摘要：LightPipes实现了基于Airy函数的一维和二维Airy光束模型。一维Airy光束光场分布为$F(x)=Ai(x/x0)e^{ax}$，传播时呈现弯曲特性；二维Airy光束在x和y方向均服从Airy函数分布$F(x,y)=Ai(x/x0)Ai(y/y0)e^{a1x+a2y}$。文章通过Python代码示例展示了两种光束的生成和传播特性，并给出了相应的光强分布图。AiryBeam1D和AiryBeam2D函数分别用于创建一维和二维Airy光束，可指定尺度参数和衰减系数。

Airy函数

LightPipes中封装了一维和二维的Airy光束模型，是一种不沿着直线传播的光束模型，因其光场分布为Airy函数，故而得名。

Airy函数是二阶线性微分方程$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-xy=0$的有界解，其积分表达式为

$$\mathrm{Ai}(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\cos (\frac{t^3}{3}+xt)\mathrm{d}t$$

其级数展开为

$$\mathrm{Ai}(x)=\frac{1}{3^{\frac{2}{3}}\Gamma (\frac{2}{3})}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}(\frac{3^{1/3}x}{1}{)}^{3k}\Gamma (k+\frac{1}{3})\sin (\frac{2(1-k)\pi }{3})+\cdots$$

一维

一维Airy光束在$z=0$处的光场分布为

$$F(x,y,z=0)=\mathrm{Ai}(\frac{x}{x_0})e^{ax}$$

其传播过程如图所示

其中，$z$为光场传播方向，$x$方向是光场分布方向，如图可知，光束在沿$z$方向传播过程中发生了弯曲。

绘图代码如下

from LightPipes import *
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

wavelength = 2.3*um
size = 30*mm
N = 500
N2=N//2
x0=0.3*mm
a=0.1/mm
dz=1.25*cm
NZ=200

F0=Begin(size,wavelength,N)
F0=AiryBeam1D(F0,x0=x0, a=a)
Ix=np.zeros(N)
for k in range(0,NZ):
    F=Forvard(F0,dz*k)
    I=Intensity(F)
    Ix=np.vstack([Ix,I[N2]])

plt.imshow(Ix, extent=[-size/2/mm, size/2/mm, 0, NZ*dz/cm], aspect=0.08, origin='lower', cmap='jet')
plt.xlabel('x [mm]')
plt.ylabel('z [cm]')
plt.show()

【AiryBeam1D】即为一维Airy光束函数，其参数分别是输入光场、$x$方向的尺度以及Airy函数的参数$a$。

二维Airy光束

二维Airy光束即两个方向均服从Airy函数，其光场分布为

$$F(x,y,z=0)=\mathrm{Ai}(\frac{x}{x_0})\mathrm{Ai}(\frac{x}{y_0})e^{a_{1}x+a_{2}y}$$

其传播图像为

其$x,y$轴分别为光场分布方向。绘图代码如下

wavelength = 2.3*um
size = 30*mm
N = 500
x0=y0=1*mm
a1=a2=0.1/mm
z=900*cm

F0=Begin(size,wavelength,N)
F0=AiryBeam2D(F0,x0=x0, y0=y0, a1=a1, a2=a2)
F=Fresnel(F0,z)
I=Intensity(F)
ext = [-size/2/mm, size/2/mm, -size/2/mm, size/2/mm]
plt.imshow(I, extent=ext, origin='lower', cmap='jet')
plt.title('2D Airy beam')
plt.xlabel('x [mm]')
plt.ylabel('y [mm]')
plt.show()

【AiryBeam2D】即为二维Airy光束的生成函数，相当于在$x,y$方向分别指定了范围以及Airy函数参数。函数签名如下

AiryBeam2D(Fin, x0=0.001, y0=0.001, a1=100, a2=100)

• Fin (Field) – 输入光场
• x0 (int, float) – x方向尺寸，默认1mm
• y0 (int, float) – y方向尺寸，默认1mm
• a1 (int, float) – $a_1$
• a2 (int, float) – $a_2$