Flow-L1-0001​

控制方程

不可压缩流

连续性方程 + 动量方程 (无粘)

欧拉方程 (Euler Equations)

1. 物理原理：考虑流体微元，质量守恒与牛顿第二定律应用于无粘、无热传导的理想流体。
2. 连续性方程推导：微元控制体内质量变化率等于净流入质量流量。对于固定控制体，积分形式为：
∂t∂​∫V​ρdV+∮S​ρv⋅ndS=0。
应用散度定理和高斯公式，得到微分形式：
∂t∂ρ​+∇⋅(ρv)=0。
3. 动量方程推导：微元控制体内动量变化率等于作用在其上的合外力（仅压力）。积分形式为：
∂t∂​∫V​ρvdV+∮S​ρv(v⋅n)dS=−∮S​pndS。
应用散度定理，得到微分形式：
∂t∂(ρv)​+∇⋅(ρv⊗v)=−∇p。
4. 对于不可压缩流，密度为常数 ρ=ρ0​，连续性方程简化为 ∇⋅v=0，动量方程简化为：
∂t∂v​+(v⋅∇)v=−ρ1​∇p。

对无粘流动精确。无法描述边界层、分离、耗散现象。

质量守恒定律、牛顿第二定律、无粘性假设。

外部空气动力学初步分析（远离物体表面）、势流理论、水波（无旋部分）、叶栅机械初步设计。特征：双曲型方程组，无耗散，可逆。

变量：v(速度矢量)， p(压力)， ρ(密度，常数)， t(时间)。
常量：ρ0​(参考密度)。
参数：无。

非线性偏微分方程组（对流项非线性）、守恒形式、向量分析（散度、梯度）、双曲型。

确定性、偏微分方程、无粘、理想、守恒。

1. 初始化：给定初始流场 v(x,0),p(x,0)。
2. 时间推进：在每个时间步 tn：
a. 解动量方程预测速度（需处理压力梯度耦合）。
b. 结合连续性方程 ∇⋅vn+1=0求解压力泊松方程：∇2pn+1=ρ∇⋅((v∗⋅∇)v∗)或类似形式。
c. 用压力梯度修正速度场：vn+1=v∗−Δt/ρ∇pn+1。
3. 迭代/推进：重复步骤2直至达到稳态或指定时间。

流动由速度场 v(x,t)和压力场 p(x,t)描述。流向由速度矢量场决定。

理想、不可压缩、无粘性。

Flow-L1-0002​

控制方程

不可压缩粘性流

连续性方程 + 动量方程 (粘性)

纳维-斯托克斯方程 (Navier-Stokes Equations)

1. 物理原理：在欧拉方程基础上，考虑由流体粘性引起的内摩擦应力（剪切应力和法向应力）。
2. 应力张量：对于牛顿流体，应力张量 σ与应变率张量 S呈线性关系：σ=−pI+T， 其中 T=2μS+λ(∇⋅v)I， S=21​(∇v+(∇v)T)。
3. 动量方程推导：将应力张量代入动量守恒的柯西方程：ρDtDv​=∇⋅σ+ρf​。 假设常粘度 μ， 且斯托克斯假设 λ=−32​μ， 可得：
ρ(∂t∂v​+(v⋅∇)v)=−∇p+μ∇2v+(μ/3+λ)∇(∇⋅v)+ρf​。
4. 对于不可压缩流，∇⋅v=0， 方程简化为经典形式：
∂t∂v​+(v⋅∇)v=−ρ1​∇p+ν∇2v+f​， 其中 ν=μ/ρ为运动粘度。

对牛顿流体层流精确描述。湍流下需引入模型。求解困难（非线性、二阶导）。

质量守恒定律、牛顿第二定律、牛顿粘性定律（本构关系）。

所有真实流体流动（水、空气低速、油等）的基础：管道流、边界层、机翼绕流、微流体、生物流体力学。特征：非线性抛物-双曲型方程组，包含耗散。

变量：v,p,t。
常量：ρ,μ,ν。
参数：ν(运动粘度) 是关键参数，决定流动状态（雷诺数）。

非线性偏微分方程组、扩散-对流方程、矢量分析、椭圆型（稳态压力方程）、抛物型（非稳态）。

确定性、粘性、耗散、牛顿流体、守恒。

1. 初始化：给定初场。
2. 时间步进：
a. 预测步：求解去掉压力梯度的动量方程，得中间速度 v∗。
Δtv∗−vn​=−(vn⋅∇)vn+ν∇2vn+f​。
b. 投影步/压力修正：求解压力泊松方程：
∇2pn+1=Δtρ​∇⋅v∗。
c. 修正步：用压力梯度修正速度：
vn+1=v∗−ρΔt​∇pn+1。
3. 迭代：重复至收敛或时间终点。

流动由 v,p描述。流向受惯性、压力梯度、粘性力和体积力共同决定。粘性项 ν∇2v导致动量扩散和耗散。

牛顿流体、不可压缩、粘性。

Flow-L1-0003​

简化模型

不可压缩粘性流

稳态、平行流、压力驱动

泊肃叶流动 (Poiseuille Flow)

1. 问题简化：考虑无限长直圆管内的稳态、层流、不可压缩流动。流动轴对称且完全发展（速度剖面不随流向变化）。
2. 柱坐标系建立：采用柱坐标 (r,θ,z)， 其中 z为流向。假设：vz​=vz​(r)， vr​=vθ​=0， 且 ∂/∂t=0， ∂/∂z=0(除压力外)。
3. 方程简化：N-S方程在柱坐标下简化。连续性方程自动满足。径向和轴向动量方程简化为：
径向：0=−∂r∂p​→ p=p(z)仅。
轴向：0=−ρ1​dzdp​+νr1​drd​(rdrdvz​​)。
4. 求解：因等式左边为零，右边第一项仅为 z的函数，第二项仅为 r的函数，故两者必为同一常数。设 −dzdp​=LΔp​=G(常数压力梯度)。则方程变为：
rμ​drd​(rdrdvz​​)=−G。
积分两次，利用边界条件 vz​(R)=0(无滑移) 和 (dv_z/dr

_{r=0}=0)(轴对称)， 得：
vz​(r)=4μG​(R2−r2)=4μLΔp​(R2−r2)。
5. 流量：Q=∫0R​2πrvz​(r)dr=8μLπR4Δp​(哈根-泊肃叶定律)。

对圆管内充分发展层流精确。是验证NS求解器和测量粘度的基准解。

纳维-斯托克斯方程在特定几何和边界条件下的精确解。

微流体芯片通道、毛细血管血流、小尺寸管道输送、粘度测量。特征：抛物型速度剖面，最大速度在中心（为平均速度2倍），剪切应力线性分布。

变量：vz​(r)(轴向速度)， p(压力)。
常量：ρ,μ。
参数：R(管道半径)， L(管道长度)， Δp(压降)。

常微分方程、积分、轴对称、抛物型速度分布、解析解。

稳态、层流、充分发展、一维、解析解。

1. 设定：给定几何 R,L， 物性 μ， 驱动条件 Δp或 G。
2. 求解速度场：直接代入公式 vz​(r)=4μG​(R2−r2)。
3. 计算衍生量：最大速度 vmax​=4μGR2​， 平均速度 vˉ=vmax​/2， 流量 Q=πR2vˉ， 壁面剪切应力 τw​=2RG​。

流向沿管道轴线 z。速度场仅为半径 r的函数，呈旋转抛物面。

Flow-L1-0004​

简化模型

不可压缩粘性流

边界层近似、平板、零压力梯度

布拉修斯相似性解 (Blasius Solution)

1. 问题提出：半无限长平板，来流速度 U∞​平行于平板，求其层流边界层发展。
2. 普朗特边界层方程：对于大雷诺数，粘性效应仅集中在壁面附近薄层内。方程简化为：
连续性：∂x∂u​+∂y∂v​=0
流向动量：u∂x∂u​+v∂y∂u​=ν∂y2∂2u​
边界条件：y=0:u=v=0;y→∞:u→U∞​。
3. 相似性变换：引入流函数 ψ(x,y)满足 u=∂ψ/∂y,v=−∂ψ/∂x。猜测相似性解形式：η=y2νxU∞​​​， ψ=2νxU∞​​f(η)。
4. 方程转换：将 u,v用 f(η)表示，代入动量方程，得到关于 f的常微分方程（布拉修斯方程）：
f′′′+ff′′=0
边界条件：f(0)=f′(0)=0,f′(∞)=1。
5. 数值求解：该方程非线性，无解析解。通过打靶法或龙格-库塔法数值求解。典型结果：f′′(0)≈0.332。
6. 物理量：壁面剪切应力 τw​=μ(∂u/∂y)y=0​=0.332ρU∞2​/Rex​​， 边界层位移厚度 δ∗=1.7208νx/U∞​​， 动量厚度 θ=0.664νx/U∞​​。

对零压力梯度平板层流边界层高精度。是边界层理论的基石。

普朗特边界层方程、相似性原理。

飞机机翼表面、涡轮叶片、船体等表面摩擦阻力估算的基础。特征：自相似速度剖面，边界层厚度随 x​增长，局部摩擦系数与 1/Rex​​成正比。

变量：u,v(速度分量)， f(η)(相似性函数)。
常量：U∞​,ν。
参数：x(沿平板方向坐标)， y(垂直平板坐标)， η(相似变量)。

相似性解、非线性常微分方程、数值积分、边界层变换、渐进匹配。

自相似、边界层、平板、层流、数值解。

1. 设定：给定来流条件 U∞​， 流体属性 ν。
2. 变换：在计算点 x， 计算相似变量 η=y/δ(x)， 其中 δ(x)∝νx/U∞​​。
3. 查表/计算：使用预先数值求解得到的 f(η),f′(η),f′′(η)表。
4. 还原物理量：u(x,y)=U∞​f′(η)， v(x,y)=...， τw​(x)=0.332ρU∞2​/Rex​​。

流向沿平板方向 x。边界层内速度从壁面0逐渐变化到外流 U∞​。流向速度剖面 u/U∞​=f′(η)是 η的通用函数。

牛顿流体、不可压缩、层流、零压力梯度边界层。

Flow-L1-0005​

定理/方法

势流/无粘流

无旋、不可压缩假设

势流理论 (Potential Flow Theory)

1. 核心假设：流动无旋 (∇×v=0)， 且不可压缩 (∇⋅v=0)。
2. 速度势：无旋意味着存在速度势函数 ϕ， 使得 v=∇ϕ。
3. 控制方程：将 v=∇ϕ代入连续性方程 ∇⋅v=0， 得到拉普拉斯方程：
∇2ϕ=0。
4. 伯努利方程：对于无旋、无粘、稳态流动，欧拉方程可积分得到伯努利方程：
(\frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}

\nabla \phi

^2 + gz = \text{constant})(沿流线或全场，若亦稳态)。
5. 求解策略：线性方程！可使用叠加原理。基本解（源、汇、偶极子、点涡）满足拉普拉斯方程，通过叠加和镜像法构建复杂流动。
6. 复势：对于二维势流，可引入复势 W(z)=ϕ(x,y)+iψ(x,y)， 其中 z=x+iy， ψ为流函数。速度分量 u=∂ϕ/∂x=∂ψ/∂y， v=∂ϕ/∂y=−∂ψ/∂x。

完全忽略粘性，无法预测摩擦阻力和流动分离。但在物体表面速度、压力分布（无分离时）及升力（借助库塔条件）预测上，对高雷诺数外部绕流有良好近似。

无旋场数学性质（梯度场无旋）、拉普拉斯方程理论、叠加原理。

飞机机翼理论（薄翼型）、水波（无旋部分）、建筑风荷载初步评估、叠加法构造绕柱、翼型等流动。特征：线性、可叠加、无耗散，满足最大模原理。

变量：ϕ(速度势)， ψ(流函数， 2D)， p(压力)。
常量：ρ,g。
参数：基本解强度（如源强 Λ， 环量 Γ）。

拉普拉斯方程、调和函数、线性叠加、复变函数、解析函数、共形映射。

无旋、势流、线性、可叠加、复势。

1. 问题定义：给定物体形状和来流条件。
2. 构建解：选择合适的基本解（均匀流、源汇、偶极子、涡）并进行叠加，使组合后的速度势或流函数满足物面边界条件（法向速度为零）。
例如，圆柱绕流：均匀流 + 偶极子。
3. 求解系数：通过边界条件确定基本解的强度或位置。
4. 后计算：速度场 v=∇ϕ， 压力场由伯努利方程求得。

Flow-L1-0006​

定理/方法

边界层理论

匹配渐近展开法

边界层方程 (Prandtl Boundary Layer Equations)

1. 量级分析：高雷诺数 Re=U∞​L/ν≫1下，粘性影响仅局限于物面附近薄层（边界层）内。设边界层厚度 δ≪L。
2. 尺度分析：在边界层内，定义：x∼L， y∼δ， u∼U∞​， 连续性方程要求 v∼U∞​δ/L。对N-S方程各项进行量级比较，保留最大量级项。
3. 方程推导：
连续性：∂x∂u​+∂y∂v​=0(同原式)。
流向动量：u∂x∂u​+v∂y∂u​=−ρ1​dxdpe​​+ν∂y2∂2u​。 其中压力梯度项来自边界层外缘无粘流动的伯努利方程：dpe​/dx=−ρUe​dUe​/dx。
法向动量：∂p/∂y≈0， 即边界层内压力沿法向不变，等于外缘压力 pe​(x)。
4. 边界条件：
壁面 y=0： u=v=0(无滑移)。
边界层外缘 y→∞或 y=δ： u→Ue​(x)(与外流匹配)。
5. 求解方法：相似性解（如布拉修斯解）、积分方法（如动量积分方程）。

大雷诺数下对壁面附近流动的优秀近似。是连接外流（势流）和壁面粘性区的桥梁。无法捕捉分离点后的流动。

纳维-斯托克斯方程在大雷诺数下的渐近展开、奇摄动理论。

空气动力学（机翼、机身）、涡轮机械、任何高速物体表面的摩擦阻力和热传导计算基础。特征：抛物型方程，流向压力由外流“强加”，法向无压力变化，简化了N-S方程。

变量：u,v(边界层内速度分量)， pe​(外流压力， 已知函数)。
常量：ρ,ν。
参数：Ue​(x)(边界层外缘速度)， 雷诺数 Re。

奇摄动、边界层尺度、抛物型偏微分方程、匹配渐近展开、量级分析。

高雷诺数、薄剪切层、抛物化、匹配条件。

1. 求解外流：用势流理论计算物体表面（边界层外缘）的速度/压力分布 Ue​(x),pe​(x)。
2. 输入压力梯度：将 dpe​/dx=−ρUe​dUe​/dx代入边界层方程。
3. 求解边界层方程：从前缘（x=0）开始向下游推进求解 u(x,y),v(x,y)。可采用有限差分法（空间推进）或积分法。
4. 判断分离：当壁面剪切应力 τw​=μ(∂u/∂y)y=0​=0时，流动分离。

流向沿物面 x。边界层很薄，主流速度 u沿法向 y从0快速变化到外流速度 Ue​(x)。法向速度 v很小但不为零。

牛顿流体、不可压缩、层流/湍流（需引入湍流模型）、高雷诺数边界层。

Flow-L1-0007​

积分方法

边界层理论

动量积分方程

冯·卡门动量积分方程 (Von Kármán Momentum Integral Equation)

1. 物理原理：对边界层控制体（从壁面到边界层外缘，沿流向微元 dx）应用动量守恒定律。
2. 推导：从边界层方程出发，沿法向 y从0到∞（或δ）积分流向动量方程。
3. 得到方程：
dxdθ​+(2+H)Ue​θ​dxdUe​​=ρUe2​τw​​=2Cf​​。
其中：
- 动量厚度 θ=∫0∞​Ue​u​(1−Ue​u​)dy
- 形状因子 H=δ∗/θ
- 位移厚度 δ∗=∫0∞​(1−Ue​u​)dy
- 壁面剪切应力 τw​=μ(∂y∂u​)y=0​
- 摩擦系数 Cf​=τw​/(21​ρUe2​)
4. 求解策略：方程包含三个未知量：θ,H,Cf​(或 τw​)。需要两个补充关系（闭包关系）：
a. 速度剖面族 u/Ue​=f(y/δ,shape parameter)， 如1/7幂律（湍流）、Pohlhausen多项式（层流）。
b. 剪切应力关系，如 Cf​=Cf​(Reθ​,H)， 来自实验或精确解。
5. 求解步骤：给定 Ue​(x)和初始 θ(0)， 沿 x数值积分此常微分方程。

近似方法，精度依赖于假定的速度剖面和剪切应力关系。计算量小，工程实用。

边界层方程的积分形式、动量定理。

快速估算边界层发展、位移效应、摩擦阻力、流动分离预测（H增大到临界值，如层流~3.5，湍流~2.4）。特征：将偏微分方程简化为常微分方程，需经验闭包。

变量：θ(x)(动量厚度)， H(x)(形状因子)， δ∗(x)(位移厚度)， Cf​(x)。
参数：外流速度分布 Ue​(x)， 雷诺数 Reθ​=Ue​θ/ν。

积分方程、常微分方程、经验关联式、形状参数。

积分法、近似、工程方法、依赖于剖面。

1. 初始化：给定起始点 x0​处的 θ0​,H0​。
2. 在位置 xi​：
a. 计算当地 Ue​(xi​)和 dUe​/dx。
b. 根据当前 Reθi​​和 Hi​， 从经验关系得到 Cf​(Reθi​​,Hi​)。
c. 求解动量积分方程：dθ/dx=F(θ,H,Ue​,dUe​/dx,Cf​)。
d. 更新 θi+1​=θi​+(dθ/dx)i​Δx。
e. 根据更新的 θ和假定的速度剖面族，计算新的 Hi+1​和 δi+1∗​。
3. 推进：重复步骤2直至物体末端或分离 (H>Hcrit​)。

流向沿物面 x。通过积分厚度参数 (θ,δ∗) 的演变来代表整个边界层的发展。流向速度剖面形状由形状因子 H参数化。

牛顿流体、不可压缩、层流或湍流边界层（需对应不同的闭包关系）。

Flow-L1-0008​

湍流模型

雷诺平均

雷诺分解、时均NS方程

雷诺平均纳维-斯托克斯方程 (Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS)

1. 雷诺分解：将瞬时量分解为时均量和脉动量：ϕ(x,t)=ϕ​(x)+ϕ′(x,t)， 其中 ϕ′​=0。
2. 对NS方程取平均：将分解代入不可压缩NS方程，并对时间取平均。
3. 得到RANS方程：
连续性：∂xi​∂ui​​​=0
动量：∂t∂ui​​​+uj​​∂xj​∂ui​​​=−ρ1​∂xi​∂p​​+ν∂xj​∂xj​∂2ui​​​−∂xj​∂ui′​uj′​​​
4. 湍流应力：新项 −ρui′​uj′​​称为雷诺应力张量，是脉动速度关联，代表湍流对平均动量的输运。它使方程不封闭（未知数多于方程）。
5. 封闭问题：需要湍流模型将雷诺应力与平均流动量建立关系。

依赖于湍流模型的精度。可大幅降低计算成本，是工程CFD主流方法。无法直接解析湍流结构。

纳维-斯托克斯方程的统计平均、雷诺分解。

绝大多数工程湍流计算：汽车外气动、飞机全机绕流、管道流动、涡轮机械。特征：统计稳态，计算量可接受，模型众多。

变量：ui​​(平均速度分量)， p​(平均压力)， ui′​uj′​​(雷诺应力张量)。
模型变量：如 k,ϵ,ω等（取决于具体模型）。
参数：湍流模型常数（如 Cμ​,σk​,σϵ​）。

统计平均、张量、不封闭方程组、模型化、各向同性/异性假设。

统计、平均、模型化、封闭问题。

1. 雷诺分解：将流动变量分解。
2. 推导平均方程：得到包含雷诺应力的RANS方程。
3. 选择湍流模型：如 k−ϵ, k−ω, SST, RSM等，提供雷诺应力的表达式。
4. 求解：耦合求解平均连续性方程、平均动量方程和湍流模型输运方程（如 k,ϵ方程）。
5. 后处理：获得时均流场和湍流统计量（如湍动能）。

流动由时均速度场 u(x)和压力场 p​(x)描述。湍流脉动的影响通过雷诺应力项模型化进入平均动量方程。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、湍流（统计意义）。

Flow-L1-0009​

湍流模型

雷诺平均、两方程模型

涡粘性假设、k和 ϵ输运方程

标准 k−ϵ湍流模型 (Standard k-epsilon Model)

1. 涡粘性假设：类比分子粘性，假设雷诺应力与平均应变率成正比：
−ui′​uj′​​=νt​(∂xj​∂ui​​​+∂xi​∂uj​​​)−32​kδij​， 其中 k=21​ui′​ui′​​是湍动能，νt​是湍流涡粘系数。
2. 确定 νt​：采用量纲分析，νt​=Cμ​ϵk2​， 其中 ϵ是湍流耗散率。
3. 建立输运方程：从NS方程精确推导出 k和 ϵ的精确输运方程，然后对高阶项进行建模，得到模型方程：
k方程：
∂t∂k​+uj​​∂xj​∂k​=∂xj​∂​[(ν+σk​νt​​)∂xj​∂k​]+Pk​−ϵ
ε方程：
∂t∂ϵ​+uj​​∂xj​∂ϵ​=∂xj​∂​[(ν+σϵ​νt​​)∂xj​∂ϵ​]+Cϵ1​kϵ​Pk​−Cϵ2​kϵ2​
其中 Pk​=νt​(∂xj​∂ui​​​+∂xi​∂uj​​​)∂xj​∂ui​​​是湍动能产生项。
4. 模型常数：标准值：Cμ​=0.09,σk​=1.0,σϵ​=1.3,Cϵ1​=1.44,Cϵ2​=1.92。

对充分发展的湍流、高雷诺数流动效果较好。对强压力梯度、分离、旋流、近壁区（需壁面函数）预测有局限。鲁棒性强。

涡粘性假设、量纲分析、二阶矩封闭模型。

通用工程湍流计算：室内通风、管道网络、钝体绕流（有一定分离）、燃烧室（常与其他模型耦合）。特征：高雷诺数模型，需壁面函数处理近壁区，两方程，经济实用。

变量：ui​​,p​,k,ϵ。
模型变量：νt​=Cμ​k2/ϵ。
参数：Cμ​,σk​,σϵ​,Cϵ1​,Cϵ2​(标准常数)。

偏微分方程组、对流-扩散-反应方程、量纲分析、模型常数优化。

涡粘性、两方程、高雷诺数、壁面函数。

1. 初始化：给定全场 k,ϵ的初场（或进口边界条件）。
2. 迭代求解：在每个时间步或迭代步：
a. 根据当前 k,ϵ计算 νt​=Cμ​k2/ϵ。
b. 求解平均速度-压力方程（使用 νeff​=ν+νt​）。
c. 计算产生项 Pk​。
d. 求解 k和 ϵ的输运方程。
3. 收敛判断：重复步骤2直到流场和湍流量收敛。

流动由平均速度、压力、k、ϵ描述。湍流涡粘性 νt​将湍流影响与平均应变率关联。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、高雷诺数湍流。

Flow-L1-0010​

湍流模型

雷诺平均、两方程模型

涡粘性假设、k和 ω输运方程

标准 k−ω湍流模型 (Standard k-omega Model)

1. 核心变量：用比耗散率 ω=ϵ/(Cμ​k)代替 ϵ， 其中 Cμ​为常数，通常取0.09。注意，ω具有频率量纲。
2. 涡粘系数：νt​=ωk​。
3. 模型方程​ (Wilcox 1988)：
k方程：
∂t∂k​+uj​​∂xj​∂k​=∂xj​∂​[(ν+σ∗νt​)∂xj​∂k​]+Pk​−β∗kω
ω方程：
∂t∂ω​+uj​​∂xj​∂ω​=∂xj​∂​[(ν+σνt​)∂xj​∂ω​]+αkω​Pk​−βω2
4. 模型常数：Wilcox (1988) 原始版本：α=5/9,β=3/40,β∗=9/100,σ=1/2,σ∗=1/2。有多种变体。
5. 优势：ω方程在近壁区具有更优的数学行为，可直接积分到壁面，无需壁面函数（但需要极细的近壁网格）。对逆压梯度和分离流动的预测有时优于 k−ϵ。

在近壁区、中等压力梯度流动中精度较好。对自由剪切流（如射流、尾迹）的预测可能不如 k−ϵ。对来流 ω值敏感。

涡粘性假设、量纲分析，以比耗散率为变量。

航空航天（翼型、机翼）、涡轮机械（特别是涉及分离的工况）、需要解析近壁区细节的流动。特征：可积分到壁面，对压力梯度更敏感。

变量：ui​​,p​,k,ω。
模型变量：νt​=k/ω。
参数：α,β,β∗,σ,σ∗(模型常数)。

偏微分方程组、在近壁区具有更好的数值特性、可积分到壁面。

低雷诺数模型、可壁面解析、对进口ω敏感。

1. 初始化/边界条件：特别注意壁面 ω的边界条件。对于光滑壁，常用 ωw​=60ν/(β1​(Δy1​)2)， 其中 Δy1​是第一个网格点离壁面的距离，β1​=0.075。或直接给定一个极大值。
2. 迭代求解：流程类似 k−ϵ：
a. 更新 νt​=k/ω。
b. 求解平均流场。
c. 求解 k和 ω方程。
3. 收敛。

同RANS框架，用 ω代替 ϵ作为湍流尺度方程。ω在近壁区趋于无穷大，从而允许 νt​在壁面趋于零。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、湍流，尤其适合有逆压梯度的流动。

Flow-L1-0011​

湍流模型

雷诺平均、两方程模型

混合 k−ω和 k−ϵ优点

SST k−ω模型 (Menter‘s Shear Stress Transport)​

1. 设计目标：结合 k−ω在近壁区的优势和 k−ϵ在远场自由流中的鲁棒性，并改进对逆压梯度下流动分离的预测。
2. 混合函数：引入混合函数 F1​， 在近壁区趋近1（激活 k−ω模型），在边界层外和自由流中趋近0（转换为 k−ϵ模型）。F1​依赖于到壁面的距离和流场变量。
3. 输运方程：模型方程是原始 k−ω和转换后 k−ϵ方程的加权平均：
∂t∂k​+uj​​∂xj​∂k​=Pk​−β∗kω+∂xj​∂​[(ν+σk​νt​)∂xj​∂k​]
∂t∂ω​+uj​​∂xj​∂ω​=αS2−βω2+∂xj​∂​[(ν+σω​νt​)∂xj​∂ω​]+2(1−F1​)σω2​ω1​∂xj​∂k​∂xj​∂ω​
4. 涡粘系数限制：关键改进是限制涡粘系数，以更准确地预测剪切应力传输：νt​=max(a1​ω，SF2​)a1​k​， 其中 S是应变率大小， F2​是另一个混合函数。这防止了在逆压梯度区过度预测涡粘性，从而能更好地预测分离。

在广泛的流动类型中（包括有逆压梯度和分离的流动）表现出比标准 k−ω和 k−ϵ更好的精度，是工程CFD中最受欢迎的RANS模型之一。

混合模型思想、涡粘性限制原理。

航空航天外流（翼型失速、机舱分离）、汽车外气动、涡轮机械内部复杂流动。特征：混合模型，自带限制器，对分离流预测较好。

变量：ui​​,p​,k,ω。
模型变量：νt​(由限制公式计算)， F1​,F2​(混合函数)。
参数：两组模型常数（通过 F1​混合）， 如 β∗=0.09，a1​=0.31。

混合函数、条件加权、非线性限制器、偏微分方程组。

混合模型、自适应、限制器、工程鲁棒性。

1. 初始化：给定全场 k,ω。
2. 在每个计算单元：计算应变率 S， 混合函数 F1​,F2​。
3. 计算受限的涡粘系数：νt​=min(ωk​，Sa1​k​)(简化理解)。
4. 求解：耦合求解平均流方程、k方程和 ω方程。方程中的系数根据 F1​在两组常数间插值。
5. 迭代至收敛。

同RANS框架。SST模型通过限制 νt​更真实地模拟了逆压梯度下湍流剪切应力的输运，从而改进了分离区预测。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、湍流，尤其适用于有分离的流动。

Flow-L1-0012​

湍流模型

大涡模拟

空间滤波、亚格子尺度模型

大涡模拟 (Large Eddy Simulation, LES)​

1. 核心思想：直接计算大尺度涡（能量携带涡），而将小尺度涡（耗散涡）的影响通过模型（亚格子尺度模型， SGS）参数化。
2. 空间滤波：对流动变量施加低通空间滤波：ϕ​(x,t)=∫G(x−x‘，Δ)ϕ(x’，t)dx’， 其中 G是滤波函数（如盒式、高斯式）， Δ是滤波宽度（通常与网格尺度相关）。
3. 滤波后的NS方程：对不可压缩NS方程滤波，得到：
∂t∂ui​​​+∂xj​∂(ui​​uj​​)​=−ρ1​∂xi​∂p​​+ν∂xj​∂xj​∂2ui​​​−∂xj​∂τijsgs​​
其中 τijsgs​=ui​uj​​−ui​​uj​​是亚格子应力张量，代表被滤掉的小尺度对大尺度运动的影响。
4. 亚格子尺度模型：最常用的是Smagorinsky模型：
τijsgs​−31​τkksgs​δij​=−2νsgs​Sij​， 其中 Sij​是滤波后的应变率张量， (\nu_{sgs} = (C_s \Delta)^2

\overline{S}

)， (

\overline{S}

= \sqrt{2\overline{S}{ij}\overline{S}{ij}})， Cs​是Smagorinsky常数（~0.1-0.2）。

精度介于RANS和DNS之间。能解析大部分湍流结构，对网格和时间步长的要求远低于DNS，但高于RANS。精度受亚格子模型和网格影响。

湍流多尺度能量级串理论、空间滤波。

复杂非稳态湍流：汽车后视镜涡脱落、建筑风环境、燃烧室不稳定火焰、气动声学。特征：非稳态、三维、计算量较大但可接受。

变量：ui​​(滤波后速度)， p​(滤波后压力)， τijsgs​(亚格子应力)。
模型变量：νsgs​(亚格子涡粘系数)。
参数：滤波宽度 Δ， Smagorinsky常数 Cs​。

空间滤波、张量、非线性涡粘性模型、偏微分方程组。

Flow-L1-0013​

控制方程

可压缩流

完全NS方程 + 能量方程 + 状态方程

可压缩纳维-斯托克斯方程 (Compressible N-S Equations)​

1. 完整守恒形式：考虑密度变化，方程组以守恒变量（密度、动量、总能量）表示。
2. 方程系统：
质量守恒：∂t∂ρ​+∇⋅(ρv)=0
动量守恒：∂t∂(ρv)​+∇⋅(ρv⊗v+pI)=∇⋅τ+ρf​
能量守恒：∂t∂E​+∇⋅((E+p)v)=∇⋅(τ⋅v)−∇⋅q​+ρf​⋅v
其中 (E = \rho e + \frac{1}{2}\rho

\vec{v}

^2)是总能量（内能+动能）， q​=−k∇T是热通量（傅里叶定律）， τ是粘性应力张量。
3. 本构关系与状态方程：对于牛顿流体， τ=μ(∇v+(∇v)T)+λ(∇⋅v)I。对于理想气体，状态方程 p=ρRT， 内能 e=cv​T。
4. 封闭：方程组包含6个方程（质量1，动量3，能量1，状态1）对应6个未知量 (ρ，u，v，w，p，T)。

对可压缩流动（马赫数>0.3）精确描述，涵盖激波、膨胀波、粘性干扰、热传导等全部物理。求解极具挑战性（强非线性、多尺度、激波捕捉）。

质量、动量、能量守恒定律，牛顿粘性定律，傅里叶热传导定律，理想气体状态方程。

高速空气动力学（飞机、导弹、再入飞行器）、涡轮机械（压气机、涡轮）、高超声速流动、爆炸与冲击波。特征：双曲-抛物型方程组，可能出现间断（激波）。

变量：ρ，v，p，T，E。
常量：R(气体常数)， cv​，cp​(比热)， μ，k(粘性系数，导热系数)。
参数：马赫数 (Ma =

\vec{v}

/a)(其中 a=γRT​为声速)， 普朗特数 Pr=μcp​/k。

非线性双曲-抛物型偏微分方程组、守恒律、激波捕捉、特征线理论。

Flow-L1-0014​

简化模型

可压缩无粘流

欧拉方程 + 等熵关系

等熵流动关系 (Isentropic Flow Relations)​

1. 核心假设：流动绝热、可逆（即等熵），且无粘、无热传导（理想气体）。
2. 基础关系：从能量方程和等熵过程关系推导。对于一维定常流，总焓守恒：h0​=h+21​v2=constant。对于理想气体， h=cp​T。
3. 关键公式：
- 温度比：T0​T​=(1+2γ−1​Ma2)−1
- 压力比：p0​p​=(1+2γ−1​Ma2)−γ/(γ−1)
- 密度比：ρ0​ρ​=(1+2γ−1​Ma2)−1/(γ−1)
其中下标 0表示驻点（速度为零）参数。
4. 面积-马赫数关系（等熵喷管流）：
A∗A​=Ma1​[γ+12​(1+2γ−1​Ma2)](γ+1)/(2(γ−1))
A∗是声速（Ma=1）处的喉部面积。
5. 临界参数：在 Ma=1处， p0​p∗​=(γ+12​)γ/(γ−1)， T0​T∗​=γ+12​， ρ0​ρ∗​=(γ+12​)1/(γ−1)。

