二维和差波束测角算法推导

1. 信号模型

考虑一个均匀平面阵列 (UPA)，位于 $x$-$y$ 平面内，沿 $x$轴有 $N$ 个阵元，沿 $y$ 轴有 $M$个阵元，阵元间距为 $d$（通常取半波长 $d=\lambda /2$）。第 $(m,n)$ 个阵元的位置坐标为
$${\mathbf{p}}_{m,n}=(x_n,y_m)=(nd,md),m=0,1,\dots ,M-1,n=0,1,\dots ,N-1.$$

假设空间中有 $K$ 个远场窄带信号源，第 $k$ 个信号的波达方向 (DOA) 由方位角 ${\varphi }_k$ 和俯仰角 ${\theta }_k$ 描述。定义方向余弦
$$u_k=\sin {\theta }_k\cos {\varphi }_k,v_k=\sin {\theta }_k\sin {\varphi }_k.$$
则信号到达阵元 $(m,n)$相对于坐标原点的传播时延为
$${\tau }_{m,n}(u_k,v_k)=\frac{1}{c}(x_n{u}_k+y_m{v}_k)=\frac{d}{c}(n{u}_k+m{v}_k).$$
对应的相移为
$$\exp (-j2\pi f_0{\tau }_{m,n})=\exp \left(-j\frac{2\pi }{\lambda }d(n{u}_k+m{v}_k)\right).$$
因此，阵列的方向向量（导向矢量）为
$$\mathbf{a}(u_k,v_k)={\left[\exp \left(-j\frac{2\pi d}{\lambda }(n{u}_k+m{v}_k)\right)\right]}_{m=0,\dots ,M-1;n=0,\dots ,N-1}\in {\mathbb{C}}^{MN\times 1}.$$
为简化记号，令 $\beta =2\pi d/\lambda$，则
$$[\mathbf{a}(u,v){]}_{mN+n}=e^{-j\beta (nu+mv)}.$$

接收信号向量为
$$\mathbf{x}(t)=\sum _{k=1}^K\mathbf{a}(u_k,v_k)s_k(t)+\mathbf{n}(t),$$
其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个信号的复包络，$\mathbf{n}(t)$ 为加性高斯白噪声。

2. 二维和差波束形成

设波束指向方向为 $(u_0,v_0)$，对应的导向矢量为 ${\mathbf{a}}_0=\mathbf{a}(u_0,v_0)$。为了对目标进行角度跟踪，需要同时形成和波束 ($\Sigma$)、方位差波束 (${\Delta }_{\text{az}}$) 和俯仰差波束 (${\Delta }_{\text{el}}$)。

2.1 和波束权向量

和波束采用常规匹配滤波（共轭匹配）：
$${\mathbf{w}}_{\Sigma }={\mathbf{a}}_0.$$
波束形成输出为
$$\Sigma (t)={\mathbf{w}}_{\Sigma }^H\mathbf{x}(t)=\sum _{k=1}^K{\mathbf{a}}_0^H\mathbf{a}(u_k,v_k)s_k(t)+{\mathbf{w}}_{\Sigma }^H\mathbf{n}(t).$$

