Flow-L1-0226​

本构模型

电流变液

极化链屈服应力模型

极化链模型的屈服应力预测公式 (用于ER流体设计)​

1. 微观模型：假设在电场下颗粒形成单链结构。单链断裂的临界剪切应力（屈服应力）可估算为：
τy​≈4.5ϕϵ0​ϵc​β2E2， 其中 ϕ为颗粒体积分数，ϵ0​=8.854×10−12F/m， ϵc​为连续相介电常数，β=(ϵp​−ϵc​)/(ϵp​+2ϵc​)为Clausius-Mossotti因子，E为电场强度。
2. 参数优化：为最大化 τy​， 需选择高 ϵp​的颗粒 (β→1)， 高 ϕ， 和高介电强度（允许高 E）的基液。

提供屈服应力与材料介电性能、浓度、电场的标度关系，用于材料筛选和性能上限估算。实际值受颗粒形状、分布、表面处理及多链相互作用影响，通常低于此估算。

静电学、偶极子相互作用、简化的颗粒链力学。

电流变液新材料开发、性能初步评估。特征：从第一性原理出发，关联微观属性与宏观性能。

变量：屈服应力 τy​[kPa]。
材料参数：颗粒介电常数 ϵp​(无量纲)， 基液介电常数 ϵc​， 颗粒体积分数 ϕ。
电场参数：电场强度 E[kV/mm]。

代数公式、屈服应力与电场平方成正比。

电流变液、极化链、屈服应力、介电性能。

1. 材料选择：确定颗粒（如 BaTiO₃, ϵp​≈2000）和基液（如硅油， ϵc​≈2.7）。
2. 计算极化因子：β=(2000−2.7)/(2000+5.4)≈0.998。
3. 设定工况：取 ϕ=0.3(30%)， E=3 kV/mm。
4. 计算屈服应力：τy​≈4.5×0.3×8.854×10−12×2.7×0.9982×(3×106)2≈2.9 kPa。
5. 对比实验：实测值可能为 1-2 kPa， 差异源于模型简化。

在电场中，颗粒极化形成链。屈服应力是破坏这些链所需的剪切应力。流向由外部驱动决定，但启动需克服此应力。

电流变液（可极化颗粒悬浮于绝缘油中）。

材料：颗粒：钛酸钡 (BaTiO₃)， 基液：二甲基硅油。
比例：颗粒体积分数 ϕ=30%±5%。表面活性剂（如油酸）添加量：~1 wt%。
纯度/特征：BaTiO₃ 颗粒直径 d=5μm±2μm， 介电常数 ϵp​≈2000(在1 kHz)。硅油粘度 ηc​=50 mPa\cdotps(25°C)， 介电常数 ϵc​=2.7， 电导率 < 10−10 S/m。
环境参数：工作温度 T=25∘C。工作电场强度 E=2−4 kV/mm(直流)。相对湿度 < 30%。

Flow-L1-0227​

流动模型

生物流体（动脉粥样硬化）

狭窄动脉中的血流

轴对称狭窄动脉的准一维流动模型 (用于压力梯度估算)​

1. 几何：假设动脉为轴对称圆管，具有余弦型狭窄：R(z)=R0​−2δ​(1+cos(πz/Ls​))， (

z

\le L_s)， 其中 R0​为正常半径，δ为最大狭窄深度，Ls​为狭窄半长。
2. 流动模型：假设准一维、不可压缩、牛顿流体、定常流。通过质量守恒 Q=πR(z)2u(z)和伯努利方程修正形式（忽略次要损失）：p1​−p2​=πR04​8μL​Q+2ρ​(A22​1​−A12​1​)Q2， 其中 A1​,A2​为入口和出口面积。狭窄区压力梯度更大。

可快速估算由几何狭窄引起的额外压力降，用于评估狭窄的血流动力学意义（如是否引起显著灌注压下降）。忽略了流动分离、非牛顿性和脉动性。

一维流动理论、质量守恒、准定常动量方程。

动脉狭窄的血流动力学评估、支架植入术前规划。特征：快速评估狭窄严重程度对血流阻力的影响。

变量：轴向坐标 z， 局部半径 R(z)， 压力 p(z)， 体积流量 Q。
几何参数：正常半径 R0​[mm]， 狭窄深度 δ[mm]， 狭窄半长 Ls​[mm]， 动脉总长 L[mm]。
血流参数：血液粘度 μ[Pa·s]， 密度 ρ[kg/m³]， 平均流量 Q[ml/s]。

代数方程、面积比函数。

动脉狭窄、一维模型、压力降、血流阻力。

1. 测量几何：从血管造影获得 R0​,δ,Ls​。例如， R0​=2 mm， δ=1 mm(50% 直径狭窄)， Ls​=5 mm。
2. 获取血流参数：取 μ=0.0035 Pa\cdotps， ρ=1050 kg/m3， Q=2.5 ml/s(对应平均流速 ~0.2 m/s)。
3. 计算狭窄处最小面积：Amin​=π(R0​−δ)2=π(1mm)2。
4. 计算压力降：使用公式，狭窄引起的额外压力降主要来自面积变化项。

血流通过狭窄区域时，流速增加，动能增加，压力降低（伯努利效应）。同时，粘性阻力在狭窄区因流速梯度的增加而增大。流向沿血管轴向。

Flow-L1-0228​

多相流模型

环境（地下水污染）

多相流与溶质运移

NAPL（非水相液体）污染物在地下水中运移的多相流模型​

1. 控制方程：耦合多相达西定律、毛细压力-饱和度关系、组分输运方程。
- 相守恒：∂t∂(ϕρα​Sα​)​+∇⋅(ρα​uα​)=Qα​， α=w(水), n(NAPL), a(空气)。
- 达西定律：uα​=−μα​krα​​K(∇pα​−ρα​g)。
- 毛细压力：pcnw​=pn​−pw​=f(Sw​)。
- 溶质输运：在含水相中对污染物浓度 C求解对流-扩散-反应方程，源项来自NAPL的溶解（线性驱动力模型：Rdiss​=k(Cs​−C)， Cs​为溶解度）。

能模拟NAPL在地下环境中的迁移、分布、残留和长期溶解过程，是污染场地评估与修复设计的核心工具。模型复杂，参数多且难以获取。

多孔介质多相流、达西定律、对流-扩散方程、相平衡。

加油站油品泄漏、化工污染物地调查与修复。特征：模拟不混溶流体（NAPL）在复杂地下环境（非饱和/饱和区）中的命运。

变量：各相饱和度 Sα​， 压力 pα​， 渗流速度 uα​， 溶解相浓度 C。
介质参数：孔隙率 ϕ， 固有渗透率张量 K[m²]， 毛细压力曲线参数（van Genuchten 参数 α,n）。
流体参数：各相密度 ρα​[kg/m³]， 粘度 μα​[Pa·s]， NAPL-水界面张力 σnw​[N/m]， 污染物溶解度 Cs​[kg/m³]。
初始与边界条件：污染源释放历史， 地下水位， 水力梯度。

耦合的非线性偏微分方程组、多相达西定律、对流-扩散-反应。

NAPL运移、多相流、地下水污染、毛细压力。

1. 建立概念模型：定义含水层结构、边界、污染源。
2. 参数赋值：测量或估计孔隙率、渗透率、毛细压力曲线、流体物性。
3. 初始条件：设定初始水饱和度和压力分布，以及NAPL的初始分布（如地下池体）。
4. 数值求解：耦合求解多相流动和溶质输运方程，模拟NAPL在重力和毛细力下的迁移、残留，以及溶解污染羽的形成与运移。

NAPL（密度大于或小于水）在重力、毛细力和地下水流动作用下在地下迁移。轻质NAPL（LNAPL）在地下水面形成浮层，重质（DNAPL）穿透含水层向下迁移。流动停止后，形成残留污染。地下水流动将溶解的污染物带走，形成污染羽。流向由水力梯度、重力和毛细力共同决定。

地下水（水相）、NAPL（有机污染物相，如汽油、TCE）、空气相（非饱和区），在多孔介质中流动，涉及相间传质。

材料：水相（地下水）， NAPL相（如四氯乙烯 PCE）， 土壤固相（如砂土）。
比例：含水层孔隙度 ϕ=0.3。残余水饱和度 Swr​=0.1。残余NAPL饱和度 Snr​=0.05−0.2。
纯度/特征：PCE密度 ρn​=1620 kg/m3， 粘度 μn​=0.9 mPa\cdotps， 水-PCE界面张力 σnw​=0.044 N/m， 水中溶解度 Cs​=200 mg/L。砂土渗透率 K=10−10 m2。
环境参数：地下水温度 T=10∘C。水力梯度 i=0.001−0.01。pH ~7。氧化还原电位：影响生物降解。

Flow-L1-0229​

本构模型

地球物理（冰川冰）

温度依赖的幂律蠕变

适用于冰川冰的Glen流变律与Arrhenius温度依赖​

1. 本构关系：ϵ˙=A(T)τn， 其中 ϵ˙为应变率第二不变量，τ为应力第二不变量，n≈3。
2. 速率因子：A(T)=A0​exp(−Q/(RT))， 其中 Q为活化能， R=8.314 J/(mol\cdotpK)。对于冰，典型值：A0​≈3.5×10−25 s−1 Pa−3(当 T<263K)， Q≈60 kJ/mol； A0​≈1.14×10−17 s−1 Pa−3(当 T≥263K)， Q≈139 kJ/mol(在更高温度下，晶界滑动机制激活，活化能增加)。
3. 有效粘度：ηeff​=21​A(T)−1/nϵ˙(1−n)/n。

是描述冰蠕变流动的标准模型。参数 A0​,Q,n由实验室蠕变实验和野外数据拟合得到，是冰盖模拟的核心输入。

高温蠕变理论、Arrhenius定律、幂律流体。

冰川和冰盖流动模拟、冰期预测。特征：冰的流动是极端温度敏感和非线性应力依赖的过程。

变量：应变率 ϵ˙[s⁻¹]， 应力 τ[Pa]， 有效粘度 ηeff​[Pa·s]。
材料参数：应力指数 n=3， 活化能 Q[J/mol]， 指前因子 A0​[s⁻¹ Pa⁻³]。
状态参数：绝对温度 T[K]， 压力 p[Pa] (通过影响熔点间接影响 T)。

幂律本构、Arrhenius温度依赖、有效粘度公式。

Glen流变律、冰蠕变、温度依赖、有效粘度。

1. 获取温度场：从热力学模型或测量得到冰内温度分布 T(z)。
2. 计算局部速率因子：根据 T选择相应的 A0​,Q， 计算 A(T)=A0​exp(−Q/(RT))。
3. 求解动量方程：通常用斯托克斯近似，耦合本构关系 τij​=2ηeff​ϵ˙ij​， 其中 ηeff​=21​A(T)−1/3ϵ˙e−2/3​， 迭代求解速度场和应力场。

冰在重力产生的剪切应力下发生缓慢的蠕变变形。应变率与应力的三次方成正比，且对温度极为敏感。温度每升高几度，应变率可增加一个数量级。流向由表面坡度（重力驱动）决定。

多晶冰，表现为非线性粘性（幂律）流体，粘度强烈依赖于温度和应变率。

材料：纯水冰。
比例：H₂O 分子。可能含微量气泡和杂质。
纯度/特征：冰晶尺寸：毫米至厘米量级。对于温带冰川（T≈273K）： A0​=1.14×10−17 s−1 Pa−3， Q=139 kJ/mol。典型有效粘度： 1013−1014 Pa\cdotps。
环境参数：冰温 T： 253 K (-20°C) 至 273 K (0°C)。压力 p： 从大气压到数十MPa（对应数千米冰厚）。应变率 ϵ˙： 10−12−10−8 s−1。

Flow-L1-0230​

流动模型

微流控、电动流动

薄双电层电渗流

Helmholtz-Smoluchowski 电渗流速度公式​

1. 假设：双电层（EDL）厚度 λD​远小于通道特征尺寸 H， 壁面 zeta 电位均匀，流体为牛顿流体，忽略压力梯度。
2. 公式：电渗流（EOF）体积平均速度（塞流速度）为：ueo​=−μϵζ​E， 其中 ϵ为流体介电常数，ζ为壁面 zeta 电位，μ为粘度，E=V/L为轴向电场强度。
3. 适用范围：H/λD​>20时成立。对于水溶液，λD​≈0.3/I​ nm， I为离子强度（mol/L）。

是微流控中电渗泵送和毛细管电泳的理论基石，形式简单，在薄EDL条件下高度准确。

静电学、Stokes流动、滑移速度边界条件。

微流控芯片中的流体驱动、毛细管电泳分离、电动混合。特征：产生扁平的塞状流型，无活动部件，流速与电场成正比。

变量：电渗流速度 ueo​[mm/s]， 轴向电场 E[V/cm]。
材料参数：流体介电常数 ϵ=ϵr​ϵ0​， ϵr​为相对介电常数（水~80）， zeta 电位 ζ[mV]， 流体粘度 μ[mPa·s]。
几何参数：通道长度 L[cm]， 电压 V[V]。
溶液参数：离子强度 I[mol/L]， pH值。

代数公式、线性关系。

电渗流、Helmholtz-Smoluchowski公式、塞状流、微流控。

1. 确定流体和壁面：例如，硼硅酸盐玻璃通道，1 mM KCl 溶液，pH=7。
2. 获取参数：查表得水在20°C：ϵr​=80.1， μ=1.002 mPa\cdotps。玻璃-水界面 ζ≈−50 mV。
3. 施加电场：设定 V=1000 V， L=10 cm， 则 E=100 V/cm=104 V/m。
4. 计算EOF速度：ueo​=−0.00100280.1×8.854×10−12×(−0.05)​×104≈3.54×10−3 m/s=3.54 mm/s。

轴向电场作用于双电层中的净电荷，产生库仑力，通过粘性力拖动整个通道内的流体像塞子一样运动。流向与电场方向一致（对负zeta电位）。

稀电解质溶液（如KCl缓冲液）在带电的微通道（如玻璃、PDMS）内流动，双电层很薄。

材料：流体：1 mM KCl 水溶液。通道材料：硼硅酸盐玻璃或PDMS。
比例：KCl浓度 1 mM => 离子强度 I=0.001 mol/L。
纯度/特征：去离子水（电阻率 > 18 MΩ·cm）。玻璃表面羟基化，zeta电位 ζ=−50±10 mV(pH7)。德拜长度 λD​=0.3/0.001​=9.5 nm。通道水力直径 Dh​=100μm>>λD​。
环境参数：温度 T=20−25∘C。施加电压 V=100−1000 V。背景压力梯度近似为0。

Flow-L1-0231​

多相流模型

能源（沸腾水反应堆）

子通道分析

沸腾水反应堆（BWR）燃料棒束子通道分析模型​

1. 方法：将棒束通道划分成多个相互连接的子通道，对每个子通道应用质量、能量和动量守恒方程，并考虑相邻子通道间的湍流交混（质量、动量和能量交换）。
2. 控制方程（稳态，对子通道 i）：
- 质量守恒：dzd​(ρi​ui​Ai​)=∑j​wij′′​Pij​， wij′′​为与相邻子通道 j的单位面积交混流量。
- 能量守恒：dzd​(ρi​ui​Ai​hi​)=qi′​Pheat,i​+∑j​wij′′​Pij​(hj​−hi​)。
- 动量守恒：−dzdpi​​=Dh,i​fi​​2ρi​ui2​​+ρi​g+形阻项+交混动量交换项。
3. 两相流处理：采用漂移流模型或均匀流模型计算两相流密度、压降和空泡份额。

是核反应堆堆芯热工水力安全分析的标准方法，能详细预测堆芯内流量、温度、空泡和压降分布。模型复杂，需要大量经验关系式（摩擦因子、交混系数、两相流模型）。

控制体积分、质量/能量/动量守恒、经验交混与两相流关系式。

核反应堆堆芯设计、安全分析、热点因子计算。特征：模拟紧密排列的燃料棒束内复杂的三维流动与传热，对反应堆安全至关重要。

变量：子通道内平均流速 ui​[m/s]， 焓 hi​[J/kg]， 压力 pi​[Pa]， 空泡份额 αi​。
几何参数：子通道流通面积 Ai​[m²]， 水力直径 Dh,i​[m]， 加热周长 Pheat,i​[m]， 间隙宽度 sij​[m]。
操作参数：进口总流量 W[kg/s]， 进口焓 hin​[J/kg]， 系统压力 p[MPa]， 线功率密度 ql′​[W/m]。
模型参数：湍流交混系数 β， 两相摩擦乘子 ϕLO2​， 空泡-流量关系（CISE 等）。

耦合的常微分方程组、经验关联式、强非线性。

子通道分析、BWR、两相流、交混。

1. 划分子通道：根据燃料棒排列，将横截面划分成多个控制体。
2. 建立方程：对每个子通道列出质量、能量、动量守恒的ODE，包含源项和相邻通道交换项。
3. 施加边界条件：入口总流量、焓、压力；出口压力。
4. 数值求解：沿流向（轴向）积分ODE系统，在每一轴向步长更新物性、两相流参数和交混流量，迭代求解直至收敛。
5. 输出：得到各子通道沿轴向的流量、焓、空泡、压力分布，找出最热通道和临界热流密度（CHF）位置。

冷却剂在平行燃料棒组成的流道中向上流动，被加热并逐渐沸腾。由于功率分布不均匀和几何不对称，子通道间存在横向的压力和焓差，驱动冷却剂交混，使流量和焓分布趋于均匀。流向总体向上。

高温高压水，在反应堆堆芯内经历单相加热、过冷沸腾、饱和沸腾等多相流态。

材料：冷却剂：轻水（H₂O）。燃料棒包壳：锆合金（Zircaloy）。
比例：纯水。可能含溶解氢和硼酸（化学补偿控制）。
纯度/特征：反应堆级高纯水，电导率 < 1 μS/cm。系统压力 p=7 MPa， 对应饱和温度 ~286°C。线功率密度 ql′​=10−50 kW/m。燃料棒直径 ~9.5 mm， 棒间距 ~12.5 mm。
环境参数：入口水温 Tin​=270−280∘C(欠热度 ~10-20K)。质量流速 G=1000−2000 kg/(m2s)。中子通量分布：决定非均匀内热源。

Flow-L1-0232​

本构模型

食品流体（番茄酱）

屈服应力与时间依赖性

番茄酱的 Herschel-Bulkley 模型参数典型值​

1. 流变测量：番茄酱是典型的屈服应力流体，且具有触变性。稳态流动曲线可用 Herschel-Bulkley 模型拟合：τ=τy​+Kγ˙​n， 其中 n<1。
2. 典型参数范围（取决于固形物含量、加工工艺）：
- 屈服应力 τy​：10 - 50 Pa
- 稠度系数 K：10 - 50 Pa·s^n
- 流动指数 n：0.2 - 0.4
3. 触变性：需另行进行阶跃剪切或滞后环实验表征结构破坏与恢复动力学。

能较好地描述番茄酱的稳态剪切流动行为，为管道输送、灌装设备设计提供流变参数。参数需针对具体产品测定。

非牛顿流体力学、经验拟合。

食品加工（泵送、混合、灌装）、口感质地研究。特征：具有显著的屈服应力和强烈的剪切变稀行为，静置后恢复凝胶结构。

变量：剪切应力 τ[Pa]， 剪切率 γ˙​[s⁻¹]。
材料参数：屈服应力 τy​， 稠度系数 K， 流动指数 n。
产品参数：可溶性固形物含量（°Brix）， pH值， 果胶含量。

幂律本构、屈服应力。

番茄酱、Herschel-Bulkley、屈服应力、剪切变稀。

1. 样品制备：将番茄酱样品在流变仪测量板上静置一段时间（如5分钟）以恢复结构。
2. 稳态剪切扫描：在剪切率从0.1到100 s⁻¹范围内进行上行扫描，记录稳态应力。
3. 数据拟合：用 Herschel-Bulkley 模型拟合稳态流动曲线，得到 τy​,K,n。
4. 应用：在泵送计算中，使用拟合的模型预测管路压降。

番茄酱在静置时像固体（屈服应力），需要一定外力（如挤压瓶子）才能开始流动。一旦开始流动，其内部颗粒网络被破坏，粘度急剧下降（剪切变稀），易于挤出。流向由压力梯度驱动。

番茄酱，一种复杂的悬浮液/凝胶，含有番茄固体颗粒、果胶、纤维素等。

材料：番茄浆、水、糖、盐、酸、果胶、香料。
比例：可溶性固形物含量：~12 °Brix。番茄固形物含量：5-7%。pH值：~4.2。
纯度/特征：屈服应力 τy​≈20 Pa。稠度系数 K≈20 Pa\cdotpsn。流动指数 n≈0.3。触变性恢复时间：数分钟至数十分钟。颗粒尺寸：几十至几百微米。
环境参数：储存/加工温度 T=4−25∘C。典型灌装剪切率 γ˙​≈10−100 s−1。

Flow-L1-0233​

流动模型

润滑

雷诺方程

用于流体动压润滑的雷诺方程​

1. 推导假设：基于Navier-Stokes方程，采用润滑近似（薄膜流动，忽略惯性，压力沿膜厚方向恒定，无滑移边界条件）。
2. 方程形式：对于不可压缩牛顿流体，稳态工况：
∂x∂​(12ηh3​∂x∂p​)+∂y∂​(12ηh3​∂y∂p​)=2U​∂x∂h​+V
其中 h(x,y)为膜厚，η为粘度，U为滑动速度，V为挤压速度（法向接近速度）。
3. 边界条件：压力在润滑区边界处为环境压力（通常为0）。

是流体动压润滑理论的基础，能计算润滑膜内的压力分布，从而预测承载能力、摩擦力和流量。精度依赖于润滑近似的有效性（膜厚远小于其他尺寸）。

润滑理论、Navier-Stokes方程简化、质量守恒。

滑动轴承、推力轴承、齿轮、活塞环-缸套的润滑分析。特征：描述在收敛间隙中由相对运动产生的流体压力，该压力支撑载荷。

变量：压力分布 p(x,y)[Pa]， 膜厚分布 h(x,y)[m]。
几何参数：轴承几何（如轴颈半径 R， 半径间隙 c， 偏心率 ϵ）， 轴承宽度 B[m]。
操作参数：滑动速度 U[m/s]， 载荷 W[N]， 粘度 η[Pa·s]。
流体参数：润滑油密度 ρ[kg/m³]， 粘度-压力关系（如Barus方程 η=η0​eαp）。

二阶椭圆型偏微分方程、变系数（与 h3相关）。

雷诺方程、流体动压润滑、油膜压力、承载能力。

1. 建立膜厚方程：根据轴承几何和轴心位置，写出 h(x,y)表达式。例如，对于径向滑动轴承：h(θ)=c(1+ϵcosθ)。
2. 求解雷诺方程：在计算域上数值求解（有限差分/有限元法），得到压力场 p(θ,y)。
3. 积分求力：对压力场积分得到油膜总承载能力 W=∫pcosθdA。
4. 迭代：调整轴心位置（偏心率 ϵ和偏位角 ϕ），使计算出的承载力与外力平衡。

当轴颈在轴承中旋转时，润滑油被带入收敛间隙。由于流体的粘性，在收敛区产生高压，在发散区产生低压（甚至空化），净压力分布产生一个支撑外载荷的力。流向主要沿周向（滑动方向）。

润滑油（牛顿流体，常考虑粘度随压力和温度变化），在微米量级的间隙中作缓慢流动。

材料：润滑油（如矿物油 SAE 30）。
比例：基础油+添加剂（抗磨、抗氧化等）。
纯度/特征：运动粘度（40°C）ν=100 cSt=100 mm2/s。密度 ρ=870 kg/m3。粘度-压力系数 α≈2×10−8 Pa−1。绝对粘度 η0​=ρν=0.087 Pa\cdotps。
环境参数：油温 T=40−100∘C。环境压力 pamb​=0.1 MPa。轴承半径间隙 c=50μm。偏心率 ϵ=0.5−0.9。滑动速度 U=10 m/s。

Flow-L1-0234​

多物理场模型

材料加工（选区激光熔化）

熔池动力学与匙孔效应

SLM 熔池的 VOF 模型与反冲压力模型​

1. 控制方程：耦合流体流动、传热、相变、自由表面和蒸发反冲压力。
- 流体：N-S方程，包含浮力、Marangoni力、Darcy阻尼（糊状区）。
- 自由表面：VOF法追踪气-液界面。
- 蒸发与反冲：在熔池表面高温区（T>Tv​），考虑蒸发质量损失和反冲压力 precoil​=0.54ps​exp(Lv​RTTs​T−Ts​​)， 其中 ps​为饱和蒸气压， Lv​为蒸发潜热。
2. 激光热源：移动的高斯体热源。

能高保真模拟SLM过程中熔池的形成、匙孔（keyhole）的不稳定性、飞溅和缺陷（气孔）的产生。计算量极其巨大。

计算流体力学、多相流、自由表面追踪、激光-物质相互作用、相变。

金属3D打印（SLM）工艺优化、缺陷预测与控制。特征：模拟极端条件下（高能量密度、快速熔化/凝固、剧烈蒸发）的熔池行为。

变量：速度 u， 压力 p， 温度 T， 液相分数 fl​， 气相分数 αg​。
工艺参数：激光功率 P[W]， 扫描速度 vs​[m/s]， 光斑半径 rs​[μm]， 铺粉厚度 t[μm]。
材料参数：随温度变化的密度、比热、导热系数、表面张力 γ及其温度系数 dγ/dT[N/(m·K)]， 蒸发温度 Tv​[K]， 蒸发潜热 Lv​[J/kg]。
初始条件：粉末床堆积模型。

耦合的N-S与能量方程、VOF方程、移动热源、强非线性源项。

选区激光熔化、熔池、匙孔、VOF、反冲压力。

1. 初始化粉末床：采用DEM等方法生成随机堆积的粉末层。
2. 激活激光：施加随时间/位置移动的高斯体热源。
3. 每个时间步：
a. 求解能量方程，更新温度场和液相分数。
b. 更新物性，计算浮力、Marangoni力、反冲压力（在 T>Tv​的表面）。
c. 求解VOF和动量方程，更新流场和自由表面。
d. 处理凝固（动量汇项）。
4. 后处理：分析熔池尺寸、匙孔稳定性、飞溅颗粒、最终孔隙。

高能激光束瞬间熔化金属粉末形成熔池。表面张力梯度（Marangoni效应）驱动强烈的对流。金属蒸发产生向外的蒸气射流和向内的反冲压力，使熔池表面凹陷，形成深熔匙孔。匙孔壁面的不稳定性可能导致其坍塌，困住气体形成气孔。流向复杂，由Marangoni流、反冲蒸气流和熔池流动共同决定。

金属（如Ti-6Al-4V, 316L不锈钢）的熔液、固态金属、金属蒸气和保护气体（Ar）。

材料：金属粉末（Ti-6Al-4V， 粒径 d=20−50μm）， 保护气体（Ar）。
比例：粉末材料成分：Ti-6Al-4V (Al~6%， V~4%， 余量Ti)。保护气体：纯Ar。
纯度/特征：粉末球形度 > 0.7， 流动性好。固态密度 ρs​=4430 kg/m3， 液态密度 ~3900 kg/m³。熔点 Tm​=1923 K， 沸点 Tv​≈3315 K。表面张力 γ=1.65 N/m， dγ/dT=−0.00026 N/(m\cdotpK)。
环境参数：激光功率 P=200−400 W。扫描速度 vs​=1.0−2.0 m/s。光斑直径 2rs​=80−120μm。保护气压力 pAr​=1 atm。基板预热温度 T0​=80−200∘C。

Flow-L1-0235​

数据驱动模型

湍流建模

神经网络替代应力

基于神经网络的亚格子应力模型 (用于LES)​

1. 方法：用卷积神经网络（CNN）学习从滤波后的流场变量（如速度梯度、应变率、涡量）到亚格子（SGS）应力张量 τijsgs​的映射。
2. 输入特征：通常包括滤波后的应变率张量 Sˉij​和涡量张量 Ωˉij​的不变量，以及到壁面的距离 dw​等。需满足伽利略不变性等物理约束。
3. 训练：使用高分辨率DNS数据，对滤波后的DNS速度场施加与LES相同尺寸的滤波器，得到“真实”的SGS应力 τijsgs,DNS​=ui​uj​​DNS−uˉiDNS​uˉjDNS​作为标签，训练CNN。

在训练数据涵盖的流动中，精度可超越传统模型（如Smagorinsky），能更好地再现各向异性和反向能量级串。泛化能力和计算开销是挑战。

机器学习、深度学习、张量不变性原理、湍流物理。

改进复杂几何湍流的LES模拟精度，如分离流、旋转流。特征：数据驱动，能学习传统模型难以描述的复杂SGS应力关系。

变量：输入特征张量 X， 输出SGS应力张量 τijsgs​。
网络参数：CNN的层数、卷积核大小、通道数、激活函数。
训练数据：来自DNS的流场快照及其滤波后的对应数据对 (X, τijsgs,DNS​)。

黑箱函数逼近、卷积操作、端到端学习。

神经网络、亚格子应力、LES、深度学习。

1. 数据生成：对目标流动（如槽道湍流）进行DNS，保存大量三维流场快照。
2. 数据预处理：对每个DNS快照施加测试滤波器（如盒式滤波器，尺度 Δ=2h， h为LES网格尺寸），计算滤波后的速度场、应变率、涡量以及“真实”SGS应力。
3. 构建与训练CNN：设计满足物理约束的CNN架构，以滤波后的变量为输入，SGS应力为输出，进行监督学习。
4. 部署：将训练好的CNN集成到LES求解器中，在需要SGS应力的地方调用。

在LES中，大尺度运动被直接求解，小尺度（亚格子）运动的影响需要通过模型提供应力项来封闭。神经网络模型通过学习DNS数据中的关联，直接预测这个应力项。流向由滤波后的N-S方程描述，SGS应力由神经网络提供。

牛顿流体湍流，适用于与训练数据相似的流动类型（如槽道流、圆柱绕流）。

材料：流体：空气或水。
比例：单一组分牛顿流体。
纯度/特征：训练数据来自DNS，雷诺数 Reτ​=180或 550（基于摩擦速度和半槽宽）。流动状态：充分发展的湍流。DNS网格分辨率极高（如 1536×1024×768）。
环境参数：平均压力 p=1 atm。温度 T=300 K。对于槽道流，驱动方式为固定压力梯度或固定流量。

Flow-L1-0236​

多相流模型

微重力流体管理

毛细驱动流动

Washburn方程 (用于毛细管中液体自发浸润)​

1. 物理过程：液体在毛细力驱动下，自发渗入水平的圆柱形毛细管。
2. 方程：假设准静态、惯性可忽略、泊肃叶流，液柱前进长度 L与时间 t的关系为：L2=2μγRcosθ​t， 其中 R为毛细管半径，γ为表面张力，θ为接触角，μ为液体粘度。
3. 适用条件：低毛细数 Ca=μU/γ≪1， 且忽略重力。

能准确预测低毛细数下液体在毛细管中的自发填充动力学。是分析多孔介质渗吸、微流控毛细填充的基础模型。

毛细作用、泊肃叶定律、力平衡。

纸张墨水渗透、多孔介质吸液、微流控芯片的被动泵送。特征：利用毛细力驱动流体，无需外部泵。

变量：浸润长度 L(t)[m]， 时间 t[s]。
几何参数：毛细管半径 R[m]。
物性参数：液体表面张力 γ[N/m]， 粘度 μ[Pa·s]， 接触角 θ[°]。

长度与时间的平方根关系（L ∝ √t）。

Washburn方程、毛细填充、自发浸润、平方根律。

1. 测量参数：获得 R,γ,μ,θ。
2. 计算系数：k=2μγRcosθ​​。
3. 预测或拟合：L(t)=kt​。通过实验测量 L(t)曲线，可反求接触角 θ或有效半径。

液体在毛细管入口处因表面张力作用被拉入管内，形成的弯液面产生毛细压力差 2γcosθ/R， 驱动液体克服粘性阻力向前流动。流向沿毛细管轴向。

牛顿流体（如水、油）在亲液性毛细管中自发浸润。

材料：液体：去离子水。毛细管：玻璃。
比例：纯水。
纯度/特征：水表面张力 γ=0.072 N/m(20°C)。粘度 μ=1.0 mPa\cdotps。玻璃-水接触角 θ≈20∘。毛细管半径 R=100μm。
环境参数：温度 T=20∘C。环境压力 p=1 atm。无外加压力梯度。

Flow-L1-0237​

本构模型

地球物理（地幔）

扩散蠕变

地幔矿物（橄榄石）扩散蠕变的流变律​

1. 机制：在低应力、小颗粒、高温条件下，地幔岩石变形受原子扩散控制。应变率与应力成线性关系（n=1）。
2. 本构方程：ϵ˙=AD​dmσ​exp(−RTED​+pVD​​)， 其中 AD​为指前因子，ED​为扩散活化能，VD​为活化体积，d为晶粒尺寸，指数 m≈2−3（晶界扩散）或 1（晶格扩散）。
3. 有效粘度：ηeff​=2ϵ˙σ​=2AD​dm​exp(RTED​+pVD​​)。

是描述上地幔（软流圈）等高温、低应力区域流变行为的重要模型。参数通过高温高压实验和理论估算得到，存在不确定性。

固体物理（扩散理论）、高温高压实验、Arrhenius方程。

地球动力学模拟中的软流圈流变、板块构造的长期变形。特征：应变率与应力成正比，粘度与晶粒尺寸的幂次成反比。

变量：应变率 ϵ˙[s⁻¹]， 偏应力 σ[MPa]， 有效粘度 ηeff​[Pa·s]。
材料参数：指前因子 AD​[MPa⁻¹·s⁻¹·μm^m]， 活化能 ED​[kJ/mol]， 活化体积 VD​[cm³/mol]， 晶粒尺寸 d[mm]， 指数 m。
状态参数：绝对温度 T[K]， 压力 p[GPa]。

线性本构（应力指数n=1）、强温度压力依赖、晶粒尺寸影响。

扩散蠕变、地幔流变、橄榄石、晶粒尺寸。

1. 确定主导机制：根据温度、应力、晶粒尺寸判断是晶格扩散（Nabarro-Herring， m=1）还是晶界扩散（Coble， m=3）主导。
2. 获取参数：例如，对橄榄石晶格扩散：AD​≈106 MPa−1s−1μm1， ED​≈300 kJ/mol， VD​≈6 cm3/mol。
3. 计算应变率或粘度：代入当前 T,p,σ,d进行计算。

在扩散蠕变机制下，晶体在应力梯度下通过原子的定向扩散发生变形。变形速率受原子迁移的快慢控制，因此与应力线性相关，且强烈依赖于温度和晶粒尺寸。流向由构造应力或浮力驱动。

上地幔主要矿物橄榄石 [(Mg,Fe)₂SiO₄] 的多晶集合体，在高温高压下表现为线性粘性流体。

材料：橄榄石（上地幔主要矿物，如 Fo₉₀）。
比例：镁橄榄石 (Fo) 与铁橄榄石 (Fa) 摩尔比 ~9:1。
纯度/特征：晶粒尺寸 d=1−10 mm。典型扩散蠕变参数：AD​=1.0×106 MPa−1s−1μm1， ED​=300 kJ/mol， VD​=6 cm3/mol， m=1。
环境参数：温度 T=1300−1600 K。压力 p=3−13 GPa(对应深度~100-400 km)。偏应力 σ=0.1−10 MPa。应变率 ϵ˙=10−16−10−12 s−1。

Flow-L1-0238​

多物理场模型

环境（大气扩散）

高斯烟羽模型

帕斯奎尔-吉福德（Pasquill-Gifford）扩散参数模型​

1. 模型核心：高斯烟羽公式 C(x,y,z)=2πuσy​σz​Q​exp(−2σy2​y2​)[exp(−2σz2​(z−H)2​)+exp(−2σz2​(z+H)2​)]中，扩散参数 σy​(x)和 σz​(x)是下风向距离 x和大气稳定度等级（A: 极不稳定, B: 不稳定, C: 略不稳定, D: 中性, E: 略稳定, F: 稳定）的函数。
2. P-G曲线/公式：提供了一套经验公式或图表，用于根据稳定度等级和距离查取 σy​和 σz​。例如，对于D类（中性）条件，常用公式：σy​=0.08x(1+0.0001x)−1/2， σz​=0.06x(1+0.0015x)−1/2（x单位：m）。

是环境风险评价和应急响应中最广泛使用的模型，快速简便。精度受限于平坦地形、稳态均匀流场的假设，无法处理复杂气象和地形。

梯度输运理论（K理论）在特定条件下的解析解、湍流统计经验关系。

工厂连续排放评估、核事故后果预测、环境规划。特征：快速估算地面浓度分布，需输入风速、稳定度和源强。

变量：浓度 C(x,y,z)[g/m³ 或 Bq/m³]， 下风向距离 x[m]， 横风距离 y[m]， 高度 z[m]。
源参数：排放率 Q[g/s 或 Bq/s]， 有效源高 H[m]（物理高度+抬升高度）。
气象参数：平均风速 u[m/s]（通常为10m高）， 大气稳定度等级（A-F）。
P-G参数：扩散参数 σy​(x),σz​(x)。

解析公式、查表或经验公式获取参数。

高斯烟羽、Pasquill-Gifford、大气扩散、稳定度。

1. 确定源和气象：获取 Q,H,u， 并根据太阳辐射、云量和风速确定Pasquill稳定度等级。
2. 计算扩散参数：对于给定距离 x， 根据稳定度等级查P-G图表或使用相应公式计算 σy​(x)和 σz​(x)。
3. 计算浓度：将参数代入高斯烟羽公式，计算感兴趣点的浓度，如地面最大浓度（设 y=0,z=0）。

污染物从点源连续释放，被平均风向下风向输送，同时因大气湍流在横向和垂直方向扩散，浓度分布呈高斯型。稳定的大气抑制垂直扩散（σz​小），不稳定的空气促进扩散（σz​大）。流向沿平均风向。

气体或小颗粒污染物（被动标量）在湍流大气中扩散，不考虑自身动力和浮力。

材料：污染物（如SO₂， 放射性核素）， 背景大气（空气）。
比例：污染物浓度极低（ppm至ppb量级）， 视为示踪物。
纯度/特征：污染物物性（密度、沉积速度）通常忽略。大气湍流特征由稳定度等级参数化。
环境参数：10米高风速 u10​=2−6 m/s。稳定度等级：最常见为D类（中性）。地表粗糙度 z0​=0.1−1.0 m（乡村到城市）。混合层高度：影响垂直扩散范围。

Flow-L1-0239​

生物流体模型

微流控、细胞分离

惯性聚焦与确定性侧向位移

确定性侧向位移（DLD）阵列的临界直径模型​

1. 原理：在微柱阵列中，流体被分割成流线。颗粒根据其尺寸与阵列临界直径 Dc​的关系选择不同路径：大于 Dc​的颗粒被偏转，小于 Dc​的颗粒随流线运动。
2. 临界直径：Dc​≈1.4Gϵ0.48， 其中 G为柱间间隙，ϵ=tanθ， θ为阵列倾斜角。更精确的模型为：Dc​=1.8Gϵ0.44Re0.09， Re为通道雷诺数。
3. 分离：通过设计 G和 ϵ， 使目标细胞（如循环肿瘤细胞， ~15-25 μm）的直径 Dp​>Dc​而被偏转收集，而血细胞（~6-8 μm）<Dc​直行流出。

能实现基于尺寸的高通量、高纯度细胞分选，无需标记。设计关键在于准确预测 Dc​并加工精确的微柱阵列。

低雷诺数流体力学、颗粒-流线相互作用、几何筛选。

循环肿瘤细胞（CTC）分离、血细胞分型、外泌体富集。特征：无标记、连续流、高回收率和纯度。

变量：颗粒直径 Dp​[μm]， 临界直径 Dc​[μm]。
几何参数：柱间隙 G[μm]， 阵列周期 λ[μm]， 倾斜角 θ[°]， 柱直径 Dpost​[μm]。
流动参数：平均流速 U[mm/s]， 通道雷诺数 Re=ρUG/μ。
颗粒参数：尺寸 Dp​， 形状。

几何标度律、经验公式。

确定性侧向位移、DLD、惯性微流控、细胞分选。

1. 设计目标：确定要分离的颗粒尺寸 Dp,target​和背景颗粒尺寸 Dp,bg​。
2. 选择几何参数：设定 G和 θ， 使得 Dp,bg​<Dc​(G,θ)<Dp,target​。
3. 加工与实验：制作DLD芯片，用已知尺寸的颗粒标定实际的 Dc​。
4. 运行分离：将样品以一定流速注入，收集不同出口的馏分。

流体在微柱阵列中流动，形成周期性的收缩-扩张流场。小颗粒能紧密跟随流线，在阵列中“之字形”前进。大颗粒因其尺寸无法完全跟随收缩区的流线，与柱体发生碰撞，导致其运动方向发生净偏转。流向总体沿芯片轴向，但大颗粒轨迹被偏转。

细胞或颗粒悬浮在缓冲液（如水、PBS）中，在低雷诺数下流经微柱阵列。

材料：缓冲液（磷酸盐缓冲液PBS）， 细胞（如白细胞WBC， 循环肿瘤细胞CTC）。
比例：细胞浓度：~10⁶ cells/mL 于 PBS 中。
纯度/特征：PBS：密度 ~1000 kg/m³， 粘度 ~1 mPa·s。WBC直径 DWBC​=8−12μm。CTC直径 DCTC​=15−25μm。DLD芯片材料：PDMS或硅玻璃。
环境参数：温度 T=20−25∘C。流速 U=1−10 mm/s(对应 Re∼0.1−1)。芯片典型几何：G=20μm， θ=1/20 (ϵ=0.05)， 则 Dc​≈1.4×20×0.050.48≈9.5μm， 可分离CTC与WBC。

Flow-L1-0240​

本构模型

超临界流体

高压缩性、强物性变化

超临界CO₂的类气体/类液体行为与输运性质模型​

1. 状态方程：采用高精度状态方程（如 Span-Wagner EOS for CO₂）计算密度 ρ(p,T)、焓 h(p,T)等。
2. 输运性质：粘度 μ和导热系数 k的关联式，如 Vesovic 模型 for CO₂， 是 p和 T的复杂函数。在临界点附近，这些性质变化剧烈。
3. 应用：在流动与传热模拟中，必须实时调用物性数据库或关联式，因为物性在很窄的 p,T范围内变化可达数量级。

能准确描述超临界流体在临界点附近的异常物性行为，是超临界系统设计的基础。精度依赖于所用EOS和输运性质模型的准确性。

热力学、统计力学、对应态原理。

超临界CO₂萃取、超临界水氧化、超临界发电循环（如sCO₂布雷顿循环）。特征：密度近液体，粘度近气体，扩散性强，物性对 p,T极端敏感。

变量：密度 ρ[kg/m³]， 动力粘度 μ[Pa·s]， 导热系数 k[W/(m·K)]， 定压比热 cp​[J/(kg·K)]。
状态参数：压力 p[MPa]， 温度 T[K]。
临界参数：临界压力 pc​， 临界温度 Tc​。

复杂的隐式代数方程（EOS）、物性曲面、临界奇点。

超临界流体、物性模型、CO₂、临界点。

1. 确定状态：给定操作压力 p和温度 T。
2. 调用物性模型：使用 Span-Wagner EOS 计算 ρ,h,s,cp​等。
3. 调用输运模型：使用 Vesovic 等模型计算 μ,k。
4. 在CFD中耦合：在求解控制方程时，每个单元根据其当地的 p,T更新物性。

超临界流体在流动过程中，其物性随压力和温度变化而剧烈变化，这反过来又强烈影响流速、传热和压降。例如，在拟临界温度附近，比热 cp​出现峰值，导致传热强化或恶化。流向由压力梯度驱动，但浮力效应可能显著。