在无激波、无粘性耗散的区域（如喷管收缩段、超声速光滑膨胀区）高度精确。是分析喷管、进气道性能的基础。

热力学第一定律（能量守恒）、等熵过程关系（p/ργ=constant）、理想气体状态方程、一维定常流假设。

火箭/喷气发动机喷管设计、涡轮机械一维分析、风洞喷管设计、超声速飞行器初步气动分析。特征：代数关系，计算简单，揭示了总/静参数与马赫数的关系。

变量：Ma(马赫数)， T，p，ρ(静参数)， T0​，p0​，ρ0​(总参数)， A(流管面积)。
常量：γ(比热比，空气~1.4)。
参数：喉部面积 A∗。

代数方程、指数函数、等熵关系、临界状态。

等熵、一维、定常、理想气体、代数关系。

1. 已知条件：给定总参数（p0​，T0​）或某一截面的静参数和马赫数。
2. 计算其他截面：
a. 若已知 Ma1​和 A1​， 求 Ma2​对应 A2​：使用面积-马赫数关系，通过迭代求解 Ma2​。
b. 已知 Ma， 直接利用温度比、压力比、密度比公式计算静参数。
3. 判断流动状态：根据面积比 A/A∗判断是亚声速 (Ma<1) 还是超声速 (Ma>1) 解。

一维定常流动。流向沿流管方向。面积变化导致速度（马赫数）和热力学参数变化。收缩段加速，扩张段在亚声速时减速、在超声速时加速。

理想气体、可压缩、无粘、无热传导、等熵。

Flow-L1-0015​

定理/关系

可压缩流、激波

守恒律跨跃间断

正激波关系式 (Normal Shock Relations)​

1. 物理场景：一道激波波阵面垂直于来流方向。激波是极薄的区域（约分子平均自由程量级），内部粘性和热传导作用剧烈，可视为一个间断面。
2. 控制方程：在激波参考系下，对包含激波的控制体应用质量、动量、能量守恒定律（无体积力，定常）。
3. 兰金-于戈尼奥关系：
质量：ρ1​u1​=ρ2​u2​
动量：p1​+ρ1​u12​=p2​+ρ2​u22​
能量：h1​+21​u12​=h2​+21​u22​
状态：p=ρRT， h=cp​T
下标1、2分别代表激波前、后。
4. 求解与关键结果：结合上述方程，得到以激波前马赫数 Ma1​表示的激波后参数：
- 密度比：ρ1​ρ2​​=u2​u1​​=2+(γ−1)Ma12​(γ+1)Ma12​​
- 压力比：p1​p2​​=1+γ+12γ​(Ma12​−1)
- 温度比：T1​T2​​=p1​p2​​ρ2​ρ1​​
- 激波后马赫数：Ma22​=γMa12​−2γ−1​1+2γ−1​Ma12​​
5. 熵增：激波过程不可逆，总压下降：p01​p02​​<1， 熵增加 s2​−s1​=cp​ln(T2​/T1​)−Rln(p2​/p1​)>0。

对正激波精确。是分析所有激波现象的基础。斜激波关系可分解为正激波分量和切向分量。

质量、动量、能量守恒定律跨跃间断面的应用，理想气体假设。

超声速进气道、压气机/涡轮内的激波、超声速飞行器头部脱体激波、激波管实验。特征：流动参数发生突跃，总温不变但总压下降，熵增，超声速来流必变为亚声速去流。

变量：激波前后参数 p，T，ρ，u，Ma，p0​。
常量：γ，R，cp​。
参数：激波前马赫数 Ma1​(>1)。

代数方程、守恒律跨跃间断、激波跃迁条件、熵增不等式。

间断、突跃、不可逆、总压损失、超声速减速。

1. 已知来流：给定激波前超声速来流参数 p1​，T1​，Ma1​(>1)。
2. 计算激波后参数：直接代入上述正激波关系式，计算 p2​，T2​，ρ2​，Ma2​(<1)。
3. 计算总压损失：p01​p02​​=(p1​p2​​)(1+2γ−1​Ma12​1+2γ−1​Ma22​​)γ/(γ−1)。
4. 应用：用于评估激波造成的压力恢复和损失。

流动方向垂直于激波面。超声速来流穿过激波后，速度突降至亚声速，压力、温度、密度突升。

理想气体、可压缩、无粘（激波视为间断）、绝热但非等熵。

Flow-L1-0016​

多相流模型

气-液两相流、沸腾传热

经验关联式、分区模型

池沸腾曲线 (Pool Boiling Curve)​

1. 现象描述：描述加热表面温度 Tw​与热流密度 q′′之间的关系，是液冷（特别是相变冷却）的核心。
2. 曲线分区：
A. 自然对流区：Tw​−Tsat​=ΔTsat​较小，热量通过单相自然对流传递。q′′∝(ΔTsat​)5/4。
B. 核态沸腾区：汽泡在活化核点生成、长大、脱离。热流密度随 ΔTsat​急剧上升：q′′=μl​hfg​[σg(ρl​−ρv​)​]1/2[Csf​hfg​Prln​cp,l​ΔTsat​​]3(Rohsenow关联式)， 其中 Csf​,n为经验常数。
C. 过渡沸腾区：部分汽膜覆盖表面，不稳定。热流密度随 ΔTsat​增加而下降。
D. 膜态沸腾区：稳定汽膜覆盖表面，热量通过汽膜传导和辐射传递。有最小热流密度点（莱登弗罗斯特点）和稳定的膜态沸腾关联式。
3. 临界热流密度：核态沸腾峰值点（CHF），是工程安全极限。Zuber公式：qCHF′′​=0.131ρv​hfg​[ρv2​σg(ρl​−ρv​)​]1/4。
4. 莱登弗罗斯特点：最小膜态沸腾热流密度。

经验/半经验模型，精度依赖于工质、表面条件。是定性理解和初步设计的基石。

传热学、汽泡动力学、两相流不稳定性。

电子器件浸没式液冷、核反应堆堆芯冷却、锅炉、蒸发器。特征：非线性，存在峰值（CHF）和极小值（Leidenfrost），表面特性影响大。

变量：Tw​(壁温)， Tsat​(饱和温度)， q′′(热流密度)， ΔTsat​(过热度)。
常量：ρl​，ρv​(液/汽相密度)， hfg​(汽化潜热)， σ(表面张力)， cp,l​，μl​，Prl​(液相物性)。
参数：经验常数 Csf​，n(Rohsenow)， Zuber常数0.131。

分段函数、经验关联式、幂律关系、临界点分析。

经验、分区、沸腾、临界热流。

1. 输入：工质物性、系统压力（决定 Tsat​）、表面特性。
2. 计算：
a. 根据 ΔTsat​判断沸腾区域。
b. 在对应区域选用合适的关联式计算 q′′或 ΔTsat​。
c. 校核是否超过CHF，确保安全。
3. 设计：根据目标热负荷，设计散热系统，使工作点位于高效安全的核态沸腾区。

流动由沸腾机制主导。在核态沸腾区，汽泡的生成、脱离和上升驱动近壁区微对流，极大强化传热。流向受浮力和汽泡运动影响。

气-液两相流、相变（沸腾）、受热表面。

Flow-L1-0017​

多相流模型

气-液两相流

漂移流模型、空泡份额关联

漂移流模型 (Drift-Flux Model)​

1. 核心思想：描述两相混合物整体运动的同时，考虑相间相对速度（滑移）。适用于垂直管道中的汽-液或气-液流动。
2. 定义空泡份额：α=AAg​​(气相所占面积比)。混合物密度：ρm​=αρg​+(1−α)ρl​。
3. 漂移速度：定义气相相对于混合物体积中心的速度（漂移速度）vgj​=vg​−j， 其中 j=αvg​+(1−α)vl​是混合物表观速度。
4. 本构关系：Zuber & Findlay提出：vg​=C0​j+v∞​， 其中 C0​是分布参数（考虑速度与空泡分布不均匀）， v∞​是特征漂移速度（如气泡终端速度）。
5. 模型方程：结合混合物质量、动量守恒方程和上述空泡输运方程：
∂t∂(αρg​)​+∇⋅(αρg​vg​)=Γ(气相质量守恒， Γ为相变率)
vg​=C0​j​+v∞​
混合物动量方程：∂t∂(ρm​j​)​+∇⋅(ρm​j​j​)=−∇p+∇⋅τm​+ρm​g​−∇⋅[ρm​α(1−α)ρl​ρg​​vrel​vrel​]， 其中 vrel​=vg​−vl​。
6. 闭合：需要给定 C0​和 v∞​的经验关系式，它们取决于流型（泡状流、弹状流、环状流等）。

比均匀流模型更精确，比双流体模型简单。精度依赖于 C0​和 v∞​关联式的准确性。适用于一维系统分析。

两相流质量、动量守恒，相间滑移经验关联。

核反应堆冷却剂通道、垂直沸腾管、油气混输管道、鼓泡塔。特征：考虑了相分布不均和相对速度，模型相对简单。

变量：α(空泡份额)， vg​，vl​(相速度)， j(混合物表观速度)， p(压力)。
模型参数：C0​(分布参数， ~1.0-1.5)， v∞​(漂移速度， 如气泡上升终端速度)。
常量：ρg​，ρl​。

一维两相流、经验关联式、滑移比、混合物模型。

滑移、经验分布参数、一维两相流。

1. 流型判断：根据空泡份额 α和流速判断流型（如泡状流、弹状流）。
2. 选择参数：根据流型选择对应的 C0​和 v∞​经验公式。
3. 求解：结合混合物连续性、动量方程和空泡输运方程（使用漂移流关系），求解 α，j，p等沿管道的变化。
4. 计算相速度：vg​=C0​j+v∞​， vl​=(j−αvg​)/(1−α)。

一维管道流动。混合物整体以速度 j运动。气相速度 vg​通常大于液相速度 vl​(正滑移)。流向由压力梯度、重力和摩擦决定。

气-液两相流、可相变、一维、有滑移。

Flow-L1-0018​

多相流模型

通用多相流

每相独立的守恒方程、相间作用力

双流体模型 (Two-Fluid Model/Euler-Euler Model)​

1. 建模方法：将每相视为相互贯穿的连续介质，在空间每一点都有各自的速度、温度等场变量，并通过相间作用项耦合。
2. 场方程：对每相（k相）分别写出质量、动量、能量守恒方程。以动量方程为例：
∂t∂(αk​ρk​vk​)​+∇⋅(αk​ρk​vk​vk​)=−αk​∇p+∇⋅(αk​τk​)+αk​ρk​g​+Mk​
其中 αk​是k相的体积分数，满足 ∑αk​=1。Mk​是相间动量交换项（包括拖曳力、升力、虚拟质量力、湍流耗散力等）。
3. 相间作用力：是关键也是难点。
- 拖曳力：(\vec{F}_D = \frac{1}{8}C_D \rho_c A_p

\vec{v}_r

\vec{v}_r)， 其中 CD​为拖曳系数， vr​为相对速度。
- 虚拟质量力：FVM​=CVM​ρc​αd​(DtDc​vc​​−DtDd​vd​​)， 考虑加速相对运动时周围流体惯性。
- 升力：FL​=CL​ρc​αd​(vr​×(∇×vc​))。
4. 闭合：需要本构关系（如应力 τk​）和相间作用力模型。常与湍流模型（每相或混合物）耦合。

理论上最完备的连续介质多相流模型，能描述复杂的相分布和相互作用。计算成本高，闭合模型（特别是相间作用力）不确定性大。

每相的连续介质假设、局部体积平均、相间相互作用力模型。

鼓泡反应器、流化床、油气混输、喷雾燃烧、液-液萃取。特征：方程组庞大，耦合性强，能模拟复杂相分布和分离。

变量（每相）：αk​，vk​，pk​(可共用或分相压力)， Tk​， 湍流量（如 kk​，ϵk​)。
相间作用参数：CD​，CVM​，CL​等力系数。
常量：各相物性 ρk​，μk​。

多场方程组、强耦合、非线性、相间作用力模型、体积分数约束。

双流体、欧拉-欧拉、相间耦合、复杂闭合。

1. 网格与初始化：划分网格，初始化各相体积分数和速度场。
2. 计算相间作用力：基于当前各相速度、体积分数，计算拖曳力、虚拟质量力等 Mk​。
3. 求解各相方程：顺序或耦合求解每相的连续性、动量方程。压力场通常共用，并通过压力修正算法（如SIMPLE）保证总体积分数和为1。
4. 更新与迭代：更新场变量，重复2-3步直至收敛。

Flow-L1-0019​

非牛顿流体模型

本构关系

应力-应变率关系

幂律流体模型 (Power-Law Fluid Model)​

1. 广义牛顿流体：假设应力张量与应变率张量瞬时相关，且各向同性：τ=η(γ˙​)γ˙​， 其中 γ˙​=∇v+(∇v)T， γ˙​=21​γ˙​:γ˙​​为剪切率大小。
2. 幂律关系：表观粘度 η是剪切率 γ˙​的函数：η=Kγ˙​n−1。
- K：稠度系数 (Pa·s^n)
- n：流动行为指数
3. 流体类型：
- n<1：剪切变稀（假塑性）流体，如血液、涂料、聚合物溶液。
- n=1：牛顿流体（η=K=μ）。
- n>1：剪切增稠（胀塑性）流体，如高浓度淀粉悬浮液。
4. 动量方程：将本构关系代入广义牛顿流体的动量方程：
ρ(∂t∂v​+(v⋅∇)v)=−∇p+∇⋅(Kγ˙​n−1γ˙​)+ρg​。

对许多剪切变稀/增稠流体在中等剪切率范围内拟合良好。在极高和极低剪切率下可能偏离实际（需用更复杂模型如Carreau）。简单易用。

广义牛顿流体本构关系、奥斯特瓦尔德-德瓦埃幂律经验公式。

食品加工（番茄酱、酸奶）、聚合物挤出、血液流动模拟（大血管）、油漆涂覆、泥浆输送。特征：表观粘度随剪切率幂次变化，非线性本构关系。

变量：v，p，γ˙​。
模型参数：K(稠度系数)， n(幂律指数)。
常量：ρ。

非线性本构关系、剪切率依赖的粘度、幂函数。

非牛顿、幂律、剪切变稀/增稠、经验模型。

1. 计算剪切率场：在每次迭代中，根据当前速度场计算应变率张量 γ˙​及其大小 γ˙​。
2. 更新表观粘度场：η(x)=K[γ˙​(x)]n−1。
3. 求解动量方程：将变粘度 η(x)代入广义牛顿流体动量方程并求解，得到新的速度场。
4. 迭代：重复1-3步直至收敛。由于粘度依赖于速度场（剪切率），方程高度非线性，需迭代求解。

流动由速度场和压力场描述。局部粘度 η依赖于当地剪切率 γ˙​。在管道中心剪切率低，粘度可能高（剪切变稀时），导致速度剖面更平坦（塞状流）。

非牛顿流体、不可压缩、广义牛顿流体（时间无关）。

Flow-L1-0020​

数值方法

计算流体力学

有限体积法、压力-速度耦合

SIMPLE算法 (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations)​

1. 核心问题：求解不可压缩NS方程时，压力没有独立的方程，且连续性方程（∇⋅v=0）是速度的约束条件。
2. 离散：在交错网格上离散动量方程和连续性方程。压力位于主单元中心，速度位于单元界面。
3. 算法步骤：
a. 预测步：假设一个压力场 p∗， 求解动量离散方程，得到预测速度 v∗：
aP​vP∗​=∑nb​anb​vnb∗​+b−∇p∗。
b. 压力修正：预测速度 v∗一般不满足连续性方程。引入压力修正 p′和速度修正 v′， 使得 v=v∗+v′， p=p∗+p′。将动量方程与修正量线性化，并代入连续性方程，得到压力泊松方程：
∇⋅(aP​1​∇p′)=∇⋅v∗。
求解此方程得到 p′。
c. 修正步：用 p′修正压力和速度：
p=p∗+αp​p′(欠松弛)， v=v∗−aP​1​∇p′。
d. 迭代：以修正后的 p和 v作为新的猜测值，返回步骤a，直到连续性方程和动量方程残差收敛。
4. 欠松弛：为促进收敛，对变量更新采用欠松弛：ϕnew=ϕold+α(ϕcalculated−ϕold)， 0<α<1。

是CFD中最经典、应用最广的压力-速度耦合算法。收敛速度较慢，但鲁棒性好。有许多改进版本（SIMPLEC， PISO）。

不可压缩流动的质量守恒约束、压力作为拉格朗日乘子、交错网格离散。

绝大多数基于有限体积法的不可压缩流求解器的核心算法：汽车外气动、室内通风、化工反应器流动。特征：迭代求解，压力泊松方程，欠松弛。

变量：p,v的离散值。
算法参数：压力欠松弛因子 αp​(常取0.2-0.8)， 速度欠松弛因子 αu​，αv​，αw​。
离散系数：aP​，anb​。

代数方程组、压力泊松方程、迭代法、欠松弛、交错网格。

压力修正、迭代耦合、SIMPLE、有限体积法。

1. 初始化：设定压力场 p∗和速度场 v∗的初始猜测值。
2. 动量预测：求解动量离散方程，得到 v∗。
3. 压力修正方程：组装并求解压力泊松方程 ∇⋅(aP​1​∇p′)=∇⋅v∗。
4. 变量修正：p=p∗+αp​p′； 对每个速度分量：ue​=ue∗​−(1/aP​)e​(pP′​−pE′​)ΔAe​等。
5. 收敛判断：检查质量源项（∇⋅v）和动量方程残差是否小于设定容差。若不收敛，令 p∗=p，v∗=v， 返回步骤2。

算法通过迭代强制速度场满足连续性方程。压力修正项 p′的作用是产生一个速度修正 v′， 以抵消预测速度场的散度。流向在每一步迭代中由当前的速度场决定。

适用于牛顿

Flow-L1-0021​

数值方法

计算流体力学

有限体积法、非结构网格、压力-速度耦合

PISO算法 (Pressure-Implicit with Splitting of Operators)​

1. 设计目标：针对瞬态可压缩/不可压缩流动，在SIMPLE基础上增加修正步，实现每个时间步内更高精度的压力-速度耦合。
2. 算法步骤：
a. 预测步：同SIMPLE，求解动量方程得预测速度 v∗。
b. 第一次修正：求解压力泊松方程得 p∗和 v∗∗， 使速度场近似满足连续性。
c. 第二次修正：核心步骤。考虑邻居速度修正对动量的影响，建立新的压力修正方程：
∇⋅(aP​1​∇p∗∗)=∇⋅v∗∗−∂t∂ρ​(可压缩形式)。
求解 p∗∗， 并再次修正速度和压力：p=p∗+p∗∗， v=v∗∗−aP​1​∇p∗∗。
d. 迭代：可重复步骤c进行多次修正（PISO循环），然后进入下一时间步。
3. 与SIMPLE对比：PISO在一个时间步内进行多次压力修正而不更新系数 aP​， 旨在更精确地满足本时间步的连续性方程；SIMPLE在每个全局迭代步更新系数。PISO通常用于瞬态问题。

对瞬态问题，特别是可压缩流，收敛速度和精度常优于SIMPLE。对强非线性稳态问题可能需耦合SIMPLE。

压力投影法的分裂算子思想，瞬态耦合的紧致性。

发动机缸内流动、瞬态空化、流体-结构相互作用、大涡模拟（LES）中的压力求解。特征：多步修正，适用于瞬态。

变量：p,v的离散值。
参数：PISO循环内修正次数（通常1-3次）。
离散系数：aP​,anb​。

分裂算子法、多步投影、瞬态离散格式。

瞬态、压力修正、分裂算子、PISO循环。

1. 时间步进：在时间步 tn+1：
2. 预测：基于 tn时刻场，求解动量方程得 v∗。
3. PISO循环​ (k=1 to N):
a. 求解压力方程：∇⋅(aP​1​∇p(k))=∇⋅v(k−1)−∂t∂ρ​， 其中 v(0)=v∗。
b. 修正速度：v(k)=v(k−1)−aP​1​∇p(k)。
c. 修正压力：p=p+p(k)。
4. 时间步更新：令 tn+1时刻解为最后一次修正结果，进入下一时间步。

在每一时间步内，通过迭代修正快速强制速度场满足该时刻的连续性方程，从而获得高精度的瞬态压力-速度场。

适用于牛顿/非牛顿流体、不可压缩/可压缩、瞬态流动。

Flow-L1-0022​

多相流模型

气-液两相流、界面捕捉

单流体模型、界面重构/捕捉

流体体积法 (Volume of Fluid, VOF)​

1. 核心思想：定义相体积分数 α(如液相)，在网格中追踪其分布。整个流场共享一套速度、压力场，物性按体积分数加权：
ρ=αρl​+(1−α)ρg​， μ=αμl​+(1−α)μg​。
2. 控制方程：
- 单相形式的N-S方程。
- 相分数输运方程：∂t∂α​+∇⋅(αv)=0(无相变)。
3. 界面捕捉关键：直接离散上述输运方程会导致界面扩散（数值耗散）。需采用特殊方法保持界面尖锐，如：
- 几何重构​ (Piecewise Linear Interface Calculation, PLIC)：在每个网格内将界面近似为平面，精确计算通过网格面的 α通量。
- 压缩界面法：在输运方程中增加人工压缩项：∂t∂α​+∇⋅(αv)+∇⋅[α(1−α)vc​]=0， 其中 vc​是压缩速度，指向界面法向，用于对抗数值扩散。
4. 表面张力模型：采用连续表面力模型：Fsv​=σκ∇α， 其中 (\kappa = -\nabla \cdot (\frac{\nabla \alpha}{

\nabla \alpha

}))是界面曲率。

能精确描述复杂界面的拓扑变化（合并、破裂、夹带）。精度依赖于界面捕捉方法和网格分辨率。计算量相对双流体模型小，但难以处理高度分散的相（如密集气泡群）。

单流体假设、相分数输运、界面几何重构、连续表面力模型。

波浪破碎、液滴碰撞与聚并、油箱晃荡、喷墨打印、微流体液滴生成。特征：界面清晰，能模拟大变形，但要求高分辨率网格。

变量：共享的 v,p， 相分数 α。
模型参数：表面张力系数 σ， 压缩速度系数 Cα​。
数值参数：界面重构方法（如PLIC）， 曲率计算格式。

对流方程（双曲型）、界面追踪、几何重构、水平集函数（有时结合使用）。

界面捕捉、单流体、VOF、PLIC、表面张力。

1. 初始化：给定初始 α场，初始化速度和压力。
2. 时间步进：
a. 求解N-S方程，得到预测速度场。
b. 界面重构：基于当前 α场，用PLIC等方法重构界面。
c. 相分数输运：根据重构的界面和速度场，精确计算通过每个网格面的 α通量，更新 α场。
d. 物性更新：根据新的 α场更新密度和粘度。
e. 压力修正：求解压力方程，修正速度以满足连续性（考虑变密度）。
3. 循环：重复步骤2直至结束。

Flow-L1-0023​

湍流模型

雷诺平均、非线性涡粘性模型

非线性应力-应变关系

非线性 k−ϵ模型 (Craft et al. 模型)​

1. 动机：标准线性涡粘性假设（Boussinesq假设）无法反映湍流应力的各向异性和二次流等复杂效应。
2. 非线性本构关系：将雷诺应力表示为平均应变率张量 Sij​和平均旋转率张量 Ωij​的高次多项式：
−ui′​uj′​​=32​kδij​−2νt​Sij​+c1​ϵνt​k​(Sik​Ωkj​+Sjk​Ωki​)+c2​ϵνt​k​(Sik​Skj​−31​Skl​Skl​δij​)+c3​ϵνt​k​(Ωik​Ωkj​−31​Ωkl​Ωkl​δij​)
其中 Sij​=21​(∂xj​∂Ui​​+∂xi​∂Uj​​)， Ωij​=21​(∂xj​∂Ui​​−∂xi​∂Uj​​)。
3. 涡粘系数：νt​=Cμ​fμ​ϵk2​， 其中 fμ​可能是雷诺数或应变率的函数。
4. 模型方程：k和 ϵ的输运方程在标准形式上可能增加非线性项的贡献。
5. 模型常数：通过理论约束（如实性条件）和对特定流动（如管道方管二次流）的标定确定 c1​,c2​,c3​,Cμ​。

能预测二次流、应力各向异性等线性模型无法捕捉的现象。比雷诺应力模型（RSM）计算量小，但比标准 k−ϵ复杂。稳定性可能稍差。

张量不变性原理、雷诺应力的非线性展开、湍流各向异性。

非圆形截面管道/通道内的二次流、有强旋流的燃烧器、翼型端壁角区流动。特征：引入了应变和旋转的高阶项，能产生法向应力差。

变量：ui​​,p,k,ϵ。
模型变量：νt​, 非线性应力项。
参数：Cμ​,c1​,c2​,c3​,σk​,σϵ​,Cϵ1​,Cϵ2​。

张量多项式展开、非线性本构关系、各向异性、二次流预测。

非线性、各向异性、二次流、非线性涡粘性。

1. 求解平均速度场（预测步）。
2. 计算应变率 Sij​和旋转率 Ωij​张量。
3. 求解 k和 ϵ方程，得到 k,ϵ。
4. 计算涡粘系数：νt​=Cμ​fμ​k2/ϵ。
5. 计算雷诺应力：使用非线性本构关系公式，计算完整的 −ui′​uj′​​。
6. 将雷诺应力作为源项代入平均动量方程，求解校正后的速度场。
7. 迭代至收敛。

流动由平均场和 k,ϵ描述。雷诺应力不再与应变率线性相关，而是包含了旋转和应变率的非线性组合，从而能产生额外的法向应力和剪切应力，驱动如二次流等复杂流动结构。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、湍流、有各向异性或强旋流效应。

Flow-L1-0024​

稳定性/转捩模型

边界层转捩

基于当地变量、间歇因子输运

γ-Reθt​转捩模型 (Menter-Langtry Model)​

1. 转捩建模挑战：RANS模型默认全湍流，需预测层流-湍流转捩的发生位置和长度。
2. 核心变量：
- 间歇因子​ γ：当地流动处于湍流状态的概率，0为层流，1为完全湍流。通过输运方程求解。
- 转捩动量厚度雷诺数​ Reθt​：携带当地压力梯度历史信息，用于关联当地流动条件与转捩起点的经验关系。也通过输运方程求解。
3. 与湍流模型耦合：通常与SST k−ω模型耦合。湍流模型的产生项和破坏项乘以间歇因子 γ进行调制：
Pk​→γPk​， Dk​→min(max(γ,0.1),1.0)Dk​。
4. 经验关联库：模型依赖于一组经验关联式，将 Reθt​与当地边界层参数（如压力梯度参数 λθ​）关联，以判断转捩是否发生。这些关联式源于大量实验数据的拟合。

工程上实用，能预测自然转捩、旁路转捩、分离泡转捩等现象。精度依赖于内嵌的经验关联库对具体工况的覆盖度。

当地变量法、间歇因子概念、边界层参数经验关联。

飞机机翼/叶片低雷诺数流动、涡轮叶片冷却、高升力装置、低湍流度风洞实验模拟。特征：在RANS框架内预测转捩，大幅提升气动/传热预测精度。

变量：γ(间歇因子)， Reθt​(转捩雷诺数)， 以及与SST模型共享的 k,ω。
模型参数：经验关联式中的拟合常数，多个转换过程相关的常数（如 ca1​,ca2​,...）。

输运方程、经验关联式、与湍流模型耦合、参数辨识。

转捩、间歇因子、经验关联、当地变量。

1. 求解平均流场和标准SST变量（但 k,ω方程的产生/破坏项被 γ调制）。
2. 求解间歇因子 γ输运方程：
∂t∂(ργ)​+∂xj​∂(ρUj​γ)​=Pγ​−Eγ​+∂xj​∂​[(μ+σγ​μt​​)∂xj​∂γ​]
其中产生项 Pγ​和破坏项 Eγ​依赖于当地流动条件和 Reθt​。
3. 求解转捩雷诺数 Reθt​输运方程：该方程在边界层外对流，在边界层内产生，用于将上游的转换信息传递到下游。
4. 耦合更新：用更新后的 γ调制湍流模型，重复迭代。

在边界层前部，γ≈0，湍流模型被抑制，流动表现为层流。在转捩区，γ从0增长到1，湍流模型逐渐激活。在完全湍流区，γ=1，模型退化为标准SST。流向由层流、转捩、湍流的不同摩擦和传热特性共同决定。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、边界层流动、包含层流、转捩和湍流状态。

Flow-L1-0025​

多相流/相变模型

沸腾、冷凝

相变质量传输模型

基于温度/能量驱动的相变模型 (Lee Model)​

1. 应用场景：在VOF或双流体模型中，需要模拟相变（沸腾/冷凝）引起的质量交换。
2. 核心假设：相变率与局部过热度/过冷度成正比，且发生在界面附近。
3. 模型公式：
- 沸腾（当 Tl​>Tsat​）：从液相到气相的质里传输率：
m˙lv​=rl​αl​ρl​Tsat​(Tl​−Tsat​)​， 如果 Tl​>Tsat​。
- 冷凝（当 Tv​<Tsat​）：从气相到液相的质里传输率：
m˙vl​=rv​αv​ρv​Tsat​(Tsat​−Tv​)​， 如果 Tv​<Tsat​。
4. 源项处理：在连续方程中，液相和气相的质量源项互为相反数：
Sm,l​=−m˙lv​+m˙vl​， Sm,v​=m˙lv​−m˙vl​。
在能量方程中，增加相变潜热源项：Se​=−m˙lv​hfg​(在液相能量方程中为负，在气相中为正，取决于实现方式)。
5. 参数选择：系数 rl​,rv​是松弛参数，量纲为 s−1。取值很大（如 106）以保证相变快速发生，接近平衡；但过大导致数值刚度。需根据网格尺度和时间步长调整。

简单易用，是VOF模拟相变最常用的模型之一。精度一般，强烈依赖系数 r的取值，且假设相变在过热度/过冷度下均匀发生，与实际成核过程有差异。

基于驱动力（过热度）线性响应的唯象模型、质量能量守恒。

池沸腾气泡生长、微通道流动沸腾、冷凝器内的液膜凝结、蒸汽喷射器。特征：显式相变率，易于实现，需经验调整系数。

变量：αl​,αv​,Tl​,Tv​,p。
模型参数：相变系数 rl​,rv​(松弛时间倒数)， 饱和温度 Tsat​(p)， 潜热 hfg​。
常量：各相物性。

代数关系、源项耦合、相变弛豫。

相变、传质、经验系数、VOF耦合。

1. 求解流场（速度、压力）和温度场。
2. 计算相变率：在每个单元，根据当地温度和压力判断是否发生相变，并计算 m˙lv​或 m˙vl​。
3. 更新相分数方程：在相分数输运方程中加入质量源项：
∂t∂αl​​+∇⋅(αl​v)=ρl​m˙vl​−m˙lv​​。
∂t∂αv​​+∇⋅(αv​v)=ρv​m˙lv​−m˙vl​​。
4. 更新能量方程：加入潜热源项。
5. 更新物性：根据新的 α更新混合物物性。
6. 迭代至收敛。

流动由混合物的速度-压力场和温度场描述。在过热液体区域，产生相变源项，液体转化为蒸汽（αv​增加），吸收潜热，导致局部冷却。在过冷蒸汽区域则相反。流向受到相变产生的体积膨胀/收缩和相间拖曳的影响。

两相流、有相变（沸腾/冷凝）、考虑传热、适用于VOF或双流体框架。

Flow-L1-0026​

流动模型

多孔介质流

经验阻力定律

达西定律 (Darcy‘s Law)​

1. 实验观察：低速流动时，多孔介质中的体积平均流速（达西速度）u与压力梯度成正比，与粘度成反比。
2. 达西定律：u=−μK​∇p， 其中 K是渗透率，是仅与多孔介质结构相关的张量（各向同性时为标量），量纲为面积（m2）。
3. 适用条件：低雷诺数（Re=ρud/μ<1−10， d为特征孔径），忽略惯性力和粘性耗散。
4. 连续性方程：∇⋅(ρu)=0(不可压缩时为 ∇⋅u=0)。代入达西定律得到压力方程：∇⋅(μK​∇p)=0(拉普拉斯型)。
5. 各向异性：若渗透率是张量 K， 则达西定律为：u=−μ1​K⋅∇p。

