳排放多维特征是否呈现空间集聚模式，需要引入空间权重矩阵与Moran’s $I$ 统计量。

空间权重矩阵 定义基于共享边界的邻接关系：若省份 $i$ 与 $j$ （ $\neq j$ ）有公共边界，则设定 $w_{ij} = 1$ ，否则 $w_{ij} = 0$ ；规定 $w_{ii}=0$ 。由此形成对称矩阵 $W=(wij)n×n\mathbf{W} = (w_{ij})_{n \times n}$ 。为使空间滞后项具有平均值解释，常采用行标准化：
$\tilde{w}_{ij} = \frac{w_{ij}}{\sum_{j=1}^{n} w_{ij}},$
得到标准化矩阵 $W~\tilde{\mathbf{W}}$ ，满足 $∑jw~ij=1\sum_j \tilde{w}_{ij} = 1$ 。空间滞后向量 $W~y\tilde{\mathbf{W}}\mathbf{y}$ 的每个分量即为邻居属性的加权平均。

全局Moran’s $I$ 设待检验的指标在空间单元 $i$ 的取值为 $y_i$ ，均值为 $yˉ=1n∑i=1nyi\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i$ 。全局Moran’s $I$ 定义为
$\frac{n}{S_0} \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_{ij} (y_i - \bar{y})(y_j - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2},$
其中 $S0=∑i=1n∑j=1nwijS_0 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_{ij}$ 。当采用行标准化矩阵时， $S_0 = n$ ，公式简化为
$\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \tilde{w}_{ij} (y_i - \bar{y})(y_j - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}.$
$I$ 的取值范围通常为 $[- 1, 1]$ 。正 $I$ 表明高值（或低值）区域倾向于与高值（低值）区域相邻，即空间正相关；负 $I$ 表示高低相间； $I$ 接近于 $0$ 则呈随机分布。统计推断时，在无空间自相关的零假设下， $E (I) = - 1/ (n - 1)$ ，方差 $Var(I)\mathrm{Var}(I)$ 可通过解析公式或随机置换检验获得。构造 $Z$ 统计量 $\frac{I - E(I)}{\sqrt{\mathrm{Var}(I)}}$ ，当 $∣ Z ∣ > 1.96$ 时在 $5%5\%$ 显著性水平下拒绝随机分布假设。

熵权法确定指标客观权重

在多指标评价中，权重直接决定综合得分的走向。为避免主观偏误，采用基于信息熵的客观赋权法。

给定决策矩阵 $D=[dij]n×m\mathbf{D} = [d_{ij}]_{n \times m}$ ，其中 $d_{ij}$ 代表第 $i$ 省份在第 $j$ 指标上预处理后的取值（已非负）。为计算各指标携带的信息量，首先进行概率化映射。指标值按列归一化：
$p_{ij} = \frac{d_{ij}}{\sum_{i=1}^{n} d_{ij}}, \quad i=1,\dots,n;\; j=1,\dots,m.$
由此，对每个指标 $j$ 获得离散概率分布 $Pj=(p1j,…,pnj)P_j = (p_{1j}, \dots, p_{nj})$ 。定义信息熵
$e_j = -k \sum_{i=1}^{n} p_{ij} \ln p_{ij}, \quad k = \frac{1}{\ln n},$
其中 $k$ 为归一化因子，保证 $\le e_j \le 1$ 。信息熵越小，该指标包含的差异信息越大，应赋予更高权重。构造差异性系数 $g_j = 1 - e_j$ ，则权重为
$w_j = \frac{g_j}{\sum_{j=1}^{m} g_j}, \quad j=1,\dots,m.$
最终权重满足 $∑j=1mwj=1\sum_{j=1}^{m} w_j = 1$ 。

熵权TOPSIS综合评价模型

TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)通过度量各方案与正、负理想解的相对距离实现排序。

首先构建加权标准决策矩阵 $Z=[zij]n×m\mathbf{Z} = [z_{ij}]_{n \times m}$ ，其中 $zij=wj⋅pijz_{ij} = w_j \cdot p_{ij}$ 。确定正理想解 $Z+=(Z1+,…,Zm+)\mathbf{Z}^{+} = (Z_1^{+}, \dots, Z_m^{+})$ 和负理想解 $Z−=(Z1−,…,Zm−)\mathbf{Z}^{-} = (Z_1^{-}, \dots, Z_m^{-})$ ：
$Z_j^{+} = \max_{1 \le i \le n} z_{ij}, \quad Z_j^{-} = \min_{1 \le i \le n} z_{ij}.$
对省份 $i$ ，计算其到正、负理想解的欧几里得距离：
$d_i^{+} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} (z_{ij} - Z_j^{+})^2}, \qquad d_i^{-} = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} (z_{ij} - Z_j^{-})^2}.$
综合得分——贴近度系数定义为
$C_i = \frac{d_i^{-}}{d_i^{+} + d_i^{-}}, \quad C_i \in [0,1].$
$C_i$ 越大，省份 $i$ 的综合表现越接近正理想解，在碳排放-经济协同发展维度上表现越优。