超临界二氧化碳（或其他流体），处于临界点（Tc​=304.13K,pc​=7.377MPafor CO₂）之上的单相流体。

材料：二氧化碳（CO₂）。
比例：高纯度 CO₂ (>99.9%)。
纯度/特征：临界参数：Tc​=304.13 K， pc​=7.377 MPa， ρc​=467.6 kg/m3。典型操作点：T=305−350 K， p=8−30 MPa。在拟临界区（~305-310K）， cp​可从 1 kJ/(kg·K) 激增至 20-100 kJ/(kg·K)。
环境参数：操作压力 p=8−30 MPa。操作温度 T=305−350 K。质量流速 G=100−2000 kg/(m2s)。

Flow-L1-0241​

多相流模型

能源（流化床）

气固两相流

Gidaspow 气固两相流模型 (双流体模型+KTGF)​

1. 控制方程：将气体和固体颗粒相都视为相互渗透的连续介质，分别求解其质量、动量和能量方程。
2. 本构关系：
- 气体相应力：牛顿流体。
- 固体相应力：由颗粒碰撞产生，采用 kinetic theory of granular flow (KTGF) 模拟，包括颗粒温度方程、固体压力、剪切和体积粘度。
3. 曳力模型：Gidaspow 模型是 Wen-Yu 模型（稀相）和 Ergun 方程（密相）的组合：当 αg​>0.8， 用 Wen-Yu；否则用 Ergun。

是模拟鼓泡流化床、循环流化床等气固系统的标准模型。能预测空隙率分布、颗粒速度、压降和混合行为。计算量较大。

双流体模型、颗粒动理学、多相流守恒方程。

流化床反应器、气力输送、颗粒干燥。特征：模拟密集气固两相流动，颗粒相具有“拟流体”特性。

变量：气相/固相体积分数 αg​,αs​， 速度 ug​,us​， 压力 p， 颗粒温度 Θ。
颗粒参数：颗粒直径 dp​[μm]， 颗粒密度 ρs​[kg/m³]， 恢复系数 e， 最大颗粒堆积分数 αs,max​。
操作参数：表观气速 Ug​[m/s]， 初始床高 H0​[m]， 压力 p。
曳力模型参数：Gidaspow 组合系数。

耦合的非线性偏微分方程组、相间交换项、KTGF本构。

Gidaspow模型、双流体模型、流化床、颗粒动理学。

1. 初始化：设定初始床层（固相堆积），上部为气相。
2. 求解守恒方程：耦合求解两相的质量、动量方程，其中固相动量方程包含来自KTGF的应力项。
3. 计算相间作用：根据当地空隙率选择曳力模型，计算相间动量交换系数 β。
4. 求解颗粒温度方程（可选，用于封闭固相应力）。
5. 时间推进，模拟鼓泡、节涌等流态。

气体从底部分布板进入，流化固体颗粒床层。气体相作为连续相流动，固体颗粒相被视为另一种连续介质，两者通过相间曳力、虚拟质量力等相互作用。颗粒间的碰撞通过KTGF描述的应力来模拟。流向总体向上，但存在复杂的颗粒循环。

气体（如空气）和固体颗粒（如催化裂化催化剂、砂子）组成的稠密气固两相流。

材料：气体：空气。颗粒：FCC催化剂或玻璃珠。
比例：初始固定床空隙率 αg0​≈0.4。流化时空隙率在床内分布不均，底部密相区 αg​≈0.5−0.7， 上部稀相区 αg​>0.9。
纯度/特征：颗粒直径 dp​=60−100μm。颗粒密度 ρs​=1500−2500 kg/m3。颗粒恢复系数 e=0.9。最大堆积分数 αs,max​=0.63。空气密度 ρg​=1.2 kg/m3， 粘度 μg​=1.8×10−5 Pa\cdotps。
环境参数：操作温度 T=20−900∘C（取决于过程）。操作压力 p=0.1−2 MPa。表观气速 Ug​=0.1−2 m/s（对应鼓泡/湍流流态）。床径 D=0.1−10 m。

Flow-L1-0242​

流动模型

流体机械（离心泵）

性能曲线

离心泵的相似定律 (Affinity Laws)​

1. 定律：对于几何相似的泵，当转速 n或叶轮直径 D变化时，性能参数按以下比例变化：
- 流量：Q∝nD3
- 扬程：H∝n2D2
- 轴功率：P∝n3D5
2. 前提：效率近似不变，且流动状态保持相似（雷诺数足够高，处于自模区）。

用于快速估算泵在转速或叶轮切割后的新性能，是泵选型和调速运行的基础。是近似定律，实际中效率会变化，且切割叶轮会破坏严格几何相似。

流体机械相似理论、量纲分析。

泵的选型、变速调节性能预测、叶轮切割估算。特征：快速的比例换算，无需详细内部流场分析。

变量：流量 Q[m³/s]， 扬程 H[m]， 轴功率 P[W]， 转速 n[rpm]， 叶轮直径 D[m]。
参考工况：已知在 (n0​,D0​)下的性能 (Q0​,H0​,P0​)。

简单的幂律比例关系。

相似定律、离心泵、比例定律、变速调节。

1. 已知基准性能：从泵性能曲线查得在转速 n0​、直径 D0​下的 (Q0​,H0​,P0​)。
2. 计算新工况：若转速变为 n1​， 则 Q1​=Q0​(n1​/n0​)， H1​=H0​(n1​/n0​)2， P1​=P0​(n1​/n0​)3。
3. 绘制新曲线：对一系列转速重复计算，得到一族新的性能曲线。

泵的性能（流量、扬程、功率）由叶轮的旋转运动决定。相似定律反映了这些参数与转速和尺寸的标度关系。流向由叶轮旋转驱动，从轴向吸入，径向（离心）或混流排出。

牛顿流体（最常见为水），在离心泵内作湍流流动。

材料：输送介质：清水。
比例：纯水。
纯度/特征：清水密度 ρ=1000 kg/m3， 粘度 μ=1.0 mPa\cdotps(20°C)。对粘性流体，需用粘度修正公式。
环境参数：介质温度 T=20∘C。进口压力 pin​≈1 atm。基准转速 n0​=2900 rpm(50Hz 两极电机)。叶轮直径 D0​=200 mm。基准工况点：Q0​=100 m3/h， H0​=50 m， P0​=20 kW。

Flow-L1-0243​

本构模型

聚合物（熔体纺丝）

纤维拉伸与固化

熔体纺丝线上的结晶动力学模型 (Nakamura模型)​

1. 结晶速率：聚合物结晶速率是过冷度 (ΔT=Tm​−T) 和分子取向的函数。Nakamura模型描述结晶度 X(t)演化：dtdX​=nK(1−X)[−ln(1−X)](n−1)/n， 其中 K=K0​exp(−R(T−T∞​)U∗​)exp(−TΔTC​)， n为Avrami指数， U∗,T∞​,C为材料参数。
2. 与流动耦合：纺丝线上的温度 T(z)和拉伸速率影响结晶动力学。结晶放热影响温度场，结晶度影响粘度。

能模拟纺丝过程中结晶的发生与发展，预测纤维的微观结构和最终力学性能。模型复杂，参数需专门实验测定。

聚合物结晶动力学、Avrami方程、热传导。

合成纤维（涤纶PET、尼龙）生产。特征：模拟在快速冷却和拉伸条件下，聚合物从熔体到部分结晶固体的转变。

变量：结晶度 X(z)， 沿纺丝线位置 z。
材料参数：平衡熔点 Tm​[K]， Avrami指数 n， 动力学参数 K0​， U∗[J/mol]， T∞​[K]， C[K²]。
工艺参数：纺丝线冷却条件， 纺丝速度， 卷绕张力。

常微分方程（结晶动力学）、与能量方程耦合。

熔体纺丝、结晶动力学、Nakamura模型、纤维结构。

1. 求解纺丝线模型：先求解不考虑结晶的流动、传热方程，得到速度 v(z)和温度 T(z)分布。
2. 计算结晶：沿纺丝线，以 dt=dz/v(z)将结晶动力学方程积分，计算 X(z)。
3. 考虑耦合：将结晶潜热加入能量方程，用更新后的 T(z)重复步骤2，迭代至收敛。

聚合物熔体从喷丝板挤出后，在拉伸和冷却下，分子链取向并开始结晶。结晶过程释放潜热，影响冷却速率。结晶度影响纤维的模量和收缩率。流向沿纺丝线轴向。

聚合物熔体（如PET），在纺丝线上经历拉伸流动、冷却和结晶相变。

材料：聚对苯二甲酸乙二醇酯 (PET)。
比例：纯聚合物切片，特性粘度 [η] = 0.64 dL/g。
纯度/特征：玻璃化转变温度 Tg​≈70∘C， 平衡熔点 Tm​≈280∘C。结晶动力学参数（PET示例）： n=3， K0​=5.5×1020 s−n， U∗/R=1500 K， T∞​=227 K， C=3.2×105 K2。结晶潜热 ΔHc​=140 J/g。
环境参数：挤出温度 T0​=290∘C。冷却风温 Tair​=20∘C。卷绕速度 vL​=3000−5000 m/min。纺丝线长度 L=5−10 m。

Flow-L1-0244​

多物理场模型

电化学（燃料电池）

质子交换膜中的水传输

Nafion膜中水渗透与电渗拖拽模型​

1. 水传输机制：在PEM中，水以溶解水形式存在，传输由扩散、电渗拖拽和压力驱动渗透共同贡献。
2. 水通量方程：
- 扩散：Nw,diff​=−Dw​∇cw​， cw​为水浓度， Dw​(λ,T)为扩散系数，与膜水含量 λ(mol H₂O/mol SO₃⁻) 相关。
- 电渗拖拽：Nw,EC​=nd​Fi​， nd​为电渗拖拽系数（~1-2.5， 与 λ相关）， i为电流密度， F为法拉第常数。
- 渗透：Nw,hydr​=μw​kp​​∇p， kp​(λ)为水力渗透率。
3. 总通量：Nw​=Nw,diff​+Nw,EC​+Nw,hydr​。

是PEMFC水管理模型的核心部分，用于预测膜的水合状态和质子电导率。模型参数（Dw​,nd​,kp​）通过实验测得，是温度和湿度的函数。

非平衡热力学、多孔介质传输、电化学。

质子交换膜燃料电池的水热管理、膜电极组件设计。特征：模拟水在固体聚合物电解质中的复杂输运，对电池性能至关重要。

变量：膜中水含量 λ(x)或水浓度 cw​， 水通量 Nw​[mol/(m²s)]， 电流密度 i[A/m²]。
膜参数：膜厚度 tm​[μm]， 干膜等效重量 EW[g/mol]， 水传输参数 Dw​(λ,T)， nd​(λ)， kp​(λ)。
操作参数：膜两侧的水活度 aw,an​,aw,cat​， 压力 p， 温度 T。

对流-扩散型方程、与电流耦合。

Nafion膜、水传输、电渗拖拽、燃料电池。

1. 计算膜两侧边界条件：由阳极和阴极气体通道的水蒸气分压计算与水含量平衡的活度 aw​。
2. 求解膜水平衡：在膜内求解水传输方程（通常一维），在给定电流密度 i下，计算水含量分布 λ(x)。
3. 更新膜性质：由 λ(x)计算局部质子电导率 σ(λ,T)和其他参数。
4. 耦合求解：与电池其他部分（催化层、气体扩散层）的方程耦合迭代。

水在PEM中从高水含量侧（通常为阳极，因氢气加湿）向低水含量侧（阴极，水被生成和带走）扩散。质子迁移时拖拽水分子从阳极到阴极（电渗拖拽）。压力差也可能驱动水渗透。流向：垂直于膜平面，从阳极指向阴极（对电渗拖拽和水扩散而言）。

水以溶解态存在于全氟磺酸膜（如Nafion）中，传输与质子传导和外部条件耦合。

材料：质子交换膜：Nafion 117。水：溶解于膜中。
比例：膜水含量 λ=3−22(mol H₂O/mol SO₃⁻)。膜等效重量 EW=1100 g/mol。
特性/特征：干膜厚度 tm​=175μm。质子电导率 σ=(0.005139λ−0.00326)exp[1268(3031​−T1​)] S/cm。水扩散系数 Dw​=10−10−10−9 m2/s(随 λ和 T增加)。
环境参数：电池温度 T=60−80∘C。操作压力 p=1−3 atm。相对湿度 RH=50−100%。电流密度 i=0.1−2.0 A/cm2。

Flow-L1-0245​

湍流模型

工程（风洞模拟）

粗糙壁面边界层

粗糙壁面的对数律速度剖面与等效沙粒粗糙度​

1. 对数律修正：对于充分发展的湍流边界层，粗糙壁面的时均速度剖面为：u+=κ1​lny++B−Δu+(ks+​)， 其中 ks+​=ks​uτ​/ν为无量纲等效沙粒粗糙度，Δu+为粗糙度函数，取决于粗糙度类型。
2. 完全粗糙区：当 ks+​>70， 流动进入完全粗糙区，粘性底层被破坏，Δu+=κ1​lnks+​+C， C≈8.5。此时对数律为：u+=κ1​ln(y/ks​)+8.5， 摩擦系数与雷诺数无关，仅与相对粗糙度 ks​/D有关。
3. 等效粗糙度：将实际复杂粗糙度换算为具有相同水力效应的Nikuradze沙粒粗糙度高度 ks​。

是处理工程粗糙壁面湍流（如船舶外壳、管道锈蚀、风机叶片）的基础。精度依赖于对实际粗糙度 ks​的准确估计。

湍流边界层理论、壁面律、粗糙度效应。

船舶阻力预测、管道压降计算、风力机性能评估。特征：考虑壁面粗糙度对摩擦阻力和湍流结构的显著影响。

变量：无量纲速度 u+=u/uτ​， 无量纲壁面距离 y+=yuτ​/ν， 摩擦速度 uτ​=τw​/ρ​。
几何参数：等效沙粒粗糙度高度 ks​[m]， 特征长度（如管径 D）。
流动参数：雷诺数 Re。

对数函数、粗糙度函数修正。

粗糙壁面、对数律、等效沙粒粗糙度、摩擦系数。

1. 表征粗糙度：测量或估算表面的等效沙粒粗糙度 ks​。例如，新钢管 ks​≈0.05 mm。
2. 计算流动参数：给定流速 U， 管径 D， 估算摩擦速度 uτ​（初值）。
3. 判断区域：计算 ks+​=ks​uτ​/ν， 判断是否进入完全粗糙区 (ks+​>70)。
4. 使用修正的对数律：若完全粗糙，用 u+=0.411​ln(y/ks​)+8.5描述速度剖面，并推导摩擦因子 f与 ks​/D的关系（如 Colebrook 方程）。

在粗糙壁面上，湍流边界层的速度剖面相对于光滑壁面向下平移（Δu+），意味着在相同外部流速下，壁面剪切应力更大。在完全粗糙区，粗糙元直接产生压差阻力，粘性影响可忽略。流向由外部压力梯度驱动。

牛顿流体（空气、水）在粗糙壁面形成的湍流边界层或管流。

材料：流体：空气。壁面：具有均匀粗糙度的表面（如砂粒涂层、锈蚀钢板）。
比例：不涉及。
纯度/特征：空气：密度 ρ=1.2 kg/m3， 粘度 ν=1.5×10−5 m2/s。等效沙粒粗糙度 ks​： 商业钢管 0.05 mm， 铆接钢 1-10 mm， 混凝土 1-3 mm。
环境参数：自由流速度 U∞​=10−100 m/s。边界层厚度 δ=0.1−1 m。雷诺数 Reθ​=103−106。

Flow-L1-0246​

多物理场模型

微流控（主动驱动）

电湿润驱动液滴

电湿润上力与液滴运动的动力学模型​

1. 基本原理：在基底电极上施加电压，改变固-液-气三相接触线处的有效表面张力（Young-Lippmann效应），产生驱动力。
2. 驱动力：FEW​=cw(V2−V02​)/2， 其中 c是单位面积绝缘层电容， w是液滴在驱动方向上的宽度， V是施加电压， V0​是阈值电压（与初始接触角有关）。
3. 运动方程：考虑惯性、粘性阻力和接触线钉扎阻力， mx¨+λx˙=FEW​−Fpinning​。在低毛细数下，粘性阻力占主导，可得稳态速度 U≈FEW​/ξ， ξ为摩擦系数。

能定性预测液滴速度与电压平方的标度关系。精度受限于对接触角滞后、接触线动力学和内部流场的简化。

电湿润原理、Young-Lippmann方程、力平衡。

数字微流控芯片、可编程液滴操控、实验室芯片。特征：无机械泵阀，通过电信号精确控制离散液滴。

变量：液滴质心位置 x(t)， 速度 U， 施加电压 V。
电学参数：绝缘层单位面积电容 c[F/m²]， 阈值电压 V0​[V]。
流体参数：液滴体积 Vd​[μL]， 粘度 μ[Pa·s]， 表面张力 σ[N/m]。
基底参数：绝缘层厚度 dins​[μm]， 介电常数 ϵins​。

运动微分方程、电压平方驱动的力。

电湿润、液滴驱动、数字微流控、Young-Lippmann。

1. 寻址电极：在目标电极上施加电压 V。
2. 计算驱动力：FEW​=cw(V2−V02​)/2， 其中 w近似为液滴直径。
3. 计算阻力：粘性阻力 Fvis​∼3πμDU（简化模型）。
4. 求解运动：忽略惯性，由 FEW​=Fvis​得 U=FEW​/(3πμD)。
5. 更新位置：xnew​=xold​+UΔt。

电压改变电极上方局部接触角，使液滴前缘铺展，后缘收缩，产生不对称的表面张力合力，驱动液滴整体向带电电极方向运动。流向由电极激活序列控制。

离散水相液滴（例如去离子水），周围为不混溶的油相（如硅油）或空气，位于疏水绝缘层（如Teflon）覆盖的电极阵列上。

材料：液滴：去离子水。周围介质：空气或硅油。基底：玻璃/氧化铟锡(ITO)/二氧化硅(SiO₂， 300 nm)/聚对二甲苯(1 μm)/特氟龙(100 nm)。
比例：液滴体积：0.1 - 1 μL。周围介质为连续相。
纯度/特征：水电阻率 > 18 MΩ·cm。绝缘层电容 c=ϵ0​ϵins​/dins​≈(8.85e−12∗3.9)/(300e−9)≈0.115 nF/cm2(SiO₂)。特氟龙接触角 ~110°。驱动电压 V=50−100 V。
环境参数：温度 T=20−25∘C。湿度：控制以防凝结。

Flow-L1-0247​

流动模型

生物流体（细胞力学）

微管吸吮

微管吸吮法测量细胞粘弹性的标准线性固体模型​

1. 实验：用微管负压吸吮细胞膜，形成“舌”状突起，测量吸入长度 L(t)与压力 Δp的关系。
2. 本构模型：细胞膜视为标准线性固体（SLS）模型：一个弹簧（弹性模量 E1​）与一个开尔文-沃伊特单元（弹簧 E2​和粘壶 η并联）串联。
3. 响应：阶跃压力下，吸入长度 L(t)=L0​+L1​(1−e−t/τ)， 其中 L0​∝Δp/E1​为瞬时弹性响应， L1​∝Δp/E2​为延迟弹性响应， τ=η/E2​为延迟时间。

是测量单个细胞粘弹性的经典方法。模型能较好地表征细胞的瞬时弹性、延迟弹性和稳态粘性。

线性粘弹性理论、标准线性固体模型、微管流体力学。

细胞力学性能表征、疾病状态诊断（如癌症、疟疾）、药物筛选。特征：单细胞水平测量，可区分弹性和粘性分量。

变量：吸入长度 L(t)[μm]， 时间 t[s]， 阶跃负压 Δp[Pa]。
几何参数：微管内径 Rp​[μm]。
材料参数：瞬时弹性模量 E1​[Pa]， 延迟弹性模量 E2​[Pa]， 膜粘度 η[Pa·s]。
拟合参数：L0​,L1​,τ。

指数松弛函数、常微分方程（本构）。

微管吸吮、细胞粘弹性、标准线性固体模型。

1. 实验：施加阶跃负压 Δp， 高倍显微镜下记录 L(t)。
2. 数据拟合：用函数 L(t)=L0​+L1​(1−e−t/τ)拟合实验曲线。
3. 参数转换：根据理论模型（考虑膜张力、面积膨胀模量等），将拟合的 L0​,L1​,τ转换为细胞膜的 E1​,E2​,η。

负压使细胞膜被吸入微管。膜的瞬时弹性（弹簧 E1​）产生快速响应 L0​。随后，膜的粘弹性单元（E2​,η）发生蠕变，吸入长度缓慢增加至稳态。流向：流体和膜沿微管轴向吸入。

细胞悬浮于等渗缓冲液中，细胞膜具有粘弹性，内部细胞质视为牛顿流体。

材料：细胞（如红细胞、内皮细胞）， 悬浮介质（磷酸盐缓冲液PBS）。
比例：细胞悬浮于PBS中，浓度 ~10⁶ cells/mL。
纯度/特征：红细胞弹性模量 E1​∼10−20μN/m， 膜剪切粘度 η∼0.01−0.1 Pa\cdotps⋅m(量纲不同)。微管半径 Rp​=0.5−1.5μm。负压 Δp=10−100 Pa。
环境参数：温度 T=37∘C。PBS渗透压 ~300 mOsm/kg。pH = 7.4。

Flow-L1-0248​

多相流模型

环境（海洋工程）

波浪破碎与气泡幕

用于防波的气泡幕衰减模型​

1. 物理原理：上升气泡幕能有效衰减水波能量，机制包括：水流速度与气泡相对运动引起的能量耗散，以及气泡幕改变的有效密度和声速导致的波反射与散射。
2. 经验衰减系数：波高经过气泡幕后衰减：H/H0​=e−αD， 其中 H0​,H为前后波高， D为气泡幕厚度， α为衰减系数。
3. 衰减系数模型：α∝(Q/A)1/3f2/3， 其中 Q为空气流量， A为气泡幕横截面积， f为波浪频率。

能初步估算气泡幕对规则波的衰减效果。实际中气泡尺寸分布、幕的均匀性、波浪不规则性等使问题复杂。

两相流声学、能量耗散、经验关联。

港口防波、海洋结构物保护、水下声学屏障。特征：利用气泡两相流改变介质特性，消耗波能。

变量：波高衰减比 H/H0​， 衰减系数 α[1/m]。
操作参数：供气流量 Q[m³/s]， 布管深度 h[m]， 气泡幕宽度 W[m]， 厚度 D[m]。
波浪参数：入射波高 H0​[m]， 波周期 T[s]， 频率 f=1/T[Hz]。
气泡参数：平均气泡直径 db​[mm]。

指数衰减公式、经验幂律。

气泡幕、波浪衰减、防波、两相流。

1. 设计：确定保护区域所需的波高衰减目标（如 H/H0​=0.3）。
2. 估算衰减系数：根据经验公式或水槽实验，估算特定 Q,f下的 α。
3. 计算所需幕厚：D=−ln(H/H0​)/α。
4. 布设：在海底铺设带孔气管，以流量 Q供气，形成气泡幕。

波浪传播至气泡幕区域，水流经气泡幕时，气泡的压缩、膨胀和上升运动消耗波能。同时，气泡幕作为低阻抗层，反射部分波能。流向：波浪传播方向垂直于气泡幕平面。

空气气泡分散于海水中，形成垂直上升的两相流幕。

材料：海水， 空气。
比例：气体体积分数（空隙率）在幕内：0.1% - 5%。
纯度/特征：海水密度 ρw​=1025 kg/m3。气泡平均直径 db​=1−5 mm（取决于曝气头）。供气压力略大于静水压 p=ρw​gh+Δp。
环境参数：水深 h=5−20 m。波浪周期 T=5−10 s。供气量 Q=0.1−1.0 m3/s per meter。水温影响空泡体积。

Flow-L1-0249​

本构模型

软物质（胶体玻璃）

屈服与老化

软玻璃材料（SGR）模型的流变学预言​

1. 核心思想：材料由陷于能量景观中的 mesoscopic 单元构成。每个单元以速率 Γ∼exp[−(E−21​Σ)/x]逃逸，其中 E为阱深， Σ为局部应变， x为有效噪声温度。
2. 宏观应力：σ(t)=∫dEP(E,t)∂γ∂ϵ​。 分布 P(E,t)的演化主方程描述了老化（向深阱演化）和 rejuvenation（剪切使单元逃逸）。
3. 预言：线性蠕变柔量 J(t)∼tα， 老化导致 α减小；流动曲线在低剪切率下出现应力平台（动态屈服）。

能统一描述屈服应力流体许多复杂的线性与非线性、瞬态流变行为，如老化、剪切带化。是物理启发的模型，但数学复杂。

统计物理、能量景观理论、老化动力学。

胶体凝胶、乳膏、泡沫、粘土悬浮液等软玻璃材料的流变学分析。特征：强调时间依赖性和老化-rejuvenation竞争。

变量：分布函数 P(E,t)， 宏观应力 σ(t)， 应变 γ(t)。
模型参数：有效噪声温度 x， 能阱密度分布 ρ(E)， 参考应变率 γ˙​0​。
流变响应：蠕变柔量 J(t)， 流动曲线 σ(γ˙​)。

积分-微分方程（主方程）、分布函数演化。

软玻璃流变学、SGR模型、老化、屈服应力。

1. 初始化：给定初始分布 P(E,0)， 代表某个老化状态。
2. 施加变形历史：给定 γ(t)或 γ˙​(t)。
3. 演化分布：求解主方程 ∂P/∂t=...， 更新 P(E,t)。
4. 计算宏观应力：σ(t)=∫dEP(E,t)...。
5. 得到流变响应。

材料由大量单元组成，每个单元陷于能量阱中。无剪切时，单元向更深的阱弛豫（老化），模量增加。剪切提供能量，帮助单元逃逸（rejuvenation），导致软化甚至流动。宏观响应是所有单元的平均。流向由外部剪切决定。

高浓度胶体悬浮液、乳剂等，表现为具有老化行为的屈服应力流体。

材料：Laponite粘土悬浮液， 碳黑颗粒悬浮液， 乳膏（油/水/乳化剂）。
比例：Laponite浓度：2-3 wt%。碳黑浓度：5-10 wt%。
纯度/特征：颗粒：纳米尺度（Laponite 直径 ~25 nm， 厚度 ~1 nm）。有效噪声温度 x与热温度 kB​T和机械噪声相关。老化时间尺度：分钟至天。屈服应力范围：1-100 Pa。
环境参数：温度 T=20−25∘C。离子强度（影响Laponite凝胶结构）。pH值。

Flow-L1-0250​

多物理场模型

微流控（声学驱动）

声表面波液滴驱动

声表面波（SAW）驱动液滴的声流与声辐射压力模型​

1. 驱动机制：叉指换能器（IDT）在压电基底上激发SAW，泄漏到液滴中产生声流（声 streaming）和声辐射压力，驱动液滴运动。
2. 声辐射压力：时均压力梯度驱动液滴整体运动：∇Prad​≈−ρ0​⟨v2⟩/4， 其中 v是声质点速度。
3. 内部声流：SAW在液滴内衰减，产生稳态涡旋流（streaming），增强混合。其速度尺度 Us​∼ωLϵ2c​， 其中 ϵ为声波振幅， c声速， ω角频率， L特征长度。

能实现高速、无接触的液滴驱动、混合和分裂。模型涉及复杂的声-流-固耦合，通常需数值模拟。

声学、流体力学、压电效应。

数字微流控、高通量筛选、细胞操控、快速混合。特征：非接触、高速、可并行操控。

变量：液滴速度 Ud​[mm/s]， 声辐射压力 Prad​[Pa]， 声流速度场 us​。
声学参数：输入射频功率 PRF​[W]， 频率 f[MHz]， 波长 λ[μm]。
基底参数：压电材料（如LiNbO₃）， IDT指条宽度/间距。
流体参数：密度 ρ0​， 声速 cf​， 粘度 μ。

声波方程与N-S方程耦合、时均效应。

声表面波、SAW、液滴驱动、声流。

1. 激发SAW：在IDT上施加射频信号（如100 MHz），产生沿基底传播的瑞利波。
2. 泄漏与衰减：SAW遇到液滴，部分能量泄漏到液滴中，在液滴内传播并衰减。
3. 产生驱动力：声辐射压力梯度推动液滴沿SAW传播方向（或反方向，取决于反射）运动。
4. 内部流动：衰减的声波在液滴内产生稳态涡旋流。

SAW沿基底传播，遇到液滴时发生模式转换，部分能量以泄漏纵波形式进入液滴。声波的动量通量产生时均的声辐射压力梯度，驱动液滴整体运动。同时，声波在粘性作用下衰减，产生稳态的声涡流。流向：通常沿SAW传播方向。

水相液滴（如缓冲液），位于压电基底（如128°Y切铌酸锂）上，周围为空气。

材料：液滴：去离子水或PBS。基底：128°Y切铌酸锂（LiNbO₃）。IDT金属：铝或金。
比例：纯水液滴。
纯度/特征：水密度 ρ0​=1000 kg/m3， 声速 cf​=1500 m/s。LiNbO₃声速 ~4000 m/s。IDT频率 f=100 MHz， 波长 λ=40μm。输入功率 PRF​=0.1−1 W。液滴速度可达 10 cm/s。
环境参数：温度 T=20−25∘C。

Flow-L1-0251​

流动模型

生物流体（肺气道）

气液两相流（纤毛黏液运输）

气道表面液（PCL）与黏液双层流动的润滑理论模型​

1. 物理：气道内壁，纤毛在PCL中摆动，顶端与上覆黏液层相互作用，驱动黏液向喉部运动。
2. 模型：简化为一维双层流动。下层PCL（牛顿，粘度 μp​）受纤毛滑移速度 us​(x,t)驱动。上层黏液（非牛顿，有效粘度 μm​）被拖动。求解斯托克斯方程，边界条件：up​(z=0)=us​， up​(hp​)=um​(hp​)， 应力连续，黏液层顶面剪切应力为0（或与空气界面应力）。
3. 平均流量：Qm​≈2μm​hm2​​τi​+hp​hm​+hp​/2​us​hm​， 其中 τi​为层间剪切应力。

能定性分析纤毛驱动下双层流体的平均输运。高度简化，未考虑纤毛的微观相互作用、黏液的非牛顿性和三维效应。

润滑理论、双层流动、低雷诺数流体力学。

呼吸道黏液清除机制研究、纤毛功能障碍疾病（如原发性纤毛运动障碍）分析。特征：模拟生物纤毛协调驱动粘弹性黏液层的宏观输运。

变量：PCL速度 up​(z)， 黏液速度 um​(z)， 平均流量 Qm​。
几何参数：PCL层厚度 hp​[μm]， 黏液层厚度 hm​[μm]。
驱动参数：纤毛顶端滑移速度 us​[mm/s]（周期性）。
流体参数：PCL粘度 μp​[Pa·s]， 黏液有效粘度 μm​[Pa·s]。

斯托克斯方程、双层耦合、解析/半解析解。

纤毛黏液流、双层流动、润滑理论、呼吸道清除。

1. 建立模型：假设二维、平行流，列出各层斯托克斯方程。
2. 施加边界条件：包括纤毛驱动、层间应力/速度连续、黏液自由面条件。
3. 求解速度剖面：积分方程，得到分段的抛物线/线性速度剖面。
4. 计算平均流量：对速度剖面积分。

纤毛在PCL中做拍击运动，有效冲程中顶端穿透并拖动黏液层，在黏液层底部产生滑移速度。这个滑移通过粘性剪切驱动整个黏液层运动。PCL层作为润滑层，允许纤毛在恢复冲程中低阻力返回。流向总体指向喉部。

双层流体：下层为牛顿流体（PCL，稀盐水），上层为非牛顿粘弹性流体（黏液，水、粘蛋白、盐等）。

材料：PCL：等渗盐水溶液。黏液：水、粘蛋白（MUC5AC, MUC5B）、盐、脂质。
比例：黏液固含量 2-5%。粘蛋白浓度 ~10 mg/mL。
纯度/特征：PCL粘度 μp​≈0.001 Pa\cdotps。黏液零剪切粘度 μm0​≈1−100 Pa\cdotps， 剪切变稀。PCL厚度 hp​≈7μm。黏液厚度 hm​≈5−30μm。纤毛拍频 ~10-20 Hz， 顶端速度 us​∼1 mm/s。
环境参数：体温 T=37∘C。相对湿度 ~100%。

Flow-L1-0252​

多相流模型

能源（油气开采）

油气两相管流

Beggs-Brill 气液两相管流压降计算模型​

1. 流型判别：根据气液流量、管径、倾角等，划分流型（分层流、环状流、段塞流、泡状流）。
2. 持液率计算：计算无滑移持液率 HL​和实际持液率（截面含液率）yL​， 后者是流量、弗劳德数等的函数。
3. 压降计算：总压降梯度由摩擦、重力和加速项组成：−dzdp​=2Dftp​ρns​vm2​​+ρtp​gsinθ+ρns​vm​dzdvm​​。 其中两相摩擦因子 ftp​和两相密度 ρtp​由经验关系给出。

是石油工业中计算倾斜和水平气液两相管流压降的标准经验模型之一，适用于多种流型。精度中等，需根据实际数据校正。

经验关联、两相流流型、动量守恒。

油气混输管道设计、气举井筒计算、湿天然气输送。特征：适用于水平、垂直和倾斜管，涵盖多种流型。

变量：压力梯度 dp/dz[Pa/m]， 持液率 yL​， 流型。
操作参数：气相表观速度 vsg​[m/s]， 液相表观速度 vsl​[m/s]， 管倾角 θ[°]。
管道参数：内径 D[m]， 绝对粗糙度 ϵ[m]。
流体参数：气相密度 ρg​[kg/m³]， 液相密度 ρl​[kg/m³]， 气相粘度 μg​[Pa·s]， 液相粘度 μl​[Pa·s]， 界面张力 σ[N/m]。

分段经验公式、流型图、迭代计算。

Beggs-Brill模型、气液两相流、压降、持液率。

1. 计算输入参数：vsg​,vsl​,vm​,λL​=vsl​/vm​,Fr,等。
2. 确定流型：根据 λL​,Fr和管倾角查 Beggs-Brill 流型图或使用判别式。
3. 计算水平持液率​ yL0​：使用与流型对应的经验公式。
4. 计算倾斜修正因子​ ψ和实际持液率 yL​。
5. 计算两相摩擦因子​ ftp​和密度 ρtp​。
6. 计算总压降梯度。

气液混合物在管道中流动，流型随气液比例和流速变化。持液率反映了两相的实际分布。压降由摩擦（与流型强相关）、重力（与持液率和倾角相关）和加速（在高压下显著）三部分组成。流向沿管道轴向。

天然气和原油/凝析油组成的气液两相混合物，在管道中作湍流流动。

材料：液相：原油（API重度 30-40）， 或凝析油。气相：伴生气（主要成分甲烷）。
比例：气液体积比（GOR）： 100 - 1000 scf/bbl。含水率可能变化。
纯度/特征：原油密度 ρl​=800−900 kg/m3， 粘度 μl​=1−50 mPa\cdotps。天然气密度 ρg​=50−100 kg/m3(操作条件)， 粘度 μg​=0.01−0.02 mPa\cdotps。界面张力 σ≈0.02−0.03 N/m。
环境参数：操作压力 p=2−10 MPa。温度 T=30−80∘C。管径 D=0.1−0.5 m。倾角 θ=−10∘ to +10∘(上坡/下坡)。

Flow-L1-0253​

本构模型

非牛顿流体（多孔介质）

幂律流体在多孔介质中的广义达西定律

幂律流体在多孔介质中的渗流模型​

1. 推广的达西定律：对于幂律流体 τ=Kγ˙​n， 在多孔介质中的渗流速度 v与压力梯度 ∇p的关系为：v=(μeff​kabs​​)1/n(L∇p​)1/n， 其中 kabs​为绝对渗透率， L为特征长度。更常见的形式是：∇p=−kabs​μeff​​vn， 其中 μeff​=K(Cϕ8kabs​​​)n−1， C为与孔隙几何有关的常数。
2. 有效粘度：μeff​是 v的函数（当 n=1），表明压降与流速的 n次幂成正比。

能描述剪切变稀或增稠流体在多孔介质中的非线性渗流行为。是聚合物驱、钻井液滤失等应用的理论基础。

达西定律推广、幂律本构、毛细管束模型。

提高石油采收率（聚合物驱）、非牛顿流体滤饼过滤、生物组织灌注。特征：压降与流速呈非线性关系。

变量：渗流速度 v[m/s]， 压力梯度 ∇p[Pa/m]。
介质参数：绝对渗透率 kabs​[m²]， 孔隙度 ϕ。
流体参数：幂律稠度系数 K[Pa·sⁿ]， 幂律指数 n。
几何常数：Carman-Kozeny常数 C(~5)。

非线性代数关系、压降与流速的n次幂成正比。

幂律流体、多孔介质、广义达西定律、非线性渗流。

1. 表征流体：通过流变实验确定 K和 n。
2. 表征多孔介质：测量 kabs​和 ϕ。
3. 计算有效粘度：μeff​=K(Cϕ8kabs​​​)n−1。
4. 应用推广达西定律：∇p=−kabs​μeff​​vn。对于流动模拟，此式作为动量方程（达西定律）的源项。

幂律流体在曲折的孔隙通道中流动。在孔隙喉道处，剪切率高，对于剪切变稀流体（n<1），有效粘度降低，流动阻力减小，导致在相同压力梯度下，流速比牛顿流体增加得更快（压降与流速的n次方成正比，n<1时，指数小于1）。流向由压力梯度驱动。

幂律型非牛顿流体（如聚合物溶液、钻井泥浆）在多孔介质（如砂岩、滤饼）中流动。

材料：流体：部分水解聚丙烯酰胺（HPAM）溶液。多孔介质：Berea砂岩。
比例：HPAM浓度：500-2000 ppm。
纯度/特征：HPAM溶液：n ≈ 0.5-0.7， K ≈ 0.01-0.1 Pa·sⁿ。砂岩渗透率 kabs​=100 mD=10−13 m2， 孔隙度 ϕ=0.2。
环境参数：温度 T=30−80∘C(影响溶液粘度)。盐度：影响聚合物粘度。流速范围 v=1−10 ft/day≈3.5×10−6−3.5×10−5 m/s。

Flow-L1-0254​

智能流体模型

磁流体

磁粘度效应

磁场方向依赖的磁流体表观粘度模型​

1. 现象：施加磁场可改变铁磁流体的表观粘度，且与磁场方向和剪切方向夹角有关。
2. 模型：在均匀磁场中，旋转磁矩产生额外耗散。有效粘度可表示为：ηeff​(H,β)=η0​+23​ϕη0​1+(ωτ)2(ωτ)2​sin2β， 其中 ϕ为颗粒体积分数，ω为剪切率，τ=1/(6Γ)为尼曼驰豫时间，Γ=kB​T/(πμ0​Md​d3H)， β为磁场与涡量方向的夹角。
3. 各向异性：当磁场平行于涡量方向（β=0）时，无附加粘度；垂直时（β=90∘）附加粘度最大。

能描述磁场对铁磁流体粘度的调控及各向异性效应。是设计磁流体密封、阻尼器的理论基础。

旋转布朗运动、磁矩弛豫、斯托克斯流。

磁流体密封（粘度随磁场增加而增强）、磁流体阻尼器（阻尼可控）、磁性轴承。特征：粘度可由磁场强度和方向控制。

变量：表观粘度 ηeff​[Pa·s]， 磁场强度 H[kA/m]， 磁场-涡量夹角 β[°]。
材料参数：基液粘度 η0​[Pa·s]， 颗粒体积分数 ϕ， 颗粒饱和磁化强度 Ms​[kA/m]， 颗粒直径 d[nm]。
场参数：磁场强度 H， 方向。

粘度增加与 sin2β成正比、与磁场强度相关。

磁粘度、铁磁流体、各向异性粘度、磁场控制。

1. 施加磁场：设定磁场强度 H和方向 β。
2. 计算驰豫时间：τ=πμ0​Md​d3H/(6kB​T)。
3. 计算有效粘度：ηeff​=η0​[1+23​ϕ1+(ωτ)2(ωτ)2​sin2β]。
4. 在流场求解中使用​ ηeff​。

铁磁流体中的磁性颗粒具有磁矩。在剪切流中，颗粒倾向于旋转。施加磁场时，磁矩倾向于沿磁场方向排列。颗粒旋转与磁场方向的偏差导致磁矩进动和弛豫，消耗额外能量，宏观上表现为粘度增加。当磁场平行于涡量方向时，颗粒旋转轴与磁场平行，无进动，故无附加粘度。流向由剪切方向决定，粘度受磁场方向调制。

铁磁流体（磁性纳米颗粒，如Fe₃O₄，悬浮于载液，如煤油、水），施加均匀磁场。

材料：载液：煤油或水。颗粒：磁铁矿（Fe₃O₄）纳米颗粒，表面活性剂（如油酸）。
比例：颗粒体积分数 ϕ=1−10%。表面活性剂与颗粒质量比 ~0.2。
纯度/特征：颗粒直径 d=10 nm。饱和磁化强度 Ms​≈400 kA/m。基液粘度 η0​=1−10 mPa\cdotps。粘度增加可达基液的数倍。
环境参数：温度 T=20−80∘C。磁场强度 H=0−100 kA/m。剪切率 ω=1−1000 s−1。

Flow-L1-0255​

多物理场模型

环境（大气化学）

污染物干沉降

阻力类比模型计算气体污染物干沉降速度​

1. 模型：将干沉降过程类比为电流通过串联电阻，沉降速度 vd​的倒数为总阻力：vd−1​=Ra​+Rb​+Rc​。
2. 阻力分量：
- 空气动力阻力​ Ra​：与大气湍流扩散相关，Ra​=[u∗​κ]−1[ln(z/z0​)−Ψh​]。
- 层流边界层阻力​ Rb​：与分子扩散相关，Rb​≈2/(κu∗​)(Sc/Pr)2/3， Sc为施密特数， Pr为普朗特数。
- 表面阻力​ Rc​：与地表类型、污染物化学性质相关，由实验确定。

是估算气体污染物（如SO₂, O₃）向地表沉降通量（F=−vd​C）的标准参数化方案。精度依赖于对三个阻力分量的准确估计，特别是 Rc​。

湍流输送理论、质量传输、阻力类比。

空气质量模型、生态系统污染物输入评估、气候变化研究（气溶胶沉降）。特征：将复杂的物理化学过程参数化为串联阻力。

变量：干沉降速度 vd​[cm/s]， 浓度 C[μg/m³]， 沉降通量 F[μg/(m²s)]。
气象参数：摩擦速度 u∗​[m/s]， 测量高度 z[m]， 粗糙度长度 z0​[m]， 大气稳定度修正函数 Ψh​。
污染物参数：分子扩散系数 D[m²/s]， 施密特数 Sc=ν/D。
地表参数：表面阻力 Rc​[s/m]（查表）。

电阻串联公式、包含对数剖面。

干沉降、沉降速度、阻力类比模型、大气输送。

1. 获取气象数据：计算或获取 u∗​,z0​,Ψh​。
2. 计算空气动力阻力：Ra​=[u∗​κ]−1[ln(z/z0​)−Ψh​]。
3. 计算层流层阻力：计算 Sc， 然后 Rb​≈2/(κu∗​)(Sc/Pr)2/3。
4. 确定表面阻力：根据地表类型（森林、草地、水体）和污染物种类查表得 Rc​。
5. 计算沉降速度：vd​=1/(Ra​+Rb​+Rc​)。

污染物从大气向地表沉降需克服三重阻力：首先由湍流从大气高层输送至地表附近（Ra​），然后以分子扩散方式穿过近地表层流层（Rb​），最后被地表吸收或发生化学反应（Rc​）。沉降通量由浓度和总沉降速度决定。流向垂直向下指向地表。