对低雷诺数多孔介质流动（如地下水渗流、过滤器流动）高度精确。是渗流力学的基石。

实验定律，也可从纳维-斯托克斯方程在微观尺度平均推导出（斯托克斯流近似）。

地下水文、石油/天然气藏渗流、过滤器、催化剂载体、生物组织渗透。特征：线性阻力定律，流速与压力梯度成正比。

变量：达西速度 u， 孔隙平均压力 p。
参数：渗透率 K(或 K)， 孔隙率 ϕ(用于关联达西速度和孔隙内真实速度 v=u/ϕ)。
常量：流体粘度 μ。

线性本构关系、椭圆型压力方程、各向同性/异性张量。

渗流、多孔介质、线性阻力、达西速度。

1. 参数给定：给定多孔介质区域及其渗透率场 K(x)。
2. 求解压力场：求解由达西定律和连续性方程导出的压力泊松方程：∇⋅(μK​∇p)=0， 并施加压力或流量边界条件。
3. 计算速度场：对压力场求梯度并代入达西定律：u=−μK​∇p。
4. 计算孔隙内真实速度（如需要）：vpore​=u/ϕ。

流动由达西速度场 u(x)描述，方向始终从高压指向低压，且平行于压力梯度方向（各向同性时）。流向由压力场决定。

牛顿流体、低速（低雷诺数）、通过刚性多孔介质的渗流。

Flow-L1-0027​

流动模型

多孔介质流

达西定律+惯性修正

福希海默方程 (Forchheimer Equation)​

1. 动机：当流速增大（雷诺数 Re>1−10），惯性力不可忽略，压降与流速偏离线性关系。
2. 方程形式：在一维情况下，扩展达西定律，增加与速度平方成正比的项：
−dxdp​=Kμ​u+βρu2。
在三维矢量形式中，常写作：
(-\nabla p = \frac{\mu}{K} \vec{u} + \beta \rho

\vec{u}

\vec{u})。
3. 参数意义：
- K：达西渗透率。
- β：惯性阻力系数（或福希海默系数），与多孔介质结构有关，常通过实验拟合。
4. 无量纲形式：定义基于颗粒直径的雷诺数 Rep​=ρudp​/μ， 则压降系数 f与 Rep​的关系显示从线性（达西区）到二次（惯性区）的过渡。

扩展了达西定律的适用范围至高雷诺数（通常 Rep​可达1000）。在高流速区域（如靠近井口、高速过滤）更精确。

实验定律，反映了惯性阻力与速度平方成正比。

油气藏高速开采、化学反应器填充床、高温气冷堆堆芯、高速过滤器。特征：压降包含线性粘性项和二次惯性项。

变量：达西速度 u， 压力 p。
参数：达西渗透率 K， 惯性系数 β(单位：m−1)。
常量：ρ,μ。

非线性阻力定律（二次）、经验关联、达西定律的扩展。

非线性、惯性修正、福希海默、高速渗流。

1. 参数给定：给定 K和 β。
2. 求解：将福希海默方程作为动量方程（忽略惯性加速度项）与连续性方程联立求解。这通常需要迭代，因为方程对速度是非线性的：
(\vec{u} = - \left( \frac{\mu}{K} \mathbf{I} + \beta \rho

Flow-L1-0028​

流动模型

自然对流

浮力驱动流、布西内斯克近似

自然对流边界层方程 (Natural Convection Boundary Layer Equations)​

1. 驱动机制：流体因密度差（通常由温度差引起）在重力场中产生浮力，从而驱动流动。
2. 布西内斯克近似：假设密度变化仅在重力项中重要，且与温度呈线性关系：ρ=ρ0​[1−β(T−T0​)]， 其中 β是热膨胀系数。在其他项中，密度视为常数 ρ0​。
3. 边界层方程：对于垂直平板，设壁温 Tw​高于环境温度 T∞​， 在边界层内：
连续性：∂x∂u​+∂y∂v​=0
流向动量：u∂x∂u​+v∂y∂u​=ν∂y2∂2u​+gβ(T−T∞​)
能量：u∂x∂T​+v∂y∂T​=α∂y2∂2T​
其中 α=k/(ρcp​)是热扩散率。
4. 相似性解：引入相似变量 η=y/δ(x)和相似函数，可转化为常微分方程组（常与普朗特数 Pr=ν/α相关）并数值求解。

对自然对流边界层精确。是分析自然对流传热的基础。

浮力驱动机制、布西内斯克近似、边界层理论。

电子设备散热（无风扇）、建筑室内通风、太阳能集热器、地壳对流。特征：速度与温度场强耦合，流速自生成，无外界压力驱动。

变量：u,v(速度分量)， T(温度)。
常量：ρ0​,ν,α,β,g。
参数：普朗特数 Pr， 格拉晓夫数 Gr=ν2gβ(Tw​−T∞​)L3​(无量纲浮力)。

耦合的偏微分方程组、相似性解、布西内斯克近似、浮力源项。

自然对流、浮力、布西内斯克、边界层。

1. 设定：给定壁面与环境的温差 Tw​−T∞​， 流体物性，几何尺寸。
2. 求解相似性方程（或数值求解边界层方程）：得到无量纲速度 f′(η)和温度 θ(η)=(T−T∞​)/(Tw​−T∞​)剖面。
3. 计算物理量：边界层厚度 δ∼x/(Grx1/4​)， 壁面热流 qw​=−k(∂T/∂y)y=0​， 传热系数 h=qw​/(Tw​−T∞​)∼Grx1/4​。
4. 努塞尔数关联：Nux​=C(Grx​Pr)1/4， 对于层流垂直平板，C ≈ 0.59。

在垂直平板附近，靠近热壁的流体被加热，密度减小，在浮力作用下向上加速运动，形成向上的边界层。外层较冷流体被卷入补充。流向（向上）由浮力方向决定。

牛顿流体、不可压缩、考虑密度变化的自然对流、层流。

Flow-L1-0029​

湍流模型

雷诺平均、涡粘性模型

重整化群理论推导

RNG k−ϵ模型 (Renormalization Group k-epsilon)​

1. 理论基础：应用统计力学中的重整化群理论，对N-S方程进行系统性的尺度剔除，推导出修正的 k−ϵ模型方程。
2. 主要改进点：
- ε方程中的修正项：
∂t∂ϵ​+uj​​∂xj​∂ϵ​=∂xj​∂​[(ν+σϵ​νt​​)∂xj​∂ϵ​]+Cϵ1∗​kϵ​Pk​−Cϵ2​kϵ2​−R
其中 R=1+βη3Cμ​ρη3(1−η/η0​)ϵ2​k​， η=Sk/ϵ， S=2Sij​Sij​​。
- 模型常数：通过RNG理论推导得出，与标准 k−ϵ不同：
Cμ​=0.0845,σk​=0.7194,σϵ​=0.7194,Cϵ1​=1.42,Cϵ2​=1.68,η0​=4.38,β=0.012。
- 可实现的涡粘系数：对低雷诺数和强剪切流有更合理的表现。
3. 解析微分公式：提供了有效普朗特数的解析公式，用于改进传热预测。

理论上更严谨，对中等强度的旋流、分离流和壁面受限流动的预测通常优于标准 k−ϵ模型。计算成本与标准模型相当。

重整化群理论、多尺度统计方法。

室内通风与空气质量模拟、燃烧室旋流、汽车引擎舱流动、换热器管束绕流。特征：理论推导的常数，ε方程有附加项，可处理小尺度各向异性。

变量：ui​​,p,k,ϵ。
模型变量：νt​=Cμ∗​k2/ϵ， 修正项 R。
参数：RNG理论推导出的常数集（见上）。

重整化群推导、ε方程附加项、非线性响应、理论常数。

RNG、重整化群、理论推导、ε方程修正。

1. 初始化：同标准 k−ϵ。
2. 迭代求解：在每个迭代步：
a. 计算应变率 Sij​和 S， 以及 η=Sk/ϵ。
b. 计算修正项 R=1+βη3Cμ​ρη3(1−η/η0​)ϵ2​k​。
c. 求解 k和 ϵ方程（ε方程中包含 −R项）。
d. 计算 νt​=Cμ​k2/ϵ。
e. 求解平均速度-压力方程。
3. 收敛判断。

同标准 k−ϵ框架。修正项 R的作用是：在高应变率（η>η0​）时，该项为负，减少了 ε 的产生，从而降低了当地的 k和 νt​， 这对于预测分离区和旋流区更为准确。流向预测得到改进。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、湍流，尤其适用于有旋流和分离的流动。

Flow-L1-0030​

数值格式

计算流体力学、可压缩流

近似黎曼求解器、通量分裂

AUSM格式 (Advection Upstream Splitting Method)​

1. 设计思想：将对流通量按物理波（声波和熵波）进行分裂，分别处理对流速度和压力项。旨在结合矢通量分裂和通量差分裂的优点。
2. 基本AUSM：将单元界面的对流通量分解为：
F1/2​=m˙1/2​ΦL/R​+p1/2​P
其中：
- m˙1/2​=ρ1/2​a1/2​M1/2​是质量通量。
- M1/2​=M+(ML​)+M−(MR​)是界面的马赫数， ML​=uL​/a1/2​,MR​=uR​/a1/2​。
- a1/2​是界面声速（通常取左右声速的平均）。
- M±是马赫数分裂函数，通常采用一阶或高阶多项式形式，确保迎风性。
- p1/2​=P+(ML​)pL​+P−(MR​)pR​是界面压力， P±是压力分裂函数。
- Φ=[1,u,H]T是对流变量向量。
3. 高阶扩展：可通过重构左右状态（如MUSCL、WENO）实现高阶空间精度。
4. 变体：AUSM+， AUSM+-up 等，改进了低马赫数精度、接触面分辨率和压力振荡抑制。

计算效率高（基本无特征分解），能精确捕捉激波和接触间断，低马赫数时精度和鲁棒性好。是应用最广泛的通量格式之一。

黎曼问题近似解、通量分裂思想、迎风性。

从低速到高超音速的全速度范围流动计算，特别是涡轮机械、航空航天外流。特征：混合分裂格式，计算高效，鲁棒性强。

变量：左右重构的原始变量 UL​,UR​(密度、速度、压力、焓)。
数值参数：马赫数和压力分裂函数的特定多项式系数，界面声速计算方式。

通量分裂、迎风格式、黎曼求解器近似、多项式函数。

AUSM、通量分裂、迎风、近似黎曼解。

1. 重构：基于单元中心值，重构得到界面左右两侧的原始变量状态 QL​和 QR​。
2. 计算界面声速：如 a1/2​=min(a~L​,a~R​)或平均，其中 (\tilde{a} = a^2 / \max(a^,

u

))， a∗是临界声速。
3. 计算左右马赫数：ML,R​=uL,R​/a1/2​。
4. 计算界面马赫数和压力：
M1/2​=M+(ML​)+M−(MR​)
p1/2​=P+(ML​)pL​+P−(MR​)pR​
5. 计算质量通量和总通量：
m˙1/2​=ρ1/2​a1/2​M1/2​( ρ1/2​根据 M1/2​的符号从左右状态选取)
F1/2​=m˙1/2​ΦL/R​+[0,p1/2​,0]T
6. 时间积分：用 F1/2​更新单元守恒量。

Flow-L1-0031​

本构模型

非牛顿流体（粘弹性）

微分型本构方程

Oldroyd-B 流体模型​

1. 物理背景：模拟常粘度、可线性拉伸的粘弹性流体，如稀聚合物溶液。
2. 本构方程推导：从微观的哑铃模型出发，或从连续介质力学的框架建立。Oldroyd-B模型是上随体Maxwell模型的扩展，其本构方程为：
τ+λ1​τ▽=μ0​(γ˙​+λ2​γ˙​▽​)
其中 τ是偏应力张量，γ˙​是应变率张量，μ0​是零剪切粘度，λ1​是松弛时间，λ2​是延迟时间（且 0≤λ2​<λ1​）。
3. 上随体导数：A▽=∂t∂A​+v⋅∇A−(∇v)T⋅A−A⋅(∇v)， 它确保了本构方程在坐标变换下的客观性。
4. 特殊情形：当 λ2​=0， 退化为上随体Maxwell模型；当 λ1​=λ2​=0， 退化为牛顿流体。模型预测了第一法向应力差 N1​=τ11​−τ22​=2μ0​(λ1​−λ2​)γ˙​2和第二法向应力差 N2​=0。

能定性描述粘弹性流体的剪切变稀、法向应力效应和应力松驰。但无法描述强烈的剪切变稀和复杂的瞬态响应。是理解粘弹性流动的基础模型。

连续介质力学、客观性原理、微观哑铃模型。

聚合物溶液流动、纺丝、涂层流动的理论分析。特征：常剪切粘度，有法向应力差，可描述Weissenberg效应（爬杆效应）。

变量：应力张量 τ， 速度梯度 ∇v。
材料参数：零剪切粘度 μ0​， 松弛时间 λ1​， 延迟时间 λ2​。
流动参数：Weissenberg数 Wi=λ1​γ˙​。

微分型本构方程、上随体导数、非线性、张量方程。

粘弹性、微分型、Oldroyd-B、法向应力差。

1. 求解流场：给定或预测一个速度场 v。
2. 计算应变率：γ˙​=∇v+(∇v)T。
3. 求解本构方程：在每个单元/点上，对上随体形式的 τ方程进行时间积分或稳态求解。这通常与动量方程耦合，需要特殊算法（如DEVSS， SUPG）。
4. 将应力代入动量方程：ρ(∂t∂v​+(v⋅∇)v)=−∇p+∇⋅τ+ρg​。
5. 迭代：由于应力依赖于速度场（通过上随体导数和应变率），需迭代求解流场和应力场。

流动由速度场、压力场和应力张量场共同描述。应力不仅依赖于当前应变率，还依赖于应变历史（通过松弛时间 λ1​）。法向应力差导致二次流和爬杆等独特现象。

不可压缩、粘弹性流体、等温。

Flow-L1-0032​

本构模型

非牛顿流体（屈服应力/粘塑性）

广义牛顿流体

Herschel-Bulkley 流体模型​

1. 物理背景：描述具有屈服应力的流体，当施加的剪切应力低于屈服应力 τy​时，流体像固体一样不发生流动；超过后，其流动行为可用幂律描述。如钻井泥浆、牙膏、巧克力浆。
2. 本构关系：
{γ˙​=0τ=τy​+Kγ˙​n​if τ≤τy​if τ>τy​​
或等价为表观粘度：
η={∞γ˙​τy​​+Kγ˙​n−1​if τ≤τy​if τ>τy​​
3. 特殊情形：
- 当 n=1时，退化为 Bingham 塑性流体：τ=τy​+μp​γ˙​。
- 当 τy​=0时，退化为幂律流体。
4. 数值处理：屈服应力导致在低剪切率区粘度无穷大，需正则化。常用Papanastasiou正则化：
τ=τy​[1−exp(−mγ˙​)]+Kγ˙​n
其中 m是一个大数，使得在 γ˙​→0时粘度有限，在 γ˙​较大时趋近原模型。

能很好地描述屈服应力流体的“固-液”转换行为。精度依赖于参数 K,n,τy​的准确获取。正则化参数 m影响低剪切率行为的数值精度和稳定性。

经验本构关系，结合了库仑屈服准则和幂律流动行为。

水泥浆输送、食品加工（番茄酱、蛋黄酱）、油气钻井泥浆、水煤浆管道输送。特征：存在屈服应力，有非流动的“塞流”区。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​， 表观粘度 η。
材料参数：屈服应力 τy​， 稠度系数 K， 流动指数 n， 正则化参数 m。

分段函数、正则化、屈服准则、广义牛顿流体。

屈服应力、粘塑性、Herschel-Bulkley、正则化。

1. 计算剪切率：根据当前速度场计算 γ˙​。
2. 计算表观粘度：使用正则化模型 η(γ˙​)=γ˙​τy​[1−exp(−mγ˙​)]​+Kγ˙​n−1。
3. 求解动量方程：将 η(γ˙​)代入广义牛顿流体的动量方程并求解。
4. 迭代：由于 η依赖于 γ˙​（速度场），需迭代至收敛。
5. 后处理：识别 τ≤τy​的区域为“未屈服”的固态区。

在流动中，存在一个“塞流”区域，该区域内剪切应力低于屈服应力，速度剖面平坦，像固体塞一样运动。在近壁高剪切区，流体屈服并流动。流向由克服屈服应力和粘性阻力共同决定。

不可压缩、具有屈服应力的非牛顿流体。

Flow-L1-0033​

多孔介质多相流模型

油气藏工程

扩展达西定律、多相渗流

多相达西定律 (Multiphase Darcy‘s Law)​

1. 核心思想：将单相达西定律推广到多相（油、气、水）在孔隙中共存且相互不混溶的情况。假设各相独立地渗流，但通过共享的孔隙空间和相互关联的物性产生耦合。
2. 方程形式：对每一相 α(油o, 水w, 气g)：
uα​=−μα​krα​​K⋅(∇pα​−ρα​g​)
其中：
- uα​：相 α的达西速度。
- krα​(Sw​,So​,Sg​)：相 α的相对渗透率，是饱和度​ Sα​(该相占据的孔隙体积分数)的函数，且 Sw​+So​+Sg​=1。相对渗透率小于1，反映了多相共存时对单相流动能力的阻碍。
- pα​：相 α的压力。各相压力通过毛细压力 pc​关联，例如 pcow​=po​−pw​=f(Sw​)。
3. 连续性方程：对每一相：
ϕ∂t∂(ρα​Sα​)​+∇⋅(ρα​uα​)=qα​
其中 ϕ是孔隙率， qα​是源汇项（如生产井）。
4. 闭合关系：相对渗透率曲线 krα​(Sα​)和毛细压力曲线 pc​(Sw​)必须由实验测定或经验模型给出。

是油气藏数值模拟的基石模型。精度高度依赖于相对渗透率和毛细压力曲线的准确性。

达西定律在多相系统中的扩展、体积平均理论。

油气田开发、地下水污染与修复（NAPLs）、二氧化碳地质封存。特征：强非线性（相对渗透率）、多相耦合、毛细压力效应。

变量：各相饱和度 Sα​， 压力 pα​， 达西速度 uα​。
介质参数：绝对渗透率张量 K， 孔隙率 ϕ。
流体参数：各相粘度 μα​， 密度 ρα​。
关系曲线：krα​(S)， pc​(S)。

耦合的非线性偏微分方程组、饱和度约束、经验关系曲线。

多相渗流、相对渗透率、毛细压力、饱和度。

1. 初始化：给定初始饱和度场和压力场。
2. 计算物性：根据当前饱和度，查表或计算 krα​和 pc​。
3. 计算达西速度：对各相使用多相达西定律。
4. 求解质量守恒方程：隐式或半隐式地求解各相的饱和度方程和压力方程。常用IMPES（隐式压力显式饱和度）或全隐式方法。
5. 时间推进：更新饱和度场，进入下一时间步。

每种流体相在多孔介质中形成相互连接或间断的通道网络。各相在压力梯度、重力、毛细压力驱动下流动，且流动能力受其他相饱和度的强烈影响。流向由各相的有效压力梯度决定。

多相不混溶流体、通过刚性多孔介质的低速渗流。

Flow-L1-0034​

相变/凝固模型

材料加工（铸造、焊接）

焓-多孔介质法

焓-孔隙率法 (Enthalpy-Porosity Method)​

1. 问题描述：模拟材料熔化或凝固过程中的流动与传热，液相可流动，固相静止。
2. 核心思想：将两相区（糊状区）视为一个孔隙率从0（固相）到1（液相）连续变化的多孔介质。动量方程中加入一个与液相分数相关的阻尼源项来抑制固相区的速度。
3. 控制方程：
- 能量方程​ 以焓 H形式表示：∂t∂(ρH)​+∇⋅(ρvH)=∇⋅(k∇T)+Sh​
其中 H=h+ΔH， h=∫cp​dT是显焓， ΔH=βL是潜热， L是潜热， β是液相分数。
- 动量方程​ 中加入糊状区阻尼源项：
∂t∂(ρv)​+∇⋅(ρvv)=−∇p+∇⋅(μ∇v)+ρg​+Su​
其中 Su​=−Amush​β3+ϵ(1−β)2​v， Amush​是糊状区常数（很大，~10^5-10^7）， ϵ是小量防除零。
4. 液相分数：β是温度 T的函数，在相变区间 [Ts​,Tl​]内从0变化到1， 例如线性关系：β=Tl​−Ts​T−Ts​​。
5. 耦合求解：能量方程更新焓和温度，进而更新 β；动量方程中的源项 Su​依赖于 β， 在固相区 (β=0) 强制速度为零。

是处理凝固/熔化相变流动最实用、应用最广的CFD方法。能合理模拟自然对流、通道偏析等。精度受糊状区常数 Amush​和相变区间影响。

将相变区模拟为多孔介质、焓法处理潜热。

金属铸造（定向凝固、连铸）、焊接熔池动态、相变材料储能、冰晶生长。特征：固/液共存，糊状区阻力，强热-流耦合。

变量：速度 v， 压力 p， 焓 H， 温度 T， 液相分数 β。
材料参数：密度 ρ， 粘度 μ， 导热系数 k， 比热 cp​， 潜热 L， 固/液相线温度 Ts​,Tl​。
模型参数：糊状区常数 Amush​。

多物理场耦合、源项法处理相变、焓方程、孔隙度方法。

凝固/熔化、焓-孔隙率、糊状区、多孔介质类比。

1. 初始化：给定全场温度、速度场。
2. 求解能量方程：更新焓场 H。
3. 更新温度与液相分数：由 H和 T的关系（考虑潜热）解出新的 T和 β。
4. 更新动量源项：根据新的 β计算 Su​。
5. 求解动量与连续性方程：在更新的源项下求解流场。
6. 迭代与时间推进：在一个时间步内迭代步骤2-5直至收敛，然后进入下一时间步。

在完全液相区 (β=1)， 流动受浮力（自然对流）和压力驱动。在糊状区 (0<β<1)， 流动受到与 (1−β)2/β3成正比的巨大阻尼。在完全固相区 (β=0)， 速度被强制为零。流向由温度场驱动的浮力主导。

具有固-液相变的材料、Boussinesq近似下的自然对流、非牛顿行为（糊状区高粘度）。

Flow-L1-0035​

多相流模型

气-固/液-固两相流

欧拉-拉格朗日框架

离散相模型 (Discrete Phase Model, DPM)​

1. 建模思想：连续相（流体）用欧拉法求解N-S方程，离散相（颗粒、液滴、气泡）用拉格朗日法追踪大量计算颗粒的运动轨迹。每个计算颗粒代表具有相同属性的真实颗粒群。
2. 颗粒运动方程：基于牛顿第二定律，考虑作用在颗粒上的力：
dtdvp​​=FD​+Fg​+Fo​
其中：
- 拖曳力：FD​=4ρp​dp2​3μCD​Rep​​(u−vp​)， (Re_p = \frac{\rho d_p

\vec{u}-\vec{v}_p

}{\mu})。
- 重力/浮力：Fg​=ρp​(ρp​−ρ)​g​。
- 其他力：Fo​可包含压力梯度力、虚拟质量力、Saffman升力、Magnus力等。
3. 双向耦合：
- 动量耦合：颗粒受到的阻力作为反作用力，以源项形式加入连续相动量方程。
- 热量/质量耦合：颗粒与流体之间的传热/传质也以源项形式加入连续相的能量/组分方程。
4. 随机轨道模型：为考虑湍流对颗粒扩散的影响，在计算颗粒速度时加入随机脉动速度 u′， 其大小由当地湍动能 k决定，方向随机。

适用于离散相体积分数较低（通常<10%）的情形。能详细追踪颗粒轨迹、温度、质量变化。计算量随颗粒数增加而线性增长。

牛顿第二定律作用于颗粒、欧拉-拉格朗日框架、力模型。

喷雾干燥、煤粉燃烧、气力输送、粉尘分离、喷丸强化。特征：拉格朗日颗粒追踪，可考虑复杂力、碰撞、破碎、蒸发等子模型。

变量：连续相：u,p,T； 离散相：每个颗粒的位置 xp​， 速度 vp​， 直径 dp​， 温度 Tp​等。
模型参数：拖曳力系数模型（如Schiller-Naumann）， 湍流扩散模型常数， 颗粒入射条件。

常微分方程组（颗粒轨迹）、随机过程、双向耦合源项。

拉格朗日颗粒、离散相、双向耦合、随机游走。

1. 求解连续相流场：在一个迭代步或时间步内，先求解不考虑颗粒源项的连续相方程，得到流场。
2. 颗粒追踪：在此流场中，沿颗粒轨迹积分颗粒运动方程，更新每个颗粒的位置、速度、温度等。计算湍流脉动速度并叠加。
3. 计算源项：沿颗粒轨迹，累加颗粒与连续相交换的动量、能量、质量，并在颗粒所在的连续相网格单元中计算这些交换量的总和作为源项。
4. 修正连续相：将源项加入连续相控制方程，重新求解流场。
5. 迭代：重复步骤2-4直至双向耦合收敛。

Flow-L1-0036​

流动模型

微流体、电渗流

静电力驱动、双电层

电渗流 (Electroosmotic Flow, EOF)​ 模型

1. 物理背景：在微尺度通道中，固液界面常带电荷，吸引反离子形成双电层。施加轴向电场时，双电层中的净电荷受力，拖动粘性流体运动。
2. 假设：稀溶液，流体不可压缩牛顿流体，双电层厚度（德拜长度 λD​）远小于通道尺度。忽略对流和压力梯度（纯电渗）。
3. 控制方程：
- 静电势：泊松方程 ∇2ψ=−ϵρe​​， 其中体电荷密度 ρe​=∑zi​eni​。
- 离子浓度：玻尔兹曼分布 ni​=ni∞​exp(−kB​Tzi​eψ​)。
结合得泊松-玻尔兹曼方程：∇2ψ=ϵ2n0​ze​sinh(kB​Tzeψ​)。
- 流场：斯托克斯方程（惯性可忽略） 0=−∇p+μ∇2u+ρe​E， 其中 E=−∇ϕ是外电场。
4. 德拜-休克尔近似：当 zeψ≪kB​T， 线性化得赫姆霍兹-斯莫鲁霍夫斯基解。壁面处 (ψ=ζ， Zeta电势) 速度滑移：电渗速度 ueo​=−μϵζ​Ex​。在通道中心区形成均匀的“塞状流”剖面。

对小电势、薄双电层情形下的EOF描述精确。是微流控芯片中泵送和操控流体的基础模型。忽略表面传导和焦耳热效应。

静电学、电动力学、双电层理论、斯托克斯流。

微流控芯片、毛细管电泳、芯片实验室、药物输送。特征：塞状流剖面，无运动部件泵送，流速与电场强度成正比。

变量：静电势 ψ， 离子浓度 ni​， 速度 u， 压力 p， 外电势 ϕ。
材料参数：介电常数 ϵ， 粘度 μ， Zeta电势 ζ， 离子价 z， 本底浓度 n0​。
物理常量：电子电荷 e， 玻尔兹曼常数 kB​， 温度 T。

泊松-玻尔兹曼方程、斯托克斯方程、线性化近似、滑移边界条件。

电渗流、双电层、泊松-玻尔兹曼、塞状流。

1. 求解电势分布：给定壁面Zeta电势 ζ和外加电场 Ex​， 求解泊松-玻尔兹曼方程得到双电层内的电势分布 ψ(y)。
2. 计算体电荷密度：ρe​(y)=−ϵ∇2ψ或从玻尔兹曼分布得到。
3. 求解流场：将 ρe​(y)Ex​作为体积力源项代入斯托克斯方程，求解速度分布 u(y)。边界条件：壁面无滑移 u(0)=0。
4. 得到速度剖面：在德拜-休克尔近似下，解为 u(y)=μϵEx​​[ζ−ψ(y)]， 在通道中心趋于常数 ueo​=−μϵζ​Ex​。

流动由静电力驱动。在极靠近壁面的双电层内（纳米尺度），速度从0急剧变化到滑移速度。在双电层外的大部分区域，速度均匀，形成“塞状流”。流向平行于外加电场方向。

不可压缩牛顿流体（如水溶液）、稀电解质、等温、低雷诺数。

Flow-L1-0037​

湍流模型

直接模拟

无模型、直接离散NS

直接数值模拟 (Direct Numerical Simulation, DNS)​

1. 核心思想：不对湍流做任何建模，直接数值求解三维、非稳态的纳维-斯托克斯方程，解析从积分尺度到耗散尺度的所有湍流涡结构。
2. 分辨率要求：根据湍流的Kolmogorov尺度，所需网格数 N∼ReL9/4​， 时间步长也需相应减小。计算成本极高。
3. 数值方法：需要高精度、低耗散的离散格式（如谱方法、高阶紧致差分格式、高阶有限体积法）和高精度的时间推进格式（如高阶龙格-库塔法）。
4. 边界条件：需仔细设置，防止虚假反射。常用周期性边界条件（适用于均匀湍流）或加缓冲区（用于进出口）。
5. 初始条件：通常给定一个满足统计特性的随机扰动速度场，或从一个较低雷诺数的DNS结果插值放大。

在给定的离散精度和分辨率下，DNS提供了最精确的湍流解，被视为“数值实验”。是发展和验证湍流模型的金标准。

纳维-斯托克斯方程是湍流流动的精确控制方程（在连续介质假设下）。

基础湍流研究（各向同性衰减湍流、槽道湍流、边界层转捩）、湍流模型验证、新物理现象探索。特征：计算量巨大，限于低/中等雷诺数和简单几何。

变量：瞬时的 v(x,t),p(x,t)。
参数：雷诺数 Re， 计算域尺寸 L， 网格尺寸 Δx,Δy,Δz必须小于Kolmogorov尺度 η， 时间步长 Δt需满足CFL条件。

三维非稳态偏微分方程组、高精度数值格式、各向同性耗散尺度。

直接模拟、无模型、高分辨率、高计算成本。

1. 前处理：生成极高分辨率的计算网格，确保 Δx<η。
2. 初始化：设置满足统计特性的初始速度场。
3. 时间推进：在每个极小的时间步 Δt：
a. 计算对流项和粘性项（使用高精度格式）。
b. 求解压力泊松方程（通常使用快速傅里叶变换FFT或多重网格法）。
c. 更新速度场。
4. 统计：运行足够长时间以达到统计稳态，然后长时间采样，计算湍流统计量（平均速度、雷诺应力、能谱等）。

流动由瞬时的、三维的、包含所有尺度涡结构的 v(x,t)精确描述。流向由惯性、压力、粘性力的瞬时局部平衡决定。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、湍流（所有尺度被解析）。

Flow-L1-0038​

多相流模型

沸腾、空化

均相流模型、相变率模型

空化模型 (Singhal et al. Full Cavitation Model)​

1. 应用场景：模拟液体中因局部压力低于饱和蒸汽压而形成蒸汽泡（空化）的过程。
2. 均相流假设：汽-液两相混合视为具有均一速度和温度的单一介质，但密度可变。用蒸汽体积分数 αv​描述。
3. 输运方程：蒸汽质量分数的输运方程：
∂t∂(ρm​fv​)​+∇⋅(ρm​vfv​)=∇⋅(Γ∇fv​)+m˙+−m˙−
其中 fv​=αv​ρv​/ρm​是蒸汽质量分数， ρm​=αv​ρv​+(1−αv​)ρl​。
4. 相变率模型：
- 蒸发（当 p≤pv​）：m˙+=Ce​σk​​ρl​ρv​32​ρl​pv​−p​​(1−fv​)
- 凝结（当 p>pv​）：m˙−=Cc​σk​​ρl​ρv​32​ρl​p−pv​​​fv​
其中 Ce​,Cc​是经验常数， k是湍动能， σ是表面张力系数， pv​是饱和蒸汽压（可考虑热力学效应修正）。
5. 湍流效应：相变率与 k​相关，体现了湍流脉动对空化过程的促进作用。

工程上广泛应用，能模拟空化云的形成、脱落和溃灭。精度依赖于经验常数 Ce​,Cc​的标定，并受湍流模型影响。

均相流假设、瑞利-普莱塞特气泡动力学方程的简化、相变率建模。

水泵、水轮机、燃料喷射器、螺旋桨、水翼空化。特征：模拟相变产生/消失，压力恢复导致空泡溃灭。

变量：混合密度 ρm​， 蒸汽体积分数 αv​， 速度 v， 压力 p。
模型参数：蒸发常数 Ce​(~0.02)， 凝结常数 Cc​(~0.01)， 饱和蒸汽压 pv​(T)， 表面张力 σ。
湍流量：湍动能 k。

输运方程、代数相变率、与湍动能耦合、经验常数。

空化、均相流、相变率、经验常数。

1. 求解混合相流场：求解基于 ρm​和 v的单相N-S方程。
2. 计算相变率：根据当地压力 p、湍动能 k和蒸汽分数 fv​， 计算 m˙+和 m˙−。
3. 求解蒸汽输运方程：更新蒸汽质量分数场 fv​。
4. 更新混合物物性：αv​=fv​ρm​/ρv​， ρm​=[fv​/ρv​+(1−fv​)/ρl​]−1。
5. 迭代：重复步骤1-4直至收敛。

