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💥第一部分——内容介绍

基于 GWO、DBO、DOA 的光伏电池参数辨识模型研究

摘要

在光伏发电系统高效运行与性能精准评估的实际需求下，光伏电池等效模型参数辨识成为关键技术环节。针对传统参数辨识方法精度偏低、稳定性不足、易陷入局部最优解等问题，本文将灰狼优化算法、蜣螂优化算法与野狗优化算法应用于光伏电池及组件的参数辨识任务，构建完整的智能优化辨识框架。研究以实测电流电压数据为依据，建立单二极管、双二极管与光伏组件三二极管三种精度逐级提升的等效模型，以拟合误差最小化为优化目标，通过三种智能算法的全局寻优与迭代优化，获取光伏器件关键电气参数。通过多维度对比实验，从收敛性能、拟合精度、算法稳定性与曲线还原效果等方面，系统分析三种算法的适用性与优劣性。实验结果表明，三种算法均能实现高精度的光伏参数辨识，其中灰狼优化算法在收敛速度、最优精度与运行稳定性上综合表现最佳，蜣螂优化算法全局搜索能力较强但后期易出现波动，野狗优化算法在全局勘探与局部开发之间保持良好平衡。本文研究可为光伏电池建模、器件性能检测、系统故障诊断与最大功率跟踪控制提供可靠的方法参考与技术支撑。

关键词：光伏电池；参数辨识；智能优化算法；灰狼优化算法；蜣螂优化算法；野狗优化算法；模型拟合；性能评估

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一、绪论

1.1 研究背景与意义

随着全球能源结构向清洁化、低碳化转型，光伏发电凭借资源丰富、环境友好、部署灵活等优势，在全球能源供应体系中占据越来越重要的地位。光伏电池是光伏发电系统的核心能量转换单元，其外部电气特性直接决定系统的发电效率、输出稳定性与使用寿命。准确建立光伏电池的数学等效模型，快速提取光生电流、饱和电流、串并联电阻、二极管理想因子等关键参数，是实现光伏系统精准仿真、最大功率点跟踪、故障诊断、老化状态评估与系统优化设计的基础。

在实际工程中，光伏电池的电流电压与功率电压特性呈现高度非线性特征，且易受光照强度、环境温度、老化程度、制造缺陷等因素影响。传统的参数获取方式难以直接测量内部等效参数，只能通过外部电气特性曲线进行反向辨识。传统辨识方法如解析法、数值迭代法、最小二乘法等，存在明显局限性：解析法依赖过多理想化假设，与实际工况偏差较大；数值方法对初值敏感，计算过程容易发散；最小二乘法在处理强非线性问题时，容易陷入局部最优，难以得到全局最优参数。

近年来，群体智能优化算法凭借无需梯度信息、全局搜索能力强、适应性广泛、鲁棒性高等特点，被广泛应用于各类非线性优化问题。将新型智能优化算法用于光伏参数辨识，能够有效突破传统方法的瓶颈，在保证计算效率的同时显著提升辨识精度。因此，开展多种智能算法在光伏参数辨识中的对比研究，筛选出精度高、稳定性好、适用性强的算法，对推动光伏发电系统高效建模与智能化运维具有重要的理论意义与工程应用价值。

1.2 国内外研究现状

在光伏电池建模与参数辨识领域，国内外学者已开展大量研究。早期研究多集中于单二极管与双二极管模型构建，以及传统数学优化方法的改进。随着智能算法的快速发展，遗传算法、粒子群算法、差分进化算法等被率先应用于参数辨识，并取得一定效果。但这些算法在处理高维、强非线性优化问题时，仍存在收敛速度慢、易早熟、精度不足等问题。

近年来，一批新型智能优化算法相继提出，为光伏参数辨识提供了更优选择。灰狼优化算法模拟灰狼群体的社会等级与狩猎机制，具有结构简单、收敛快速、稳定性强的优势；蜣螂优化算法模拟蜣螂滚球、跳舞、觅食、繁殖、偷窃等行为，具备较强的全局探索能力；野狗优化算法通过分组、记忆、遗忘、开发等策略，能够有效平衡全局搜索与局部挖掘，提升算法整体性能。