2.2 方位差波束权向量

方位差波束要求沿 $x$方向（即 $u$方向）具有反对称方向图，沿 $y$方向保持对称。可以通过对 $x$方向施加反对称泰勒加权，而对 $y$ 方向采用对称（和）加权来实现。令
$${\mathbf{w}}_{\Delta u}={\mathbf{w}}_{\text{diff},x}\otimes {\mathbf{w}}_{\text{sum},y},$$
其中 $\otimes$ 表示 Kronecker 积。${\mathbf{w}}_{\text{diff},x}$ 是长度为 $N$ 的差波束权向量（例如反对称序列），${\mathbf{w}}_{\text{sum},y}$ 是长度为 $M$ 的和波束权向量（例如均匀或泰勒加权）。为简化推导，取无锥削时的理想差波束：
$${\mathbf{w}}_{\text{diff},x}={\left[-\frac{N-1}{2},-\frac{N-3}{2},\dots ,0,\dots ,\frac{N-3}{2},\frac{N-1}{2}\right]}^T$$
（若 $N$为奇数，中间元素为0）；${\mathbf{w}}_{\text{sum},y}=1_M$（均匀和）。则完整方位差权向量为
$$[{\mathbf{w}}_{\Delta u}{]}_{mN+n}=w_{\text{diff},x}(n)\cdot w_{\text{sum},y}(m)=w_{\text{diff},x}(n).$$
类似地，若考虑波束指向 $(u_0,v_0)$，还需乘以 ${\mathbf{a}}_0$ 的共轭以将波束中心调至 $(u_0,v_0)$，即
$${\mathbf{w}}_{\Delta u}={\mathbf{w}}_{\Delta u}^{\text{(base)}}\odot {\mathbf{a}}_0^{\ast },$$
其中 $\odot$表示 Hadamard 积（逐元素相乘），${\mathbf{w}}_{\Delta u}^{\text{(base)}}$ 为上述反对称幅度权值。等效地，可直接定义方位差波束权向量为
$${\mathbf{w}}_{\Delta u}={\mathbf{d}}_u\odot {\mathbf{a}}_0^{\ast },$$
其中 ${\mathbf{d}}_u$的每个元素为 $d_u(m,n)=\frac{2n-(N-1)}{N-1}$（归一化反对称系数）。

2.3 俯仰差波束权向量

同理，俯仰差波束沿 $y$ 方向反对称，沿 $x$ 方向对称：
$${\mathbf{w}}_{\Delta v}={\mathbf{w}}_{\text{sum},x}\otimes {\mathbf{w}}_{\text{diff},y},$$
取 ${\mathbf{w}}_{\text{sum},x}=1_N$，${\mathbf{w}}_{\text{diff},y}$ 类似反对称序列。乘以指向补偿后得
$${\mathbf{w}}_{\Delta v}={\mathbf{d}}_v\odot {\mathbf{a}}_0^{\ast },$$
其中 ${\mathbf{d}}_v(m,n)=\frac{2m-(M-1)}{M-1}$。

2.4 和差波束方向图

定义方向图函数：
$$F_{\Sigma }(u,v)={\mathbf{w}}_{\Sigma }^H\mathbf{a}(u,v)={\mathbf{a}}_0^H\mathbf{a}(u,v),$$
$$F_{\Delta u}(u,v)={\mathbf{w}}_{\Delta u}^H\mathbf{a}(u,v)=({\mathbf{d}}_u\odot {\mathbf{a}}_0^{\ast }{)}^H\mathbf{a}(u,v)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}{d}_u(m,n)e^{j\beta (n(u_0-u)+m(v_0-v))},$$
$$F_{\Delta v}(u,v)={\mathbf{w}}_{\Delta v}^H\mathbf{a}(u,v)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}{d}_v(m,n)e^{j\beta (n(u_0-u)+m(v_0-v))}.$$
由于 ${\mathbf{d}}_u$ 和 ${\mathbf{d}}_v$ 分别是 $n$ 和 $m$ 的奇函数，易知
$$F_{\Delta u}(u_0,v_0)=0,F_{\Delta v}(u_0,v_0)=0,$$
即差波束在波束指向处为零。

3. 单脉冲比与角度估计

3.1 小角度偏差下的近似

设实际目标方向为 $(u,v)$，波束指向为 $(u_0,v_0)$，定义偏差
$${\delta }_u=u-u_0,{\delta }_v=v-v_0.$$
在 ${\delta }_u,{\delta }_v$ 很小时，对方向图进行一阶泰勒展开。先考虑和波束：
$$F_{\Sigma }(u,v)\approx F_{\Sigma }(u_0,v_0)+\frac{\partial F_{\Sigma }}{\partial u}{\delta }_u+\frac{\partial F_{\Sigma }}{\partial v}{\delta }_v.$$
由于 $F_{\Sigma }(u_0,v_0)=MN$（若所有权值为1，否则为常数），且对于对称阵列，在波束指向处一阶导数为零（因为和波束是偶函数），所以
$$F_{\Sigma }(u,v)\approx MN.$$
实际上更精确的二次项对单脉冲比影响较小，通常取和波束幅度为常数。