在低压区（如绕流体的吸力面），压力低于饱和蒸汽压，蒸发项 m˙+激活，蒸汽分数 αv​增加，局部密度 ρm​下降。在高压区，凝结项 m˙−激活，蒸汽凝结。流动由高度可变的密度场驱动，空泡的生成和溃灭产生强烈的非定常性。

液-汽两相流、有相变（空化）、可压缩性效应显著、强瞬态。

Flow-L1-0039​

流动模型

磁流体动力学

导电流体、电磁力

磁流体动力学 (MHD) 方程​

1. 物理背景：导电流体（如液态金属、等离子体）在磁场中运动，产生感应电流，进而受到洛伦兹力作用，从而耦合流体力学和电磁学。
2. 控制方程：
- 流体部分：修改的N-S方程，增加洛伦兹力体积力：
ρ(∂t∂v​+(v⋅∇)v)=−∇p+μ∇2v+J×B+ρg​
- 电磁部分：麦克斯韦方程组，在磁流体力学近似下（低磁雷诺数 Rem​或感应方程）：
∂t∂B​=∇×(v×B)+ηm​∇2B(感应方程)
J=μ0​1​∇×B(安培定律， 忽略位移电流)
∇⋅B=0
其中 ηm​=1/(μ0​σe​)是磁扩散率， σe​是电导率， μ0​是真空磁导率。
3. 无量纲数：
- 哈特曼数 Ha=BLσe​/μ​， 表征电磁力与粘性力之比。
- 磁雷诺数 Rem​=μ0​σe​UL， 表征对流与磁扩散之比。

对导电流体在磁场中的流动提供了自洽描述。求解复杂，涉及多物理场强耦合。

纳维-斯托克斯方程、麦克斯韦方程组、欧姆定律（J=σe​(E+v×B)）。

液态金属冷却快堆、铝电解槽、电磁铸造、等离子体推进、天体物理（太阳风、地磁发电机）。特征：流动受电磁力抑制或驱动，可能产生哈特曼层。

变量：速度 v， 压力 p， 磁场 B， 电流密度 J。
材料参数：电导率 σe​， 磁导率 μ0​， 密度 ρ， 粘度 μ。
外加参数：外加强磁场 B0​。

耦合的偏微分方程组、洛伦兹力、感应方程、矢量场分析。

磁流体、MHD、洛伦兹力、感应方程。

1. 求解磁场：给定速度场，求解感应方程更新磁场 B。
2. 计算电流和洛伦兹力：J=∇×B/μ0​， FL​=J×B。
3. 求解流体方程：将洛伦兹力作为源项，求解动量方程和连续性方程，更新速度场和压力场。
4. 耦合迭代：重复步骤1-3直至流场和磁场均收敛。对于低 Rem​， 磁场可视为不受流动扰动的外加场，步骤1可省略。

流动由速度场、压力场和磁场共同描述。导电流体切割磁感线产生感应电流，该电流与磁场相互作用产生洛伦兹力，此力通常垂直于流速和磁场方向，起到抑制流动（阻尼）或驱动流动（泵送）的作用。

导电流体（如液态金属、等离子体）、不可压缩、牛顿流体。

Flow-L1-0040​

本构模型

非牛顿流体（粘弹性）

积分型本构方程

K-BKZ 型积分模型​

1. 物理思想：应力是应变历史的泛函，适用于描述具有显著应变记忆和法向应力效应的聚合物熔体。
2. 一般形式：
τ(t)=∫−∞t​M(t−t′)[h1​(I1​,I2​)Ct−1​(t′)+h2​(I1​,I2​)Ct​(t′)]dt′
其中：
- M(t−t′)：记忆函数，描述过去时刻 t′的变形对当前应力贡献的权重，常取多模指数衰减形式 M(s)=∑i​λi​Gi​​e−s/λi​。
- Ct−1​(t′)和 Ct​(t′)：分别是相对于当前时间 t的Finger应变张量和Cauchy应变张量，它们包含了从 t′到 t的变形历史。
- h1​,h2​：应变衰减函数，是应变张量不变量 I1​,I2​的函数，用于描述非线性（如剪切变稀）。经典形式有 Wagner, PSM 模型等。
3. 优点：能统一描述材料的线性粘弹性和非线性行为，理论框架严谨。

能非常准确地描述聚合物熔体的复杂流变行为，包括剪切变稀、法向应力差、应力松驰和伸长硬化。计算成本非常高。

连续介质力学中的简单流体理论、泛函展开、应变历史依赖。

聚合物挤出、吹塑、纺丝等复杂加工过程的精密模拟。特征：积分型，明确包含变形历史，可描述强记忆效应。

变量：应力张量 τ(t)， 变形梯度历史 Ft​(t′)。
材料参数：松弛模量谱 Gi​,λi​， 应变衰减函数 h1​,h2​中的参数（如阻尼系数）。

泛函积分、应变张量、记忆函数、非线性衰减函数。

积分型、记忆函数、K-BKZ、粘弹性。

1. 记录历史：在计算过程中，需要存储每个材料点（或网格点）在过去一段时间内的变形梯度历史 Ft​(t′)。
2. 计算应变张量：在每一时间步，对每个材料点，基于其变形历史计算 Ct−1​(t′)和 Ct​(t′)以及不变量 I1​,I2​。
3. 数值积分：对时间积分进行数值计算，求和过去所有时间步的贡献：
τ(t)≈∑k​M(t−tk​)[h1​(I1​,I2​)Ct−1​(tk​)+h2​(I1​,I2​)Ct​(tk​)]Δtk​。
4. 代入动量方程：将计算出的应力代入动量方程求解流场。
5. 更新历史：用新的变形梯度更新历史信息。

流动由速度场和应力泛函描述。某点的应力状态取决于该点材料元从过去到现在所经历的全部变形路径。这种历史依赖性使得流动具有强烈的记忆效应和复杂的非线性响应。

不可压缩、高度粘弹性的流体（如聚合物熔体）。

Flow-L1-0041​

流动模型

旋转流体、地球物理流体

科里奥利力主导

地转流/泰勒-普劳德曼定理 (Geostrophic Flow/Taylor-Proudman Theorem)​

1. 物理背景：在大尺度地球物理流动（大气、海洋）中，旋转效应（科里奥利力）与压力梯度力平衡为主导，粘性和惯性力相对较小。
2. 地转平衡：对于快速旋转 (Ω)、均匀密度的流体，在旋转参考系中，水平动量方程简化（罗斯比数 Ro=U/(ΩL)≪1， 埃克曼数 Ek=ν/(ΩL2)≪1）为：
−2ρ(Ω×v)h​=−∇h​p
即科里奥利力与水平压力梯度力平衡。由此得地转速度：
ug​=−2Ωρ1​∂y∂p​， vg​=2Ωρ1​∂x∂p​。
3. 泰勒-普劳德曼定理：在上述近似下，对动量方程取旋度，可得：
2(Ω⋅∇)v=0
如果旋转轴沿 z方向 (Ω=Ωz^)， 则 ∂z∂v​=0。这意味着在旋转主导的流动中，速度场沿旋转轴方向是均匀的，流动是二维的。这抑制了沿旋转轴方向的运动变化，形成了著名的“泰勒柱”现象。

对大尺度、低罗斯比数的地球物理流动是很好的近似。是理解大气高压/低压系统、大洋环流西向强化基础理论。

旋转参考系下的动量方程、尺度分析、地转近似。

大气天气系统、大洋环流、旋转机械中的核心流动、实验室旋转台实验。特征：科里奥利力与压力梯度平衡，流动准二维，存在泰勒柱。

变量：速度 v， 压力 p。
参数：旋转角速度 Ω， 密度 ρ(均匀)， 特征尺度 L， 特征速度 U。
无量纲数：罗斯比数 Ro， 埃克曼数 Ek。

矢量分析、旋度运算、尺度分析、准二维性。

地转、旋转、科里奥利力、泰勒-普劳德曼。

1. 给定压力场：例如，从观测或简化模型得到大尺度压力场 p(x,y)。
2. 计算地转速度：直接利用公式 ug​=−fρ1​∂y∂p​， vg​=fρ1​∂x∂p​计算，其中 f=2Ωsin(ϕ)是科里奥利参数（考虑球面）。
3. 验证：检查得到的流场是否满足连续性方程 ∇h​⋅vh​=0， 这要求压力场满足 ∇h2​p=0， 否则需引入年龄ostrophic流进行修正。
4. 垂直结构：根据泰勒-普劳德曼定理，水平速度不随深度（旋转轴方向）变化。

流动是准水平的，并沿着等压线运动。在北半球，背风而立，高压在右，低压在左。流动沿旋转轴方向（垂直方向）均匀，形成“柱状”结构。

均匀密度、快速旋转、低罗斯比数和埃克曼数的流体。

Flow-L1-0042​

多孔介质传质模型

地下水污染、石油工程

对流-扩散-吸附方程

对流-弥散方程 (Advection-Dispersion Equation, ADE)​

1. 物理过程：溶质在多孔介质中随流体运动时，经历三种主要过程：对流（随平均流速运动）、水动力弥散（由于孔隙速度不均匀和分子扩散导致的展宽）、以及吸附/解吸、化学反应等。
2. 方程推导：基于质量守恒，考虑通量包括对流通量 uc和弥散通量 −D⋅∇c。
3. 控制方程：
∂t∂(ϕc)​+ρb​∂t∂cˉ​=−∇⋅(uc)+∇⋅(ϕD⋅∇c)+R
其中：
- c：流体相中的溶质浓度。
- ϕ：孔隙率。
- ρb​：多孔介质体积密度。
- cˉ：吸附相中的溶质浓度（单位质量固体），通常与 c有等温吸附关系，如线性 cˉ=Kd​c， 弗罗因德利希 cˉ=KF​cn， 或朗缪尔关系。
- D：水动力弥散张量， (\mathbf{D} = \alpha_T

\vec{u}

\mathbf{I} + (\alpha_L - \alpha_T)\frac{\vec{u}\vec{u}}{

\vec{u}

} + D_m \tau \mathbf{I})， 其中 αL​,αT​是纵向/横向弥散度， Dm​是分子扩散系数， τ是曲折度。
- R：化学反应源项。
4. 流速场：u通常由达西定律或更复杂的多相流模型提供。

是模拟地下水污染物迁移、油气藏中示踪剂测试、土壤修复的基础模型。精度受弥散度 αL​,αT​和吸附参数 Kd​的强烈影响，这些参数通常需现场试验标定。

质量守恒定律、菲克定律（弥散）、吸附等温线。

地下水污染物羽流模拟、填埋场渗滤液迁移、土壤淋洗、油气藏示踪剂解释。特征：对流主导时可能产生陡峭浓度锋面，数值求解易出现数值扩散或振荡。

变量：溶质浓度 c(x,t)， 吸附浓度 cˉ。
介质参数：孔隙率 ϕ， 体积密度 ρb​， 弥散度 αL​,αT​， 曲折度 τ。
吸附参数：分布系数 Kd​， 或等温线参数 KF​,n。
流动输入：达西速度场 u(x,t)。

对流-扩散方程、吸附等温线（代数或非线性）、张量弥散、反应源项。

Flow-L1-0043​

流动模型

薄膜流动、涂层

润滑近似

薄液膜润滑方程 (Thin Film Lubrication Equation)​

1. 适用条件：液膜厚度 h远小于水平特征长度 L， 即坡度 ϵ=h/L≪1。雷诺数较小，表面张力可能重要。
2. 尺度分析：基于 ϵ对N-S方程和边界条件进行量级分析，略去高阶小量。
3. 推导方程：对于二维倾斜平板上的重力驱动薄膜流动，最终得到液膜厚度 h(x,t)的演化方程：
∂t∂h​+∂x∂​[3μρgh3​(sinθ−cosθ∂x∂h​)+3μσh3​∂x3∂3h​]=0
其中：
- 第一项：时间变化。
- 方括号内：体积流量。
- 3μρgh3​sinθ：重力驱动项。
- −3μρgh3​cosθ∂x∂h​：重力沿坡面分量的调制项（因液面倾斜）。
- 3μσh3​∂x3∂3h​：表面张力项（抵抗液面曲率变化）。
4. 边界条件：在接触线处需处理移动接触线奇异性，通常引入滑移长度模型。

对坡度很小的薄膜流动高度精确。是分析涂层均匀性、液膜不稳定性的强大工具。

纳维-斯托克斯方程的润滑近似、长波近似、尺度分析。

涂料涂布、芯片旋涂、泪滴形成、眼部泪液动力学、冷凝液膜流动。特征：方程降为一维/二维的高度演化方程，包含非线性和高阶导数。

变量：液膜厚度 h(x,y,t)。
参数：密度 ρ， 粘度 μ， 表面张力 σ， 倾斜角 θ， 重力加速度 g。
无量纲数：毛细数 Ca=μU/σ， 邦德数 Bo=ρgL2/σ。

非线性偏微分方程、高阶导数（表面张力）、长波近似、润滑理论。

薄膜、润滑近似、表面张力、演化方程。

1. 初始化：给定初始膜厚分布 h(x,0)。
2. 时间推进：在每个时间步，计算方括号内的流量 Q=3μρgh3​(sinθ−cosθ∂x∂h​)+3μσh3​∂x3∂3h​。
3. 更新膜厚：求解 ∂t∂h​=−∂x∂Q​， 更新 h。
4. 迭代：重复步骤2-3直至达到稳态或所需时间。

流动被简化为由膜厚 h表征。截面上的速度剖面是抛物线型的（泊肃叶流）。流向由重力、表面张力和压力梯度共同驱动，这些力都表达为 h及其导数的函数。

牛顿流体、不可压缩、粘性、薄层流动，考虑表面张力。

Flow-L1-0044​

湍流模型

分离涡模拟

混合RANS-LES

脱体涡模拟 (Detached Eddy Simulation, DES)​

1. 设计思想：在近壁区使用RANS模型（计算量小，可处理高雷诺数壁面流动），在远离壁面的分离区（大尺度分离涡主导区）使用LES方法（精度高）。目标是经济地模拟大尺度分离的非定常流动。
2. 关键修改：修改RANS模型的湍流长度尺度。以SST k−ωDES为例，其耗散项中的长度尺度取：
lDES​=min(lRANS​,CDES​Δ)
其中 lRANS​=k​/(β∗ω)是SST模型的RANS长度尺度， Δ=max(Δx,Δy,Δz)是当地网格的最大尺寸， CDES​是模型常数（~0.65）。
3. 模式切换：
- 在近壁区，网格很细 (Δ很小)，通常 lRANS​<CDES​Δ， 因此 lDES​=lRANS​， 模型表现为RANS。
- 在远离壁面的区域，网格较粗 (Δ较大)，当 CDES​Δ<lRANS​时， lDES​=CDES​Δ， 模型转变为类似Smagorinsky的LES模型（因为 (k \sim l_{DES}^2

S

^2)）。
4. 注意事项：需避免网格诱导分离，即网格过细导致在边界层内过早触发LES模式。有改进版本DDES、IDDES来解决此问题。

比LES计算量小，比URANS精度高，特别适用于有大尺度分离的非定常流动。精度依赖于网格设计和模式切换的合理性。

混合RANS-LES思想、湍流长度尺度限制。

汽车外气动（瞬态尾涡）、飞机大攻角失速、建筑物风荷载、涡轮机械内部非定常分离。特征：近壁RANS， 分离区LES， 自适应的混合模型。

变量：同底层RANS模型（如SST的 k,ω,v,p）， 但增加了DES长度尺度 lDES​。
模型参数：CDES​， 以及底层RANS模型的所有常数。
网格参数：当地网格尺度 Δ。

混合模型、长度尺度切换、网格依赖性、RANS-LES耦合。

混合模型、DES、分离涡、非定常分离流。

1. 网格生成：生成混合网格，近壁网格满足RANS要求（y+∼1）， 分离区网格足够细以解析大尺度涡。
2. 求解：在每个时间步，对每个单元：
a. 计算RANS长度尺度 lRANS​和网格尺度 Δ。
b. 确定DES长度尺度 lDES​=min(lRANS​,CDES​Δ)。
c. 在湍流模型方程（如 k或 ω方程）中，用 lDES​替换 lRANS​以修改耗散项。
d. 求解修改后的RANS/LES混合方程组。
3. 时间推进：进行非定常计算，采集统计数据。

Flow-L1-0045​

多相流模型

液-液两相流、乳液

群体平衡模型

群体平衡方程 (Population Balance Equation, PBE)​

1. 应用场景：描述分散相（气泡、液滴、颗粒）在连续相中，由于破碎、聚并、生长、成核等过程导致的尺寸分布演化。
2. 方程形式：定义数量密度函数 n(v,x,t)， 表示在位置 x、时间 t， 体积在 v到 v+dv范围内的颗粒数。PBE为：
∂t∂n​+∇⋅(un)+∂v∂​(Gn)=Bb​−Db​+Bc​−Dc​
其中：
- ∇⋅(un)：对流项。
- ∂v∂​(Gn)：生长项（G=dv/dt， 如由于相变或溶解）。
- Bb​,Db​：破碎引起的生成和消亡项。
- Bc​,Dc​：聚并引起的生成和消亡项。
3. 破碎与聚并核函数：
- 破碎：(B_b = \int_v^\infty a(v') \beta(v

v') b(v') n(v') dv')， Db​=b(v)n(v)。 b(v)是破碎频率， (\beta(v

v'))是子粒分布函数。
- 聚并：Bc​=21​∫0v​a(v−v′,v′)n(v−v′)n(v′)dv′， Dc​=n(v)∫0∞​a(v,v′)n(v′)dv′。 a(v,v′)是聚并核函数。
4. 求解方法：矩方法、离散区间法、蒙特卡洛法。

能详细描述分散相尺寸分布，对于乳化、结晶、气泡柱等过程至关重要。计算复杂，核函数模型不确定性大。

数量守恒、统计动力学。

搅拌釜反应器、浮选柱、乳液制备、结晶过程、喷雾塔。特征：积分-微分方程，描述分布演化，与流场强耦合。

变量：数量密度函数 n(v,x,t)或其矩 mk​=∫0∞​vkndv。
模型参数：破碎核 b(v)， 子粒分布 (\beta(v

v'))， 聚并核 a(v,v′)， 生长率 G。
耦合变量：连续相速度 u， 湍流耗散率 ϵ(影响核函数)。

积分-微分方程、矩变换、群体平衡、破碎聚并核。

群体平衡、尺寸分布、破碎、聚并。

Flow-L1-0046​

流动模型

血液动力学

脉搏波传播、弹性管

一维脉搏波传播模型 (1D Pulse Wave Propagation Model)​

1. 建模目标：模拟血液在弹性动脉系统中的脉搏波传播，用于研究血压波形、波反射等，计算量远小于三维FSI。
2. 基本假设：血管为细长弹性圆管，流动轴对称，横截面上速度剖面有固定形状（如扁平形）。
3. 控制方程：从三维NS方程在截面上平均得到一维方程：
- 连续性方程：∂t∂A​+∂x∂(Au)​=0
- 动量方程：∂t∂u​+u∂x∂u​+ρ1​∂x∂p​=−ρ2πμ​A/A0​u​(考虑摩擦损失)
其中 A(x,t)是血管横截面积， u(x,t)是截面平均流速， p(x,t)是平均压力。
4. 状态方程 (管律)：闭合方程组需要 p与 A的关系。常用线性弹性模型：p=pext​+34​r0​Eh​(1−AA0​​​)， 或指数型模型。其中 E是杨氏模量， h是壁厚， r0​,A0​是参考半径和面积。
5. 波速：小扰动波速（Moens-Korteweg波速） c=ρA​∂A∂p​​=2ρr0​Eh​​(对于薄壁弹性管)。

能高效模拟动脉树中压力/流量波形的传播、反射和相互作用。无法提供血管局部流动细节（如二次流、壁面剪切应力分布）。

一维流动的平均方程、流体-结构相互作用的简化（管律）、特征线理论。

心血管系统模拟、动脉硬化研究、体外循环设备设计、无创血压波形分析。特征：一维双曲型方程组，可模拟波传播，计算高效。

变量：横截面积 A(x,t)， 平均流速 u(x,t)， 压力 p(x,t)。
几何参数：参考面积 A0​(x)， 参考半径 r0​(x)， 血管长度 L。
材料参数：血液密度 ρ， 粘度 μ， 血管壁杨氏模量 E(x)， 壁厚 h(x)。

一维双曲型方程组、特征线法、管律（状态方程）、波传播。

脉搏波、一维、弹性管、波传播。

1. 构建动脉网络：将动脉系统简化为由一维弹性管段连接成的网络，定义每段的几何和材料属性。
2. 离散：对每段血管在空间上离散，时间上采用有限差分或特征线法。
3. 边界条件：在入口给定心输出流量波形，在出口采用集中参数模型（Windkessel模型）模拟下游阻抗。
4. 求解：在每个时间步，联立求解所有血管段的离散化方程和边界条件，更新全网络的 A,u,p。
5. 时间推进。

流动由截面平均流速 u和压力 p描述。心脏的周期性射血产生压力波，该波以波速 c沿弹性动脉传播。在分叉和狭窄处会发生波反射。流向始终沿血管轴向。

不可压缩牛顿流体（血液）、在弹性管道中的非定常流动。

Flow-L1-0047​

流动模型

环境流体力学

分层流、内波

分层流体中的内波 (Internal Waves in Stratified Fluids)​

1. 背景：密度稳定分层（密度随高度减小）的流体中，扰动物体会激发在流体内部传播的波，即内波。浮力是恢复力。
2. 控制方程：在布西内斯克近似下，考虑密度变化只出现在浮力项中。假设背景密度线性分层：ρ0​(z)=ρ00​(1−gN2​z)， 其中 N=−ρ0​0g​dzdρ0​​​是浮力频率（Brunt–Väisälä频率）。
3. 线性化方程：对小扰动 u′,w′,p′,ρ′线性化，并假设无粘、无旋，可推导出关于垂直速度扰动 w′的方程：
∂t2∂2​(∇2w′)+N2∇h2​w′=0
其中 ∇h2​=∂2/∂x2+∂2/∂y2是水平拉普拉斯算子。
4. 平面波解：设解为 w′=W0​ei(kx+mz−ωt)， 代入得内波频散关系：
ω2=N2k2+m2k2​=N2cos2θ
其中 θ是波矢量与水平面的夹角。这表明内波频率被限制在 0<ω<N之间，且相速度与群速度垂直。
5. 特征：等相位面沿波矢方向传播，而能量（群速度）沿与波矢垂直的方向传播。

线性理论能很好地描述小振幅内波的传播特性。非线性效应会导致波破碎、混合等复杂现象。

布西内斯克近似、线性波动理论、浮力作为恢复力。

大气和海洋中的山地波、潮汐内波、船舶在分层海洋中航行激发的内波、数据中心热分层。特征：频率低于N， 能量传播方向与相位传播方向垂直。

变量：扰动速度 (u′,w′)， 扰动压力 p′， 扰动密度 ρ′。
背景参数：浮力频率 N， 背景密度剖面 ρ0​(z)。
波参数：波数 k,m， 频率 ω， 波矢角 θ。

线性偏微分方程、频散关系、平面波解、波矢量分析。

内波、分层、浮力频率、频散关系。

1. 设定背景：给定分层 N(z)和扰动源（如振荡物体、地形）。
2. 求解波动方程：在给定边界条件下求解控制方程（如上述 w′方程），得到波场。
3. 分析传播：根据频散关系，确定不同频率波的传播方向。能量沿与等相位面垂直的方向传播。
4. 非线性效应：大振幅时，需考虑非线性，波可能变陡并破碎，引发混合。

流体在垂直方向密度分层。当流体元在垂直方向被扰动时，浮力会使其回到平衡位置，从而发生振荡。这种振荡通过压力场耦合，在水平方向传播，形成内波。波阵面沿与水平成 θ角的方向传播，能量沿与之垂直的方向输运。

稳定分层的、粘性可忽略的流体，考虑布西内斯克近似。

Flow-L1-0048​

多相流模型

流化床

气-固两相流、颗粒动力学

颗粒动力学理论 (Kinetic Theory of Granular Flow, KTGF)​

1. 应用场景：模拟稠密气-固流动（如流化床），其中颗粒间碰撞频繁，需考虑颗粒的脉动能量（颗粒温度）。
2. 与双流体模型结合：将固体相视为类似气体的连续介质，但本构关系基于颗粒动力学理论推导。
3. 核心变量：
- 颗粒温度​ Θs​=31​<C′⋅C′>， 其中 C′是颗粒脉动速度。表征颗粒随机运动的动能。
**4. 本

Flow-L1-0049​

本构模型

气-固两相流（稠密）

颗粒相应力、颗粒温度输运

颗粒动力学理论 (KTGF) 本构模型​

1. 类比：将稠密颗粒相的运动类比于气体分子运动论，定义“颗粒温度” Θs​=31​<C’⋅C’>表征颗粒脉动动能。
2. 本构关系：基于KTGF推导颗粒相应力张量、耗散等：
- 颗粒相应力：Ps​=[ps​+(λs​−32​μs​)∇⋅vs​]I+2μs​Ss​
其中颗粒相压力 ps​=ρs​αs​[1+2(1+e)g0​]Θs​， 剪切粘度 μs​和体积粘度 λs​是 αs​,Θs​,e,g0​的函数。
- 颗粒相脉动能输运方程：
23​[∂t∂​(ρs​αs​Θs​)+∇⋅(ρs​αs​vs​Θs​)]=(−ps​I+τs​):∇vs​+∇⋅(kΘ​∇Θs​)−γΘ​+ϕgs​
右边依次为：产生项（剪切产生）、扩散项、耗散项（非弹性碰撞）、气相-固相脉动能量交换项。
3. 径向分布函数：g0​=[1−(αs​/αs,max​)1/3]−1， 表征颗粒碰撞概率。
4. 与双流体模型耦合：此本构关系为双流体模型中的固体相提供了封闭的应力和输运性质。

为稠密气-固流动提供了比简单粘性模型更物理的描述，能预测颗粒聚团、鼓泡等现象。精度依赖于恢复系数 e、颗粒-颗粒碰撞模型等参数的准确性。

气体分子运动论类比、稠密颗粒流动力学、非弹性碰撞。

鼓泡流化床、循环流化床提升管、密相气力输送、流化床反应器。特征：考虑了颗粒碰撞和脉动能量，能模拟颗粒相的非牛顿特性和聚集行为。

变量：固相体积分数 αs​， 速度 vs​， 颗粒温度 Θs​。
材料参数：颗粒直径 dp​， 密度 ρs​， 恢复系数 e， 颗粒-壁面恢复系数 ew​。
模型参数：径向分布函数 g0​中的最大堆积浓度 αs,max​(~0.65)。

统计力学、输运方程、非线性本构、颗粒温度。

颗粒动力学、颗粒温度、稠密、非弹性碰撞。

1. 求解连续相（气相）流场。
2. 计算颗粒相属性：基于当前 αs​,vs​,Θs​计算 ps​,μs​,λs​,kΘ​,γΘ​。
3. 求解固相动量方程：使用KTGF本构计算应力 Ps​， 并求解。
4. 求解颗粒温度方程：更新 Θs​。
5. 耦合迭代：与气相方程耦合求解直至收敛。

固体颗粒被看作一种具有“温度”（脉动强度）的连续介质。颗粒间的碰撞传递动量和脉动能量，产生颗粒相压力和粘度。高浓度区域颗粒温度低，流动性差，可能导致聚团。流向由气固拖曳力、颗粒应力和重力共同决定。

稠密气-固两相流，颗粒间碰撞主导，固体相被视为可压缩连续介质。

Flow-L1-0050​

流动模型

燃料电池、多孔电极

多物理场耦合（流、电、化）

质子交换膜燃料电池 (PEMFC) 多物理场模型​

1. 物理过程：涉及气体通道内的对流扩散、多孔电极内的扩散与电化学反应、膜内的质子与水传输。
2. 控制方程：
- 流动与传质：气体通道内采用NS方程+组分方程；多孔电极内采用Brinkman方程扩展达西定律+Maxwell-Stefan方程描述多组分扩散。
- 电荷守恒：
电子导体相：∇⋅(−σs​∇ϕs​)=−Sϕ​
质子导体相（膜）：∇⋅(−σm​∇ϕm​)=Sϕ​
源项 Sϕ​=j是局部电流密度，由Butler-Volmer方程给出：j=j0​[exp(RTαa​Fη​)−exp(−RTαc​Fη​)]， 其中过电位 η=ϕs​−ϕm​−Eeq​。
- 水传输：膜内水传输包含电渗拖曳、反扩散和压力驱动流动。
3. 耦合：反应速率 j依赖于反应气体浓度 (O2​,H2​) 和温度，反过来产生热、水和电流。

综合模型能详细模拟燃料电池内部的电流密度分布、水热管理、性能优化。复杂度高，需大量材料参数（电导率、渗透率、交换电流密度等）。

质量、动量、能量、电荷守恒定律，电化学动力学（Butler-Volmer），多孔介质传输。

燃料电池堆设计、水热管理优化、失效分析（水淹、干涸）。特征：强非线性，多物理场（流、热、质、电、化）紧密耦合。

变量：速度 v， 压力 p， 各组分浓度 ci​， 电子电势 ϕs​， 质子电势 ϕm​， 温度 T， 膜水含量 λ。
材料参数：电导率 σs​,σm​， 渗透率 K， 扩散系数 Dij​， 电化学参数 j0​,αa​,αc​。
操作参数：电池电压 Vcell​， 进气湿度、压力、化学计量比。

偏微分方程组、多物理场耦合、电化学动力学、多孔介质传输。

燃料电池、多物理场、电化学、PEMFC。

1. 求解流场与浓度场：在流道和电极中求解。
2. 计算局部反应速率：根据当地浓度、温度、电势，用Butler-Volmer方程计算 j。
3. 求解电势场：将 j作为源汇，分别求解电子导体和质子导体的电势方程。
4. 更新源项：根据电流分布更新热量源、水产生源、反应物消耗源。
5. 耦合迭代：重复1-4直至所有场变量收敛。
6. 计算性能：积分电流密度得总电流，计算功率密度。

反应气体 (H2​,O2​) 通过对流和扩散输运至催化剂表面。在电极三相界面发生电化学反应，产生质子、电子和水。质子通过膜传导，电子通过外电路传导。产生的水通过蒸发和对流被带走。流动、传质、电化学反应和电荷传导强烈耦合，决定了电池的性能分布。

多组分气体（可压缩）、液体水、在多孔介质和通道中的流动，涉及相变和电化学反应。

Flow-L1-0051​

本构模型

血液、生物流体

广义牛顿流体、剪切变稀

卡森流体模型 (Casson Fluid Model)​

1. 物理背景：描述具有屈服应力且在高剪切率下粘度趋于定值的流体。最初为模拟血液流变行为而提出。
2. 本构关系：
{τ​=τy​​+μ∞​γ˙​​γ˙​=0​for τ≥τy​for τ<τy​​
或等价为表观粘度：
η=[γ˙​​τy​​+μ∞​γ˙​​​]2=μ∞​+γ˙​τy​​+2γ˙​μ∞​τy​​​
3. 参数意义：
- τy​：屈服应力，血液中源于红细胞聚集体。
- μ∞​：高剪切率下的极限粘度，代表完全 disaggregated 的红细胞悬浮液的粘度。
4. 血液应用：能描述血液在低剪切率下的高粘度（由于红细胞叠连）和高剪切率下的近似牛顿行为。常用于大中动脉的流动分析。

能较好地拟合健康人血液在中等剪切率范围内的流变数据。在极低和极高剪切率下有偏差。比幂律模型多一个参数，物理意义更明确。

经验本构关系，结合了屈服应力和高剪切牛顿平台。

动脉血液流动模拟（特别是低剪切区）、巧克力、涂料、某些化妆品。特征：有屈服应力，高剪切下趋于常数粘度。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​。
材料参数：屈服应力 τy​， 高剪切极限粘度 μ∞​。

分段函数、屈服应力、高剪切牛顿平台、平方根关系。

卡森流体、血液流变学、屈服应力、剪切变稀。

1. 计算剪切率：γ˙​。
2. 判断屈服：若计算出的应力（基于上一迭代步）小于 τy​， 则令 γ˙​=0。
3. 计算表观粘度：η=μ∞​+γ˙​τy​​+2γ˙​μ∞​τy​​​(需正则化处理 γ˙​→0)。
4. 求解动量方程：代入广义牛顿流体模型。
5. 迭代。