微量气体污染物（如SO₂, O₃, NO₂）在近地面大气湍流边界层中，向具有特定化学性质的地表沉降。

材料：污染物气体（如SO₂）， 背景空气， 下垫面（如落叶林、草地）。
比例：污染物为痕量成分（ppb量级）。
纯度/特征：SO₂分子扩散系数 D≈1.4×10−5 m2/s(20°C)。空气运动粘度 ν≈1.5×10−5 m2/s， 故 Sc≈1.07。典型 Rc​值：对SO₂在森林 ~200 s/m， 在水面 ~0。
环境参数：参考高度 z=10 m。粗糙度 z0​=1 m(森林)。摩擦速度 u∗​=0.1−0.5 m/s。大气稳定度：中性。

Flow-L1-0256​

流动模型

微重力流体物理

热毛细液滴迁移

半球形液滴在温度梯度下的热毛细迁移速度模型​

1. 物理：在微重力环境中，置于另一不混溶液体中的液滴，在温度梯度 ∇T∞​驱动下，因表面张力温度系数 dσ/dT产生马兰戈尼应力，驱动液滴向高温或低温方向运动。
2. 理论速度（小雷诺数，小马兰戈尼数）：(U = \frac{2}{(2+3\mu_d/\mu_c)(2+k_d/k_c)} \frac{

d\sigma/dT

R \nabla T_\infty}{\mu_c})， 其中下标 d,c分别代表液滴和连续相， R为液滴半径。
3. 方向：若 dσ/dT<0（大多数液体），液滴向高温区迁移。

是微重力流体物理的经典问题，揭示了表面张力梯度驱动流动的规律。在强非线性区（大 Ma）需数值求解。

斯托克斯流、马兰戈尼边界条件、低雷诺数运动。

空间材料加工（无容器处理）、微流控液滴操控、液滴动力学研究。特征：微重力下，浮力消失，热毛细力成为液滴运动的主要驱动力。

变量：液滴迁移速度 U[mm/s]， 温度梯度 ∇T∞​[K/mm]。
几何参数：液滴半径 R[mm]。
物性参数：两相粘度 μd​,μc​[Pa·s]， 导热系数 kd​,kc​[W/(m·K)]， 表面张力温度系数 dσ/dT[N/(m·K)]。
场参数：施加的温度梯度 ∇T∞​。

代数公式、速度与梯度、半径成正比。

热毛细迁移、马兰戈尼效应、液滴运动、微重力。

1. 设定系统：选择液滴-连续相体系，如硅油液滴置于另一种硅油中。
2. 测量/获取物性：得到 μd​,μc​,kd​,kc​,dσ/dT。
3. 施加温度梯度：在实验装置两端建立稳定的 ∇T∞​。
4. 计算理论速度：代入公式计算 U。
5. 实验观测：与实测速度对比。

液滴处于温度梯度场中，其赤道区域存在温差，导致表面张力不均。表面张力梯度驱动液滴表面从高温（低σ）向低温（高σ）流动，此流动通过粘性拖动液滴内部流体，最终导致液滴整体向高温方向运动。流向沿温度梯度方向（对 dσ/dT<0）。

Flow-L1-0257​

本构模型

食品流体（巧克力）

屈服应力与触变性

巧克力的 Casson 模型参数典型值​

1. 流变行为：熔融巧克力是典型的屈服应力流体，其流动曲线可用 Casson 模型拟合：τ​=τc​​+ηc​γ˙​​。
2. 典型参数范围（取决于可可含量、卵磷脂含量、温度）：
- 卡森屈服应力 τc​：5 - 30 Pa
- 卡森粘度 ηc​：1 - 10 Pa·s
3. 触变性：巧克力也具有触变性，剪切后粘度降低，静置后恢复。

能较好地描述巧克力的稳态流动行为，是模具填充、涂层厚度预测的重要参数。参数需针对具体配方和温度测量。

非牛顿流体力学、卡森模型、屈服应力。

巧克力加工（精炼、调温、成型、涂层）、口感质地控制。特征：具有屈服应力，需要克服一定应力才能流动，影响涂层均匀性和脱模性。

变量：剪切应力 τ[Pa]， 剪切率 γ˙​[s⁻¹]。
材料参数：卡森屈服应力 τc​， 卡森粘度 ηc​。
产品参数：可可脂含量， 卵磷脂含量， 颗粒尺寸分布。

平方根形式的非线性本构。

巧克力、卡森模型、屈服应力、食品流变。

1. 样品准备：将巧克力在特定温度（如40°C）下熔融并恒温。
2. 流变测量：在流变仪上进行稳态剪切扫描（如0.1-100 s⁻¹）。
3. 数据拟合：在 τ​- γ˙​​坐标中做线性拟合，斜率平方为 ηc​， 截距平方为 τc​。
4. 应用：在模具流动模拟中使用拟合参数。

巧克力在静置时像固体（屈服应力），需要一定剪切应力（如搅拌、倾倒）才能开始流动。一旦开始流动，内部颗粒结构被破坏，表现为剪切变稀。流向由压力梯度或剪切运动驱动。

熔融巧克力，是可可颗粒、糖颗粒分散于可可脂连续相中的浓悬浮液，含有卵磷脂等乳化剂。

材料：可可脂、可可颗粒、糖、卵磷脂。
比例：可可脂含量：30-40%。卵磷脂含量：0.3-0.5%。
纯度/特征：典型黑巧克力参数（40°C）： τc​≈10 Pa， ηc​≈3 Pa\cdotps。颗粒尺寸 d90​<30μm。触变性恢复时间：数分钟。
环境参数：加工温度 T=30−50∘C。调温曲线影响最终流变性和光泽。

Flow-L1-0258​

多物理场模型

材料加工（静电纺丝）

射流拉伸与鞭动不稳定性

静电纺丝射流的细化与不稳定性的一维模型​

1. 控制方程：对射流应用质量、动量、电荷守恒的一维方程，考虑电场力、表面张力、粘弹性应力。
- 质量：∂t∂A​+∂z∂​(Av)=0
- 动量：ρA(∂t∂v​+v∂z∂v​)=∂z∂​(Aτzz​)+ρgA+2πRσκ′+∂z∂​(Aσrre​)+ρe​EA
- 电荷：∂t∂​(ρe​A)+∂z∂​(ρe​Av+KEA)=0
2. 本构：射流视为粘弹性流体（如Oldroyd-B）。
3. 不稳定性：线性稳定性分析预测射流的弯曲（鞭动）不稳定性。

能模拟射流的初始拉伸、细化以及后续的鞭动不稳定运动，预测最终纤维直径。模型复杂，涉及多场耦合和强非线性。

一维可伸缩流动、静电学、粘弹性流体力学、线性稳定性分析。

纳米纤维制备、药物封装、组织工程支架制造。特征：利用高压静电拉伸聚合物溶液/熔体，产生纳米尺度纤维。

变量：射流半径 R(z,t)， 轴向速度 v(z,t)， 轴向应力 τzz​(z,t)， 电荷密度 ρe​(z,t)。
工艺参数：施加电压 V[kV]， 接收距离 L[cm]， 流量 Q[mL/h]。
流体参数：聚合物溶液粘度 μ[Pa·s]， 表面张力 σ[N/m]， 电导率 K[S/m]， 相对介电常数 ϵr​。
本构参数：松弛时间 λ。

耦合的非线性偏微分方程组、移动边界、线性稳定性分析。

静电纺丝、射流不稳定性、一维模型、纳米纤维。

1. 初始段：在泰勒锥末端，设定初始半径和速度。
2. 稳定拉伸段：求解一维方程，得到射流半径和速度沿直线轨迹的演化。
3. 不稳定性分析：对稳态解进行线性扰动分析，计算增长率，预测弯曲不稳定性 onset。
4. 模拟鞭动：引入三维扰动，模拟鞭动轨迹和进一步细化。

高压使聚合物液滴形成泰勒锥，并喷射出带电射流。射流在电场中加速、拉伸变细。同时，射流上的电荷相互排斥，导致射流失去轴对称稳定性，发生剧烈的三维鞭动运动，极大增加了拉伸比和细化效果。流向：总体从针尖指向接收板，但鞭动段轨迹复杂。

聚合物溶液（如PEO/水， PCL/丙酮-DMF）或熔体，在高压静电场中形成带电射流。

材料：聚合物：聚环氧乙烷 (PEO)， 溶剂：水。或聚己内酯 (PCL)， 溶剂：丙酮/N,N-二甲基甲酰胺。
比例：PEO浓度：5-10 wt%。PCL浓度：10-15 wt%。
纯度/特征：PEO溶液粘度 μ=1−10 Pa\cdotps， 电导率 K=10−3−10−2 S/m， 表面张力 σ≈0.05 N/m。施加电压 V=10−20 kV。接收距离 L=10−20 cm。纤维直径：100 nm - 1 μm。
环境参数：温度 T=20−25∘C。相对湿度：40-60%。

Flow-L1-0259​

流动模型

生物流体（植物水力学）

木质部导管水传输

蒸腾作用驱动的木质部水流空穴化与修复模型​

1. 背景：植物通过蒸腾流从根部向叶片输水。张力下，木质部导管中的水柱可能断裂形成气穴（空穴化），阻碍水流。
2. 水流方程：基于Hagen-Poiseuille定律，考虑导管网络：Q=8μπr4​LΔP​， 其中 ΔP为根-叶水势差。
3. 空穴化：当水势低于某阈值（如-2 MPa）时，气体成核，形成栓塞。栓塞导致该导管水力导度降为0。
4. 修复：植物通过根压或主动分泌离子降低木质部渗透势，将气体溶解，修复栓塞。

能模拟水分在植物体内的长距离运输、干旱胁迫下的栓塞风险以及修复过程。是植物水分生理学的核心模型。

泊肃叶定律、水势概念、气液相变、渗透压。

植物抗旱性研究、农业灌溉规划、森林生态水文学。特征：模拟水在微米级毛细管中 under tension 的流动，涉及气穴和修复。

变量：水流通量 Q[kg/s]， 导管水势 P[MPa]（负值）， 栓塞比例 f。
植物参数：导管半径 r[μm]， 导管长度 L[m]， 水力导度 K[kg/(s·MPa)]。
环境参数：蒸腾速率 E[kg/(s·m²)]， 土壤水势 Psoil​[MPa]， 大气蒸汽压亏缺 VPD[kPa]。
空穴参数：空穴化阈值 Pcrit​[MPa]， 修复速率。

网络流方程、阈值过程、动态变化。

木质部水流、蒸腾流、空穴化、植物水力学。

1. 计算蒸腾需求：由气象条件（光、VPD）计算叶片蒸腾速率 E。
2. 计算水流路径水势差：从土壤到叶片， Pleaf​=Psoil​−E/Kplant​， Kplant​为整株水力导度。
3. 检查空穴化：若某导管 P<Pcrit​， 则将其标记为栓塞，更新网络 K。
4. 修复模拟：根据模型（如每天黎明前修复一定比例栓塞），恢复部分导管的导度。
5. 动态耦合：E受 Pleaf​影响，形成反馈。

叶片气孔开放，水分蒸发产生拉力（负压），通过木质部连续水柱传递到根部，驱动土壤水分向上运输。当水势过低时，水柱断裂，形成栓塞阻断该导管水流。植物通过代谢活动修复栓塞。流向：从根经茎到叶。

水在植物木质部的死细胞（导管）中，在负压（张力）下流动，处于亚稳态，可能发生气液相变。

材料：水， 溶解矿物质， 木质部导管壁（纤维素、木质素）。
比例：纯水为主，含低浓度离子（< 10 mM）。
纯度/特征：水粘度 μ=1.0 mPa\cdotps(20°C)。导管半径 r=10−100μm。水势范围：-0.5 (湿润土壤) 至 -3 MPa (严重干旱)。空穴化阈值 Pcrit​≈−2 MPa。
环境参数：土壤水势 Psoil​=−0.1 to −2 MPa。大气蒸汽压亏缺 VPD=1−4 kPa。光照强度：驱动蒸腾。

Flow-L1-0260​

湍流模型

工程（建筑风载）

钝体绕流与涡脱落

斯托罗哈数关联式 (用于圆柱绕流涡脱频率预测)​

1. 定义：斯托罗哈数 St=fD/U， 其中 f为涡脱频率 [Hz]， D为特征长度（圆柱直径）[m]， U为来流速度 [m/s]。
2. 经验值：对于光滑圆柱，在亚临界雷诺数范围（300<Re<3×105）， St≈0.2。在更高 Re下， St略有变化。
3. 应用：预测圆柱尾流中周期性涡脱的频率，进而估算可能引起的流致振动频率。

是预测钝体绕流涡脱频率的经典无量纲数，简单有效。实际结构物（非圆柱，有端部效应，有湍流）的 St会有变化。

量纲分析、涡脱落物理、实验观测。

烟囱、桥墩、海底管线、热交换器管束的涡激振动评估。特征：预测周期性流动分离导致的脉动压力频率。

变量：涡脱频率 f[Hz]， 来流速度 U[m/s]， 特征直径 D[m]。
几何参数：物体形状、截面、长径比。
流动参数：雷诺数 Re=UD/ν。

无量纲数、近似常数。

斯托罗哈数、涡脱落、圆柱绕流、流致振动。

1. 获取参数：已知结构物特征尺寸 D和设计风速 U。
2. 估算斯托罗哈数：根据物体形状和 Re范围，查表或经验公式得到 St。对于圆柱，常用 0.2。
3. 计算涡脱频率：f=St⋅U/D。
4. 评估共振风险：比较 f与结构固有频率，若接近则可能发生涡激共振。

均匀来流绕过钝体时，在两侧交替发生流动分离，形成周期性脱落的旋涡，即卡门涡街。涡脱频率与来流速度成正比，与特征尺寸成反比。流向：来流方向垂直于物体主轴。

空气或水流，绕流光滑圆柱或其他钝体，处于亚临界或超临界雷诺数范围。

材料：流体：空气。圆柱：结构钢。
比例：不涉及。
纯度/特征：空气密度 ρ=1.2 kg/m3， 运动粘度 ν=1.5×10−5 m2/s。圆柱直径 D=0.1−10 m。表面粗糙度影响 St。
环境参数：风速 U=5−30 m/s。雷诺数 Re=104−107。湍流强度：影响 St和锁频范围。

Flow-L1-0261​

多相流模型

微重力（空间流体管理）

毛细筛网留存能力

多孔筛网最大气泡突破压力（Bubble Point Pressure）模型​

1. 物理原理：在表面张力作用下，液体可通过亲液性多孔筛网，而气体被阻挡。能阻挡气体的最大压差称为气泡突破压力。
2. 模型：ΔPbp​=rmax​2σcosθ​， 其中 σ为液体表面张力，θ为液-固接触角（对亲液材料，θ<90∘）， rmax​为筛网最大孔隙半径（由制造公差决定）。
3. 设计准则：推进剂管理装置（PMD）需保证在任务最大加速度下，液体产生的静压头 ρaL小于 ΔPbp​， 以防止气体进入供应管路。

是微重力推进剂管理装置设计的核心公式，用于确定筛网的目数和材料。实际应用中需考虑接触角滞后、污染和动态效应。

毛细作用、Young-Laplace方程、力平衡。

航天器表面张力贮箱、推进剂管理装置（PMD）设计。特征：利用毛细力在微重力下无源地控制液体位置。

变量：气泡突破压差 ΔPbp​[Pa]。
材料参数：液体表面张力 σ[N/m]， 接触角 θ[°]（前进角）。
筛网参数：最大孔隙半径 rmax​[m]（通常由供应商提供，或 rmax​≈1.25/Mesh Number (英寸⁻¹)）。
环境参数：最大加速度 amax​[m/s²]， 特征长度 L[m]。

代数公式、逆孔径关系。

气泡突破压力、毛细筛网、推进剂管理、微重力。

1. 选择筛网：根据液体性质和清洁度要求，选择材料（如不锈钢、钛）和目数（如325目， rmax​≈10μm）。
2. 测量/获取参数：测量液体在筛网材料上的接触角 θ（如肼在钛上 θ≈10∘）。获取液体表面张力 σ。
3. 计算 ΔPbp​：代入公式计算。
4. 验证设计：计算任务中最大加速度产生的静压头 ρamax​L， 确保 ΔPbp​>ρamax​L并有安全余量（如2倍）。

在微重力下，液体在毛细力作用下浸透亲液筛网。当筛网两侧存在压差时，气体可能被压入液体侧。只有当压差超过气泡突破压力时，气体才会穿透筛网最大孔隙。流向：液体可通过筛网，气体被阻挡。

液体推进剂（如肼N₂H₄）与其蒸气，在亲液性多孔金属筛网两侧，处于微重力环境。

材料：液体：无水肼 (N₂H₄)。筛网：钛或不锈钢烧结网。
比例：纯肼。
纯度/特征：肼表面张力 σ≈0.066 N/m(20°C)。钛-肼接触角 θ≈10∘。筛网规格：325目， rmax​≈10μm=1×10−5 m。计算得 ΔPbp​≈1300 Pa。
环境参数：微重力加速度 amax​≈10−3g0​=9.8×10−3 m/s2。液体深度 L=0.2 m。肼密度 ρ=1010 kg/m3。静压头 ρaL≈2 Pa≪ΔPbp​， 设计安全。

Flow-L1-0262​

本构模型

地球物理（岩浆）

含气泡岩浆的有效粘度

含气泡岩浆的Einstein-Roscoe型有效粘度模型​

1. 模型：悬浮颗粒（晶体）和气泡共同影响岩浆有效粘度：ηeff​=ηm​(1−ϕs​/ϕm,s​)−ns​(1−ϕb​)−nb​， 其中 ϕs​,ϕb​分别为晶体和气泡体积分数，ϕm,s​为晶体最大堆积分数，ns​,nb​为经验指数（通常 ns​≈2.5,nb​≈1）。
2. 气泡影响：可变形气泡（低毛细数）可能降低有效粘度，而不可变形气泡（高毛细数）增加粘度。

能定性评估气泡和晶体对岩浆流变性的联合影响。实际中气泡形状、分布和相互作用使问题复杂。

悬浮液流变学、有效介质理论。

火山喷发动力学、岩浆泡沫演化。特征：模拟多相（熔体+晶体+气泡）岩浆的复杂流变行为。

变量：有效粘度 ηeff​[Pa·s]。
相分数：晶体体积分数 ϕs​， 气泡体积分数 ϕb​。
熔体参数：基质粘度 ηm​(T,X)。
结构参数：晶体最大堆积分数 ϕm,s​≈0.6， 指数 ns​,nb​。

乘积形式的代数方程、相分数幂律。

含气泡岩浆、有效粘度、多相流变。

1. 确定相分数：通过实验或模型估算当前岩浆的 ϕs​和 ϕb​。
2. 计算基质粘度：根据熔体成分和温度计算 ηm​。
3. 计算有效粘度：将各参数代入乘积公式计算。
4. 注意：当 ϕb​很高（>0.7）时，泡沫可能坍塌，模型失效。

岩浆是熔体、晶体和气泡的混合物。晶体增加粘度，气泡的影响复杂：低粘度熔体中，气泡像固体颗粒一样增加粘度；高粘度熔体中，气泡可变形，可能降低粘度。流向由压力梯度（火山通道）或浮力驱动。

硅酸盐熔体（基质）中含有晶体和挥发性气泡（主要是H₂O, CO₂）的三相混合物。

材料：流纹岩质熔体， 晶体（石英、长石）， 气泡（水蒸气、CO₂）。
比例：晶体含量 ϕs​=0−0.5。气泡含量 ϕb​=0−0.7(在火山通道中可变化)。
纯度/特征：流纹岩熔体粘度 ηm​=105−108 Pa\cdotps(取决于温度和含水量)。晶体形状多为自形。气泡初始尺寸 ~10-100 μm。
环境参数：压力 p=1−200 MPa(影响气泡体积)。温度 T=800−1000∘C。应变率 ϵ˙=10−5−102 s−1。

Flow-L1-0263​

流动模型

生物医学（药物输送）

对流-扩散-反应方程

血管内药物输运与壁面吸收的集中参数模型​

1. 控制方程：假设血管为刚性圆管，血液为充分发展的泊肃叶流，药物在血液中输运并在一阶反应速率下被血管壁吸收：
∂t∂C​+u(r)∂z∂C​=D(∂r2∂2C​+r1​∂r∂C​+∂z2∂2C​)−kC
壁面边界条件： (-D \frac{\partial C}{\partial r}

_{r=R} = P C

_{r=R})， 其中 P为壁面渗透率。
2. 集中参数简化：对横截面平均，得到关于平均浓度 Cˉ(z,t)的一维方程：∂t∂Cˉ​+uˉ∂z∂Cˉ​=Deff​∂z2∂2Cˉ​−keff​Cˉ， 其中 Deff​和 keff​综合了对流、扩散和壁面吸收的效应。

能模拟药物在血管内的平均浓度随时间和位置的变化，评估靶向输送效率。忽略了径向浓度分布的细节。

对流-扩散-反应方程、质量守恒、壁面渗透。

血管内药物输运模拟、支架药物涂层释放评估。特征：耦合流动、扩散和生物化学反应。

变量：药物浓度 C(r,z,t)或 Cˉ(z,t)[mol/m³]。
几何参数：血管半径 R[mm]， 长度 L[mm]。
流动参数：平均流速 uˉ[mm/s]， 扩散系数 D[m²/s]。
反应参数：体相反应速率常数 k[1/s]， 壁面渗透率 P[m/s]。

偏微分方程、对流-扩散-反应形式。

药物输运、对流-扩散、壁面吸收、血管。

1. 建立模型：确定血管几何、血流速度、药物扩散系数和反应参数。
2. 设定初始和边界条件：入口处给定药物浓度输入函数 C(0,t)， 初始浓度为零。
3. 求解方程：数值求解对流-扩散-反应方程，得到浓度时空分布。
4. 计算吸收量：对壁面通量积分，得到被血管壁吸收的总药量。

药物随血液流动向下游对流，同时因浓度梯度向管壁扩散。药物在血液中可能发生代谢（体相反应），并在血管壁处被吸收（壁面反应）。流向沿血管轴向。

Flow-L1-0264​

多相流模型

能源（燃料电池）

气体扩散层水管理

毛细压力主导的水传输模型（Leverett J-函数）​

1. 毛细压力-饱和度关系：在多孔气体扩散层（GDL）中，气液两相间的毛细压力 pc​=pg​−pl​是液相饱和度 s的函数，常用 Leverett J-函数描述：
J(s)=σcosθpc​​ϕK​​=c(1−s)−d−c或类似形式， 其中 K为绝对渗透率，ϕ为孔隙率，σ为表面张力，θ为接触角，c,d为拟合参数。
2. 水传输：液体水在毛细压力梯度驱动下流动：ul​=−μl​Kkrl​(s)​∇pc​(s)。

是PEMFC中模拟液态水在憎水GDL中传输的基础模型。精度依赖于 Leverett J-函数的准确性，而该函数与GDL的孔隙结构、憎水处理强相关。

多孔介质两相流、毛细现象、达西定律。

质子交换膜燃料电池水管理、气体扩散层设计。特征：描述憎水多孔介质中液态水在毛细力作用下的输运。

变量：液相饱和度 s， 毛细压力 pc​[Pa]， 液体速度 ul​[m/s]。
介质参数：GDL孔隙率 ϕ， 绝对渗透率 K[m²]， 接触角 θ[°]。
流体参数：液体表面张力 σ[N/m]， 液体粘度 μl​[Pa·s]。
Leverett函数参数：c,d。

代数关系（Leverett函数）、达西定律。

毛细压力、Leverett函数、GDL、水管理。

1. 表征GDL：测量或从供应商获取 ϕ,K,θ。
2. 确定Leverett函数：通过实验（如渗吸/排水）测定 pc​(s)曲线，并拟合得到 J(s)参数 c,d。
3. 在模型中应用：在燃料电池模拟中，根据当前饱和度 s计算 pc​(s)和相对渗透率 krl​(s)， 然后计算毛细驱动的水通量。

在燃料电池阴极，反应生成的水可能凝结。在憎水GDL中，液态水形成离散的液滴或网络，毛细压力是驱动其从催化层向流道运动的主要力。流向：从高饱和度（催化层侧）指向低饱和度（流道侧）。

液态水与气体（空气）在憎水处理的多孔碳纤维材料（GDL）中共存，形成两相流。

材料：GDL：碳纸或碳布， 聚四氟乙烯（PTFE）憎水涂层。流体：液态水， 空气。
比例：PTFE含量：5-20 wt%。
纯度/特征：碳纸孔隙率 ϕ=0.7−0.8。渗透率 K=10−12−10−11 m2。接触角 θ≈110−140∘(憎水)。水-空气表面张力 σ=0.072 N/m。Leverett 参数示例：c=1.0,d=1.5。
环境参数：电池温度 T=60−80∘C。操作压力 p=1−3 atm。

Flow-L1-0265​

本构模型

软物质（液晶弹性体）

光/热驱动的流动

光致异构化驱动的液晶弹性体微流泵模型​

1. 材料：液晶弹性体（LCE）在特定波长光照射下发生顺式-反式异构化，导致宏观变形（收缩/弯曲）。
2. 泵送机制：将LCE制成微柱或薄膜，集成于微流道。光照时LCE变形，推动流体；撤光后恢复，吸入流体，实现净流动。
3. 模型：将LCE的变形简化为周期性体积变化 ΔV(t)或边界位移 u(t)。流体流动由斯托克斯方程描述，边界条件由LCE运动给出。流量 Q∼fAΔV， 其中 f为驱动频率， A为有效面积。

能实现无线、无缆的微流控泵送。模型将材料响应与流体力学耦合，但LCE的响应动力学复杂。

软物质力学、光致形变、低雷诺数流体力学。

光控微流泵、软体机器人、自适应微系统。特征：利用光能直接驱动流体，实现远程控制。

变量：LCE位移 u(t)， 流量 Q(t)， 光强 I[W/m²]。
材料参数：LCE光收缩应变 ϵmax​， 响应时间 τ[s]， 弹性模量 E[MPa]。
几何参数：泵腔尺寸， LCE actuator 尺寸。
流体参数：粘度 μ[Pa·s]。

耦合的固体力学与斯托克斯方程、周期性驱动。

液晶弹性体、光驱动、微流泵、软致动器。

1. 光照：以特定频率 f和光强 I照射LCE actuator。
2. 材料响应：LCE吸收光，发生异构化，在时间 τ内产生应变 ϵ(t)， 导致泵膜变形或微柱摆动。
3. 驱动流体：LCE的运动挤压泵腔，产生压力波动，驱动流体单向流动（通过设计阀门）。
4. 计算流量：对周期性体积变化积分得到平均流量。

LCE在光照下收缩，推动流体向出口方向运动；光照停止后，LCE松弛恢复，从入口吸入流体。配合整流阀，产生净流量。流向由泵腔和阀门的几何设计决定。

牛顿流体（如水、缓冲液）在微通道内，被光响应的液晶弹性体致动器驱动。

材料：流体：去离子水。LCE：含偶氮苯衍生物的液晶聚合物网络。
比例：LCE中光敏分子含量 ~1-5 mol%。
纯度/特征：水粘度 μ=1.0 mPa\cdotps。LCE光致收缩应变 ϵmax​≈20%。响应时间 τ≈1−10 s。驱动光波长 ~365 nm。
环境参数：温度 T=20−25∘C。驱动光强 I=10−100 mW/cm2。驱动频率 f=0.1−1 Hz。

Flow-L1-0266​

多物理场模型

环境（土壤修复）

电动修复

多物种离子在电场下的迁移-扩散-反应模型​

1. 过程：在污染土壤两端施加直流电场，重金属离子在电迁移、电渗流、扩散作用下向电极室运动，被收集或沉淀。
2. 控制方程：对每种离子 i：
∂t∂(θCi​)​+∇⋅(−Di∗​∇Ci​−zi​ui​Ci​∇ϕ+Ci​ueo​)=Ri​
其中 θ为体积含水量， Di∗​为有效扩散系数， ui​为离子滴度， ϕ为电势， ueo​为电渗流速度， Ri​为化学反应源项。
3. 电渗流：ueo​=−μϵζ​∇ϕ。

能模拟电动修复过程中污染物、背景离子的时空演化，优化电压、电极布置等。模型复杂，涉及多组分、多过程耦合。

电动现象、对流-扩散-反应方程、电化学。

重金属污染土壤（如铅、镉）的电动修复。特征：利用电场驱动污染物迁移，适用于低渗透性土壤。

变量：离子浓度 Ci​(z,t)[mol/m³]， 电势 ϕ(z,t)[V]， pH值。
土壤参数：孔隙率 ϕs​， 含水量 θ， 电导率 σ[S/m]， zeta电位 ζ[mV]。
污染参数：初始污染物浓度 C0,i​， 离子价态 zi​， 滴度 ui​[m²/(V s)]。
操作参数：施加电压 V[V]， 电极距离 L[m]。

耦合的非线性偏微分方程组、多组分迁移。

电动修复、电迁移、电渗流、土壤修复。

1. 建立模型：定义一维或二维土壤域，设置电极边界。
2. 初始化：设定初始污染物分布、土壤含水量、pH。
3. 施加电场：在边界上施加恒定电压或电流。
4. 耦合求解：求解每个离子的迁移方程、电流守恒方程（或泊松方程）和可能的pH演化方程。
5. 模拟修复过程：得到污染物浓度随时间和空间的衰减。

直流电场下，带电污染物离子向相反电极电迁移。同时，土壤颗粒表面的双电层产生电渗流，带动孔隙水整体流动，携带溶解的污染物。扩散和复杂的酸碱反应也同时发生。流向：离子迁移方向由电荷符号决定，电渗流方向通常从阳极到阴极（对负zeta电位）。

污染土壤孔隙水中的多组分电解质溶液（含重金属离子、背景离子），在直流电场作用下迁移。

材料：土壤：粘土或粉土。污染物：铅离子 (Pb²⁺)， 铜离子 (Cu²⁺)。孔隙水：地下水。
比例：污染物浓度：100-1000 mg/kg 土壤。土壤含水饱和度 ~0.8。
纯度/特征：Pb²⁺离子滴度 u≈5×10−8 m2/(V s)。土壤zeta电位 ζ≈−20 mV。土壤电导率 σ≈0.01−0.1 S/m。
环境参数：施加电压梯度 E=0.5−2 V/cm。电极距离 L=0.5−2 m。修复时间：几天至几周。初始土壤pH ~7。

Flow-L1-0267​

湍流模型

工程（大气扩散）

烟囱抬升

Briggs 烟囱抬升公式 (用于高斯烟羽模型)​

1. 抬升机制：热烟气从烟囱排出，因初始动量和浮力继续上升，与周围空气混合后停止抬升，达到最终抬升高度 Δh。
2. Briggs 公式：对于浮力主导的抬升（强源），在稳定和不稳定条件下有不同的公式。例如，在 unstable/neutral 条件下，常用：Δh=1.6Fb1/3​x2/3/u， 其中 Fb​=gvs​D2(Ts​−Ta​)/(4Ts​)为浮力通量， vs​为出口速度， D为出口直径， Ts​,Ta​为烟气和环境温度， u为环境风速， x为下风距离，抬升在 x=3.5x∗处达到最终值， x∗是满足 dΔh/dx=0的距离。
3. 有效源高：H=hs​+Δh， hs​为物理高度。

广泛用于环境评估中估算烟囱的有效源高，是高斯烟羽模型的关键输入。是半经验公式，在复杂地形或气象条件下误差较大。

浮射流理论、量纲分析、实验拟合。

火电厂、化工厂烟囱排放的环境影响评估。特征：估算烟气离开烟囱后的继续上升高度，影响地面浓度预测。

变量：抬升高度 Δh[m]， 有效源高 H[m]。
源参数：烟囱高度 hs​[m]， 出口内径 D[m]， 排气速度 vs​[m/s]， 排气温度 Ts​[K]。
环境参数：环境风速 u[m/s]， 环境温度 Ta​[K]， 大气稳定度。

代数公式、浮力通量、2/3次方律。

烟囱抬升、Briggs公式、有效源高、大气扩散。

1. 计算浮力通量：Fb​=gvs​D2(Ts​−Ta​)/(4Ts​)。
2. 判断主导机制：比较浮力通量和动量通量，通常电厂烟囱为浮力主导。
3. 选择公式：根据大气稳定度（unstable/neutral/stable）选择对应的 Briggs 公式计算 Δh。
4. 计算有效源高：H=hs​+Δh。
5. 代入高斯模型：在扩散计算中使用 H而非 hs​。

热烟气以一定速度和温度离开烟囱，由于其密度低于环境空气而产生浮力，同时具有初始动量。在风和湍流作用下，烟气与空气混合，浮力逐渐减弱，抬升速度减缓，最终达到平衡高度。流向：总体顺风，同时有垂直上升。

热烟气（主要是空气、水蒸气、CO₂、SO₂等）排入大气，与环境冷空气形成浮力射流。

材料：烟气：主要成分为N₂, O₂, CO₂, H₂O(g), SO₂, NOx等。环境空气。
比例：CO₂浓度 ~10-15%。水蒸气含量 ~5-10%。
纯度/特征：烟气密度略低于空气（因高温）。典型参数：D=5 m， vs​=20 m/s， Ts​=400 K， Ta​=280 K， 则 Fb​≈200 m4/s3。
环境参数：环境风速 u=5 m/s。稳定度：中性 (D类)。计算得 Δh≈100−200 m。

Flow-L1-0268​

流动模型

微流控（惯性聚焦）

颗粒在弯曲通道中的惯性迁移

弯曲微通道中惯性聚焦的迪恩流模型​

1. 迪恩流：流体在弯曲通道中受离心力产生二次流涡（迪恩涡），两个对称的涡旋。
2. 颗粒受力：颗粒受惯性升力（指向通道外侧或中心）和迪恩曳力（沿二次流方向）共同作用。
3. 平衡位置：在弯道中，颗粒可能聚焦于内侧或外侧壁面，取决于颗粒尺寸、流速、通道曲率。平衡条件为净横向力为零。聚焦位置是 Dean 数 De=ReDh​/(2Rc​)​和颗粒尺寸与水力直径比 a/Dh​的函数。

能解释和预测颗粒/细胞在弯曲微通道（如螺旋通道）中的聚焦行为，用于颗粒分选和富集。模型通常需要数值模拟或大量实验标定。

惯性微流体、二次流、力平衡。

螺旋微通道颗粒分选、细胞聚焦、血浆分离。特征：利用弯道中的二次流增强惯性聚焦效果，实现更高效的分离。

变量：颗粒横向位置， 迪恩涡速度 uD​。
几何参数：通道水力直径 Dh​[μm]， 曲率半径 Rc​[mm]。
流动参数：平均流速 U[m/s]， 雷诺数 Re=ρUDh​/μ， 迪恩数 De。
颗粒参数：直径 dp​[μm]。

力平衡方程、迪恩数依赖。

惯性聚焦、弯曲通道、迪恩流、二次流。

1. 计算流场：求解弯曲通道内的三维流场，得到主流和迪恩二次流。
2. 计算颗粒受力：包括剪切梯度升力、壁面诱导升力和迪恩曳力。
3. 追踪颗粒轨迹：积分颗粒运动方程，寻找净横向力为零的平衡位置。
4. 实验验证：用已知尺寸的颗粒进行实验，观察聚焦位置，与模拟对比。

在弯曲通道中，流体受离心力产生二次流（迪恩涡），从通道中心向外侧壁面流动，沿上下壁面返回内侧。颗粒在惯性升力作用下向侧壁迁移，同时被迪恩流携带。两者竞争或协同，决定颗粒最终聚焦于内侧或外侧壁面。流向：沿弯曲通道轴向。

刚性球形颗粒（如聚苯乙烯微球、细胞）悬浮于牛顿流体（水、缓冲液）中，在弯曲微通道内作惯性流动（Re∼10−100）。

材料：颗粒：聚苯乙烯微球。流体：去离子水或 PBS缓冲液。
比例：颗粒浓度 ~0.1% w/v。
纯度/特征：颗粒直径 dp​=5−20μm。水密度 ρ=1000 kg/m3， 粘度 μ=1.0 mPa\cdotps。通道矩形截面 100 μm × 50 μm， Dh​≈67μm。曲率半径 Rc​=1 mm。
环境参数：平均流速 U=1 m/s， Re≈67， De≈27.5。温度 T=20−25∘C。

Flow-L1-0269​

本构模型

智能材料（磁流变弹性体）

场致模量变化

磁流变弹性体的线性粘弹性模型与模量磁场依赖​

1. 材料：磁流变弹性体（MRE）是在弹性体基体（如硅橡胶）中嵌入可磁化颗粒（如羰基铁粉）制成的复合材料。施加磁场时，颗粒间产生磁相互作用，导致材料宏观模量增加。
2. 模型：在小应变下，MRE可视为线性粘弹性体，其复数剪切模量 G∗=G′+iG′′是磁场 H的函数。经验关系：ΔG′∝H2或饱和形式 ΔG′=ΔGsat′​(1−e−kH)。
3. 参数：ΔG′可达基体模量的数倍。

能描述MRE的场控刚度特性，用于自适应隔振器、变刚度夹具的设计。模型参数需通过动态力学分析（DMA）实验测量。

线性粘弹性、磁偶极子相互作用、复合材料力学。

自适应隔振系统、可变刚度夹具、智能传感器。特征：模量可由磁场快速、可逆地调节。

变量：储能模量 G′(H)[MPa]， 损耗模量 G′′(H)， 磁场强度 H[kA/m]。
基体参数：基体模量 G0′​[MPa]， 损耗因子 tanδ0​。
颗粒参数：颗粒体积分数 ϕ， 颗粒饱和磁化强度 Ms​[kA/m]。
场参数：施加磁场强度 H， 方向。

复数模量、磁场平方或饱和函数关系。

磁流变弹性体、场致模量、智能材料、隔振。

1. 样品制备：将羰基铁粉与未固化的硅橡胶混合，固化成型。
2. 实验测量：在DMA仪器中，对MRE样品施加不同强度的磁场 H， 测量其 G′和 G′′。
3. 数据拟合：将 G′(H)数据用 ΔG′=αH2或饱和模型拟合，得到参数 α或 ΔGsat′​,k。
4. 应用模型：在器件设计中，根据所需刚度调节磁场。

MRE在无磁场时，颗粒随机分布，材料模量主要由基体提供。施加磁场后，颗粒磁化并沿磁场方向形成链状结构，增强了材料抵抗剪切变形的能力，表现为储能模量 G′增加。流向：材料变形方向由外部载荷决定，模量受磁场控制。

磁流变弹性体，是固体复合材料，但在小振幅振荡剪切下表现出线性粘弹性。

材料：基体：硅橡胶（如PDMS）。颗粒：羰基铁粉 (CIP)。
比例：颗粒体积分数 ϕ=20−30%。
纯度/特征：硅橡胶基体模量 G0′​≈0.5−1.0 MPa。CIP颗粒直径 d=1−10μm， 饱和磁化强度 Ms​≈1600 kA/m。模量相对变化 ΔG′/G0′​可达 50-100%。
环境参数：温度 T=20−25∘C。驱动频率（DMA测试）f=1−100 Hz。应变振幅 < 1%。磁场强度 H=0−500 kA/m。

Flow-L1-0270​

多物理场模型

能源（地热）

增强型地热系统（EGS）的水-热-力耦合

裂隙岩体中的THM耦合与刺激模型​

1. 过程：向深部岩体注水，打开天然裂隙或产生新裂隙，形成热交换网络。
2. 控制方程：
- 裂隙流：立方定律或更通用的 Navier-Stokes 方程。
- 热传递：岩体与流体的对流-传导。
- 岩体力学：孔隙弹性或损伤力学，描述注水压力引起的有效应力变化和裂隙变形（aperture变化）。
3. 耦合：流动影响传热和应力（孔隙压力）；温度变化影响应力（热应力）和流体物性；应力变化影响裂隙 apertu 和渗透率。

是模拟EGS储层建造和长期运行的核心工具，可预测热提取效率、诱发地震风险等。模型高度复杂，计算成本高。

多孔介质力学、传热学、流体力学、断裂力学。

干热岩地热开发、页岩气水力压裂模拟。特征：模拟流体注入引起的岩体变形、裂隙扩展和热量提取的长期耦合过程。

变量：裂隙内流体压力 pf​， 温度 T， 岩体位移 u， 裂隙 apertu w。
岩体参数：弹性模量 E[GPa]， 泊松比 ν， 渗透率 k[m²]， 热膨胀系数 αT​[1/K]。
裂隙参数：初始 apertu w0​[mm]， 法向刚度 kn​[MPa/mm]。
操作参数：注入流量 Q[kg/s]， 注入温度 Tinj​[°C]。

耦合的非线性偏微分方程组、裂隙变形本构。

增强型地热系统、THM耦合、裂隙流、储层刺激。

1. 建立地质模型：定义岩体几何、初始裂隙网络、地应力场、温度场。
2. 耦合求解：在每个时间步，顺序或全耦合求解流动、传热和力学方程，更新孔隙压力、温度、应力和裂隙 apertu。
3. 判断裂隙扩展：根据局部应力强度因子或损伤准则，判断裂隙是否扩展，并更新裂隙网络几何。
4. 模拟长期运行：模拟数十年热量提取过程。

冷水在高压下注入深部热岩体，使裂隙张开并相互连通，形成流动通道。冷水在裂隙网络中流动，被岩体加热，从生产井提取。注入压力和温度变化引起岩体应力和裂隙开度的动态变化。流向：从注入井向生产井。

水（液态）在花岗岩等低孔隙度结晶岩的裂隙网络中流动，涉及与固体的热交换和力学相互作用。

材料：岩体：花岗岩。流体：水。
比例：纯水。
纯度/特征：花岗岩密度 ρr​=2700 kg/m3， 弹性模量 E=50 GPa， 热导率 kr​=3 W/(m\cdotpK)。初始裂隙 apertu w0​=0.1−0.5 mm。地应力：垂向应力 ~25 MPa/km， 水平应力差异。
环境参数：储层深度 =3−5 km。初始岩温 =150−250∘C。注入温度 Tinj​=30−60∘C。注入压力 > 最小主应力。

Flow-L1-0271​

流动模型

生物流体（眼球运动）

前房水动力学

前房水流动与眼内压的Goldmann方程​

1. 房水循环：房水由睫状体产生，从后房经瞳孔流入前房，然后主要通过小梁网-Schlemm管途径排出。
2. Goldmann方程：描述稳态眼内压 IOP：IOP=CF​+Pv​， 其中 F为房水生成率 [μL/min]， C为房水流出易度 [μL/(min·mmHg)]， Pv​为巩膜上静脉压 [mmHg]。
3. 流动：房水流动为极低雷诺数的蠕动流，压力梯度很小。

是青光眼临床评估的基础公式，将眼内压与房水动力学参数联系起来。是宏观模型，不涉及前房内局部流场。

质量守恒、流体网络理论。

青光眼病理生理、降眼压药物疗效评估。特征：宏观描述房水产生与排出的平衡，决定眼内压。

变量：眼内压 IOP[mmHg]， 房水生成率 F[μL/min]， 流出易度 C[μL/(min·mmHg)]。
生理参数：巩膜上静脉压 Pv​[mmHg] (通常 ~8-10 mmHg)。
病理参数：青光眼患者 C值降低。

线性代数方程。

Goldmann方程、眼内压、房水动力学、青光眼。

1. 测量基础参数：临床上可用眼压计测量 IOP， 荧光光度法测量 F和 C。
2. 计算：若已知 F,C,Pv​， 可由公式估算 IOP。
3. 病理分析：若 IOP升高，可能是由于 F增加或 C减小（如小梁网堵塞）。

