一、映射

、是两个非空集合，存在法则，对集合中每个元素，按照法则，在集合中都有唯一的元素与之对应，那么就是从到的映射，记作。其中，里的元素叫做原像，里的元素叫做像（即：原像像）。像组成的集合叫做定义域，（D是Domain的简写），原像组成的集合叫做值域（R是Range的简写），其中，

映射是集合到集合之间的对应关系，你这个集合里面的元素是什么玩意儿都可以。

注意：

• 1）映射组成的三要素：定义域、对应法则、值域（其中）（ 表示“属于”）。
  其中，中的元素必须都能找到对应的，而中的元素不一定都能用上。如下图所示，和它的值域是都用上的，但是中有一部分元素没用上。所以，（即：是的子集）
  
• 2）集合中的所对应的元素是唯一的。即：一个不能对应多个，但是多个可以对应同一个。如下图所示👇
  
   
• 3）包含于，但不一定等于（就是说有可能只是集合的一部分）

1、满射

如果中所有的元素都用上了，即：，就叫满射。

2、单射

前面讲到过，多个对应一个y是允许的，而单射必须是不能对应多个，只能一个对一个，这就叫单射。即：若，则

3、一一映射

既是单射，也是满射，就叫一一映射。（即：和中所含的元素个数一样，且一一对应）

4、逆映射

假设是到的一个单射，对于每一个，都有唯一的与之对应，满足，，记作，，

（注意，这里只要求单射，没要求满射，所以不能写成，因为中可能有些元素没用上）

只有单射才有逆映射。

5、复合映射

假设有两个映射分别是 和 ，且，，则有，记作，其中，如下图👇所示

注意；复合函数中，复合的先后顺序不同，结果是不同的。

二、函数

假设（其中D是定义域，这里R是实数集），存在映射，，。其中是自变量，是因变量，是定义域也可以写成，是值域记作

注意：

1）函数是从数集到数集之间的映射（之前讲的映射是集合到集合之间的对应，这个集合元素可以是数，也可以是别的任何东西）

2）上面实数集和定义域的这两个是不一样的。

3）表示的是对应的规则，如果写成那就表示对应的函数值了。

构成函数的两要素：定义域、对应规则

问：为什么映射是三要素，而函数却只有两要素？

答：由于函数的值域一定会落在实数集里面，所以就不用说了。

函数的三种表示方法：表格、图形、解析式（公式）

1、函数的几种特性

1）有界性

上界：设存在，使所有的，则是在上的一个上界。也就是说，如果有别的数大于，则那个数也是在上的一个上界。所以，上界不唯一。

下界：设存在，使所有的，则是在上的一个下界。同理，下界也不唯一。

有界：设存在正数M，使所有的（即：），则是有界函数，是的一个界。有界的充分必要条件是：既有上界，也有下界（即：有界既有上界也有下界）。

无界：就是找不到一个正数M，使，则就是无界函数。

2）单调性

单调递增：若，则

单调递减：若，则

3）奇偶性

前提：定义域D关于原点对称

若，则函数为偶函数，函数图像关于y轴对称；

若，则函数为奇函数，函数图像关于原点对称。

4）周期性

设存在正数，使，则函数为周期函数，就叫它的周期。注意：通常我们说的周期都是最小周期。

注意：并非每个周期函数都有最小周期。比如：函数 （为有理数，为无理数）中，任何正有理数都是它的周期（下面有证明），而且不存在最小的正有理数。

证明：

当为有理数时，则加上任何正有理数，结果都为有理数，所以有

而当为无理数时，则加上任何正无理数，结果都为无理数，所以有

所以，任何正有理数都是函数的周期，而又不存在最小的正有理数，所以函数不存在最小周期。

补充知识：

• （1）0是有理数；
• （2）0即不是正有理数，也不是负有理数；
• （3）0即不是正数，也不是负数；
• （4）0是偶数。

2、反函数（也叫逆函数）