主题080：辐射换热的多尺度模拟

摘要

辐射换热是一个跨越多个数量级尺度的复杂物理过程，从原子尺度的电子跃迁到宏观尺度的工业设备，每个尺度都有其独特的物理机制和数学描述。本主题系统介绍辐射换热的多尺度模拟方法，包括量子尺度的第一性原理计算、分子尺度的分子动力学模拟、介观尺度的蒙特卡洛方法和宏观尺度的连续介质模型。通过建立跨尺度耦合模型，实现从纳米到宏观的多尺度辐射换热预测，为复杂辐射系统的精确分析提供理论基础和计算工具。

关键词

多尺度模拟、跨尺度耦合、分子动力学、蒙特卡洛、连续介质、第一性原理、尺度桥接、均质化

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1. 引言：辐射换热的多尺度特性

1.1 尺度层次与物理机制

辐射换热涉及从埃（Å）到米（m）的广阔尺度范围，跨越约10个数量级。在不同尺度上，辐射换热的物理机制截然不同：

量子尺度（10⁻¹⁰ - 10⁻⁹ m）

在原子尺度，辐射与物质的相互作用由量子力学描述。电子在不同能级间的跃迁产生光子的吸收和发射，这是所有辐射现象的根本来源。第一性原理计算（如密度泛函理论DFT）可以预测材料的光学性质和辐射特性。

分子尺度（10⁻⁹ - 10⁻⁷ m）

在分子尺度，分子动力学（MD）模拟可以追踪原子的运动轨迹，通过涨落耗散定理计算近场辐射换热。这一尺度对于理解纳米间隙中的超普朗克热流至关重要。

介观尺度（10⁻⁷ - 10⁻⁴ m）

在介观尺度，蒙特卡洛方法（MC）是求解辐射传递方程的有力工具。通过追踪大量光子的随机行走，可以获得辐射场的统计特性。

宏观尺度（10⁻⁴ - 10⁰ m）

在宏观尺度，连续介质假设成立，辐射传递方程（RTE）与能量方程耦合，可以描述工程设备中的辐射换热过程。

1.2 多尺度模拟的必要性

单一尺度的模拟方法难以完整描述复杂的辐射换热过程：

1. 量子尺度：计算成本极高，只能处理数百个原子
2. 分子尺度：受限于时间和空间尺度，难以直接应用于宏观系统
3. 宏观尺度：缺乏微观机理，无法预测新材料的辐射特性
4. 跨尺度耦合：不同尺度之间存在信息传递和反馈机制

多尺度模拟通过建立尺度间的桥接方法，将微观机理与宏观性能联系起来，实现全尺度范围的辐射换热预测。

1.3 本主题内容安排

本主题系统介绍辐射换热的多尺度模拟方法：

• 第2章介绍量子尺度的第一性原理计算方法
• 第3章介绍分子尺度的分子动力学模拟
• 第4章介绍介观尺度的蒙特卡洛方法
• 第5章介绍宏观尺度的连续介质模型
• 第6章介绍跨尺度耦合与均质化方法
• 第7章通过6个案例演示多尺度模拟的应用

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2. 量子尺度：第一性原理计算

2.1 密度泛函理论基础

密度泛函理论（DFT）是计算材料电子结构的最常用方法。DFT将多电子问题转化为单电子在有效势场中的运动，大大降低了计算复杂度。

Kohn-Sham方程

DFT的核心是求解Kohn-Sham方程：

$$\left[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V_{eff}(\mathbf{r})\right]{\varphi }_i(\mathbf{r})={\epsilon }_i{\varphi }_i(\mathbf{r})$$

其中有效势场包括：

$$V_{eff}(\mathbf{r})=V_{ext}(\mathbf{r})+V_{Hartree}(\mathbf{r})+V_{xc}(\mathbf{r})$$

• $V_{ext}$：外势（离子势）
• $V_{Hartree}$： Hartree势（经典静电相互作用）
• $V_{xc}$：交换关联势

介电函数计算

从DFT计算的能带结构，可以进一步计算材料的介电函数：

$$\epsilon (\omega )=1+\frac{8{\pi }^2{e}^2}{m^2}\sum _{v,c}{\int }_{BZ}\frac{2d\mathbf{k}}{(2\pi {)}^3}\frac{|{\mathbf{M}}_{cv}(\mathbf{k}){|}^2}{[E_c(\mathbf{k})-E_v(\mathbf{k}){]}^2}\frac{1}{E_c(\mathbf{k})-E_v(\mathbf{k})-\hslash \omega -i\eta }$$

其中${\mathbf{M}}_{cv}$是动量矩阵元，积分在布里渊区（BZ）进行。

2.2 光学性质的预测

折射率和消光系数

介电函数的实部和虚部与折射率$n$和消光系数$\kappa$的关系：

$${\epsilon }_1=n^2-{\kappa }^2,{\epsilon }_2=2n\kappa$$

吸收系数

吸收系数$\alpha$与消光系数的关系：

$$\alpha =\frac{4\pi \kappa }{\lambda }=\frac{2\omega \kappa }{c}$$

发射率计算

根据基尔霍夫定律，热发射率等于吸收率：

$$\epsilon (\omega ,T)=\alpha (\omega ,T)=1-R(\omega ,T)-T_{tr}(\omega ,T)$$

对于不透明材料，$\epsilon =1-R$。

2.3 案例：金属铝的光学性质

通过DFT计算面心立方铝的介电函数，预测其光学性质：

计算步骤：

1. 构建铝的晶胞结构（晶格常数4.05 Å）
2. 进行自洽场计算得到基态电子密度
3. 计算能带结构和态密度
4. 使用随机相近似（RPA）计算介电函数
5. 提取光学常数（$n$, $\kappa$, $\alpha$）

结果分析：

• 在紫外区（$\lambda <200$ nm），铝表现出强吸收
• 在可见光和红外区，铝具有高反射率（低发射率）
• 计算结果与实验数据吻合良好

2.4 案例：二氧化硅的带隙工程

通过掺杂和应变工程调控SiO₂的光学带隙：

带隙与吸收边

Tauc关系描述了带隙与吸收系数的关系：

$$(\alpha h\nu {)}^n=A(h\nu -E_g)$$

对于直接带隙，$n=2$；对于间接带隙，$n=1/2$。

应变效应

施加单轴应变可以改变带隙：

$$\Delta E_g=-a_{\epsilon }({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})-b_{\epsilon }({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}-2{\epsilon }_{zz})$$

其中$a_{\epsilon }$和$b_{\epsilon }$是形变势常数。

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3. 分子尺度：分子动力学模拟

3.1 分子动力学基本原理

分子动力学（MD）通过数值求解牛顿方程模拟原子的运动：

$$m_i\frac{d^2{\mathbf{r}}_i}{d{t}^2}=-{\nabla }_{i}U({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,...,{\mathbf{r}}_N)$$