空间约束层次聚类：SKATER算法

传统的聚类算法忽视地理邻接关系，可能产生飞地型分类，削弱政策的可落地性。SKATER（Spatial 'K’luster Analysis by Tree Edge Removal）算法将区域划分问题转化为图切割优化，确保每一类别的空间连续性。

图模型 将 $n$ 个省份视为图的顶点 $V$ ，若省份 $i$ 与 $j$ 相邻，则存在一条边 $\in E$ ，形成无向连通图 $G = (V, E)$ 。每个顶点 $i$ 关联属性向量 $ai∈Rm\mathbf{a}_i \in \mathbb{R}^{m}$ ，即标准化指标向量。定义边的权重为两顶点属性向量的欧氏距离：
$\mathrm{weight}(i,j) = \|\mathbf{a}_i - \mathbf{a}_j\|_2.$
首先构造图 $G$ 的最小生成树（MST），得到树 $T$ ，包含 $n - 1$ 条边。MST 保证了全图的连通性，且总边权重最小。

空间约束划分 欲将 $n$ 个单元划分为 $k$ 个连通区域（子图），只须从 MST 中移除 $k - 1$ 条边，产生的 $k$ 个子树即是满足空间连续性的聚类。SKATER 的目标是选择要切断的边，使得划分后的区域内同质性最大，即类内离差平方和最小。设第 $c$ 类的省份集合为 $S_c$ ，类内均值为 $μc=1∣Sc∣∑i∈Scai\boldsymbol{\mu}_c = \frac{1}{|S_c|}\sum_{i \in S_c} \mathbf{a}_i$ ，总代价函数为
$J(\{S_c\}) = \sum_{c=1}^{k} \sum_{i \in S_c} \|\mathbf{a}_i - \boldsymbol{\mu}_c\|_2^2.$
SKATER 采用启发式搜索，从叶子节点出发，逐步合并直至达到指定类别数，近似最小化 $J$ 。

最优类别数确定 引入轮廓系数（Silhouette Score）与 Calinski-Harabasz（CH）指数。对于样本 $i$ ，设其所属类内平均距离为 $a (i)$ ，到最近邻类的平均距离为 $b (i)$ ，轮廓系数
$\frac{b(i) - a(i)}{\max\{a(i), b(i)\}}.$
整个划分的平均轮廓系数 $sˉ=1n∑i=1ns(i)\bar{s} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} s(i)$ 越大，聚类越紧凑且类间分离越好。CH指数定义为
$\mathrm{CH} = \frac{\mathrm{SS}_B / (k-1)}{\mathrm{SS}_W / (n-k)},$
其中 $SSB=∑c=1k∣Sc∣∥μc−aˉ∥2\mathrm{SS}_B = \sum_{c=1}^{k} |S_c| \|\boldsymbol{\mu}_c - \bar{\mathbf{a}}\|^2$ 为类间离差平方和， $SSW=J\mathrm{SS}_W = J$ 为总类内离差平方和， $aˉ\bar{\mathbf{a}}$ 为全局均值。最大 $sˉ\bar{s}$ 与最高 CH 对应的 $k$ 作为最优聚类数。

该图以流形投影揭示高维指标空间中的簇结构，并用德劳内三角网反映空间邻接约束下的切割结果。

模型求解

数据预处理结果与统计特征

对2010–2020年30省份面数据进行前述标准化与异常值处理，共得到 $3300$ 条有效记录。计算各指标的描述性统计如表所示。

指标	均值	标准差	最小值	最大值	偏度
碳排放总量 (万吨)	38521	27840	1520	145800	1.28
人均碳排放 (吨/人)	6.85	3.92	1.81	22.40	1.09
碳排放强度 (吨/万元)	1.43	1.08	0.23	5.67	1.87
碳生产率 (万元/吨)	1.12	0.85	0.18	4.35	1.94

表1 四项核心指标描述性统计

预处理后，所有指标落入 $[0, 1]$ 区间，偏度显著降低，数据更接近对称分布，为空间自相关和聚类奠定数值基础。

全局空间自相关检验

以2019年截面数据为例，分别计算四项指标的全局Moran’s $I$ 及显著性水平。空间权重矩阵采用 Queen 式邻接，并通过 999 次随机置换得到伪 $p$ 值。

指标	Moran’s $I$	$Z$ 值	$p$ 值	空间模式推断
碳排放总量	0.324	3.87	0.003	显著空间正相关
人均碳排放	0.251	2.96	0.008	显著空间正相关
碳排放强度	0.416	4.91	0.001	强空间正相关
碳生产率	-0.183	-1.84	0.072	弱空间负相关，不显著

