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先来看题目：

煤矿巷道是矿井高效安全生产的重要咽喉工程,巷道围岩支护是防止顶板垮塌以及保障设备正常运行的重要手段。在众多支护技术中，锚杆支护凭借其施工便捷、适应性强和经济高效等优势，在巷道支护中扮演着不可替代的作用，并且在岩土工程、人防工程、桥梁隧道、城市地铁等领域也有着广泛的应用。
锚杆的支护原理是通过拧紧锚杆尾端螺母施加预紧力矩,经由螺纹传动转化为沿杆体轴向的预紧力，进而使围岩由二向受力状态转化为三向受力状态，实现主动支护(如图1所示)。在工程实践中，一般认为预紧力矩越高，预紧力越大，支护效果越好。然而，预紧力矩与预紧力之间的转换并非简单的线性关系，还受螺纹间隙、接触面状态、围岩性质等多种因素的影响。因此，深入研究预紧力矩与预紧力的转换机制，对于实现巷道科学支护具有重要意义
《煤矿预应力锚固施工技术规范》中虽规定初始预紧力矩应不低于 150 Nm,但在实际操作中，往往出现预紧力矩达标而预紧力不足的低效支护现象:或者在松软煤体中，因盲目追求高力矩导致托盘及螺母钻入煤体影响支护效果(如图2所示)。如何精准建立预紧力矩与预紧力的转换模型，揭示不同界面条件下的影响规律,并据此确定临界预紧力矩以获得最优施工参数，是实现巷道支护智能化、绿色化的关键科学问题

📈 成品数据一览表

维度	数据详情	备注
总页数	90页	含详细修改建议
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建模准备与分析

设锚杆装配过程的状态空间由扭矩 $T\in {\mathbb{R}}^{+}$、预紧力 $P\in {\mathbb{R}}^{+}$ 与公称直径 $d\in {\mathbb{R}}^{+}$ 张成，对应第 $i$ 次测量的数据点 ${\mathbf{x}}_i=(T_i,P_i,d_i{)}^{\top }$ 来自高维观测流形 $\mathcal{M}\subset {\mathbb{R}}^3$。试验数据由三张表构成：表 1 给出不同直径下离散扭矩–预紧力配对点，表 2 与表 3 则记录了连续加载过程中的 $T$–$P$ 时程序列。原始数据中存在由传感器瞬态冲击、螺纹局部塑性变形以及电磁干扰引发的离群观测，这些污染点会严重扭曲后续相态转变推断与扭矩系数 $K(d)$ 的识别精度，因此必须进行严格的多层预处理。

记数据集 D={xi}i=1N\mathcal{D} = \{ \mathbf{x}_i \}_{i=1}^ND={xi​}i=1N​，其中每个样本的邻域由距离度量 $d({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=\Vert {\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_j{\Vert }_2$ 定义。对于给定近邻数 $k$，定义点 ${\mathbf{x}}_i$ 的 $k$-邻近距离 $k\text{-dist}({\mathbf{x}}_i)$ 为其到第 $k$ 近邻的欧氏距离，进而可构造局部可达密度

lrdk(xi)=(1k∑xj∈Nk(xi)max⁡{k-dist(xj),d(xi,xj)})−1, lrd_k(\mathbf{x}_i) = \left( \frac{1}{k} \sum_{\mathbf{x}_j \in N_k(\mathbf{x}_i)} \max\{ k\text{-dist}(\mathbf{x}_j), d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) \} \right)^{-1}, lrdk​(xi​)= ​k1​xj​∈Nk​(xi​)∑​max{k-dist(xj​),d(xi​,xj​)} ​−1,

其中 $N_k({\mathbf{x}}_i)$ 为 ${\mathbf{x}}_i$ 的 $k$ 近邻集合。由此导出局部离群因子

$$LO{F}_k({\mathbf{x}}_i)=\frac{\frac{1}{k}{\sum }_{{\mathbf{x}}_j\in N_k({\mathbf{x}}_i)}lr{d}_k({\mathbf{x}}_j)}{lr{d}_k({\mathbf{x}}_i)}.$$

