本文的题目有难度，它不是难解的难，而是难猜的难，所以这不是给定一道难题让你求解，本文展示一个 “大胆猜想，小心求证” 的过程，换句话说，问题要自己出，解答要自己做。

我喜欢历史，不光历史的脉络，还喜欢重构历史的细节，一切来自于惊叹：

帕普斯在阿波罗尼奥斯的年代 400 年后找到了圆锥曲线们的准线以及曲线上的点到准线的距离和到焦点距离之间的比，这是非常厉害的。

我们早就知道准线，离心率这种定义，也会用这些来做题，但本文不谈这些，本文谈这些是怎么来的。

我经常思考，在根本不知道曲线外还有一条准线的时候，是怎样知道它的存在的呢，虽然丹德林在 19 世纪用立体几何切线长定理找到了准线，但那是 1500 多年以后的事了，况且那个时候已经知道准线的存在，丹德林只是在圆锥中确定了它们的定位方法，实则一种作图法。

帕普斯的创举在于从零到一，他第一个发现了准线的存在。

现在已经找不到资料描述帕普斯到底是怎么想到的，稀疏的资料只是描写了他的风格。我在多年前阅读的《笛卡尔几何》中讲笛卡尔创立解析几何的背景时提到了帕普斯，就是这位数学家直接引导了笛卡尔的解析几何，因为在笛卡尔看来，帕普斯的风格就是 “寻找满足特定要求的点的轨迹”，帕普斯经常以此为乐。

我也经常以此为乐。

现在我是一个罗马帝国晚期的数学爱好者，我要重构帕普斯发现准线的过程。

先找抛物线的准线。

帕普斯时代，他的知识仅限于阿波罗尼奥斯，阿基米德已经证明的结论，以及基于欧几里得纯几何的平方和，平方差，二次，三次多项式运算，仅依赖这些，如何寻求一个框架，也就寻找一个模型，来统一定义所有 3 类圆锥曲线，而通过参数的不同区分彼此，这是帕普斯感兴趣的。

非常好用的特征就是圆锥曲线们的光线特性，这都是古希腊和罗马帝国学者们非常熟悉的。

考虑抛物线的光学特征，焦点 F 处发出的光线会平行反射，如下图，I，E 将并列前进，那么光程 F-B-E，F-C-I 应该相等，如果假设光没有发生反射，那么 $G_{1}I$ 等于 $G_{2}E$，其中 $G_{1}C=FC，G_{2}B=FB$.

让抛物线自身约束光线，假设光束从抛物线切线射向 B，C 点，要想获得等光程的效果，光束起点 $H_1，H_2$ 在 $G_{1}I，G_{2}E$ 的分量应该在 $G_1，G_2$，因此 $G_1，G_2，G_3，...H_1，H_2，H_3，...$ 共线，这就找到了抛物线的准线。

可以反向验证这般约束光线的曲线是不是抛物线。构造如下图：

根据勾股定理，有 $x^2+(y-2p{)}^2=y^2$，整理获得 $x^2-4py+4p^2=0$，这就是抛物线。

为了统一圆锥曲线的轨迹生成法，相比抛物线，椭圆的光学特性仅仅影响该轨迹生成的参数，而不是结构，这是一种朴素的，直觉的信仰，或许这种直觉要比知识和推理演绎能力更加重要。

椭圆的麻烦在于另一个焦点无条件吸引了光路，因此光线不像抛物线或双曲线那样平行反射或发散出去，因此需要一个圆破掉反射：

• 到达椭圆壁后反射前，让椭圆本身约束光路，假装光路是从切线方向拐入；

如下图，$P_1$ 为椭圆上本来的反射点，但假装光线沿着切线 $P_{1}N$ 的方向而来。

在效果上，若要达到原始的从 $F_2$ 反射回 $F_1$ 的等价光程，光路起点一定在以发光焦点 $F_1$ 为圆心，半径为 2a 的圆周上，若要达到这效果，沿切线方向的光路起点在原始直线传播路径的分量一定在圆周上。

于是在 $F_1{P}_1$ 延长线与圆周交点 Q 处作圆的切线，它与 $P_1$ 处椭圆切线交于 N，则 $P_{1}N$ 的等效分量为 $P_{1}Q$。对于抛物线而言，导致该分量的 $P_{1}N$ 的点 N 轨迹是一条直线，那么猜测，对于椭圆而言，N 的轨迹也是直线。