房水持续生成，从前房角的小梁网缓慢排出，进入静脉系统。生成与排出的动态平衡决定了眼内压。流动方向：从后房经瞳孔到前房，再经前房角流出。

房水（类似血浆超滤液，牛顿流体，粘度略高于水）在眼前节封闭腔室中的极缓慢流动。

材料：房水：水、电解质、抗坏血酸、蛋白质等。
比例：蛋白质浓度 ~0.2 mg/mL (远低于血浆)。
纯度/特征：房水粘度 μ≈0.7−0.9 mPa\cdotps。密度 ~1000 kg/m³。正常值：F=2.0−2.5μL/min， C=0.2−0.4μL/(min⋅mmHg)， Pv​≈8 mmHg， IOP=10−21 mmHg。
环境参数：体温 T=37∘C。昼夜节律影响 F。

Flow-L1-0272​

多相流模型

环境（海洋）

油膜扩展与蒸发

Fay 油膜扩展模型​

1. 阶段：油膜在平静海面的扩展分为惯性、粘性和表面张力主导阶段。
2. Fay 模型：对于表面张力主导阶段（最终阶段），油膜半径 R(t)随时间变化：R(t)=k(ρw​νw​ΔρgV03​​)1/8t3/8， 其中 k为常数 (~1.5)， Δρ=ρw​−ρo​， V0​为溢油初始体积， ρw​,νw​为海水密度和运动粘度。
3. 蒸发：常采用经验蒸发公式，如蒸发分数 Fe​=ln[1+B(TG​/T)(T/T0​)]， 其中 B,TG​为油品特性参数， T为环境温度， T0​为初始沸点。

能粗略预测平静海面瞬时点源溢油的扩展范围和蒸发损失。忽略了风、波浪、乳化、降解等关键过程。

重力-粘性-表面张力平衡、量纲分析、经验蒸发。

海上溢油事故应急响应、环境影响初步评估。特征：快速估算油膜面积和残存量。

变量：油膜半径 R(t)[m]， 厚度 h(t)[m]， 蒸发分数 Fe​。
油品参数：密度 ρo​[kg/m³]， 运动粘度 νo​[m²/s]， 表面张力 σ[N/m]， 蒸发参数 B,TG​。
环境参数：海水密度 ρw​， 粘度 νw​， 风速 Uw​[m/s]， 水温 T[°C]。
事故参数：溢油体积 V0​[m³]。

幂律增长 (t^{3/8})、代数公式。

油膜扩展、Fay模型、蒸发、溢油。

1. 获取油品和事故数据：确定溢油种类、体积 V0​、发生地点环境条件。
2. 计算扩展：使用 Fay 模型计算不同时间后的油膜半径 R(t)和平均厚度 h(t)=V0​/(πR2)。
3. 计算蒸发：根据蒸发模型计算已蒸发量。
4. 修正：考虑风生漂流和扩散，对中心位置和形状进行修正。

油泄漏到海面后，在重力作用下向外扩展，同时受到海水粘性阻力和油-水-空气界面表面张力的影响。扩展速度逐渐减慢。同时，轻质组分蒸发。流向：从中心向四周径向扩展。

原油或成品油（非牛顿流体，可蒸发）在海水表面上扩展，形成薄层。

材料：油：原油（如阿拉伯轻质原油）。海水。
比例：油膜初始体积 V0​=100−10000 m3。
纯度/特征：原油密度 ρo​=850 kg/m3， 运动粘度 νo​=10 cSt=10−5 m2/s。海水密度 ρw​=1025 kg/m3， 运动粘度 νw​=1×10−6 m2/s。油-水表面张力 σ≈0.025 N/m。
环境参数：水温 T=10∘C。风速 Uw​=5 m/s。海况：平静。

Flow-L1-0273​

本构模型

非牛顿流体（纤维悬浮液）

各向异性粘度

纤维悬浮液的横观各向同性流体模型​

1. 本构：对于定向排列的纤维悬浮液，其应力响应是各向异性的。常用横观各向同性流体模型：
σ=−pI+2ηD+2(η1​−η)(pp:D)pp+(η2​−η)(pDp+pDTp)
其中 p为纤维取向单位矢量， η为基液粘度， η1​,η2​为与纤维方向平行和垂直的额外粘度分量。
2. 取向演化：p随流场演化：DtDp​=W⋅p+λ(D⋅p−pp:D)， 其中 λ=(r2−1)/(r2+1)， r为纤维长径比。

能描述纤维悬浮液的各向异性流变性和取向演化，是模拟短纤维复合材料成型（如注塑）的基础。模型复杂，参数 η1​,η2​需实验测定。

横观各向同性流体力学、取向动力学。

短纤维增强塑料注塑、造纸、生物悬浮液（如黏液）。特征：应力依赖于纤维取向，导致流动方向相关的粘度。

变量：应力张量 σ， 应变率张量 D， 取向张量 pp。
材料参数：基液粘度 η[Pa·s]， 各向异性粘度系数 η1​,η2​[Pa·s]。
纤维参数：长径比 r， 体积分数 ϕ。
取向参数：取向演化参数 λ。

张量形式的本构方程、取向演化方程。

纤维悬浮液、各向异性粘度、取向张量、横观各向同性。

1. 求解流场：获得速度场和应变率场 D。
2. 演化取向：求解取向矢量 p或取向张量 pp的演化方程。
3. 计算应力：根据当前取向状态和各向异性粘度参数计算应力张量 σ。
4. 迭代：将应力代入动量方程，更新流场，重复。

纤维在流动中旋转和取向。沿纤维方向的剪切粘度 (η1​) 通常高于垂直方向的粘度 (η2​)。流动诱导的纤维取向决定了局部的各向异性应力响应。流向由外部驱动决定，但纤维取向随之演化。

刚性短纤维（如玻璃纤维、碳纤维）悬浮于牛顿或非牛顿基液（如聚合物熔体）中。

材料：基液：聚丙烯 (PP)熔体。纤维：玻璃纤维。
比例：纤维重量含量：10-30 wt% (体积分数 ~5-15%)。
纯度/特征：基液粘度 η=100−1000 Pa\cdotps(加工温度下)。纤维长径比 r=10−30。各向异性粘度系数 η1​,η2​可比 η大数倍。
环境参数：加工温度 T=200−250∘C。剪切率 γ˙​=10−1000 s−1。

Flow-L1-0274​

多物理场模型

微流控（声泳）

声辐射力驱动颗粒聚焦

一维声驻波场中的声辐射力公式​

1. 声辐射力：在声驻波场中，颗粒受到时均的声辐射力，使其向声压节点（或反节点）迁移。对于远小于波长的球形颗粒，一维辐射力为：
Frad​=−(2λπp02​Vp​βf​​)ϕ(β,ρ)sin(2kx)， 其中 ϕ=2ρp​+ρf​5ρp​−2ρf​​−βf​βp​​， p0​为声压振幅， Vp​为颗粒体积， β为压缩率， ρ为密度， k=2π/λ为波数， 下标 p,f代表颗粒和流体。
2. 聚焦位置：对于 ϕ>0的颗粒，力指向压力节点（速度反节点）；对于 ϕ<0， 指向压力反节点。

是设计声泳芯片进行颗粒/细胞聚焦、分选和操控的理论基础。公式适用于小颗粒、平面波近似。

声学、微纳颗粒力学。

声泳细胞分选、颗粒富集、芯片实验室。特征：无接触、无标记的颗粒操控，基于密度和压缩率差异。

变量：声辐射力 Frad​[N]， 颗粒位置 x[m]。
声场参数：声压振幅 p0​[Pa]， 波长 λ[μm]， 频率 f[MHz]。
颗粒参数：半径 a[μm]， 密度 ρp​[kg/m³]， 压缩率 βp​[1/Pa]。
流体参数：密度 ρf​， 压缩率 βf​， 声速 cf​。

正弦函数形式的力、与声压振幅平方成正比。

声辐射力、声泳、驻波、颗粒聚焦。

1. 建立声场：在微通道两侧布置压电换能器，激发特定频率（如2 MHz）的超声波，在通道内形成垂直于流动方向的声驻波场。
2. 计算声辐射力：根据颗粒和流体物性，计算 ϕ和 Frad​。
3. 预测聚焦位置：对于 ϕ>0的颗粒（如大多数细胞）， 将聚焦于声压节点（通道中心或1/2宽度处）。
4. 实验验证：观察颗粒是否在预测位置形成聚焦流线。

声驻波在通道内形成周期性的压力分布。颗粒受到与位置相关的声辐射力，被推向力势能最低点（压力节点或反节点）。在粘性阻力下，颗粒逐渐迁移并聚焦在几条清晰的流线上。流向：颗粒随主流水平流动，同时被声辐射力横向驱动聚焦。

颗粒（如聚苯乙烯微球、细胞）悬浮于水或缓冲液中，在微通道内流动，同时受到垂直于流动方向的声驻波场作用。

材料：颗粒：聚苯乙烯微球。流体：水。
比例：颗粒浓度 ~0.1% w/v。
纯度/特征：聚苯乙烯密度 ρp​=1050 kg/m3， 压缩率 βp​≈2.5×10−10 Pa−1。水密度 ρf​=1000 kg/m3， 压缩率 βf​=4.5×10−10 Pa−1， 声速 cf​=1500 m/s。声压振幅 p0​=0.5−1.0 MPa。频率 f=2 MHz， 波长 λ=cf​/f=750μm。
环境参数：温度 T=20−25∘C。

Flow-L1-0275​

流动模型

地球物理（大气环流）

地转风平衡

地转风公式 (用于大尺度大气运动)​

1. 平衡：在大尺度自由大气中（远离地面摩擦），科里奥利力与气压梯度力平衡，导致地转风。
2. 公式：vg​=fρ1​∂x∂p​， ug​=−fρ1​∂y∂p​， 或矢量形式：vg​=fρ1​k×∇p， 其中 f=2Ωsinϕ为科里奥利参数， Ω为地球自转角速度， ϕ为纬度， ρ为空气密度， p为气压。
3. 适用尺度：水平尺度 > 100 km， 时间尺度 > 1天。

是中高纬度大尺度天气系统（如高压、低压）风场的一阶近似，是天气分析和预报的基础。忽略了摩擦、加速度和非线性项。

旋转流体动力学、力平衡。

天气图分析、大气环流教学、气候模式参数化。特征：描述大尺度、准稳态、无摩擦大气运动的平衡风场。

变量：地转风速度 ug​,vg​[m/s]， 气压场 p(x,y)[hPa]。
地理参数：纬度 ϕ[°]， 科里奥利参数 f[s⁻¹]。
大气参数：空气密度 ρ[kg/m³] (通常在850-500 hPa等压面使用)。

代数公式、气压梯度与风速线性相关。

地转风、科里奥利力、气压梯度力、大尺度环流。

1. 获取气压场：从天气图上读取等压线分布，或从数值模式输出中获得 p(x,y)场。
2. 计算气压梯度：估算某点的 ∇p。
3. 计算地转风：根据当地纬度得到 f， 取典型空气密度（如500 hPa高度， ρ≈0.7 kg/m3）， 代入公式计算 ug​,vg​。
4. 绘制风场：地转风平行于等压线，在北半球，背风而立，高压在右，低压在左。

在旋转地球上，大尺度空气运动受到垂直于运动方向的科里奥利力。当科里奥利力与气压梯度力大小相等、方向相反时，空气沿等压线作直线匀速运动，即为地转风。流向：平行于等压线。

干燥空气（理想气体），在中高纬度自由大气中作大尺度水平运动，满足静力平衡和地转平衡。

材料：空气（主要由N₂, O₂组成）。
比例：恒定组成。
纯度/特征：空气密度随高度降低，在500 hPa高度（~5.5 km）， ρ≈0.7 kg/m3。典型中纬度 f=10−4 s−1。气压梯度典型值 (

Flow-L1-0276​

多相流与反应工程

多相催化（固定床反应器）

Ergun方程耦合Langmuir-Hinshelwood动力学

一维拟均相固定床反应器模型​

1. 动量方程 (Ergun)：dzdp​=−(dp2​ϵ3150μ(1−ϵ)2​u+dp​ϵ31.75ρ(1−ϵ)​u2)
2. 质量守恒与反应：udzdCi​​=ρb​νi​r(Ci​,T)， 其中反应速率 r=(1+KA​CA​+KB​CB​)2kKA​CA​​(L-H模型)。
3. 能量方程：uρg​cpg​dzdT​=(−ΔHr​)ρb​r+dt​4U​(Tw​−T)。

广泛用于固定床反应器的初步设计和分析。精度受限于拟均相假设、忽略径向梯度以及动力学参数的准确性。

多孔介质动量守恒（Ergun）、质量/能量守恒、表面反应动力学（L-H）。

苯加氢、费托合成等气固催化反应器设计。特征：耦合流动、传质、传热与表面反应。

变量：压力 p(z)， 浓度 Ci​(z)， 温度 T(z)， 轴向坐标 z。
操作参数：表观速度 u[m/s]， 壁温 Tw​[K]。
床层参数：颗粒直径 dp​[m]， 床层空隙率 ϵ， 床层密度 ρb​=(1−ϵ)ρcat​。
反应参数：指前因子 k0​， 活化能 Ea​， 吸附平衡常数 Ki​， 反应焓 ΔHr​。

常微分方程组（ODE）、非线性反应源项。

固定床、Ergun方程、Langmuir-Hinshelwood动力学、拟均相模型。

1. 输入：入口条件 p0​,Ci0​,T0​， 操作条件 u,Tw​， 催化剂和反应参数。
2. 求解ODE：从 z=0到 L数值积分耦合的动量、质量、能量方程。
3. 输出：出口压力、转化率、温度分布、热点温度。

反应气体在催化剂颗粒间的空隙中流动，压降由粘性损失和惯性损失共同决定（Ergun）。反应物向催化剂表面扩散并发生表面反应，反应热导致温度变化。流向：沿反应器轴向。

气相反应物（如H₂, C₆H₆）在填充有固体催化剂颗粒（如Ni/Al₂O₃）的固定床中流动并反应。

材料：气相：氢气、苯蒸气。固相：Ni/Al₂O₃催化剂颗粒。
比例：催化剂负载量：10-20 wt% Ni。反应物摩尔比 H₂/C₆H₆ ~3:1。
纯度/特征：催化剂颗粒直径 dp​=2−5mm， 球形。床层空隙率 ϵ=0.4。反应温度 T=400−500K。
环境参数：操作压力 p=1−10atm。表观气速 u=0.1−1m/s。

Flow-L1-0277​

电化学与流体力学

电化学能源（液流电池）

对流-扩散-电迁移方程（Nernst-Planck）

全钒液流电池（VRFB）电解液流动与传质模型​

1. 物种输运：对每种活性离子（如VO²⁺, VO₂⁺, V³⁺, V²⁺）， ∂t∂Ci​​+u⋅∇Ci​=∇⋅(Di​∇Ci​)+∇⋅(zi​ui​FCi​∇ϕ)+Ri​， 其中 Ri​为电极反应源项。
2. 流场：多孔电极内达西流 u=−μK​∇p。
3. 电化学反应：Butler-Volmer方程给出反应速率和 Ri​。

能模拟VRFB中浓度极化、泵送损失和容量衰减。模型复杂，需要大量物性参数。

Nernst-Planck方程、达西定律、Butler-Volmer动力学。

全钒液流电池堆设计、电解液配比和流速优化。特征：耦合流体流动、多离子迁移和电化学反应。

变量：离子浓度 Ci​， 电势 ϕ， 压力 p， 流速 u。
电解液参数：扩散系数 Di​[m²/s]， 离子滴度 ui​[m²/(V s)]， 支持电解质浓度。
电极参数：孔隙率 ϵ， 渗透率 K[m²]， 比表面积 a[m⁻¹]。
操作参数：流速 Q[mL/min]， 电流密度 j[A/m²]。

耦合的偏微分方程组（PDE）、对流-扩散-迁移形式。

液流电池、Nernst-Planck方程、多孔电极、对流-扩散-电迁移。

1. 建立几何：定义流道、多孔电极、膜的区域。
2. 耦合求解：在给定电流密度下，迭代求解流场、浓度场和电势场，使电极反应速率满足Butler-Volmer方程和电荷守恒。
3. 计算性能：得到电池电压、过电位、浓度分布等。

电解液被泵送流经多孔电极，活性离子通过对流、扩散和电迁移向电极表面传输，发生氧化还原反应。流向：电解液沿流道流动，部分渗入多孔电极。

硫酸介质中的钒离子溶液（电解液）在碳毡多孔电极中流动，涉及多种价态钒离子的迁移和反应。

材料：电解液：1.5 M VOSO₄ in 2 M H₂SO₄。电极：碳毡。隔膜：Nafion膜。
比例：总钒浓度：1.5 M。H₂SO₄浓度：2 M。
纯度/特征：电解液粘度 μ≈3−5mPa⋅s。碳毡孔隙率 ϵ=0.9， 渗透率 K≈10−10m2。离子扩散系数 Di​∼10−10m2/s。
环境参数：温度 T=20−40∘C。流速 Q=10−100mL/min。电流密度 j=20−100mA/cm2。

Flow-L1-0278​

纳米流体与传热

纳米技术（强化传热）

Buongiorno四方程模型

纳米流体自然对流与热泳/布朗运动耦合模型​

1. 连续性：∇⋅u=0
2. 动量：ρnf​(∂t∂u​+u⋅∇u)=−∇p+μnf​∇2u+(ρβ)nf​(T−T0​)g
3. 能量：(ρcp​)nf​(∂t∂T​+u⋅∇T)=knf​∇2T+ρp​cp,p​[DB​∇ϕ⋅∇T+(DT​/T0​)∇T⋅∇T]
4. 纳米颗粒：∂t∂ϕ​+u⋅∇ϕ=∇⋅(DB​∇ϕ+(DT​/T0​)∇T)， 其中 DB​=kB​T/(3πμdp​)， DT​=βμϕ/ρ。

能描述纳米颗粒分布非均匀性对流动和传热的影响。模型复杂，纳米流体的有效物性（knf​,μnf​）存在争议。

纳维-斯托克斯方程、能量方程、颗粒对流-扩散方程、布朗/热泳扩散。

电子设备纳米流体冷却、太阳能集热器。特征：考虑纳米颗粒的微观运动（布朗、热泳）对宏观流动和传热的耦合影响。

变量：速度 u， 压力 p， 温度 T， 纳米颗粒体积分数 ϕ。
纳米流体物性：有效密度 ρnf​=(1−ϕ)ρf​+ϕρp​， 有效比热 (ρcp​)nf​=...， 有效粘度 μnf​(ϕ)， 有效导热系数 knf​(ϕ,T)。
颗粒参数：颗粒直径 dp​[nm]， 颗粒密度 ρp​。
扩散系数：布朗扩散系数 DB​， 热泳扩散系数 DT​。

耦合的PDE方程组、非线性物性、交叉扩散项。

纳米流体、Buongiorno模型、自然对流、热泳、布朗运动。

1. 计算有效物性：根据基础流体和纳米颗粒性质，以及当前局部 ϕ， 计算 ρnf​,μnf​,knf​等。
2. 求解流场和温度场：耦合求解动量、能量方程。
3. 求解颗粒场：利用当前温度场，求解颗粒浓度方程，更新 ϕ。
4. 迭代：重复直到收敛。

纳米颗粒的存在改变流体的有效物性。温度梯度引起热泳，使颗粒从热区向冷区迁移；布朗运动使颗粒扩散。颗粒分布的不均匀性反过来影响局部物性和浮力，改变自然对流流场。流向：由浮力驱动，形成环流。

纳米颗粒（如Al₂O₃, CuO）悬浮于基础流体（如水、乙二醇）中，形成均匀或非均匀悬浮液。

材料：基础流体：去离子水。纳米颗粒：Al₂O₃ (γ相)。
比例：纳米颗粒体积分数 ϕ0​=0.01(1%)。
纯度/特征：颗粒直径 dp​=20−50nm， 球形。水密度 ρf​=998kg/m3， Al₂O₃密度 ρp​=3970kg/m3。有效粘度模型：μnf​=μf​(1+2.5ϕ)(Einstein， 低浓度)。
环境参数：温差 ΔT=10−40K。特征尺寸 H=0.1m。重力加速度 g=9.81m/s2。

Flow-L1-0279​

高压流体力学

超临界流体技术

Peng-Robinson状态方程耦合对流-扩散

超临界CO₂萃取釜内流动与传质模型​

1. 状态方程：使用PR EoS计算超临界CO₂的密度、焓等：p=Vm​−bRT​−Vm​(Vm​+b)+b(Vm​−b)a(T)​， 其中 a(T),b为物质参数。
2. 流动与传质：在萃取釜内，假设为拟均相一维平推流，物种输运：u∂z∂C​=−kf​a(C−Cs​)， 其中 Cs​为固体表面平衡浓度， 由分配系数或溶解度模型给出。
3. 溶解度：常用Chrastil经验公式：S=ρkexp(a/T+b)， 其中 S为溶解度 [kg/m³]， ρ为SC-CO₂密度。

能估算萃取率和所需时间。模型简化了釜内复杂的多孔介质流动和传质过程。

真实气体状态方程（PR EoS）、质量守恒、经验溶解度关联。

超临界CO₂萃取天然产物（如咖啡因、精油）。特征：高压、温度接近临界点（31.1°C, 7.38 MPa）， 流体物性对p,T敏感。

变量：CO₂密度 ρ(p,T)， 溶质浓度 C(z)， 轴向位置 z。
操作参数：压力 p[MPa]， 温度 T[K]， CO₂流速 G[kg/h]。
传质参数：总体积传质系数 kf​a[1/s]， 平衡溶解度 Cs​(p,T)。
固体参数：床层空隙率 ϵ， 颗粒直径 dp​。

代数方程（EoS）、常微分方程（传质）。

超临界CO₂、Peng-Robinson状态方程、萃取、传质。

1. 设定操作条件：选择 p,T， 确保处于超临界区。
2. 计算CO₂物性：用PR EoS计算入口处密度 ρ、粘度等。
3. 计算溶解度：用Chrastil公式计算 Cs​。
4. 求解传质方程：积分 udC/dz=−kf​a(C−Cs​)， 得到出口浓度和萃取率。

高压CO₂被泵入填充有固体原料的萃取釜。超临界CO₂具有高扩散性和低粘度，渗入固体孔隙，溶解目标成分。溶解的溶质随CO₂流动被带出。流向：CO₂自上而下或自下而上流经固定床。

超临界二氧化碳（SC-CO₂）作为溶剂，携带从固体基质（如咖啡豆）中溶解出的溶质（如咖啡因）。

材料：溶剂：食品级CO₂ (纯度 >99.9%)。溶质：咖啡因。固体基质：烘焙咖啡豆。
比例：CO₂为连续相，溶质为微量。
纯度/特征：CO₂临界点：Tc​=304.25K， pc​=7.38MPa。典型操作：p=20−30MPa， T=313−333K。咖啡因在SC-CO₂中溶解度 ~0.1-1 wt%。
环境参数：CO₂流速：10-50 kg/h。萃取时间：1-5小时。

Flow-L1-0280​

磁流体动力学

空间推进（电弧喷射）

磁流体动力学（MHD）守恒方程

自洽电弧喷射推进器（MPDT）流动与电磁场耦合模型​

1. 守恒方程：包含洛伦兹力 J×B和焦耳加热 J⋅E：
∂t∂ρ​+∇⋅(ρu)=0
∂t∂(ρu)​+∇⋅(ρuu)=−∇p+∇⋅τ+J×B
∂t∂(ρe)​+∇⋅((ρe+p)u)=∇⋅(k∇T)+J⋅E−qrad​
2. 电磁场：求解麦克斯韦方程，或使用欧姆定律 J=σ(E+u×B)与磁感应方程。

是模拟MPDT性能（比冲、推力、效率）的基础。模型高度非线性，计算昂贵，涉及非平衡等离子体、真实气体效应等。

可压缩纳维-斯托克斯方程、麦克斯韦方程组、广义欧姆定律。

电磁推进、空间任务（轨道转移、深空探测）。特征：等离子体在电磁场中加速，无电极侵蚀问题，高比冲。

变量：密度 ρ， 速度 u， 压力 p， 温度 T， 电流密度 J， 电场 E， 磁场 B。
工质参数：气体种类（如氩、氙）， 电导率 σ(T,p)， 辐射损失 qrad​。
电磁参数：施加电流 I0​， 初始磁场 B0​， 电导率模型参数。
几何参数：喷管形状、电极间距。

耦合的PDE方程组、源项包含电磁项。

磁等离子体动力推进器、MHD、电弧喷射、空间推进。

1. 初始化：设定初始等离子体状态和电磁场。
2. 耦合求解：在每个时间步，交替或全耦合求解流体方程和电磁方程（或磁感应方程）。
3. 更新物性：根据当前 T,p更新电导率 σ、热导率 k等。
4. 计算性能：积分出口参数得到推力、比冲。

工质气体被电离成等离子体。电流通过等离子体产生自感应磁场，电流与磁场相互作用产生洛伦兹力（J×B）， 加速等离子体喷出产生推力。焦耳加热使等离子体升温膨胀。流向：主要沿喷管轴向。

高温、部分电离的等离子体（如氙等离子体）， 在电磁场中流动，涉及复杂的真实气体和输运性质。

材料：工质：高纯度氙气 (Xe)。电极材料：钨或钍钨。
比例：纯氙。
纯度/特征：氙原子量 131.3， 电离能 12.13 eV。典型放电电流 I=100−1000A。等离子体温度 T=10000−20000K。电导率 σ∼103−104S/m。
环境参数：背景压力：高真空 (<10⁻³ Pa)。质量流量：m˙=1−10mg/s。电压：几百伏。

Flow-L1-0281​

稀薄气体动力学

微机电系统（MEMS）

滑移流模型（Maxwell边界条件）

微通道内稀薄气体流动的滑移流NS方程​

1. 控制方程：标准NS方程，但在壁面应用速度滑移和温度跳跃条件：
(u_s - u_w = \frac{2-\sigma_v}{\sigma_v} \lambda \left. \frac{\partial u}{\partial n} \right

_w + \frac{3}{4} \frac{\mu}{\rho T} \left. \frac{\partial T}{\partial s} \right

_w)(Maxwell滑移)
(T_s - T_w = \frac{2-\sigma_T}{\sigma_T} \frac{2\gamma}{\gamma+1} \frac{\lambda}{Pr} \left. \frac{\partial T}{\partial n} \right

_w)
2. 适用性：Knudsen数 Kn=λ/L在 0.001 < Kn < 0.1 的滑移流区。

在连续流模型基础上进行修正，能较准确地预测微尺度下稀薄气体的流动和传热。当Kn > 0.1时，需要更高阶模型或直接模拟蒙特卡洛（DSMC）。

纳维-斯托克斯方程、动理论、Maxwell滑移边界条件。

微机电系统（MEMS）中的气体流动、硬盘读写头气膜润滑、真空技术。特征：特征尺度与分子平均自由程相当，连续介质假设出现偏差。

变量：速度 u， 压力 p， 温度 T， 壁面滑移速度 us​， 跳跃温度 Ts​。
气体参数：分子平均自由程 λ=2​πd2pkB​T​， 粘度 μ， 比热比 γ， Prandtl数 Pr。
边界参数：切向动量调节系数 σv​， 热调节系数 σT​(通常0.7-1.0)。
几何参数：通道高度 H[μm]。

偏微分方程组、修正的边界条件。

稀薄气体、滑移流、Maxwell边界条件、微通道。

1. 计算Kn数：根据操作压力、温度和特征尺寸计算 λ和 Kn。
2. 判断模型：若 0.001<Kn<0.1， 采用滑移流NS方程。
3. 设置边界条件：在壁面应用滑移速度 us​和温度跳跃 Ts​公式。
4. 求解：数值求解修正的NS方程。

Flow-L1-0282​

多尺度流动

非常规油气

页岩气藏多尺度流动模型

双孔隙度/双渗透率模型耦合Knudsen扩散​

1. 基质系统：纳米孔隙中的气体传输考虑滑脱流和Knudsen扩散，表观渗透率 ka​=k∞​(1+pb​)F(Kn)， 其中 b为滑脱因子， F(Kn)为Knudsen修正函数。
2. 裂缝系统：宏观裂缝中的流动用达西定律描述。
3. 耦合：基质和裂缝通过窜流项 qmf​连接：qmf​=σμkm​​(pm​−pf​)， 其中 σ为形状因子。

能更真实地描述页岩气从纳米孔隙解吸、扩散到宏观裂缝网络，最终流入井筒的过程。模型参数多，且难以准确获取。

达西定律、滑脱效应、Knudsen扩散、窜流模型。

页岩气产量预测、压裂方案优化。特征：耦合了纳米尺度（吸附、扩散）和宏观尺度（达西流）的流动。

变量：基质压力 pm​， 裂缝压力 pf​， 气体吸附量 Vads​。
基质参数：固有渗透率 k∞​[nD]， 孔隙度 ϕm​， 滑脱因子 b[Pa]， 吸附参数（Langmuir体积 VL​， 压力 pL​）。
裂缝参数：裂缝渗透率 kf​[mD]， 孔隙度 ϕf​。
耦合参数：形状因子 σ[1/m²]。

偏微分方程组、非达西渗透率模型、吸附源项。

页岩气、多尺度流动、双孔隙度、表观渗透率、Knudsen扩散。

1. 划分区域：将储层划分为基质块和裂缝网络。
2. 求解基质方程：在基质中求解考虑吸附和解吸的非达西流动方程。
3. 求解裂缝方程：在裂缝中求解达西流。
4. 耦合求解：通过窜流项将两者耦合，迭代求解整个系统的压力分布和产量。

气体吸附在有机质纳米孔隙表面。生产时，压力下降，气体解吸，通过Knudsen扩散和滑脱流在基质纳米孔隙中传输，然后窜流到水力裂缝网络，最后通过裂缝流入井筒。流向：从基质到裂缝，再到井筒。

甲烷气体在有机质（干酪根）和无机质（粘土、石英）的复杂纳米孔隙网络中流动，涉及吸附/解吸过程。

材料：气体：甲烷 (CH₄)。储层岩石：页岩（含干酪根、粘土、石英等）。
比例：干酪根含量：2-10 wt%。
纯度/特征：甲烷分子直径 ~0.38 nm。基质孔隙直径：2-50 nm。基质渗透率 k∞​=10−100nD。Langmuir吸附参数：VL​=1−3m3/t， pL​=5−10MPa。
环境参数：储层深度：2000-4000 m。初始压力 pi​=20−40MPa。温度 T=80−120∘C。

Flow-L1-0283​

生物流体力学与传质

心血管疾病

动脉分叉处低密度脂蛋白输运模型

低雷诺数血流与对流-扩散-壁面吸收耦合模型​

1. 血流：稳态不可压缩NS方程：∇⋅u=0， ρ(u⋅∇u)=−∇p+μ∇2u。
2. LDL输运：u⋅∇C=D∇2C， 壁面边界条件： −D∂n∂C​=kCw​， 其中 k为内皮层渗透率。
3. 几何：使用理想化的分叉几何（如Y型分叉）。

能模拟LDL在动脉分叉等复杂几何处的浓度极化现象，预测易发生动脉粥样硬化的区域。忽略了血液的非牛顿性和脉动性。

纳维-斯托克斯方程、对流-扩散方程、壁面渗透边界条件。

动脉粥样硬化发病机理研究、药物靶向输送评估。特征：模拟大分子（LDL）在复杂血流下的壁面浓度分布。

变量：血流速度 u， 压力 p， LDL浓度 C。
血液参数：密度 ρ， 粘度 μ， LDL扩散系数 D[m²/s]。
血管参数：主支直径 D0​， 分叉角 θ， 内皮渗透率 k[m/s]。
边界条件：入口流速剖面（如抛物线）， 入口LDL浓度 C0​。

耦合的PDE方程组、对流主导的传质。

低密度脂蛋白、动脉分叉、对流-扩散、壁面吸收、浓度极化。

1. 生成网格：对分叉几何进行网格划分。
2. 求解流场：在给定入口流速下，求解稳态NS方程，得到 u,p。
3. 求解浓度场：以流场为输入，求解对流-扩散方程，应用渗透壁面边界条件。
4. 分析结果：观察分叉外侧等区域的壁面浓度 Cw​是否升高。

血液携带LDL流经动脉分叉。在分叉处，流线弯曲，形成低速区或再循环区。LDL通过对流和扩散向壁面传输，部分被渗透性内皮吸收。在流动分离区，对流减弱，扩散主导，可能导致壁面LDL浓度升高（浓度极化）。流向：沿血管轴向。

血液（视为牛顿流体）携带低密度脂蛋白（LDL， 大分子， ~20 nm直径）在刚性动脉模型中流动。

材料：血液：模拟为牛顿流体（水-甘油混合物）。溶质：低密度脂蛋白（LDL）。
比例：LDL为微量成分（生理浓度 ~1 mg/mL）。
纯度/特征：血液密度 ρ=1050kg/m3， 粘度 μ=0.0035Pa⋅s。LDL扩散系数 D≈5×10−12m2/s。内皮渗透率 k≈10−9−10−8m/s。
环境参数：入口平均流速 Uavg​=0.1−0.2m/s。主支直径 D0​=3−5mm。分叉角 θ=30−75∘。

Flow-L1-0284​

非牛顿流体力学

聚合物加工

粘弹性流体挤出胀大数值模型

上随体Maxwell模型模拟毛细管挤出自由表面流动​

1. 本构方程：上随体Maxwell模型：τ+λτ▽=2ηD， 其中上随体导数 τ▽=∂t∂τ​+u⋅∇τ−(∇u)T⋅τ−τ⋅∇u。
2. 流动方程：∇⋅u=0， ρ(∂t∂u​+u⋅∇u)=−∇p+∇⋅τ。
3. 自由表面：使用VOF或界面追踪方法确定挤出物的形状。

能定性预测挤出胀大比（挤出物直径/毛细管直径）随 Deborah 数（De=λγ˙​）的变化。数值求解具有挑战性（高Weissenberg数问题）。

粘弹性本构方程（上随体Maxwell）、纳维-斯托克斯方程、自由表面流。

聚合物挤出成型、纤维纺丝、3D打印。特征：模拟粘弹性记忆效应导致的挤出物截面膨胀。

变量：速度 u， 压力 p， 弹性应力张量 τ。
材料参数：松弛时间 λ[s]， 零剪切粘度 η[Pa·s]， 密度 ρ。
操作参数：挤出速度 U[m/s]， 毛细管直径 D[mm]， 长径比 L/D。
数值参数：网格、时间步长、收敛准则。

耦合的PDE方程组、本构方程包含对流导数。

粘弹性、挤出胀大、上随体Maxwell模型、自由表面流。

1. 管内流动：在毛细管入口段施加充分发展的速度剖面，求解稳定流动，得到出口处的应力状态。
2. 挤出区域：在挤出区域，求解包含自由表面的流动和应力方程。
3. 迭代：更新自由表面形状，直到应力和流动场收敛，得到稳定的挤出物形状和胀大比。

聚合物熔体在毛细管内受压力驱动作剪切流动，弹性应力逐渐发展。熔体流出毛细管后，约束消失，储存的弹性势能释放，导致流体回弹和径向膨胀，形成挤出胀大。流向：沿毛细管轴向挤出。

聚合物熔体（如聚丙烯、聚苯乙烯）在加工温度下的粘弹性流动，通常涉及高粘度。

材料：聚合物：聚丙烯 (PP)。
比例：纯聚合物。
纯度/特征：熔体密度 ρ≈800kg/m3。零剪切粘度 η0​=1000−10000Pa⋅s(在200°C)。松弛时间 λ=0.1−1s。典型剪切率 γ˙​=10−100s−1， De=1−100。
环境参数：加工温度 T=180−220∘C。毛细管直径 D=1mm， 长径比 L/D=20−40。

Flow-L1-0285​

环境流体力学

水污染

河流中重金属吸附-输运耦合模型

一维对流-扩散方程耦合线性吸附动力学​

1. 水相输运：∂t∂C​+u∂x∂C​=D∂x2∂2C​−k1​C+k2​S−λC
2. 固相吸附：∂t∂S​=k1​C−k2​S
其中 C为溶解相浓度， S为吸附在悬浮沉积物上的浓度（单位沉积物质量）， k1​,k2​为吸附和解吸速率常数， λ为降解或沉降损失系数。

能模拟重金属在河流中的迁移转化趋势，是环境风险评估的基础工具。模型简化了复杂的沉积物-水相互作用和形态转化。

对流-扩散方程、线性吸附动力学、质量守恒。

矿山废水排放、河流重金属污染模拟与修复规划。特征：耦合溶解相和颗粒相之间的动力学交换。

变量：溶解浓度 C(x,t)[mg/L]， 吸附浓度 S(x,t)[mg/kg]， 空间 x， 时间 t。
水力参数：平均流速 u[m/s]， 弥散系数 D[m²/s]。
反应参数：吸附速率 k1​[1/s]， 解吸速率 k2​[1/s]， 总衰减系数 λ[1/s]。
沉积物参数：悬浮沉积物浓度 Csed​[kg/m³]。

耦合的偏微分方程组（两个PDE）、线性交换项。

重金属输运、吸附-解吸、对流-扩散、河流污染。

1. 确定参数：通过实验或文献获取 u,D,k1​,k2​,λ,Csed​。
2. 设定初始和边界条件：给定初始污染分布和上游输入函数。
3. 数值求解：使用有限差分或有限元法求解耦合的 C和 S方程。
4. 计算总浓度：Ctotal​=C+Csed​S/ρw​。

溶解的重金属随河水对流和扩散向下游迁移。同时，重金属与悬浮沉积物发生动力学吸附和解吸交换。部分重金属可能随沉积物沉降或发生化学/生物降解。流向：沿河流流向。

河水（牛顿流体）中含有溶解的重金属离子（如Pb²⁺, Cd²⁺）和悬浮固体颗粒（沉积物）。

材料：水体：河水。污染物：铅离子 (Pb²⁺)。吸附剂：悬浮泥沙（主要成分为粘土、有机质）。
比例：悬浮泥沙浓度 Csed​=0.01−0.1kg/m3。
纯度/特征：铅的吸附分配系数 Kd​=k1​/k2​≈103−104L/kg。典型速率常数：k1​=10−4−10−3s−1， k2​=10−7−10−6s−1。
环境参数：河流流速 u=0.3−1m/s。弥散系数 D=1−10m2/s。水温 T=10−20∘C， pH ~7-8。

Flow-L1-0286​

相变与传热

沸腾传热

池沸腾临界热流密度（CHF）模型

Zuber hydrodynamic instability model for CHF​

1. 物理机制：CHF发生时，从加热表面产生的蒸汽膜阻碍了液体的补充，导致传热恶化。Zuber基于Helmholtz不稳定性理论，认为CHF由蒸汽射流脱离的临界条件决定。
2. 公式：qCHF​=Chfg​ρg1/2​[σg(ρl​−ρg​)]1/4， 其中 C为常数（对于无限大水平平板， C=π/24≈0.131）， hfg​为汽化潜热， σ为表面张力， g为重力加速度。

是预测大空间池沸腾CHF最著名和广泛使用的理论模型。对于有限尺寸、倾斜表面或流动沸腾，需要修正。

流体力学不稳定性理论（Helmholtz）、量纲分析、能量平衡。

核反应堆安全分析、高热流密度电子冷却系统设计。特征：预测沸腾传热的最大热流极限，避免设备烧毁。

变量：临界热流密度 qCHF​[W/m²]。
工质参数：液体密度 ρl​， 蒸汽密度 ρg​， 汽化潜热 hfg​[J/kg]， 表面张力 σ[N/m]。
环境参数：重力加速度 g[m/s²]， 压力（通过影响 ρg​,hfg​,σ）。
几何常数：C(取决于加热面几何和方向)。

代数公式、1/4次方律。

临界热流密度、Zuber模型、池沸腾、流体力学不稳定性。

1. 确定工质和条件：明确工质（如水）和系统压力（如1 atm）。
2. 获取物性：查表或计算该压力下的 ρl​,ρg​,hfg​,σ。
3. 选择常数：根据加热面几何选择 C。
4. 计算：代入公式计算 qCHF​。

在加热面上，气泡生成、长大并脱离。在接近CHF时，蒸汽产生速率如此之高，以至于在加热面上形成连续的蒸汽膜或蒸汽射流阵列。液体通过蒸汽射流之间的通道向加热面补充的流动变得不稳定，导致液体供应中断，热流密度达到极限。流向：蒸汽向上脱离，液体从侧向补充。

工质（如水）在加热面上发生核态沸腾，涉及剧烈的汽-液两相流动和相变。

材料：工质：去离子水。加热面：铜或不锈钢。
比例：纯水。
纯度/特征：常压下 (1 atm)， 水物性：ρl​=958kg/m3， ρg​=0.598kg/m3， hfg​=2.257×106J/kg， σ=0.0589N/m。计算得 qCHF​≈1.1×106W/m2。
环境参数：压力 p=1atm。饱和温度 Tsat​=100∘C。重力 g=9.81m/s2。

Flow-L1-0287​

气溶胶力学

呼吸系统

气溶胶颗粒在呼吸道中沉积的惯性碰撞模型

基于Stokes数的撞击效率经验公式​

1. 惯性参数：Stokes数 Stk=18μDρp​dp2​U​， 其中 U为特征流速， D为气道直径。
2. 撞击效率：对于气流在圆柱体（模拟气管）或弯道（模拟分叉）处的惯性碰撞，沉积效率 η常表示为 Stk的函数。例如，对于喉部或弯道：η=(Stk+0.25)2Stk2​或类似经验公式。
3. 总沉积：沿呼吸道分段计算并累加。

能快速估算可吸入颗粒物（PM10, PM2.5）在呼吸系统不同区域的沉积比例。忽略了扩散、沉降等其他机制，适用于 >0.5 μm 的颗粒。

惯性碰撞原理、Stokes数、实验关联式。

空气污染健康风险评估、吸入式药物输送设计。特征：基于颗粒惯性预测其在气流改变处（如弯道）撞击壁面的概率。

变量：沉积效率 η， Stokes数 Stk。
颗粒参数：密度 ρp​[kg/m³]， 空气动力学直径 dp​[μm]。
气道参数：直径 D[mm]， 流速 U[m/s] (如吸气峰值流速)。
空气参数：粘度 μ[Pa·s]， 密度 ρf​。

代数公式、Stokes

Flow-L1-0291​

电化学流体力学

燃料电池（SOFC）

多孔电极内气体传输与电化学反应耦合

固体氧化物燃料电池（SOFC）阳极/阴极的Dusty-Gas模型​

1. 多组分气体传输：在SOFC多孔电极内，气体传输包括努森扩散、分子扩散和粘性流动。Dusty-Gas模型 (DGM) 综合描述了这些机制：
∑j=i​Dijeff​xj​Ni​−xi​Nj​​+Di,Keff​Ni​​=−RT1​(∇pi​+μDi,Keff​B0​p​∇p)
其中 Dijeff​=Dij​ϵ/τ， Di,Keff​=32​rp​πMi​8RT​​ϵ/τ。
2. 电化学反应：Butler-Volmer方程给出电流密度与过电势关系，反应速率作为物种方程的源/汇项。

能更准确地描述SOFC电极内，尤其是在中高电流密度下的浓度极化。比Fick定律或Stefan-Maxwell模型更全面，但更复杂。

多孔介质内多组分输运、Dusty-Gas模型、Butler-Volmer电化学。

固体氧化物燃料电池电极设计与优化、退化分析。特征：模拟从分子流到连续流的广泛区间的气体传输，与电化学反应强耦合。

变量：组分摩尔通量 Ni​， 分压 pi​， 总压 p， 过电势 η。
电极参数：孔隙率 ϵ， 曲折度 τ， 平均孔径 rp​[m]， 渗透率 B0​[m²]。
气体参数：二元扩散系数 Dij​， 分子量 Mi​， 粘度 μ。
电化学参数：交换电流密度 j0​， 传递系数 α。

