本人8年数学建模竞赛经验，历史获奖率百分之百。团队成员都是拿过全国一等奖的硕博，有需要数模竞赛帮助的可以私信我

本体是典型的运筹学最优化赛题，设计优化模型和求解算法选取

完整资源：https://mbd.pub/o/bread/mbd-YZWcmptwZA==

output/2026年五一赛B/
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赛题解析 — 2026年五一数学建模竞赛 B题

赛题信息

• 竞赛：2026年第二十三届五一数学建模竞赛
• 题目：B题 多工序协同作业问题
• 赛题文件夹：2026年五一赛B
• 附件：B-附件.xlsx（含工序流程表、班组配置表、车间距离表）

赛题背景

某工业制造系统需对 A、B、C、D、E 五个车间开展集中整修任务。每个车间的整修任务由若干工序组成，不同工序需占用相应类型设备完成。部分工序需要两类设备共同参与。设备在不同车间之间转运存在运输时间成本。

关键假设

1. 各车间内工序顺序固定，必须严格按给定顺序依次执行
2. 若某工序需两类设备共同完成，两类设备都需完成该工序对应的工程量，两类设备都完成后该工序才算完成（不考虑先后顺序和等待时间）
3. 各班组内设备数量固定，设备可重复使用，但同一时刻每台设备只能服务于一道工序
4. 同一台设备在同一车间不同工序间转移时间忽略；跨车间转移时间不可忽略
5. 起始时间从 00:00:00 开始，持续工作时间精确到秒且向上取整

数据来源

工序流程表

车间	工序	设备及效率	工程量	备注
A	A1.缺陷填补	精密灌装机200m³/h + 自动化输送臂250m³/h	300m³
A	A2.表面整平	高速抛光机100m³/h + 工业清洗机250m³/h	500m³
A	A3.强度检测	自动传感多功能机100m³/h	500m³
B	B1.表面清理	工业清洗机100m³/h	120m³
B	B2.垫层构筑	精密灌装机200m³/h + 自动化输送臂300m³/h	1500m³
B	B3.表面密封	精密灌装机350m³/h	360m³
B	B4.表面整平	高速抛光机120m³/h + 自动传感多功能机100m³/h	360m³
C	C1.旧涂层剥离	工业清洗机250m³/h + 自动化输送臂250m³/h	720m³
C	C2.基底填充	精密灌装机350m³/h	720m³
C	C3.密封覆盖	精密灌装机200m³/h + 自动化输送臂250m³/h	360m³	C3-C5重复3遍
C	C4.表面研磨	高速抛光机120m³/h + 工业清洗机100m³/h	400m³	C3-C5重复3遍
C	C5.质量检测	自动传感多功能机100m³/h	400m³	C3-C5重复3遍
D	D1.碎屑清理	工业清洗机250m³/h	600m³
D	D2.基底固化	精密灌装机200m³/h + 自动化输送臂300m³/h	800m³
D	D3.表面密封	精密灌装机350m³/h	450m³
D	D4.表面整平	高速抛光机120m³/h + 自动传感多功能机300m³/h	1500m³
D	D5.承载检测	自动传感多功能机300m³/h	1500m³
D	D6.边缘修整	高速抛光机100m³/h	700m³
E	E1.基础处理	工业清洗机250m³/h	1000m³
E	E2.表面密封	精密灌装机350m³/h	600m³
E	E3.稳定性检测	自动传感多功能机300m³/h + 工业清洗机100m³/h	600m³

班组配置表

设备名称	班组1数量	班组2数量	移动速度	设备单价
自动化输送臂	4台	4台	2 m/s	50000元
工业清洗机	5台	5台	2 m/s	40000元
精密灌装机	5台	5台	2 m/s	35000元
自动传感多功能机	1台	1台	2 m/s	80000元
高速抛光机	1台	1台	2 m/s	75000元