目前，将上述三种新型算法置于统一框架下，针对单二极管、双二极管、光伏组件三模型进行系统性对比的研究相对较少，多数研究仅关注单一算法或单一模型，缺乏对算法收敛特性、拟合效果、稳定性与工程适用性的全面分析。基于这一研究缺口，本文开展多算法、多模型的光伏参数辨识对比研究，为工程应用提供更全面、更可靠的参考依据。

1.3 研究内容与技术路线

本文主要研究内容包括以下几个方面：第一，梳理光伏电池常用等效模型，建立单二极管、双二极管以及光伏组件三二极管模型，明确各模型的物理意义与参数构成。第二，构建以实测数据与模型计算值误差最小化为目标的优化问题，确定合理的参数约束范围与评价指标。第三，详细阐述灰狼优化算法、蜣螂优化算法、野狗优化算法的基本思想、运行机制与优化流程，使其适配光伏参数辨识问题。第四，在统一实验环境下开展对比测试，记录三种算法的收敛过程、最优参数、拟合误差与统计指标。第五，从收敛速度、拟合精度、算法稳定性、电流电压与功率电压曲线还原效果等维度，全面分析算法性能，总结各算法的优势与适用场景。

本文整体技术路线为：理论建模→算法设计→实验搭建→结果测试→对比分析→结论总结，形成从理论到实验再到工程应用的完整研究闭环。

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二、光伏电池等效模型基础

2.1 光伏电池电气特性

光伏电池的核心电气特性由电流电压曲线与功率电压曲线共同表征。电流电压曲线反映输出电流随输出电压的非线性变化关系，包含短路电流、开路电压、最大功率点等关键电气节点；功率电压曲线则呈现输出功率先增大后减小的单峰特性，是实现最大功率点跟踪的重要依据。由于光伏电池内部载流子扩散、复合、漏电、串联损耗等物理过程复杂，其外部特性呈现高度非线性，必须通过合理的等效电路模型进行描述。

2.2 单二极管模型

单二极管模型是工程中应用最广泛的基础等效模型，结构简单、计算量小，能够满足一般工况下的精度需求。该模型由一个光生电流源、一个等效二极管、串联电阻与并联电阻构成，能够较好地描述光伏电池在理想条件下的电气行为。串联电阻反映电极接触、材料体电阻等损耗效应，并联电阻反映边缘漏电、复合漏电等损耗效应，二极管理想因子则反映二极管的偏离程度。由于模型参数较少、计算效率高，单二极管模型常用于快速仿真与初步参数估计。

2.3 双二极管模型

双二极管模型在单二极管模型基础上增加一个并联二极管，分别用来描述器件内部的扩散电流与复合电流，更贴近实际物理过程，精度显著提升。在光照不均匀、温度变化较大或电池存在一定老化的情况下，双二极管模型能够更准确地还原电流电压曲线。与单二极管模型相比，双二极管模型参数数量增加，优化复杂度提升，但拟合效果更优，适用于对精度要求较高的科研与工程场景。

2.4 光伏组件三二极管模型

光伏组件由多片电池串并联构成，同时受到封装材料、漏电效应、局部缺陷、温度分布不均等多重因素影响，其电气特性更为复杂。三二极管模型在双二极管模型基础上进一步扩展，能够更全面地覆盖多种损耗机制，拟合精度最高，更适合组件级高精度建模。虽然参数维度更高、优化计算量更大，但在光伏组件出厂检测、长期老化评估、故障诊断等高精度需求场景中具有不可替代的优势。

2.5 目标函数与评价体系

参数辨识的本质是一个带约束的非线性优化问题，其核心目标是使模型计算出的电气特性曲线与实测曲线尽可能接近。本文以模型计算电流与实测电流之间的误差为评价依据，构建以误差最小化为目标的优化目标函数。为全面衡量算法性能，除最优误差外，还引入平均误差、最差误差、误差标准差等指标，分别反映算法的最优性能、平均性能、最坏性能与运行稳定性。同时，通过电流电压与功率电压拟合曲线直观展示辨识效果，形成定量与定性相结合的完整评价体系。