耦合的代数-微分方程组、多机制传输模型。

固体氧化物燃料电池、Dusty-Gas模型、多孔电极、多组分输运。

1. 建立电极域：定义阳极或阴极多孔结构。
2. 求解DGM方程：在给定电流密度（或过电势）下，耦合求解各组分传输方程，得到电极内分压分布。
3. 计算反应速率：根据局部气体分压和Butler-Volmer方程计算电化学反应速率，并作为源项反馈给传输方程。
4. 迭代求解直到自洽，得到性能曲线。

反应气体（如H₂, O₂）通过对流、分子扩散和努森扩散在多孔电极内传输至三相界面。电化学反应消耗/生成气体，产生组分梯度和净流动。流向：气体从流道向电极内部渗透。

高温气体（H₂/H₂O混合物或空气/O₂）在Ni-YSZ阳极或LSM-YSZ阴极等多孔复合电极内传输。

材料：阳极气体：97%H₂-3%H₂O (加湿)。阴极气体：空气。电极：Ni-YSZ金属陶瓷（阳极）， LSM-YSZ复合物（阴极）。
比例：阳极：Ni含量 40-50 vol%。阴极：LSM含量 50-60 vol%。
纯度/特征：工作温度 T=1073K(800°C)。电极孔隙率 ϵ=0.3−0.4， 曲折度 τ=3−5， 平均孔径 rp​=0.5−1.0μm。H₂在H₂O中的二元扩散系数 Dij​≈1×10−4m2/s(800°C, 1 atm)。
环境参数：操作压力 p=1atm。燃料利用率 Uf​=70−85%。

Flow-L1-0292​

微重力流体物理

空间材料科学

浮区法中的热-溶质毛细对流

热-溶质毛细对流线性稳定性分析（双组分流体）​

1. 控制方程：在Boussinesq近似下，包含热量和溶质（两种组分）输运的Navier-Stokes方程。
2. 线性化：在稳态基流（通常为轴对称、纯热毛细流）上施加小扰动，得到线性扰动方程。
3. 特征值问题：假设扰动形式为 q′=q^​(r,z)ei(mθ−ωt)， 代入线性方程得到关于复增长率 σ=−iω的特征值问题。临界条件由 σr​=0决定，得到临界热毛细雷诺数 Rec​和振荡频率。溶质梯度会影响稳定性。

用于预测浮区晶体生长中从稳态到振荡对流失稳的阈值，是空间材料实验的理论基础。分析复杂，通常只能数值求解。

线性稳定性理论、热毛细对流、双扩散对流。

空间半导体晶体生长（如硅、锗）的失稳分析。特征：同时考虑温度梯度和浓度梯度驱动的表面张力流及其耦合不稳定性。

变量：扰动速度、压力、温度、浓度振幅函数 u^,p^​,T^,C^， 复增长率 σ， 波数 m。
控制参数：热毛细雷诺数 (Re = \frac{

\gamma_T

\Delta T R}{\rho \nu \kappa})， 溶质毛细雷诺数 (Re_S = \frac{

\gamma_C

\Delta C R}{\rho \nu D})， 普朗特数 Pr=ν/κ， 施密特数 Sc=ν/D， 浮区纵横比 Γ=L/R。
物性参数：表面张力温度系数 γT​=dσ/dT， 浓度系数 γC​=dσ/dC。

线性偏微分方程特征值问题、复特征值。

热-溶质毛细对流、双扩散、线性稳定性、浮区法。

Flow-L1-0293​

非牛顿流体与地质力学

地球物理（泥石流）

库伦-粘塑性模型

库伦-粘塑性本构模型用于模拟泥石流动力学​

1. 本构关系：应力满足 Mohr-Coulomb 屈服准则：τ=c+σn​tanϕ， 当材料屈服后，表现为粘塑性流动。常用形式是将其嵌入到具有屈服应力的广义牛顿流体框架中，如 Herschel-Bulkley 模型：τ=τy​+Kγ˙​n， 其中屈服应力 τy​=c+ptanϕ依赖于法向应力（或压力 p）。
2. 控制方程：浅水方程（Saint-Venant类型）的深度积分形式，包含本构关系给出的底部剪切应力。

能模拟泥石流的启动、流动和堆积过程，考虑固相压力对屈服应力的影响。是地质流变学常用模型。

库伦摩擦定律、粘塑性理论、浅水近似。

泥石流灾害模拟、火山碎屑流预测、尾矿坝溃坝分析。特征：模拟具有摩擦-粘性屈服应力的颗粒-流体混合物在复杂地形上的流动。

变量：流动深度 h(x,y,t)， 深度平均速度 uˉ(x,y,t)， 基底剪切应力 τb​。
材料参数：内聚力 c[Pa]， 内摩擦角 ϕ[°]， 稠度系数 K[Pa·sⁿ]， 流动指数 n。
混合物参数：固体体积分数 ϕs​， 混合物密度 ρm​=ϕs​ρs​+(1−ϕs​)ρf​。
地形参数：床面高程 zb​(x,y)， 坡度。

双曲型偏微分方程组（浅水方程）、非线性摩擦项。

泥石流、库伦-粘塑性、Herschel-Bulkley、浅水方程。

1. 地形与初始化：输入数字高程模型（DEM）， 给定初始崩塌体分布。
2. 求解深度积分方程：在每个时间步，根据当前 h,uˉ计算基底剪切应力 τb​=min(τy​,μρm​ghcosθ)， 其中 μ=tanϕ， θ为局部坡度。
3. 时间推进：更新 h和 uˉ， 模拟流动扩展、侵蚀和堆积。

泥石流被视为连续介质。在低剪切应力下，表现为固体（屈服）。当重力驱动的剪切应力超过屈服应力（与深度/压力相关）时，开始像粘塑性流体一样流动，屈服后可能表现为剪切变稀。流向由地形坡度（重力）主导。

高浓度水-沙-砾石混合物，视为具有压力相关屈服应力的单一均质非牛顿流体。

材料：固体：沙、砾石、粘土。流体：水。
比例：固体体积分数 ϕs​=0.5−0.7。粘土含量：2-10%。
纯度/特征：混合物密度 ρm​=1800−2200kg/m3。内聚力 c=100−1000Pa。内摩擦角 ϕ=30−40°。稠度系数 K=10−1000Pa⋅sn。流动指数 n≈0.5。
环境参数：地形坡度 θ=10−30°。降雨强度：触发因素。

Flow-L1-0294​

生物微流控

细胞力学

微流控细胞拉伸变形分析

基于微流控的细胞惯性/粘性拉伸模型​

1. 装置：细胞悬浮液流经微通道的收缩-扩张结构，在收缩区经历高应变率拉伸。
2. 模型：假设细胞为液滴（内粘度 μin​， 外粘度 μout​）， 在 extensional flow 中变形。Taylor理论给出变形参数 D=(L−B)/(L+B)与毛细数 Ca=μout​ϵ˙a/σ的关系，其中 ϵ˙为拉伸率， a为细胞半径， σ为膜张力。对于粘弹性细胞膜，模型更复杂。
3. 应用：通过测量 D可反推细胞力学性质（如膜张力、弹性模量）。

是一种高通量、无标记的单细胞力学表征方法。模型基于简化假设，实际细胞是粘弹性固体，内部有细胞核。

低雷诺数流体力学、液滴变形理论、细胞力学。

细胞力学表型分析、疾病诊断（如疟疾、癌症）、药物筛选。特征：利用微流控流场对细胞进行可控机械刺激并测量其响应。

变量：细胞变形参数 D， 拉伸率 ϵ˙[1/s]， 毛细数 Ca。
细胞参数：半径 a[μm]， 膜张力 σ[N/m] 或弹性模量 E[Pa]， 内粘度 μin​[Pa·s]。
流体参数：外相粘度 μout​， 密度 ρ。
流场参数：收缩区尺寸， 平均流速 U。

代数关系、变形与毛细数相关。

微流控细胞拉伸、惯性变形、液滴模型、细胞力学。

1. 设计器件：设计具有特定收缩比的微通道，以产生所需的拉伸率 ϵ˙∼U/Wc​， Wc​为收缩区宽度。
2. 实验：将细胞悬浮液以一定流速泵入，高速摄像记录细胞在收缩区出口附近的变形图像。
3. 图像分析：测量细胞长轴 L和短轴 B， 计算 D。
4. 力学反演：将实验 D与理论模型（如液滴变形理论）拟合，得到细胞的等效膜张力或模量。

细胞随悬浮液流入收缩区，在加速流中经历强烈的平面拉伸流动。细胞在粘性力和表面张力（膜张力）的共同作用下发生变形。变形程度取决于流动强度（Ca）和细胞本身的力学性质。流向：沿微通道轴向，在收缩区被拉伸。

单个细胞（如红细胞、癌细胞）悬浮在等渗缓冲液（如PBS）中，流经具有收缩结构的微通道。

材料：细胞：人非小细胞肺癌细胞 (A549)。悬浮介质：含0.5% BSA的PBS缓冲液。
比例：细胞浓度：~10⁶ cells/mL。
纯度/特征：细胞直径 2a≈15−20μm。缓冲液粘度 μout​=1.0mPa⋅s。膜张力 σ≈10−5N/m。收缩区宽度 Wc​=20μm， 入口流速 U=0.1m/s， 拉伸率 ϵ˙∼5000s−1。
环境参数：温度 T=37∘C。

Flow-L1-0295​

磁流体与天体物理

太阳物理

太阳风中阿尔芬波湍流的WKB模型

描述阿尔芬波在膨胀太阳风中传播的WKB模型​

1. 波能方程：在背景太阳风（速度 U， 磁场 B0​）中，沿磁场传播的阿尔芬波的波动能量密度 W±演化方程为：
∂t∂W±​+∇⋅[(U±VA​)W±]+2W±​(∇⋅U)=Q±−Γ±W±
其中 VA​=B0​/μ0​ρ​为阿尔芬速度， Q±为源项， Γ±为耗散率。
2. 应用：用于模拟太阳风从日冕到行星际空间的加热和加速。

是研究太阳风湍流和加热的一阶近似模型，计算高效。忽略了波-波相互作用和非WKB效应。

磁流体波理论、WKB近似、波能传输。

太阳风加速与加热机制研究、空间天气建模。特征：模拟湍流能量在膨胀流中的输运和耗散。

变量：外向 (+) 和内向 (−) 阿尔芬波能量密度 W±(r,t)[J/m³]。
背景场：太阳风速度 U(r)， 磁场 B0​(r)， 密度 ρ(r)。
源与耗散：波能注入率 Q±(如光球驱动)， 非线性耗散率 Γ±∝W∓​/l⊥​。

一阶双曲型偏微分方程、对流与膨胀项。

太阳风、阿尔芬波、WKB模型、湍流加热。

1. 给定背景风：使用经验或理论模型（如Parker解）给出 U(r),ρ(r),B0​(r)。
2. 设置内边界：在日冕底（如 r=1.1R⊙​）给定 W+和 W−的能谱。
3. 求解波能方程：沿径向积分，计算 W±(r)的演化。
4. 计算加热率：Qheat​=Γ+W++Γ−W−， 并可作为背景风能量方程的源项，进行耦合求解。

阿尔芬波（横磁流体波）在太阳大气中被激发，沿磁场向外传播。在太阳风膨胀过程中，波能被对流、膨胀稀释，并通过外向波与内向波的非线性相互作用耗散，加热太阳风等离子体。流向：主要沿径向向外。

完全电离的稀薄等离子体（太阳风，主要成分为质子、电子），处于碰撞稀薄状态，存在磁流体湍流波动。

材料：太阳风等离子体：质子、α粒子、电子。
比例：质子占 ~95%， α粒子 ~4%， 电子 ~1% (数密度)。
纯度/特征：质子密度在1 AU处 np​≈5cm−3。磁场强度在1 AU处 B≈5nT。阿尔芬速度 VA​≈50km/s。湍流波动速度与阿尔芬速度可比。
环境参数：日心距离范围：1.1R⊙​到 1 AU (215R⊙​)。背景太阳风速度 U从 ~10 km/s 加速至 400-800 km/s。

Flow-L1-0296​

多相流与反应工程

浆态床反应器

气泡-液体-固体三相流Eulerian模型

浆态床反应器三相流动、传质与反应耦合模型​

1. 三相质量与动量：对气相 (g)、液相 (l)、固相 (s) 分别求解质量、动量守恒方程，相间通过曳力、升力等耦合。
2. 传质与反应：气体组分在气-液界面传质，溶解后在液相中与悬浮催化剂颗粒发生反应（如加氢）。
∂t∂(αl​ρl​Yi,l​)​+∇⋅(αl​ρl​ul​Yi,l​)=∇⋅(αl​ρl​Di,eff​∇Yi,l​)+Ri,gl​+Ri,react​
3. 反应动力学：基于催化剂表面浓度，采用Langmuir-Hinshelwood模型。

能详细模拟浆态床内复杂的三相流体力学、混合、传质和反应过程，用于反应器放大和优化。模型极其复杂，计算量巨大。

多相流Eulerian模型、对流传质、多相反应工程。

费托合成、烯烃加氢、浆态床生物反应器。特征：模拟气相反应物在液相中与悬浮固体催化剂发生的三相反应。

变量：各相体积分数 αk​， 速度 uk​， 组分质量分数 Yi,l​。
操作参数：表观气速 Ug​， 固体负载量 Cs​[wt%]， 搅拌转速 (如果机械搅拌)。
传质参数：气液传质系数 kL​a， 液固传质系数 ks​。
反应参数：本征反应速率常数， 催化剂有效因子。

耦合的非线性偏微分方程组、多相多组分。

浆态床、三相流、Eulerian模型、气-液-固反应。

1. 流场求解：在给定操作条件下，求解三相流场，得到各相分布和速度。
2. 传质计算：根据局部气含率和湍流条件计算 kL​a， 求解气体组分在液相中的溶解和分布。
3. 反应计算：根据液相反应物浓度和催化剂表面浓度计算反应速率，更新组分方程源项。
4. 耦合迭代：直到流场、浓度场和反应速率自洽。

气体以气泡形式分散于液相中，固体催化剂颗粒悬浮在液相内。气体在气泡表面溶解进入液相，通过对流和扩散传输至催化剂颗粒表面，发生催化反应。气泡的上升、聚并和破碎影响气液接触面积和混合。流向：总体向上，但存在复杂环流。

气相（H₂, CO）、液相（石蜡、溶剂）、固相（催化剂颗粒，如Co/SiO₂）组成的三相混合物。

材料：气相：合成气 (H₂/CO ~2)。液相：熔融石蜡或十六烷。固相：Co/SiO₂催化剂。
比例：固体负载量 Cs​=10−30wt.%。催化剂粒径 dp​=50−100μm。
纯度/特征：操作温度 T=493−533K(220−260°C)。压力 p=2−4MPa。表观气速 Ug​=0.05−0.2m/s。气含率 αg​=0.2−0.4。
环境参数：反应器高径比 H/D=3−5。可能需要内部构件（挡板、换热管）。

Flow-L1-0297​

非牛顿流体与润滑

生物润滑（关节）

滑液的双网络粘弹性模型

用于关节软骨润滑的透明质酸-蛋白聚糖双网络模型​

1. 材料：滑液是含有透明质酸（HA）和蛋白聚糖（PRG）的生物聚合物溶液，具有独特的粘弹性和剪切变稀行为。
2. 模型：常用多模式非线性粘弹性模型描述，如修正的Upper-Convected Maxwell模型或Giesekus模型。应力由HA网络和PRG网络的贡献叠加：σ=−pI+τHA​+τPRG​。每个网络有其松弛时间谱和非线性参数。
3. 润滑：在软骨间的微米级间隙中，流体的粘弹性有助于形成和维持承载液膜。

试图从流变学角度解释关节极低摩擦的机理。模型复杂，参数难以在体测量。

非线性粘弹性、聚合物溶液流变学、润滑理论。

人工关节滑液设计、骨关节炎病理研究。特征：模拟生物大分子溶液在极薄间隙（~1 μm）内的微观流变与润滑行为。

变量：应力张量 τHA​,τPRG​， 压力 p。
流变参数：各网络的零剪切粘度 η0,i​， 松弛时间 λi​， 剪切变稀参数（如Giesekus参数 αi​）。
浓度参数：HA浓度 [mg/mL]， PRG浓度。
润滑参数：膜厚 h， 滑动速度 U。

微分型本构方程、多网络叠加。

滑液、双网络、粘弹性、生物润滑、关节。

1. 流变表征：用流变仪测量健康/病变滑液的线性（振荡）和非线性（稳态剪切）流变特性。
2. 参数拟合：用双网络非线性粘弹性模型拟合实验数据，得到各网络参数。
3. 润滑计算：在给定的 h和 U下，求解润滑方程（考虑粘弹性应力），计算承载力和摩擦系数。

在关节相对运动时，滑液被拖入软骨间的楔形间隙。HA长链和PRG网络在剪切下拉伸、取向，产生法向应力，有助于提升液膜压力。同时，强烈的剪切变稀使入口区粘度高以承载，接触区粘度低以减少摩擦。流向：沿滑动方向。

滑液（水、透明质酸、润滑素、蛋白聚糖等），是一种高度非牛顿、粘弹性的生物流体。

材料：健康成人滑液。
比例：透明质酸浓度：2-4 mg/mL。总蛋白浓度：10-30 mg/mL。
纯度/特征：零剪切粘度 η0​≈10−100Pa⋅s。强剪切变稀，在 γ˙​=1000s−1时， 粘度可降至 ~0.01 Pa·s。具有明显的弹性（G′>G′′在低频）。
环境参数：体温 T=37∘C。关节间隙膜厚 h=0.1−1μm。滑动速度 U=0.01−0.1m/s。

Flow-L1-0298​

微重力燃烧

空间安全

微重力下火焰扩散的Froude数模型

用于评估微重力火焰蔓延的减速因子模型​

1. 现象：在微重力下，浮力对流消失，火焰传播主要靠热传导和扩散，速度比正常重力下慢得多。
2. 模型：火焰传播速度 Sf​与Froude数 Fr=U2/(gL)相关，其中 U为特征流速， L为特征长度。在正常重力下，浮力诱导的流动 (U∼gL​) 占主导， Fr∼1。在微重力下， g→0， Fr→∞， 强迫对流或扩散主导。
3. 标度律：火焰传播速度可表示为 Sf​/Sf,0​=f(Fr)， 其中 Sf,0​为正常重力下值。实验发现，在微重力下， Sf​可降低一个数量级。

提供微重力火焰行为与正常重力的定性对比和量级估算。是半经验性的，依赖于具体燃料和几何。

量纲分析、火焰传播理论、浮力效应。

载人航天器火灾安全评估、微重力燃烧实验设计。特征：量化重力水平对火焰传播的显著影响。

变量：火焰传播速度 Sf​[mm/s]， Froude数 Fr。
环境参数：重力水平 g[m/s²]， 特征长度 L[m] (如火焰尺寸或燃料宽度)。
材料参数：燃料类型， 氧浓度。
参考值：正常重力 (g0​) 下的火焰速度 Sf,0​。

无量纲关联、幂律或经验函数。

微重力燃烧、火焰蔓延、Froude数、减速因子。

1. 正常重力实验：在地面进行对照实验，测量 Sf,0​和特征尺度 L。
2. 微重力实验：在落塔、抛物线飞机或空间站进行实验，测量微重力下的 Sf​。
3. 建立关联：将 Sf​/Sf,0​与 Fr(或 g/g0​) 关联，得到经验公式。
4. 预测：对于其他重力水平或尺度，用公式估算。

正常重力下，火焰加热上方空气产生浮力对流，不断吸入新鲜空气，驱动火焰快速向上蔓延。微重力下，浮力消失，氧气向火焰区的输运主要靠分子扩散和缓慢的强迫对流（如有通风），导致火焰传播极慢，呈球形或接近球形。流向：正常重力下有明确向上优势方向，微重力下各向同性。

可燃气体混合物（如甲烷-空气、丙烷-空气）在微重力环境中燃烧。

材料：燃料：甲烷 (CH₄)。氧化剂：空气。
比例：当量比 ϕ=0.8−1.2。
纯度/特征：甲烷层流燃烧速度 SL​≈0.4m/s(标准条件)。正常重力下向上蔓延速度 Sf,0​≈0.1−0.2m/s(对薄燃料)。微重力下可降至 0.01−0.02m/s。
环境参数：重力水平：gmicro​/g0​=10−4−10−2。环境压力 p=1atm。氧浓度：21% (空气) 或更高 (舱内可能富氧)。

Flow-L1-0299​

流体-结构相互作用

海洋工程

涡激振动（VIV）的尾流振子模型

用于圆柱体涡激振动预测的尾流振子模型​

1. 结构方程：圆柱体（如海底管线）简化为质量-弹簧-阻尼系统：my¨​+cy˙​+ky=FL​(t)， 其中 FL​为升力。
2. 尾流振子：引入一个描述尾流涡脱特性的非线性振子变量 q(t)， 与结构位移 y(t)耦合：
q¨​+ϵΩf​(q2−1)q˙​+Ωf2​q=Ay˙​
升力与 q相关：FL​=(1/2)ρU2DCL0​q。
3. 锁定：当结构振动频率接近涡脱频率时，发生频率“锁定”，振动加剧。

能预测VIV的振幅、频率和锁定区间，计算量远小于CFD。是经验性模型，参数 A,ϵ,CL0​需实验标定。

非线性振动理论、流体-结构耦合、经验模型。

海底管线、海上平台立管、桥梁拉索的涡激振动评估与抑振设计。特征：用简化模型描述复杂的流固耦合现象。

变量：圆柱横向位移 y(t)， 尾流振子变量 q(t)。
结构参数：单位长度质量 m[kg/m]， 阻尼比 ζ， 固有频率 fn​[Hz]。
流体参数：流速 U[m/s]， 密度 ρ， 斯托罗哈数 St。
模型参数：耦合系数 A， 非线性阻尼系数 ϵ， 升力系数幅值 CL0​。

耦合的非线性常微分方程、Van der Pol型振子。

涡激振动、尾流振子模型、流固耦合、锁定。

1. 系统参数：确定结构 m,ζ,fn​和来流条件 U,ρ,D。
2. 设置模型参数：根据经验选择或标定 A,ϵ,CL0​,Ωf​=2πStU/D。
3. 数值积分：求解耦合的 y和 q的微分方程，得到稳态振动响应。
4. 分析：得到振幅-流速曲线，确定锁定区间和最大振幅。

来流绕过圆柱产生交替脱落的旋涡，形成周期性的脉动升力，激励圆柱振动。圆柱的振动反过来影响涡脱过程，当振动频率接近固有频率时，涡脱频率被“捕获”，产生大幅共振。流向：来流方向垂直于圆柱轴线，振动方向通常垂直于两者。

水流（或气流）绕流弹性支撑的刚性圆柱，流速在一定范围内，雷诺数处于亚临界区（103<Re<2×105）。

材料：流体：海水。圆柱体：钢质管线。
比例：不涉及。
纯度/特征：海水密度 ρ=1025kg/m3， 运动粘度 ν=1×10−6m2/s。管线外径 D=0.2−0.5m。质量比 m∗=m/(ρD2)=2−5。阻尼比 ζ=0.001−0.01。
环境参数：海流流速 U=0.5−2m/s。对应雷诺数 Re=105−106。斯托罗哈数 St≈0.2。

Flow-L1-0300​

多相流与分离

水处理

溶气气浮（DAF）中气泡-颗粒粘附效率模型

基于轨迹分析的气泡-颗粒碰撞效率模型​

1. 机制：气泡上升过程中与悬浮颗粒（如藻类、油滴）发生碰撞、粘附，形成带气絮体上浮分离。
2. 碰撞效率：ηc​=f(Reb​,θ)， 其中 Reb​=ρub​db​/μ为气泡雷诺数， θ为颗粒与气泡尺寸比。对于中间 Reb​(1<Re<100)，常用模型：ηc​=(dp​/db​)2乘以一个与 Reb​相关的函数。
3. 总去除率：与气泡通量、颗粒浓度、碰撞效率、粘附效率等相关。

用于DAF系统设计和性能预测。模型通常基于势流或粘性流理论，并得到实验验证。

低雷诺数流体力学、轨迹分析、碰撞理论。

饮用水处理、含油废水处理、藻类分离。特征：模拟微气泡与微颗粒在上升过程中的相互作用。

变量：碰撞效率 ηc​， 气泡直径 db​[μm]， 颗粒直径 dp​[μm]， 气泡上升速度 ub​[mm/s]。
操作参数：气液比， 气泡生成器类型（决定 db​分布）。
颗粒参数：颗粒密度 ρp​， 疏水性（影响粘附）。
水质参数：水温， 离子强度（影响界面力）。

代数或半经验公式、与尺寸比相关。

溶气气浮、气泡-颗粒碰撞、分离效率、水处理。

1. 表征系统：测量或估计气泡尺寸分布（通常 db​=10−100μm）和颗粒尺寸分布。
2. 计算气泡上升速度：对小气泡 (db​<100μm)， 可用Stokes定律：ub​=g(ρl​−ρg​)db2​/(18μ)。
3. 计算碰撞效率：对每对 db​,dp​， 用相应模型计算 ηc​。
4. 估算总去除：结合颗粒浓度、气泡通量、接触时间等，估算总分离效率。

微米级气泡在浮力作用下缓慢上升。悬浮颗粒在流体中随流线运动。当颗粒的惯性或截留效应使其偏离流线，与气泡表面接触时，可能发生碰撞。若颗粒表面疏水，则可能粘附在气泡上，被携带上浮至水面形成浮渣。流向：气泡垂直上升。

水相中含有悬浮固体颗粒（如粘土、藻类、油滴）和大量微米级空气气泡。

材料：水体：原水（地表水或废水）。颗粒：藻类细胞（如蓝藻， dp​=3−10μm）。气泡：溶气释放产生的微气泡。
比例：气泡体积浓度：0.5-2%。颗粒浓度：10-100 mg/L。
纯度/特征：气泡平均直径 db​=30−50μm。气泡上升速度 ub​≈0.1−0.3mm/s。藻类细胞密度接近水 (ρp​≈1010kg/m3)。水温 T=10−20∘C。
环境参数：pH值：影响颗粒表面电荷和疏水性。混凝剂（如铝盐）投加可改善颗粒脱稳和粘附。

Flow-L1-0301​

电渗与微流控

芯片实验室

AC电渗流（ACEOF）泵送模型

基于平面电极阵列的AC电渗流线性响应理论​

1. 原理：在平面叉指电极阵列上施加交流电压，在流体中产生非均匀的交流电场。电场与流体中诱导的电荷（通过双电层极化或电导/介电不均匀性）相互作用，产生时均的电体力，驱动稳态流动。
2. 模型：在一阶近似下，时均电渗流速度与电压平方成正比，且依赖于电场频率 f：⟨ueo​⟩∝V02​f(ω)， 其中 f(ω)是反映双电层极化的复函数，在某个特征频率（~1 kHz）出现峰值。
3. 优势：避免电解和气泡，可用于生理介质。

能实现无阀、无移动部件的低频AC流体驱动。模型基于线性响应，在高电压下可能出现非线性效应。

交流电动现象、线性响应理论、斯托克斯流。

集成微流控泵、生物样品操控、芯片上细胞培养。特征：利用低频交流电产生稳定的泵送，避免法拉第反应。

变量：时均电渗流速度 ⟨ueo​⟩[μm/s]， 施加的交流电压幅值 V0​[V]， 频率 f=ω/(2π)[Hz]。
电极参数：指宽 w[μm]， 指间距 g[μm]。
流体参数：电导率 σ[S/m]， 介电常数 ϵ， 德拜长度 λD​。
模型参数：复电导率/介电常数分布决定的耦合系数。

代数关系、速度与电压平方成正比、频率依赖函数。

交流电渗流、ACEOF、平面电极、微泵。

1. 设计电极：在基底上光刻制备叉指电极阵列（如 w=g=10μm）。
2. 施加交流信号：在电极上施加频率 f为 100 Hz - 10 kHz， 幅值 V0​为 1-5 V 的交流电压。
3. 产生流场：非均匀电场在流体中产生空间分布的电体力，驱动形成特定的流型（如沿电极方向的滚动流）。
4. 泵送：通过设计电极图案，可产生定向净流量。

交流电场在流体中感应出电荷分布。时变的电场与时变的电荷分布相互作用，产生一个时均不为零的电体积力，驱动流体运动。流向：由电极图案的对称性决定，通常沿电极方向或垂直于电极方向。

电解质溶液（如生理缓冲液）位于平面叉指电极阵列上方，施加低频交流电。

材料：流体：PBS缓冲液 (1x)。电极：金或铬/金。
比例：PBS浓度：0.01 M。
纯度/特征：电导率 σ≈0.14S/m。德拜长度 λD​≈3nm。电极指宽/间距 w=g=20μm。驱动电压 V0​=2Vpp​， 频率 f=1kHz。产生速度 ~100 μm/s。
环境参数：温度 T=20−25∘C。

Flow-L1-0302​

非牛顿流体与多孔介质

提高石油采收率

聚合物驱的流线模拟器模型

基于流线法的非牛顿流体多相多组分油藏模拟​

1. 流线法：基于压力解算流线，沿每条流线求解对流-扩散-反应（包括聚合物吸附、剪切变稀）问题，计算效率高。
2. 聚合物特性：粘度采用幂律或Carreau模型：μp​=μw​+[1+(λγ˙​)2](1−n)/2(μp0​−μw​)​。剪切率与多孔介质中流速的关系：γ˙​=Ckϕ​u​。
3. 吸附与不可及孔隙体积：聚合物在岩石表面的吸附会降低其浓度，而不可及孔隙体积（IPV）使聚合物前沿比水前沿运移更快。

能高效模拟大尺度油藏聚合物驱过程，考虑聚合物的非牛顿性和复杂的物理化学机制。是简化但实用的工程工具。

流线法、对流-扩散方程、非牛顿本构、吸附动力学。

油田聚合物驱方案设计与优化、驱替效果预测。特征：耦合了地质非均质性、多相流、非牛顿流变和聚合物物理化学。

变量：沿流线的饱和度 Sw​(s,t)， 聚合物浓度 Cp​(s,t)， 压力场 p(x)。
油藏参数：渗透率场 k(x)， 孔隙度场 ϕ(x)， 相对渗透率曲线。
聚合物参数：粘度模型参数 (μp0​,λ,n)， 吸附等温线参数， IPV分数。
操作参数：注入浓度 Cp,inj​， 注入流速。

沿流线的常微分方程组、全局压力椭圆型方程。

聚合物驱、流线模拟、非牛顿流体、提高采收率。

1. 压力求解：给定当前总流速（水+油）分布，求解全局压力方程，更新压力场和流线。
2. 沿流线传输：沿每条流线，求解水相饱和度和聚合物浓度的对流-扩散-反应方程，其中聚合物粘度是局部剪切率和浓度的函数。
3. 映射回网格：将沿流线更新的饱和度、浓度映射回欧拉网格。
4. 时间推进：重复直到模拟结束。

聚合物溶液被注入油藏，沿压力场决定的流线向前推进。聚合物溶液在低渗透层中因高剪切而粘度降低，在高渗透层中因低剪切而保持较高粘度，从而改善流度比，提高波及效率。聚合物分子在运移中发生吸附和滞留。流向：从注入井向生产井。

聚合物溶液（如部分水解聚丙烯酰胺HPAM）作为驱替相，驱替地下原油（非混相），涉及水-油两相，聚合物仅存在于水相。

材料：驱替相：HPAM溶液。原油：中质原油。
比例：HPAM浓度：1000-2000 ppm。
纯度/特征：HPAM溶液：μp0​=20−50mPa⋅s(在7.3 s⁻¹下)， n≈0.6−0.8， λ≈0.1−1s。吸附量：~100 μg/g 岩石。IPV：~0.1-0.3。油藏渗透率：10-1000 mD。
环境参数：油藏温度 T=40−80∘C。地层水矿化度：影响聚合物粘度。

Flow-L1-0303​

磁流体与医学成像

生物医学工程

磁性粒子成像（MPI）示踪剂动力学模型

用于MPI定量示踪的血管内对流-扩散方程​

1. MPI原理：通过检测超顺磁性氧化铁纳米颗粒（SPIONs）对交变磁场的非线性响应来成像。信号强度与局部颗粒浓度成正比。
2. 示踪动力学：将SPIONs作为血液中的示踪剂，其输运遵循对流-扩散方程：∂t∂C​+u⋅∇C=D∇2C−kC， 其中 k为被单核吞噬细胞系统（RES）清除的速率常数。
3. 应用：结合MPI图像序列，可反演得到局部血流速度或血管渗透性。

为MPI功能成像（如血流测量、血管生成评估）提供定量模型。需要已知或假设流场。

对流-扩散方程、示踪剂动力学、医学成像物理。

心血管疾病诊断、肿瘤血管通透性评估、干细胞追踪。特征：利用磁性纳米颗粒作为示踪剂，无电离辐射，可定量。

变量：纳米颗粒浓度 C(x,t)[mg/mL]， MPI信号强度 S(x,t)[a.u.]。
颗粒参数：流体动力学直径 dh​[nm]， 弛豫特性， 血液中扩散系数 D。
生理参数：局部血流速度场 u(x)， 血管壁渗透性 P， 清除速率 k。
成像参数：MPI系统点扩散函数（PSF）， 灵敏度。

偏微分方程（对流-扩散）、正向模型。

磁性粒子成像、示踪剂动力学、对流-扩散、纳米颗粒。

1. 注入示踪剂：静脉团注（bolus）SPIONs。
2. 动态MPI扫描：获取一系列时间分辨的MPI图像，得到 S(x,t)。
3. 浓度反演：通过系统标定，将 S转换为 C。
4. 参数估计：将 C(x,t)与对流-扩散模型拟合，估计局部血流速度 u或渗透性 P。

磁性纳米颗粒注入血液后，随血流对流输送，同时发生布朗扩散。颗粒可能从血管壁渗漏（在肿瘤等部位）或被肝脾等器官的RES细胞吞噬清除。MPI信号实时反映颗粒浓度的时空分布。流向：由局部血流决定。

超顺磁性氧化铁纳米颗粒（SPIONs， 表面包覆PEG或葡聚糖）悬浮于血液中，作为示踪剂。

材料：示踪剂：超顺磁性氧化铁纳米颗粒 (如 Resovist®)。悬浮介质：血液。
比例：注射剂量：~0.1 mmol Fe/kg 体重。
纯度/特征：颗粒核心直径 dc​=5−10nm， 水合直径 dh​=20−50nm。弛豫率高。血液中扩散系数 D≈10−11m2/s。半衰期（血液循环）~1-2小时。
环境参数：体温 T=37∘C。磁场强度：选频磁场 ~10-25 mT， 梯度场 ~2-7 T/m。

Flow-L1-0304​

微重力流体管理

空间生命科学

空间生物反应器中氧传输的渗透膜模型

中空纤维膜生物反应器的氧传输与消耗耦合模型​

1. 装置：中空纤维束浸没在细胞培养液中，富氧培养液在纤维内腔流动，氧气通过纤维壁扩散进入细胞区。
2. 氧传输：在纤维壁处，氧通量 JO2​​=Pm​(Cf,in​−Cb​)， 其中 Pm​为膜渗透系数， Cf,in​为纤维内氧浓度， Cb​为细胞区氧浓度。
3. 细胞消耗：细胞区氧遵循扩散-反应方程：Deff​dz2d2Cb​​=RO2​​=Km​+Cb​Vmax​Cb​​×细胞密度。

用于设计空间站或未来深空任务中支持长期细胞/组织培养的生物反应器。微重力下自然对流减弱，传质需精心设计。

对流传质、膜扩散、Michaelis-Menten反应动力学。

空间组织工程、长期细胞培养、药物筛选。特征：在微重力下，通过主动对流和膜扩散保证足够的氧供应。

变量：纤维内氧浓度 Cf​(z)， 细胞区氧浓度 Cb​(z)， 轴向位置 z。
操作参数：纤维内流速 Qf​， 入口氧浓度 Cf0​。
膜参数：膜渗透系数 Pm​[m/s]， 纤维内径 di​， 外径 do​。
细胞参数：细胞密度 X[cells/mL]， 最大耗氧率 Vmax​[mol/(cell·s)]， 米氏常数 Km​[mol/m³]。

耦合的常微分方程组、非线性反应项。

空间生物反应器、中空纤维膜、氧传输、微重力。

1. 建立一维模型：沿生物反应器长度方向建立模型。
2. 求解纤维内流动：计算纤维内氧的轴向对流变化：Qf​dzdCf​​=−JO2​​πdi​N。
3. 求解细胞区：在径向平均的细胞区，求解氧的轴向扩散与消耗平衡。
4. 耦合求解：通过膜通量 JO2​​耦合两个方程，得到 Cf​(z)和 Cb​(z)分布，确保 Cb​不低于细胞存活阈值。

富氧培养液在纤维内流动，氧气通过膜扩散到周围的细胞培养区。细胞消耗氧气，形成浓度梯度。在微重力下，缺乏自然对流，氧气传输主要靠扩散和纤维内的强制对流。流向：纤维内沿轴向，细胞区内主要为径向扩散。

纤维内：富氧细胞培养液（如DMEM培养基+血清）。细胞区：细胞悬浮于培养基中，可能形成组织样结构。

材料：纤维膜材料：聚砜 (PS) 或聚丙烯 (PP)。培养基：杜氏改良 Eagle 培养基 (DMEM)+10%胎牛血清 (FBS)。细胞：中国仓鼠卵巢 (CHO) 细胞。
比例：纤维填充密度：~30%。细胞接种密度：1×106cells/mL。
纯度/特征：膜渗透系数 Pm​≈10−5m/s。纤维内径 di​=200μm。CHO细胞耗氧率 Vmax​≈2×10−17mol/(cell⋅s)， Km​≈0.1mol/m3。
环境参数：培养温度 T=37∘C。入口溶氧 Cf0​=0.2mol/m3(空气饱和)。微重力水平 <10−3g0​。

Flow-L1-0305​

前沿交叉

活性物质

自推进粒子悬浮液的 Toner-Tu 理论

描述鸟群/鱼群集体运动的连续流体模型​

1. 核心方程：将自推进粒子（如细菌、鸟）视为一种连续活性流体，其速度场 v满足修改的纳维-斯托克斯方程：
(\partial_t \mathbf{v} + \lambda (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\nabla P + D_B \nabla^2 \mathbf{v} + D_A \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v}) - \alpha \mathbf{v} - \beta

\mathbf{v}

^2 \mathbf{v} + \mathbf{f})
其中非线性阻尼项 (-\alpha \mathbf{v} - \beta

\mathbf{v}

^2 \mathbf{v})导致自发有序（当 α<0时）， λ反映自推进粒子的“非牛顿”对流特性。
2. 质量守恒：粒子数密度 ρ也满足连续性方程。

提供了从连续介质角度理解活性物质宏观集体行为（如涡旋、带状流动、湍流）的理论框架。是唯象理论，参数需从微观模型或实验中拟合。

活性物质物理、连续介质理论、修正的Navier-Stokes方程。

细菌菌落集体运动、鸟群/鱼群仿真、活性胶体自组织。特征：描述大量自驱动单元产生的涌现流体力学行为。

变量：宏观速度场 v(x,t)， 粒子数密度 ρ(x,t)。
活性参数：线性阻尼系数 α， 非线性阻尼系数 β， 对流系数 λ。
输运系数：体粘性系数 DA​， 剪切粘性系数 DB​。
噪声：随机力 f(模拟 fluctuations)。

非线性偏微分方程、立方阻尼项。

活性物质、Toner-Tu理论、自推进粒子、集体运动。

Flow-L1-0306​

生物流体力学

血液循环

Casson流体模型

用于描述血液在中小动脉中流动的Casson本构模型​

1. 本构关系：血液在低剪切率下表现出屈服应力，Casson模型描述为：
τ​=τy​​+μc​γ˙​​，当τ≥τy​
γ˙​=0，当τ<τy​
2. 圆管流动：在半径为 R的直圆管中，速度剖面为：
u(r)=4μc​LΔp​[R2−r2−38​rc1/2​(R3/2−r3/2)+2rc​(R−r)]，rc​≤r≤R
其中 rc​=2τy​L/Δp为塞流区半径。塞流区 (0≤r≤rc​) 内速度恒定。

能较好地模拟血液在较低剪切率（<100 s⁻¹）下的非牛顿特性，特别是屈服应力和“塞流”现象。在极高剪切率下近似为牛顿流体。

非牛顿流体力学、具有屈服应力的粘塑性模型。

动脉血流模拟、心血管疾病研究（如动脉狭窄）、血液流变学测量。特征：捕捉血液在低剪切率下的屈服应力和核心“塞流”流动。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​， 速度 u(r)。
材料参数：屈服应力 τy​[Pa]， Casson粘度 μc​[Pa·s]。
几何参数：血管半径 R[m]， 管长 L[m]， 压力降 Δp[Pa]。

分段函数、速度剖面为半径的复杂函数。

血液流变学、Casson模型、屈服应力、塞流。

1. 确定参数：根据血细胞比容（Hct）确定 τy​和 μc​。
2. 计算临界半径：给定压力梯度 Δp/L， 计算塞流区半径 rc​。
3. 构建速度剖面：在塞流区 (0≤r≤rc​)， 速度恒定 uc​=u(rc​)； 在剪切区 (rc​≤r≤R)， 使用Casson速度剖面公式。
4. 计算流量：对速度剖面积分得到流量 Q。

在压力驱动下，当管壁附近剪切应力大于屈服应力 τy​时，血液发生剪切流动。在管中心区域，剪切应力低于 τy​， 流体像固体塞一样整体运动，形成“塞流”。速度剖面比抛物线平坦。流向：沿血管轴向。

全血，一种由血浆（牛顿流体）和血细胞（主要是红细胞）组成的悬浮液，在低剪切率下表现出明显的非牛顿性。

材料：人全血。
比例：血细胞比容 (Hct) = 45%。
纯度/特征：屈服应力 τy​≈0.005Pa(Hct=45%)。Casson粘度 μc​≈0.004Pa⋅s。血浆粘度 μp​≈0.0012Pa⋅s。
环境参数：体温 T=37∘C。剪切率范围：1-1000 s⁻¹。血管直径：中小动脉 (0.5-5 mm)。

Flow-L1-0307​

软物质与复杂流体

液晶显示

Leslie-Ericksen向列相液晶理论

向列相液晶流动的连续体理论（Leslie-Ericksen方程）​

1. 指向矢动力学：描述液晶分子平均取向的单位矢量 n的演化：
dtdn​=ω×n+γ1​1​h， 其中 h=−δnδF​是分子场， F是Frank弹性自由能， γ1​是旋转粘度。
2. 动量方程：Navier-Stokes方程包含由指向矢形变和流动产生的额外应力（Ericksen应力）：
ρdtdv​=−∇p+∇⋅σv+∇⋅σe， 其中粘性应力 σijv​=α1​nk​np​Akp​ni​nj​+α2​ni​Nj​+α3​nj​Ni​+α4​Aij​+α5​ni​nk​Akj​+α6​nj​nk​Aki​， 包含6个Leslie粘度系数 αi​。

是描述向列相液晶流动和取向耦合的经典连续理论，非常复杂但物理完备。适用于微米尺度以上。

连续介质力学、各向异性流体、Landau-de Gennes理论（简化版）。

液晶显示器（LCD）中的流体动力学、液晶器件设计、液晶聚合物加工。特征：耦合了流动速度场和分子取向场，应力高度各向异性。

变量：速度场 v， 指向矢场 n(∥n∥=1)， 压力 p。
材料参数：6个Leslie粘度系数 α1​,...,α6​[Pa·s]， 旋转粘度 γ1​=α3​−α2​， Frank弹性常数 K1​,K2​,K3​(展曲、扭曲、弯曲) [N]。
几何参数：盒厚 d[μm]， 表面锚定条件。