车间距离表

起点	终点	距离
班组1	A	400m
班组1	B	620m
班组1	C	460m
班组1	D	710m
班组1	E	400m
班组2	A	500m
班组2	B	460m
班组2	C	620m
班组2	D	680m
班组2	E	550m
A	B	1020m
A	C	1050m
A	D	900m
A	E	1400m
B	C	1100m
B	D	1630m
B	E	720m
C	D	520m
C	E	850m
D	E	1030m

子问题结构化列表

问题1：单班组单车间调度（基础问题）

• 条件：班组1独立完成A车间全部整修任务
• 目标：最短完成时长
• 输出：表1（设备编号、起始时间、结束时间、持续工作时间、工序编号）
• 特点：仅涉及A车间3道工序，无跨车间运输，是后续问题的基础

问题2：单班组多车间调度（扩展问题）

• 条件：仅使用班组1设备，完成A/B/C/D/E五个车间
• 目标：最短完成时长
• 输出：表2（同表1格式）
• 特点：引入跨车间运输时间，需要优化车间作业顺序和设备分配

问题3：双班组多车间调度（协同问题）

• 条件：使用班组1和班组2的全部设备，完成五个车间
• 目标：最短完成时长
• 输出：表3（增加所属班组列）
• 特点：两个班组协同，设备资源翻倍，需要合理分配车间给班组

问题4：预算约束下的设备购置与调度优化（综合问题）

• 条件：追加500000元预算购置设备 + 双班组
• 目标：在预算约束下使完成时间最短
• 输出：表4（调度方案）+ 表5（设备购买情况）
• 特点：设备购置决策 + 调度优化的联合优化问题

问题间逻辑关系

问题1（单班组单车间）→ 问题2（单班组多车间）→ 问题3（双班组多车间）→ 问题4（预算优化+双班组）
       基础模型              引入运输时间            引入协同调度           引入资源优化

问题逐步递进，每一步在前一步基础上增加约束或决策维度。

完整解题思路分析

一、问题本质与整体建模思路

1.1 问题本质

本题是一个带资源约束的多项目调度问题 (Resource-Constrained Multi-Project Scheduling Problem, RCMPSP)，属于经典的作业车间调度问题(JSSP)的扩展变体。

核心特征：

• 5个车间（项目），每个车间有3~6道工序（作业）
• 工序间有严格先后依赖（同车间内顺序固定）
• 5类设备是可复用的共享资源，同一时刻每台设备只能服务一道工序
• 部分工序需要两类设备协同完成（取两类设备完成时间的max）
• 多台同类设备可并行加速同一工序（总效率 = 单台效率 × 投入台数）
• 跨车间有运输时间（距离 ÷ 速度），同车间内无运输时间
• 目标：最小化 makespan（所有任务完成的最晚时间）

1.2 整体技术路线

问题1（解析计算）→ 问题2（CP-SAT精确求解）→ 问题3（CP-SAT扩展）→ 问题4（枚举+CP-SAT）

• 论文建模：使用 MILP 数学公式严格表达
• 实际求解：使用 Google OR-Tools CP-SAT 约束规划求解器
• 结果展示：甘特图 + 调度表

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二、数据预处理与关键参数

2.1 工序耗时计算公式

单台设备完成工序的时间（秒）：

t = ceil(工程量 / 效率 × 3600)

若投入 k 台同类设备并行：

t = ceil(工程量 / (效率 × k) × 3600)

若工序需要两类设备协同：

t_工序 = max(t_设备类型1, t_设备类型2)

2.2 运输时间计算

运输时间(s) = 距离(m) / 速度(m/s) = 距离 / 2

关键运输时间表：

路径	距离	运输时间(s)
班组1→A	400m	200s
班组1→B	620m	310s
班组1→C	460m	230s
班组1→D	710m	355s
班组1→E	400m	200s
A→B	1020m	510s
A→C	1050m	525s
A→D	900m	450s
A→E	1400m	700s
B→C	1100m	550s
B→D	1630m	815s
B→E	720m	360s
C→D	520m	260s
C→E	850m	425s
D→E	1030m	515s