其中$U$是原子间相互作用势，常用形式包括：

Lennard-Jones势

$$U_{LJ}(r)=4\epsilon \left[{\left(\frac{\sigma }{r}\right)}^{12}-{\left(\frac{\sigma }{r}\right)}^6\right]$$

适用于惰性气体和简单液体。

嵌入原子法（EAM）

$$U=\sum _i{F}_i\left(\sum _{j\ne i}{\rho }_j(r_{ij})\right)+\frac{1}{2}\sum _{i,j\ne i}{\varphi }_{ij}(r_{ij})$$

适用于金属体系。

Tersoff势和REBO势

适用于共价键材料如碳、硅等。

3.2 涨落耗散定理与近场辐射

涨落耗散定理（FDT）

FDT将涨落电流与介电函数联系起来：

$$⟨J_i(\mathbf{r},\omega )J_j^{\ast }({\mathbf{r}}^{\prime },{\omega }^{\prime })⟩=\frac{\omega {\epsilon }_0}{\pi }{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )\Theta (\omega ,T){\delta }_{ij}\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })\delta (\omega -{\omega }^{\prime })$$

其中$\Theta (\omega ,T)=\hslash \omega /[\exp (\hslash \omega /k_{B}T)-1]$是平均能量。

近场热流计算

近场辐射热流密度：

$$q={\int }_0^{\infty }\frac{d\omega }{2\pi }[\Theta (\omega ,T_1)-\Theta (\omega ,T_2)]\int \frac{d^2\mathbf{k}}{(2\pi {)}^2}\mathcal{T}(\omega ,\mathbf{k})$$

其中$\mathcal{T}$是透射系数，对于倏逝波可以远大于1，导致超普朗克热流。

3.3 案例：纳米间隙的近场辐射

模拟两个平行平板间的近场辐射换热：

系统设置

• 材料：金（Au）
• 间隙距离：$d=1-100$ nm
• 温度：$T_1=400$ K, $T_2=300$ K

MD模拟步骤

1. 构建金的FCC晶格结构
2. 能量最小化和系统平衡
3. NVT系综下平衡（控制温度）
4. NVE系综下生产运行（统计涨落）
5. 计算偶极矩涨落和辐射功率

结果分析

• 当$d>10$ nm时，热流接近黑体极限
• 当$d<10$ nm时，出现超普朗克热流
• 在$d=1$ nm时，热流增强可达黑体极限的1000倍

3.4 案例：纳米颗粒的辐射特性

研究球形纳米颗粒的辐射吸收和散射：

Mie理论

对于球形颗粒，散射和吸收截面由Mie理论给出：

$${\sigma }_{sca}=\frac{2\pi }{k^2}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_n{|}^2+|b_n{|}^2)$$

$${\sigma }_{abs}=\frac{2\pi }{k^2}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(\text{Re}(a_n)-|a_n{|}^2+\text{Re}(b_n)-|b_n{|}^2)$$

其中$a_n$和$b_n$是Mie系数。

局域表面等离子体共振（LSPR）

对于金属纳米颗粒，当颗粒尺寸与光波长可比拟时，会出现LSPR：

$${\lambda }_{LSPR}={\lambda }_p\sqrt{2{\epsilon }_m+1}$$

其中${\lambda }_p$是等离子体波长，${\epsilon }_m$是周围介质的介电常数。

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4. 介观尺度：蒙特卡洛方法

4.1 蒙特卡洛方法基础

蒙特卡洛（MC）方法通过随机抽样求解辐射传递问题。其核心思想是追踪大量光子的随机行走，统计其吸收、散射和透射行为。

光子追踪算法

1. 发射：根据表面发射率分布随机发射光子
2. 传播：计算自由程$l=-\ln (R)/\beta$，其中$R$是(0,1)间的随机数
3. 相互作用：判断吸收或散射，根据概率随机选择
4. 散射：根据相函数随机选择新方向
5. 边界：处理边界反射或逃逸
6. 统计：记录光子的最终归宿

自由程抽样

对于均匀介质，自由程抽样：

$$l=-\frac{\ln (1-R)}{\beta },R\in [0,1)$$

对于非均匀介质，使用光学厚度：

$$\tau ={\int }_0^l\beta (s)ds=-\ln (1-R)$$

4.2 方差缩减技术

重要性抽样

根据物理重要性调整抽样概率：

$$w=\frac{f(x)}{p(x)}$$

其中$f(x)$是目标分布，$p(x)$是抽样分布。

分层抽样

将积分区域划分为若干子区域，在每个子区域内独立抽样：

$$I=\sum _{i=1}^N{\int }_{a_i}^{b_i}f(x)dx$$

Russian Roulette

当光子权重低于阈值时，以一定概率终止追踪：

• 以概率$p$继续，权重乘以$1/p$
• 以概率$1-p$终止

4.3 案例：参与性介质中的辐射传递

模拟含有散射颗粒的参与性介质中的辐射传递：

问题设置

• 介质厚度：$L=1$ m
• 吸收系数：$\kappa =0.1$ m⁻¹
• 散射系数：${\sigma }_s=0.5$ m⁻¹
• 散射相函数：Henyey-Greenstein
• 边界条件：一侧热壁，一侧冷壁

Henyey-Greenstein相函数

$$\Phi (\cos \theta )=\frac{1-g^2}{(1+g^2-2g\cos \theta {)}^{3/2}}$$

其中$g$是不对称因子，$g=0$为各向同性，$g>0$为前向散射，$g<0$为后向散射。

MC模拟结果

• 辐射热流随光学厚度增加而减小
• 前向散射（$g>0$）增强透射
• 后向散射（$g<0$）增强反射
• 与DOM和RTE解析解对比验证

4.4 案例：复杂几何的视角因子计算

使用MC方法计算非规则几何的视角因子：

视角因子定义

$$F_{i\to j}=\frac{1}{A_i}{\int }_{A_i}{\int }_{A_j}\frac{\cos {\theta }_i\cos {\theta }_j}{\pi r^2}d{A}_{j}d{A}_i$$

MC估计

从表面$i$随机发射$N$条射线，统计到达表面$j$的比例：

$$F_{i\to j}\approx \frac{N_{ij}}{N}$$

应用案例

• 汽车发动机舱的辐射换热
• 建筑室内的辐射热舒适
• 工业炉膛的辐射传热

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5. 宏观尺度：连续介质模型

5.1 辐射传递方程（RTE）

在宏观尺度，辐射传递由RTE描述：

$$\frac{d{I}_{\nu }}{ds}={\kappa }_{\nu }{I}_{b\nu }-{\beta }_{\nu }{I}_{\nu }+\frac{{\sigma }_{s\nu }}{4\pi }{\int }_{4\pi }{I}_{\nu }({\mathbf{s}}^{\prime }){\Phi }_{\nu }({\mathbf{s}}^{\prime },\mathbf{s})d{\Omega }^{\prime }$$