耦合的非线性偏微分方程组、高度各向异性的本构关系。

向列相液晶、Leslie-Ericksen方程、指向矢、各向异性粘度。

1. 设定边界条件：确定上下基板表面的锚定条件（如沿面排列、垂直排列）。
2. 施加电场/流场：给定电压（产生电场影响 n）或压力梯度/剪切。
3. 耦合求解：数值求解耦合的 v和 n方程，满足质量、动量守恒和指向矢演化方程。
4. 计算光学响应：根据最终的 n(r)分布计算通过液晶盒的光强。

流动会改变液晶分子的取向（流动取向效应），同时分子的取向又反过来影响流体的表观粘度（各向异性）。在剪切流中，分子倾向于沿流动方向排列，导致粘度降低。流向：由压力梯度或边界运动驱动。

向列相液晶（如5CB， MBBA），是由长棒状分子组成的各向异性流体，介于液体和晶体之间。

材料：向列相液晶 4-戊基-4'-氰基联苯 (5CB)。
比例：纯物质。
纯度/特征：各向同性-向列相转变温度 TNI​≈35∘C。典型粘度系数：α4​≈0.08Pa⋅s(各向同性粘度)， γ1​≈0.1Pa⋅s。Frank弹性常数 K∼10−11N。
环境参数：工作温度 T=25∘C。盒厚 d=5μm。驱动电压 V=0−5V(用于电控)。

Flow-L1-0308​

电流变流体

智能材料与阻尼

Bingham塑性模型与电场耦合

电流变（ER）流体在电场作用下的Bingham塑性行为模型​

1. 本构关系：在施加电场 E后，ER流体表现出场致屈服应力 τy​(E)：
τ=τy​(E)+μγ˙​,当τ≥τy​(E)
γ˙​=0,当τ<τy​(E)
2. 屈服应力模型：τy​(E)∝Eα， 通常 α≈2(极化模型)， 即 τy​=kE2， k为与颗粒、液体介电性质相关的常数。
3. 平行板阻尼器：在两平行板间，电场垂直施加，剪切流动。可推导出场控阻尼力。

能有效描述ER流体在电场下的宏观流变行为转变，从液体到类固体。模型简单，广泛应用于ER器件设计。

电流变效应、Bingham塑性、电场诱导结构。

汽车减震器、离合器、液压阀、触觉装置。特征：其流变特性（屈服应力）可由外加电场快速、可逆地控制。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​， 电场强度 E[V/μm]。
材料参数：零场粘度 μ[Pa·s]， 场致屈服应力系数 k[Pa/(V/m)²] 或 [Pa/(kV/mm)²]。
器件参数：极板间隙 d[mm]， 极板面积 A[m²]。

分段线性本构、屈服应力与电场平方成正比。

电流变流体、Bingham模型、场致屈服、智能流体。

1. 施加电场：在极板间施加直流或交流高压电场 E=V/d。
2. 结构形成：颗粒在电场作用下极化，沿电场方向排列成链状或柱状结构，产生屈服应力 τy​(E)。
3. 流动响应：当施加的剪切应力 τ<τy​(E)， 流体表现为固体（无流动）；当 τ≥τy​(E)， 结构被破坏，流体以表观粘度 μ流动。
4. 控制：通过调节 V实时控制阻尼力或传递的扭矩。

无电场时，颗粒随机分散，表现为牛顿或略微非牛顿流体。施加电场后，颗粒极化并形成链状结构，抵抗剪切，产生屈服应力。剪切超过屈服应力后，结构被破坏并流动。流向：剪切方向通常垂直于电场方向。

电流变流体：由微米级介电颗粒（如二氧化硅、淀粉）分散在绝缘油（如硅油）中制成。

材料：颗粒：无水二氧化硅 (SiO₂)。基液：二甲基硅油。
比例：颗粒体积分数 ϕ=20−30%。
纯度/特征：颗粒直径 dp​≈1−10μm。基液粘度 μ0​=0.1−1Pa⋅s。零场粘度 μ≈0.2−2Pa⋅s。屈服应力系数 k≈1−10Pa/(kV/mm)2。
环境参数：工作温度 T=20−80∘C。电场强度 E=0−4kV/mm。响应时间：毫秒级。

Flow-L1-0309​

磁流变流体

振动控制

Herschel-Bulkley模型与磁场耦合

磁流变（MR）流体在磁场作用下的Herschel-Bulkley行为模型​

1. 本构关系：在施加磁场 H后，MR流体表现出场致屈服应力 τy​(H)， 且常表现为剪切变稀：
τ=τy​(H)+Kγ˙​n,当τ≥τy​(H)
γ˙​=0,当τ<τy​(H)
2. 屈服应力模型：τy​(H)∝Hβ， 通常 β≈1.5−2， 即 τy​=CHβ， C为与颗粒磁化强度等相关的常数。
3. 阀模式流动：在压力驱动流经磁路间隙时，压降与屈服应力、流量呈非线性关系。

能描述MR流体在高剪切率下的剪切变稀行为，比Bingham模型更精确。屈服应力通常高于ER流体。

磁流变效应、屈服应力流体、剪切变稀。

大型结构减震（建筑、桥梁）、汽车悬架、精密抛光。特征：其流变特性可由外加磁场快速、可逆地控制，且可产生极高的屈服应力（>50 kPa）。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​， 磁场强度 H[kA/m]。
材料参数：零场粘度 μ0​[Pa·s]， 屈服应力系数 C[Pa/(kA/m)^β]， 指数 β， 稠度系数 K[Pa·sⁿ]， 流动指数 n(<1)。
器件参数：磁路间隙 g[mm]， 有效长度 L[mm]。

分段幂律本构、屈服应力与磁场幂次相关。

磁流变流体、Herschel-Bulkley模型、场控屈服、剪切变稀。

1. 施加磁场：通过线圈在流体间隙产生磁场 H。
2. 结构形成：铁磁性颗粒磁化，沿磁力线排列成链状结构，产生屈服应力 τy​(H)。
3. 流动响应：低剪切下表现为固体。当剪切应力超过 τy​(H)， 结构逐渐破坏并流动，且表观粘度随剪切率增加而降低（剪切变稀）。
4. 控制：通过调节线圈电流控制磁场 H， 从而连续调节阻尼力或传递的剪切应力。

与ER流体类似，但诱导结构的是磁场。形成的链状结构更强，能承受更大的剪切应力。在高剪切率下，结构被破坏，流体表现为剪切变稀的幂律流体。流向：剪切方向通常垂直于磁场方向。

磁流变流体：由微米级软磁性颗粒（如羰基铁粉）分散在载液（如矿物油、合成油）中，并添加稳定剂。

材料：颗粒：羰基铁粉 (CI)。基液：烃类矿物油。
比例：颗粒体积分数 ϕ=30−40%。
纯度/特征：颗粒直径 dp​≈1−10μm。基液粘度 μ0​=0.1−0.5Pa⋅s。零场粘度 μ≈0.5−2Pa⋅s。屈服应力：在 H=200kA/m下可达 50−100kPa。流动指数 n≈0.7−0.9。
环境参数：工作温度 T=−40 至 150∘C。磁场强度 H=0−300kA/m。响应时间：毫秒级。

Flow-L1-0310​

低温流体物理

超流性与量子流体

二流体模型

用于描述超流氦（He II）的二流体模型​

1. 基本假设：He II被视为由相互穿透的两种流体组成：正常流体（粘度 ηn​， 熵 s）和超流体（零粘度，零熵）。总密度 ρ=ρn​+ρs​。
2. 运动方程：
ρs​dtdvs​​=−ρρs​​∇p+ρs​s∇T−Fns​
ρn​dtdvn​​=−ρρn​​∇p−ρs​s∇T+ηn​∇2vn​+Fns​
其中 Fns​是相互摩擦力，与相对速度 (vn​−vs​)有关。
3. 热流：热流由正常流体携带：q=ρsTvn​。

在宏观尺度上成功解释了He II的许多独特现象，如无摩擦流动、喷泉效应、极高的热导率。是唯象模型。

量子流体力学、超流性、两相流类比。

超流氦低温系统、空间冷却、大型粒子加速器（如LHC）磁体冷却。特征：超流体组分无粘、无熵，可无耗散流动；正常流体组分携带熵和动量。

变量：正常流体速度 vn​， 超流体速度 vs​， 压力 p， 温度 T。
材料参数：正常流体密度 ρn​(T)， 超流体密度 ρs​(T)， 正常流体粘度 ηn​(T)， 熵 s(T)。
相互作用：相互摩擦系数 A(T)(在 Fns​中)。

耦合的偏微分方程组、两种速度场。

超流氦、二流体模型、量子流体、相互摩擦。

1. 确定状态：给定温度 T， 查表或公式得到 ρn​(T),ρs​(T),s(T),ηn​(T)。
2. 建立方程：根据具体问题（如热流、压力流）建立二流体运动方程和连续性方程 ∂t∂ρ​+∇⋅(ρn​vn​+ρs​vs​)=0。
3. 求解：结合边界条件（如超流体无滑移，正常流体有滑移）求解 vn​,vs​,p,T。
4. 解释现象：如喷泉效应中，加热导致 vn​流向热源，为保持总质量流为零， vs​反向流动，在窄通道中产生压差。

超流体和正常流体可以独立运动。在压力梯度或温度梯度驱动下，两种流体可以同向或反向流动。热输运主要由正常流体承担。在狭窄通道中，超流体可以无摩擦地流动。流向：由压力梯度和温度梯度共同决定，两种流体速度可能不同。

氦-4在温度低于 lambda 点 (Tλ​=2.17K) 时进入超流态，即 He II。

材料：液氦-4 (⁴He)。
比例：纯物质。
纯度/特征：在 T=1.8K：总密度 ρ≈145kg/m3， ρs​/ρ≈0.9， ρn​/ρ≈0.1。正常流体粘度 ηn​≈10−6Pa⋅s。熵 s≈100J/(kg⋅K)。
环境参数：温度范围：0K<T<Tλ​=2.17K。压力：饱和蒸气压附近。

Flow-L1-0311​

地球物理流体

火山学

宾汉塑性模型与温度耦合

用于模拟熔岩流流动和停止的 Bingham 塑性热模型​

1. 本构关系：熔岩被视为具有温度依赖屈服应力的 Bingham 流体：
τ=τy​(T)+μ(T)γ˙​,τ≥τy​(T)
2. 屈服应力与温度：τy​(T)和 μ(T)随温度降低（冷却和结晶）而急剧增加，常用 Arrhenius 型或指数型关系：τy​(T)∝exp(E/(RT))。
3. 热平衡：流动过程中，熔岩通过辐射、对流和传导损失热量，温度下降，导致流变参数变化，最终屈服应力超过驱动应力而停止。

能模拟熔岩流的前缘推进、铺展和最终停止，是火山灾害评估的重要工具。模型简化了复杂的多相、多组分特性。

非牛顿流体力学、热力学、屈服应力流体。

火山熔岩流路径预测、灾害区划、行星熔岩流研究（如月球、火星）。特征：耦合了非牛顿流动和热冷却，屈服应力随时间和空间变化。

变量：流动厚度 h(x,y,t)， 深度平均速度 uˉ(x,y,t)， 温度场 T(x,y,z,t)。
流变参数：屈服应力 τy​(T)， 塑性粘度 μ(T)。
热参数：初始温度 T0​， 液相线温度 Tliq​， 固相线温度 Tsol​， 热损失系数。
地形参数：基底高程 zb​(x,y)， 坡度 θ。

耦合的深度积分质量/动量方程与热方程、参数强非线性依赖于温度。

熔岩流、Bingham塑性、温度依赖、冷却停止。

1. 初始释放：给定熔岩的初始体积、温度 T0​和释放位置。
2. 流动模拟：在每个时间步，根据当前温度分布计算局部 τy​(T)和 μ(T)， 求解深度积分流动方程，更新 h和 uˉ。
3. 热计算：根据流动厚度、表面热损失（辐射、对流）和内部热传导，更新温度场 T。
4. 停止判断：当流动前缘的驱动应力 (ρghsinθ) 小于局部屈服应力 τy​(T)时，流动停止。

高温熔岩从火山口流出，在重力作用下沿山坡流动。表面冷却形成塑性外壳，内部仍为高温可流动的核心。随着热量不断散失，整体粘度和屈服应力增大，流速减慢，最终停止。流向：由地形坡度主导。

玄武质或安山质熔岩，是含有晶体（如橄榄石、辉石）和气泡的硅酸盐熔体，具有高屈服应力和温度依赖性。

材料：玄武岩熔岩。
比例：SiO₂含量 ~50%。晶体含量：随温度降低从0%增至30%以上。
纯度/特征：初始温度 T0​=1100−1200∘C。液相线温度 Tliq​≈1050∘C， 固相线温度 Tsol​≈950∘C。在 T=1100∘C时， τy​≈100−1000Pa， μ≈100−1000Pa⋅s。密度 ρ≈2600kg/m3。
环境参数：环境温度 Tair​=20∘C。坡度 θ=5−15∘。热损失以辐射为主，辐射系数 ϵ≈0.9。

Flow-L1-0312​

胶体与界面科学

涂层技术

Landau-Levich-Derjaguin 理论

描述平板从液体中提拉时薄膜形成的 Landau-Levich 理论​

1. 物理图像：平板以恒定速度 U从液体池中垂直提拉时，会带起一层液膜。在稳态下，重力、粘性和毛细力在弯月面区域平衡。
2. 膜厚预测：对于牛顿流体，在毛细数 Ca=μU/σ较小 (Ca≪1) 时，提拉液膜厚度 h为：
h=0.94σ1/6(ρg)1/2(μU)2/3​
3. 扩展：对于非牛顿流体（如剪切变稀），粘度 μ需用提拉速度对应的有效粘度 μeff​(γ˙​)代替，其中特征剪切率 γ˙​∼U/h。

经典理论，对牛顿流体在小 Ca下预测准确。对于非牛顿流体或复杂界面情况（如表面活性剂）需要修正。

润滑近似、毛细-粘性-重力平衡、界面流体力学。

浸涂工艺、胶片生产、传感器涂层。特征：预测提拉速度、流体性质与最终膜厚之间的关系。

变量：液膜厚度 h[m]， 提拉速度 U[m/s]。
流体参数：粘度 μ[Pa·s]， 密度 ρ[kg/m³]， 表面张力 σ[N/m]。
过程参数：毛细数 Ca=μU/σ， 邦德数 Bo=ρgLc2​/σ(特征长度 Lc​=σ/(ρg)​)。

标度律关系、膜厚与 U2/3成正比。

浸涂、Landau-Levich理论、提拉镀膜、弯月面。

1. 建立弯月面区域模型：在气-液-固三相接触线附近，使用润滑近似简化Navier-Stokes方程。
2. 力平衡：在静态弯月面（远场）和均匀薄膜（近场）之间过渡区，毛细压力梯度、粘性力和重力平衡。
3. 匹配渐近解：将弯月面区和薄膜区的解进行匹配，得到膜厚 h的表达式。
4. 应用：根据目标膜厚 h， 反推所需的提拉速度 U。

平板向上运动时，粘性力将液体向上拖曳。在弯月面区域，液体表面弯曲产生的毛细压力梯度抵抗流动。最终，在平板上形成一层均匀的液膜，其厚度由提拉速度、液体粘度和表面张力共同决定。流向：在膜内，速度剖面为抛物线型，净流量为零（稳态）。

涂层溶液，可以是牛顿流体（如清漆、某些聚合物溶液）或非牛顿流体（如乳胶漆、陶瓷浆料）。

材料：牛顿流体示例：硅油。非牛顿流体示例：羧甲基纤维素钠 (CMC) 水溶液。
比例：CMC浓度：1 wt%。
纯度/特征：硅油：μ=1Pa⋅s， ρ=970kg/m3， σ=0.021N/m。CMC溶液：零剪切粘度 μ0​≈10Pa⋅s， 幂律指数 n≈0.6， σ≈0.07N/m。
环境参数：提拉速度 U=0.001−0.1m/s。对应毛细数 Ca=0.05−5(对硅油)。基板：玻璃或金属。

Flow-L1-0313​

微流控与生物技术

数字微流控

电润湿（EWOD）驱动的液滴输运模型

基于电润湿效应的液滴驱动力与运动模型​

1. 基本原理：在基底上施加电压，改变固-液-气三相接触线的局部接触角（Young-Lippmann方程）：
cosθ(V)=cosθ0​+21​dσlg​ϵ0​ϵr​​V2
其中 θ0​为零压接触角， d为介电层厚度， ϵr​为其介电常数。
2. 驱动力：接触角不对称产生净的毛细力，驱动液滴向施加电压的电极方向运动。驱动力可估算为：
Fdrive​≈σlg​w(cosθ(V)−cosθ0​)， w为液滴在运动方向的宽度。
3. 运动方程：忽略惯性，驱动力与粘性阻力平衡：Fdrive​=ξU， ξ为摩擦系数，与液滴尺寸、粘度有关。

是数字微流控（液滴微流控）的核心驱动原理模型。能预测驱动电压、速度等关系，但实际中接触角滞后、接触线钉扎等效应复杂。

电润湿、界面张力、接触角、斯托克斯流。

芯片实验室、可编程液滴操纵、生物化验、电子显示（电子纸）。特征：通过电信号精确控制微小液滴（nL-pL）的移动、分裂、合并。

变量：接触角 θ(V)， 驱动电压 V， 液滴速度 U。
材料参数：液体表面张力 σlg​[N/m]， 零压接触角 θ0​， 介电层介电常数 ϵr​， 厚度 d[nm]。
几何参数：电极尺寸， 液滴体积 Vd​[nL]， 基底疏水层材料。
环境参数：周围介质（空气或油）。

代数方程、力平衡、接触角与电压平方相关。

电润湿、EWOD、数字微流控、液滴驱动。

1. 电极图案设计：在基底上制备阵列化的驱动电极，覆盖介电层和疏水层。
2. 施加电压序列：按顺序激活电极，在液滴前后产生接触角差。
3. 产生驱动力：接触角差导致液滴两侧 Laplace 压力不同，产生净力推动液滴。
4. 液滴运动：液滴克服粘性阻力向激活电极中心移动，直至覆盖该电极。

液滴坐落在疏水涂层上。当对下方电极施加电压时，该处固-液界面能降低，接触角变小（更亲水），液滴倾向于向该区域铺展。通过顺序激活相邻电极，可实现液滴的定向输运。流向：由电极激活序列控制。

离散的水相液滴（含有生化样品）在充满空气或绝缘油（如硅油）的环境中，位于覆盖有介电层和疏水层（如Teflon）的电极阵列上。

材料：液滴：去离子水或缓冲液。周围介质：空气或硅油。介电层：SiO₂ 或 Si₃N₄。疏水层：Teflon-AF。
比例：不涉及。
纯度/特征：水表面张力 σlg​=0.072N/m。零压接触角 θ0​≈110−120∘。介电层：d=100−500nm， ϵr​≈3.9(SiO2​)。驱动电压 V=20−100V。
环境参数：温度 T=20−25∘C。液滴体积 Vd​=0.1−1nL。

Flow-L1-0314​

食品流变学

食品加工

Herschel-Bulkley 模型用于浓稠食品

描述番茄酱、蛋黄酱等浓稠食品流动的 Herschel-Bulkley 模型​

1. 本构关系：许多浓稠食品具有屈服应力和剪切变稀行为：
τ=τy​+Kγ˙​n,τ≥τy​
γ˙​=0,τ<τy​
2. 应用：用于设计泵送管道、搅拌罐、灌装设备。表观粘度 ηa​=τ/γ˙​=Kγ˙​n−1+τy​/γ˙​。
3. 时间依赖性：有些食品还具有触变性（剪切下粘度随时间下降，静置后恢复），需用更复杂的模型（如带结构参数 kinetic model）。

能较好地拟合浓稠食品在中等剪切率范围内的流变数据。是食品工业中常用的工程模型。

非牛顿流体力学、屈服应力流体、幂律流体。

食品管道输送、搅拌功率计算、包装灌装、口感质地分析。特征：具有“不流不动，一流就稀”的特性，对加工和消费体验至关重要。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​， 表观粘度 ηa​。
流变参数：屈服应力 τy​[Pa]， 稠度系数 K[Pa·sⁿ]， 流动指数 n(通常 n<1)。
工艺参数：管道直径 D， 平均流速 v， 搅拌桨转速 N。

分段幂律函数、表观粘度随剪切率变化。

食品流变学、Herschel-Bulkley模型、剪切变稀、屈服应力。

1. 流变测量：使用流变仪（同心圆筒或锥板）测量食品的流动曲线 (τvs γ˙​)。
2. 参数拟合：对 τ≥τy​的数据点，用 Herschel-Bulkley 模型进行非线性回归，拟合出 τy​,K,n。
3. 工程计算：
- 管道流动：计算给定流量下的压降，需迭代求解（因为 n=1）。
- 搅拌功率：计算搅拌雷诺数 Re=ρN2−nDan​/K， 然后查功率曲线。
4. 质量控制：监测 τy​,K,n是否在标准范围内。

在静止或低应力下，内部结构（如颗粒网络、聚合物缠结）提供屈服应力，使其保持形状。当施加的应力超过 τy​， 结构被破坏，开始流动，且随着剪切率增加，破坏加剧，表观粘度下降（剪切变稀）。流向：由压力梯度或剪切驱动。

浓稠的悬浮液或乳液，如番茄酱（固体颗粒悬浮）、蛋黄酱（油滴乳液）、酸奶（蛋白质网络）。

材料：番茄酱。
比例：可溶性固形物 ~25%， 番茄固形物 ~8%。
纯度/特征：典型流变参数：τy​≈20−50Pa， K≈10−30Pa⋅sn， n≈0.2−0.4。密度 ρ≈1100kg/m3。
环境参数：加工/储存温度 T=5−25∘C。典型加工剪切率：泵送 10−100s−1， 搅拌 100−1000s−1， 涂抹 1000−10000s−1。

Flow-L1-0315​

高分子熔体加工

聚合物加工

上随体Maxwell（Oldroyd-B）模型

用于模拟聚合物熔体弹性效应的 Oldroyd-B 本构模型​

1. 本构关系：将应力分解为溶剂贡献（牛顿部分）和聚合物贡献（弹性部分）：
τ=τs​+τp​
τs​=2ηs​D
τp​+λτp​▽​=2ηp​D
其中 τp​▽​=∂t∂τp​​+v⋅∇τp​−(∇v)T⋅τp​−τp​⋅(∇v)为上随体导数， λ为松弛时间。
2. 特性：能预测法向应力差、应力松弛和挤出胀大等弹性现象。

是描述聚合物溶液和熔体线性粘弹性的经典微分型模型。计算相对简单，能捕捉弹性基本特征，但无法描述剪切变稀（需用更复杂的模型如Giesekus）。

粘弹性流体力学、微分型本构、上随体导数。

聚合物挤出、注塑成型、纤维纺丝中的弹性效应模拟。特征：在剪切流中产生第一法向应力差，在收缩流中产生入口压力降，在出口产生挤出胀大。

变量：总应力 τ， 聚合物应力 τp​， 变形率张量 D。
材料参数：溶剂粘度 ηs​[Pa·s]， 聚合物粘度 ηp​[Pa·s]， 松弛时间 λ[s]， 总粘度 η0​=ηs​+ηp​。
无量纲数： Deborah数 De=λγ˙​或 λ/tflow​。

微分型本构方程、上随体导数、线性粘弹性。

聚合物熔体、Oldroyd-B模型、粘弹性、法向应力差。

1. 求解流场：给定流动几何和边界条件，联立连续性方程、动量方程和Oldroyd-B本构方程进行求解。
2. 计算应力：在流场求解过程中，同时更新聚合物应力 τp​， 其演化由本构方程控制。
3. 分析弹性效应：
- 剪切流：计算第一法向应力差 N1​=τp,11​−τp,22​=2ηp​λγ˙​2。
- 挤出胀大：模拟流体流出模具后，因弹性回复导致的直径膨胀。
- 入口流动：计算因弹性拉伸产生的额外压力降。

聚合物长链在流动中发生拉伸和取向，储存弹性能。应力不仅依赖于当前的变形率，还依赖于变形历史（由随体导数体现）。当流动停止或改变方向时，储存的弹性能释放，导致弹性回复（如挤出胀大）。流向：由压力梯度或运动边界驱动。

聚合物熔体（如聚乙烯PE、聚丙烯PP）或浓溶液，是典型的粘弹性流体。

材料：低密度聚乙烯 (LDPE) 熔体。
比例：纯聚合物。
纯度/特征：在 T=180∘C：零剪切粘度 η0​≈104Pa⋅s， 松弛时间 λ≈1−10s。粘度比 ηs​/ηp​≈0(熔体，无溶剂)。
环境参数：加工温度 T=150−250∘C。典型剪切率 γ˙​=10−1000s−1， 对应 De=10−10000， 弹性效应显著。

Flow-L1-0316​

地球物理流体

海洋与大气

准地转位涡方程

描述大尺度大气和海洋运动的核心模型——准地转位涡方程​

1. 核心方程：对于分层流体（如大气、海洋），在 β平面近似和地转近似下，位涡 q守恒：
DtDg​q​=0， 其中 DtDg​​=∂t∂​+ug​∂x∂​+vg​∂y∂​
2. 位涡表达式：q=∇2ψ+∂z∂​(N2f02​​∂z∂ψ​)+βy
其中 ψ是地转流函数 (ug​=−∂ψ/∂y,vg​=∂ψ/∂x)， f0​是科里奥利参数参考

Flow-L1-0317​

电化学与多相流

燃料电池（PEMFC）

两相流混合多相模型（Mixture Model）

PEMFC阴极水管理的混合多相模型​

1. 模型核心：将气液两相视为一种混合相，求解混合物的质量、动量、能量和组分方程，并通过滑移速度模型（如Schiller-Naumann）考虑相间相对运动。
2. 控制方程：
- 混合连续性：∂t∂​(ρm​)+∇⋅(ρm​vm​)=0
- 混合动量：∂t∂​(ρm​vm​)+∇⋅(ρm​vm​vm​)=−∇p+∇⋅[μm​(∇vm​+∇vmT​)]+ρm​g+Sm​
- 液态水输运：通过漂移通量模型引入液态水速度 vl​=vm​+vdr​， 其中 vdr​=−αl​(1−αl​)Dc​​∇αl​， Dc​为毛细扩散系数。
3. 相变：在催化层，水蒸气产生速率由电化学反应决定；在气体扩散层和流道，考虑相变（凝结/蒸发）。

计算效率高于欧拉多相流模型，能较好模拟PEMFC内液态水的分布和传输。精度依赖于滑移速度模型和相变模型的准确性。

混合物理论、多相流、对流-扩散、相变。

质子交换膜燃料电池水热管理、 flooding 分析。特征：高效模拟液态水的产生、输运和移除，避免阴极“水淹”。

变量：混合物速度 vm​， 压力 p， 液相体积分数 αl​， 水蒸气质量分数 Yv​。
材料参数：混合密度 ρm​=αl​ρl​+(1−αl​)ρg​， 混合粘度 μm​=αl​μl​+(1−αl​)μg​。
输运参数：毛细扩散系数 Dc​， 相变速率常数。
电化学参数：电流密度分布， 水产生率。

单流体模型、包含相分数输运方程、代数滑移关系。

PEMFC、混合模型、两相流、水管理、毛细扩散。

1. 求解流场：在给定电流密度下，求解混合物质量、动量方程，得到流场和压力场。
2. 求解组分与相分数：求解水蒸气输运方程和液相体积分数方程，考虑电化学反应源项和相变源项。
3. 更新物性：根据当地 αl​和 Yv​更新混合物的物性（ρm​,μm​）。
4. 迭代：直到流场、浓度场和相分数场收敛。

空气和水蒸气混合物在流道中流动，在扩散层和催化层，水蒸气凝结成液态水。液态水在毛细力作用下从催化层向流道输运，部分液态水可能堵塞孔隙阻碍气体传输。流向：反应气体沿流道对流，液态水在孔隙中毛细输运。

阴极：湿空气（O₂, N₂, H₂O(v)）和液态水（H₂O(l)）在气体扩散层和流道中共存的两相流。

材料：气体：空气（21% O₂, 79% N₂）加湿。液态水。扩散层：憎水处理碳纸。
比例：进气相对湿度 RH = 50-100%。
纯度/特征：空气密度 ~1.2 kg/m³， 粘度 ~1.8e-5 Pa·s。液态水密度 1000 kg/m³， 粘度 1.0e-3 Pa·s。碳纸接触角 ~120°。毛细扩散系数 Dc​∼10−5m2/s。
环境参数：电池温度 T=60−80∘C。操作压力 p=1−3atm。电流密度 j=0.5−2.0A/cm2。

Flow-L1-0318​

微反应器与催化

化工过程强化

微通道内气液固三相催化反应的膜基模型

用于微通道气液固三相催化反应的膜接触器模型​

1. 装置：气体和液体在相邻微通道中流动，通过多孔膜接触，催化剂涂覆在液体通道壁面。气体通过膜扩散进入液体，在催化剂表面反应。
2. 模型：
- 膜内扩散：气体组分在膜孔内的一维扩散：Ni​=−Di,eff​dzdCi​​。
- 液相传质与反应：在液体通道内，溶解的气体向催化剂壁面对流-扩散，并在表面发生催化反应（如加氢）。边界条件： (-D_l \frac{\partial C}{\partial y}

{wall} = k{cat} C_s^n)。
3. 优势：高比表面积，无气泡，传递效率高。

能设计高效的连续流多相催化微反应器。模型耦合了跨膜传质、液相传质和表面反应。

菲克扩散、对流-扩散方程、表面反应动力学。

微反应器内连续加氢、氧化、氨合成等。特征：利用膜实现无气泡气液接触，提高传质和安全性。

变量：气体浓度 Cg​(x,z)， 液体浓度 Cl​(x,y)， 跨膜通量 N。
膜参数：膜厚度 δm​， 孔隙率 ϵm​， 曲折度 τ， 有效扩散系数 Deff​=Dϵm​/τ。
反应参数：本征反应速率常数 kcat​， 反应级数 n。
操作参数：气/液流速， 压力。

耦合的扩散与对流-扩散方程、分区模型。

微反应器、膜接触器、气液固催化、三相反应。

1. 计算跨膜通量：根据膜两侧气体分压差和膜特性，计算气体通过膜的扩散通量 N。
2. 求解液体浓度场：以 N作为液体通道顶部（膜-液界面）的流通量边界条件，求解液体对流-扩散方程，得到 Cl​(x,y)。
3. 计算反应速率：根据壁面浓度 Cs​和反应动力学计算局部反应速率，积分得到总转化率。
4. 优化：调整膜参数、流速、通道尺寸以最大化反应效率。

气体在压力驱动下通过多孔膜扩散进入液相。溶解的气体在液体中通过对流和扩散到达涂有催化剂的壁面，发生表面反应。流向：气体和液体通常逆流或并流，在相邻通道内独立流动。

气相：反应气（如H₂）。液相：含有反应底物的有机溶剂。固相：多孔膜（如Al₂O₃, PTFE）和壁面催化剂（如Pd/Al₂O₃涂层）。

Flow-L1-0319​

超临界流体与萃取

天然产物提取

超临界CO₂萃取动力学模型

基于 broken and intact cell 模型的超临界CO₂萃取动力学​

1. 模型：将植物物料视为由“可及”（破碎细胞）和“不可及”（完整细胞）区域组成。萃取过程分两个阶段：
- 第一阶段：快速萃取可及区域的游离溶质，由外部传质和相平衡控制。
- 第二阶段：慢速萃取不可及区域的溶质，由内部扩散控制。
2. 萃取率：e(t)=ef​[1−exp(−kf​t)]+es​[1−exp(−ks​t)]， 其中 ef​,es​为两阶段最大萃取量， kf​,ks​为表观速率常数。
3. 参数：kf​,ks​与CO₂流速、颗粒尺寸、扩散系数等相关。

能较好地拟合超临界CO₂萃取天然产物的动力学曲线。是半经验模型，参数需实验确定。

传质理论、扩散、相平衡、经验动力学。

植物精油、香料、药用成分的超临界CO₂提取工艺优化。特征：描述萃取率随时间变化的典型S型曲线。

变量：累积萃取量 e(t)[kg/kg]， 时间 t。
操作参数：CO₂流速 Q[kg/h]， 压力 p[MPa]， 温度 T[K]。
物料参数：颗粒粒径 dp​， 初始溶质含量 Y0​。
模型参数：快速阶段参数 ef​,kf​， 慢速阶段参数 es​,ks​。

双指数函数、两阶段叠加。

超临界CO₂萃取、动力学、broken and intact cell模型、天然产物。

1. 实验：在固定 p,T,Q下进行萃取实验，记录 e(t)。
2. 数据拟合：用双指数模型 e(t)=ef​[1−exp(−kf​t)]+es​[1−exp(−ks​t)]拟合实验数据，得到 ef​,kf​,es​,ks​。
3. 参数分析：kf​反映外部传质和溶解度， ks​反映内部扩散。
4. 放大与优化：根据模型，优化颗粒尺寸、流速等以提高 kf​,ks​。

超临界CO₂渗入植物颗粒孔隙，首先快速溶解并萃取出破碎细胞表面的游离溶质。随后，CO₂需扩散进入完整细胞内部，溶解溶质，再扩散出来，此过程较慢。流向：CO₂整体流经固定床，传质在颗粒尺度发生。

超临界二氧化碳（SC-CO₂）作为溶剂，从固体植物基质（如粉碎的种子、叶片）中萃取脂溶性成分（如精油、色素）。

材料：溶剂：食品级CO₂。原料：粉碎的葡萄籽。
比例：原料负载量：萃取釜体积的50-70%。
纯度/特征：CO₂密度 (在 30 MPa, 50°C) ~900 kg/m³。葡萄籽油初始含量 Y0​≈15wt%。典型参数：ef​≈0.6Y0​， kf​≈0.5−2h−1， ks​≈0.05−0.2h−1。
环境参数：压力 p=20−35MPa。温度 T=40−60∘C。CO₂流速：10-30 kg/h。颗粒尺寸：0.2-0.5 mm。

Flow-L1-0320​

声流体学

微纳操控

声学镊子与声辐射力模型

基于Gor’kov势理论的声辐射力公式​

1. Gor’kov势：在驻波声场中，作用于小粒子（a≪λ）的声辐射力可以用势函数 U的梯度表示：F=−∇U。
2. 势函数：U=34π​a3[f1​2ρ0​c02​1​⟨p2⟩−f2​43ρ0​​⟨v2⟩]， 其中 f1​=1−ρp​cp2​ρ0​c02​​， f2​=2ρp​+ρ0​2(ρp​−ρ0​)​。
3. 聚焦位置：对于 f1​,f2​>0的粒子，被推向声压节点（速度反节点）；反之被推向声压反节点。

是声镊技术的理论基础，用于预测微粒、细胞、液滴在声场中的平衡位置。适用于瑞利散射区（粒子远小于波长）。

声散射理论、微纳颗粒力学、势场理论。

无接触细胞分选、微粒组装、单细胞力学测量。特征：利用声波产生的辐射力进行无标记、无损伤的生物粒子操控。

变量：声辐射力 F， Gor’kov势 U， 声压 p， 质点速度 v。
声场参数：声压幅值 p0​， 波长 λ， 频率 f。
粒子参数：半径 a， 密度 ρp​， 压缩率 κp​=1/(ρp​cp2​)。
流体参数：密度 ρ0​， 声速 c0​。

梯度力、势函数与声场强度相关。

声镊、Gor’kov势、声辐射力、微粒操控。

1. 建立声场：设计声学器件（如SAW、BAW）在微腔内形成稳定的驻波场，计算或测量其 p(x)和 v(x)分布。
2. 计算Gor’kov势：根据粒子和流体物性计算 f1​,f2​， 进而计算空间势能分布 U(x)。
3. 确定平衡点：粒子将位于势能 U的极小值点（稳定平衡）。对于典型的细胞/水滴， f1​,f2​>0， 平衡点在声压节点。
4. 操控：通过调制声场（如频率、相位）移动势阱，即可移动粒子。

声波在流体中传播，与微粒相互作用产生时均的辐射力。该力指向声场的特定区域（如压力节点或反节点）。多个粒子会在势能最低点聚集形成图案。流向：粒子在辐射力驱动下向平衡点运动。

生物粒子（如细胞、细菌）或合成微粒（如聚苯乙烯微球）悬浮于水或缓冲液中，处于超声驻波场中。

材料：粒子：人乳腺癌细胞 (MCF-7)。悬浮介质：PBS缓冲液。
比例：细胞浓度 ~10⁶ cells/mL。
纯度/特征：细胞直径 2a≈20μm， 密度 ρp​≈1050kg/m3， 声速 cp​≈1500m/s。PBS密度 ρ0​=1000kg/m3， 声速 c0​=1500m/s。驱动频率 f=2MHz， 波长 λ=750μm。
环境参数：温度 T=37∘C。声压幅值 p0​≈0.5−1MPa。

Flow-L1-0321​

活性物质与软物质

生物物理

活性胶体悬浮液的流体动力学模型

自推进胶体粒子悬浮液的连续介质模型​

1. 活性应力：自推进粒子（如细菌、人工微泳体）在悬浮液中产生额外的应力，称为活性应力 σactive=−ζQ， 其中 ζ为活性参数（>0 为伸展体， <0 为收缩体）， Q=⟨pp−I/d⟩为取向序参量（p为粒子取向）。
2. 动量方程：ρ(∂t​u+u⋅∇u)=−∇p+η∇2u+∇⋅σactive。
3. 不稳定性：活性应力可驱动自发流动，如细菌悬浮液中的湍流状运动。

从连续介质角度解释活性物质中涌现的大尺度流动和 pattern formation。是粗粒化模型，参数与微观特性相关。

活性物质物理、连续介质理论、向列相液晶类比。

细菌菌落集体运动、人工微泳体自组织、活性物质混合器。特征：微观单元的自主运动产生宏观流动和应力。

变量：宏观流速 u， 压力 p， 取向序参量 Q。
活性参数：活性应力系数 ζ[Pa]（单位：应力）。
粒子参数：自推进速度 v0​， 转动扩散系数 Dr​。
流体参数：粘度 η， 密度 ρ。

修正的Navier-Stokes方程、活性应力项。

活性物质、活性胶体、活性应力、自推进粒子。

1. 确定微观参数：从实验或微观模拟得到粒子的 v0​,Dr​和数密度，估算活性参数 ζ∼ρp​v02​τ， 其中 τ∼1/Dr​。
2. 建立宏观方程：写出包含活性应力的动量方程，以及 Q的演化方程（类似液晶）。
3. 线性稳定性分析：分析均匀各向同性基态的稳定性，预测自发流动的 onset。
4. 数值模拟：在边界条件下求解方程，观察大尺度流场结构。

每个自推进粒子消耗能量产生自驱动。粒子间的流体动力学相互作用和碰撞导致取向有序（Q=0）。有序的取向产生宏观的活性应力，该应力可以驱动流体运动，即使没有外部压力梯度。流向：由序参量的对称性破缺方向决定。

高浓度的自推进粒子（如大肠杆菌、Janus胶体球）悬浮于牛顿流体（如水）中。

材料：活性单元：大肠杆菌 (E. coli, 游动型)。悬浮介质： motility buffer。
比例：细菌体积分数 ϕ=0.1−0.2。
纯度/特征：细菌尺寸 ~1×2 μm， 游泳速度 v0​≈20μm/s， 转动扩散时间 τr​=1/Dr​≈1s。数密度 n≈1010−1011cells/mL。活性参数 ζ∼0.1−1Pa。
环境参数：温度 T=30−37∘C。氧浓度充足。

Flow-L1-0322​

微重力与相变

空间热管理

环路热管（LHP）毛细芯两相流模型

环路热管蒸发器毛细芯内的流动与相变耦合模型​

1. 毛细芯内流动：液体在毛细芯微孔中流动，由毛细压力驱动。采用多孔介质达西定律：ul​=−μl​K​∇pl​。
2. 相变界面：在蒸发器内部，液体在汽液界面蒸发，界面位置由热流和毛细力平衡决定。蒸发质量通量：m˙=hfg​q​。
3. 毛细压力-流量关系：系统最大毛细压头 Δpc,max​=reff​2σcosθ​需大于总流动阻力（液体线、蒸汽线、毛细芯和相变压降）。

是设计LHP的核心，用于确定毛细芯性能、最大热负荷和传输距离。模型简化了复杂的弯月面动力学。

多孔介质两相流、毛细作用、相变、热-流耦合。

航天器热控制、高功率电子设备散热。特征：利用毛细力驱动两相流循环，无运动部件，适用于微重力。

变量：液体压力 pl​， 蒸汽压力 pv​， 质量流量 m˙， 热流密度 q。
毛细芯参数：有效孔径 reff​[m]， 渗透率 K[m²]， 孔隙率 ϵ， 厚度 δ。
流体参数：工质物性（氨、丙酮等）， 表面张力 σ， 接触角 θ。
热参数：热负荷 Q， 蒸发潜热 hfg​。

达西定律、毛细压力方程、能量平衡。

环路热管、毛细芯、两相流、蒸发、微重力热控。

1. 给定热负荷：确定蒸发器需散走的热量 Q。
2. 计算质量流量：m˙=Q/hfg​。
3. 计算流动阻力：计算工质在液体线、毛细芯、蒸汽线中的单相流压降，以及蒸发/凝结的相变压降。
4. 校核毛细力：系统总压降 Δptotal​必须小于毛细芯能提供的最大毛细压差 Δpc,max​， 否则会发生 capillary limit 导致干涸。
5. 设计优化：调整 reff​,K,δ和工质以满足热负荷和传输距离要求。

热量加在蒸发器，毛细芯内的液体蒸发，形成汽液弯月面。毛细压力将液体从储液器抽吸至蒸发器补充。蒸汽经蒸汽线流向冷凝器放热冷凝，液体经液体线在毛细力作用下返回蒸发器，完成循环。流向：蒸汽从蒸发器流向冷凝器，液体反向流动。

工质（如氨、丙烯）在毛细多孔结构（如镍粉烧结芯）和管道中经历蒸发和冷凝的两相循环。

材料：工质：无水氨 (NH₃)。毛细芯：镍粉烧结。
比例：纯氨。
纯度/特征：氨在20°C：σ=0.023N/m， hfg​=1.37×106J/kg。毛细芯：reff​=1−5μm， K=10−13−10−12m2， 孔隙率 ϵ=0.6−0.7。
环境参数：蒸发温度 Te​=0−50∘C。热负荷 Q=50−500W。传输距离：数米。微重力或地面倾角运行。

Flow-L1-0323​

纳米流体与传质

药物输送

纳米颗粒在血管中输运与靶向的耦合模型

纳米颗粒在肿瘤血管中输运、外渗与扩散的多尺度模型​

1. 血管内对流-扩散：纳米颗粒在血液中随流输送，并与血管壁相互作用：∂t∂C​+u⋅∇C=D∇2C−kon​C+koff​Cb​， 其中 Cb​为壁面结合浓度。
2. 血管外渗：通过肿瘤血管渗漏的壁面（enhanced permeability and retention effect, EPR），颗粒通量 J=P(C−Ctissue​)， P为渗透率。
3. 组织内扩散：渗漏到肿瘤间质的颗粒进一步扩散：∂t∂Ctissue​​=Dtissue​∇2Ctissue​+S， 源项 S来自血管渗漏。

能模拟纳米药物在肿瘤区域的分布，评估靶向效率。模型复杂，参数（如 P,Dtissue​）难以准确获取。

对流-扩散方程、壁面交换、多区域耦合。

纳米药物设计、肿瘤靶向给药方案优化。特征：模拟纳米颗粒从系统循环到肿瘤组织积累的全过程。

变量：血管内浓度 C， 组织内浓度 Ctissue​， 壁面结合浓度 Cb​。
血流参数：肿瘤血管网络几何， 血流速度 u， 血管壁渗透性 P。
颗粒参数：扩散系数 D,Dtissue​， 结合/解离速率 kon​,koff​。
肿瘤参数：间质液压、血管密度。