在核心低剪切区，剪切应力可能低于屈服应力，形成近似刚性的“塞流”核心。在近壁高剪切区，流体屈服，粘度从极高值下降并趋于 μ∞​，速度剖面比抛物线更钝。

不可压缩、具有屈服应力和高剪切牛顿平台的非牛顿流体，如血液。

Flow-L1-0052​

流动模型

微流体、惯性聚焦

惯性迁移、升力平衡

惯性微流体中的粒子聚焦模型​

1. 物理现象：在有限雷诺数（~1-100）的直微通道中，悬浮颗粒在惯性力作用下横向迁移，最终平衡于通道截面的特定位置（如通道中心或面中心）。
2. 作用力：颗粒受到两种惯性升力：
- 剪切梯度升力​ Fs​：由于速度剖面曲率，颗粒两侧速度差导致压力差，指向壁面。
- 壁面诱导升力​ Fw​：颗粒近壁时，与镜像颗粒相互作用导致，指向通道中心。
3. 平衡位置：净升力 FL​=Fs​+Fw​=0的位置即为聚焦位置。对于圆管中的球形颗粒，在 Rep​=ρf​Um​a2/(μDh​)≪1条件下，理论给出聚焦半径比 rf​/R≈0.6（即平衡于近中心处）。
4. 半经验公式：对于矩形通道，平衡位置取决于通道纵横比和颗粒尺寸，可能聚焦于中心线或面中心线。常用数值模拟或实验标定。

能定性和半定量解释惯性聚焦现象。精确预测需进行详细的数值模拟（如浸没边界法）。

惯性迁移理论、斯托克斯流扰动展开、镜像法。

微流控细胞聚焦、颗粒/细胞分离、流式检测、液滴生成。特征：无需外场，利用流动惯性实现颗粒空间排序，适用于高通量。

变量：颗粒位置 xp​， 当地流速 u。
参数：颗粒直径 a， 通道水力直径 Dh​， 流体密度 ρf​， 粘度 μ， 平均流速 Um​。
无量纲数：颗粒雷诺数 Rep​=ρf​Um​a2/(μDh​)， 通道纵横比 AR。

力平衡、扰动分析、惯性迁移、聚焦点稳定性。

惯性微流体、颗粒聚焦、惯性升力、平衡位置。

1. 计算流场：求解通道内充分发展的泊肃叶流或更一般的流动。
2. 计算颗粒受力：对于给定颗粒位置，利用经验公式或数值计算其受到的惯性升力 FL​。如：FL​=fL​ρf​γ˙​2a4， 其中 fL​是依赖于位置和 Rep​的函数。
3. 求解颗粒轨迹：dtdxp​​=u(xp​)+6πμaFL​​nL​， 其中 nL​是升力方向。
4. 寻找平衡点：颗粒将沿轨迹迁移直至 FL​=0的位置并稳定。
5. 统计分析：大量颗粒的轨迹将显示聚焦带。

颗粒在主流方向被流体携带。在横截面上，惯性升力驱动颗粒横向迁移。在圆管中，颗粒趋向于迁移到离管轴约0.6倍半径的圆环上。在方形通道中，颗粒可能聚焦于四条面中心线。流向由主流决定，横向迁移由惯性升力梯度驱动。

牛顿流体、不可压缩、有限雷诺数（~1-100）的微通道流，悬浮有微小刚性球形颗粒。

Flow-L1-0053​

相变模型

凝固、枝晶生长

相场法

相场法枝晶生长模型 (Phase-Field Model for Dendritic Growth)​

1. 核心思想：引入连续的相场变量 ϕ(x,t)， ϕ=1表示固相， ϕ=−1表示液相，在界面处光滑过渡。避免显式追踪复杂界面。
2. 控制方程：
- 相场方程（Allen-Cahn 或 Cahn-Hilliard 类型）：
τ∂t∂ϕ​=W2∇2ϕ+f(ϕ)+m(T−Tm​+ΔSΓ​κ)g(ϕ)
其中 f(ϕ)是双阱势函数， W是界面厚度参数， τ是驰豫时间， m是动力学系数， Γ是吉布斯-汤姆森系数， κ是界面曲率， ΔS是熵变。
- 温度场方程：
∂t∂T​=D∇2T+2cp​L​∂t∂ϕ​
其中 L是潜热， 源项代表相变释放/吸收的热量。
3. 各向异性：界面能 W和动力学系数 m可设为界面法向的函数，以引入晶体生长的各向异性，这是枝晶臂沿特定晶向生长的关键。

能自发生成复杂的枝晶形貌，包括侧枝分支，是研究凝固微观组织的有力工具。计算量巨大，界面厚度 W为数值参数，需仔细选择以平衡精度和成本。

相场理论、热力学第二定律、朗道理论。

金属合金凝固、雪花生长、定向凝固组织模拟。特征：能自动处理界面拓扑变化、曲率效应和各向异性，但需高分辨率网格。

变量：相场变量 ϕ， 温度 T。
材料参数：熔点 Tm​， 潜热 L， 比热 cp​， 热扩散率 D， 界面能 γ， 动力学系数 m， 各向异性强度 δ。
模型参数：界面厚度 W， 驰豫时间 τ， 双阱势形状。

非线性反应-扩散方程、相场变量、各向异性函数、尖锐界面极限。

相场、枝晶生长、微观组织、各向异性。

1. 初始化：设置小的固相种子和过冷熔体背景。
2. 求解相场方程：更新 ϕ场，界面通过 ϕ的演化自然移动。
3. 求解温度场方程：更新 T场，考虑相变潜热释放。
4. 耦合：相场方程中的过冷度 (T−Tm​)依赖于当地温度，温度方程中的源项依赖于 ϕ的变化率。
5. 时间推进：重复2-4步，枝晶逐渐生长并可能分枝。

相场变量 ϕ平滑地标记固相和液相。在固-液界面区域，ϕ从-1变化到1。界面的移动由局部的过冷度（热力学驱动力）和界面曲率（吉布斯-汤姆森效应）通过相场方程控制。晶体生长的各向异性导致特定方向生长更快，形成枝晶主干和侧枝。

具有固-液相变的纯物质或二元合金，考虑热扩散和界面动力学。

Flow-L1-0054​

湍流模型

壁面模化LES

壁面函数与LES结合

壁面模化大涡模拟 (Wall-Modeled LES, WMLES)​

1. 动机：在 LES 中，近壁区湍流结构尺度小，直接解析需要极高的网格分辨率。WMLES 用更经济的壁面模型替代近壁区的 LES 解析。
2. 基本思想：将计算域分为内外区。在远离壁面的外区进行标准 LES。在近壁的内区（通常第一个网格点位于对数律区， y+∼50−500）不解析流动，而是使用壁面模型提供壁面剪切应力 τw​作为 LES 区域的边界条件。
3. 壁面模型：
- 平衡层模型：假设近壁区满足对数律，即 u+=κ1​lny++B， 其中 u+=u/uτ​， y+=yuτ​/ν。根据 LES 在第一个离壁网格点提供的速度 u1​， 反解出摩擦速度 uτ​和 τw​=ρuτ2​。
- 微分方程模型：求解简化后的边界层方程（如薄边界层方程）在近壁区的分布，提供更精确的 τw​， 适用于有压力梯度和分离的情况。
4. 耦合：将 τw​作为 Neumann 边界条件施加于 LES 求解器的壁面。

大幅降低了高雷诺数壁湍流 LES 的网格要求，使工程尺度的 LES 变得可行。精度依赖于壁面模型的合理性和网格设计（第一点需在对数区）。

壁面湍流对数律、边界层近似、LES 滤波理论。

飞机全机、汽车外气动、船体绕流等工程高雷诺数湍流。特征：近壁用模型，核心区用 LES， 平衡精度与成本。

变量：LES 滤波变量 u,p​， 壁面剪切应力 τw​。
模型参数：冯·卡门常数 κ(~0.41)， 积分常数 B(~5.0-5.2)， 壁面模型类型（平衡/非平衡）。
网格参数：第一离壁网格间距 y1​需满足 30<y1+​<500。

壁面函数、对数律、边界层方程、LES 耦合。

壁面模化、WMLES、对数律、工程LES。

1. 生成网格：近壁网格较粗，第一点位于对数律区。
2. LES 求解：在外区进行标准 LES 时间推进。
3. 壁面模型调用：在每个壁面网格单元，取 LES 提供的第一个内点速度 u1​和距离 y1​。
4. 计算壁面剪切应力：
a. 假设对数律：求解方程 u1​=uτ​(κ1​ln(νy1​uτ​​)+B)得到 uτ​(需迭代)。
b. 计算 τw​=ρuτ2​。
5. 施加边界条件：将 τw​作为应力边界条件用于下一步的 LES 求解。

在 LES 区域，大尺度湍流结构被解析。在近壁模型区域，流动细节未被解析，但通过壁面模型提供了正确的平均剪切应力，从而保证了外层 LES 的流入条件和动量收支正确。流向在近壁区由壁面模型隐含给出，在外区由解析的涡结构决定。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、高雷诺数壁湍流。

Flow-L1-0055​

流动模型

液晶、各向异性流体

取向张量、埃里克森-莱斯利理论

向列型液晶的埃里克森-莱斯利方程 (Ericksen-Leslie Equations for Nematic Liquid Crystals)​

1. 状态变量：除速度场 v和压力 p外，引入指向矢场 n(单位矢量，表示局部平均分子取向)。
2. 控制方程：
- 动量方程：ρdtdv​=∇⋅σ+F， 其中应力张量 σ=−pI+σv+σe。
粘性应力 σv=α1​(nn:A)nn+α2​nN+α3​Nn+α4​A+α5​nn⋅A+α6​A⋅nn。
弹性应力 σe=−∂(∇n)∂f​⋅(∇n)T， 其中 f是弗兰克弹性自由能密度。
- 取向动力学方程（角动量平衡）：
n×(h−γ1​N−γ2​A⋅n)=0
其中 h=−δf/δn是分子场， N=n˙−W⋅n是共转时间流， A,W是应变率/旋转率张量， αi​,γi​是莱斯利粘度系数。
3. 简化：常采用单弹性常数近似和忽略流动对齐的瞬时响应的简化模型。

完整描述了向列型液晶的流变学和取向动力学，非常复杂。参数多（6个莱斯利系数），难以测量。

连续介质理论、角动量守恒、朗道-德燃纳理论。

液晶显示器像素响应、液晶弹性体致动器、液晶聚合物加工。特征：流体应力与分子取向强耦合，取向场对流场有反饋，呈现复杂的光学和流变特性。

变量：速度 v， 压力 p， 指向矢 (\mathbf{n} (

\mathbf{n}

=1))。
材料参数：莱斯利粘度系数 α1​,...,α6​， 弗兰克弹性常数 K1​,K2​,K3​(展曲、扭曲、弯曲)， 各向异性粘度 γ1​=α3​−α2​， γ2​=α6​−α5​。
物理约束：帕罗特关系：α2​+α3​=α6​−α5​。

矢量-张量耦合方程、高阶导数（弹性应力）、非线性、约束优化 ((

\mathbf{n}

=1))。

Flow-L1-0056​

多相流模型

喷雾、雾化

一次破碎模型

KH-RT 雾化模型 (Kelvin-Helmholtz & Rayleigh-Taylor)​

1. 应用场景：模拟液体射流或液膜在气体中由于空气动力学作用导致的破碎（一次雾化）。
2. 物理机制：
- KH 不稳定性：气液界面的剪切作用导致，主导液膜或射流表面波的增长和剥离，产生大液滴/韧带。
- RT 不稳定性：当液滴减速时，惯性力与表面张力竞争导致，主导大液滴的二次破碎。
3. 模型实现（在 Lagrangian 颗粒框架下如 DPM）：
- KH 波增长：计算最不稳定波的波数 ΩKH​和波长 ΛKH​以及增长率。碎片尺寸与波长相关：rKH​=B0​ΛKH​， B0​是模型常数 (~0.61)。
- RT 波增长：当液滴减速，韦伯数 (We_g = \rho_g

u_l - u_g

^2 d / \sigma > We_{cr})时激活。计算 RT 波的增长率 ΩRT​和波长 ΛRT​。
- 破碎时间：τ=Cτ​/Ω， 其中 Cτ​是时间常数（KH~1-10， RT~1）。
- 子滴尺寸：取 r=min(CRT​ΛRT​,CKH​ΛKH​)， 其中 CRT​,CKH​是常数。
4. 耦合：母滴在运动过程中，其半径按 dtdr​=−τr−rstable​​松弛至稳定半径 rstable​。

广泛用于发动机喷雾、燃油喷射、冷却塔的雾化模拟。精度依赖于多个经验常数（B0​,Cτ​,CRT​,CKH​）的标定。

线性不稳定性理论（KH， RT）、唯象破碎模型。

内燃机燃油喷射、燃气轮机燃烧室、喷雾干燥塔、农药喷洒。特征：模拟液柱/液膜破碎成液滴的过程，是喷雾模拟的关键子模型。

变量：液滴半径 r， 速度 ud​， 位置 xd​。
流动参数：当地气相速度 ug​， 密度 ρg​， 液相密度 ρl​， 表面张力 σ。
模型常数：B0​,Cτ,KH​,Cτ,RT​,CRT​,CKH​,Wecr​。

线性稳定性分析、指数增长、特征时间尺度、经验常数。

雾化、KH不稳定性、RT不稳定性、一次破碎。

1. 液滴追踪：在 Lagrangian 框架下推进每个计算液滴。
2. 判断破碎：计算当地气液相对速度、韦伯数等。
3. 计算不稳定参数：若 We>Wecr​， 计算 KH 和/或 RT 的波长、增长率和特征时间。
4. 更新液滴半径：根据 dtdr​=−τr−rstable​​减小半径。当半径减小到一定程度，用子滴替换母滴（并分配子滴的速度、尺寸）。
5. 继续追踪。

Flow-L1-0057​

流动模型

地球物理、浅水

深度平均、旋转效应

浅水方程 (Shallow Water Equations)​

1. 基本假设：流体深度 h远小于水平特征长度，垂直加速度可忽略，压力分布近似静水压：p=ρg(h−z)+pa​。
2. 推导：对三维 NS 方程从底部 z=b(x,y)到自由表面 z=η(x,y,t)积分，定义总水深 H=η−b。
3. 控制方程：
- 质量守恒：∂t∂H​+∇⋅(Hu)=0
- 动量守恒：∂t∂(Hu)​+∇⋅(Hu⊗u)=−gH∇η−ρ1​∇⋅S+F
其中 u=(u,v)是深度平均速度， S是湍流应力项（常模型化）， F包括科里奥利力 (−fk^×Hu)、底床摩擦（如曼宁公式 (-\frac{g n^2

\mathbf{u}

\mathbf{u}}{H^{1/3}})）和风应力等。
4. 波形：可描述重力波、潮汐波、洪水波、海啸传播。不考虑色散效应（非浅水时需用 Boussinesq 方程）。

对水平尺度远大于垂直尺度的自由表面流动是优秀的近似。计算高效，广泛应用于潮汐、洪水、海啸模拟。

深度平均、静水压近似、质量动量守恒。

河口海岸水动力、水库调度、洪水淹没制图、海啸预警。特征：双曲型方程组，能捕捉激波（水跃）、干湿边界。

变量：总水深 H(x,y,t)， 自由表面高程 η(x,y,t)， 深度平均速度 u(x,y,t)。
参数：底床高程 b(x,y)， 重力加速度 g， 科里奥利参数 f， 曼宁糙率系数 n， 风应力系数 Cw​。

双曲型偏微分方程组、源项（底床坡度、摩擦）、黎曼问题、干湿处理。

浅水、自由表面、静水压、洪水波。

1. 初始化：给定初始水面 η和速度 u。
2. 计算通量：在每个单元界面，计算质量通量 Hu和动量通量 Hu⊗u+21​gH2I。
3. 计算源项：底床坡度项 −gH∇b， 摩擦项，科里奥利项等。
4. 时间更新：∂t∂U​+∇⋅F(U)=S(U)， 其中 U=[H,Hu,Hv]T。
5. 干湿处理：动态处理 H=0的干单元和 H>0的湿单元边界。

Flow-L1-0058​

本构模型

软物质、胶体

微观-宏观关联

微极性流体模型 (Micropolar Fluid Model)​

1. 物理背景：描述由微结构（如刚性颗粒、长分子）组成的流体，这些微结构除了平动还有自转自由度，导致局部角动量和应力不对称。如血液（红细胞）、液晶、聚合物悬浮液、泥浆。
2. 场变量：除速度场 v外，引入微观旋转角速度场 ω。
3. 控制方程：
- 连续性方程：同常义流体。
- 线动量方程：ρdtdv​=∇⋅σ+ρf， 但应力张量 σ不对称。
- 角动量方程：ρjdtdω​=∇⋅m+σA+ρl
其中 j是微惯性， m是偶应力张量， σA是应力的反对称部分， l是体积偶。
4. 本构关系（线性各向同性）：
σij​=(−p+λvk,k​)δij​+μ(vi,j​+vj,i​)+κ(vj,i​−2ϵijk​ωk​)
mij​=αωk,k​δij​+βωi,j​+γωj,i​
引入了新的粘度系数 κ,α,β,γ。当 κ=0时退化为牛顿流体。

为具有微观旋转效应的复杂流体提供了更一般的连续介质描述框架。参数增多，物理意义和测量更复杂。

连续介质理论、考虑微观旋转自由度的动量和角动量守恒。

血液在微血管中的流动（考虑红细胞旋转）、磁性流体、某些润滑剂、地质断层泥。特征：应力张量不对称，存在偶应力，能预测尺寸效应。

变量：速度 v， 微观旋转角速度 ω， 压力 p。
材料参数：经典粘度 μ,λ， 旋粘度 κ， 偶应力粘度系数 α,β,γ， 微惯性 j。

不对称张量、偶应力、微观旋转、广义牛顿流体扩展。

微极性、偶应力、微观旋转、非对称应力。

1. 求解连续性方程和线动量方程，更新 v和 p。
2. 求解角动量方程，更新微观旋转场 ω。
3. 计算应力和偶应力：用本构关系计算 σ和 m。
4. 耦合迭代：由于线动量和角动量方程通过应力耦合，需迭代求解。

流体质点不仅平动，还具有自转自由度 ω。速度梯度不仅产生对称的应力，还产生反对称应力（与 (∇×v−2ω)相关）和偶应力（与 ∇ω相关）。这导致流动可能出现与特征尺寸相关的反常输运行为。

具有内部微观结构的流体，其应力张量不对称，需要考虑局部角动量平衡。

Flow-L1-0059​

湍流模型

燃烧、反应流

湍流-化学反应相互作用

涡耗散概念模型 (Eddy Dissipation Concept, EDC)​

1. 核心思想：在 RANS 框架下，假设化学反应发生在湍流的小尺度结构（精细尺度）中，这些结构占据体积的一小部分，并在其中达到平衡或有限速率反应。
2. 精细尺度分数：定义为 ffs​=Cξ​(νϵ/k2)1/4， 其中 Cξ​是常数 (~2.1377)。精细尺度的特征时间 τfs​=Cτ​(ν/ϵ)1/2， Cτ​是常数 (~0.4082)。
3. 反应速率：平均反应速率 Ri​=τfs​ρffs​​1−ffs​Yi∗​−Yi​​， 其中 Yi∗​是精细尺度结构在等压绝热条件下反应 τfs​时间后达到的物种质量分数。Yi∗​通过求解一个包含所有反应的 ODE 系统（在精细尺度上）得到。
4. 与 PDF 方法结合：常与简化 PDF 方法结合，假设精细尺度内组分服从多维 delta PDF，通过求解少量标量的输运方程来获取 Yi∗​。

是处理湍流非预混燃烧中有限速率化学反应的常用模型，比混合分数/平衡假设更通用。计算量比 PDF 输运小，但仍需求解精细尺度 ODE 系统。

湍流级串模型、精细尺度反应假设、湍流-化学反应相互作用。

燃气轮机燃烧室、工业锅炉、内燃机缸内燃烧。特征：考虑了湍流混合对反应速率的限制，能预测熄火和点火。

变量：平均质量分数 Yi​， 平均温度 T， 湍流量 k,ϵ。
模型参数：常数 Cξ​,Cτ​， 化学反应机理。
精细尺度变量：ffs​,τfs​， 精细尺度组分 Yi∗​。

湍流时间/尺度、ODE 系统、反应进度变量、经验常数。

湍流燃烧、EDC、精细尺度、有限速率。

1. 求解流场和湍流量：得到 k,ϵ。
2. 计算精细尺度参数：ffs​=Cξ​(νϵ/k2)1/4， τfs​=Cτ​(ν/ϵ)1/2。
3. 求解精细尺度反应：在每一控制体积，以当地平均 Yi​,T为初始条件，在等压绝热假设下对精细尺度 ODE 系统积分时间 τfs​， 得到 Yi∗​。
4. 计算平均反应速率：Ri​=τfs​ρffs​​1−ffs​Yi∗​−Yi​​。
5. 求解组分方程：将 Ri​作为源项，求解 Yi​的输运方程。
6. 迭代。

流动由平均速度、湍流量和平均组分描述。化学反应被限制在湍流精细尺度涡团内进行，这些涡团占据了流体体积的 ffs​部分。反应速率由精细涡团内的混合和反应时间尺度 τfs​控制，而非 Arrhenius 速率。湍流通过 ffs​和 τfs​强烈调制平均反应速率。

可压缩、湍流、反应流，通常为非预混或部分预混燃烧。

Flow-L1-0060​

流动模型

微重力、空间流体

毛细驱动流、界面动力学

毛细填充/沃什伯恩定律 (Capillary Filling/Washburn‘s Law)​

1. 物理场景：在微重力或小尺度下，毛细力成为驱动流体进入细小通道或多孔介质的主要机制。
2. 模型推导：考虑一维毛细管，驱动力为毛细压力 pc​=2σcosθ/R， 阻力为粘性压降（泊肃叶流）。忽略惯性，力平衡：
pc​=R28μL​dtdL​
其中 L(t)是填充长度， R是毛细管半径。
3. 沃什伯恩方程：积分得 L2=2μσRcosθ​t， 即填充长度与时间的平方根成正比。
4. 扩展：考虑惯性项、滑移边界、动态接触角 θd​(t)（通常是速度的函数）、通道非圆形截面等。动态接触角模型如：cosθd​=cosθs​−2Caln(L/λ)， 其中 Ca=μu/σ是毛细数， λ是滑移长度。

对简单几何、牛顿流体、准静态填充过程是精确的。是微流控、芯片实验室、多孔介质浸润分析的基础模型。

毛细作用、泊肃叶流、力平衡。

微流控芯片毛细进样、纸张微流控、土壤/织物浸润、油藏采油。特征：毛细力驱动，填充速度随时间减慢。

变量：填充长度 L(t)， 弯月面速度 u=dL/dt。
参数：毛细管半径 R， 表面张力 σ， 平衡接触角 θs​(或动态接触角模型)， 流体粘度 μ。
无量纲数：毛细数 Ca。

常微分方程、平方根时间律、力平衡、动态接触角。

毛细填充、沃什伯恩定律、动态接触角、微重力。

1. 给定初始条件：L(0)=0。
2. 计算瞬时驱动力：毛细压力 pc​=2σcosθd​/R， 其中 θd​由当前速度 u通过动态接触角模型计算。
3. 计算瞬时速度：由力平衡 pc​=R28μL​u+ρLdtdu​(若考虑惯性) 解出 u=dL/dt。
4. 时间积分：Ln+1=Ln+unΔt。
5. 循环：重复2-4步直至通道填满或达到平衡。

流动由弯月面处的毛细压差驱动。在弯月面后方，流动是充分发展的泊肃叶流。流向始终指向毛细力方向（即亲液表面方向）。填充速度随时间（或长度）增加而下降，因为粘性阻力随填充长度线性增加。

牛顿流体、不可压缩、在微小通道或孔隙中的浸润流动，惯性可忽略。

Flow-L1-0061​

多相流模型

沸腾、CHF预测

边界层分离模型

液膜干涸临界热流密度模型 (Liquid Film Dryout Model for CHF)​

1. 物理机制：在环状流沸腾中，高热流密度下，气芯夹带的液滴沉积到液膜的速率不足以补偿液膜蒸发和夹带走的速率，导致液膜局部干涸，壁面温度飞升。
2. 建模思路：建立液膜质量守恒方程，考虑蒸发、夹带和沉积的贡献。
3. 控制方程：对于稳态环状流，单位周长的液膜流量 Wlf​沿流向变化：
dzdWlf​​=hfg​q’’w​P​−m˙e​+m˙d​
其中 q’’w​是壁面热流密度， P是润湿周长， m˙e​是单位长度的夹带率， m˙d​是单位长度的沉积率。
4. CHF 判据：当液膜流量在某个位置降至零，即 Wlf​(z)=0时，发生干涸。对应的热流密度即为 CHF。
5. 子模型：需要夹带率 m˙e​和沉积率 m˙d​的经验关联式，它们依赖于当地气/液相流速、密度、表面张力等。

能较好预测垂直管内环状流沸腾的 CHF。精度依赖于夹带和沉积关联式的准确性。是反应堆热工安全分析的重要模型。

液膜质量守恒、环状流两相流体力学、经验关联式。

核反应堆燃料棒冷却、蒸汽发生器、高压锅炉蒸发管。特征：基于环状流液膜质量平衡，预测干涸型 CHF。

变量：液膜流量 Wlf​(z)， 局部空泡份额 α(z)。
模型参数：夹带率关联式（如 Hewitt & Govan）， 沉积率关联式， 传热关联式（计算蒸发量）。
操作参数：质量流速 G， 干度 x， 压力 p。

常微分方程、质量平衡、经验关联式、临界点判据。

临界热流、液膜干涸、环状流、质量守恒。

1. 给定进口条件：质量流速、干度、压力、热流分布。
2. 沿流向步进：在位置 zi​， 根据当地两相参数计算夹带率 m˙e​和沉积率 m˙d​， 以及蒸发率 q’’w​P/hfg​。
3. 更新液膜流量：Wlf​(zi+1​)=Wlf​(zi​)+(m˙d​−m˙e​−hfg​q’’w​P​)Δz。
4. 检查干涸：如果 Wlf​(zi+1​)≤0， 则记录当前位置和热流为 CHF。
5. 更新两相参数：根据蒸发和夹带沉积更新当地干度、空泡份额等，进入下一步。

在环状流中，液体以壁面液膜和气芯中夹带液滴的形式存在。液膜蒸发使液膜变薄，气动夹带使液膜流失，液滴沉积补充液膜。当热流足够高，蒸发和夹带之和超过沉积，液膜持续变薄直至在某一轴向位置完全消失，导致壁面直接与蒸汽接触，传热恶化。流向沿管道轴线。

气-液两相流、环状流、沸腾、高干度区。

Flow-L1-0062​

数值方法

移动边界、动网格

任意拉格朗日-欧拉法

任意拉格朗日-欧拉法 (Arbitrary Lagrangian-Eulerian, ALE)​

1. 动机：结合拉格朗日法（网格随材料运动，适合大变形）和欧拉法（网格固定，适合对流占优）的优点，处理移动边界或变形域问题。
2. 核心思想：引入一个独立于材料运动和空间固定的参考坐标系（ALE坐标系）。网格可以以任意速度 v^运动。
3. 控制方程形式：对于标量 ϕ的输运方程，在ALE框架下为：
(\frac{\partial \phi}{\partial t} \bigg

_{\hat{\mathbf{x}}} + (\mathbf{v} - \hat{\mathbf{v}}) \cdot \nabla \phi = S)
其中 (\frac{\partial}{\partial t}

_{\hat{\mathbf{x}}})表示在ALE坐标系（网格点）上的时间导数， v是流体速度， v^是网格速度。对流项中的速度是相对速度 v−v^。
4. 网格更新策略：
- 边界网格运动由物理条件（如结构运动、自由表面）决定。
- 内部网格运动通过求解伪弹性问题、拉普拉斯光滑等方法确定，以防止网格畸变。
5. 与NS方程结合：将连续性方程和动量方程改写为ALE形式求解。

是处理流体-结构相互作用、自由表面流动、运动物体绕流等问题的强大数值框架。需要稳健的网格更新算法和ALE通量计算。

坐标变换理论、雷诺输运定理在运动控制体上的应用。

血液流动与血管壁耦合、船舶兴波、储罐晃动、柔性翼扑动。特征：网格可动，能适应大范围边界运动，但计算复杂。

变量：流体速度 v， 压力 p， 网格节点坐标 x^， 网格速度 v^。
数值参数：网格光滑化方法（如弹簧比拟、扩散方程系数）， ALE 时间离散格式。

坐标变换、运动网格、对流项修正、网格光滑化。

ALE、动网格、运动边界、网格更新。

1. 时间步 tn：已知流体场和网格位置。
2. 更新边界网格：根据物理规律（如结构位移、自由表面运动）计算边界节点的新位置 x^bndn+1​。
3. 光滑内部网格：根据新的边界位置，通过求解伪弹性方程 ∇⋅(k∇u^)=0等，得到内部节点位移 u^和新位置 x^n+1， 并计算网格速度 v^=u^/Δt。
4. 求解 ALE 形式的 NS 方程：在更新的网格上，使用相对速度 (v−v^)计算对流通量，求解流体速度 vn+1和压力 pn+1。
5. 时间推进：tn+1=tn+Δt， 返回步骤2。

Flow-L1-0063​

流动模型

环境、污染物扩散

高斯烟羽/烟团模型

高斯烟羽模型 (Gaussian Plume Model)​

1. 应用场景：预测连续点源在稳定均匀风速和湍流条件下，地面以上污染物浓度的稳态空间分布。
2. 基本假设：下风向湍流扩散在水平和垂直方向服从高斯分布；风速恒定；地面全反射；污染物化学惰性。
3. 公式：对于地面源（高度 H=0）， 在下风向位置 (x,y,z)：
C(x,y,z)=2πuσy​σz​Q​exp(−2σy2​y2​)[exp(−2σz2​z2​)+exp(−2σz2​(z+2H)2​)]
其中：
- Q：污染物释放率（单位时间质量）。
- u：平均风速。
- σy​(x),σz​(x)：水平和垂直方向的扩散参数（标准差），是下风向距离 x和大气稳定度（帕斯奎尔-吉福德分级，A-F）的函数，有经验图表或公式（如 Briggs 公式）。
- H：有效源高（物理高度+烟羽抬升高度 Δh）。
4. 烟团模型：对瞬时释放，将 Q替换为总释放质量 M， 并在公式中除以 2π​σx​并沿 x方向也进行高斯扩散。

在平坦地形、简单气象条件下，对连续点源的平均浓度分布提供快速估算。无法处理复杂地形、建筑绕流、化学反应、非稳态风场。

菲克扩散定律在特定边界条件下的解析解、梯度输运假设、经验扩散参数。

工厂烟囱排放评估、环境空气质量初步筛查、核事故应急响应。特征：解析解，计算极快，但假设理想化，精度有限。

变量：污染物浓度 C(x,y,z)。
源参数：释放率 Q或质量 M， 源高 H。
气象参数：平均风速 u， 大气稳定度类别， 扩散参数 σy​(x),σz​(x)。

解析解、高斯分布、经验参数、连续/瞬时源。

高斯烟羽、污染物扩散、大气稳定度、经验公式。

1. 输入：源强 Q， 源高 H， 风速 u， 大气稳定度。
2. 确定扩散参数：根据下风向距离 x和稳定度等级，查表或使用 Briggs 公式计算 σy​(x)和 σz​(x)。
3. 计算浓度：将以上参数代入高斯烟羽公式，计算感兴趣点的浓度 C。
4. 结果：可绘制下风向轴线浓度分布或地面浓度等高线图。

污染物从点源释放后，被平均风速 u携带向下风向输送。同时，大气湍流导致污染物在横风和垂直方向扩散，其浓度分布在每个垂直于风向的截面上呈二维高斯分布（“烟羽”）。地面反射通过一个虚拟的镜像源来模拟。污染物的输送和扩散方向由平均风场主导。

被动的、化学惰性的污染物在湍流大气中的扩散，背景风速恒定，湍流均匀平稳。

Flow-L1-0064​

本构模型

聚合物熔体、高剪切

粘度与剪切/温度关系

Cross-WLF 粘度模型​

1. 应用场景：精确描述聚合物熔体粘度对剪切率和温度的依赖关系，是注塑成型模拟中的标准模型。
2. 粘度公式：
η(γ˙​,T,p)=1+(τ∗η0​γ˙​​)1−nη0​(T,p)​
其中：
- η0​(T,p)是零剪切粘度，由 WLF 方程​ 描述：
η0​(T,p)=D1​exp[−A2​+(T−T∗)A1​(T−T∗)​]
其中 T∗=D2​+D3​p是参考温度， A2​=A~2​+D3​p。
- τ∗：临界剪切应力，标志从牛顿平台到剪切变稀的转变。
- n：幂律指数。
3. 参数：模型包含7个材料常数：n,τ∗,A1​,A~2​,D1​,D2​,D3​， 需要通过流变实验数据拟合得到。