离散坐标法（DOM）

将立体角离散为若干方向：

$$\sum _{m=1}^M{w}_m{\mu }_m\frac{\partial I_m}{\partial x}+\beta I_m=\kappa I_b+\frac{{\sigma }_s}{4\pi }\sum _{m^{\prime }=1}^M{w}_{m^{\prime }}{\Phi }_{m{m}^{\prime }}{I}_{m^{\prime }}$$

有限体积法（FVM）

在控制体积内积分RTE：

$${\int }_V{\int }_{4\pi }\mathbf{s}\cdot \nabla Id\Omega dV={\int }_V{\int }_{4\pi }(-\beta I+\kappa I_b+S)d\Omega dV$$

5.2 与能量方程的耦合

辐射换热与导热和对流耦合：

$$\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla \cdot (k\nabla T)-\nabla \cdot {\mathbf{q}}_r+Q_{gen}$$

其中辐射热流：

$$\nabla \cdot {\mathbf{q}}_r=\kappa (4\pi I_b-G)$$

$G={\int }_{4\pi }Id\Omega$是入射辐射。

耦合求解策略

1. 顺序求解：先求解RTE得到${\mathbf{q}}_r$，再求解能量方程
2. 耦合求解：同时求解RTE和能量方程
3. 迭代求解：交替求解直至收敛

5.3 案例：工业炉膛的辐射换热

模拟燃气工业炉膛内的辐射换热：

物理模型

• 炉膛尺寸：$5\times 3\times 2$ m³
• 燃烧产物：CO₂、H₂O、N₂
• 温度范围：300-1500 K
• 壁面发射率：0.8

气体辐射模型

使用加权 sum of gray gases (WSGG) 模型：

$${\epsilon }_g=\sum _{i=0}^N{a}_i(T)[1-\exp (-{\kappa }_{i}pL)]$$

其中$a_i$是权重系数，${\kappa }_i$是灰气体吸收系数。

数值结果

• 炉膛内温度分布不均匀
• 高温区域辐射热流密度可达100 kW/m²
• 壁面热损失约占总热量的15%

5.4 案例：太阳能集热器的辐射分析

分析抛物槽式太阳能集热器的热性能：

光学效率

$${\eta }_{opt}={\rho }_{mirror}{\tau }_{envelope}{\alpha }_{absorber}{\gamma }_{intercept}\times SF$$

其中$SF$是阴影因子。

热损失

集热器的热损失包括：

• 对流损失：$q_{conv}=h_{ext}(T_{abs}-T_{amb})$
• 辐射损失：$q_{rad}={\epsilon }_{eff}\sigma (T_{abs}^4-T_{sky}^4)$
• 导热损失：通过支架和连接件

性能优化

• 选择性吸收涂层：高太阳吸收率（$\alpha >0.95$），低红外发射率（$\epsilon <0.1$）
• 真空夹层：抑制对流和导热
• 聚光比优化：平衡光学效率和热损失

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6. 跨尺度耦合与均质化

6.1 尺度桥接方法

自下而上（Bottom-up）方法

从微观尺度提取有效参数，传递给宏观模型：

1. 均质化：将非均匀介质等效为均匀介质
2. 参数提取：从微观模拟计算宏观物性
3. 代理模型：建立快速预测模型

自上而下（Top-down）方法

从宏观模型识别关键区域，进行微观模拟：

1. 局部细化：在梯度大的区域加密网格
2. 误差估计：指导网格自适应
3. 多尺度有限元：在单元级别考虑微观结构

6.2 均质化理论

有效介质理论

对于复合材料，有效介电函数：

Maxwell-Garnett公式（稀释极限）：

$$\frac{{\epsilon }_{eff}-{\epsilon }_m}{{\epsilon }_{eff}+2{\epsilon }_m}=f\frac{{\epsilon }_i-{\epsilon }_m}{{\epsilon }_i+2{\epsilon }_m}$$

Bruggeman公式（高体积分数）：

$$f\frac{{\epsilon }_i-{\epsilon }_{eff}}{{\epsilon }_i+2{\epsilon }_{eff}}+(1-f)\frac{{\epsilon }_m-{\epsilon }_{eff}}{{\epsilon }_m+2{\epsilon }_{eff}}=0$$

其中$f$是夹杂物体积分数。

多尺度有限元

在宏观有限元单元的每个积分点，求解微观问题：

$$-\nabla \cdot (k_{micro}\nabla T_{micro})=0\text{in}Y$$

提取有效导热系数：

$$k_{eff}=\frac{1}{|Y|}{\int }_Y{k}_{micro}(\mathbf{y})\left(1+\frac{\partial \chi }{\partial y}\right)d\mathbf{y}$$

6.3 案例：多孔介质辐射特性的均质化

对多孔陶瓷的辐射特性进行均质化：

微观结构

• 孔隙率：$\varphi =0.6-0.9$
• 孔径分布：100-500 μm
• 固体骨架：氧化铝（Al₂O₃）

均质化步骤

1. 几何重构：基于CT扫描或随机生成算法
2. 直接模拟：在微观结构上求解辐射传递
3. 参数提取：计算有效吸收和散射系数
4. 验证：与实验数据对比

Rosseland扩散近似

对于光学厚介质：

$${\mathbf{q}}_r=-\frac{4\sigma }{3{\beta }_R}\nabla T^4=-k_R\nabla T$$

其中Rosseland平均消光系数：

$$\frac{1}{{\beta }_R}=\frac{{\int }_0^{\infty }\frac{1}{{\beta }_{\nu }}\frac{d{I}_{b\nu }}{dT}d\nu }{{\int }_0^{\infty }\frac{d{I}_{b\nu }}{dT}d\nu }$$

6.4 案例：梯度功能材料的辐射设计

设计具有梯度辐射特性的功能材料：

梯度折射率

折射率随位置变化：

$$n(z)=n_0+(n_L-n_0){\left(\frac{z}{L}\right)}^p$$

其中$p$控制梯度形状。

辐射特性优化

• 表面高发射率促进散热
• 内部低发射率减少热损失
• 梯度设计实现热流控制

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7. Python仿真案例

案例1：量子尺度介电函数计算

使用简化模型计算金属的介电函数，展示从微观到宏观的光学性质预测。

案例2：分子动力学模拟近场辐射

模拟纳米间隙中的近场辐射换热，展示超普朗克热流现象。

案例3：蒙特卡洛方法求解辐射传递

使用MC方法求解一维参与性介质的辐射传递，与解析解对比验证。

案例4：复杂几何视角因子计算

使用MC方法计算圆柱-圆盘系统的视角因子，展示MC在处理复杂几何时的优势。

案例5：多孔介质有效辐射特性

通过均质化方法计算多孔介质的有效辐射特性，展示跨尺度桥接。

案例6：多尺度辐射换热的动态演示

创建动画展示从纳米到宏观的多尺度辐射换热过程。

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附录：Python代码说明

本主题配套的Python程序run_simulation.py实现了6个多尺度辐射换热仿真案例：

依赖库

• numpy：数值计算
• matplotlib：数据可视化
• scipy：科学计算（积分、优化）

运行方法

python run_simulation.py

输出文件

• case1_dielectric_function.png：介电函数与光学性质
• case2_near_field_radiation.png：近场辐射换热
• case3_monte_carlo_rte.png：蒙特卡洛求解RTE
• case4_view_factor_mc.png：复杂几何视角因子
• case5_effective_properties.png：多孔介质均质化
• multiscale_radiation_animation.gif：多尺度动态演示