多区域耦合的对流-扩散-反应方程。

纳米药物、靶向输送、对流-扩散、EPR效应、多尺度模型。

1. 重建血管网络：从医学影像获取或生成肿瘤血管网络。
2. 计算血流：在网络中计算血流分布 u和压力 p。
3. 颗粒输运：在血管网络中求解颗粒的对流-扩散方程，在血管壁处应用渗透和结合边界条件。
4. 组织扩散：将血管壁的渗漏通量作为源项，求解肿瘤间质中的扩散方程。
5. 评估：计算肿瘤区域的颗粒浓度随时间的变化，评估靶向效率。

载药纳米颗粒经静脉注射进入血液循环，随血流到达肿瘤区域。由于肿瘤血管高渗透性，颗粒从血管漏出到周围组织。在组织中，颗粒进一步扩散，并可能被肿瘤细胞摄取。流向：血管内由血流驱动，组织内由扩散驱动。

载药纳米颗粒（如脂质体、聚合物胶束， ~100 nm）悬浮于血液中，通过肿瘤血管渗漏进入组织间质液。

材料：颗粒：聚乙二醇化脂质体， 载阿霉素。悬浮介质：血液。靶组织：肿瘤。
比例：注射剂量：~50 mg 颗粒/kg 体重。
纯度/特征：颗粒直径 d=100nm。血液中扩散系数 D≈10−12m2/s。肿瘤血管壁渗透率 P≈10−8−10−7m/s。组织扩散系数 Dtissue​≈10−12−10−11m2/s。
环境参数：体温 T=37∘C。血流速度在肿瘤血管中较低且不均。

Flow-L1-0324​

电化学与腐蚀

金属电沉积

扩散-迁移控制下的电沉积界面演化模型

描述电沉积枝晶生长的扩散-迁移模型​

1. 离子输运：在电解质中，阳离子（如Li⁺, Zn²⁺）的输运由扩散、迁移和对流贡献：∂t∂C​=D∇2C+RTzFD​∇⋅(C∇ϕ)。通常忽略对流。
2. 电极反应：在沉积界面，Butler-Volmer动力学：i=i0​[exp(RTαa​F​η)−exp(−RTαc​F​η)]， 其中过电位 η=ϕs​−ϕl​−Eeq​。
3. 界面演化：沉积速率与局部电流密度成正比，界面法向速度 vn​=zFρm​i​M， 其中 M为金属摩尔质量。界面形状随时间演化，可能导致枝晶分叉。

能模拟电沉积过程中枝晶的形成和生长，是研究电池短路、腐蚀等问题的关键。模型高度非线性，界面演化复杂。

对流-扩散-迁移方程、Butler-Volmer电极动力学、移动边界问题。

锂金属电池枝晶生长研究、电镀均匀性分析、金属腐蚀预测。特征：模拟离子输运、电化学反应和界面形貌演化的强耦合过程。

变量：离子浓度 C， 电解质电势 ϕl​， 电极电势 ϕs​， 沉积界面形状 Γ(t)。
电化学参数：交换电流密度 i0​， 传递系数 αa​,αc​， 平衡电势 Eeq​。
输运参数：扩散系数 D， 迁移数 t+​。
材料参数：金属密度 ρm​， 摩尔质量 M。

耦合的偏微分方程、移动边界、非线性边界条件。

电沉积、枝晶生长、扩散-迁移、Butler-Volmer、移动界面。

1. 初始化：给定初始平坦界面和初始浓度分布。
2. 求解浓度和电势场：在电解质域求解 C和 ϕl​的方程，在界面处应用Butler-Volmer边界条件。
3. 计算界面生长速度：根据局部电流密度 i计算 vn​。
4. 更新界面：根据 vn​推进界面位置，可能使用水平集或相场法追踪界面。
5. 网格重构/适应：由于界面大变形，需要重新划分或适应网格。
6. 重复直到结束。

在电场作用下，金属离子向阴极迁移并还原沉积。在凸起处，电场和离子浓度梯度集中，导致沉积更快，形成正反馈，促使凸起生长为枝晶。枝晶尖端可能分叉，形成树枝状结构。流向：离子向阴极（沉积界面）迁移。

电解质：含金属离子（如Li⁺ in LiPF₆/EC-DMC）的溶液。电极：金属（如锂）基底。

材料：电解质：1 M LiPF₆ in EC:DMC (1:1 v/v)。电极：锂箔。
比例：锂盐浓度 1 M。
纯度/特征：Li⁺扩散系数 D≈2×10−10m2/s。迁移数 t+​≈0.2−0.4。交换电流密度 i0​≈1−10A/m2。金属锂密度 ρm​=534kg/m3。
环境参数：温度 T=25−60∘C。施加电流密度 iapp​=1−10mA/cm2。

Flow-L1-0325​

地球物理流体

冰川学

冰川冰的Glen流动定律与温度耦合

冰川冰流动的Glen定律与热力学耦合模型​

1. 本构关系：冰川冰的应变率与应力的非线性关系（Glen流变律）：ϵ˙=A(T)τn， 其中 n≈3， A(T)=A0​exp(−Q/(RT))。
2. 动量平衡：在浅冰近似下，水平速度 u随深度变化：∂z∂u​=2A(ρg(s−z)sinα)n， 其中 s为表面高程， α为表面坡度。
3. 热方程：ρcp​(∂t∂T​+u⋅∇T)=∇⋅(k∇T)+Φ， 其中 Φ=2Aτn+1是粘性耗散热。

是模拟冰川和冰盖流动及其温度演化的基础模型。模型耦合了非线性流变、热传递和冰动力学。

非牛顿流体力学（幂律）、热传导、浅冰近似。

冰川流动预测、冰盖稳定性评估、古气候研究。特征：冰的流动强烈依赖于温度和应力，且产生热反馈。

变量：冰速度 u， 温度 T， 冰厚度 h， 表面坡度 α。
流变参数：应力指数 n=3， 活化能 Q， 指前因子 A0​。
热参数：冰的热容 cp​， 热导率 k。
气候参数：表面质量平衡（积累/消融）， 基底温度。

耦合的非线性偏微分方程、幂律本构、内热源。

冰川、Glen流变律、温度依赖、热-力耦合。

1. 初始化：给定初始冰厚分布、温度场和基岩地形。
2. 求解速度场：根据当前冰厚和温度场计算的 A(T)， 在浅冰近似下求解水平速度 u(z)。
3. 更新冰厚：根据质量守恒（连续性方程）和速度场，更新冰厚分布 h(x,y,t)。
4. 求解温度场：求解包含平流、传导和粘性耗散的热方程，更新温度场 T(x,y,z,t)。
5. 时间推进：重复步骤2-4。

冰在自身重力作用下沿斜坡向下流动。剪切应力随深度增加，应变率呈非线性响应。粘性耗散产生热，尤其在底部，可能使冰达到压力熔点，形成润滑层。热反馈进一步影响流动速度。流向：沿地表坡度方向。

多晶冰（H₂O），表现为温度敏感的非线性粘性（幂律）流体。

材料：冰（H₂O）。
比例：纯冰，可能含微量气泡和杂质。
纯度/特征：冰密度 ρ=917kg/m3。典型参数：对于温带冰川 (T ≈ 0°C)： A0​≈1.14×10−17s−1Pa−3， Q=139kJ/mol。热容 cp​≈2.0kJ/(kg⋅K)， 热导率 k≈2.2W/(m⋅K)。
环境参数：表面温度：年平均值 -10 至 0°C。冰厚度 h=100−3000m。表面坡度 α=1−10∘。

Flow-L1-0326​

磁流体与天体物理

太阳日冕

无力场模型

用于描述太阳日冕磁场的无力场模型​

1. 基本假设：在日冕低 β等离子体中，热压力梯度与重力可忽略，洛伦兹力为零：J×B=0， 这意味着电流与磁场平行，即 ∇×B=αB。
2. 方程：如果 α是常数，得到线性无力场方程：∇×B=αB， 结合 ∇⋅B=0。
3. 求解：在给定光球层磁场的垂直分量 Bz​作为边界条件下，求解上述方程，得到日冕三维磁场。常数 α由边界条件决定。

是重构日冕大尺度磁场结构的常用模型，计算相对简单。忽略了磁场与等离子体的动力学相互作用，无法描述电流片和磁重联。

磁静力学、无力场近似、线性偏微分方程。

太阳日冕磁场外推、活动区磁场结构分析、日冕物质抛射（CME）前身场研究。特征：假设磁场无洛伦兹力，电流与磁场平行，是磁静力学平衡的一种。

变量：磁场 B， 无力因子 α[1/m]。
边界条件：光球层矢量磁场或仅垂直分量 Bz​(x,y)。
参数：常数 α或随空间变化的 α(r)(非线性无力场)。

矢量亥姆霍兹方程、特征值问题。

太阳日冕、无力场、磁静力学、磁场外推。

1. 观测：获取太阳光球层的矢量磁图（如SDO/HMI观测）。
2. 预处理：对磁图进行去投影、消除180度模糊等处理。
3. 选择模型：选择常数 α线性无力场模型，或更复杂的非线性无力场模型。
4. 数值求解：在计算域内数值求解 ∇×B=αB和 ∇⋅B=0， 边界条件为光球磁场。
5. 分析：得到日冕三维磁场，计算磁力线拓扑、磁能、无力性等。

在日冕低 β环境下，磁场主导等离子体行为。无力场假设认为磁场自身达到平衡，无净洛伦兹力。电流沿磁场方向流动，不产生宏观的力。这种平衡可以储存大量的磁能。流向：磁力线走向由光球边界条件决定。

太阳日冕等离子体，完全电离，低 β（磁压远大于热压），温度 ~1-2 MK， 密度 ~10⁹ cm⁻³。

材料：等离子体：完全电离的氢（质子+电子）和少量氦。
比例：氢占质量 ~73%， 氦 ~25%。
纯度/特征：电子数密度 ne​≈108−109cm−3。温度 T≈1−2×106K。磁场强度 B≈10−100G(活动区可达数千G)。等离子体 β=2μ0​nkB​T/B2≪1。
环境参数：重力：太阳表面重力 g⊙​=274m/s2。太阳半径 R⊙​=6.96×108m。

Flow-L1-0327​

微流控与惯性效应

颗粒分离

螺旋通道中惯性聚焦与迪恩流二次分离

螺旋微通道中颗粒惯性/迪恩流耦合分离模型​

1. 作用力：颗粒在螺旋通道中受惯性升力（指向通道外侧或中心）和迪恩曳力（沿迪恩二次流方向）共同作用。
2. 平衡位置：净横向力为零的位置即为聚焦位置。对于大颗粒，惯性升力主导，聚焦于内侧壁附近；对于小颗粒，迪恩曳力主导，被迪恩涡扫向外侧。
3. 分离：通过设计通道曲率、截面尺寸和流速，使不同尺寸颗粒聚焦于不同位置，在出口处实现空间分离。

能实现高通量、无标记的颗粒/细胞连续分选。设计依赖于对惯性升力和迪恩曳力的准确建模，通常需结合模拟和实验。

惯性微流体、二次流、力平衡、颗粒轨迹分析。

血液中循环肿瘤细胞（CTC）分离、血浆提取、微颗粒分选。特征：利用螺旋几何产生的迪恩流增强分离效果和通量。

变量：颗粒横向位置， 迪恩数 De=ReDh​/(2Rc​)​， 颗粒雷诺数 Rep​=ρUa2/(μDh​)。
通道参数：水力直径 Dh​[μm]， 曲率半径 Rc​[mm]， 横截面形状（矩形常见）。
操作参数：平均流速 U[m/s]， 雷诺数 Re=ρUDh​/μ。
颗粒参数：直径 dp​[μm]， 密度 ρp​。

力平衡方程、与 De和 Rep​相关的经验/半经验关系。

螺旋微通道、惯性聚焦、迪恩流、颗粒分选。

1. 设计通道：根据目标颗粒尺寸差，设计螺旋通道几何（Dh​,Rc​,匝数）。
2. 模拟/计算：通过CFD模拟或解析模型计算流场和颗粒受力，预测不同尺寸颗粒的聚焦位置。
3. 加工与实验：软光刻加工PDMS芯片，用已知尺寸颗粒测试分离效果，调整流速优化。
4. 应用：将样品（如全血）以优化流速注入，在出口收集不同馏分。

流体在螺旋通道中流动产生迪恩二次涡。颗粒在惯性升力作用下向侧壁迁移。同时，颗粒被迪恩涡携带，沿上下壁面从外侧向内侧运动，再沿通道中心从内侧流向外侧。大小颗粒受力不同，最终达到不同的平衡位置。流向：沿螺旋通道轴向，同时有横向二次流。

颗粒（如聚苯乙烯微球、细胞）悬浮于缓冲液（水、PBS）中，在螺旋形微通道内作惯性流动（Re∼10−100）。

材料：颗粒：聚苯乙烯微球。流体：去离子水。
比例：颗粒浓度 ~0.1% w/v。
纯度/特征：颗粒直径：5 μm 和 15 μm。水密度 ρ=1000kg/m3， 粘度 μ=1.0mPa⋅s。通道矩形截面 100 μm × 50 μm， Dh​≈67μm。曲率半径 Rc​=1mm。
环境参数：平均流速 U=1m/s， Re≈67， De≈27.5。温度 T=20−25∘C。

Flow-L1-0328​

非牛顿流体与多孔介质

提高石油采收率

聚合物驱的黏弹性效应模型

考虑黏弹性的聚合物溶液在多孔介质中的流变模型​

1. 现象：聚合物溶液（如HPAM）在多孔介质中流动时，除了剪切变稀，在高速流动下还会表现出黏弹性，产生额外的视黏度增加和法向应力，影响驱替效率。
2. 模型：在达西尺度，采用黏弹性本构方程（如Upper-Convected Maxwell）描述流变，或采用经验关系，如视黏度与流速的关系：μapp​=μ∞​+1+(λγ˙​eff​)mμ0​−μ∞​​+αγ˙​effp​， 其中最后一项描述弹性增稠。有效剪切率 γ˙​eff​=Cu/kϕ​。
3. 应用：预测聚合物驱在高流速下的流控行为，优化注入方案。

能更全面地描述聚合物溶液在多孔介质中的复杂流变行为，特别是高流速下的弹性效应。模型参数多，难以获取。

非牛顿流体力学、黏弹性、多孔介质流变学。

聚合物驱方案设计、稠油冷采、低渗透油藏提高采收率。特征：考虑聚合物溶液的弹性对驱替前沿稳定性和波及系数的积极影响。

变量：表观粘度 μapp​， 达西速度 u， 有效剪切率 γ˙​eff​。
聚合物参数：零剪切粘度 μ0​， 无穷剪切粘度 μ∞​， 松弛时间 λ， 幂律参数 m， 弹性增稠参数 α,p。
岩石参数：渗透率 k， 孔隙度 ϕ， 系数 C。

复杂的经验本构、分段函数。

聚合物驱、黏弹性、多孔介质、流变模型、提高采收率。

1. 岩心驱替实验：在不同流速下进行聚合物溶液岩心驱替，测量压降和流速关系。
2. 数据拟合：用包含剪切变稀和弹性增稠项的模型拟合实验数据，得到流变参数。
3. 油藏模拟：将拟合的流变模型植入油藏数值模拟器，模拟聚合物驱过程，考虑黏弹性对流动的影响。
4. 优化：根据模拟结果，优化聚合物浓度、注入速度等参数。

聚合物溶液在多孔介质中流动时，在孔隙喉道处经历强烈的拉伸和剪切。在低中流速下，剪切变稀主导，视黏度降低。在很高流速下，聚合物分子链来不及松弛，被高度拉伸，产生弹性应力，导致视黏度回升和附加流动阻力，可能改善流度比。流向：从注入井向生产井。

部分水解聚丙烯酰胺（HPAM）水溶液，一种具有黏弹性的剪切变稀流体，在多孔岩心中流动。

材料：聚合物：部分水解聚丙烯酰胺 (HPAM, 分子量 ~10-20 million)。溶剂：配制水（可能含盐）。
比例：HPAM浓度：1000-2000 ppm。
纯度/特征：在7.3 s⁻¹下， μ0​≈20−50mPa⋅s， μ∞​≈3−5mPa⋅s。松弛时间 λ≈0.1−1s。弹性增稠可能发生在 γ˙​eff​>100s−1。
环境参数：油藏温度 T=40−80∘C。地层水矿化度影响粘度。达西流速 u=1−10ft/day≈3.5×10−6−3.5×10−5m/s。

Flow-L1-0329​

生物流体力学

呼吸系统

可变形气道中的振荡流模型

用于肺功能测试（如强迫振荡技术）的气道振荡流模型​

1. 模型：将气道树简化为一个由电阻 R、惯性 I和顺应性 C组成的集中参数模型（如单室模型）。在口腔施加正弦振荡压力 P(t)=P0​sin(ωt)， 测量流量响应 Q(t)。
2. 输入阻抗：Zin​(ω)=R+j(ωI−1/(ωC))， 其中 j=−1​。通过拟合实测的 Zin​(ω)频谱，可以估计 R,I,C， 反映气道阻力、气道和肺组织的惯性及弹性。
3. 应用：评估哮喘、COPD等疾病引起的 airway resistance 变化。

是肺功能无损检测的重要工具。模型简化了复杂的支气管树结构，但对临床评估有价值。

电路类比、线性系统理论、振荡流流体力学。

肺功能测试、呼吸疾病诊断、呼吸力学研究。特征：通过测量系统对小幅振荡压力的响应来推断其力学特性。

变量：口腔压力 P(t)， 流量 Q(t)， 角频率 ω=2πf。
模型参数：气道阻力 R[cmH₂O·s/L]， 惯性 I[cmH₂O·s²/L]， 顺应性 C[L/cmH₂O]。
操作参数：振荡频率范围 f=4−32Hz， 振荡压力幅值 P0​(通常很小，~1-2 cmH₂O)。

复数代数、线性系统频率响应。

强迫振荡技术、呼吸阻抗、肺功能、集中参数模型。

1. 施加振荡：在受试者平静呼吸基础上，于口腔处叠加一系列频率（如4, 8, 16, 32 Hz）的正弦压力振荡。
2. 同步测量：同步测量口腔处的压力 P(t)和流量 Q(t)。
3. 计算阻抗：对每个频率，计算输入阻抗 Zin​(ω)=P(ω)/Q(ω)。
4. 模型拟合：用 R−I−C模型（或其他更复杂的多室模型）拟合实测的 Zin​(ω)频谱，得到 R,I,C的估计值。
5. 临床解读：与健康人群参考值比较，评估气道阻塞程度等。

小振幅的振荡压力在口腔产生，在气道和肺泡中产生相应的振荡气流。阻力耗散能量，惯性产生相位滞后，顺应性产生相位超前。不同频率下阻抗的变化反映了呼吸系统各部分（中央气道、外周气道、肺组织）的力学特性。流向：振荡气流沿气道树进出。

空气在可变形的人体气道（从口腔到肺泡）中作小幅振荡流动，通常处于层流状态。

材料：空气。
比例：空气，组分恒定。
纯度/特征：空气密度 ρ=1.2kg/m3， 粘度 μ=1.8×10−5Pa⋅s。健康成人典型参数：R≈2−3cmH2​O⋅s/L， I≈0.01−0.02cmH2​O⋅s2/L， C≈0.1−0.2L/cmH2​O。
环境参数：体温 T=37∘C。环境压力 ~1 atm。潮气量：平静呼吸。

Flow-L1-0330​

软物质与活性凝胶

生物物理

活性凝胶的流体动力学连续模型

描述细胞皮层等活性凝胶收缩与流动的 active gel theory​

1. 本构关系：将活性凝胶（如肌动球蛋白网络）视为极性或向列型连续介质，其应力包含被动弹性应力 σelastic和主动应力 σactive=ζQ或 ζpp， 其中 ζ为活性参数（收缩时 ζ<0）。
2. 动量方程：∇⋅(σelastic+σactive−pI)=0(准静态)。
3. 取向演化：取向场 p或序参量 Q的演化方程，包含流动取向、弹性弛豫和活性效应。

从连续介质尺度模拟细胞运动、组织形态发生等生物物理过程。是高度跨学科的模型，结合软物质和活性物质物理。

活性物质物理、连续介质力学、液晶弹性理论。

细胞爬行、组织发育、伤口愈合。特征：凝胶的主动收缩（由分子马达产生）驱动宏观变形和流动。

变量：位移场 u或流速场 v， 压力 p， 取向场 p或 Q。
被动参数：弹性模量 E或粘度 η， Frank弹性常数。
活性参数：活性应力系数 ζ[Pa]（负值为收缩）。
几何与边界：细胞/组织形状， 基底附着条件。

耦合的力学与取向场方程、活性应力源项。

活性凝胶、细胞皮层、主动应力、连续模型。

1. 定义系统：确定模拟的几何形状（如二维细胞片段、三维球体）和边界条件（如固定、自由、粘附）。
2. 建立方程：写出包含主动应力的动量平衡方程，以及取向场的演化方程。
3. 数值求解：在给定活性应力分布 ζ(r)下，求解位移/流速场和取向场。
4. 分析：观察凝胶的收缩模式、流动图案和可能的自组织结构。

肌动蛋白纤维和肌球蛋白马达组成的有序网络（凝胶）在消耗ATP时产生内部主动应力（收缩）。该主动应力通过网络的弹性或粘性传递，导致凝胶整体变形或流动，从而驱动细胞形状变化或运动。流向：由活性应力梯度和边界条件决定。

肌动球蛋白网络（一种交联的 semiflexible polymer 网络，嵌入 motor proteins），处于水环境中，是粘弹性活性凝胶。

材料：活性凝胶：体外重建的肌动球蛋白网络（肌动蛋白， 肌球蛋白II， 交联剂）。
比例：肌动蛋白浓度：~1 mg/mL (~24 μM)。肌球蛋白浓度：~0.1-0.5 mg/mL。
纯度/特征：肌动蛋白 persistence length ~17 μm。网络弹性模量 G′∼1−100Pa。活性应力系数 ζ∼−1to−10Pa(收缩)。ATP浓度：~1 mM。
环境参数：温度 T=25−30∘C。缓冲液离子强度。

Flow-L1-0331​

电渗与微尺度

纳米孔道

纳米孔道内的离子输运Poisson-Nernst-Planck-Stokes模型

纳米孔道内离子和流体输运的全耦合PNP-Stokes模型​

1. 离子输运 (PNP)：对每种离子 i：
∂t∂Ci​​+∇⋅Ni​=0， Ni​=−Di​∇Ci​−zi​kB​TDi​​Ci​∇ϕ+Ci​u
2. 静电 (Poisson)：∇⋅(ϵ∇ϕ)=−ρe​=−∑i​zi​eCi​
3. 流体 (Stokes)：−∇p+μ∇2u−ρe​∇ϕ=0， ∇⋅u=0
4. 边界：孔道壁面有表面电荷密度 σs​， 产生zeta电位。

是描述纳米尺度孔道内电渗流、离子电流和选择性输运的严格模型。计算成本高，尤其在三维。

静电学、对流-扩散-迁移、低雷诺数流体力学。

纳米孔DNA测序、离子通道模拟、海水淡化膜、纳米流体二极管。特征：在纳米尺度，双电层重叠，表面电荷主导离子输运，泊松方程必须与输运方程耦合求解。

变量：离子浓度 Ci​， 电势 ϕ， 流速 u， 压力 p。
孔道参数：直径/宽度 d[nm]， 长度 L， 表面电荷密度 σs​[C/m²] 或 zeta电位 ζ。
溶液参数：本体浓度 C0​， 离子价态 zi​， 扩散系数 Di​。
边界条件：两端施加电压 V和/或压力差 Δp。

耦合的非线性偏微分方程组、特征尺度在纳米量级。

纳米孔道、PNP-Stokes模型、电渗流、离子输运。

1. 建立几何：定义纳米孔道的精确三维几何。
2. 施加边界条件：在入口/出口设定离子浓度（本体值）、电势（施加电压）和压力；在壁面设定无滑移、无渗透和固定电荷/电位。
3. 全耦合求解：数值求解耦合的PNP和Stokes方程。由于强非线性，需要有效的求解器（如有限元）。
4. 计算通量：积分得到离子电流和流体流量。

在纳米孔中，双电层占据整个孔道。施加电压时，离子在电场作用下迁移（电迁移），同时，孔道内的净电荷在电场作用下拖动流体产生电渗流。离子浓度分布和流场反过来影响电势分布。流向：沿孔道轴向。

电解质溶液（如KCl溶液）在固态（如SiO₂, Si₃N₄）或生物（如α-溶血素）纳米孔中流动，孔径1-100 nm。

材料：孔道：氮化硅 (Si₃N₄) 薄膜纳米孔。电解质：1 M KCl 水溶液。
比例：K⁺ 和 Cl⁻ 浓度均为 1 M。
纯度/特征：孔直径 d=5−20nm。表面电荷密度 σs​≈−0.01to−0.1C/m2(对应 ζ≈−20to−100mV)。离子扩散系数 DK​≈2×10−9m2/s， DCl​≈2×10−9m2/s。
环境参数：温度 T=20−25∘C。施加电压 V=0.1−1V。背景压力差可能为0。

Flow-L1-0332​

软物质与胶体

胶体晶体自组装

耗散粒子动力学（DPD）模拟

用于模拟胶体粒子在剪切流中自组装的DPD模型​

1. 方法：DPD是一种介尺度粒子模拟方法，每个DPD粒子代表一个流体团或胶体粒子。粒子间作用力包括保守力 FijC​=aij​w(rij​)r^ij​、耗散力 FijD​=−γw2(rij​)(r^ij​⋅vij​)r^ij​和随机力 FijR​=σw(rij​)θij​Δt−1/2r^ij​，其中 w(r)=1−r/rc​是权重函数， aij​,γ,σ为参数，满足 σ2=2γkB​T。
2. 剪切：通过Lees-Edwards周期性边界条件施加剪切流。
3. 分析：追踪胶体粒子位置，计算径向分布函数、序参数等观察晶体形成。

能在介观尺度模拟复杂流体中胶体粒子的动力学和自组装，考虑热涨落和流体力学相互作用。计算量介于MD和连续方法之间。

统计力学、朗之万方程、介观模拟。

胶体光子晶体制备、智能材料自组装、药物输送载体设计。特征：模拟剪切场诱导胶体粒子排列成有序结构（如面心立方）。

变量：DPD粒子位置 ri​， 速度 vi​， 力 Fi​。
相互作用参数：保守力系数 aij​(相同粒子 aii​， 不同粒子 aij​>aii​导致相分离)， 耗散系数 γ， 噪声系数 σ， 截断半径 rc​。
系统参数：数密度 ρ， 温度 kB​T， 剪切率 γ˙​。
粒子参数：胶体粒子与溶剂粒子的尺寸比、相互作用。

粒子运动方程、随机微分方程。

耗散粒子动力学、DPD、自组装、剪切诱导结晶、介观模拟。

1. 初始化：在模拟盒子中随机放置溶剂DPD粒子和少量代表胶体的大DPD粒子，赋予初始速度。
2. 施加剪切：在y方向施加Lees-Edwards边界条件，产生x方向的剪切流。
3. 力计算：每个时间步，计算所有粒子对间的保守、耗散和随机力。
4. 积分运动方程：使用Velocity-Verlet等算法更新粒子位置和速度。
5. 采样分析：在稳态后，统计胶体粒子的结构，分析有序度。

胶体粒子在剪切流中受到流体力学力（拖曳、升力）和粒子间作用力（如DLVO力）。在适当的剪切率和浓度下，粒子可克服能量势垒，排列成长程有序的晶格结构。流向：总体沿剪切方向，粒子在速度梯度方向排列。

单分散胶体颗粒（如聚苯乙烯微球，直径~100 nm-1 μm）悬浮于牛顿流体（水）中，体积分数 ~10-50%。

材料：胶体颗粒：单分散二氧化硅 (SiO₂) 微球。连续相：水。
比例：胶体体积分数 ϕ=0.2−0.5。
纯度/特征：颗粒直径 d=200nm。表面电势 ~ -50 mV (pH=7)。水粘度 μ=1mPa⋅s。DPD参数：aii​=25kB​T/rc​， aij​(colloid−solvent)=50−100kB​T/rc​， 数密度 ρ=4， rc​=1(约化单位)。
环境参数：温度 T=298K。剪切率 γ˙​=1−100s−1。离子强度 ~1 mM (影响DLVO力)。

Flow-L1-0333​

电化学与催化

燃料电池催化剂层

团聚体模型（Agglomerate Model）

PEMFC催化剂层内氧传输与反应团聚体模型​

1. 结构：催化剂层视为由碳载铂（Pt/C）团聚体（~100 nm）组成，团聚体被Nafion离子聚合物包裹，团聚体间是孔隙。
2. 模型：在单个团聚体尺度，氧通过Nafion膜扩散到Pt表面反应。扩散-反应方程：
DO2​Naf​r21​drd​(r2drdC​)=R
其中反应速率 R=nFi​VAPt​​， i为局部电流密度（Butler-Volmer）， APt​/V为团聚体内比表面积。
3. 宏观耦合：团聚体模型的局部电流与CL内的离子/电子传导、气相氧传输耦合。

能更真实地描述催化剂层内的质量传输限制，尤其是高电流密度下的氧传输极化。是微观结构模型，参数多。

扩散-反应方程、多孔介质、电化学动力学。

质子交换膜燃料电池催化剂层设计与优化、极限电流密度分析。特征：从微观结构出发模拟氧在离子聚合物内的扩散与反应耦合。

变量：团聚体内氧浓度 C(r)， 局部过电位 η。
团聚体参数：半径 Ragg​[nm]， Pt比表面积 APt​[m²/g]， Pt负载量 mPt​[mg/cm²]， Nafion体积分数 ϵion​。
传输参数：氧在Nafion中扩散系数 DO2​Naf​[m²/s]， 溶解度 Cref​[mol/m³]。
反应参数：交换电流密度 i0​， 传递系数 α。

球坐标下的常微分方程、非线性边界条件。

催化剂层、团聚体模型、氧传输、PEMFC。

1. 建立团聚体：将CL离散为多个团聚体单元，每个单元为被Nafion包裹的Pt/C球。
2. 求解团聚体方程：给定团聚体表面氧浓度 Cs​和过电位 η， 求解扩散-反应ODE，得到团聚体内部氧分布和总反应电流。
3. 宏观耦合：将团聚体产生的电流作为源项，与CL内的电荷守恒（离子/电子）方程以及气相氧传输方程耦合，迭代求解整个CL的 Cs​和 η分布。
4. 计算性能：得到整个电池的极化曲线。

氧气从气体孔隙溶解到Nafion离子聚合物中，然后向内扩散到Pt催化剂表面，发生氧还原反应。在团聚体中心，氧浓度可能降至零，形成无效区域。流向：氧在Nafion中径向扩散，质子和电子在CL内传导。

阴极催化剂层：Pt/C催化剂颗粒团聚体，被Nafion离子聚合物包裹，形成多孔复合结构，孔隙充满气体（空气）。

材料：催化剂：Pt/C (如 40 wt% Pt on Vulcan)。离聚物：Nafion溶液。
比例：Pt负载量：0.1-0.4 mg Pt/cm²。离聚物与碳比 I/C = 0.6-1.0 (质量比)。
纯度/特征：团聚体半径 Ragg​≈100−200nm。Pt比表面积 APt​≈60−80m2/g。氧在Nafion中扩散系数 DO2​Naf​≈2×10−10m2/s(60°C, 饱和)。
环境参数：电池温度 T=60−80∘C。操作压力 p=1−3atm。氧浓度（空气或纯氧）。

Flow-L1-0334​

地球物理与多相流

火山羽流

火山喷发柱1D浮力羽流模型

火山喷发柱（Plinian柱）的一维积分模型​

1. 控制方程：与气泡羽流类似，但考虑多相（火山灰、气体、岩浆液滴）、热交换、颗粒沉降和卷吸。
2. 方程：沿垂直方向z积分质量、动量、能量和颗粒组分方程：
dzd​(b2wρ)=2αbwρa​
dzd​(b2w2ρ)=gb2(ρa​−ρ)−dzd​(b2w2ρβ)
其中 ρ为羽流平均密度， β为颗粒负载修正， 源项包括颗粒沉降、空气夹带、热膨胀。
3. 中性浮力层：羽流上升至密度与环境相等的高度（中性浮力层，NBL），然后水平铺展形成 umbrella cloud。

能预测喷发柱的最大高度、中性浮力层高度和喷发速率，是火山灰扩散和气候影响评估的输入。模型简化了复杂的湍流和多相相互作用。

浮力羽流理论、积分模型、多相流。

火山喷发柱动力学、火山灰扩散预警、喷发参数反演。特征：模拟高焓、多相混合物在分层大气中的强烈浮力上升。

变量：羽流半径 b(z)， 平均上升速度 w(z)， 密度 ρ(z)， 颗粒质量分数 M(z)。
源项参数：火山口质量排放率 M˙0​[kg/s]， 初始速度 w0​， 初始密度 ρ0​。
颗粒参数：粒径分布， 沉降速度。
大气参数：环境温度、密度、风速的垂直剖面。

常微分方程组、强源项、经验卷吸系数。

火山喷发柱、Plinian、浮力羽流、积分模型、多相。

1. 输入喷发条件：给定火山口处的质量流量、温度、气体和颗粒组成。
2. 初始化：计算初始的 b0​,w0​,ρ0​。
3. 向上积分：从火山口向上积分控制方程组，在每一步：计算空气卷吸、颗粒沉降、与环境的热交换，更新羽流性质。
4. 判断终止：当浮力为负（w=0）或达到预设高度，记录NBL高度和最终柱高。
5. 输出：柱高、质量通量分布等。

高温的火山灰、气体和岩浆液滴混合物从火山口高速喷出，形成浮力羽流。上升过程中，大量环境空气被卷吸并加热，提供持续浮力。颗粒沉降、热损失和大气分层最终使浮力耗尽，羽流在NBL高度转向水平扩散。流向：初始垂直向上，后转为水平。

多相混合物：火山灰（硅酸盐颗粒）、火山气体（H₂O, CO₂, SO₂为主）、空气，可能含有岩浆液滴。

材料：喷出物：安山质或流纹质岩浆碎片、气体。
比例：气体质量分数：1-5%。颗粒中值直径：~100 μm。
纯度/特征：出口温度 T0​=800−1000K。出口密度 ρ0​=0.5−2kg/m3。质量排放率 M˙0​=106−108kg/s(大规模Plinian)。颗粒密度 ρp​=2500kg/m3。
环境参数：大气分层：标准大气或探空数据。风速剖面：影响柱的弯曲。

Flow-L1-0335​

微重力与相变

空间流体物理

液滴沸腾的分子动力学模拟

用于模拟微重力下液滴核态沸腾的分子动力学（MD）模型​

1. 方法：MD模拟原子/分子的运动，牛顿方程：mi​dt2d2ri​​=−∇i​U， 势能 U常用Lennard-Jones势：ULJ​(r)=4ϵ[(rσ​)12−(rσ​)6]。
2. 系统：模拟盒中包含数千至数百万个流体原子，底部设置加热壁面原子（固定或恒温器控制）。
3. 过程：加热壁面，模拟液滴内气泡成核、生长和脱离的全过程，统计热流密度。

能从原子尺度揭示沸腾机理，如临界成核半径、接触线动力学。计算昂贵，只能模拟纳米尺度、皮秒-纳秒过程。

统计力学、分子动力学、Lennard-Jones势。

微重力沸腾传热机理研究、极端润湿表面设计、芯片尺度热管理。特征：原子尺度模拟，无连续介质假设，可研究界面现象。

变量：原子位置 ri​， 速度 vi​， 系统温度 T， 能量 E。
势能参数：LJ参数 ϵ(能量尺度)， σ(长度尺度)， 截断半径 rc​。
系统参数：原子数 N， 时间步长 Δt[fs]， 模拟盒子尺寸。
加热参数：壁面温度 Tw​， 热流。

牛顿运动方程、数值积分、微观尺度。

分子动力学、液滴沸腾、成核、微重力、Lennard-Jones。

1. 初始化：在模拟盒子中放置流体原子形成液滴，设定初始温度。
2. 平衡：在NVT系综下运行一段时间，使系统达到平衡。
3. 加热：对底部壁面原子施加更高温度 Tw​或直接加热，模拟热流注入。
4. 生产运行：在NVE系综下运行，记录原子轨迹。观察液-气界面形成、气泡成核和生长。
5. 分析：计算密度场、温度场、热流、气泡尺寸等。

壁面原子能量传递给附近的流体原子，使其动能增加。过热流体中形成随机的密度波动，当达到临界尺寸时，蒸汽核稳定并生长。气泡在浮力（若存在）和表面张力作用下脱离。MD中无重力，模拟微重力。流向：能量从壁面传入，气泡在壁面成核生长。

Lennard-Jones流体（模拟氩或简化流体），由相互作用的点粒子组成，位于原子级光滑的固体壁面上。

材料：流体：Lennard-Jones原子（参数对应氩）。壁面：面心立方（FCC）晶格排列的LJ原子。
比例：纯LJ流体。
纯度/特征：LJ参数：ϵ/kB​=120K， σ=0.34nm(氩)。液滴尺寸：直径 ~10-20 nm (包含 ~10⁴-10⁵ 个原子)。壁面-流体相互作用强度 ϵwf​可调以改变润湿性。
环境参数：饱和温度 Tsat​≈0.8ϵ/kB​≈96K。壁面过热度 ΔT=20−50K。系统无重力或施加微重力。模拟时间 ~1-10 ns。

Flow-L1-0336​

电流变与智能材料

电流变液微结构

偶极子近似与链化模型

电场诱导电流变液颗粒成链的偶极子模型​

1. 偶极子相互作用：在均匀电场 E0​中，两个球形介电颗粒（半径 a， 介电常数 ϵp​）悬浮于介电液体（ϵf​）中，其诱导偶极矩为 p=4πϵ0​ϵf​a3βE0​， 其中 β=(ϵp​−ϵf​)/(ϵp​+2ϵf​)。两偶极子间沿电场方向的吸引势能为：U=−2πϵ0​ϵf​r3p2​(3cos2θ−1)， 其中 r为球心距， θ为与电场方向的夹角。
2. 链化：当吸引能大于热运动能 kB​T时，颗粒倾向于沿电场方向排列成链。链的屈服应力与链的断裂能相关。

从微观上解释了ER效应的起源和链结构的稳定性。忽略了多体相互作用和链-链相互作用。

静电学、偶极子相互作用、胶体稳定性。

电流变液材料设计、性能机理分析。特征：基于颗粒极化解释场致结构形成。

变量：偶极矩 p， 相互作用能 U， 颗粒间距 r。
材料参数：颗粒介电常数 ϵp​， 液体介电常数 ϵf​， 颗粒半径 a。
电场参数：电场强度 E0​。
热参数：温度 T。

代数公式、势能与距离立方成反比。

电流变液、偶极子模型、链化、介电极化。

1. 计算极化因子：根据颗粒和液体介电常数计算 β。
2. 计算偶极矩：p=4πϵ0​ϵf​a3βE0​。
3. 计算相互作用能：对于沿电场方向接触的两个颗粒 (r=2a,θ=0)， 计算 Ucontact​=−p2/(32πϵ0​ϵf​a3)。
4. 与热运动比较：若 (

U_{contact}

\gg k_B T )， 则链化占主导。

施加电场后，颗粒被极化，产生沿电场方向的偶极矩。相邻颗粒的偶极子头尾相互吸引，使颗粒沿电场方向排列成链状结构。链结构抵抗剪切，宏观表现为屈服应力。流向：颗粒沿电场方向排列。

Flow-L1-0337​

生物流体力学

微循环

Fåhræus–Lindqvist效应模型

描述血液表观粘度随血管直径减小而降低的F-L效应模型​

1. 现象：当血管直径小于约300 μm时，血液的表观粘度 μapp​随管径 D减小而降低。
2. 模型：经验公式：μapp​=μ0​[1+(μ0.45​−1)(1−0.45)C−1(1−HD​)C−1​]， 其中 HD​=HF​(1+1.7e−0.415D−0.6e−0.011D)是管径为 D时的动态血细胞比容， HF​是进血血细胞比容， μ0.45​是 HD​=0.45时的相对粘度， C为常数。更简单的拟合：μapp​=μ0​[1+δ(D−D0​)]， 其中 δ,D0​为参数。
3. 机理：红细胞向轴心迁移（轴向集中），导致管壁附近形成无细胞层，有效降低了流动阻力。

解释了微循环中血液流动阻力低于预期的现象。模型是半经验的，基于体外实验数据。

血液流变学、颗粒-流体相互作用、经验关联。

微血管血流模拟、药物输送、心血管疾病研究。特征：描述血液在微血管中“减阻”的非连续介质效应。

变量：表观粘度 μapp​[mPa·s]， 血管直径 D[μm]， 动态血细胞比容 HD​。
血液参数：血浆粘度 μ0​， 进血血细胞比容 HF​， 红细胞变形性。
经验参数：μ0.45​, C, 或 δ,D0​。

经验公式、与管径和血细胞比容相关。

Fåhræus-Lindqvist效应、血液表观粘度、微循环。

1. 确定条件：给定血管直径 D和进血血细胞比容 HF​。
2. 计算动态血细胞比容：使用公式计算 HD​(D,HF​)。
3. 计算相对粘度：使用 HD​和参考粘度模型（如Quemada模型）或直接使用上述经验公式计算 μapp​。
4. 应用：在微血管流动模拟中使用 μapp​作为局部粘度。

血液在细管中流动时，红细胞受到升力作用向管轴迁移，导致管壁附近形成一层几乎没有细胞的血浆层。这层血浆润滑了流动，使得核心区的红细胞悬浮液仿佛在一个“滑移”的套管内流动，整体阻力减小。流向：沿血管轴向。

血液（红细胞悬浮于血浆中）在直径 5-300 μm 的微血管中流动。

材料：人全血。
比例：进血血细胞比容 HF​=0.4−0.5。
纯度/特征：血浆粘度 μ0​=1.2mPa⋅s。在 D=300μm时， 表观粘度 μapp​≈3.5mPa⋅s(H=0.45)。在 D=40μm时， μapp​≈2.0mPa⋅s。红细胞直径 ~8 μm。
环境参数：体温 T=37∘C。剪切率范围：在微血管中可高可低。

Flow-L1-0338​

磁流体与天体物理

吸积盘理论

α-盘模型（Shakura-Sunyaev 模型）

用于描述黑洞/年轻恒星周围吸积盘的α-粘度模型​

1. 核心假设：吸积盘的角动量转移由湍流粘性提供，其粘度系数参数化为 ν=αcs​H， 其中 α是 dimensionless viscosity parameter (通常 0.01-0.1)， cs​为等温声速， H为盘厚度。
2. 稳态结构：在稳态、薄盘近似下，求解质量、角动量和能量守恒方程，得到盘的面密度 Σ(R)、温度 T(R)和辐射通量 F(R)的径向分布。
3. 应用：预测吸积盘的光谱能量分布（SED）。

是吸积盘理论的标准模型，形式简洁，物理图像清晰。但 α是自由参数，其物理起源（磁旋转不稳定性MRI）是后来才明确的。

流体力学、角动量转移、湍流粘度参数化。

活动星系核、X射线双星、原行星盘的结构与演化。特征：用唯象的α参数描述湍流粘度，构建吸积盘的整体结构。

变量：表面密度 Σ(R)， 温度 T(R)， 盘厚度 H(R)， 径向速度 vR​(R)。
中心天体参数：质量 M， 吸积率 M˙。
粘度参数：α。
辐射机制：光学薄/厚， 冷却函数。

代数与微分方程结合、径向分布函数。

吸积盘、α-盘模型、Shakura-Sunyaev、湍流粘度。

1. 建立方程：写出柱坐标下的质量、角动量和能量守恒方程，使用 ν=αcs​H并采用薄盘近似（H/R≪1）。
2. 求解稳态：假设稳态，从角动量方程解得 νΣ的径向分布。结合状态方程、能量方程（局部产生的粘性耗散热等于辐射冷却）和垂直平衡方程，解得 Σ(R),T(R),H(R)等。
3. 计算辐射：根据温度分布，计算黑体或多色黑体辐射，得到理论SED。