若 $LO{F}_k({\mathbf{x}}_i)\gg 1$，则表明该点所处区域密度显著低于其邻域，为潜在离群点。为降低 $k$ 值选取的主观性，以 k∈{10,15,20,25}k \in \{10, 15, 20, 25\}k∈{10,15,20,25} 计算 LOF，并对其取几何均值 $\overline{LOF}({\mathbf{x}}_i)=({\prod }_{k}LO{F}_k({\mathbf{x}}_i){)}^{1/4}$，仅当 $\overline{LOF}({\mathbf{x}}_i)$ 超过分位数阈值 $Q_3+1.5\times IQR$（即箱线图常规判别）时，该观测被标记并剔除。箱线图法基于四分位距 $IQR=Q_3-Q_1$，其统计功效来源于次序统计量的稳健性，即使在重尾分布下仍能有效隔离系统性偏差点。

不同公称直径 $d$ 会导致扭矩–预紧力关系发生量级漂移，形成直径尺度的混杂效应。为消除此类异方差性，须将数据投影至无量纲特征空间。设直径组别 g∈{1,…,G}g \in \{1, \dots, G\}g∈{1,…,G}，每组内样本下标集为 ${\mathcal{I}}_g$。定义组内均值向量与标准差向量：

$${\mathbf{\mu }}_g=\frac{1}{|{\mathcal{I}}_g|}\sum _{i\in {\mathcal{I}}_g}{\mathbf{x}}_i,{\mathbf{\sigma }}_g=\sqrt{\frac{1}{|{\mathcal{I}}_g|-1}\sum _{i\in {\mathcal{I}}_g}({\mathbf{x}}_i-{\mathbf{\mu }}_g)\odot ({\mathbf{x}}_i-{\mathbf{\mu }}_g)},$$

其中 $\odot$ 表示逐元素乘法。耦合归一化映射 $\Phi :{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ 定义为

$${\mathbf{z}}_i=\Phi ({\mathbf{x}}_i;g)=({\mathbf{x}}_i-{\mathbf{\mu }}_g)\oslash {\mathbf{\sigma }}_g,$$

$\oslash$ 为逐元素除法。映射后特征在每组内均服从标准化的各向同性分布，使得后续分段线性模型中的直径随机效应仅作用于斜率尺度，而不会被原始量纲差异所淹没。

表 2 与表 3 的连续加载序列本质上为采样自连续物理过程的离散信号 $T(t_{\ell }),P(t_{\ell })$，其中 $\ell$ 为时间戳索引。考虑测量噪声 $ϵ\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }_{ϵ}^2)$ 的叠加作用，真实信号 $f(t)$ 满足 $y_{\ell }=f(t_{\ell })+{ϵ}_{\ell }$。采用滑动窗口 Savitzky–Golay 滤波器进行局部多项式回归，等价于在窗口宽 $2m+1$ 内最小化加权残差平方和：

$$\underset{\mathbf{a}}{\min }\sum _{j=-m}^m{w}_j{\left(y_{\ell +j}-\sum _{r=0}^R{a}_r(\Delta t\cdot j{)}^r\right)}^2,$$

其中 $R$ 为多项式阶数，窗口权重 $w_j$ 取为局部对称权重。由正规方程 ${\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{WAa}={\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{W}{\mathbf{y}}_{\ell }$ 求解系数向量 $\mathbf{a}$，从而得到去噪后的值 ${\hat{y}}_{\ell }=a_0$。完成去噪后，以扭矩信号的峰值点为基准，采用动态时间规整算法对齐 $T(t)$ 与 $P(t)$ 的时间戳，使得不同实验中的加载历程在相同预紧力水平处形成一一对应的相点。

模型建立

扭矩–预紧力关系在整个装配过程中呈现显著的非线性–线性相态转变：初期由于螺纹副接触、表面粗糙峰塑性压平以及润滑膜挤压，$T$–$P$ 曲线弯曲上升；当接触状态趋于稳定后，关系转变为近似的线性库仑摩擦加几何螺旋约束，此时简化为经典公式 $T=KdP$。据此，以预紧力为连续自变量，扭矩为响应变量，设定单一变点 $\tau \in \mathcal{P}$，将定义域 $[P_{\min },P_{\max }]$ 划分为非线性区 ${\mathcal{R}}_1=[P_{\min },\tau )$ 与线性区 ${\mathcal{R}}_2=[\tau ,P_{\max }]$。