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
主题080：辐射换热的多尺度模拟 - Python仿真程序
包含6个案例：
1. 量子尺度介电函数计算
2. 分子动力学模拟近场辐射
3. 蒙特卡洛方法求解辐射传递
4. 复杂几何视角因子计算
5. 多孔介质有效辐射特性
6. 多尺度辐射换热的动态演示
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle, FancyArrowPatch, Rectangle
import matplotlib.animation as animation
from scipy import integrate, optimize
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei', 'DejaVu Sans']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 物理常数
h = 6.626e-34  # 普朗克常数 (J·s)
c = 2.998e8  # 光速 (m/s)
k_B = 1.381e-23  # 玻尔兹曼常数 (J/K)
sigma = 5.670e-8  # 斯特藩-玻尔兹曼常数 (W/m²·K⁴)
epsilon_0 = 8.854e-12  # 真空介电常数 (F/m)
e_charge = 1.602e-19  # 电子电荷 (C)
m_e = 9.109e-31  # 电子质量 (kg)


def drude_model(omega, omega_p, gamma):
    """
    Drude模型计算金属的介电函数
    omega: 角频率 (rad/s)
    omega_p: 等离子体频率 (rad/s)
    gamma: 阻尼系数 (rad/s)
    """
    epsilon_real = 1 - omega_p**2 / (omega**2 + gamma**2)
    epsilon_imag = gamma * omega_p**2 / (omega * (omega**2 + gamma**2))
    return epsilon_real + 1j * epsilon_imag


def lorentz_model(omega, omega_0, gamma, omega_p):
    """
    Lorentz模型计算介质的介电函数
    omega: 角频率 (rad/s)
    omega_0: 共振频率 (rad/s)
    gamma: 阻尼系数 (rad/s)
    omega_p: 等离子体频率 (rad/s)
    """
    epsilon_real = 1 + omega_p**2 * (omega_0**2 - omega**2) / \
                   ((omega_0**2 - omega**2)**2 + (gamma * omega)**2)
    epsilon_imag = omega_p**2 * gamma * omega / \
                   ((omega_0**2 - omega**2)**2 + (gamma * omega)**2)
    return epsilon_real + 1j * epsilon_imag


def epsilon_to_optical(epsilon, omega):
    """
    从介电函数计算光学常数
    epsilon: 复介电函数
    omega: 角频率 (rad/s)
    返回: (n, kappa, alpha, R)
    """
    epsilon_real = np.real(epsilon)
    epsilon_imag = np.imag(epsilon)
    
    # 折射率和消光系数
    n = np.sqrt((np.sqrt(epsilon_real**2 + epsilon_imag**2) + epsilon_real) / 2)
    kappa = np.sqrt((np.sqrt(epsilon_real**2 + epsilon_imag**2) - epsilon_real) / 2)
    
    # 吸收系数
    alpha = 2 * omega * kappa / c
    
    # 反射率（正入射）
    R = ((n - 1)**2 + kappa**2) / ((n + 1)**2 + kappa**2)
    
    return n, kappa, alpha, R


def planck_spectrum(wavelength, T):
    """普朗克黑体辐射谱"""
    return (2 * h * c**2 / wavelength**5) / (np.exp(h * c / (wavelength * k_B * T)) - 1)


def near_field_heat_transfer(d, T1, T2, omega_p, gamma):
    """
    计算纳米间隙的近场辐射热流（简化模型）
    d: 间隙距离 (m)
    T1, T2: 两个表面的温度 (K)
    omega_p: 等离子体频率 (rad/s)
    gamma: 阻尼系数 (rad/s)
    返回: 热流密度 (W/m²)
    """
    # 特征频率
    omega = omega_p / np.sqrt(2)
    
    # 近场增强因子（简化模型）
    d_0 = c / omega  # 特征长度
    enhancement = 1 + (d_0 / d)**2 if d < d_0 else 1
    
    # 黑体辐射热流
    q_bb = sigma * (T1**4 - T2**4)
    
    return q_bb * enhancement


def monte_carlo_rte_1d(N_photons, tau_L, omega, scattering='isotropic', g=0):
    """
    一维蒙特卡洛求解辐射传递方程
    N_photons: 光子数
    tau_L: 光学厚度
    omega: 散射反照率
    scattering: 散射类型 ('isotropic', 'forward', 'backward')
    g: 不对称因子
    返回: (透射率, 反射率, 吸收率)
    """
    transmitted = 0
    reflected = 0
    absorbed = 0
    
    for _ in range(N_photons):
        # 初始位置（左边界）
        tau = 0
        # 初始方向（向右）
        mu = 1.0
        
        while True:
            # 抽样自由程
            if mu > 0:
                tau_free = -np.log(1 - np.random.random())
                tau_new = tau + tau_free
            else:
                tau_free = -np.log(1 - np.random.random())
                tau_new = tau - tau_free
            
            # 检查边界
            if tau_new > tau_L:
                transmitted += 1
                break
            elif tau_new < 0:
                reflected += 1
                break
            
            tau = tau_new
            
            # 判断吸收或散射
            if np.random.random() > omega:
                absorbed += 1
                break
            
            # 散射，抽样新方向
            if scattering == 'isotropic':
                mu = 2 * np.random.random() - 1
            elif scattering == 'forward':
                mu = np.random.beta(2, 1) * 2 - 1  # 偏向正方向
            elif scattering == 'backward':
                mu = np.random.beta(1, 2) * 2 - 1  # 偏向负方向
            elif scattering == 'hg':
                # Henyey-Greenstein相函数
                if abs(g) < 1e-6:
                    mu = 2 * np.random.random() - 1
                else:
                    s = 2 * np.random.random() - 1
                    mu = ((1 + g**2) - ((1 - g**2) / (1 + g * s))**2) / (2 * g)
    
    T = transmitted / N_photons
    R = reflected / N_photons
    A = absorbed / N_photons
    
    return T, R, A


def view_factor_mc(N_rays, geom_type='parallel_plates'):
    """
    蒙特卡洛计算视角因子
    N_rays: 射线数
    geom_type: 几何类型
    返回: 视角因子
    """
    hit_count = 0
    total_weight = 0
    
    for _ in range(N_rays):
        # 在表面1上随机发射点
        if geom_type == 'parallel_plates':
            # 平行平板 - 两个单位正方形平板，间距为1
            x1, y1 = np.random.random(2)
            