能高精度拟合聚合物熔体在宽广的剪切率和温度范围内的粘度数据，是注塑成型CAE的核心。参数需精心标定。

Cross 模型描述剪切变稀，WLF 方程描述温度-压力-时间叠加效应。

塑料注塑成型、挤出、吹塑等加工过程的流动和保压模拟。特征：耦合了剪切变稀和温压效应，高度非线性。

变量：表观粘度 η， 剪切率 γ˙​， 温度 T， 压力 p。
材料常数：n,τ∗,A1​,A~2​,D1​,D2​,D3​。

非线性函数、分段行为（牛顿区/幂律区）、WLF温压叠加。

Cross-WLF、粘度模型、聚合物熔体、注塑成型。

1. 给定状态：在计算单元中，已知当前 T,p,γ˙​。
2. 计算零剪切粘度：η0​=D1​exp[−A~2​+D3​p+(T−(D2​+D3​p))A1​(T−(D2​+D3​p))​]。
3. 计算表观粘度：η=1+(η0​γ˙​/τ∗)1−nη0​​。
4. 代入本构：将 η代入广义牛顿流体动量方程求解流场。

聚合物熔体的粘度在低剪切率下为常数 η0​（牛顿区），当剪切应力超过 τ∗时进入剪切变稀区，粘度随 γ˙​增大而下降，遵循近似幂律。同时，η0​强烈依赖于温度和压力，温度升高或压力降低都会导致粘度急剧下降。流动受粘度的强非线性变化主导。

不可压缩、广义牛顿流体（时间无关）、聚合物熔体，粘度是剪切率、温度和压力的函数。

Flow-L1-0065​

湍流模型

旋转/曲壁流动

曲率修正

斯波尔丁曲率修正模型 (Spalding’s Curvature Correction)​

1. 物理背景：在强旋转或弯曲壁面附近的流动中，离心力和科里奥利力影响湍流结构，使湍流生成/耗散失衡，标准 k−ϵ模型失效。
2. 修正思路：在湍流生成项 Pk​中引入一个曲率/旋转敏感因子 fr​， 使其在稳定流动（离心力抑制湍流）时减小，在不稳定流动时增大。
3. 常见形式（以 k−ϵ为例）：
Pkmod​=fr​Pk​
fr​=(1+Crc​Rf​)−1或 fr​=exp(−Crc​Rf​)
其中 Rf​=ϵ2k​Rc​U​∂n∂U​是通量理查德森数， U是切向速度， Rc​是曲率半径， n是法向坐标。Crc​是模型常数 (~0.2)。符号决定稳定性：∂U/∂n>0对于凹壁面（稳定）， 抑制湍流；∂U/∂n<0对于凸壁面（不稳定）， 增强湍流。
4. 旋转修正：类似地，引入旋转理查德森数 (Ri_{\Omega} = \frac{k^2}{\epsilon^2}

\Omega

(\frac{\partial U}{\partial n} - 2\Omega))。

能显著改进弯曲管道、旋转盘腔、涡轮叶栅等流动的湍流预测。是工程上实用的修正方法。

流动稳定性分析、曲率/旋转对湍流的影响、经验修正。

弯管流动、离心泵/压气机内部流、旋转机械密封。特征：通过修改生成项响应曲率/旋转效应，实现简单。

变量：湍流量 k,ϵ， 平均速度场 U。
模型参数：曲率修正常数 Crc​， 旋转修正常数。
流动参数：当地曲率半径 Rc​， 旋转角速度 Ω。

生成项调制、稳定性参数、经验因子。

曲率修正、旋转修正、湍流抑制/增强、经验因子。

1. 求解标准 k−ϵ方程，但在计算产生项 Pk​时：
2. 计算当地曲率/旋转参数：计算速度梯度 ∂U/∂n和曲率半径 Rc​， 得到 Rf​或 RiΩ​。
3. 计算修正因子：fr​=(1+Crc​Rf​)−1。
4. 计算修正的产生项：Pkmod​=fr​⋅νt​(∂xj​∂Ui​​+∂xi​∂Uj​​)∂xj​∂Ui​​。
5. 将 Pkmod​代入 k和 ϵ方程进行求解。

Flow-L1-0066​

多相流模型

流化床、鼓泡

两流体模型+KTGF

稠密气-固双流体模型 (Dense Gas-Solid Two-Fluid Model)​

1. 框架：欧拉-欧拉框架，气固两相均视为相互渗透的连续介质。
2. 控制方程：
气相：
∂t∂​(αg​ρg​)+∇⋅(αg​ρg​ug​)=0
∂t∂​(αg​ρg​ug​)+∇⋅(αg​ρg​ug​ug​)=−αg​∇p+∇⋅τg​+αg​ρg​g−I
固相：
∂t∂​(αs​ρs​)+∇⋅(αs​ρs​us​)=0
∂t∂​(αs​ρs​us​)+∇⋅(αs​ρs​us​us​)=−αs​∇p−∇ps​+∇⋅τs​+αs​ρs​g+I
其中 αg​+αs​=1。
3. 闭合模型：
- 相间动量交换​ I：主要为拖曳力， I=β(ug​−us​)， 拖曳系数 β采用 Gidaspow 模型等。
- 固相应力​ τs​,ps​：采用颗粒动力学理论 (KTGF)​ 提供。
- 气相应力​ τg​：牛顿流体本构，粘度可考虑颗粒存在的影响。
4. 数值挑战：方程组 stiff， 需隐式求解和压力修正算法。

是模拟鼓泡流化床、循环流化床等稠密气固系统的工业标准方法。能预测气泡行为、颗粒聚团、固相分布。计算量大，参数多。

双流体模型、颗粒动力学理论、相间作用力。

流化床反应器、催化裂化装置、煤的气化/燃烧、颗粒干燥。特征：全欧拉法，能处理高颗粒浓度，包含颗粒碰撞动力学。

变量：各相体积分数 αk​， 速度 uk​， 固相颗粒温度 Θs​， 压力 p。
闭合模型：拖曳力模型（Gidaspow, Syamlal-O‘Brien）， KTGF 参数（恢复系数 e, 镜面反射系数 ϕ）， 固相本构。

强耦合非线性偏微分方程组、刚性问题、双流体、KTGF。

稠密气固流、双流体、KTGF、流化床。

1. 求解压力-速度耦合：使用适用于可压缩多相流的算法（如 Phase Coupled SIMPLE）。
2. 求解各相动量方程。
3. 求解固相颗粒温度方程（KTGF）。
4. 更新相间耦合系数（拖曳系数 β）。
5. 迭代直至收敛。

气体和固体颗粒在空间中共存并相互作用。气体流动为颗粒提供拖曳力，使其流化。颗粒间的碰撞通过颗粒应力和颗粒温度来模拟，产生类似“颗粒压力”的效应，抵抗压缩。气泡在床层中上升，颗粒在气泡周围环流。流向复杂，由气体分布、气泡运动和颗粒循环共同决定。

稠密气-固两相流，颗粒体积分数高（>1%），颗粒间碰撞频繁。

Flow-L1-0067​

流动模型

冲击射流、

Flow-L1-0067​

流动模型

冲击射流、强化传热传质

壁面射流、驻点流动

轴对称/平面滞止点射流流动 (Axisymmetric/Planar Stagnation Point Flow)​

1. 物理场景：一股射流垂直冲击到平板上，在冲击点（驻点）附近形成特定的边界层流动。
2. 外流速度分布：在驻点附近，势流理论给出外流速度沿壁面方向线性分布：对于轴对称射流（Hiemenz流动）， Ue​(x)=ax；对于平面射流（Homann流动）， Ue​(x)=ax。其中 a是速度梯度常数，与射流速度、直径和距离有关。
3. 边界层方程：代入边界层方程，外流压力梯度由伯努利方程给出：dxdpe​​=−ρUe​dxdUe​​=−ρa2x。
4. 相似性解：引入相似变量 η=ya/ν​和流函数 ψ=aν​xf(η)(平面) 或 ψ=aν​rF(η)(轴对称)。边界层方程化为常微分方程：
平面：f′′′+ff′′−f′2+1=0
轴对称：F′′′+FF′′−21​F′2+21​=0
边界条件：η=0:f=F=0,f′=F′=0;η→∞:f′=F′=1。
5. 传热传质：可耦合能量/组分方程求解，得到努塞尔数 Nu∝Re​。

对驻点区流动精确，是分析射流冲击冷却/加热的基础解。射流核心区外（自由射流区、壁面射流区）不适用。

势流理论、边界层相似性原理。

射流冲击冷却（电子器件、涡轮叶片）、火焰喷涂、干燥过程。特征：驻点区速度梯度大，传热传质系数高。

变量：流向速度 u(x,y)， 法向速度 v(x,y)， 压力 p。
参数：速度梯度常数 a， 运动粘度 ν。
无量纲数：局部雷诺数 Rex​=ax2/ν。

相似性解、非线性常微分方程、驻点流、边界层。

冲击射流、驻点流、相似性解、高传热。

1. 确定外流：根据射流条件估算或计算驻点区速度梯度 a。
2. 求解相似性方程：数值求解 f′′′+ff′′−f′2+1=0得到 f(η),f′(η),f′′(η)。
3. 还原物理场：u=axf′(η)， v=−aν​f(η)。
4. 计算壁面梯度：壁面剪切应力 τw​=μ(∂u/∂y)y=0​=μaxf′′(0)/ν/a​， 传热系数 h=−k(∂T/∂y)y=0​/(Tw​−T∞​)。

在驻点，流动停滞，压力最高。沿壁面向外，外流速度线性增加，形成薄边界层。流向从驻点沿壁面向四周径向（轴对称）或横向（平面）流出。法向速度指向壁面。

牛顿流体、不可压缩、层流、稳态、具有压力梯度的边界层流动。

Flow-L1-0068​

多相流/界面模型

微流体、数字微流控

电润湿效应

电润湿模型 (Electrowetting Model)​

1. 物理原理：通过在固体电极和导电液滴间施加电压，改变固-液-气三相接触线的表面张力平衡，从而改变接触角，驱动液滴运动。
2. 杨氏-李普曼方程：描述表观接触角 θ与电压 V的关系：
cosθ(V)=cosθ0​+21​γlg​C​V2
其中 θ0​是无电压时的接触角， C是单位面积电容（与介电层厚度 d和介电常数 ϵ有关， C=ϵ/d）， γlg​是液-气表面张力。
3. 接触角饱和：电压超过一定值后，接触角不再减小，存在饱和角 θs​。模型需修正。
4. 流体动力学模型：在 CFD 中（如 VOF 法），电润湿效应通过修改壁面处的接触角边界条件实现。施加电压的区域使用 θ(V)， 未施加区域使用 θ0​。接触角的不连续性产生表面张力梯度，驱动液滴向亲液性更强（接触角更小）的区域运动。
5. 动态效应：接触线摩擦、接触角滞后需额外模型。

静态接触角关系较准确。动态过程（液滴启动、加速）的模拟需结合流体动力学和接触线动力学模型，复杂度高。

杨氏方程、静电学、表面张力与表面能。

数字微流控（液滴操纵、混合、PCR）、可变焦液体透镜、电子纸。特征：无机械部件，通过电压图案编程控制液滴。

变量：接触角 θ， 电压 V， 液滴界面形状（VOF 变量 α）。
材料参数：零电压接触角 θ0​， 液-气表面张力 γlg​， 介电层电容 C或 (ϵ,d)， 饱和接触角 θs​。
电参数：施加电压 V(x,y,t)。

代数方程（接触角）、边界条件驱动、表面张力梯度。

电润湿、接触角调制、数字微流控、杨氏-李普曼方程。

1. 设定电压图案：定义基底上哪些电极施加电压 V。
2. 计算局部接触角：在每个与壁面相邻的网格，根据当地电压 V用杨氏-李普曼方程计算表观接触角 θ。
3. 在 VOF 求解器中：将计算出的 θ作为壁面边界条件，用于界面重构和表面张力计算（如 CSF 模型）。
4. 求解流场：表面张力梯度会产生净力驱动液滴运动，耦合求解 NS 方程和 VOF 方程。
5. 更新：液滴运动可能改变覆盖的电极，从而改变局部电压和接触角，需动态更新。

液滴在基底上，其形状由表面张力和壁面接触角决定。在施加电压的区域，固-液有效表面张力降低，接触角变小，使液滴倾向于铺展覆盖该区域。这种接触角的不均匀分布产生了从高接触角区指向低接触角区的表面张力梯度，驱动液体内流（马兰戈尼对流），整体表现为液滴向激活电极移动。

导电液滴（如水溶液）在疏水绝缘层上，周围为空气或油，考虑表面张力和电润湿效应。

Flow-L1-0069​

本构模型

液晶聚合物、纤维悬浮液

取向相关的各向异性粘度

横观各向同性流体模型 (Transversely Isotropic Fluid Model)​

1. 物理背景：流体中含有大量取向一致的细长颗粒（纤维、高分子）或自身具有方向序（如液晶），导致流体性质在平行和垂直于优先取向的方向上不同。
2. 本构关系（Ericksen-Leslie 的简化或 Folgar-Tucker 模型）：应力张量依赖于取向张量 a=<pp>（其中 p是单位取向矢量）。
3. 各向异性粘度：对于横观各向同性流体（取向轴对称），粘度可表示为两个标量函数： η1​(沿轴向的剪切粘度) 和 η2​(垂直于轴向的剪切粘度)。在笛卡尔分量下，应力与应变率的关系涉及取向张量。
一种常见形式：
σ=2ηs​γ˙​+2(ηp​−ηs​)(a⋅γ˙​+γ˙​⋅a)+(η0​−ηp​−2(ηp​−ηs​)tr(aγ˙​))a
其中 η0​,ηp​,ηs​是材料函数。
4. 取向演化：取向张量 a自身由流动决定，通过 Jeffery 方程或其扩展（如 Folgar-Tucker 方程，包含纤维相互作用）求解：
DtDa​=a⋅W−W⋅a+λ(γ˙​⋅a+a⋅γ˙​−2a:γ˙​a)+2CI​γ˙​(I−3a)
其中 λ=(r2−1)/(r2+1)， r是纤维长径比， CI​是相互作用系数。

能描述纤维悬浮液或 LCP 的流动诱导取向及各向异性流变特性。模型复杂，参数（如 CI​）需实验标定。

横观各向同性本构理论、取向动力学（Jeffery 方程）、统计平均。

短纤维增强复合材料注射成型、液晶聚合物加工、纸浆悬浮液流动。特征：粘度与流动方向有关，存在法向应力差，纤维取向影响产品性能。

变量：应力 σ， 应变率 γ˙​， 取向张量 a。
材料参数：各向异性粘度函数 η0​,ηp​,ηs​， 纤维长径比 r， 相互作用系数 CI​。

张量本构、各向异性、取向演化方程、非线性耦合。

各向异性、纤维取向、横观各向同性、Folgar-Tucker。

1. 求解流场（预测步）：得到速度场和应变率场。
2. 求解取向演化方程：更新取向张量场 a。
3. 计算各向异性粘度：根据当前取向 a和应变率 γ˙​， 计算应力 σ。
4. 求解动量方程：将各向异性应力代入，校正速度场。
5. 迭代至收敛。

流动由速度场和描述微观结构的取向场 a共同决定。剪切流动会使纤维朝向流动方向排列，导致沿流动方向的粘度 (η1​) 可能与横向粘度 (η2​) 不同。这种各向异性反过来影响流动模式，可能导致二次流、挤出胀大异常等。流向和纤维取向在流动中相互耦合、共同演化。

不可压缩、非牛顿流体，微观结构具有方向性，导致宏观力学性能各向异性。

Flow-L1-0070​

流动模型

燃料电池、流道设计

两相流、毛细阻塞

聚合物电解质燃料电池气体扩散层两相流模型 (PEMFC GDL Two-Phase Flow Model)​

1. 背景：PEMFC阴极侧，反应生成的水在气体扩散层中可能以液态形式存在，阻塞孔隙，阻碍氧气传输，引起“水淹”。
2. 多孔介质两相流：采用多相达西定律扩展，考虑毛细压力 pc​和相对渗透率 krα​。对于气液两相：
ul​=−μl​krl​​K∇pl​
ug​=−μg​krg​​K∇pg​
pc​(Sl​)=pg​−pl​， 其中 Sl​是液相饱和度。
3. 毛细压力-饱和度关系：采用 Brooks-Corey 或 van Genuchten 模型：
pc​=pentry​Se−1/λ​， 其中 Se​=(Sl​−Slr​)/(1−Slr​−Sgr​)是有效饱和度， pentry​是进气压力， λ是孔隙尺寸分布指数。
4. 相对渗透率：常用 Brooks-Corey 关系： krl​=Se(2+3λ)/λ​， krg​=(1−Se​)2(1−Se(2+λ)/λ​)。
5. 质量守恒：结合液相蒸发/凝结源项（来自电化学反应和相变）。

能模拟GDL中液态水的分布和传输，预测水淹趋势。精度依赖于GDL的微观结构参数（K,pentry​,λ）和相对渗透率模型。

多孔介质多相达西定律、毛细现象、质量守恒。

PEMFC水热管理、GDL材料设计与优化、操作条件对水淹的影响。特征：孔隙尺度效应重要，毛细力主导液态水传输。

变量：液相饱和度 Sl​(x,t)， 气相压力 pg​(x,t)， 液相压力 pl​。
介质参数：绝对渗透率 K， 孔隙率 ϕ， 毛细压力曲线参数 (pentry​,λ,Slr​,Sgr​)。
源项：电化学反应水生成率 SH2O​， 相变率。

多孔介质两相流方程、毛细压力-饱和度关系、非线性相对渗透率。

气体扩散层、两相流、毛细压力、水淹。

1. 求解气体扩散方程：获得氧气浓度分布，计算局部反应速率和水生成率 SH2O​。
2. 求解两相流方程：
a. 从已知 Sl​计算 pc​(Sl​)和 krl​(Sl​),krg​(Sl​)。
b. 将 pg​=pl​+pc​(Sl​)代入气相方程，与液相质量方程联立求解 pl​和 Sl​（或 pg​和 Sl​）。
3. 更新：根据新的 Sl​场更新 GDL 的有效氧气扩散系数（随 Sl​增加而减小），返回步骤1。
4. 迭代至收敛。

在GDL的亲水/疏水孔隙网络中，液态水在毛细力驱动下从催化剂层（高饱和度）向流道（低饱和度）输运。气相（空气）在压力梯度和浓度梯度下反向扩散。高饱和度区域会阻塞孔隙，阻碍氧气传输，形成正反馈，可能导致局部“水淹”。流向由毛细压力梯度和气体压力梯度共同决定。

气-液两相、不混溶、通过憎水处理的多孔介质（GDL）的流动，涉及相变源项。

Flow-L1-0071​

状态方程/本构

超临界流体

真实气体状态方程

Peng-Robinson 状态方程 (Peng-Robinson Equation of State)​

1. 应用场景：描述流体在临界点附近（超临界状态）的压力-体积-温度关系，适用于烃类、CO2 等工质。
2. 方程形式：
p=v−bRT​−v(v+b)+b(v−b)a(T)​
其中：
- a(T)=0.45724pc​R2Tc2​​α(T)
- b=0.07780pc​RTc​​
- α(T)=[1+κ(1−T/Tc​​)]2
- κ=0.37464+1.54226ω−0.26992ω2(对于 ω≤0.49)
这里 Tc​,pc​是临界温度和压力， ω是偏心因子。
3. 对比态原理：通过引入对比温度 Tr​=T/Tc​、对比压力 pr​=p/pc​和对比体积 vr​=v/vc​， 方程可写为无量纲形式，具有普适性。
4. 流体性质：结合PR方程和热力学关系，可推导出焓、熵、 fugacity系数、相平衡常数等。

对非极性/弱极性流体在较宽范围（特别是临界区）的pVT关系预测良好。计算比理想气体复杂，但精度高。

立方型状态方程、范德瓦尔斯方程改进、对比态原理。

超临界CO2萃取、油气藏相态计算、制冷剂性质、化工过程模拟。特征：能描述气液相变、临界点，预测密度、逸度等。

变量：压力 p， 温度 T， 摩尔体积 v或密度 ρ=1/v。
流体常数：临界温度 Tc​， 临界压力 pc​， 偏心因子 ω， 气体常数 R。

三次代数方程、对比态、偏心因子、立方型EoS。

状态方程、Peng-Robinson、真实气体、超临界。

1. 给定：温度 T和压力 p(或密度 ρ)。
2. 计算系数：计算 a(T),b,α(T)。
3. 求解体积：将PR方程整理为关于 v的三次方程：v3+(b−pRT​)v2+(pa​−3b2−p2bRT​)v+(b3+pb2RT​−pab​)=0， 求解实根。在气液两相区，有三个实根，最大为气相，最小为液相，中间无物理意义。
4. 计算其他性质：如需焓 h=∫T0​T​cp0​dT+(pv−RT)−∫∞v​[T(∂T∂p​)v​−p]dv+(h0​−p0​v0​)。

在流体动力学中，PR方程作为闭合关系，将密度（或体积）与压力、温度关联。在可压缩流动计算中，它用于在已知 p,T时更新 ρ， 或反之。在临界点附近，密度对 p,T极为敏感，流动可能表现出异常输运性质。

真实流体（非极性/弱极性），可压缩，可用于亚临界、超临界和跨临界状态。

Flow-L1-0072​

本构模型

剪切增稠流体

微观机制模型

剪切增稠流体的触变模型 (Thixotropic Model for Shear Thickening Fluids)​

1. 物理机制：剪切增稠（如玉米淀粉浆）常与微观结构变化（颗粒簇形成）相关，具有时间依赖性（触变性）。
2. 结构参数：引入结构参数 λ(t)(0 ≤ λ ≤ 1)， 表征微观结构程度，λ=1 表示完全结构化，λ=0 表示完全破坏。
3. 本构方程：常采用广义牛顿流体框架，表观粘度是剪切率和结构参数的函数：η=η(γ˙​,λ)。
一种形式：η=η∞​+(η0​−η∞​)λ(1+(τγ˙​)a)(n−1)/a， 其中 η0​,η∞​是零剪切和无穷剪切粘度，τ,a,n是参数。当 λ 大且 γ˙​高时，η可远大于 η0​， 体现增稠。
4. 结构动力学方程：
dtdλ​=k1​(1−λ)−k2​λγ˙​m
右边：重建项（速率 k1​）和剪切破坏项（速率与 k2​γ˙​m成正比）。稳态时，λss​=1+(k2​/k1​)γ˙​m1​。
5. 耦合：流动决定 γ˙​， 影响 λ的演化；λ反过来决定 η， 影响流动。

能描述剪切增稠流体的时间依赖性和微观结构演化。模型参数多 (k1​,k2​,m,η0​,η∞​,τ,a,n)， 需精心拟合流变数据。

微观结构动力学、触变性、广义牛顿流体。

智能减震液、液体防弹衣、软体机器人、涂料（防滴落）。特征：粘度随剪切率增加而增加，且存在滞后环、应力过冲等瞬态效应。

变量：表观粘度 η， 结构参数 λ， 剪切率 γ˙​。
动力学参数：重建速率常数 k1​， 破坏速率常数 k2​， 破坏指数 m。
粘度函数参数：η0​,η∞​,τ,a,n。

常微分方程（结构参数）、非线性粘度函数、触变性、稳态流动曲线。

剪切增稠、触变性、结构参数、时间依赖。

1. 初始化：给定初始结构参数场 λ0。
2. 计算剪切率：由当前速度场计算 γ˙​。
3. 更新结构参数：求解 dtdλ​=k1​(1−λ)−k2​λγ˙​m， 得到新的 λn+1。
4. 计算表观粘度：ηn+1=η(γ˙​n+1,λn+1)。
5. 求解动量方程：用 ηn+1求解流场，得新速度场。
6. 时间推进：重复2-5步。

流动由广义牛顿流体的本构关系描述，但粘度 η依赖于瞬时剪切率 γ˙​和历史（通过 λ）。在低剪切下，结构重建占优，λ较高，粘度中等。突然施加高剪切，结构破坏需要时间，λ缓慢下降，在此期间 η可能极高（增稠）。稳态时，λ与 γ˙​平衡，可能呈现增稠的流动曲线。流动与微观结构强烈耦合，瞬态响应复杂。

不可压缩、非牛顿流体，具有剪切增稠和触变行为，微观结构随时间演化。

Flow-L1-0073​

相变模型

微重力沸腾

气泡动力学、热毛细力

微重力池沸腾模型 (Microgravity Pool Boiling Model)​

1. 重力影响：在微重力下，浮力几乎消失，气泡脱离主要依靠表面张力梯度和惯性力。
2. 气泡力平衡：气泡脱离直径 Dd​由作用在气泡上的力平衡决定。在微重力下，主要考虑：
- 惯性力：Fi​∼ρl​R˙2πDd2​
- 表面张力：Fσ​∼σDd​
- 热毛细力（马兰戈尼力）：由于气泡顶部和底部温度差引起的表面张力梯度， FMar​∼dTdσ​ΔTDd​。
3. 脱离准则：常采用力平衡或能量平衡准则。例如，假设气泡脱离时惯性力与表面张力平衡：We=σρl​R˙2Dd​​=const.， 其中 R˙是气泡生长速率。
4. 气泡生长：在微重力下，热边界层更厚，气泡生长可能受热扩散控制更久。可用 Plesset-Zwick 型方程：R(t)=π​2b​Jaαl​t​， 其中 Ja=ρv​hfg​ρl​cp,l​ΔTsup​​是雅各布数。
5. 传热：微重力下，自然对流减弱，传热更依赖气泡的扰动和微对流。

模型能定性解释微重力下气泡变大、脱离延迟、CHF降低等现象。精确预测需复杂的数值模拟（直接模拟气泡生长和运动）。

气泡动力学、力平衡、热毛细效应、相变传热。

空间站热管理系统、航天器推进剂管理、微重力相变实验。特征：浮力可忽略，表面张力和热毛细力主导，气泡行为与地面迥异。

变量：气泡半径 R(t)， 脱离直径 Dd​， 生长速率 R˙。
参数：工质物性 (ρl​,ρv​,σ,cp,l​,hfg​,αl​)， 过热度 ΔTsup​， 接触角 θ， 表面张力温度系数 dσ/dT。
无量纲数：雅各布数 Ja， 韦伯数 We， 邦德数 Bo=ΔρgDd2​/σ(微重力下→0)。

力平衡、气泡生长方程、热毛细力、微重力修正。

微重力、沸腾、气泡脱离、热毛细力。

1. 计算气泡生长：根据当地过热度，用扩散控制模型计算 R(t)和 R˙(t)。
2. 判断脱离：当气泡达到满足力平衡准则的尺寸 Dd​时，认为脱离。微重力下 Dd​通常更大。
3. 计算传热：气泡生长和脱离带走潜热，并激发微对流。可用经验关联式修正核态沸腾传热系数。
4. 系统级模拟：在系统代码中，修正重力系数，采用微重力下的脱离直径和传热关联式。

在加热表面上，汽泡成核并生长。由于缺乏浮力，汽泡在壁面停留时间更长，长得更大。汽泡的脱离主要依靠其生长惯性或相邻汽泡合并产生的冲击。热毛细力可能驱动汽泡顶部和底部的液体流动，促进脱离。汽泡合并形成大气膜，可能导致早期过渡到膜态沸腾。热量的输运更依赖汽泡扰动引起的微对流和热传导。

气-液两相、沸腾、微重力（或低重力）环境，浮力可忽略。

Flow-L1-0074​

流动模型

声流体力学

声辐射力、声流

声流模型 (Acoustic Streaming Model)​

1. 物理现象：当声波在流体中传播时，由于粘性耗散和非线性效应，会产生一个稳定的时均净流，即声流。
2. 摄动分析：将变量展开为：ϕ=ϕ0​+ϕ1​+ϕ2​+...， 其中下标0为静息态，1为一阶声学量（时谐），2为二阶时均量（声流）。
3. 控制方程：
- 一阶方程：线性化的波动方程，描述声场 v1​,p1​。
- 二阶时均方程：从 N-S 方程取时间平均，得到声流场的控制方程：
∇⋅v2​=0
ρ0​∂t∂v2​​=−∇p2​+μ∇2v2​+Frad​
其中 声辐射体力​ Frad​=−ρ0​<(v1​⋅∇)v1​>−<ρ1​∂t∂v1​​>， <>表示时间平均。对于驻波场，Frad​可化简为梯度形式。
4. 边界层声流：在固壁附近，粘性效应强，形成声边界层，其内外的声场不匹配产生显著的声流（如石英风）。

对小振幅声波驱动的声流预测良好。对于强非线性或复杂几何，需更高级的模拟或直接数值求解。

摄动理论、纳维-斯托克斯方程的时间平均、声辐射力理论。

声镊子操控微粒/细胞、微混合器、声表面波器件、芯片实验室。特征：无需移动部件，通过声场产生可控的流场。

变量：一阶声场 v1​,p1​， 二阶声流场 v2​,p2​。
声场参数：声压振幅 pa​， 频率 f， 波长 λ。
流体参数：密度 ρ0​， 粘度 μ， 声速 c0​。

摄动展开、时间平均、声辐射体力、斯托克斯漂移。

声流、声辐射力、摄动法、微操纵。

1. 求解一阶声学问题：在给定边界（如压电换能器振动）下，求解线性波动方程或亥姆霍兹方程，得到复声压场 p1​和速度场 v1​。
2. 计算声辐射体力：Frad​=−ρ0​<ℜ(v1​)⋅∇ℜ(v1​)>−<ℜ(ρ1​)∂t∂​ℜ(v1​)>， 其中 ρ1​=p1​/c02​。
3. 求解二阶声流场：将 Frad​作为体积力源项，求解稳态或准稳态的斯托克斯方程（低雷诺数）或 NS 方程，得到声流速度场 v2​。
4. 粒子追踪（如需要）：粒子在声流场 v2​和声辐射力（如初级辐射力、次级辐射力）共同作用下运动。

声场（一阶）以高频振荡，其非线性相互作用和粘性耗散产生一个时均的、稳定的体积力 Frad​。这个力驱动流体产生一个稳定的流动（二阶声流）。在微通道中，声流可形成涡旋对，用于混合。在声驻波节点/反节点附近，声辐射力可捕获或排开微粒。

牛顿流体、不可压缩、考虑声学扰动和粘性耗散，通常为低马赫数声场。

Flow-L1-0075​

多相流模型

电流体动力学

电晕放电、离子风

电晕放电离子风模型 (Corona Discharge Ionic Wind Model)​

1. 物理过程：在尖电极（电晕极）和平板电极（集电极）间施加高直流电压，使电极附近气体电离，产生单极性离子。离子在电场作用下向集电极运动，与中性气体分子碰撞，将动量传递给气体，产生“离子风”。
2. 控制方程：耦合电学、离子输运和流体动力学。
- 电势方程：∇2ϕ=−ϵ0​ρe​​， 其中空间电荷密度 ρe​=e(n+​−n−​)。
- 离子输运方程：∂t∂n±​​+∇⋅(n±​u)=∇⋅(D±​∇n±​)∓∇⋅(μ±​n±​∇ϕ)+Sion​−Srec​
其中 μ±​,D±​是离子迁移率和扩散系数， Sion​是电离源项（采用 Townsend 电离系数等模型）， Srec​是复合项。
- 流体方程：在离子风力体积力 F=ρe​E驱动下的 NS 方程。
3. 简化：常假设单极性离子、忽略扩散、稳态，则离子电流密度 J=ρe​μE满足 ∇⋅J=0。结合泊松方程和欧姆定律近似求解。

能定性模拟离子风产生和流动。精确模拟放电等离子体区非常复杂，常用简化模型。Kaptsov 假设（电极表面电场恒定）常被采用。

电晕放电物理、离子输运、泊松方程、动量传递。

静电除尘、离子风散热、空气净化、飞行器流动控制。特征：无运动部件产生射流，低噪音，低功耗。

变量：电势 ϕ， 空间电荷密度 ρe​， 离子数密度 n±​， 流体速度 u， 压力 p。
电参数：电压 V， 离子迁移率 μ， 介电常数 ϵ0​。
几何参数：电极曲率半径、极间距。

泊松方程、对流-扩散-反应方程、耦合多物理场。

电晕放电、离子风、电流体动力、无叶片风扇。

1. 求解电场与电荷分布：在给定电压下，联立求解泊松方程和电荷守恒方程（如 ∇⋅(ρe​μ∇ϕ)=0），得到 ϕ和 ρe​。
2. 计算体积力：F=ρe​(−∇ϕ)。
3. 求解流场：将 F作为源项，求解 NS 方程，得到离子风速场 u。
4. 耦合：有时需考虑流动对离子输运的影响（对流项），需迭代求解。

在尖电极附近，强电场使气体电离，产生正离子（正电晕）。这些离子在电场力作用下加速飞向集电极。在飞行途中，离子与中性气体分子频繁碰撞，将动量传递给气体，驱动气体从电晕极向集电极运动，形成一股喷射流（离子风）。流向从高压电极指向接地电极。