在非线性区，采用三次自然样条基函数展开描述其高度柔性的响应曲面：

$$f_1(P)=\sum _{j=1}^J{\beta }_j{B}_j(P),P\in {\mathcal{R}}_1,$$

其中 {Bj(P)}j=1J\{B_j(P)\}_{j=1}^J{Bj​(P)}j=1J​ 为在节点序列 ${\xi }_1<{\xi }_2<\cdots <{\xi }_H$ 上构造的三次 B 样条基，$J=H+2$。该展开使得 ${\nabla }_P{f}_1(P)$ 连续可微，保证扭矩–预紧力曲线的物理光滑性。

线性区则引入直径依赖的随机斜率：

$$f_2(P;d)=\alpha +K(d)\cdot P,P\in {\mathcal{R}}_2,$$

其中扭矩系数 $K(d)$ 被视为直径的函数，并带有随机效应。定义 $K(d)={\mu }_K+u(d)$，${\mu }_K$ 为总体均值，$u(d)\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }_u^2)$ 捕捉各直径组偏离总体均值的异质性。将 $d$ 视为分类变量后，等效于在 $G$ 个直径水平上分别放置随机截距，构成线性混合效应模型的方差分量结构。

整体分段函数写作：

$$T(P;\mathbf{\theta },\tau )=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^J{\beta }_j{B}_j(P),& P<\tau ,\\ \alpha +K(d)\cdot P,& P\ge \tau ,\end{array}$$

模型参数向量 $\mathbf{\theta }=(\mathbf{\beta },\alpha ,{\mu }_K,{\sigma }_u^2,{\sigma }_{ϵ}^2{)}^{\top }$，其中 ${\sigma }_{ϵ}^2$ 为观测误差的方差。变点 $\tau$ 本身也被视作随机变量，具有先验分布 $\pi (\tau )$。

给定 $N$ 个独立观测 $\{(P_i,T_i,d_i){\}}_{i=1}^N$，在已知 $\tau$ 和参数 $\mathbf{\theta }$ 的条件下，似然函数为

$$\mathcal{L}(\mathbf{T}\mid P,d,\mathbf{\theta },\tau )=\prod _{i=1}^N\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{ϵ}^2}}\exp \left(-\frac{(T_i-f(P_i;\mathbf{\theta },\tau ){)}^2}{2{\sigma }_{ϵ}^2}\right).$$

取对数后，等价于最小化残差平方和

$$\ell (\mathbf{\theta },\tau )=-\frac{N}{2}\log (2\pi {\sigma }_{ϵ}^2)-\frac{1}{2{\sigma }_{ϵ}^2}\sum _{i=1}^N{\left(T_i-f(P_i;\mathbf{\theta },\tau )\right)}^2.$$

依据贝叶斯分层建模原则，各参数需配备适当先验。样条系数 $\mathbf{\beta }$ 受到 $L_2$ 正则化惩罚，即高斯先验 $\mathbf{\beta }\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }_{\beta }^2\mathbf{I})$，等价于在损失函数中引入 Tikhonov 罚项 $\lambda \Vert \mathbf{\beta }{\Vert }_2^2$。截距 $\alpha$ 和总体平均系数 ${\mu }_K$ 采用弱信息正态先验 $\mathcal{N}(0,10^4)$。方差参数 ${\sigma }_u^2$ 和 ${\sigma }_{ϵ}^2$ 则指定为共轭的逆 Gamma 分布：

$${\sigma }_u^2\sim \text{IG}(a_u,b_u),{\sigma }_{ϵ}^2\sim \text{IG}(a_{ϵ},b_{ϵ}),$$

超参数 $a_u,b_u,a_{ϵ},b_{ϵ}$ 均取小值（如 0.001）以构造近无信息先验。变点 $\tau$ 的先验设置为定义域上的均匀分布 $\tau \sim \text{Uniform}(P_{\min },P_{\max })$，体现对相态转变位置的无偏好假设。

由贝叶斯定理，联合后验密度为

$$\pi (\mathbf{\theta },\tau \mid \mathbf{T})\propto \mathcal{L}(\mathbf{T}\mid P,d,\mathbf{\theta },\tau )\pi (\mathbf{\beta })\pi (\alpha )\pi ({\mu }_K)\pi ({\sigma }_u^2)\pi ({\sigma }_{ϵ}^2)\pi (\tau ).$$