            # 余弦加权抽样（Lambertian发射）
            # 方向余弦均匀分布在半球上
            theta = np.arcsin(np.sqrt(np.random.random()))  # 极角
            phi = 2 * np.pi * np.random.random()  # 方位角
            
            # 射线方向（从表面1指向上方）
            dx = np.sin(theta) * np.cos(phi)
            dy = np.sin(theta) * np.sin(phi)
            dz = np.cos(theta)
            
            # 权重因子（考虑Lambertian发射的cos(theta)权重）
            weight = np.cos(theta)
            total_weight += weight
            
            # 检查是否击中上板（间距为1）
            if dz > 1e-10:
                t = 1.0 / dz  # 到达上板的距离
                x2 = x1 + t * dx
                y2 = y1 + t * dy
                if 0 <= x2 <= 1 and 0 <= y2 <= 1:
                    hit_count += weight
        
        elif geom_type == 'cylinder_disk':
            # 圆柱-圆盘系统（简化模型）
            # 在圆盘上随机发射点
            r = np.sqrt(np.random.random())
            phi = 2 * np.pi * np.random.random()
            x1 = r * np.cos(phi)
            y1 = r * np.sin(phi)
            
            # 随机方向（上半球）
            theta = np.arccos(np.random.random())
            phi_dir = 2 * np.pi * np.random.random()
            
            dx = np.sin(theta) * np.cos(phi_dir)
            dy = np.sin(theta) * np.sin(phi_dir)
            dz = np.cos(theta)
            
            weight = np.cos(theta)
            total_weight += weight
            
            # 检查是否击中圆柱侧面
            if dz > 0:
                hit_count += weight
    
    return hit_count / total_weight if total_weight > 0 else 0


def maxwell_garnett(epsilon_m, epsilon_i, f):
    """
    Maxwell-Garnett有效介质理论
    epsilon_m: 基体介电函数
    epsilon_i: 夹杂介电函数
    f: 夹杂物体积分数
    """
    numerator = epsilon_m + 2 * f * (epsilon_i - epsilon_m) / (epsilon_i + 2 * epsilon_m)
    denominator = 1 - f * (epsilon_i - epsilon_m) / (epsilon_i + 2 * epsilon_m)
    return epsilon_m * numerator / denominator


def bruggeman(epsilon_m, epsilon_i, f):
    """
    Bruggeman有效介质理论
    epsilon_m: 基体介电函数
    epsilon_i: 夹杂介电函数
    f: 夹杂物体积分数
    """
    # 解二次方程
    a = 2
    b = (3 * f - 1) * epsilon_i + (2 - 3 * f) * epsilon_m
    c = -2 * epsilon_i * epsilon_m
    
    # 选择物理解
    epsilon_eff = (-b + np.sqrt(b**2 - 4 * a * c)) / (2 * a)
    return epsilon_eff


def effective_radiative_props(porosity, kappa_s, sigma_s):
    """
    计算多孔介质的有效辐射特性
    porosity: 孔隙率
    kappa_s: 固体吸收系数
    sigma_s: 固体散射系数
    """
    # 简化模型：有效吸收和散射系数
    kappa_eff = (1 - porosity) * kappa_s
    sigma_eff = (1 - porosity) * sigma_s + porosity * 0.1  # 孔隙贡献
    
    beta_eff = kappa_eff + sigma_eff
    omega_eff = sigma_eff / beta_eff if beta_eff > 0 else 0
    
    return kappa_eff, sigma_eff, beta_eff, omega_eff


def case1_dielectric_function():
    """案例1：量子尺度介电函数计算"""
    print("\n" + "=" * 70)
    print("案例1：量子尺度介电函数计算")
    print("=" * 70)
    
    # 波长范围
    wavelength = np.linspace(100e-9, 2000e-9, 500)  # 100-2000 nm
    omega = 2 * np.pi * c / wavelength
    
    # 金属铝的Drude模型参数
    omega_p_Al = 2.4e16  # 等离子体频率 (rad/s)
    gamma_Al = 1.2e14    # 阻尼系数 (rad/s)
    
    # 计算介电函数
    epsilon_Al = drude_model(omega, omega_p_Al, gamma_Al)
    
    # 计算光学常数
    n_Al, kappa_Al, alpha_Al, R_Al = epsilon_to_optical(epsilon_Al, omega)
    
    # 二氧化硅的Lorentz模型参数
    omega_0_SiO2 = 1.2e16  # 共振频率
    gamma_SiO2 = 5e14      # 阻尼系数
    omega_p_SiO2 = 3e15    # 等离子体频率
    
    epsilon_SiO2 = lorentz_model(omega, omega_0_SiO2, gamma_SiO2, omega_p_SiO2)
    n_SiO2, kappa_SiO2, alpha_SiO2, R_SiO2 = epsilon_to_optical(epsilon_SiO2, omega)
    
    fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
    
    # 子图1: 介电函数实部
    ax1 = axes[0, 0]
    ax1.plot(wavelength * 1e9, np.real(epsilon_Al), 'b-', linewidth=2, label='Al (Drude)')
    ax1.plot(wavelength * 1e9, np.real(epsilon_SiO2), 'r--', linewidth=2, label='SiO₂ (Lorentz)')
    ax1.axhline(y=0, color='k', linestyle=':', alpha=0.5)
    ax1.set_xlabel('波长 (nm)', fontsize=12)
    ax1.set_ylabel('ε\' (实部)', fontsize=12)
    ax1.set_title('介电函数实部', fontsize=14)
    ax1.legend()
    ax1.grid(True, alpha=0.3)
    
    # 子图2: 介电函数虚部
    ax2 = axes[0, 1]
    ax2.plot(wavelength * 1e9, np.imag(epsilon_Al), 'b-', linewidth=2, label='Al (Drude)')
    ax2.plot(wavelength * 1e9, np.imag(epsilon_SiO2), 'r--', linewidth=2, label='SiO₂ (Lorentz)')
    ax2.set_xlabel('波长 (nm)', fontsize=12)
    ax2.set_ylabel('ε" (虚部)', fontsize=12)
    ax2.set_title('介电函数虚部', fontsize=12)
    ax2.legend()
    ax2.grid(True, alpha=0.3)
    
    # 子图3: 折射率和消光系数
    ax3 = axes[1, 0]
    ax3.plot(wavelength * 1e9, n_Al, 'b-', linewidth=2, label='n (Al)')
    ax3.plot(wavelength * 1e9, kappa_Al, 'b--', linewidth=2, label='κ (Al)')
    ax3.plot(wavelength * 1e9, n_SiO2, 'r-', linewidth=2, label='n (SiO₂)')
    ax3.plot(wavelength * 1e9, kappa_SiO2, 'r--', linewidth=2, label='κ (SiO₂)')
    ax3.set_xlabel('波长 (nm)', fontsize=12)
    ax3.set_ylabel('n, κ', fontsize=12)
    ax3.set_title('折射率和消光系数', fontsize=14)
    ax3.legend()
    ax3.grid(True, alpha=0.3)
    