气体（通常为空气）、弱电离等离子体、单极性离子、在电场力驱动下的流动。

Flow-L1-0076​

流动模型

地质流体、地幔对流

高粘度、高瑞利数

地幔对流的布西内斯克流体模型 (Boussinesq Fluid Model for Mantle Convection)​

1. 物理简化：地幔岩石在长时间尺度下表现为高粘性流体。采用布西内斯克近似：密度变化仅出现在重力项中，由热膨胀引起：ρ=ρ0​[1−α(T−T0​)]。
2. 控制方程（无量纲）：
- 连续性：∇⋅u=0
- 动量（斯托克斯流，惯性可忽略）：−∇p+∇⋅[η(∇u+(∇u)T)]+RaTz^=0
其中瑞利数 Ra=κναgΔTd3​是关键参数，d是层厚度，ν是运动粘度，κ是热扩散率。
- 能量：∂t∂T​+u⋅∇T=∇2T+H
其中 H是内部发热率（如放射性衰变）。
3. 粘度：地幔粘度强烈依赖于温度（和压力），常用阿伦尼乌斯型定律：η(T)=η0​exp[E/(RT)]， 其中 E是活化能。这导致强非线性。
4. 边界条件：常采用底部加热、顶部冷却的边界条件，模拟地球的热历史。

是研究板块构造、地幔柱、大陆漂移等大规模地质现象的标准流体动力学模型。计算挑战在于高Ra、变粘度、复杂边界。

布西内斯克近似、斯托克斯流、热对流、傅里叶热传导。

地球/行星内部对流、板块运动驱动力、地幔柱形成、岩浆房动力学。特征：时间尺度极长（百万年），高粘度，瑞利数极大 (~10^6-10^8)，粘度变化剧烈。

变量：速度 u， 压力 p， 温度 T。
无量纲参数：瑞利数 Ra， 内部发热参数 H， 粘度变化参数（活化能 E）。
几何：对流层深度 d， 纵横比。

斯托克斯方程、能量方程、变粘度、高瑞利数对流。

地幔对流、布西内斯克、斯托克斯流、瑞利数。

1. 离散：在二维/三维区域（球形壳或平面层）离散方程。
2. 求解斯托克斯方程：由于忽略惯性，方程是椭圆型，在给定温度场（浮力项）下求解速度压力场。常用Uzawa算法或罚函数法。
3. 求解能量方程：用求得的速度场对温度进行对流-扩散求解。
4. 更新粘度：根据新的温度场更新粘度场 η(T)。
5. 时间推进：重复2-4步，模拟对流从初始状态（如线性温度剖面加小扰动）到稳态/准稳态的演化。

流体（地幔岩石）在底部被加热（地核），顶部被冷却（地表）。热膨胀使底部流体密度降低，在浮力作用下上升，形成上升流（地幔柱）。顶部冷却的流体密度增加，下沉形成下降流（俯冲带）。由于粘度极高，流动非常缓慢（厘米/年），但瑞利数巨大，流动呈湍流状的对流斑图。粘度随温度剧烈变化，导致冷的下降流板片更硬，热的上升流更软。流动由浮力驱动，方向垂直于等温面。

极高粘度的牛顿流体（在长时间尺度下），不可压缩，密度随温度变化（布西内斯克近似），内部可能发热。

Flow-L1-0077​

本构模型

磁性流体

磁场依赖的应力

铁磁流体本构模型 (Ferrohydrodynamic Constitutive Model)​

1. 物理特性：铁磁流体是悬浮有纳米磁性颗粒的载液，在磁场下表现出磁化强度和宏观流动特性变化。
2. 磁化方程：常用平衡磁化强度的朗之万函数描述：
Meq​=Ms​L(ξ)， L(ξ)=cothξ−1/ξ， 其中 ξ=kB​Tμ0​mH​， m是颗粒磁矩， H是磁场强度， Ms​是饱和磁化强度。
3. 铁磁流体动力学方程：在连续性方程和动量方程中，增加磁体力项 μ0​(M⋅∇)H和磁应力贡献。对于不可压缩、无电导率的铁磁流体，动量方程：
ρDtDu​=−∇p∗+η∇2u+μ0​(M⋅∇)H+ρg
其中 p∗=p+21​μ0​H2为综合压力。
4. 磁化弛豫：实际磁化强度 M与平衡值 Meq​有弛豫过程：DtDM​=τ1​(Meq​−M)+ω×M， 其中 τ是弛豫时间， ω是流体涡量。
5. 表观粘度变化：在强磁场下，颗粒形成链状结构，可能导致剪切粘度增加。

能描述铁磁流体在磁场中的基本流动和界面失稳（如尖峰现象）。更精细的模型需考虑颗粒相互作用、多分散性等。

胶体悬浮液动力学、磁性颗粒的磁化理论、耦合磁-流体力学。

磁性液体密封、靶向药物输送、磁热疗、传感器、阻尼器。特征：流体的宏观运动可通过外磁场非接触控制。

变量：速度 u， 压力 p， 磁化强度 M， 磁场 H。
材料参数：饱和磁化强度 Ms​， 初始磁化率 χ0​， 载液粘度 η， 密度 ρ， 弛豫时间 τ。
磁场参数：外磁场分布 Hext​(x)。

耦合的偏微分方程组、磁化弛豫方程、朗之万函数。

铁磁流体、磁流体、磁化、磁场驱动。

1. 求解磁场：给定外场或电流分布，求解静磁场方程 ∇×H=0， ∇⋅(μ0​H+M)=0， 得到 H场。
2. 计算磁化强度：根据当地 H， 计算平衡磁化 Meq​， 并求解弛豫方程得 M。
3. 计算磁体力：Fm​=μ0​(M⋅∇)H。
4. 求解流体方程：将 Fm​作为体积力，求解动量方程和连续性方程。
5. 耦合迭代：有时流动会轻微扰动磁场（通常可忽略），或需考虑磁场与流动的耦合。

流动由速度场、压力场和磁化场共同描述。外磁场梯度产生磁体力，驱动流体向磁场强的区域运动（如磁极尖端）。在均匀磁场中，磁化颗粒可能排列成链，增加流体有效粘度。流体的运动也会影响磁化弛豫。流向可由磁场梯度精确操控。

不可压缩牛顿载液，其中悬浮有纳米磁性颗粒，流体可被磁化，但通常不导电。

Flow-L1-0078​

本构模型

电流变液

电场依赖的屈服应力

宾汉塑性电流变液模型 (Bingham Plastic Model for ER Fluids)​

1. 物理特性：电流变液在强电场下，悬浮颗粒极化并形成链/柱状结构，导致流体表现出类似固体的屈服应力行为。
2. 本构模型：常用电场依赖的宾汉模型：
{γ˙​=0τ=τy​(E)+μp​γ˙​​if τ≤τy​(E)if τ>τy​(E)​
其中屈服应力 τy​是电场强度 E的函数。常用幂律关系：τy​∝Eα， 其中 α在1.5-2.0之间。
3. 动态响应：电场施加/撤除后，结构形成/破坏需要时间，因此屈服应力是电场和时间的函数，具有触变性。可引入结构参数 λ：
τy​(E,λ)=τy0​+τy∞​(E)λ
dtdλ​=k1​(1−λ)−k2​λγ˙​， 其中 k1​∝E2反映电场诱导的结构形成。
4. 电场分布：需与静电方程耦合求解。

能描述ER流体的核心流变特性：电场可控的屈服应力。对微观结构演化的细节有简化。

宾汉塑性模型、电场诱导结构形成、触变性。

离合器、阻尼器、阀门、触觉设备。特征：屈服应力可由电场快速（毫秒级）、可逆地调节。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​， 结构参数 λ。
电场参数：电场强度 E， 屈服应力-电场关系参数 (τy∞​(E)中的系数和指数)。
动力学参数：结构形成常数 k1​(E)， 破坏常数 k2​。

分段本构、电场依赖的屈服应力、结构动力学方程。

电流变液、宾汉塑性、电场控制、智能流体。

1. 求解电场：根据施加电压，求解静电方程 ∇⋅(ϵ∇ϕ)=0， 得到电场分布 (E =

\nabla \phi

)。
2. 计算屈服应力：根据当地电场 E和当前结构参数 λ， 计算 τy​(E,λ)。
3. 计算表观粘度：使用正则化方法，如 η=μp​+γ˙​τy​(E,λ)​[1−exp(−mγ˙​)]。
4. 求解流场：将 η代入广义牛顿流体动量方程。
5. 更新结构参数：根据当地剪切率和电场，求解 dtdλ​=k1​(E)(1−λ)−k2​λγ˙​。
6. 迭代。

Flow-L1-0079​

流动模型

材料加工（晶体生长）

浮力与热毛细力耦合

热毛细对流 (Thermocapillary Convection / Marangoni Convection)​

1. 驱动机制：在具有自由表面的流体中，表面张力 σ随温度变化 (dσ/dT<0对于大多数流体)。温度梯度导致表面张力梯度，从而驱动表面层从高温（低σ）向低温（高σ）运动，并带动内部流体，形成热毛细对流。
2. 边界条件：在自由表面，切向应力平衡条件为：
μ∂n∂uτ​​=∂T∂σ​∂τ∂T​
其中 n,τ是法向和切向。
3. 控制方程：在布西内斯克近似下求解质量、动量、能量守恒方程，并在自由表面应用上述应力条件。
4. 无量纲数：
- 马兰戈尼数​ (Ma = \frac{

\frac{d\sigma}{dT}

\Delta T L}{\mu \kappa})， 表征热毛细力与粘性力之比。
- 邦德数​ Bo=σΔρgL2​， 表征重力与表面张力之比。在微重力下 Bo→0， 热毛细对流占主导。
5. 不稳定性：当 Ma超过临界值，稳态对流会失稳，发展为振荡流或湍流。

是模拟浮区晶体生长、焊接熔池、薄膜干燥中自由表面流动的关键模型。精度依赖于准确的 dσ/dT和边界条件。

表面张力温度依赖性、应力边界条件、纳维-斯托克斯方程。

空间晶体生长（浮区法）、激光熔池、微重力流体管理、涂层干燥。特征：自由表面流动，由表面张力梯度驱动，在微重力下尤其重要。

变量：速度 u， 压力 p， 温度 T， 自由表面形状 h(x,y,t)。
材料参数：粘度 μ， 热扩散率 κ， 表面张力温度系数 dσ/dT， 密度 ρ， 热膨胀系数 β。
驱动参数：施加的温度差 ΔT或热流。

偏微分方程组、应力边界条件、自由表面、无量纲分析。

热毛细对流、马兰戈尼效应、自由表面、微重力。

1. 定义自由表面：通过VOF或水平集法追踪界面。
2. 求解流场和温度场：在流体域内求解N-S方程和能量方程。
3. 施加马兰戈尼边界条件：在自由表面单元，根据当地温度梯度计算表面张力梯度 ∇s​σ=dTdσ​∇s​T， 并将其作为切向应力源项施加于动量方程（CSF模型）或直接作为边界条件。
4. 更新：考虑自由表面变形（如需），耦合求解。
5. 时间推进。

Flow-L1-0080​

多孔介质流

油气开采、提高采收率

自发渗吸

自发渗吸模型 (Spontaneous Imbibition Model)​

1. 物理过程：在毛细力驱动下，润湿相流体自发吸入多孔介质，驱替非润湿相。例如，水吸入含油岩心。
2. 数学模型：一维水平渗吸，忽略重力。结合达西定律和毛细压力定义，得到饱和度方程（Buckley-Leverett类型）或直接推导吸入长度与时间关系。
3. 经典解：对于强亲水介质，吸入前缘饱和度恒定，吸入长度 L与时间的平方根成正比：
L(t)=μw​2pc​KϕSwf​t​​
其中 pc​是平均毛细压力， K是渗透率， ϕ是孔隙率， Swf​是前缘后平均水饱和度， μw​是水相粘度。
4. 广义模型：考虑重力、粘度比、初始饱和度、非均质性等。常通过数值求解多相达西定律来研究。
5. 无量纲时间：定义 tD​=τt​， 其中特征时间 τ=σK/ϕ​μw​L2​， 吸入曲线可被标度化。

对均质、强亲水介质的简单一维渗吸过程是良好的近似。实际油藏岩石复杂，需考虑孔隙结构、润湿性分布等。

毛细管渗流理论、达西定律、质量守恒。

低渗透油藏注水开发、页岩油气开采、燃料电池GDL水管理、建筑材料吸水。特征：毛细力驱动，无需外加压力，吸入速度随时间减慢。

变量：吸入长度 L(t)， 前缘饱和度 Sf​， 饱和度分布 Sw​(x,t)。
介质参数：渗透率 K， 孔隙率 ϕ， 毛细压力曲线 pc​(Sw​)。
流体参数：润湿相粘度 μw​， 非湿相粘度 μnw​， 界面张力 σ， 接触角 θ。

平方根时间律、毛细管束模型、饱和度方程。

自发渗吸、毛细吸入、提高采收率、平方根时间。

1. 实验：测量岩心吸入水量 W(t)或前缘位置 L(t)。
2. 数据拟合：将 L(t)与 t​拟合，得到斜率 C。
3. 反求参数：利用公式 C=μw​2pc​KϕSwf​​​， 若已知其他参数，可求取 pc​或 K。
4. 数值模拟：建立一维模型，输入岩石的毛细压力曲线和相对渗透率曲线，数值求解两相流方程，与实验对比验证。

润湿相（水）在毛细力驱动下，从岩心端面吸入，驱替非湿相（油）。吸入前缘近似为活塞式推进。前缘后方，含水饱和度较高，毛细压力较小。吸入速度由前缘处的毛细压力与粘性阻力平衡决定。由于吸入长度增加导致流阻增大，吸入速度随时间下降。流向始终指向毛细力驱动的方向（从高湿相饱和度区指向低湿相饱和度区）。

不混溶两相流体（如水/油），在亲水多孔介质中，毛细力驱动的渗流。

Flow-L1-0081​

多相流/生物流体

血液、血栓形成

血小板输运与粘附

血小板粘附与血栓形成模型 (Platelet Adhesion and Thrombosis Model)​

1. 关键过程：在血管损伤或病变处，血流中的血小板被激活，粘附于血管壁，并进一步聚集形成血栓。
2. 模型变量：常包括：
- 未激活血小板浓度 Pu​(x,t)
- 激活血小板浓度 Pa​(x,t)
- 壁面血小板覆盖率 θ(x,t)
- 激动剂（如ADP， 凝血酶）浓度 c(x,t)
3. 控制方程：
- 血小板输运：对流-扩散-反应方程。
∂t∂Pu​​+u⋅∇Pu​=Du​∇2Pu​−Ract​
∂t∂Pa​​+u⋅∇Pa​=Da​∇2Pa​+Ract​−Radh​−Ragg​
其中 Ract​=kact​cPu​是激活率， Radh​=kadh​Pa​(1−θ)是壁面粘附率， Ragg​是血小板-血小板聚集率。
- 激动剂输运：∂t∂c​+u⋅∇c=Dc​∇2c+Srelease​−Sdecay​， 源项来自激活血小板释放或壁面。
- 壁面动力学：(\frac{d\theta}{dt} = k_{adh} P_a

{wall} (1-\theta) - k{det} \theta)。
4. 与流场耦合：血流场 u由 NS 方程求解，影响所有输运过程。血栓生长会改变几何，从而反饋影响流场（双向耦合）。

能模拟血栓的起始、生长和稳定，是研究心血管疾病和医疗器械血栓形成的有力工具。模型包含大量速率常数，需实验标定。

对流-扩散-反应方程、化学动力学、表面覆盖动力学。

动脉粥样硬化斑块破裂后血栓形成、支架内再狭窄、人工心脏瓣膜血栓、体外循环。特征：多尺度（流动-生化-细胞）、强非线性、正反馈。

变量：Pu​,Pa​,c,θ。
动力学参数：激活速率常数 kact​， 粘附速率常数 kadh​， 解离速率常数 kdet​， 聚集速率常数， 扩散系数 Du​,Da​,Dc​。
血流输入：速度场 u(x,t)， 壁面剪切应力。

反应-扩散方程、边界条件（壁面反应）、与流场耦合。

血栓形成、血小板粘附、生物流体力学、反应-输运。

1. 求解血流场：在给定几何下求解 NS 方程，得到 u,p。
2. 求解激动剂方程：计算激动剂浓度场 c。
3. 求解血小板输运方程：计算 Pu​,Pa​分布。
4. 更新壁面覆盖率：在壁面边界，根据当地 Pa​和 c计算粘附通量，更新 θ。
5. 几何更新（若考虑血栓生长）：根据 θ或积累的血小板质量，更新计算域几何（如增加一层），并返回步骤1重新计算流场。
6. 时间推进。

血流携带未激活的血小板和激动剂。在损伤部位，激动剂释放/产生，激活流经的血小板。激活的血小板在流体剪切和化学吸引下向壁面输运，并与裸露的内皮下基质粘附。初始粘附的血小板进一步释放激动剂，招募更多血小板，形成正反馈，导致血栓快速生长。血栓的生长会显著改变局部流场，形成低剪切区，促进进一步沉积。流向由血流决定，但血栓生长可改变局部流向。

Flow-L1-0082​

多孔介质模型

气凝胶、超轻材料

分形结构、有效输运性质

气凝胶有效导热系数模型 (Effective Thermal Conductivity Model for Aerogels)​

1. 材料特性：气凝胶是具有纳米多孔网络结构的超轻固体，其有效导热系数 keff​由气相导热 kg​、固相导热 ks​和辐射导热 kr​三部分组成，且强烈依赖于密度、孔隙率、孔径分布。
2. 建模方法：
- 串联/并联模型：最简单， keff​=ϕkg​+(1−ϕ)ks​(并联)， 或 1/keff​=ϕ/kg​+(1−ϕ)/ks​(串联)。实际介于之间。
- 有效介质理论：如 Maxwell-Garnett 模型，假设球形孔隙随机分布在连续基质中：
keff​+2ks​keff​−ks​​=ϕkg​+2ks​kg​−ks​​
- 分形模型：考虑气凝胶的分形结构，将网络视为由分形维数为 Df​的细长颗粒（直径 df​， 长度 lf​）构成。通过分析单元胞的热阻网络，推导出：
keff​≈ks​(1−ϕ)(lf​df​​)∝ρ1.5∼2.0
其中 ρ是体积密度。
3. 气相贡献：在常压以下，气体分子平均自由程可与孔径比拟，需采用 Knudsen 修正： kgeff​=1+2βKnkg0​​， 其中 Kn=Λ/dp​， Λ是分子平均自由程， dp​是平均孔径， β是常数。

分形模型能较好地关联 keff​与密度、微观结构参数。但仍需实验数据确定特定材料的结构参数（如 df​/lf​,Df​）。

有效介质理论、分形几何、热阻网络分析、气体分子运动论。

气凝胶超级隔热材料设计、航天器热防护、低温储罐。特征：极低导热系数，密度依赖性强，常压以下与压力相关。

变量：有效导热系数 keff​。
结构参数：孔隙率 ϕ， 体积密度 ρ， 固相密度 ρs​， 平均孔径 dp​， 分形维数 Df​， 颗粒纵横比 lf​/df​。
物性参数：固相本征导热系数 ks​， 气体本征导热系数 kg0​， 压力 p， 温度 T。

有效介质近似、分形标度律、热阻网络、Knudsen数修正。

气凝胶、有效导热系数、分形、隔热材料。

1. 表征材料：通过实验测量密度 ρ、孔隙率 ϕ、孔径分布（得 dp​）， 或通过分形分析得到 Df​,df​/lf​。
2. 选择模型：根据已知信息选择合适模型（如分形模型）。
3. 计算各分量：
a. 固相传导： kseff​=ks​(1−ϕ)(df​/lf​)。
b. 气相传导： kgeff​=1+2βKnkg0​​， Kn=2​πdm2​pdp​kB​T​， dm​气体分子直径。
c. 辐射传导： kr​=316​βe​n2σT3​， 其中 n折射率， βe​消光系数。
4. 合成： keff​=kseff​+kgeff​+kr​。

热量通过三种并行途径在气凝胶中传输：1) 通过固相骨架的导热（路径曲折，颈区窄，热阻大）；2) 通过孔隙内气体的导热（低压下受Knudsen效应抑制）；3) 热辐射（红外透明窗区需被掺杂屏蔽）。有效导热系数是密度、压力和温度的复杂函数。热流方向由温度梯度决定，但传输路径受复杂的分形网络调制。

不涉及宏观流动，属于多孔介质的有效热输运性质问题。材料是纳米多孔固体（气凝胶）与气体（常为空气）的复合体系。

Flow-L1-0083​

多孔介质流

泡沫金属、强制对流

达西-布林克曼-福希海默方程

泡沫金属强制对流模型 (Forced Convection in Metal Foams)​

1. 物理场景：流体被压差驱动，流过具有高孔隙率和连通性的泡沫金属，用于强化传热（散热器）。
2. 动量方程：采用扩展的达西定律，包含粘性耗散（Brinkman项）和惯性效应（Forchheimer项）：
(\frac{\rho_f}{\phi} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = -\nabla p + \frac{\mu}{\phi} \nabla^2 \mathbf{u} - \frac{\mu}{K} \mathbf{u} - \frac{\rho_f C_F}{\sqrt{K}}

\mathbf{u}

\mathbf{u} + \rho_f \mathbf{g})
其中 u是达西速度， ϕ孔隙率， K渗透率， CF​惯性系数。
3. 能量方程：假设局部热非平衡（LTNE），即流体温度 Tf​和固体温度 Ts​不相等：
流体：(ρcp​)f​ϕ(∂t∂Tf​​+u⋅∇Tf​)=∇⋅(kf,eff​∇Tf​)+hsf​asf​(Ts​−Tf​)
固体：(ρcp​)s​(1−ϕ)∂t∂Ts​​=∇⋅(ks,eff​∇Ts​)−hsf​asf​(Ts​−Tf​)
其中 hsf​是固-液对流换热系数， asf​是比表面积， keff​是有效导热系数。
4. 参数获取：K,CF​,asf​,hsf​通常由实验关联式给出，与泡沫的孔隙率、孔径（PPI）有关。

LTNE 模型能更准确地预测泡沫金属内的温度场，特别是流速较高时。模型参数依赖于泡沫的具体结构。

多孔介质动量方程（DBF）、局部热非平衡能量方程、体积平均理论。

电子设备散热器、紧凑型换热器、吸液芯、燃烧器多孔介质燃烧。特征：高比表面积，流动阻力大，但换热极强。

变量：达西速度 u， 压力 p， 流体温度 Tf​， 固体温度 Ts​。
介质参数：孔隙率 ϕ， 渗透率 K， 惯性系数 CF​， 比表面积 asf​， 固-液换热系数 hsf​， 有效导热系数 kf,eff​,ks,eff​。

耦合的偏微分方程组、局部热非平衡、DBF方程、经验关联式。

泡沫金属、强制对流、局部热非平衡、多孔介质换热。

**1

Flow-L1-0084​

本构模型

聚合物熔体（粘弹性）

微分型、可描述剪切变稀

Giesekus 流体模型​

1. 物理背景：在 Oldroyd-B 基础上，引入各向异性阻力（或“运动学”各向异性），以描述聚合物溶液的剪切变稀和正应力系数随剪切率变化。
2. 本构方程：
τ+λ1​τ▽+μαλ1​​(τ⋅τ)=μ(γ˙​+λ2​γ˙​▽​)
其中 α是“各向异性”或“运动学”参数（0 ≤ α ≤ 1）。当 α=0 时，退化为 Oldroyd-B 模型；当 α>0 时，非线性项 τ⋅τ导致剪切变稀和正应力系数减小。
3. 剪切粘度：稳态剪切粘度 η(γ˙​)=[(1−λ2​/λ1​)2+(1−2α)(λ1​γ˙​)2][1+(λ1​γ˙​)2]1/2μ[(1−λ2​/λ1​)2+(1−2αλ2​/λ1​)(λ1​γ˙​)2]​， 在高剪切率下趋于 η∞​∝γ˙​−1。
4. 第一法向应力差：Ψ1​=N1​/γ˙​2也随 γ˙​减小。

比 Oldroyd-B 更灵活，能描述剪切变稀和正应力系数的剪切率依赖性。参数 α 提供了额外的调节自由度。

Oldroyd 类模型的扩展，引入了构象张量的各向异性阻尼。

聚合物溶液和熔体的复杂流动，如挤出胀大、孔口收敛流动。特征：可调剪切变稀，能预测过冲等瞬态响应。

变量：应力张量 τ。
材料参数：零剪切粘度 μ， 松弛时间 λ1​， 延迟时间 λ2​， 各向异性参数 α。

非线性微分方程、张量二次项、剪切变稀预测。

Giesekus、各向异性阻尼、剪切变稀、粘弹性。

求解流程类似 Oldroyd-B，但本构方程中多了一项 μαλ1​​(τ⋅τ)， 在迭代求解应力时需线性化处理此项。​ 1. 预测流场。2. 计算应变率。3. 求解 Giesekus 本构方程得应力（需处理非线性项）。4. 将应力代入动量方程修正流场。5. 迭代。

流动由速度场和应力场描述。非线性项 τ⋅τ代表聚合物链段运动受到与自身取向相关的各向异性阻力，导致在高变形率下应力增长减缓，表现为剪切变稀。流向与应力演化强耦合。

不可压缩、粘弹性流体、等温、可描述剪切变稀。

Flow-L1-0085​

生物流体模型

微循环血液流变学

两相流、Fahraeus-Lindqvist 效应

血浆层-核心区两相血流模型 (Plasma Layer-Core Two-Layer Model for Blood Flow)​

1. 物理现象：在小血管（直径 10-300 μm）中，红细胞向轴心迁移，形成无细胞的血浆层 near wall，导致表观粘度随管径减小而降低（Fahraeus-Lindqvist 效应）。
2. 模型假设：流动分为两个同轴区域：核心区（半径 Rc​）为均质悬浮液，粘度 μc​（依赖于红细胞比容 Hc​）；血浆层（厚度 δ=R−Rc​）为纯血浆，粘度 μp​。
3. 速度分布：在每个区域应用泊肃叶定律。核心区速度剖面为抛物线，但在界面处与血浆层速度连续。总流量 Q=8μp​LπΔp​[R4−Rc4​+μc​μp​​Rc4​]。
4. 核心区比容：由于血浆撇取效应，核心区红细胞比容 Hc​高于 feed hematocrit HF​。经验关系：Hc​/HF​=1+k(1−HF​)(1−(D/δ0​)2)， 其中 D是管径， k,δ0​是常数。
5. 核心区粘度：用 Quemada 模型等：μc​=μp​(1−21​kHc​)−2， 其中 k是聚集参数。

能定性解释 Fahraeus 和 Fahraeus-Lindqvist 效应。是分析微血管血流阻力和氧传输的经典模型。

两相流、泊肃叶流、质量守恒（红细胞流量）。

微血管血流模拟、微流控血液分析芯片设计。特征：考虑红细胞相分布，表观粘度依赖于管径。

变量：核心区半径 Rc​， 核心区比容 Hc​， 速度剖面 u(r)。
参数：管径 D， feed hematocrit HF​， 血浆粘度 μp​， 血浆层厚度参数 δ0​,k， 核心区粘度模型参数。

分段泊肃叶流、代数方程、经验关联式。

血浆层、两相血流、Fahraeus-Lindqvist 效应、微循环。

1. 给定：管径 D， 压降 Δp/L， feed hematocrit HF​。
2. 计算核心区比容：Hc​=f(HF​,D)用经验公式。
3. 计算核心区粘度：μc​=g(Hc​)用粘度模型。
4. 计算血浆层厚度：通常假设 δ为常数（~1-2 μm）或与 D相关。则 Rc​=R−δ。
5. 计算流量：代入两相泊肃叶公式计算 Q和表观粘度 μapp​=128LQπΔpD4​。

流动被分为两个区域。在血浆层，纯血浆以较高的速度梯度流动。在核心区，红细胞悬浮液以较低的速度梯度流动。由于低粘度的血浆层存在，在相同压降下总流量增加，即表观粘度降低。红细胞向轴心迁移的机制（鞘流）是形成此分布的原因。流向沿血管轴向。

血液视为在微小圆管中的两相悬浮液，核心区为非牛顿（剪切变稀）悬浮液，血浆层为牛顿流体。

Flow-L1-0086​

环境流体模型

泥沙输运

颗粒起动、悬浮、床载

泥沙输运的 Engelund-Hansen 总负荷公式​

1. 应用场景：预测河流中泥沙（非粘性）的总输运率（包括悬浮质和推移质）。
2. 无量纲参数：
- 水流强度参数（Shields 参数）：θ=(ρs​−ρ)gd50​τb​​， 其中 τb​=ρghS是床面剪切应力， d50​是中值粒径， S是能坡。
- 输沙强度参数：Φ=(ρs​/ρ−1)gd503​​qs​​， 其中 qs​是单位宽度的体积输沙率。
3. Engelund-Hansen 公式：建立 Φ与 θ的经验关系：
Φ=Cf​0.05​θ2.5， 其中 Cf​=ρU2τb​​是摩擦系数， U是平均流速。结合 Chézy 公式 U=ChS​， 可得 qs​=f(h,S,d50​,ρs​,ρ)。
4. 起动条件：当 θ小于临界 Shields 参数 θc​(~0.03-0.06) 时，无显著输沙。

对沙质河床的总输沙量估算在量级上常可接受。精度受粒径分布、形状、床面形态（沙纹、沙丘）影响大。

量纲分析、实验数据拟合、水动力与颗粒重力/惯性力的平衡。

河道演变、水库淤积、海岸侵蚀与堆积。特征：经验性，计算简单，用于长期、宏观估算。

变量：单位宽输沙率 qs​， 水深 h， 流速 U， 能坡 S。
泥沙参数：中值粒径 d50​， 颗粒密度 ρs​， 水下休止角 ϕ。
水流参数：密度 ρ， 粘度 ν， 重力 g。

经验幂律公式、无量纲分析、起动临界。

泥沙输运、总负荷公式、Engelund-Hansen、经验公式。

1. 计算水流参数：给定 h,U,S， 计算 τb​=ρghS， θ=τb​/[(ρs​−ρ)gd50​]。
2. 判断起动：若 θ<θc​， 则 qs​=0。
3. 计算输沙强度：Φ=Cf​0.05​θ2.5， 其中 Cf​=gS/U2。
4. 计算输沙率：qs​=Φ(ρs​/ρ−1)gd503​​。

水流对床面泥沙施加剪切应力。当剪切应力超过临界值，颗粒开始滚动、滑动或跃移（推移质）。强烈的湍流将部分颗粒卷入水流中悬浮运输（悬浮质）。总输沙率是水流功率和泥沙特性的函数。输运方向与水流方向一致，但可能因重力在横坡上有分选。

水（牛顿流体）作为连续相，输运固体泥沙颗粒（离散相），床面可动，涉及颗粒起动、悬浮和沉积。

Flow-L1-0087​

材料加工模型

静电纺丝

带电射流拉伸、不稳定性

静电纺丝射流拉伸模型 (Electrospinning Jet Thinning Model)​

1. 物理过程：聚合物溶液或熔体在高压静电场作用下形成泰勒锥，并喷射出带电射流，在电场中剧烈拉伸变细，溶剂蒸发或熔体固化形成纳米纤维。
2. 建模方法：一维可伸缩射流模型，考虑质量、动量、电荷守恒，以及电场耦合。
3. 控制方程（一维，稳态）：
- 质量守恒：Q=πR2(z)v(z)=const.， R是射流半径， v是轴向速度。
- 动量守恒：ρvdzdv​=dzd​(R23μ​dzd(R2v)​)+R2γ​dzdR​+πR2ρg​+πR2σE​
右边依次为：粘性力、表面张力、重力、电场力（σ是线电荷密度， E是电场强度）。
- 电荷守恒：I=πR2KE+2πRvσ(欧姆传导 + 对流)， 其中 I是电流， K是电导率。
- 电场：近似为 E(z)≈V/(h−z)， V是电压， h是针头-收集板距离。
4. 不稳定性：射流会经历弯曲不稳定性（whipping），需三维线性稳定性分析。

一维模型能描述射流初始拉伸和变细的主要趋势。完整的 whipping 不稳定性需要更复杂的模型。

细长体理论、电流体动力学、质量动量电荷守恒。

纳米纤维制备、过滤材料、组织工程支架。特征：利用静电力拉伸射流至纳米尺度，涉及流变、电场、传质耦合。

变量：射流半径 R(z)， 速度 v(z)， 线电荷密度 σ(z)， 电场 E(z)。
工艺参数：流量 Q， 电压 V， 距离 h， 溶液性质 (ρ,μ,γ,K)。

常微分方程组、一维射流、电场耦合、细长体近似。

静电纺丝、带电射流、纳米纤维、电流体动力拉伸。

1. 边界条件：在针头出口 (z=0)， 给定 R0​,v0​,σ0​。
2. 数值求解 ODEs：从 z=0到 z=h积分上述耦合的常微分方程组，得到 R(z),v(z),σ(z)。
3. 计算纤维最终直径：Df​≈2R(h)， 考虑溶剂蒸发可能使直径更细。
4. 稳定性分析（可选）：对基流进行扰动分析，预测 whipping 的发生和增长率。