2.6 参数约束条件

为保证辨识结果具有实际物理意义，必须对各参数设置合理的上下边界约束。参数范围的设定综合参考光伏器件物理特性、相关文献与工程经验，确保优化过程在有效空间内进行，避免出现无物理意义的参数结果，提升辨识结果的可靠性与可用性。

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三、智能优化算法原理

3.1 智能优化算法概述

群体智能优化算法通过模拟自然界生物群体的行为模式，利用个体之间的信息交流与协作，在解空间中进行自适应搜索，最终逼近全局最优解。这类算法不需要目标函数连续可导，对问题模型依赖性低，具有很强的通用性与鲁棒性，非常适合光伏参数辨识这类非线性、非凸、多局部最优的优化问题。

3.2 灰狼优化算法

灰狼优化算法模拟灰狼群体的社会等级制度与狩猎行为。算法将种群中的个体分为四个等级，分别对应最优解、次优解、第三优解与其余个体。在迭代过程中，灰狼个体通过跟踪等级最高的个体位置，逐步向全局最优区域靠拢。算法通过动态调整搜索步长，平衡前期全局搜索与后期局部开发能力，具有收敛速度快、结构简单、参数少、稳定性强等特点。在光伏参数辨识中，该算法能够快速锁定优质参数区间，并在后期进行精细搜索，有利于获得高精度辨识结果。

3.3 蜣螂优化算法

蜣螂优化算法模拟蜣螂的滚球、跳舞、觅食、繁殖、偷窃等一系列生存行为。算法将种群分为不同角色，各类个体按照不同规则更新位置，实现全局探索与局部挖掘的分工配合。生产者负责大范围搜索，拓展解空间；觅食者与繁殖者围绕优质区域进行局部搜索，提升精度；偷窃者则进一步增加种群多样性，避免早熟收敛。该算法全局搜索能力突出，能够有效避免陷入局部最优，但在部分工况下后期收敛波动较大，稳定性略低于其他算法。

3.4 野狗优化算法

野狗优化算法模拟野狗群体的分组、记忆、遗忘、补充与开发等行为特征。算法将整个迭代过程分为全局勘探与局部开发两个阶段，前期以大范围搜索为主，保证种群多样性，避免错过最优区域；后期集中进行局部精细搜索，提升收敛精度。算法通过分组策略增强信息交流，通过记忆与遗忘机制动态调整搜索方向，使算法在探索与开发之间保持良好平衡，具有较强的鲁棒性与适应性，在复杂优化问题中表现稳定。

3.5 算法在光伏参数辨识中的适配性

三种算法均采用种群迭代方式，能够在多维参数空间中并行搜索，非常适合光伏多模型参数辨识。通过合理设置种群规模、迭代次数与运行次数，可在计算效率与辨识精度之间取得平衡。三种算法各具优势，能够满足不同精度、不同稳定性需求的工程场景，为光伏参数辨识提供多样化、可选择的技术方案。

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四、实验设计与实施方案

4.1 实验环境与数据来源

本文所有实验在统一的计算机环境下运行，保证实验条件公平一致。实验所用实测电流电压数据来自标准测试数据集，数据包含多个电压电流采样点，能够完整覆盖光伏器件从短路到开路的全范围电气特性，为参数辨识提供可靠的真值依据。

4.2 实验方案设计

为保证对比结果公平可信，所有算法采用相同的种群规模、最大迭代次数与独立运行次数。通过多次独立运行降低随机因素影响，提高结果可信度。实验重点针对精度最高的光伏组件三二极管模型进行详细测试与分析，同时可扩展至单二极管与双二极管模型。实验过程包括初始化种群、迭代优化、记录最优参数、计算拟合误差、绘制收敛曲线与拟合曲线等步骤。

4.3 评价指标设定

本文采用多项指标综合评价算法性能，包括最优误差、平均误差、中位数误差、最差误差与误差标准差。最优误差反映算法的极限精度，平均误差与中位数误差反映算法的整体性能，最差误差反映算法的可靠性，误差标准差则直接体现算法的运行稳定性。结合收敛曲线与拟合曲线，可全面、客观、系统地评价算法优劣。