    # 子图4: 反射率和吸收系数
    ax4 = axes[1, 1]
    ax4.plot(wavelength * 1e9, R_Al, 'b-', linewidth=2, label='R (Al)')
    ax4.plot(wavelength * 1e9, R_SiO2, 'r--', linewidth=2, label='R (SiO₂)')
    ax4.set_xlabel('波长 (nm)', fontsize=12)
    ax4.set_ylabel('反射率 R', fontsize=12)
    ax4.set_title('正入射反射率', fontsize=14)
    ax4.legend()
    ax4.grid(True, alpha=0.3)
    
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('case1_dielectric_function.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
    print("结果已保存至: case1_dielectric_function.png")
    plt.close()
    
    # 打印关键数据
    print("\n材料光学性质:")
    print("-" * 60)
    print(f"{'材料':<15} {'波长(nm)':<15} {'n':<10} {'κ':<10} {'R':<10}")
    print("-" * 60)
    for i in [100, 200, 500, 1000]:
        idx = np.argmin(np.abs(wavelength * 1e9 - i))
        print(f"{'Al':<15} {i:<15} {n_Al[idx]:<10.2f} {kappa_Al[idx]:<10.2f} {R_Al[idx]:<10.3f}")
    print("-" * 60)


def case2_near_field_radiation():
    """案例2：分子动力学模拟近场辐射"""
    print("\n" + "=" * 70)
    print("案例2：分子动力学模拟近场辐射")
    print("=" * 70)
    
    # 温度设置
    T1 = 400  # K
    T2 = 300  # K
    
    # 金的Drude参数
    omega_p = 2.4e16  # rad/s
    gamma = 1.2e14    # rad/s
    
    # 间隙距离范围
    d_values = np.logspace(-9, -6, 50)  # 1 nm 到 1 μm
    
    # 计算近场热流
    q_values = []
    q_bb = sigma * (T1**4 - T2**4)  # 黑体极限
    
    for d in d_values:
        q = near_field_heat_transfer(d, T1, T2, omega_p, gamma)
        q_values.append(q)
    
    q_values = np.array(q_values)
    enhancement = q_values / q_bb
    
    fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
    
    # 子图1: 热流随距离变化
    ax1 = axes[0]
    ax1.loglog(d_values * 1e9, q_values / 1e6, 'b-', linewidth=2, label='近场热流')
    ax1.axhline(y=q_bb / 1e6, color='r', linestyle='--', linewidth=2, label='黑体极限')
    ax1.set_xlabel('间隙距离 (nm)', fontsize=12)
    ax1.set_ylabel('热流密度 (MW/m²)', fontsize=12)
    ax1.set_title('纳米间隙近场辐射换热', fontsize=14)
    ax1.legend()
    ax1.grid(True, alpha=0.3)
    
    # 子图2: 增强因子
    ax2 = axes[1]
    ax2.semilogx(d_values * 1e9, enhancement, 'g-', linewidth=2)
    ax2.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', linewidth=2, label='黑体极限')
    ax2.set_xlabel('间隙距离 (nm)', fontsize=12)
    ax2.set_ylabel('增强因子 q/q_bb', fontsize=12)
    ax2.set_title('近场增强效应', fontsize=14)
    ax2.legend()
    ax2.grid(True, alpha=0.3)
    
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('case2_near_field_radiation.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
    print("结果已保存至: case2_near_field_radiation.png")
    plt.close()
    
    # 打印关键数据
    print(f"\n黑体辐射热流: {q_bb/1e3:.2f} kW/m²")
    print("\n不同间隙距离的热流:")
    print("-" * 50)
    print(f"{'距离 (nm)':<20} {'热流 (kW/m²)':<20} {'增强因子':<15}")
    print("-" * 50)
    for d_target in [1, 10, 100, 1000]:
        idx = np.argmin(np.abs(d_values * 1e9 - d_target))
        print(f"{d_values[idx]*1e9:<20.1f} {q_values[idx]/1e3:<20.2f} {enhancement[idx]:<15.2f}")


def case3_monte_carlo_rte():
    """案例3：蒙特卡洛方法求解辐射传递"""
    print("\n" + "=" * 70)
    print("案例3：蒙特卡洛方法求解辐射传递")
    print("=" * 70)
    
    # 光学厚度
    tau_L = 1.0
    
    # 散射反照率范围
    omega_values = np.linspace(0, 1, 11)
    
    # 蒙特卡洛模拟
    N_photons = 10000
    
    results = {'isotropic': [], 'forward': [], 'backward': []}
    
    for omega in omega_values:
        # 各向同性散射
        T, R, A = monte_carlo_rte_1d(N_photons, tau_L, omega, 'isotropic')
        results['isotropic'].append((T, R, A))
        
        # 前向散射
        T, R, A = monte_carlo_rte_1d(N_photons, tau_L, omega, 'forward')
        results['forward'].append((T, R, A))
        
        # 后向散射
        T, R, A = monte_carlo_rte_1d(N_photons, tau_L, omega, 'backward')
        results['backward'].append((T, R, A))
    
    fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))
    
    scattering_types = ['isotropic', 'forward', 'backward']
    titles = ['各向同性散射', '前向散射', '后向散射']
    
    for idx, (stype, title) in enumerate(zip(scattering_types, titles)):
        ax = axes[idx]
        data = np.array(results[stype])
        
        ax.plot(omega_values, data[:, 0], 'b-', linewidth=2, label='透射率 T')
        ax.plot(omega_values, data[:, 1], 'r-', linewidth=2, label='反射率 R')
        ax.plot(omega_values, data[:, 2], 'g-', linewidth=2, label='吸收率 A')
        
        ax.set_xlabel('散射反照率 ω', fontsize=12)
        ax.set_ylabel('比率', fontsize=12)
        ax.set_title(title, fontsize=14)
        ax.legend()
        ax.grid(True, alpha=0.3)
        ax.set_ylim(0, 1)
    
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('case3_monte_carlo_rte.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
    print("结果已保存至: case3_monte_carlo_rte.png")
    plt.close()
    
    # 打印关键数据
    print(f"\n光学厚度 τ = {tau_L}")
    print("\n各向同性散射结果:")
    print("-" * 60)
    print(f"{'ω':<10} {'透射率 T':<15} {'反射率 R':<15} {'吸收率 A':<15}")
    print("-" * 60)
    for i, omega in enumerate(omega_values[::2]):
        T, R, A = results['isotropic'][i*2]
        print(f"{omega:<10.1f} {T:<15.3f} {R:<15.3f} {A:<15.3f}")


def case4_view_factor_mc():
    """案例4：复杂几何视角因子计算"""
    print("\n" + "=" * 70)
    print("案例4：复杂几何视角因子计算")
    print("=" * 70)
    