2.3 各工序单台设备耗时（秒）

工序	设备1	耗时1(s)	设备2	耗时2(s)	工序耗时(s)
A1	精密灌装机(200)	5400	自动化输送臂(250)	4320	5400
A2	高速抛光机(100)	18000	工业清洗机(250)	7200	18000
A3	自动传感多功能机(100)	18000	-	-	18000
B1	工业清洗机(100)	4320	-	-	4320
B2	精密灌装机(200)	27000	自动化输送臂(300)	18000	27000
B3	精密灌装机(350)	3703	-	-	3703
B4	高速抛光机(120)	10800	自动传感多功能机(100)	12960	12960
C1	工业清洗机(250)	10368	自动化输送臂(250)	10368	10368
C2	精密灌装机(350)	7406	-	-	7406
C3	精密灌装机(200)	6480	自动化输送臂(250)	5184	6480
C4	高速抛光机(120)	12000	工业清洗机(100)	14400	14400
C5	自动传感多功能机(100)	14400	-	-	14400
D1	工业清洗机(250)	8640	-	-	8640
D2	精密灌装机(200)	14400	自动化输送臂(300)	9600	14400
D3	精密灌装机(350)	4629	-	-	4629
D4	高速抛光机(120)	45000	自动传感多功能机(300)	18000	45000
D5	自动传感多功能机(300)	18000	-	-	18000
D6	高速抛光机(100)	25200	-	-	25200
E1	工业清洗机(250)	14400	-	-	14400
E2	精密灌装机(350)	6172	-	-	6172
E3	自动传感多功能机(300)	7200	工业清洗机(100)	21600	21600

注：C3-C5需重复3遍，实际C车间工序为 C1→C2→C3→C4→C5→C3→C4→C5→C3→C4→C5

2.4 设备资源汇总

设备类型	班组1	班组2	单价(元)	瓶颈程度
自动化输送臂	4台	4台	50000	中
工业清洗机	5台	5台	40000	低
精密灌装机	5台	5台	35000	低
自动传感多功能机	1台	1台	80000	极高
高速抛光机	1台	1台	75000	极高

2.5 瓶颈分析

高速抛光机使用工序：A2(18000s), B4(10800s), C4×3(12000s×3), D4(45000s), D6(25200s)

• 单台总工作量：18000+10800+36000+45000+25200 = 135000s = 37.5h

自动传感多功能机使用工序：A3(18000s), B4(12960s), C5×3(14400s×3), D4(18000s), D5(18000s), E3(7200s)

• 单台总工作量：18000+12960+43200+18000+18000+7200 = 117360s = 32.6h

这两类设备是绝对瓶颈，决定了整体 makespan 的下界。

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三、各问题详细建模方案

3.1 问题1：班组1完成A车间

建模思路

A车间工序 A1→A2→A3 严格顺序执行，且三道工序使用的设备类型完全不重叠：

• A1: 精密灌装机 + 自动化输送臂
• A2: 高速抛光机 + 工业清洗机
• A3: 自动传感多功能机

因此不存在设备冲突，问题简化为：对每道工序分配最优数量的设备，使各工序耗时最短。

求解策略

1. 所有设备从班组1出发到A车间，运输时间 = 200s
2. 对每道工序投入最大数量的可用设备
3. 总时间 = 运输时间 + sum(各工序耗时)

关键计算

• A1: 用5台精密灌装机 → ceil(5400/5)=1080s; 用4台自动化输送臂 → ceil(4320/4)=1080s → A1=1080s
• A2: 用1台高速抛光机 → 18000s; 用5台工业清洗机 → ceil(7200/5)=1440s → A2=18000s
• A3: 用1台自动传感多功能机 → 18000s → A3=18000s
• 总时间 = 200 + 1080 + 18000 + 18000 = 37280s