对于方位差波束：
$$F_{\Delta u}(u,v)\approx {\frac{\partial F_{\Delta u}}{\partial u}|}_{(u_0,v_0)}{\delta }_u+{\frac{\partial F_{\Delta u}}{\partial v}|}_{(u_0,v_0)}{\delta }_v.$$
由于阵列结构和权值的对称性，交叉偏导数 $\partial F_{\Delta u}/\partial v$ 在 $(u_0,v_0)$ 处为零（方位差波束$v$是偶函数）。因此
$$F_{\Delta u}(u,v)\approx K_u{\delta }_u,$$
其中斜率
$$K_u={\frac{\partial F_{\Delta u}}{\partial u}|}_{(u_0,v_0)}=\sum _{m,n}{d}_u(m,n)\cdot j\beta n\cdot e^{j0}=j\beta \sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}n{d}_u(m,n).$$
代入 $$d_u(m,n)=\frac{2n-(N-1)}{N-1}$$，可得
$$K_u=j\beta \sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}n\cdot \frac{2n-(N-1)}{N-1}=j\beta M\sum _{n=0}^{N-1}\frac{2n^2-(N-1)n}{N-1}.$$
利用求和公式 $\sum n=N(N-1)/2$，$\sum n^2=(N-1)N(2N-1)/6$，计算得
$$K_u=j\beta M\cdot \frac{N(N^2-1)}{6(N-1)}=j\beta M\cdot \frac{N(N+1)}{6}.$$
更常见的归一化斜率（实部）为
Re{Ku}=0,Im{Ku}=βMN(N+1)6. \text{Re}\{K_u\} = 0,\quad \text{Im}\{K_u\} = \beta \frac{MN(N+1)}{6}. Re{Ku​}=0,Im{Ku​}=β6MN(N+1)​.
类似地，俯仰差波束斜率为
$$K_v={\frac{\partial F_{\Delta v}}{\partial v}|}_{(u_0,v_0)}=j\beta \sum _{m,n}m{d}_v(m,n)=j\beta N\cdot \frac{M(M+1)}{6}.$$

3.2 单脉冲比

定义方位单脉冲比
$$R_u=\frac{F_{\Delta u}(u,v)}{F_{\Sigma }(u,v)}\approx \frac{K_u{\delta }_u}{MN}=\frac{j\beta (N+1)}{6}{\delta }_u.$$
同理，
$$R_v\approx \frac{j\beta (M+1)}{6}{\delta }_v.$$
由于 $\beta =2\pi d/\lambda$，且通常 $d=\lambda /2$，则 $\beta =\pi$。代入得
$$R_u=j\frac{\pi (N+1)}{6}{\delta }_u,R_v=j\frac{\pi (M+1)}{6}{\delta }_v.$$
因此，角度偏差可通过取单脉冲比的虚部获得：
δu=6π(N+1)Im{Ru},δv=6π(M+1)Im{Rv}. \delta_u = \frac{6}{\pi(N+1)} \text{Im}\{R_u\},\quad \delta_v = \frac{6}{\pi(M+1)} \text{Im}\{R_v\}. δu​=π(N+1)6​Im{Ru​},δv​=π(M+1)6​Im{Rv​}.
实际中，和差波束输出为复数值，需对每个快拍或脉冲计算 $R_u={\Delta }_u/\Sigma$，然后取统计平均（或直接对检测后的目标回波计算）。