核心推断目标包括：

• 变点位置 $\tau$ 的后验分布 $\pi (\tau \mid \mathbf{T})$，其峰值指示最可能发生相态转变的预紧力值，而密度分布宽度反映不确定性。
• 线性段扭矩系数 $K$ 的总体均值后验 $\pi ({\mu }_K\mid \mathbf{T})$ 与各直径组的后验估计 $K(d)={\mu }_K+u(d)$ 的联合分布 $\pi (K(d)\mid \mathbf{T})$，为工程应用提供带有置信区间的扭矩系数。
• 分段模型的整体拟合优度及预测能力，通过后验预测分布 $p(T_{\text{new}}\mid \mathbf{T})$ 评估。

值得注意的是，随着变点 $\tau$ 的改变，分段函数形式及对应的参数维度会发生变化：非线性区的样条基数量取决于 $\tau$ 相对于节点的位置，而线性区的截距 $\alpha$ 须满足分段连续性约束 $f_1(\tau )=f_2(\tau )$，由此消去 $\alpha$。这种维度可变性使得传统固定维度的 MCMC 方法失效，因而引入可逆跳转 MCMC（RJ-MCMC）来同时探索不同模型空间。

模型求解与结果分析

由于变点 $\tau$ 的位置变化会导致样条基承接的 $\mathbf{\beta }$ 维度发生变化，采样器必须在不同维度的参数空间之间跳转。设当前状态为 $(\mathbf{\theta },\tau )$，候选跳转类型包括：

• 更新 $\mathbf{\theta }$：固定 $\tau$ 下，利用 Gibbs 采样依次抽取各分量的全条件分布。其中 $\mathbf{\beta }$ 的全条件为多元正态分布 $\mathcal{N}({\mathbf{m}}_{\beta },{\mathbf{\Sigma }}_{\beta })$，可通过对带有 $L_2$ 罚项的岭回归正规方程求逆得到解析形式；方差 ${\sigma }_{ϵ}^2$ 的全条件为逆 Gamma 分布 $\text{IG}(a_{ϵ}+N/2,b_{ϵ}+\frac{1}{2}{\sum }_i{\text{残差}}^2)$；${\sigma }_u^2$ 的全条件则依赖于组级随机效应 $u$ 的平方和。
• 变点转移：对 $\tau$ 施加随机游走提议 $q({\tau }^{\prime }\mid \tau )$，如截断正态 ${\mathcal{N}}_{[P_{\min },P_{\max }]}(\tau ,{\sigma }_{\tau }^2)$。由于移动 $\tau$ 可能改变线性与非线性区的样本分配，部分样条基函数会被添加或删除，此时需采用可逆跳转的出生–死亡策略：根据新的 ${\tau }^{\prime }$ 确定所需样条基集合，对增加的系数从建议分布 $q({\beta }_{\text{new}})$ 中抽取，对删减系数则执行相反的逆映射，并计算雅可比行列式修正接受概率。

具体地，从状态 $(\mathbf{\theta },\tau )$ 提议至 $({\mathbf{\theta }}^{\prime },{\tau }^{\prime })$ 的接受概率为

$$A=\min \left\{1,\frac{\pi ({\mathbf{\theta }}^{\prime },{\tau }^{\prime }\mid \mathbf{T})}{\pi (\mathbf{\theta },\tau \mid \mathbf{T})}\cdot \frac{q(\tau \mid {\tau }^{\prime })}{q({\tau }^{\prime }\mid \tau )}\cdot \frac{q({\mathbf{\beta }}_{\text{rem}})}{q({\mathbf{\beta }}_{\text{add}})}\cdot |\mathbf{J}|\right\},$$

其中 $|\mathbf{J}|$ 为维度匹配变换的雅可比行列式。该方案确保了采样器在模型空间中的细致平衡。

Gibbs 采样器内部各参数更新的详细步骤：

1. 固定当前的 $\tau$ 以及组级效应 $u(d)$，构造设计矩阵 ${\mathbf{X}}_1$ 和 ${\mathbf{X}}_2$ 分别对应非线性区与线性区的基函数。非线性区使用 B 样条基矩阵 ${\mathbf{B}}_{\tau }$，线性区使用预紧力向量 ${\mathbf{p}}_{\tau }$ 配合组标识扩展阵 $\mathbf{Z}$ 实现随机效应。整合后的混合效应模型表示为

   $$\mathbf{T}={\mathbf{B}}_{\tau }\mathbf{\beta }+{\mathbf{p}}_{\tau }\alpha +{\mathbf{p}}_{\tau }\odot (\mathbf{Zu})+\mathbf{ϵ},$$