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3.2 问题2：班组1完成五个车间

建模思路（MILP数学模型）

决策变量：

• $x_{i,j,k}$ ∈ {0,1}：设备k是否被分配给工序(i,j)（车间i的第j道工序）
• $s_{i,j}$ ≥ 0：工序(i,j)的开始时间
• $C_{max}$：makespan（最大完成时间）

目标函数：
$$\min C_{max}$$

约束条件：

1. 工序顺序约束（同车间内）：
   $$s_{i,j+1}\ge s_{i,j}+p_{i,j}\forall i,\forall j$$

2. 工序耗时计算：
   $$p_{i,j}=\underset{t\in T_{i,j}}{\max }\lceil \frac{Q_{i,j}}{r_{i,j,t}\cdot {\sum }_{k\in K_t}{x}_{i,j,k}}\times 3600\rceil$$

3. 设备不重叠约束（同一台设备不能同时服务两道工序）：
   $$s_{i_1,j_1}+p_{i_1,j_1}+\text{travel}(i_1,i_2)\le s_{i_2,j_2}\text{或}{s}_{i_2,j_2}+p_{i_2,j_2}+\text{travel}(i_2,i_1)\le s_{i_1,j_1}$$
   （当设备k同时分配给工序(i₁,j₁)和(i₂,j₂)时）

4. 运输时间约束：
   $$\text{travel}(i_1,i_2)=\frac{d(i_1,i_2)}{v}(i_1\ne i_2)$$

5. 设备初始运输约束：
   $$s_{i,j}\ge \frac{d(\text{班组1},i)}{v}\text{（设备首次使用时）}$$

6. makespan约束：
   $$C_{max}\ge s_{i,j}+p_{i,j}\forall i,\forall j$$

求解策略（CP-SAT实现）

使用 OR-Tools CP-SAT 求解器，建模要素：

1. 为每台设备创建 interval 变量序列
2. 使用 AddNoOverlap 约束确保设备不冲突
3. 使用 optional interval 处理设备分配决策
4. 运输时间作为设备连续任务间的最小间隔

关键优化策略：

• 由于瓶颈设备（高速抛光机、自动传感多功能机）各仅1台，优先安排这些设备的工序顺序
• 非瓶颈设备（精密灌装机5台、工业清洗机5台）有充足冗余，分配相对灵活
• 车间作业顺序对瓶颈设备的利用率影响最大

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3.3 问题3：双班组完成五个车间

建模思路

在问题2模型基础上扩展：

• 设备集合从班组1的16台扩展为班组1+2的32台
• 不同班组设备的初始位置不同（运输时间不同）
• 允许同一车间由两个班组的设备协同完成

关键差异

• 班组2的自动传感多功能机和高速抛光机各1台，瓶颈设备翻倍
• 理论 makespan 下界约为单班组的一半
• 需要合理分配车间给两个班组以平衡负载

求解策略

• 统一建模，32台设备自由分配
• CP-SAT 自动寻找最优分配方案
• 可先用启发式（按工作量均分车间）获得初始解加速求解

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3.4 问题4：预算约束下设备购置+调度

建模思路

两阶段优化：

1. 第一阶段（设备购置决策）：确定各类设备的购买数量
2. 第二阶段（调度优化）：基于新设备配置求解最优调度

预算约束

$$\sum _t{n}_t\cdot c_t\le 500000$$

其中 $n_t$ 为购买设备t的数量，$c_t$ 为单价。

求解策略：枚举+CP-SAT

瓶颈分析驱动的购置策略：

• 高速抛光机(75000元)：总工作量135000s，增加1台可显著降低makespan
• 自动传感多功能机(80000元)：总工作量117360s，增加1台效果显著
• 其他设备已有4~5台，增加边际效益低

枚举空间估算：

• 高速抛光机：0_6台（0450000元）
• 自动传感多功能机：0_6台（0480000元）
• 其他设备：0~若干台
• 约束：总费用≤500000

实际有效组合约几十种，对每种组合运行CP-SAT求解，取makespan最小的方案。

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