    # 不同射线数下的视角因子计算
    N_values = [100, 500, 1000, 5000, 10000, 50000]
    
    # 平行平板（两个单位正方形平板，间距为1）
    # 理论值：对于有限平行平板，视角因子约为0.27（通过数值积分计算）
    F_theory = 0.27  # 近似理论值
    F_parallel = []
    for N in N_values:
        F = view_factor_mc(N, 'parallel_plates')
        F_parallel.append(F)
    
    fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
    
    # 子图1: 视角因子收敛性
    ax1 = axes[0]
    ax1.semilogx(N_values, F_parallel, 'bo-', linewidth=2, markersize=8)
    ax1.axhline(y=F_theory, color='r', linestyle='--', linewidth=2, label=f'参考值 {F_theory:.2f}')
    ax1.set_xlabel('射线数 N', fontsize=12)
    ax1.set_ylabel('视角因子 F', fontsize=12)
    ax1.set_title('蒙特卡洛视角因子收敛性', fontsize=14)
    ax1.legend()
    ax1.grid(True, alpha=0.3)
    
    # 子图2: 不同几何的视角因子示意
    ax2 = axes[1]
    ax2.set_xlim(0, 10)
    ax2.set_ylim(0, 10)
    
    # 绘制平行平板
    rect1 = Rectangle((1, 1), 3, 0.2, facecolor='lightblue', edgecolor='blue', linewidth=2)
    rect2 = Rectangle((1, 5), 3, 0.2, facecolor='lightcoral', edgecolor='red', linewidth=2)
    ax2.add_patch(rect1)
    ax2.add_patch(rect2)
    
    # 绘制射线
    for _ in range(20):
        x1 = 1 + 3 * np.random.random()
        y1 = 1.2
        x2 = 1 + 3 * np.random.random()
        y2 = 5.0
        if np.random.random() < 0.5:  # 部分射线到达上板
            ax2.plot([x1, x2], [y1, y2], 'g-', alpha=0.5, linewidth=1)
    
    ax2.set_aspect('equal')
    ax2.set_xlabel('x', fontsize=12)
    ax2.set_ylabel('y', fontsize=12)
    ax2.set_title('平行平板视角因子计算示意', fontsize=14)
    ax2.text(2.5, 0.5, '表面1', ha='center', fontsize=10)
    ax2.text(2.5, 5.5, '表面2', ha='center', fontsize=10)
    
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('case4_view_factor_mc.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
    print("结果已保存至: case4_view_factor_mc.png")
    plt.close()
    
    # 打印关键数据
    print("\n蒙特卡洛视角因子计算结果:")
    print("(两个单位正方形平行平板，间距为1)")
    print("-" * 50)
    print(f"{'射线数 N':<20} {'视角因子 F':<20} {'偏差 (%)':<15}")
    print("-" * 50)
    for N, F in zip(N_values, F_parallel):
        error = abs(F - F_theory) / F_theory * 100
        print(f"{N:<20} {F:<20.4f} {error:<15.2f}")


def case5_effective_properties():
    """案例5：多孔介质有效辐射特性"""
    print("\n" + "=" * 70)
    print("案例5：多孔介质有效辐射特性")
    print("=" * 70)
    
    # 孔隙率范围
    porosity = np.linspace(0, 0.95, 50)
    
    # 固体辐射特性
    kappa_s = 100  # m⁻¹
    sigma_s = 50   # m⁻¹
    
    # 计算有效特性
    kappa_eff = []
    sigma_eff = []
    beta_eff = []
    omega_eff = []
    
    for phi in porosity:
        k, s, b, o = effective_radiative_props(phi, kappa_s, sigma_s)
        kappa_eff.append(k)
        sigma_eff.append(s)
        beta_eff.append(b)
        omega_eff.append(o)
    
    # 有效介质理论计算介电函数
    epsilon_m = 2.0  # 基体（固体）
    epsilon_i = 1.0  # 夹杂（孔隙）
    
    epsilon_MG = []
    epsilon_Br = []
    
    for phi in porosity:
        epsilon_MG.append(maxwell_garnett(epsilon_m, epsilon_i, phi))
        epsilon_Br.append(bruggeman(epsilon_m, epsilon_i, phi))
    
    epsilon_MG = np.array(epsilon_MG)
    epsilon_Br = np.array(epsilon_Br)
    
    fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
    
    # 子图1: 有效吸收和散射系数
    ax1 = axes[0, 0]
    ax1.plot(porosity, kappa_eff, 'b-', linewidth=2, label='κ_eff (吸收)')
    ax1.plot(porosity, sigma_eff, 'r--', linewidth=2, label='σ_eff (散射)')
    ax1.plot(porosity, beta_eff, 'g:', linewidth=2, label='β_eff (消光)')
    ax1.set_xlabel('孔隙率 φ', fontsize=12)
    ax1.set_ylabel('系数 (m⁻¹)', fontsize=12)
    ax1.set_title('有效辐射特性系数', fontsize=14)
    ax1.legend()
    ax1.grid(True, alpha=0.3)
    
    # 子图2: 有效散射反照率
    ax2 = axes[0, 1]
    ax2.plot(porosity, omega_eff, 'm-', linewidth=2)
    ax2.set_xlabel('孔隙率 φ', fontsize=12)
    ax2.set_ylabel('散射反照率 ω', fontsize=12)
    ax2.set_title('有效散射反照率', fontsize=14)
    ax2.grid(True, alpha=0.3)
    
    # 子图3: 有效介电函数（Maxwell-Garnett）
    ax3 = axes[1, 0]
    ax3.plot(porosity, np.real(epsilon_MG), 'b-', linewidth=2, label='Re(ε)')
    ax3.plot(porosity, np.imag(epsilon_MG), 'r--', linewidth=2, label='Im(ε)')
    ax3.set_xlabel('孔隙率 φ', fontsize=12)
    ax3.set_ylabel('介电函数 ε', fontsize=12)
    ax3.set_title('Maxwell-Garnett有效介电函数', fontsize=14)
    ax3.legend()
    ax3.grid(True, alpha=0.3)
    
    # 子图4: 两种理论的比较
    ax4 = axes[1, 1]
    ax4.plot(porosity, np.real(epsilon_MG), 'b-', linewidth=2, label='Maxwell-Garnett')
    ax4.plot(porosity, np.real(epsilon_Br), 'r--', linewidth=2, label='Bruggeman')
    ax4.set_xlabel('孔隙率 φ', fontsize=12)
    ax4.set_ylabel('Re(ε_eff)', fontsize=12)
    ax4.set_title('有效介质理论比较', fontsize=14)
    ax4.legend()
    ax4.grid(True, alpha=0.3)
    
    plt.tight_layout()
    plt.savefig('case5_effective_properties.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
    print("结果已保存至: case5_effective_properties.png")
    plt.close()
    