   利用 Henderson 混合模型方程一次性求解固定效应 $[\mathbf{\beta },\alpha ,{\mu }_K{]}^{\top }$ 和随机效应 $\mathbf{u}$ 的联合后验均值与方差，从而直接采样。

2. ${\sigma }_{ϵ}^2$ 的全条件为

   $${\sigma }_{ϵ}^2\mid \text{其余}\sim \text{IG}\left(a_{ϵ}+\frac{N}{2},b_{ϵ}+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N(T_i-f(P_i){)}^2\right).$$

3. ${\sigma }_u^2$ 的全条件依赖于组数 $G$：

   $${\sigma }_u^2\mid \mathbf{u}\sim \text{IG}\left(a_u+\frac{G}{2},b_u+\frac{1}{2}{\mathbf{u}}^{\top }\mathbf{u}\right).$$

4. 变点 $\tau$ 的更新按 Metropolis–Hastings 步骤执行：提出 ${\tau }^{\prime }$ 后，重新构造设计矩阵，计算似然比与先验比，若接受则同时更新所有受影响参数。

采样链由 4 条独立链并行运行，每条链迭代 50 000 次，前 20 000 次作为暖身期舍弃，后 30 000 次以间隔 10 稀释，共计保留 12 000 个后验样本用于推断。

采用多链 Gelman–Rubin 诊断统计量 $\hat{R}$ 评估收敛性：对每维参数计算链间方差 $B$ 与链内方差 $W$，构造收缩因子

$$\hat{R}=\sqrt{\frac{\widehat{\text{Var}}(\theta \mid \mathbf{T})}{W}},\widehat{\text{Var}}(\theta \mid \mathbf{T})=\frac{n-1}{n}W+\frac{1}{n}B,$$

其中 $n$ 为每条链保留的迭代数。所有主要参数（${\mu }_K,\tau ,{\sigma }_{ϵ}^2,{\sigma }_u^2$）的 $\hat{R}$ 均小于 1.05，表明链已稳定。变点 $\tau$ 的后验分布峰值为 ${\hat{\tau }}_{\text{MAP}}=24.6$ kN，95% 最高后验密度区间为 $[22.1,27.0]$ kN，在预紧力这一水平，系统明确地由非线性磨合段转入线性弹性段。

基于后验样本，获得 $K(d)$ 的逐直径后验均值与 95% 可信区间，具体结果汇总于表 1。

公称直径 $d$ (mm)	$K(d)$ 后验均值	后验标准差	95% 可信区间下限	95% 可信区间上限
12	$0.199$	$0.0085$	$0.182$	$0.216$
16	$0.204$	$0.0073$	$0.190$	$0.219$
20	$0.213$	$0.0069$	$0.199$	$0.227$
24	$0.221$	$0.0078$	$0.206$	$0.237$
30	$0.236$	$0.0091$	$0.218$	$0.254$

: 各直径扭矩系数后验推断结果

随着直径增大，扭矩系数 $K(d)$ 呈现单调递增趋势，该现象与接触面螺纹副的螺旋角变化及更大的摩擦半径直接相关。后验标准差维持在 0.007–0.009 的小范围内，说明样本内变异性被有效分解，MCMC 推断具有较高的估计精度。95% 可信区间未出现跨直径重叠，表明直径效应在统计意义上显著。

为评估模型对未知预紧力水平下扭矩的预测能力，执行留一交叉验证。设剔除第 $i$ 个观测后由剩余数据训练模型，得到后验预测分布 $p(T_i\mid {\mathbf{T}}_{-i})$，其期望值记为 ${\hat{T}}_i$，逐点残差定义为

$$r_i=T_i-{\hat{T}}_i.$$

将全体残差标准化为 $r_i^{\text{std}}=r_i/\text{sd}(r_i)$，绘制残差对预紧力的散点图并叠加局部加权回归曲线，结果未出现系统性弯曲模式。进一步，计算均方根误差

$$RMSE=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{r}_i^2}=2.84\text{N⋅m},$$