4.4 实验流程

实验按照标准化流程执行：首先加载实测电气特性数据，确定优化模型与参数边界；然后分别启动三种算法进行独立重复运行；每次运行记录最优适应度、最优参数与迭代收敛曲线；优化完成后计算电流电压与功率电压拟合曲线；最后对所有结果进行统计分析，生成对比表格与可视化图表，完成综合评估。

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五、实验结果与分析

5.1 收敛性能对比分析

收敛曲线反映算法在迭代过程中误差的下降趋势，是评价优化效率的重要依据。三种算法的收敛曲线呈现明显差异。灰狼优化算法下降速度最快，在迭代初期快速收敛，中期迅速趋于稳定，最终达到最低误差值，表现出优异的局部开发能力。野狗优化算法收敛过程平稳，无明显震荡，下降趋势均匀，展现出良好的搜索平衡性。蜣螂优化算法前期下降较快，但后期出现一定波动，难以稳定收敛，反映出其在深度开发方面存在一定不足。整体来看，三种算法均能有效收敛，其中灰狼优化算法优化效率最高，野狗优化算法运行最平稳，蜣螂优化算法探索能力最强。

5.2 拟合精度与稳定性分析

从误差统计结果可以看出，三种算法均能实现较低的拟合误差，满足工程高精度需求。灰狼优化算法的最优误差最低，平均误差与中位数误差同样处于最优水平，同时误差标准差最小，说明算法不仅精度高，而且多次运行结果一致性好、稳定性强。野狗优化算法各项指标居中，精度与稳定性较为均衡。蜣螂优化算法最优误差表现尚可，但误差标准差较大，最差误差偏高，说明算法运行结果离散度较大，稳定性相对较弱。综合精度与稳定性，灰狼优化算法整体表现最优，野狗优化算法次之，蜣螂优化算法更适合对全局搜索要求高、对稳定性要求相对宽松的场景。

5.3 电流电压与功率电压曲线拟合效果

拟合曲线直观反映参数辨识的实际效果。三种算法优化得到的参数，均可使模型计算曲线与实测数据点高度重合，电流电压曲线的整体趋势、拐点位置与实测数据高度一致，功率电压曲线的峰值大小、峰值位置与形状同样匹配良好。这表明三种算法均能有效捕捉光伏器件的电气特性，辨识得到的参数具有明确物理意义，能够真实还原实际输出特性。从细节上看，灰狼优化算法的曲线与实测点贴合最紧密，野狗优化算法次之，蜣螂优化算法在部分区间存在轻微偏差，与定量误差分析结果一致。

5.4 最优参数合理性分析

对三种算法得到的最优参数进行对比分析可见，所有参数均落在预设合理区间内，无异常数值，符合光伏电池与组件的物理特性。灰狼优化算法得到的参数在多次运行中更为集中，离散程度小；野狗优化算法参数分布相对稳定；蜣螂优化算法参数离散度略大，进一步说明其稳定性相对较弱。参数合理性验证了优化过程与结果的可靠性，证明本文所采用的方法能够有效提取符合实际工况的光伏等效参数。

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六、讨论

6.1 模型选择对辨识效果的影响

三种等效模型精度逐级提升，计算复杂度也相应增加。单二极管模型适合快速估算与实时仿真；双二极管模型兼顾精度与效率，适用于大多数工程场景；三二极管模型精度最高，适合光伏组件高精度建模。在实际应用中，可根据需求选择合适模型，在效率与精度之间取得平衡。

6.2 算法选择与工程适用性

三种算法在光伏参数辨识中各有优势。对精度与稳定性要求极高的场景，如实验室标定、出厂检测、故障诊断等，优先选择灰狼优化算法；对全局搜索能力要求高、希望尽可能避免局部最优的场景，可选择蜣螂优化算法；对稳定性与均衡性要求较高、希望算法在不同工况下均能稳定输出可靠结果的场景，野狗优化算法更为合适。

6.3 方法优势与改进方向

本文提出的基于多种新型智能算法的光伏参数辨识方法，有效克服了传统方法的缺陷，具有精度高、鲁棒性强、通用性好等优势。未来可从多方面进一步提升性能：引入自适应机制、混沌策略等改进算法，提升收敛速度与精度；拓展至变光照、变温度、老化等复杂工况，提高方法泛化能力；结合数据驱动与混合模型，实现更高效、更稳健的在线参数辨识。