气体在中心天体引力作用下沿近似开普勒轨道旋转。湍流粘性使气体向外转移角动量，从而允许内区气体逐渐向内（“吸积”）落向中心天体。吸积过程中，引力势能转化为热能并通过辐射冷却。流向：总体向内（径向），同时绕中心旋转。

完全电离的高温等离子体（如黑洞吸积盘）或低温气体与尘埃混合物（如原行星盘），处于湍流状态。

材料：吸积气体：氢等离子体（AGN）或分子气体+尘埃（原行星盘）。
比例：宇宙丰度（H:He ~ 10:1）。
纯度/特征：原行星盘例子：中心恒星质量 M=1M⊙​。吸积率 M˙=10−8M⊙​/yr。α参数 ~0.01。盘尺度：0.1-100 AU。温度范围：内区（1 AU）~1000 K， 外区（10 AU）~100 K。
环境参数：引力场由中心天体主导。辐射场：来自中心星和盘自身。

Flow-L1-0339​

多相流与反应工程

鼓泡床反应器

双气泡模型（Two-Bubble Model）

用于描述鼓泡床反应器中气液两相流动与反应的双气泡模型​

1. 假设：将床层中的气泡分为两类：快气泡（大，上升快，含少量颗粒）和慢气泡/乳化相（小气泡或液体+颗粒，上升慢或向下运动）。气体交换发生在两者之间。
2. 模型方程：对快气泡相（b）和慢气泡/乳化相（e）分别列出组分质量守恒：
ub​dzdCi,b​​=Kbe​a(Ci,e​−Ci,b​)−(1−δb​)Ri,b​
ue​dzdCi,e​​=Kbe​a(Ci,b​−Ci,e​)−(1−δe​)Ri,e​−ϵmf​Umf​A​(Ci,e​−Ci,in​)
其中 Kbe​a为相同交换系数， δb​,δe​为相应相含率。
3. 应用：预测鼓泡床反应器转化率、选择性。

比单相平推流模型更准确，能考虑气泡大小分布和相同交换的影响。是理想化的两区模型。

多相反应工程、分区模型、质量守恒。

流化床催化反应器（如费托合成、丙烯氢氧化）、鼓泡床生物反应器。特征：用两个相互作用的理想反应区模拟实际非均匀鼓泡床。

变量：各相组分浓度 Ci,b​(z),Ci,e​(z)， 相同交换通量。
流体力学参数：快/慢气泡速度 ub​,ue​， 相含率 δb​,δe​， 相同交换系数 Kbe​a[1/s]。
反应参数：各相反应速率 Ri,b​,Ri,e​。
操作参数：表观气速 Ug​， 临界流化速度 Umf​。

耦合的常微分方程组、相同质量交换项。

鼓泡床、双气泡模型、气液反应、相同交换。

1. 参数估计：根据操作条件（Ug​,Umf​）和物性，估算 ub​,ue​,δb​,δe​,Kbe​a（常用经验关联式）。
2. 建立方程：对每个反应组分，列出快慢两相的ODE。
3. 边界条件：入口处，所有气体进入快气泡相：Ci,b​(0)=Ci,in​,Ci,e​(0)=0或与进口平衡。
4. 数值求解：从 z=0到 H积分ODE组，得到出口浓度和总转化率。

大气泡（快气泡）快速穿过床层，与乳化相（慢气泡/液体+催化剂）进行气体交换。反应在催化剂表面（主要存在于乳化相）发生。乳化相中的气体可能向下运动（环流）。流向：快气泡向上，乳化相可能向上或向下环流。

气相反应物分散于液相中，催化剂颗粒悬浮于液相内（浆态鼓泡床）或构成流化床（气固鼓泡床）。

材料：气相：空气。液相：水。催化剂：活性炭或生物催化剂颗粒。
比例：催化剂负载量：10-40 vol%。
纯度/特征：表观气速 Ug​=0.05−0.3m/s。临界流化速度 Umf​≈0.01m/s。快气泡含率 δb​≈0.1−0.3。相同交换系数 Kbe​a≈0.5−5s−1。
环境参数：温度 T=20−60∘C。压力 p=0.1−1MPa。床高径比 H/D=3−10。

Flow-L1-0340​

非牛顿流体与润滑

生物润滑

双网状水凝胶润滑的Flory-Rehner模型

用于描述水凝胶关节软骨润滑的Flory-Rehner渗透压模型​

1. 材料：关节软骨是一种充满水（~80%）的胶原-蛋白聚糖水凝胶。
2. 模型：在载荷下，水凝胶中的水被挤出，固体网络被压缩。平衡时，外部压力 p与凝胶内部的渗透压 Πosm​和弹性回复压力 Πel​平衡：p=Πosm​+Πel​。
3. 渗透压：Flory-Rehner理论：Πosm​=−vw​RT​[ϕ+ln(1−ϕ)+χϕ2]， 其中 ϕ为聚合物体积分数， χ为Flory-Huggins相互作用参数， vw​为水的偏摩尔体积。
4. 润滑：挤出的水在关节面间形成润滑膜。

从热力学角度描述水凝胶的承压和渗流行为，是理解关节软骨双相力学的基础。模型是平衡态理论。

聚合物溶液热力学、弹性理论、渗透压。

人工软骨材料设计、关节润滑机理、软组织生物力学。特征：描述多孔可渗透材料在压力下流体渗出和固体变形的耦合。

变量：聚合物体积分数 ϕ， 渗透压 Πosm​， 弹性应力 Πel​， 外部压力 p。
材料参数：Flory-Huggins参数 χ， 水偏摩尔体积 vw​， 剪切模量 G(用于 Πel​)。
初始条件：初始含水率， 初始聚合物分数 ϕ0​。

代数方程、非线性渗透压表达式。

水凝胶、软骨、Flory-Rehner模型、渗透压、双相材料。

1. 加载：对水凝胶施加外部压力 p。
2. 平衡计算：在给定 p下，求解方程 p=Πosm​(ϕ)+Πel​(ϕ)， 得到平衡时的聚合物分数 ϕ。
3. 计算流体渗出：初始和平衡时的水含量差即为被挤出的水体积，这提供了边界润滑的流体来源。
4. 润滑分析：挤出的水在滑动表面间形成薄膜，计算膜厚和承载能力。

当软骨受到挤压时，内部的自由水在渗透压差驱动下，从高孔隙压力区流向低压力区（关节面间隙）。水被挤出后，固体网络压缩，弹性压力增加，最终与外部压力和渗透压平衡。挤出的水在关节面间起润滑作用。流向：水从软骨内部向接触面边缘渗出。

关节软骨：胶原纤维网络和蛋白聚糖凝胶组成的多孔、可渗透、含水的软组织。

材料：关节软骨（主要成分：水、II型胶原、蛋白聚糖）。
比例：水含量：~80 wt%。胶原：~15 wt%。蛋白聚糖：~5 wt%。
纯度/特征：初始固体体积分数 ϕ0​≈0.2。Flory参数 χ≈0.49。渗透压 Πosm​在 ϕ=0.2时约为 0.1-0.2 MPa。剪切模量 G≈0.5−1MPa。
环境参数：体温 T=37∘C。关节接触压力 p=1−10MPa。

Flow-L1-0341​

磁流体与空间推进

无电极等离子体推进（MPDT）

自洽准一维磁流体动力学（MHD）模型

用于无电极MPDT性能分析的准一维MHD模型​

1. 控制方程：在喷嘴几何下，求解稳态、一维、可压缩、有磁源项的欧拉方程：
dxd​(ρuA)=0
dxd​(ρu2A+pA)=pdxdA​+jθ​Br​A
dxd​[ρuA(h+2u2​)]=jθ​Eθ​A
其中 jθ​Br​为洛伦兹力源项， jθ​Eθ​为焦耳加热源项。
2. 电磁场：假设电流密度 jθ​和磁场 Br​的剖面，或与电路方程耦合。
3. 本构：真实气体状态方程、电导率模型 σ(T,p)。

能快速估算MPDT的推力和比冲，分析参数影响。简化了二维/三维效应，但物理完整。

可压缩流体力学、磁流体动力学、欧拉方程与源项耦合。

无电极等离子体推进器（如MPD推力器、VASIMR）性能评估与设计。特征：模拟电磁场与高温可压缩等离子体流动的耦合。

变量：密度 ρ(x)， 速度 u(x)， 压力 p(x)， 焓 h(x)， 通道面积 A(x)。
工质参数：气体种类（氩、氙）， 真实气体属性， 电导率模型。
电磁参数：总电流 I， 自感应磁场分布 B(r)， 电场 E。
几何参数：喷管型线 A(x)。

常微分方程组、非线性、包含电磁源项。

无电极等离子体推进、准一维MHD、MPDT、洛伦兹力。

1. 输入：给定工质、质量流量 m˙、总电流 I、入口条件 (p0​,T0​,u0​≈0) 和喷管几何。
2. 计算电磁场：根据电流分布假设，计算沿程的 jθ​(x)和 Br​(x)。
3. 求解流动：从入口开始，数值积分准一维MHD方程，更新 ρ,u,p,T等。
4. 更新物性：根据当地的 T,p更新电导率 σ、比热等，计算焦耳加热。
5. 迭代：可能需要迭代直到电磁场与流动解自洽。
6. 输出：出口参数，计算推力 F=m˙ue​+(pe​−p∞​)Ae​和比冲。

工质气体电离成等离子体。轴向电流和自感应的径向磁场相互作用产生周向的洛伦兹力 (jθ​×Br​)，加速等离子体轴向喷出。焦耳加热 (j⋅E) 使等离子体升温膨胀，进一步加速。流向：主要沿喷管轴向。

高温、部分电离的推进剂等离子体（如氙、氩），在电磁场中加速膨胀。

材料：推进剂：氙气 (Xe)。
比例：纯氙。
纯度/特征：氙原子量 131.3， 电离能 12.13 eV。典型放电电流 I=100−1000A。质量流量 m˙=1−10mg/s。等离子体温度 T=10000−20000K。电导率 σ∼103−104S/m。
环境参数：背景压力：空间真空 (<10⁻³ Pa)。入口储气压力 ~0.1-1 atm。

Flow-L1-0342​

微重力与毛细作用

空间流体管理

接触线钉扎与滞后模型

描述接触线在粗糙/非均匀表面上钉扎的力平衡模型​

1. 现象：接触线在固体表面运动时，其接触角不是单一值，而是在前进角 θA​和后退角 θR​之间变化，差值 Δθ=θA​−θR​为接触角滞后。
2. 模型：接触线被表面缺陷（粗糙度、化学不均）钉扎。为使其移动，需施加的力（或毛细压力）需克服由滞后引起的阻力：Δppinning​=R2σ​(cosθR​−cosθA​)≈R2σ​Δθsinθ0​(小滞后)， 其中 R为弯月面曲率半径， θ0​为平衡接触角。
3. 应用：在微重力 PMD 中，需确保毛细压力 > 钉扎阻力，以控制液体位置。

解释了接触线运动的阻力和滞后现象，是微重力流体管理、涂层、印刷等领域的关键模型。

界面力学、表面科学、力平衡。

微重力推进剂管理、喷墨打印、自清洁表面设计。特征：描述接触线在微观缺陷上的钉扎和脱钉过程。

变量：接触角 θ， 钉扎力/压力 Δppinning​， 接触线位置。
表面参数：前进角 θA​， 后退角 θR​， 平衡角 θ0​， 表面粗糙度 RMS， 化学图案尺寸。
流体参数：表面张力 σ。
几何参数：弯月面曲率半径 R。

代数公式、基于接触角差。

接触线钉扎、接触角滞后、毛细作用、微重力。

1. 表面表征：测量或估计表面的 θA​和 θR​（如通过倾斜板法）。
2. 计算钉扎阻力：对于给定的弯月面（如筛网孔隙），计算 Δppinning​。
3. 比较驱动力：计算驱动接触线运动的毛细压力（如来自加速度或主弯月面）。
4. 判断运动：若驱动力 > Δppinning​， 接触线将脱钉前进或后退；否则被钉扎。

接触线停留在表面缺陷处，需要额外的力（表现为接触角变化）才能使其脱钉并继续运动。前进时接触角增大至 θA​， 后退时减小至 θR​。脱钉过程是不连续的（跳跃）。流向：接触线沿表面法向移动的方向。

液体（如推进剂、水）在具有微观粗糙度或化学非均匀性的固体表面上。

材料：液体：无水肼 (N₂H₄)。固体表面：钛合金， 有氧化层和可能的污染。
比例：不涉及。
纯度/特征：肼表面张力 σ=0.066N/m。在钛上， θA​≈30∘， θR​≈10∘， Δθ≈20∘。筛网孔隙半径 R=10μm， 则 Δppinning​≈240Pa。
环境参数：温度 T=20∘C。微重力环境。

Flow-L1-0343​

电流变与振动控制

智能阻尼器

Bingham模型与振动系统耦合

基于Bingham模型的电流变阻尼器力学模型​

1. 阻尼力：对于平行板式剪切模式ER阻尼器，阻尼力 Fd​由库仑力（屈服应力）和粘性力组成：
Fd​=Fc​sgn(x˙)+Cv​x˙=τy​(E)Ap​sgn(x˙)+hηAp​​x˙
其中 Ap​为极板有效面积， h为间隙， x˙为相对速度。
2. 系统方程：阻尼器连接质量-弹簧系统：mx¨+Fd​(x˙,E)+kx=F0​sin(ωt)。
3. 控制：通过调节电场 E实时控制 τy​， 从而改变阻尼力，实现半主动振动控制。

是设计ER阻尼器的核心模型，形式简单，物理意义明确。忽略了流体的惯性、压缩性和瞬态响应。

非牛顿流体力学、振动理论、智能结构控制。

车辆悬架系统、建筑结构抗震、精密仪器隔振。特征：阻尼力可电控，实现自适应振动抑制。

变量：阻尼力 Fd​， 相对位移 x， 速度 x˙， 加速度 x¨， 电场 E。
ER流体参数：屈服应力 τy​(E)， 零场粘度 η。
阻尼器几何：有效面积 Ap​， 间隙 h。
结构参数：质量 m， 刚度 k， 激励幅值 F0​， 频率 ω。

分段线性阻尼模型、非线性振动方程。

电流变阻尼器、Bingham模型、半主动控制、振动抑制。

1. 施加激励：系统受到基础激励或力激励 F(t)。
2. 控制策略：根据测量的响应（如 x˙）和预设控制律（如天棚控制），计算所需的阻尼力或目标 τy​。
3. 调节电场：根据目标 τy​反算所需的电压 V=Eh并施加。
4. 求解运动方程：数值积分包含可控阻尼力 Fd​(x˙,E)的运动方程，得到系统响应。
5. 评估：比较控制前后的振动幅值，评估控制效果。

当阻尼器活塞与缸体发生相对运动时，ER流体在间隙内受剪切。电场关断时，阻尼力主要为粘性力；电场开启时，产生额外的库仑阻尼力，且与速度方向相反。通过快速开关或调节电场，可以实时改变阻尼特性。流向：流体在平行板间隙内作简单剪切流动。

电流变液（如SiO₂/硅油）填充于活塞-缸体阻尼器腔内，电场施加于活塞和缸体之间。

材料：ER流体：SiO₂颗粒/硅油。阻尼器材料：钢。
比例：颗粒体积分数 ϕ=20−30%。
纯度/特征：零场粘度 η=0.2−1Pa⋅s。屈服应力 τy​=1−5kPa(在 3 kV/mm下)。间隙 h=0.5−2mm。有效面积 Ap​=10−50cm2。
环境参数：工作温度 T=−20 至 80∘C。激励频率 f=0.1−10Hz。控制电压 V=0−5kV。

Flow-L1-0344​

生物流体与微流控

细胞分选

确定性侧向位移（DLD）的临界尺寸模型

用于设计DLD阵列分离细胞的临界尺寸模型​

1. 原理：在倾斜排列的微柱阵列中，流线被分割。大于临界尺寸 Dc​的颗粒与柱体碰撞，运动方向发生净偏转（位移模式）；小于 Dc​的颗粒跟随流线，不发生净偏转（zigzag模式）。
2. 临界直径：经验公式 Dc​≈1.4Gϵ0.48， 其中 G为柱间隙， ϵ=tanθ为阵列倾斜角的正切（θ为倾斜角）。更精确的模型考虑雷诺数影响：Dc​=1.8Gϵ0.44Re0.09。
3. 分离：通过选择 G和 ϵ， 使目标细胞尺寸 Dtarget​>Dc​， 背景细胞 Dbg​<Dc​。

能高精度、高通量、无标记地按尺寸分离细胞或颗粒。设计简单，分离纯度/回收率高。

低雷诺数流体力学、颗粒-流线相互作用、几何筛选。

循环肿瘤细胞（CTC）分离、血细胞分型、外泌体富集。特征：无需标记，连续流操作，分离阈值由几何决定。

变量：临界直径 Dc​， 颗粒直径 Dp​， 偏移角 ϕ。
阵列参数：柱间隙 G[μm]， 柱直径 Dpost​， 倾斜角 θ或 ϵ， 周期 λ。
流动参数：平均流速 U， 雷诺数 Re=ρUG/μ。
颗粒参数：尺寸 Dp​。

代数公式、几何参数决定临界尺寸。

确定性侧向位移、DLD、临界尺寸、细胞分选。

1. 设计目标：确定要分离的两种颗粒尺寸 Dsmall​,Dlarge​。
2. 选择参数：选择 G和 ϵ， 使得 Dc​满足 Dsmall​<Dc​<Dlarge​。例如，分离 10 μm 和 15 μm 颗粒，可设 Dc​=12μm。
3. 加工芯片：通过软光刻在PDMS上制作DLD阵列。
4. 实验验证：用已知尺寸的颗粒标定实际 Dc​。
5. 分离样品：将样品悬液以一定流速泵入，在出口收集不同馏分。

流体在微柱阵列中流动，形成周期性的流线。小颗粒能紧密跟随流线，在柱间“之字形”前进。大颗粒因其尺寸无法完全跟随收缩区的流线，与柱体发生碰撞，导致其运动方向发生净偏转，最终从主流中分离出来。流向：总体沿芯片轴向，大颗粒轨迹被偏转。

细胞（如白细胞、CTC）或聚苯乙烯微球悬浮于缓冲液（PBS）中，在低雷诺数下流经微柱阵列。

材料：颗粒/细胞：白细胞 (WBC, 8-12 μm)， 循环肿瘤细胞 (CTC, 15-25 μm)。缓冲液：PBS。
比例：细胞浓度 ~10⁶ cells/mL。
纯度/特征：PBS粘度 μ=1mPa⋅s。典型DLD几何：G=20μm， Dpost​=30μm， ϵ=0.05−0.2。流速 U=1mm/s， Re∼0.02。计算得 Dc​≈1.4∗20∗0.10.48≈8.8μm， 可分离CTC与WBC。
环境参数：温度 T=20−25∘C。

Flow-L1-0345​

地球物理与多相流

含水层修复

空气注入法（空气喷射）模型

用于修复地下水NAPL污染的空气喷射（Air Sparging）模型​

1. 过程：将空气注入饱和区，形成气泡羽流，通过挥发和吹脱将NAPL污染物转移到气相，并提升到非饱和区处理。
2. 模型：多相流（水、气、NAPL）模型，包含空气注入井、气泡上升、气-水-NAPL之间的传质（挥发、溶解）。控制方程包括各相的质量守恒（达西定律）、组分输运和相平衡（亨利定律）。
3. 简化：常将气泡羽流区视为高渗透区，用两区模型（羽流区/背景区）模拟。

能模拟空气喷射过程中污染物的去除效率和影响半径，优化注入参数。模型复杂，涉及多相多组分耦合。

多孔介质多相流、达西定律、对流传质、相平衡。

加油站地下汽油污染修复、氯化溶剂污染场地治理。特征：利用注入空气产生的物理（挥发）和生物（好氧降解）过程修复地下水。

变量：水相压力 pw​， 气相压力 pg​， 水饱和度 Sw​， 气相饱和度 Sg​， 污染物浓度（水相 Cw​， 气相 Cg​）。
介质参数：渗透率 k， 孔隙率 ϕ， 毛细压力曲线。
传质参数：亨利常数 H， 挥发速率常数。
操作参数：注气流量 Qg​， 注气压力 pinj​。

耦合的非线性偏微分方程组、多相达西定律、对流-扩散-反应。

空气喷射、地下水修复、多相流、挥发、NAPL。

1. 建立模型：定义含水层几何、污染源分布、注气井位置。
2. 初始化：设定初始水饱和度和污染物分布。
3. 模拟注气：在注气井施加气体流量或压力边界条件，求解气-水两相流动，得到压力场和饱和度分布。
4. 模拟传质：求解污染物在各相中的输运方程，在气-水界面应用亨利定律平衡或动力学传质模型。
5. 长期模拟：模拟污染物浓度随时间的衰减，评估修复效果。

空气从注入井进入饱和含水层，形成气泡通道向上迁移。空气流经污染区时，污染物从水相和NAPL相挥发进入气相，被气流携带至非饱和区，进而被土壤气相抽提系统（SVE）捕获。流向：空气从注入井径向和垂向流动，总体向上。

地下水（水相）、空气（气相）、不混溶的NAPL污染物（如汽油、TCE）组成的三相系统，存在于多孔介质中。

材料：污染物：四氯乙烯 (PCE)。流体：地下水， 注入空气。
比例：PCE初始饱和度（作为残余相） Sn​≈0.05−0.2。
纯度/特征：PCE密度 1620 kg/m³， 粘度 0.9 mPa·s， 亨利常数 H≈0.9(无量纲)。含水层渗透率 k=10−10m2(中砂)。孔隙率 ϕ=0.3。
环境参数：地下水温度 T=10∘C。注气流量 Qg​=1−10m3/hr。注气压力略高于静水压。

Flow-L1-0346​

磁流体与天体物理

星系际介质

星系团内介质（ICM）的流体力学模型

描述星系团内热等离子体流动的流体力学方程​

1. 控制方程：ICM可视为理想、可压缩、无碰撞（高电导率）等离子体，满足 Euler 方程加上引力源项：
∂t∂ρ​+∇⋅(ρv)=0
∂t∂(ρv)​+∇⋅(ρvv)=−∇p−ρ∇Φ
∂t∂E​+∇⋅[(E+p)v]=−ρv⋅∇Φ+H−C
其中 E=γ−1p​+21​ρv2， Φ为引力势， H,C为加热和冷却函数。
2. 状态：通常假设理想气体状态方程 p=μmp​ρkB​T​。

是模拟星系团形成、演化、合并以及其中激波、湍流等过程的基础模型。忽略了磁场、宇宙射线和非平衡过程。

气体动力学、引力、欧拉方程。

星系团形成模拟、宇宙大尺度结构、X射线观测解释。特征：模拟千万光年尺度、数千万度高温等离子体的动力学。

变量：密度 ρ， 速度 v， 压力 p， 温度 T， 总能量 E。
引力势：由暗物质分布 ρDM​决定，求解泊松方程 ∇2Φ=4πG(ρ+ρDM​)。
加热/冷却：辐射冷却函数 Λ(T)， 反馈加热（AGN, 超新星）模型。
初始条件：宇宙学初始条件。

双曲型偏微分方程组、包含引力源项。

星系团、星系际介质、流体力学、引力、宇宙学模拟。

1. 宇宙学设置：在某个红移（如z=50）设置初始密度扰动，与暗物质模拟耦合或使用预设的暗物质势阱。
2. 数值求解：在共动坐标系下，使用有限体积法（如在 AREPO, GADGET, ENZO 等代码中）求解流体方程和引力。
3. 包含物理过程：加入辐射冷却、恒星形成、反馈加热等子网格物理模型。
4. 演化：从高红移积分到当前宇宙（z=0），得到星系团内气体的分布、温度、速度场。
5. 合成观测：根据模拟结果生成X射线表面亮度图、Sunyaev-Zel'dovich效应图等，与观测对比。

气体在暗物质势阱的引力作用下被吸引、加热、形成激波。在团中心，气体密度高，辐射冷却强，可能形成冷却流，但被活动星系核（AGN）反馈加热所平衡。星系团合并时，会产生大规模激波和湍流。流向：气体总体向势阱中心内流，但存在复杂的环流和扰动。

星系团内介质：完全电离的稀薄等离子体，主要是氢和氦，含有重元素（~1/3 太阳丰度），温度 ~10⁷-10⁸ K， 密度 ~10⁻³-10⁻¹ cm⁻³。

材料：等离子体：氢、氦离子， 电子， 少量重元素离子。
比例：按宇宙丰度：氢质量分数 ~0.75， 氦 ~0.25， 金属（Z>2）~0.01。
纯度/特征：平均分子量 μ≈0.6。温度 T=1−10keV≈(1−10)×107K。电子数密度 ne​=10−4−10−2cm−3。声速 ~1000 km/s。
环境参数：引力势：由暗物质晕主导，质量 MDM​=1014−1015M⊙​。宇宙学背景：膨胀宇宙。

Flow-L1-0347​

量子流体

极低温物理

量子涡旋动力学模型

描述超流氦（He II）中量子化涡旋线演化的 Schwarz 模型​

1. 量子化涡旋：在 He II 中，环流量是量子化的：∮vs​⋅dl=nκ， 其中 κ=h/m4​≈9.97×10−8m2/s是量子环流量， n为整数。
2. Schwarz 方程：描述涡线元在超流和正常流体共同作用下的运动：
s˙=vs​+αs’×(vn​−vs​−vi​)−α’s’×[s’×(vn​−vs​−vi​)]
其中 s(ξ,t)是涡线参数方程， s’=∂s/∂ξ， vi​是涡线的自诱导速度， α,α’是与温度相关的摩擦系数。
3. 应用：模拟量子湍流、涡线重联、热流阻力。

是描述量子涡旋演化的经典微观模型，基于物理原理。数值求解复杂，需跟踪涡线的拓扑变化。

量子流体力学、涡旋动力学、相互摩擦理论。

超流氦量子湍流研究、低温流体阻力预测、量子流体器件设计。特征：在原子尺度以上描述量子化涡旋的复杂运动。

变量：涡线位置 s(ξ,t)， 超流速度 vs​， 正常流体速度 vn​。
涡旋参数：量子环流量 κ， 涡线线张力 T=(ρs​κ2/(4π))ln(l/a0​)， 其中 a0​≈10−10m是涡核半径。
摩擦系数：α(T),α’(T)由实验测量。
数值参数：涡线离散段数， 时间步长。

矢量偏微分方程、非线性的几何演化。

量子涡旋、Schwarz模型、超流氦、涡线动力学。

1. 初始化涡线：给定初始涡线构型，如涡环或涡旋丛。
2. 计算速度场：根据 Biot-Savart 定律计算所有涡线段对彼此产生的诱导速度 vi​。
3. 计算演化速度：根据 Schwarz 方程，计算每个涡线段在局部 vs​,vn​,vi​作用下的运动速度 s˙。
4. 推进涡线：用数值方法（如 Runge-Kutta）更新涡线段位置。
5. 拓扑操作：检测涡线之间的接近程度，若小于核尺寸则进行重联（reconnection）操作。
6. 统计分析：计算涡线总长度、谱能量等统计量。

量子化的涡线在超流背景中运动，受到超流速度、正常流体的摩擦以及涡线自身张力和相互诱导速度的影响。涡线可以拉伸、弯曲、重联，形成复杂的量子湍流状态。流向：由超流速度、相互诱导速度和摩擦共同决定。

超流氦-4 (He II)， 温度低于 lambda 点 (2.17 K)， 是超流体和正常流体的混合物。量子涡旋存在于超流组分中。

材料：氦-4 (⁴He)。
比例：纯物质。
纯度/特征：在 T=1.6K：ρs​/ρ≈0.9， α≈0.1， α’≈0.02。涡核半径 a0​≈1A˚。量子环流量 κ=9.97×10−8m2/s。
环境参数：温度 T=0.1−2.17K。压力：饱和蒸气压附近。背景流（如有）速度 vs​,vn​∼0−10cm/s。

Flow-L1-0348​

非牛顿流体（剪切增稠）

冲击防护

剪切增稠流体（STF）的微观力学模型

基于“水动力学团聚”机制的剪切增稠流体本构模型​

1. 机理：在高剪切率下，悬浮液中颗粒间产生的强水动力相互作用克服排斥力，形成瞬时的颗粒团簇（jamming clusters），导致粘度急剧上升。
2. 本构模型：常用一种能捕捉不连续剪切增稠（DST）的本构，如 Wyart-Cates 模型：有效摩擦系数 μ(J)=μ1​+(μ2​−μ1​)/(1+J0​/J)， 其中 J=γ˙​/P是惯性数， P为颗粒压力。粘度与 μ相关。更工程化的模型是带临界剪切率的 Carreau-like 模型：η(γ˙​)=η∞​+(η0​−η∞​)[1+(λγ˙​)2](n−1)/2+ΔηH(γ˙​−γ˙​c​)， 其中 H是阶跃函数。
3. 应用：设计防刺、减震材料。

能定性描述 DST 行为，但模型参数与微观结构（颗粒形状、表面性质、溶剂）强烈相关，难以预测。

胶体悬浮液流变学、jamming 转变、水动力相互作用。

液体防弹衣、智能阻尼器、运动防护装备。特征：粘度随剪切率增加而急剧升高，能瞬间“硬化”吸收冲击能量。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​， 表观粘度 η。
流变参数：零剪切粘度 η0​， 高剪切极限粘度 η∞​， 临界剪切率 γ˙​c​， 增稠幅度 Δη， 特征时间 λ。
悬浮液参数：颗粒体积分数 ϕ(接近 jamming 体积分数 ϕJ​)， 颗粒尺寸与形状， 溶剂粘度。

分段或跳跃的本构关系、可能存在滞后。

剪切增稠流体、DST、jamming、冲击防护。

1. 样品制备：将单分散球形颗粒（如二氧化硅）高浓度分散于低分子量聚乙二醇（PEG）中。
2. 流变测量：用流变仪进行稳态剪切扫描，测量 τ(γ˙​)曲线，观察粘度突变。
3. 模型拟合：用包含跳跃项的模型拟合实验数据，得到 γ˙​c​,Δη等参数。
4. 性能评估：在冲击测试中，评估 STF 复合材料的能量吸收能力。

在低剪切率下，颗粒被排斥力分隔，流体表现为剪切变稀。当剪切率超过临界值，颗粒间产生的水动力吸引力占主导，导致颗粒瞬间团聚、锁死，流道堵塞，粘度跃升数个量级。冲击过后，剪切率降低，结构解体，恢复流体状态。流向：由外部剪切驱动。

高浓度（通常 ϕ>0.5）的单分散硬颗粒（如气相法二氧化硅， 直径 ~100-500 nm）分散于低粘度、高沸点的牛顿流体（如聚乙二醇PEG）中。

材料：颗粒：气相法二氧化硅 (SiO₂)。分散介质：聚乙二醇 (PEG 200)。
比例：颗粒体积分数 ϕ=0.5−0.6。
纯度/特征：颗粒直径 d=300nm。PEG粘度 ηs​≈0.05Pa\cdotps。零剪切粘度 η0​≈1−10Pa\cdotps。临界剪切率 γ˙​c​≈1−100s−1。增稠幅度 Δη可达 103−104Pa\cdotps。
环境参数：温度 T=20−30∘C。剪切率范围：0.1-1000 s⁻¹。

Flow-L1-0349​

活性物质与生物流体

细菌湍流

活性流体的大尺度统计模型

描述高浓度细菌悬浮液湍流态的能量谱模型​

1. 现象：在高浓度（~10¹⁰ cells/mL）的游动细菌（如大肠杆菌）悬浮液中，即使雷诺数很低（Re≪1），也会观察到类似惯性湍流的速度场和能谱 E(k)。
2. 模型：能量注入发生在细菌个体尺度（~10 μm），能量级串到更大尺度。观测到的能谱符合 E(k)∝k−ν， 其中 ν在 -3 到 -5/3 之间，不同于经典湍流。
3. 理论：基于 active stress 的流体力学方程线性稳定性分析预测了自发流动的 onset， 数值模拟可再现能谱。

提供了生命系统产生混沌流动的一种物理框架，连接了微观活性和宏观输运。模型仍在发展中，未形成如NS方程般的普适理论。

活性物质物理、低雷诺数湍流、能量级串。

理解生物混合、微生物群落动力学、活性物质输运。特征：在零平均雷诺数下产生混沌流动，能量从微观活性注入。

变量：速度场 u(x,t)， 涡量场 ω(x,t)， 能谱 E(k)。
活性参数：细菌数密度 n， 游泳速度 v0​， 转动扩散系数 Dr​。
系统参数：系统尺寸 L， 流体粘度 η。
统计量：能谱指数 ν， 相关长度 ξ。

修正的Stokes方程、数值模拟、能谱分析。

细菌湍流、活性流体、低雷诺数湍流、能谱。

1. 实验观测：用粒子图像测速（PIV）测量高浓度细菌悬浮液的二维速度场。
2. 计算能谱：对速度场做空间傅里叶变换，计算能谱 E(k)。
3. 理论拟合：将实验能谱与理论标度律（如 k−3或 k−5/3）比较，确定指数 ν。
4. 数值模拟：用 active nematics 或 particle-based 模型模拟，尝试重现实验能谱和结构。

每个细菌的自主游动产生微观的力偶，在流体中产生流场。在足够高的浓度下，细菌间的流体动力学相互作用和碰撞导致其取向发生长程关联，产生大尺度的相干结构和混沌流动，能量从细菌尺度（~10 μm）级串到系统尺度（~100 μm）。流向：无平均方向，呈混沌变化。

高浓度的游动型细菌（如大肠杆菌）悬浮于 motility buffer 或稀薄培养基中。

材料：细菌：大肠杆菌 (E. coli, 游动型)。悬浮介质： motility buffer (不含营养)。
比例：细菌体积分数 ϕ≈0.1−0.2， 对应数密度 n≈1010−1011cells/mL。
纯度/特征：细菌尺寸 ~1×2 μm， 游泳速度 v0​≈20μm/s。流体粘度 η≈1mPa\cdotps。能谱测量尺度：2-200 μm。观测到能谱 E(k)∝k−3在中间波数范围。
环境参数：温度 T=30−37∘C。氧浓度充足。样品厚度 ~50-100 μm (准二维)。

Flow-L1-0350​

环境流体力学

地下水修复

可渗透反应墙（PRB）的流动与反应耦合模型

模拟地下水通过可渗透反应墙（零价铁）的流场与污染物降解模型​

1. 流动：地下水在 PRB 多孔介质中流动，达西定律：q=−μk​∇p。
2. 反应传输：污染物（如三氯乙烯 TCE）随水流对流-扩散，并在铁颗粒表面发生还原脱氯反应：
R∂t∂C​=∇⋅(D∇C)−q⋅∇C−λC
其中 R为阻滞因子， λ为一级反应速率常数，与铁比表面积、地下水化学条件相关。
3. 长期性能：模型可预测 PRB 的堵塞（由于矿物沉淀）和反应活性衰减。

是设计 PRB 厚度、位置和评估其长期性能的关键工具。模型精度受水文地质参数和反应动力学参数不确定性影响。

多孔介质流体力学、对流-扩散-反应方程、地球化学。

氯化溶剂污染地下水修复、PRB 设计与性能监测。特征：模拟被动、原位的地下水修复过程，涉及流体流动、溶质运移和表面化学反应。

变量：污染物浓度 C(x,t)， 达西流速 q， 水头 h。
含水层参数：渗透率场 k(x)， 孔隙度 ϕ， 纵向/横向弥散度 αL​,αT​。
反应墙参数：PRB 渗透率 kPRB​(通常高于背景)， 反应速率常数 λ， 铁比表面积 AFe​。
污染物参数：初始浓度 C0​， 背景浓度 Cbg​。

对流-扩散-反应 PDE， 可能与达西方程耦合。

可渗透反应墙、PRB、地下水修复、零价铁、对流-扩散-反应。

1. 场地表征：获取含水层的水文地质参数和污染羽分布。
2. 建立模型：建立地下水流模型，将 PRB 作为高渗透区嵌入，模拟稳定流场 q(x)。
3. 污染物运移模拟：以污染羽为初始条件，以 q为输入，模拟污染物在 PRB 内外的对流、扩散和反应过程。
4. 优化设计：调整 PRB 的位置、厚度和渗透性，使下游浓度满足修复目标，并预测 PRB 寿命（考虑反应物消耗和堵塞）。

受污染的地下水在天然水力梯度下流向并流经 PRB。PRB 中的反应介质（如零价铁）与流经的污染物发生化学反应，将其降解为无害或毒性较低的产物。净化后的水从 PRB 下游流出。流向：由区域地下水水力梯度决定，总体水平流动。

地下水（牛顿流体）中含有溶解的氯化有机物（如 TCE），流经填充有零价铁（Fe⁰）颗粒的多孔反应墙。

材料：反应介质：零价铁屑（Fe⁰）。污染物：三氯乙烯 (TCE)。地下水：典型含水层水。
比例：PRB 中铁体积分数 ~0.5-0.7。TCE 浓度 ~1-100 mg/L。
纯度/特征：铁屑比表面积 AFe​≈1m2/g。反应速率常数 λ在 0.1-1 hr⁻¹ 量级。PRB 渗透率 kPRB​≈10−10m2(粗砂砾级)。含水层背景渗透率 k≈10−12m2(细砂)。
环境参数：地下水温度 T=10−15∘C。pH ~6-8。水力梯度 i≈0.001−0.01。

Flow-L1-0351​

磁约束聚变

等离子体物理

边缘局域模（ELM）的流体模型

描述托卡马克中 ELM 爆发的非线性磁流体力学（MHD）模型​

1. 物理：ELM 是托卡马克等离子体边缘由于压强梯度和电流驱动的不稳定性（如 peeling-ballooning 模）引起的弛豫振荡，导致能量和粒子周期性喷出。
2. 模型：使用简化的非线性 MHD 方程组模拟边界区，包含电阻、粘度、平行热传导等效应。核心是求解扰动流函数 ϕ、磁通函数 ψ和压强 p的演化方程，通常使用 BOUT++ 等代码。
3. 模拟：线性分析给出不稳定性增长率，非线性模拟再现 ELM 的爆发周期、宽度和输运损失。

是理解和控制 ELM 的关键理论工具，对 ITER 和未来聚变堆设计至关重要。模型高度复杂，计算成本极高。

磁流体力学、等离子体不稳定性、非线性动力学。

托卡马克运行优化、ELM 控制策略（如 RMP, pellet pacing）评估。特征：模拟百万度高温等离子体边缘的剧烈不稳定性爆发。

变量：扰动电势 ϕ~​， 扰动磁通 ψ~​， 扰动压强 p~​， 平衡剖面 p0​(r),q0​(r)。
等离子体参数：安全因子 q， 磁剪切 s， 比压 β， 归一化拉莫尔半径 ρ∗​。
输运系数：电阻 η， 粘度 μ， 热导率 χ。
边界条件：托卡马克边界几何， 偏滤器靶板条件。

耦合的非线性偏微分方程组、双曲-抛物混合。

边缘局域模、ELM、磁流体力学、托卡马克、等离子体不稳定性。

1. 建立平衡：从实验重建或理论模型获得托卡马克边界区的平衡磁场和压强剖面。
2. 线性稳定性分析：在平衡上施加小扰动，计算 peeling-ballooning 模的线性增长率，确定稳定性边界。
3. 非线性模拟：在接近不稳定平衡的初始条件下，进行非线性 MHD 模拟。扰动增长，非线性饱和，形成 filaments（丝状结构）并输运到刮削层，模拟一次 ELM 爆发。
4. 统计分析：模拟多个 ELM 周期，统计爆发频率、能量损失等，与实验对比。

在等离子体边缘，压强梯度和电流共同驱动磁流体不稳定性。线性阶段扰动指数增长。非线性阶段，磁面重联，形成沿磁场线延伸到偏滤器靶板的丝状结构（filaments），快速将能量和粒子从约束区输运到边界，造成爆发性损失。随后，剖面被展平，恢复稳定，积累后再次爆发，形成弛豫振荡。流向：扰动垂直于磁面，爆发时沿开放磁场线流向偏滤器。

高温（~keV）、稠密（~10¹⁹-10²⁰ m⁻³）的氢同位素（氘、氚）完全电离等离子体，处于强磁场（~1-10 T）中。

材料：等离子体：氘或氘-氚混合物。
比例：纯氢同位素等离子体，可能含少量杂质（碳、氦）。
纯度/特征：边界电子温度 Te​≈0.1−1keV。电子密度 ne​≈2−5×1019m−3。安全因子在边界 q95​≈3−5。归一化比压 βN​≈1−3。
环境参数：托卡马克大半径 R≈2−3m， 小半径 a≈0.5−1m。环向磁场 Bt​≈1−3T。

Flow-L1-0352​

电水动力学推进

航天推进

离子液体电喷雾推力器（ILET）的射流模型

离子液体电喷雾的锥-射流模式与推力产生模型​

1. 电喷雾模式：在强电场下，离子液体在发射极尖端形成泰勒锥，并从锥尖射出极细的射流，随后破碎成带电液滴/离子。
2. 推力模型：推力来源于喷射物质的动量， F=m˙ve​， 其中 m˙=IM/(NA​e)为质量流率（假设完全离子化）， I为束流， ve​=2eΔV/M​为排气速度（假设由加速电压 ΔV获得）。
3. 电流-电压关系：对于离子液体，遵循场发射关系，如 I∝Vn， n约等于 1.5。

是微牛顿级高比冲（>1000 s）电推进器的理论基础。模型简化了复杂的发射过程和羽流膨胀。

电喷雾、泰勒锥、离子发射、动量守恒。

微小卫星（CubeSat）姿态与轨道控制、深空探测微推进。特征：推力微小但精确可控，比冲高，无活动部件。

变量：推力 F， 束流 I， 加速电压 V， 质量流率 m˙。
推进剂参数：离子液体种类（如 EMI-BF₄）， 分子量 M， 电导率， 表面张力。
发射极参数：尖端曲率半径 rt​， 发射极-提取极间距 d。
性能参数：比冲 Isp​=F/(m˙g0​)， 效率。

代数关系、基于能量和动量守恒。

离子液体电喷雾、电推进、微推力、锥-射流模式。

1. 加注推进剂：将离子液体注入发射极储液腔。
2. 施加电压：在发射极和提取极间施加高电压（1-3 kV），形成强电场（~10⁸ V/m）。
3. 形成泰勒锥：离子液体在尖端形成泰勒锥，并在锥尖产生射流/离子发射。
4. 加速与喷射：带电粒子被电场加速，喷出产生推力。
5. 测量与标定：用扭摆测量推力，与电流、电压关联，验证模型。

离子液体在发射极尖端被强电场极化，形成锥状弯月面。在锥尖，电场强度极高，液体表面失稳，发射出带电的离子或液滴。这些粒子被后续的电场加速，高速喷出，产生反作用推力。流向：沿发射极轴向，指向提取极。

离子液体（室温熔融盐，如 1-乙基-3-甲基咪唑四氟硼酸盐 EMI-BF₄）作为推进剂，在强电场下发射。

材料：推进剂：EMI-BF₄ 离子液体。发射极：钨或多孔金属。
比例：纯离子液体。
纯度/特征：分子量 M≈0.2kg/mol。密度 ρ≈1300kg/m3。电导率 σ≈1S/m。表面张力 γ≈0.05N/m。典型束流 I=1−100μA。加速电压 V=1−3kV。比冲 Isp​≈1000−5000s。推力 F=1−100μN。
环境参数：工作于高真空（<10⁻⁴ Pa）。温度 ~20-50 °C。