拟合校验，J，B，N，… 确实彷佛在一条直线上，致敬第谷和开普勒，他们做了类似但难得多的工作，如上图所示。
下面具体求证这个猜想。

如下题图，$F_1，F_2$ 分别为长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆两个焦点，$P_1$ 分椭圆上任意一点，以 $F_1$ 为圆心，2a 为半径作圆 X，连接 $F_1{P}_1$ 并延长，交圆 X 于 Q，$P_{1}N$ 为椭圆在 $P_1$ 处的切线，QN 为圆 X 在 Q 处的切线，$P_{1}N，QN$ 交于 N，求 N 的轨迹。我断言：

• 类似抛物线，N 的轨迹是一条直线；
  

现在来证。

注意到三角形 $△F_{1}QN$，由股沟定理 $F_1{N}^2=Q{N}^2+F_1{Q}^2$，由于 $△NQ{P}_1\cong △N{F}_2{P}_1$，所以 $NQ=N{F}_2$，所以 $F_1{N}^2=F_2{N}^2+(2a{)}^2$，顺手写成 $F_1{N}^2-F_2{N}^2=(2a{)}^2$.
过 N 作 $NZ\perp F_1{F}_2$，由勾股定理 $F_1{N}^2=F_1{Z}^2+Z{N}^2，F_2{N}^2=F_2{Z}^2+Z{N}^2$，两式相减得 $F_1{N}^2-F_2{N}^2=F_1{Z}^2-F_2{Z}^2=(2a{)}^2=(F_{1}Z+F_{2}Z)(F_{1}Z-F_{2}Z)$.

已知 $F_1{F}_2=2O{F}_1=2O{F}_2=2c$，故 $2c\cdot (F_{1}Z+F_{2}Z)=2c\cdot (c+OZ+OZ-c)=(2a{)}^2$，所以 $OZ=\frac{a^2}{c}$.

天啊，这是什么？无论 $P_1$ 在哪里，N 在 $F_1{F}_2$ 的投影都是固定的，所以 N 的轨迹是一条垂直于 $F_1{F}_2$ 的直线，这一下子，准线就被我找到了！

来看看，N 的轨迹，准线有了，现在我们还不知道它意味着什么。但我们或许能从倒腾数学式子中由因导果，也或者可以从抛物线的 “恰好” 中稍许偏差，得到一个比例，不管怎样，试试 $P_1$ 到准线和到焦点的距离之间的关系，看看和抛物线的 “光学性质” 有何不同。

重新画图，现在换了一个待求证命题，题图如下。

椭圆 C，长轴 AB = 2a，短轴 = 2b，$F_1，F$ 分别为焦点，$F_{1}F=2c$，D 为 $F_{1}F$ 延长线上一点，$P_1$ 为椭圆上任意一点，作 $P_1{D}^{\prime }\perp D{D}^{\prime }$，类比抛物线，我断言 $\frac{P_{1}F}{P_1{D}^{\prime }}=常量$。

现在来证。

过 $P_1$ 作 $P_1{D}^{\prime }\perp D{D}^{\prime }$，$P_{1}M\perp CD$，根据《圆锥曲线论》命题 I.21，有 $P_1{M}^2=\frac{b^2}{a^2}\cdot AM\cdot BM$，再由勾股定理 $P_1{F}^2=P_1{M}^2+F{M}^2$，而 $AM\cdot BM=(a+CM)(a-CM)=a^2-C{M}^2$，FM = c - CM.

代入 $P_1{M}^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}\cdot CM$，并代回 $P_1{F}^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}\cdot CM+(c-CM{)}^2=\frac{c^2}{a^2}\cdot C{M}^2-2c\cdot CM+a^2$，它竟然是一个完全平方式！有 $P_1{F}^2=(\frac{c}{a}\cdot CM-a{)}^2\to P_{1}F=\frac{c}{a}|\frac{a^2}{c}-CM|$.

根据我的上一个断言，$CD=\frac{a^2}{c}$，代入就有 $P_{1}F=\frac{c}{a}\cdot (CD-CM)=\frac{c}{a}\cdot P_1{D}^{\prime }$，这就是说 $\frac{P_{1}F}{P_1{D}^{\prime }}=\frac{c}{a}=常量$.

这就证完了。

关于双曲线准线的重构我尚未完成，也不想去做了，留作对古典数学和历史感兴趣者的课后作业。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。