逻辑回归分类案例

3.2.2 逻辑回归应用举例

例3-1 辣椒酱购买决策分析

一、题目描述

某超市为了分析顾客是否要购买新引进的辣椒酱，以辣椒酱的辣度 $x_1$ 与保质期 $x_2$ 两个因素对购买决定的影响为研究主题，随机对24名顾客开展调查。
利用调查数据构建逻辑回归二分类模型，并判断新辣椒酱参数 $x_1=3，x_2=7$ 时，顾客是否会选择购买。

二、原始数据集

表3-4 顾客是否购买辣椒酱数据集

说明：
$y=1$ 代表顾客购买辣椒酱；
$y=0$ 代表顾客不购买辣椒酱；
1～12号为训练集，13～24号为测试集。

三、算法原理讲解

本题为二分类问题，选用逻辑回归算法。
逻辑回归依托 Sigmoid 函数，将线性组合结果映射为 0～1 之间的概率值。

模型公式：
$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-(w_1{x}_1+w_2{x}_2+b)}}$$

• $w_1、w_2$：特征权重，代表辣度、保质期对购买行为的影响大小
• $b$：模型截距项
• 分类规则：
  预测概率 $\ge 0.5$ → 判定为正类 $y=1$（购买）
  预测概率 $<0.5$ → 判定为负类 $y=0$（不购买）

四、解题实现

# 导入所需库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 1. 划分训练集、测试集
# 训练集：1~12号顾客
X_train = np.array([
    [2,3],[3,4],[6,5],[4,4],[3,2],[4,7],
    [5,4],[4,3],[7,5],[3,3],[4,4],[5,2]
])
y_train = np.array([1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0])

# 测试集：13~24号顾客
X_test = np.array([
    [3,5],[2,4],[5,6],[3,6],[3,3],[4,5],
    [4,2],[5,5],[6,7],[5,3],[6,4],[6,6]
])
y_test = np.array([1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0])

# 2. 构建并训练逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 3. 输出模型参数
w1, w2 = model.coef_[0][0], model.coef_[0][1]
b = model.intercept_[0]
print("—————————— 模型参数 ——————————")
print(f"权重 w1(辣度) = {w1:.6f}")
print(f"权重 w2(保质期) = {w2:.6f}")
print(f"截距 b = {b:.6f}")
print(f"逻辑回归模型：y = 1/(1+exp^(-({w1:.6f}x1+{w2:.6f}x2+{b:.6f})))")

# 4. 模型准确率评估
acc = model.score(X_test, y_test)
print("\n—————————— 模型评估 ——————————")
print(f"测试集预测准确率：{acc:.2f}")

# 5. 新样本预测 x1=3 , x2=7
new_data = np.array([[3, 7]])
pre = model.predict(new_data)[0]
pre_prob = model.predict_proba(new_data)[0][1]
print("\n—————————— 新样本预测 ——————————")
print(f"输入：辣度=3，保质期=7")
print(f"预测标签：{pre}")
print(f"购买概率：{pre_prob:.4f}")
print(f"最终结论：{'顾客会购买辣椒酱' if pre==1 else '顾客不会购买辣椒酱'}")

# 6. 数据可视化 + 决策边界绘制
plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

# 生成网格区域
x1_min, x1_max = X_train[:,0].min()-1, X_train[:,0].max()+1
x2_min, x2_max = X_train[:,1].min()-1, X_train[:,1].max()+1
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(x1_min,x1_max,100),
                     np.linspace(x2_min,x2_max,100))
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

# 绘制分类区域
plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap="coolwarm")
# 绘制训练集数据点
plt.scatter(X_train[y_train==1,0], X_train[y_train==1,1],
            c="red", s=70, label="训练集-购买", edgecolors="k")
plt.scatter(X_train[y_train==0,0], X_train[y_train==0,1],
            c="blue", s=70, label="训练集-不购买", edgecolors="k")
# 绘制新样本
plt.scatter(3, 7, c="gold", marker="*", s=400,
            label="待预测新样本(3,7)", edgecolors="black")

plt.xlabel("辣度 x1")
plt.ylabel("保质期 x2")
plt.title("辣椒酱购买决策 逻辑回归分类结果")
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.25)
plt.show()

五、运行结果与详细讲解

1. 模型参数

$$权重w1(辣度)=-0.711955$$
$$权重w2(保质期)=0.623597$$
$$截距b=0.591984$$
$$逻辑回归模型：f(x)=\frac{1}{1+e^{-(-0.711955x1+0.623597x2+0.591984)}}$$

2.结果分析

• 辣度权重为负数：辣度越高，顾客购买意愿越低；
• 保质期权重为正数：保质期越长，顾客购买意愿越高；
• 测试集准确率：0.75小样本条件下，模型分类效果良好，具备实际预测能力。

3. 新样本结论

• 输入条件：辣度 $x1=3$​，保质期$x2=7$​
• 预测标签：$1$​
• 最终判定：顾客会购买该款新辣椒酱
  

六、图像分析

• 背景深浅分区：代表逻辑回归的决策边界，划分购买 / 不购买两大区域；
• 红色点：历史购买顾客数据；蓝色点：历史不购买顾客数据；
• 金色星号：本次需要判断的新样本，落在红色购买区域，与计算结果一致。

七、知识点总结

• 逻辑回归多用于二分类任务，不用于连续值预测；
• 利用训练集拟合模型，测试集检验模型泛化能力；
• 依靠特征权重，可以直观分析各因素对结果的影响方向；
• 结合决策边界绘图，可直观理解算法分类逻辑。
• $$回归VS分类$$