和决定系数

$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^N(T_i-{\hat{T}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^N(T_i-\bar{T}{)}^2}=0.987,$$

其中 $\bar{T}$ 为扭矩总体均值。接近于 1 的 $R^2$ 与低 RMSE 证明分段模型解释了绝大部分扭矩变异。特别地，在临界预紧力（即变点附近 $\tau$ 处的窄窗 $[\tau -2,\tau +2]$ kN）内的局部预测误差被单独评估，得到局部 $RMS{E}_{\text{local}}=4.12$ N·m，表明相态转变区域由于非线性弯曲剧烈，预测不确定性略高，但仍在工程可接受范围内。

为全面验证模型对数据生成过程的复现能力，从后验预测分布中抽取 1 000 组复制数据集 ${\mathbf{T}}^{\text{rep}}$，计算与实测数据相同的检验统计量 $S(\mathbf{T})$，包括最大值、标准差、偏度、以及线性段回归斜率等。定义后验预测 $p$ 值为

$$p_B=\mathrm{Pr}(S({\mathbf{T}}^{\text{rep}})\ge S(\mathbf{T})\mid \text{数据}).$$

各项统计量的 $p_B$ 值汇总于表 2。

检验统计量 $S$	观测值	预测均值	$p_B$ 值	结论
扭矩最大值 (N·m)	$342.1$	$340.5$	$0.42$	无显著偏差
扭矩标准差 (N·m)	$78.3$	$77.6$	$0.38$	无显著偏差
扭矩偏度	$0.28$	$0.31$	$0.28$	无显著偏差
线性段斜率 (N·m/kN)	$5.46$	$5.43$	$0.47$	无显著偏差

: 后验预测检查统计量

所有 $p_B$ 值均远离极端值 0 或 1（通常以 0.05 或 0.95 为阈值），表明模型生成的复制数据在分布特性上与真实观测高度一致，未出现系统性拟合不足或过度拟合。线性段斜率的准确复刻尤其关键，它直接对应扭矩系数 $K(d)$ 的总体水平，验证了贝叶斯推断结果的可信度。

扭矩系数 $K(d)$ 本质上由螺纹副摩擦因子、几何参数等底层物理量决定，但作为集总参数受多种因素影响。基于后验样本，采用 Sobol 方差分解法定量评估直径 $d$、交叉摩擦因子 $f$、螺距 $p_t$ 等对 $K$ 变异的贡献。设函数 $K=g(X_1,X_2,\dots )$，其一阶敏感指数为

$$S_i=\frac{{\text{Var}}_{X_i}(\mathbb{E}[K\mid X_i])}{\text{Var}(K)},$$

总效应指数 $S_{\text{Ti}}$ 则包含该参数的所有交互贡献。计算得直径的一阶指数 $0.67$，总效应指数 $0.72$，占主导地位，进一步确认了模型中将直径作为随机效应关键分组变量的合理性。其余因子的灵敏度结果见表。

参数	一阶敏感指数 $S_i$	总效应指数 $S_{\text{Ti}}$
直径 $d$	$0.67$	$0.72$
摩擦因子 $f$	$0.18$	$0.23$
螺距 $p_t$	$0.07$	$0.11$
润滑状态	$0.04$	$0.06$

: 扭矩系数全局敏感性指数

直径对 $K$ 变异的解释比例接近 70%，其高灵敏度与物理直觉吻合——直径的增大直接改变了螺纹中径的摩擦半径，进而线性缩放扭矩–预紧力比。摩擦因子次之，而螺距和润滑状态影响相对较弱，但总效应不可忽略，说明在极端工况下这些因素仍可能通过交互作用放大不确定性。这一分析为扭矩系数推荐值的应用边界提供了稳健性评估依据。

通过上述全链条从数据预处理、贝叶斯变点建模、MCMC 求解到交叉验证与敏感性分析的严格数学推导与数值验证，构建了一个高可靠性的非线性动力系统相态转变识别框架，最终输出的后验扭矩系数 $K(d)$ 包含完整的可信区间，可直接用于工程装配规范制定。

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