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七、结论与展望

7.1 结论

本文将灰狼优化算法、蜣螂优化算法与野狗优化算法应用于光伏电池及组件参数辨识，构建了完整的多模型、多算法对比研究框架，得出以下结论：第一，三种新型智能优化算法均能有效解决光伏参数辨识问题，能够高精度还原实测电气特性曲线，满足工程建模与性能评估需求。第二，灰狼优化算法在收敛速度、拟合精度、运行稳定性等方面综合表现最佳，是光伏高精度参数辨识的优选算法。第三，野狗优化算法在全局勘探与局部开发之间保持良好平衡，算法运行平稳，适用性广泛。第四，蜣螂优化算法全局搜索能力突出，但稳定性相对较弱，更适合对全局探索要求较高的优化场景。第五，三二极管模型能够更准确地描述光伏组件电气特性，适合高精度组件建模与状态评估。

7.2 展望

未来研究可从以下方向深入拓展：一是对现有算法进行改进融合，结合多种算法优势，构建精度更高、稳定性更强的混合优化算法；二是开展多工况、变参数、老化退化等复杂场景下的参数辨识研究，提升方法的实际工程适配能力；三是将参数辨识模型与光伏发电系统仿真平台、在线监测系统结合，实现实时参数提取与状态评估；四是探索智能算法与深度学习、数字孪生等技术的融合应用，推动光伏发电系统向更智能、更高效、更可靠方向发展。

📚第二部分——运行结果

部分代码：

%% 函数功能：根据输入的模型编号F，返回对应光伏电池模型的参数边界、维度和目标函数

% 输入参数：F - 模型选择编号（1=单二极管SDM，2=双二极管DDM，3=光伏组件模型）

% 输出参数：lb - 参数下限向量；ub - 参数上限向量；dim - 待优化参数维度；fobj - 目标函数句柄

function [lb,ub,dim,fobj] = Get_Functions_PVcells(F)

% 根据模型编号选择对应的参数边界和目标函数

switch F

case 1

% ===================== 1：单二极管模型（SDM）=====================

% 参数下限：[光生电流Iph, 饱和电流I0, 串联电阻Rs, 并联电阻Rsh, 二极管理想因子n]

lb=[0 0 0 0 1];

% 参数上限

ub=[1 1e-6 0.5 100 2];

% 待优化参数维度（等于参数个数）

dim=length(lb);

% 目标函数：SDM模型的误差计算函数

fobj = @SDM_cal;

case 2

% ===================== 2：双二极管模型（DDM）=====================

% 参数下限：[Iph,I0,Rs,Rsh,n,I02,n2]（新增第二个二极管的饱和电流和理想因子）

lb=[0 0 0 0 1 0 1];

% 参数上限

ub=[1 1e-6 0.5 100 2 1e-6 2];

dim=length(lb);

% 目标函数：DDM模型的误差计算函数

fobj = @DDM_cal;

case 3

% ===================== 3：光伏组件模型（三二极管）=====================

% 参数下限：[Iph,I0,Rs,Rsh,n,I02,n2,I03,n3]（新增第三个二极管参数）

lb=[0 0 0 0 1 0 1 0 1];

% 参数上限

ub=[1 1e-6 0.5 100 2 1e-6 2 1e-6 2];

dim=length(lb);

% 目标函数：光伏组件模型的误差计算函数

fobj = @PVmodule_cal;

end

end

%% ===================== 子函数1：单二极管模型（SDM）误差计算 =====================

% 输入：x - 待优化的参数向量 [Iph,I0,Rs,Rsh,n]

% 输出：o - 模型计算电流与实测电流的均方根误差（RMSE）

function o = SDM_cal(x)

% 加载实测IV数据：Im-实测电流，Vm-实测电压

[Im,Vm]=IVload;

% 从参数向量中提取单二极管模型的5个核心参数

Iph = x(1); % 光生电流 (A)

I0 = x(2); % 二极管饱和电流 (A)

