一、临界阻尼二阶系统的传递函数

1、临界阻尼二阶系统的特点回顾

（1）二阶系统的结构：

（2）不同阻尼的二阶系统响应：

        下图所示的是不同阻尼比的单位阶跃响应，零阻尼将会无限振荡

（3）根据以上的内容回顾，临界阻尼二阶系统有如下特点：

①处于超调和不超调的分界处，阻尼过小，系统容易超调，而阻尼过大，系统响应时间又难以往小调节。

②特征根分布简单，而特征根又决定了系统的响应时间（特征根决定极点位置，极点离原点越远，响应时间越快），所以只需要简单调整特征根的值，就能很容易地调整系统的响应时间。

（4）基于临界阻尼二阶系统的特点，可以设计一个响应调节器，对某些变化剧烈的信号进行响应调节，使其变化平滑。举个可能适用的场景，给一个机械臂的电机发送一个扭矩信号，希望机械臂输出一个很大的扭矩，如果扭矩信号没有平滑，机械臂可能会从静止开始瞬间输出一个很大的扭矩，从用户的角度看，这种产品是难以稳定控制、非常危险的，为了减弱这种“突变”的扭矩，可以对请求的扭矩信号进行响应调节，调节后的扭矩信号更加平缓，就不会出现扭矩突变的情况了。

2、使用MATLAB对理论系统仿真

（1）临界阻尼二阶系统的传递函数如下所示。

（2）使用MATLAB Simulink提供的Transfer Fcn传递函数模块搭建若干个临界阻尼二阶系统，其中为可变值，比较不同对应系统的响应，不难发现，只要调大就能使系统的响应变快，只要调小就能使系统的响应变慢。

二、响应调节器系统的状态空间表达式

1、连续响应调节器的状态空间模型转化

2、使用前向欧拉法离散化

（1）请求信号往往是通过控制器发出的，而要想算法在控制器中运行，它必须是离散的，因此对于连续的响应调节器，要想应用于软件控制中，必须将其离散化。

（2）设响应调节任务的调度周期为（在操作系统中，将一套待运行的逻辑作为任务，操作系统可以按照一个固定周期将其运行一次，具体可参考《操作系统理论》课程），根据前向欧拉近似，在时刻，有

（3）将上一步得到的离散状态空间表达式展开，即可得到状态更新方程。

3、状态变量的意义及注意事项

（1）不难发现，系统的输出方程为，那么状态变量就相当于在时刻系统输出的变化量，或者说当前任务周期输出的变化量。

（2）系统稳定性条件：

（3）数值阻尼异常的边界：

①不同区间对应的行为：

②边界值：

三、离散响应调节器的Simulink模型

1、根据状态空间表达式建模

（1）对以下状态空间表达式进行Simulink建模，因为目标是设计可调节的系统，所以不适合直接用Discrete State-Space模块建模，需要用简单的模块（如加法模块、单位延迟模块）把系统的内部结构搭建出来。

（2）首先明确系统的输入和输出，如下图所示，其中w为，作为外部输入，这样外界可以通过输入不同的w以调节系统的响应。

（3）时刻的状态变量基于时刻的状态变量计算，因此需要明确时刻的状态变量。

（4）按照状态空间表达式把剩余部分搭建完成，并添加示波器观测系统输出和系统输出步进值（即每个任务周期输出的变化量）。

（5）将仿真求解器设置为离散且固定步长的，步长即为任务调度周期10ms。

（6）将输入的w和u分别替换为常数和阶跃输入，变换不同的w，通过仿真观察系统的输出和输出步进值。（下图中输入的w为常数20）

2、优化方向

        以上实验为基于临界阻尼二阶系统的响应调节器提供了可行性说明，在实际的算法开发中，需要注意一点，输入的w被改变，意味着整个系统发生变化，虽然系统结构不变，但内部参数改变了，基于系统变化产生的表现，可能需要重新调整系统变化后初始时刻的状态变量