3.3 解耦处理

上述推导假设了方位差波束对 $v$ 的导数及俯仰差波束对 $u$ 的导数为零，即两个单脉冲比相互独立。对于均匀加权且阵列对称的情况，这种解耦严格成立。若采用非对称锥削（如泰勒加权），可能产生微小耦合，可通过测量耦合矩阵进行修正：
[δuδv]=C−1[Im{Ru}Im{Rv}], \begin{bmatrix} \delta_u \\ \delta_v \end{bmatrix} = \mathbf{C}^{-1} \begin{bmatrix} \text{Im}\{R_u\} \\ \text{Im}\{R_v\} \end{bmatrix}, [δu​δv​​]=C−1[Im{Ru​}Im{Rv​}​],
其中 $\mathbf{C}$ 为2×2实矩阵，元素由差波束斜率及交叉项决定，可通过阵列方向图数值计算或实测标定得到。

4. 二维多目标和差波束测角算法流程

对于多目标场景，通常先利用和波束进行空域搜索（例如数字波束形成扫描或傅里叶变换）检测各目标的位置，然后对每个检测点独立进行单脉冲测角。具体步骤如下：

1. 波束扫描与目标检测
   对观测空域划分网格，每个网格点 $(u_p,v_q)$ 形成和波束输出 ${\Sigma }_{p,q}={\mathbf{w}}_{\Sigma }(u_p,v_q{)}^H\mathbf{x}$，得到距离-角度二维图像（若有时域脉冲还需进行距离维处理）。通过 CFAR 检测提取目标峰值，得到每个目标的粗略方向 $(u_0^{(k)},v_0^{(k)})$ 及对应的和波束输出 ${\Sigma }_k$。

2. 形成差波束
   对第 $k$个目标，以其粗略方向作为波束指向，构造方位差权向量 ${\mathbf{w}}_{\Delta u}^{(k)}$ 和俯仰差权向量 ${\mathbf{w}}_{\Delta v}^{(k)}$，计算差波束输出：
   $${\Delta }_u^{(k)}=({\mathbf{w}}_{\Delta u}^{(k)}{)}^H\mathbf{x},{\Delta }_v^{(k)}=({\mathbf{w}}_{\Delta v}^{(k)}{)}^H\mathbf{x}.$$
   若采用和差同时多波束技术，可预先存储三组权值，在检测后直接读取对应波束的输出。

3. 计算单脉冲比
   $$R_u^{(k)}=\frac{{\Delta }_u^{(k)}}{{\Sigma }_k},R_v^{(k)}=\frac{{\Delta }_v^{(k)}}{{\Sigma }_k}.$$

4. 估计角度偏差
   利用解耦后的线性关系（或耦合矩阵）：
   δu(k)=6π(N+1)Im{Ru(k)},δv(k)=6π(M+1)Im{Rv(k)}. \delta_u^{(k)} = \frac{6}{\pi(N+1)}\text{Im}\{R_u^{(k)}\},\quad \delta_v^{(k)} = \frac{6}{\pi(M+1)}\text{Im}\{R_v^{(k)}\}. δu(k)​=π(N+1)6​Im{Ru(k)​},δv(k)​=π(M+1)6​Im{Rv(k)​}.
   则目标的精确方向为
   $$u_k=u_0^{(k)}+{\delta }_u^{(k)},v_k=v_0^{(k)}+{\delta }_v^{(k)}.$$
   最后转换回方位角和俯仰角：
   $${\varphi }_k=\arctan \left(\frac{v_k}{u_k}\right),{\theta }_k=\arcsin \left(\sqrt{u_k^2+v_k^2}\right).$$

5. 多目标区分
   若多个目标的角度间隔大于波束宽度，上述逐目标处理可直接应用；若角度接近，和波束输出会相互重叠，此时需采用高分辨算法（如 MUSIC）或先对回波进行空域滤波分离，再对每个分离后的信号进行单脉冲测角。
   

5. 总结

本文从均匀平面阵列的信号模型出发，详细推导了二维和差波束的形成方法，分析了小角度偏差下和、差波束方向图的线性关系，得到了单脉冲比与角度偏差的解析表达式。给出了基于二维和差波束的多目标 DOA 估计算法流程。该方法具有计算量小、精度高的优点，广泛应用于雷达跟踪和阵列测向系统中。实际应用中需注意阵列幅相误差、通道不一致性等因素对测角精度的影响，可通过系统标定与校正予以补偿。