Rs = x(3); % 串联电阻 (Ω)

Rsh = x(4); % 并联电阻 (Ω)

n = x(5); % 二极管理想因子

% 物理常数定义

k = 1.380649e-23; % 玻尔兹曼常数 (J/K)

T = 306.15; % 电池工作温度 (K)

q = 1.602176634e-19; % 电子电荷量 (C)

% 热电压计算公式：Vth = kT/q

Vth = k*T/q;

Ns = 1; % 电池串联数（单体电池为1）

a = n*Vth*Ns; % 二极管等效热电压

% 单二极管模型电流求解公式（基于朗伯W函数）

I = -Vm./(Rs + Rsh) ...

- lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs ...

+ (Rsh.*(I0 + Iph))./(Rs + Rsh);

% 计算均方根误差RMSE：衡量模型预测值与实测值的拟合程度

o = sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));

end

%% ===================== 子函数2：双二极管模型（DDM）误差计算 =====================

% 输入：x - 待优化参数向量 [Iph,I0,Rs,Rsh,n,I02,n2]

% 输出：o - 模型预测值与实测值的RMSE

function o = DDM_cal(x)

[Im,Vm]=IVload; % 加载实测IV数据

% 提取双二极管模型7个参数

Iph = x(1); % 光生电流

I0 = x(2); % 第一个二极管饱和电流

Rs = x(3); % 串联电阻

Rsh = x(4); % 并联电阻

n = x(5); % 第一个二极管理想因子

I02 = x(6); % 第二个二极管饱和电流

n2 = x(7); % 第二个二极管理想因子

% 物理常数与热电压计算

k = 1.380649e-23;

T = 306.15;

q = 1.602176634e-19;

Vth = k*T/q;

Ns = 1;

a = n*Vth*Ns; % 第一个二极管等效热电压

a2 = n2*Vth*Ns; % 第二个二极管等效热电压

% 双二极管模型电流求解公式

I = -Vm./(Rs + Rsh) ...

- lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs ...

- lambertw(Rs.*I02.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I02 + Vm)./(a2.*(Rs + Rsh)))./(a2.*(Rs + Rsh))).*a2./Rs ...

+ (Rsh.*(I0 + Iph + I02))./(Rs + Rsh);

% 计算均方根误差

o = sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));

end

%% ===================== 子函数3：光伏组件（三二极管）模型误差计算 =====================

% 输入：x - 待优化参数向量 [Iph,I0,Rs,Rsh,n,I02,n2,I03,n3]

% 输出：o - 模型预测值与实测值的RMSE

function o = PVmodule_cal(x)

[Im,Vm]=IVload; % 加载实测IV数据

% 提取三二极管模型9个参数

Iph = x(1); % 光生电流

I0 = x(2); % 第一个二极管饱和电流

Rs = x(3); % 串联电阻

Rsh = x(4); % 并联电阻

n = x(5); % 第一个二极管理想因子

I02 = x(6); % 第二个二极管饱和电流

n2 = x(7); % 第二个二极管理想因子

I03 = x(8); % 第三个二极管饱和电流

n3 = x(9); % 第三个二极管理想因子

% 物理常数与热电压计算

k = 1.380649e-23;

T = 306.15;

q = 1.602176634e-19;

Vth = k*T/q;

Ns = 1;

a = n*Vth*Ns; % 第一个二极管等效热电压

a2 = n2*Vth*Ns; % 第二个二极管等效热电压

a3 = n3*Vth*Ns; % 第三个二极管等效热电压

% 三二极管（光伏组件）模型电流求解公式

I = -Vm./(Rs + Rsh) ...

- lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs ...

- lambertw(Rs.*I02.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I02 + Vm)./(a2.*(Rs + Rsh)))./(a2.*(Rs + Rsh))).*a2./Rs ...

- lambertw(Rs.*I03.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I03 + Vm)./(a3.*(Rs + Rsh)))./(a3.*(Rs + Rsh))).*a3./Rs ...

+ (Rsh.*(I0 + Iph + I02 + I03))./(Rs + Rsh);

% 计算均方根误差

o = sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));

end

🎉第三部分——参考文献 

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

🌈第四部分——本文完整资源下载

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