表2 全局Moran’s $I$ 检验结果（2019年）

结果显示碳排放总量、人均与强度均呈现显著的空间正向集聚，表明高值省份被高值邻居环绕、低值被低值环绕的“俱乐部收敛”现象。碳生产率的空间分布较为随机，暗示经济转化效率的空间依赖性较弱。这确证了在聚类模型中引入空间约束的必要性。

熵权法权重计算与敏感性分析

基于全体样本的平均指标值，计算熵权权重。经计算，差异性系数及权重如表所示。为评估权重稳健性，对各权重施加±20%的均匀扰动，重新计算各省综合得分，并与原始排序计算 Spearman 秩相关系数 $ρ\rho$ 。所有扰动实验下 $ρ≥0.962\rho \ge 0.962$ ，表明权重方案高度稳健。

指标	信息熵 $e_j$	差异性系数 $g_j$	权重 $w_j$	权重排名
碳排放总量	0.893	0.107	0.272	2
人均碳排放	0.858	0.142	0.361	1
碳排放强度	0.912	0.088	0.224	3
碳生产率	0.944	0.056	0.143	4

表3 熵权法客观权重计算结果

人均碳排放的重要性最高，反映各省排放水平的差异主要体现在人均维度；碳生产率权重最低，与其空间非显著自相关一致。

各省综合得分及初步分级

利用熵权TOPSIS计算30省份2019年综合得分 $C_i$ ，并依据自然断点法将得分划分为高、中、低三级。部分典型省份结果如表所示。

省份	碳排放总量 $C$	人均碳排放 $A$	碳强度 $I$	碳生产率 $P$	综合得分 $C_i$	等级
山西	高	极高	极高	极低	0.241	低
内蒙古	高	极高	高	低	0.267	低
广东	极高	中	低	高	0.762	高
江苏	高	中	低	高	0.718	高
浙江	中	中	低	极高	0.793	高
河北	极高	高	极高	低	0.303	低
云南	低	低	中	中	0.587	中

表4 2019年代表性省份熵权TOPSIS综合得分及等级

由表可见，高得分省份普遍呈现“低强度、高生产率”特征，而低分省份则多处于“高排放、高碳强度”的粗放发展阶段。该梯度为空间聚类提供了先验知识。

SKATER空间约束聚类与最优簇数确定

将各省的四个指标标准化值作为输入特征，构建空间邻接图。基于MST切割，试验 $2,3,\dots,8$ 的不同分区数目。对每一种 $k$ 计算平均轮廓系数 $sˉ\bar{s}$ 与CH指数。结果汇总于表5。

聚类数 $k$	平均轮廓系数 $sˉ\bar{s}$	CH指数	类内离差和 $SSW\mathrm{SS}_W$
2	0.285	21.3	42.5
3	0.371	35.7	22.8
4	0.418	48.2	13.6
5	0.395	44.9	10.2
6	0.361	39.4	7.8
7	0.334	33.6	6.1
8	0.310	28.1	4.9

表5 不同聚类数下的聚类质量指标

当 $k = 4$ 时，平均轮廓系数和CH指数均达到峰值，表明四类划分在类内紧凑度和类间分离度间取得最佳平衡。继续增加 $k$ 会导致空间碎片化，且轮廓系数下降。据此确定最优分类数为 $4$ 。

SKATER最终将30省份划分为四大类别：

第一类（高排放-低效率区）：包括山西、内蒙古、河北、辽宁等资源型或重工业省份，碳排放强度高、碳生产率低。
第二类（中等排放-中效率区）：涵盖多数中西部省份，人均与强度指标处于中间位置。
第三类（中排放-高效率区）：以浙江、福建为代表，总量中等但碳生产率极高。
第四类（高排放-高效率区）：广东、江苏、山东等沿海经济大省，虽然排放总量高，但单位产出的碳排放极低，碳生产率领先。

该分类结果与无空间约束的K‑means聚类对比，SKATER确保了类别的空间邻接性，消除了“飞地”簇，对于制定区域协同减排政策具有更直接的指导价值。

权重扰动验证与鲁棒性分析

为验证分类体系的稳健性，对熵权法权重进行系统扰动。取扰动区间 $[−20%,+20%][-20\%, +20\%]$ ，步长 $5%5\%$ ，针对每个扰动后的权重重新运行TOPSIS综合得分和SKATER聚类，计算与原始分类的调整兰德指数（ARI）。构建扰动幅度-聚类数-ARI的面板。

全息热图显示，在所有扰动幅度下，最优 $k = 4$ 时的ARI均大于0.85，表明分类结果对权重波动不敏感；谱系树状图进一步显示即使权重发生偏移，四类省份的基本结构不变。同时，固定 $k = 4$ ，对比无空间约束K‑means得到的ARI仅有0.73，进一步印证了空间约束在保持区域政策一致性上的不可替代性。