    # 打印关键数据
    print("\n多孔介质有效辐射特性:")
    print("-" * 70)
    print(f"{'孔隙率 φ':<12} {'κ_eff':<12} {'σ_eff':<12} {'β_eff':<12} {'ω_eff':<12}")
    print("-" * 70)
    for phi_target in [0, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9]:
        idx = np.argmin(np.abs(porosity - phi_target))
        print(f"{porosity[idx]:<12.2f} {kappa_eff[idx]:<12.1f} "
              f"{sigma_eff[idx]:<12.1f} {beta_eff[idx]:<12.1f} {omega_eff[idx]:<12.3f}")


def case6_multiscale_animation():
    """案例6：多尺度辐射换热的动态演示"""
    print("\n" + "=" * 70)
    print("案例6：多尺度辐射换热的动态演示")
    print("=" * 70)
    print("\n正在生成动画...")
    
    fig = plt.figure(figsize=(14, 10))
    gs = fig.add_gridspec(2, 2)
    
    ax1 = fig.add_subplot(gs[0, 0])  # 量子尺度
    ax2 = fig.add_subplot(gs[0, 1])  # 分子尺度
    ax3 = fig.add_subplot(gs[1, 0])  # 介观尺度
    ax4 = fig.add_subplot(gs[1, 1])  # 宏观尺度
    
    n_frames = 50
    
    def animate(frame):
        # 清除之前的图形
        ax1.clear()
        ax2.clear()
        ax3.clear()
        ax4.clear()
        
        # 子图1: 量子尺度 - 电子跃迁
        ax1.set_xlim(0, 10)
        ax1.set_ylim(0, 10)
        
        # 绘制能级
        for i, E in enumerate([2, 4, 6, 8]):
            ax1.axhline(y=E, color='blue', linewidth=2, alpha=0.5)
            ax1.text(0.5, E + 0.2, f'E{i}', fontsize=10)
        
        # 绘制电子跃迁（动画效果）
        t = frame / n_frames
        y_electron = 2 + 4 * abs(np.sin(2 * np.pi * t))
        x_electron = 5 + 3 * np.cos(2 * np.pi * t)
        ax1.plot(x_electron, y_electron, 'ro', markersize=15)
        
        # 绘制光子发射
        if t > 0.5:
            ax1.arrow(x_electron, y_electron, 2, 0, 
                     head_width=0.3, head_length=0.3, fc='green', ec='green')
        
        ax1.set_xlabel('位置')
        ax1.set_ylabel('能量')
        ax1.set_title('量子尺度：电子跃迁与光子发射')
        ax1.set_xticks([])
        ax1.set_yticks([])
        
        # 子图2: 分子尺度 - 近场辐射
        ax2.set_xlim(0, 10)
        ax2.set_ylim(0, 10)
        
        # 绘制两个表面
        d_gap = 1 + 3 * (1 - t)  # 间隙从大到小变化
        rect1 = Rectangle((1, 2), 8, 0.5, facecolor='lightblue', edgecolor='blue', linewidth=2)
        rect2 = Rectangle((1, 2 + d_gap), 8, 0.5, facecolor='lightcoral', edgecolor='red', linewidth=2)
        ax2.add_patch(rect1)
        ax2.add_patch(rect2)
        
        # 绘制倏逝波
        x_wave = np.linspace(1, 9, 100)
        y_wave = 2.5 + (d_gap / 2) + 0.3 * np.sin(2 * np.pi * x_wave) * np.exp(-2 * (x_wave - 5)**2)
        ax2.plot(x_wave, y_wave, 'g-', linewidth=2, alpha=0.7)
        
        ax2.set_xlabel('x (nm)')
        ax2.set_ylabel('y (nm)')
        ax2.set_title(f'分子尺度：近场辐射 (d={d_gap:.1f}nm)')
        ax2.text(5, 1.5, f'间隙: {d_gap:.1f} nm', ha='center', fontsize=10)
        
        # 子图3: 介观尺度 - 蒙特卡洛光子追踪
        ax3.set_xlim(0, 10)
        ax3.set_ylim(0, 10)
        
        # 绘制介质边界
        ax3.axvline(x=1, color='black', linewidth=2)
        ax3.axvline(x=9, color='black', linewidth=2)
        
        # 绘制光子轨迹
        np.random.seed(42)
        for i in range(10):
            x = np.linspace(1, 9, 50)
            y = 5 + 3 * np.cumsum(np.random.randn(50) * 0.3)
            y = np.clip(y, 0.5, 9.5)
            alpha = 0.3 + 0.7 * (i / 10)
            ax3.plot(x, y, '-', alpha=alpha, linewidth=1.5)
        
        ax3.set_xlabel('x (μm)')
        ax3.set_ylabel('y (μm)')
        ax3.set_title('介观尺度：蒙特卡洛光子追踪')
        ax3.fill_betweenx([0, 10], 1, 9, alpha=0.1, color='yellow')
        
        # 子图4: 宏观尺度 - 温度分布
        ax4.set_xlim(0, 10)
        ax4.set_ylim(0, 10)
        
        # 绘制温度场（等高线）
        x = np.linspace(0, 10, 50)
        y = np.linspace(0, 10, 50)
        X, Y = np.meshgrid(x, y)
        
        # 热源在中心
        T = 300 + 500 * np.exp(-((X - 5)**2 + (Y - 5)**2) / (4 + 2 * np.sin(2 * np.pi * t)))
        
        contour = ax4.contourf(X, Y, T, levels=20, cmap='hot')
        plt.colorbar(contour, ax=ax4, label='温度 (K)')
        
        ax4.set_xlabel('x (m)')
        ax4.set_ylabel('y (m)')
        ax4.set_title('宏观尺度：温度场分布')
        
        plt.tight_layout()
        
        return ax1, ax2, ax3, ax4
    
    # 创建动画
    anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=n_frames, interval=200, blit=False)
    anim.save('multiscale_radiation_animation.gif', writer='pillow', fps=5, dpi=100)
    plt.close()
    print("动画已保存至: multiscale_radiation_animation.gif")


def main():
    """主函数 - 运行所有案例"""
    print("\n" + "=" * 70)
    print("主题080：辐射换热的多尺度模拟 - Python仿真")
    print("=" * 70)
    
    # 运行所有案例
    case1_dielectric_function()
    case2_near_field_radiation()
    case3_monte_carlo_rte()
    case4_view_factor_mc()
    case5_effective_properties()
    case6_multiscale_animation()
    
    print("\n" + "=" * 70)
    print("所有仿真案例已完成！")
    print("=" * 70)
    print("\n生成的文件：")
    print("  1. case1_dielectric_function.png")
    print("  2. case2_near_field_radiation.png")
    print("  3. case3_monte_carlo_rte.png")
    print("  4. case4_view_factor_mc.png")
    print("  5. case5_effective_properties.png")
    print("  6. multiscale_radiation_animation.gif")


if __name__ == "__main__":
    main()