射流从泰勒锥尖端喷出，在轴向电场力作用下加速。表面张力和粘性力抵抗拉伸。射流不断变细，速度增加。携带的电荷导致射流受到径向电场排斥力，可能诱发弯曲不稳定性，使路径变成螺旋状，进一步促进拉伸和细化。流向主要由电场方向主导，但受不稳定性调制。

聚合物溶液或熔体（非牛顿、粘弹性）、带电、在强电场中拉伸流动，伴随溶剂蒸发或固化相变。

Flow-L1-0088​

多相流模型

液-液萃取

液滴群传质

液-液萃取中的传质模型 (Mass Transfer Model for Liquid-Liquid Extraction)​

1. 物理过程：溶质从一相（分散相，液滴）传递到另一不互溶的连续相，涉及对流、扩散、液滴内循环、界面阻力。
2. 传质系数：对于刚性球滴，可用 Sherwood 数关联：Sh=Dc​kc​dp​​=2+0.6Rep1/2​Sc1/3(Ranz-Marshall)， 其中 kc​是连续相传质系数， Dc​是扩散系数。对于有内循环的液滴，传质增强。
3. 双膜理论：假设界面两侧存在停滞膜，传质阻力集中在膜内。总传质系数 Kod​满足：Kod​1​=kd​1​+kc​m​， 其中 kd​,kc​是分散相和连续相传质系数， m是分配系数。
4. 连续搅拌槽反应器模型：假设槽内完全混合，液滴大小均匀。对溶质做质量衡算：
连续相：Vc​dtdCc​​=Qc​(Cc,in​−Cc​)−Kod​a(Cc​−Cd​/m)V
分散相：Vd​dtdCd​​=Qd​(Cd,in​−Cd​)+Kod​a(Cc​−Cd​/m)V
其中 a=6ϕ/d32​是比界面面积， ϕ是分散相存留分数， d32​是 Sauter 平均直径。

双膜理论和 Ranz-Marshall 关联提供了工程估算的基础。实际液滴行为（振荡、聚并、破碎）使传质复杂化。

传质理论、双膜模型、液滴流体力学、质量守恒。

化工萃取塔、湿法冶金、制药分离。特征：两相均为液体，传质推动力为浓度差，可能伴有化学反应。

变量：连续相浓度 Cc​(t)， 分散相浓度 Cd​(t)， 液滴直径 dp​。
操作参数：流量 Qc​,Qd​， 存留分数 ϕ， 搅拌强度。
物性参数：扩散系数 Dc​,Dd​， 分配系数 m， 界面张力 σ。

常微分方程组、传质系数关联式、双膜理论、平均直径。

液-液萃取、传质、双膜理论、Sherwood 数。

1. 计算流体力学条件：估算液滴雷诺数 Rep​和施密特数 Sc。
2. 计算传质系数：用关联式计算 kc​和 kd​， 进而得 Kod​。
3. 计算比界面面积：a=6ϕ/d32​， d32​由液滴破碎-聚并平衡估计。
4. 求解质量衡算 ODEs：得到两相出口浓度随时间变化或稳态值。

分散相以液滴形式在连续相中运动。溶质从高浓度相通过界面扩散到低浓度相。传质速率受两相边界层内的扩散速率控制。液滴内部的环流和振荡可减薄边界层，强化传质。液滴的聚并和破碎改变界面面积。流动方向由连续相流动和液滴相对运动决定，传质方向由化学势梯度决定。

两种不互溶的液体，其中一相以液滴形式分散，涉及溶质在相间的质量传递。

Flow-L1-0089​

流固耦合模型

柔性体、旗帜颤振

浸没边界法

旗帜颤振的浸没边界法模型 (Flapping Flag Model using Immersed Boundary Method)​

1. 物理问题：柔性薄膜（旗帜）在流场中会发生自激振荡（颤振）。
2. 浸没边界法思想：流体在固定的欧拉网格上求解 N-S 方程；固体边界用拉格朗日点集描述，并通过 Dirac δ 函数与流体网格耦合，将固体受力传递给流体，并将流体速度插值给固体点。
3. 控制方程：
- 流体：ρf​(∂t∂u​+(u⋅∇)u)=−∇p+μ∇2u+f
∇⋅u=0
- 固体：弹性力根据本构关系（如薄膜的张力、弯曲刚度）计算：Fs​(s,t)=∂s∂​(Tτ)−EI∂s4∂4X​， 其中 T是张力， τ是切向矢量， EI是抗弯刚度。
- 耦合：体积力 f(x,t)=∫Fs​(s,t)δ(x−X(s,t))ds
固体点速度：∂t∂X​=∫u(x,t)δ(x−X(s,t))dx。
4. 数值实现：离散 δ 函数常用光滑函数，如 4-point Delta。

能有效处理大变形流固耦合问题，无需动网格。精度依赖于 δ 函数和流体求解器。

浸没边界法、弹性力学、纳维-斯托克斯方程。

旗帜/薄膜颤振、生物游动（鱼尾）、心脏瓣膜动力学。特征：强双向耦合，大变形，自激振荡。

变量：流体速度 u(x,t)， 压力 p(x,t)， 固体点位置 X(s,t)， 固体力 Fs​(s,t)。
固体参数：面密度 ρs​， 张力 T， 抗弯刚度 EI， 长度 L。
流体参数：ρf​,μ， 来流速度 U。

积分-微分耦合、狄拉克δ函数、弹性杆/膜方程、强耦合。

浸没边界法、旗帜颤振、流固耦合、自激振荡。

1. 初始化：流体和固体初始状态。
2. 计算固体力：根据当前固体构型 X， 计算弹性力 Fs​。
3. 力散布：将 Fs​通过 δ 函数散布到附近的流体网格点，得到流体方程的体积力源项 f。
4. 求解流体方程：在固定网格上求解 N-S 方程，得到新的流场 un+1,pn+1。
5. 速度插值：将流体速度 un+1通过 δ 函数插值到固体点位置，得到固体点速度 ∂X/∂t。
6. 更新固体位置：Xn+1=Xn+Δt(∂X/∂t)。
7. 时间推进。

流体绕流柔性体，产生非对称的涡脱落和压力分布，对柔性体施加流体动力。柔性体变形，改变其构型和局部攻角，从而改变流体动力。这种反馈导致自持的周期振荡。流向由主流和柔性体运动诱导的流场叠加决定。

不可压缩牛顿流体与线弹性（或非线性弹性）薄固体耦合，固体经历大变形。

Flow-L1-0090​

多物理场模型

热电冷却

泊尔帖效应、热电流体耦合

热电冷却器内的热电流体耦合模型 (Thermoelectric Cooler with Conjugate Heat Transfer)​

1. 器件结构：热电模块由 p 型和 n 型半导体腿对组成，位于两陶瓷板之间。通直流电时，一端吸热（冷端），一端放热（热端）。
2. 热电效应：在半导体腿内，能量方程包含焦耳热、泊尔帖热、傅里叶导热和汤姆逊热（常忽略）：
∇⋅(k∇T)+J2/σ−ΠJ⋅∇T=0
其中 J是电流密度， σ是电导率， Π=ST是泊尔帖系数， S是塞贝克系数。电流场由 ∇⋅(σ∇V)=0求解。
3. 流体域耦合：冷端和热端与流体（空气或液体）进行对流换热。在流体-固体界面，热流连续：
−ks​∂n∂T​=hf​(Ts​−Tf​)。
流体域求解对流换热方程（自然或强制对流）。
4. 系统性能：冷却功率 Qc​=STc​I−21​I2R−K(Th​−Tc​)， 其中 R,K是模块内阻和热导。

能模拟 TEC 与散热系统耦合下的详细温度分布和冷却性能。计算量较大，需求解多个物理场。

热电效应（泊尔帖、塞贝克、焦耳）、傅里叶导热、对流换热、电荷守恒。

电子器件精确温控、激光器冷却、便携式冰箱。特征：固态主动冷却，无运动部件，但需散热器。

变量：温度场 T(x)， 电势场 V(x)， 流体速度 u， 压力 p。
材料参数：塞贝克系数 S， 电导率 σ， 导热系数 k， 流体属性 ρ,μ,cp​,kf​。
操作参数：电流 I， 电压 V， 环境温度 T∞​。

偏微分方程组、多物理场耦合（电、热、流）、界面条件。

热电冷却、泊尔帖效应、共轭传热、多物理场。

1. 求解电场：给定电流或电压，求解电势方程得 V和 J。
2. 求解固体域能量方程：包含热电项，得固体温度场 Ts​。
3. 求解流体域：在冷/热端流体通道求解 N-S 方程和能量方程，得 Tf​和 hf​。
4. 耦合迭代：在流体-固体界面交换热流边界条件，直至 Ts​和 Tf​收敛。
5. 计算性能：从收敛解计算 Qc​,COP。

在半导体腿内，电荷流动与热流强烈耦合。在冷端，泊尔帖效应吸收热量，降低温度。在热端，释放热量。热量通过固体传导和流体对流被带走。流体的流动（由风扇或泵驱动，或自然对流）决定了散热能力，从而影响冷端温度。热流方向在腿内从冷端指向热端，在流体中从热端散向环境。

固体热电材料（非线性热电器件）与冷却流体（牛顿流体）的共轭传热问题，涉及热电转换。

Flow-L1-0091​

本构模型

冰川冰

非线性蠕变

Glen 流动定律 (Glen‘s Flow Law for Ice)​

1. 物理背景：多晶冰在应力下发生蠕变变形，表现为非线性粘性（剪切变稀）流体。
2. 本构关系：广义牛顿流体形式，有效粘度依赖于第二应变率不变量 ε˙e​=21​ε˙ij​ε˙ij​​。
ε˙ij​=A(T)τen−1​τij​
或等价为 τij​=B(T)ε˙e(1/n−1)​ε˙ij​， 其中 B=A−1/n。
- τe​=21​τij​τij​​是有效应力。
- n是应力指数，通常取 3。
- A(T)是速率因子，强烈依赖温度，阿伦尼乌斯形式：A(T)=A0​exp(−Q/(RT))， Q是活化能。
3. 应用于冰川：结合质量守恒和动量守恒（斯托克斯流近似），用于模拟冰川和冰盖的流动。

是冰川动力学模拟的标准本构定律。参数 A0​,n,Q由实验室蠕变实验和野外数据拟合。

经验蠕变定律、广义牛顿流体、热激活过程。

冰川和冰盖流动模拟、冰期预测、冰-海洋相互作用。特征：应力指数 n=3， 粘度强烈依赖于温度和应力。

变量：应变率张量 ε˙ij​， 应力张量 τij​。
材料参数：应力指数 n(~3)， 速率因子 A(T)或 A0​,Q， 冰密度 ρ。
温度：温度场 T(x)。

幂律本构、非线性粘度、温度依赖、斯托克斯流。

冰川冰、Glen定律、幂律蠕变、冰动力学。

1. 求解温度场（可能需要耦合）：得到冰内温度分布 T。
2. 计算速率因子：A(T)=A0​exp(−Q/(RT))。
3. 求解动量方程：在低雷诺数假设下，求解 ∇⋅τ−∇p+ρg=0， 其中 τ由 Glen 定律与应变率关联。由于非线性，需迭代求解。
4. 更新速度场：得到冰的流动速度。

冰在自身重力和基底剪切应力作用下发生缓慢的、持续的变形。应变率与应力的 n 次方（n≈3）成正比，表现为剪切变稀。温度升高显著增加应变率（降低粘度）。流动方向主要由重力势能梯度（表面坡度）决定，在底部受基底摩擦和地形调制。

多晶冰，表现为非线性（幂律）粘性流体，密度可视为常数，粘度强烈依赖于温度和应变率。

Flow-L1-0092​

多相流模型

乳化、微流控

液滴生成（流聚焦）

流聚焦液滴生成模型 (Flow-Focusing Droplet Generation Model)​

1. 几何结构：分散相从中心通道流入，两股连续相从两侧通道流入，在狭窄的聚焦孔或交叉口处将分散相流“夹断”形成单分散液滴。
2. 关键参数：
- 两相流量比 Qd​/Qc​。
- 毛细数 Cac​=μc​Uc​/σ， 其中 Uc​是连续相在聚焦处的平均速度。
- 两相粘度比 λ=μd​/μc​。
3. 生成机制：
- 滴流模式：低 Cac​，表面张力主导，周期性夹断，生成单分散液滴。液滴尺寸 d∝(Qd​/Qc​)1/3且受 Cac​影响。
- 射流模式：高 Cac​，粘性力主导，形成稳定射流，下游因毛细不稳定性断裂成液滴。
4. 尺度分析：在滴流模式，液滴直径 d与通道水力直径 Dh​和流量比的经验关系：d/Dh​=α(1+βQd​/Qc​)， α,β为拟合常数。

实验关联式能较好预测滴流模式下的液滴尺寸。精确模拟需借助界面捕捉方法（VOF/Level Set）。

界面不稳定性、毛细数与粘性力竞争、质量守恒。

微流控液滴生成、单细胞包裹、乳液制备。特征：可生成高度单分散液滴，尺寸可控。

变量：液滴直径 d， 生成频率 f。
操作参数：分散相流量 Qd​， 连续相流量 Qc​， 界面张力 σ。
几何参数：聚焦孔宽度 w， 通道深度 h。
物性参数：粘度 μd​,μc​， 密度 ρd​,ρc​。

经验标度律、毛细数、流量比、不稳定性分析。

流聚焦、液滴生成、微流控、滴流/射流模式。

1. 设定参数：给定 Qd​,Qc​,μd​,μc​,σ,w,h。
2. 计算无量纲数：Cac​,λ,Qr​=Qd​/Qc​。
3. 判断模式：根据 Cac​判断是滴流还是射流。
4. 估算液滴尺寸：使用实验关联式，如对方形通道：d/w=1.5Qr0.4​(1+Qr​)0.4Cac−0.1​(近似)。
5. 计算生成频率：f=Qd​/Vdrop​， Vdrop​是液滴体积。

分散相流体在入口处形成一个“舌”。两股连续相流在聚焦孔处加速，对分散相舌施加粘性剪切和压力，使其颈缩。表面张力抵抗颈缩，但最终在颈部失稳导致夹断，形成液滴。液滴被连续相携带向下游运动。生成过程周期性重复。流向由连续相主导。

两种不混溶的牛顿流体（或一方为非牛顿），在微尺度通道内，界面张力重要，流动为层流。

Flow-L1-0093​

流动模型

材料加工（CVD）

反应气体输运、表面沉积

化学气相沉积反应流模型 (Chemical Vapor Deposition Reactor Model)​

1. 物理过程：前驱体气体通入反应室，通过对流、扩散输运至衬底表面，发生气固异相化学反应，固体薄膜沉积在衬底上。
2. 控制方程：
- 流体力学：低马赫数 NS 方程，考虑浮力（自然对流）和强制对流。
- 组分输运：对每种气体组分 i：
∂t∂(ρYi​)​+∇⋅(ρuYi​)=∇⋅(ρDi​∇Yi​)+Rihom​
其中 Rihom​是气相均相反应源项。
- 表面反应边界条件：在衬底表面 (z=0)， 质量通量平衡：
(-\rho D_i \frac{\partial Y_i}{\partial z} \bigg

{wall} = M_i \sum_j s{ij} r_j)
其中 sij​是化学计量系数， rj​是表面反应 j的速率（常采用 Langmuir-Hinshelwood 或 Arrhenius 形式）。
3. 能量方程：可能包含气相反应热、表面反应热、辐射传热。
4. 薄膜生长速率：G=ρfilm​1​∑j​(νj​rj​Mj​)， 其中 νj​是生成固相的计量系数。

能模拟 CVD 反应器内的流场、温度场、浓度场，预测薄膜生长均匀性。化学动力学模型是关键和难点。

质量、动量、能量、组分守恒，化学反应动力学，表面反应。

半导体薄膜沉积（硅、氮化镓）、太阳能电池、防护涂层。特征：多组分反应流，涉及气相和表面化学反应，对均匀性要求高。

变量：速度 u， 压力 p， 温度 T， 组分质量分数 Yi​， 薄膜生长速率 G(x,y)。
反应参数：气相反应速率常数， 表面反应速率常数（指前因子、活化能）， 反应热。
操作参数：进气流量、成分、压力、温度、衬底温度。

对流-扩散-反应方程、表面反应边界条件、多组分输运、化学反应动力学。

化学气相沉积、反应流、表面反应、薄膜生长。

1. 求解流场和温度场：考虑热浮力等。
2. 求解组分方程：在流场和温度场驱动下，计算各前驱体和副产物的浓度分布。
3. 计算表面反应速率：在衬底边界，根据当地浓度和温度，用表面反应动力学模型计算 rj​。
4. 更新边界条件：将表面反应消耗/产生的通量作为组分方程的边界条件。
5. 迭代耦合：重复 2-4 步直至收敛，得到稳态浓度场和生长速率分布 G(x,y)。

反应气体从入口进入反应室，通过对流和扩散向衬底输运。在靠近衬底表面的边界层内，扩散占主导。前驱体分子在加热的衬底表面吸附、分解、反应，生成固体薄膜和气态副产物。副产物扩散回主流被带走。流动形态（层流/湍流、自然对流涡）强烈影响前驱体供应均匀性，从而决定薄膜厚度分布。流向由进气方向和自然对流共同决定。

Flow-L1-0094​

多孔介质流

组织工程、灌注生物反应器

多孔支架内灌注培养

组织工程支架内灌注培养的流动与传质模型 (Flow and Mass Transfer in Perfused Tissue Engineering Scaffolds)​

1. 应用背景：在生物反应器中，培养液被泵送通过多孔支架，为内部细胞提供养分和氧气，并带走废物。
2. 动量方程：支架区域视为多孔介质，采用达西定律或 Brinkman 扩展达西定律：
u=−μK​∇p
3. 质量守恒：∇⋅u=0。
4. 对流-扩散-反应方程：对关键营养物质（如葡萄糖 Cg​）和氧气（Co​）：
∂t∂Ci​​+u⋅∇Ci​=Di,eff​∇2Ci​−Ri​
其中 Di,eff​=Di​ϵ/τ是有效扩散系数（ϵ孔隙率， τ曲折度）， Ri​是细胞消耗率，常用 Michaelis-Menten 动力学：Ri​=Km​+Ci​Vmax​Ci​​⋅X， X是细胞密度（可能随空间时间变化）。
5. 壁面条件：在支架-流道界面，速度和浓度连续。

能评估支架内部的流动剪切应力（影响细胞分化）和营养物质分布，优化灌注条件。参数如 K,τ,Vmax​,Km​需实验测定。

多孔介质流、对流-扩散方程、细胞代谢动力学、质量守恒。

组织工程（骨、软骨）生物反应器设计、器官芯片。特征：低雷诺数流，营养物质传输与细胞消耗耦合，剪切应力需在生理范围。

变量：达西速度 u， 压力 p， 营养物质浓度 Ci​(x,t)， 细胞密度 X(x,t)。
支架参数：孔隙率 ϵ， 渗透率 K， 曲折度 τ， 特征孔径 dp​。
生物参数：最大消耗率 Vmax​， 米氏常数 Km​， 扩散系数 Di​， 细胞生长动力学参数。

达西定律、对流-扩散-反应方程、米氏动力学、多孔介质。

组织工程、灌注培养、多孔支架、营养物质传输。

1. 求解流场：在包含流道和支架的区域，求解达西/Brinkman 方程和连续性方程，得到流速场 u。
2. 求解物质传输方程：在给定流场下，求解每个营养物质的稳态或瞬态对流-扩散-反应方程，得到浓度场 Ci​。
3. 计算剪切应力：孔隙内局部剪切应力 τw​≈dp​4μu​(估算)，评估对细胞的影响。
4. 耦合细胞生长（高级）：可根据营养物质浓度更新局部细胞密度 X， 进而更新消耗项 Ri​， 进行动态模拟。

培养液在外部泵驱动下流经支架的孔隙网络。流速由施加的压降和支架的渗透率决定。营养物质随流体对流输送，并在孔隙内扩散到细胞表面被消耗。在低流速区域，可能因扩散距离限制或消耗过快而形成营养匮乏区。流动方向由施加的压差方向决定，但在复杂孔隙内是曲折的。

牛顿流体（细胞培养液）在刚性多孔支架（模拟细胞外基质）中的流动，伴有多种溶质的对流传质和细胞代谢消耗。

Flow-L1-0095​

本构模型

岩浆、熔岩

含晶体悬浮液

含晶体岩浆的 Herschel-Bulkley 模型​

1. 物理背景：岩浆是含有晶体（和气泡）的硅酸盐熔体悬浮液，表现为具有屈服应力的非牛顿流体。
2. 本构关系：常用 Herschel-Bulkley 模型描述：
{γ˙​=0τ=τy​+Kγ˙​n​τ≤τy​τ>τy​​
3. 参数依赖：屈服应力 τy​、稠度系数 K和流变指数 n强烈依赖于：
- 晶体分数（固相含量）ϕ：τy​和 K随 ϕ增加而急剧增加，特别是接近最大堆积分数时。
- 晶体形状和尺寸分布。
- 熔体成分和温度（影响基质的粘度）。
4. 经验关系：例如，τy​∝(ϕ−ϕc​)m， 其中 ϕc​是临界晶体分数， m是常数。K也可用 Krieger-Dougherty 型关系：K=K0​(1−ϕ/ϕmax​)−β。

能描述岩浆从几乎牛顿流体（低晶体含量）到具有强屈服应力的固体-like 行为的转变。参数需针对特定岩浆成分实验测定。

Herschel-Bulkley 模型、悬浮液流变学、临界固体分数。

火山学中岩浆房动力学、熔岩流传播、火山喷发机理。特征：高粘度，有屈服应力，性质随晶体含量剧烈变化。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​。
流变参数：屈服应力 τy​(ϕ,T)， 稠度系数 K(ϕ,T)， 流变指数 n(ϕ,T)。
状态参数：晶体体积分数 ϕ， 温度 T， 熔体成分。

分段幂律、屈服应力、参数依赖于固体分数和温度。

岩浆流变、晶体悬浮液、火山学、Herschel-Bulkley。

1. 给定状态：已知当地晶体分数 ϕ和温度 T。
2. 计算流变参数：利用经验关系计算当前状态下的 τy​,K,n。
3. 计算有效粘度：采用正则化模型，如 η=γ˙​τy​[1−exp(−mγ˙​)]​+Kγ˙​n−1。
4. 求解动量方程：将 η代入广义牛顿流体方程，模拟岩浆流动。
5. 耦合：流动可能影响晶体分布（沉降/迁移），需进一步耦合。

岩浆在低剪切应力下可表现为固体（不流动），例如支撑岩浆房顶板。当应力超过屈服应力（如由浮力或构造应力产生），开始像粘塑性流体一样流动。流动过程中，剪切变稀行为可能导致流速局部化。高晶体含量时，流动极为困难。流向由压力梯度（浮力、构造挤压）主导。

高温硅酸盐熔体（非牛顿基质）中含有高体积分数晶体（有时还有气泡）的复杂悬浮液，具有屈服应力和剪切变稀行为。

Flow-L1-0096​

湍流模型

浮力驱动湍流

修正湍流普朗特数

浮力修正的湍流模型 (Buoyancy-Modified Turbulence Models)​

1. 浮力对湍流的影响：在稳定分层（密度上轻下重）中，浮力做功为负，消耗湍动能，抑制湍流；在不稳定分层中，浮力做功为正，产生湍流。
2. 在 k−ϵ框架中的修正：在 k方程和 ϵ方程中增加浮力产生/消耗项 Gb​：
k方程：∂t∂k​+uj​​∂xj​∂k​=∂xj​∂​[(ν+σk​νt​​)∂xj​∂k​]+Pk​+Gb​−ϵ
ϵ方程：∂t∂ϵ​+uj​​∂xj​∂ϵ​=∂xj​∂​[(ν+σϵ​νt​​)∂xj​∂ϵ​]+Cϵ1​kϵ​(Pk​+Cϵ3​Gb​)−Cϵ2​kϵ2​
其中 Gb​=βgi​Prt​νt​​∂xi​∂T​， Prt​是湍流普朗特数， β是热膨胀系数。
3. 系数 Cϵ3​：通常，对于稳定分层 (Gb​<0)， 取 Cϵ3​=0或较小正值；对于不稳定分层 (Gb​>0)， 取 Cϵ3​=1。有些模型令其为 1。
4. 梯度理查德森数：Rig​=S2N2​=(∂z∂u​)2−ρ0​g​∂z∂ρ​​​， 可用于判断分层稳定性。

能改进分层流动（如大气边界层、室内通风、湖泊）的湍流预测。Cϵ3​的选择对预测影响显著。

湍动能方程、浮力功、分层稳定性理论。

建筑环境模拟（空调房间）、大气边界层、海洋混合层、太阳能烟囱。特征：在 RANS 框架中考虑浮力对湍流的生成/抑制。

变量：k,ϵ， 平均速度 ui​​， 平均温度 T或密度 ρ​。
模型参数：Cϵ1​,Cϵ2​,Cϵ3​,σk​,σϵ​,Prt​。
浮力参数：热膨胀系数 β， 重力加速度 gi​。

源项修正、浮力功、理查德森数、模型系数调整。

浮力修正、分层湍流、k-epsilon 修正、理查德森数。

1. 求解平均流场和温度场。
2. 计算浮力产生项：Gb​=βgi​Prt​νt​​∂xi​∂T​。
3. 求解修正的 k和 ϵ方程：在 k方程中加入 Gb​， 在 ϵ方程中加入 Cϵ3​Gb​项。
4. 更新湍流粘度：νt​=Cμ​k2/ϵ。
5. 迭代。

在稳定分层（如热水在冷水上）流动中，垂直方向的湍流脉动需要克服重力做功，消耗湍动能 (Gb​<0)， 从而抑制垂直混合，降低湍流粘度。在不稳定分层中，浮力释放能量促进湍流 (Gb​>0)。这改变了平均速度剖面和标量输运。流向由惯性力和浮力共同驱动，湍流结构受浮力调制。

牛顿流体、不可压缩、考虑密度变化的湍流（布西内斯克近似），适用于自然/混合对流。

Flow-L1-0097​

多相流模型

沸腾、微通道

流沸腾压降模型 (Two-Phase Pressure Drop Model for Flow Boiling)​

1. 压降组成：总压降 Δptotal​=Δpfric​+Δpmom​+Δpgrav​， 分别为摩擦压降、动量变化（加速）压降和重力压降。
2. 分相流模型：假设两相分开流动，定义 Martinelli 参数 Xtt2​=(dp/dz)fric,go​(dp/dz)fric,lo​​， 其中下标 lo, go 表示假设全部流体为液相或气相时的摩擦压降梯度。两相摩擦压降梯度与单液相压降梯度的关系由两相摩擦乘子 ϕl2​给出：(dp/dz)fric​=ϕl2​(dp/dz)fric,lo​。Lockhart-Martinelli 关联给出 ϕl2​=1+Xtt​C​+Xtt2​1​， 常数 C取决于两相流型（层流-层流，湍流-湍流等）。
3. 均相流模型：假设两相均匀混合，具有平均物性。摩擦压降用单相公式计算，粘度采用 Dukler 等公式：μtp​=[x/μg​+(1−x)/μl​]−1。加速压降：Δpmom​=G2[αρg​x2​+(1−α)ρl​(1−x)2​]out​−[...]in​， 其中 α是空泡份额，由滑移比模型计算。
4. 经验关联：对于微通道，常用基于大量数据库的通用关联式，如 Müller-Steinhagen 和 Heck 公式等。

是两相流系统设计（如热管、制冷系统）的关键。精度有限，不同关联式差异大，需根据流型、工质、工况选择。

分相流与均相流理论、动量守恒、经验数据关联。

制冷系统蒸发器、锅炉水冷壁、微通道散热器、热管。特征：压降是流量、干度、流型的复杂函数，对系统泵功有决定性影响。

变量：总压降 Δp， 摩擦压降 Δpfric​， 加速压降 Δpmom​， 空泡份额 α， 干度 x。
操作参数：质量流速 G， 热流密度 q′′， 进口干度 xin​， 出口干度 xout​。
几何参数：管径 D， 管长 L， 倾角 θ。

经验关联式、分相/均相流模型、马蒂内利参数、两相乘子。

两相流压降、沸腾、分相流模型、经验关联。

1. 划分管段：将管道分成小段，每段内物性变化不大。
2. 计算局部参数：在每段入口，已知 x,p,T等。计算单相摩擦压降梯度 (dp/dz)fric,lo​和 (dp/dz)fric,go​。
3. 计算 Martinelli 参数：Xtt​=[(dp/dz)fric,lo​/(dp/dz)fric,go​]0.5。
4. 计算两相摩擦乘子：选用合适关联式（如 Chisholm, Lockhart-Martinelli）计算 ϕl2​。
5. 计算段内摩擦压降：Δpfric​=ϕl2​(dp/dz)fric,lo​Δz。
6. 计算加速和重力压降（如需要）。
7. 累加：得到总压降。

在流动沸腾中，沿流向干度增加，气相比例增大。摩擦压降由于两相间的相互作用和流型变化，通常远大于单相流。加速压降源于气相体积膨胀导致的流速增加。重力压降由当地流体密度和倾角决定。压降梯度沿流向非均匀，在干度中等时摩擦压降常出现峰值。流向由压力梯度驱动，但压降本身是流动的结果。

气-液两相流，有相变（蒸发），在管道内流动，流型可能依次经历泡状流、弹状流、环状流等。

Flow-L1-0098​

流动模型

微重力、空间推进剂管理

毛细推进剂管理装置模型 (Capillary Propellant Management Device Model)​

1. 功能：在微重力下，利用表面张力和毛细力将液体推进剂定位在贮箱出口，保证气液分离，实现发动机可靠启动。
2. 关键部件：如筛网、通道、叶片等，其毛细压力 pc​=2σcosθ/rc​必须大于最大预期加速度产生的流体静压差（“加速头”）和流动压降，以防止气体吸入。
3. 性能参数：
- 气泡点压力：气体开始通过筛网所需的最小压差， pbp​=2σcosθ/rmax​， rmax​是最大孔隙半径。
- 流动压降：推进剂流过 PMD 的粘性压降，需用多孔介质达西定律或管道流计算。
- 留存能力：PMD 能保持住的最大液体体积，与毛细力平衡的重力或加速度力决定。
4. 数值模拟：常使用 VOF 方法模拟微重力下气液界面在复杂 PMD 结构中的平衡形状和动态响应。

是航天器推进系统设计的关键。地面试验需用中性浮力或落塔模拟微重力，数值模拟是重要补充。

毛细作用、静力学平衡、多孔介质流动、界面追踪。

卫星、飞船的液体推进剂贮箱、在轨加注系统。特征：微重力下表面张力主导，需精确控制界面位置。

变量：界面位置、形状， 毛细压力 pc​， 流动压降 Δpflow​。
几何参数：筛网孔径 rmax​， 通道尺寸， 叶片角度。
物性参数：表面张力 σ， 接触角 θ， 粘度 μ。
工况参数：加速度水平 a， 流量需求 Q。

静力学平衡、毛细压力公式、多孔介质流动、界面形状。

推进剂管理、毛细力、微重力、筛网。

1. 设计 PMD 几何：确定筛网、通道等结构和尺寸。
2. 计算毛细压力能力：pc​=2σcosθ/rc​。
3. 计算最大抵抗加速头：Δpacc​=ρaL， L是特征长度。要求 pc​>Δpacc​。
4. 计算工作流量下的流动压降：Δpflow​， 要求 pc​>Δpacc​+Δpflow​以确保不吸气。
5. 数值验证：用 VOF 模拟在预期加速度和流量下，PMD 能否维持气液界面在出口筛网外侧。

在微重力下，液体因表面张力聚集在 PMD 结构（如筛网）附近，形成稳定的气液界面。当贮箱出口需要排出液体时，液体在毛细力驱动下流过 PMD 结构。施加的加速度（如发动机点火）会产生“惯性力”，试图将液体推离出口，但毛细压力抵抗此力，将液体保留在出口处。流动方向由压力梯度（毛细压力与流动阻力之差）驱动。

液体推进剂（通常为牛顿流体）及其蒸气，在微重力环境下，气液界面由表面张力和毛细力主导，涉及通过多孔介质或复杂结构的流动。

Flow-L1-0099​

多物理场模型

生物微机电系统

介电泳粒子操控模型 (Dielectrophoresis Particle Manipulation Model)​

1. 物理原理：中性微粒在非均匀交流电场中因极化而受到净力（介电力），力方向取决于微粒和介质的复介电常数差。正介电泳指向高场强，负介电泳指向低场强。
2. 时均介电力：对球形粒子，
(\mathbf{F}{DEP} = 2\pi \epsilon_m R^3 \text{Re}[f{CM}] \nabla

\mathbf{E}_{rms}

^2)
其中 Clausius-Mossotti 因子 fCM​=ϵ~p​+2ϵ~m​ϵ~p​−ϵ~m​​， 复介电常数 ϵ~=ϵ−jσ/ω， ϵm​是介质介电常数， R是粒子半径， Erms​是电场均方根值。
3. 粒子运动方程：考虑介电力、拖曳力、布朗力、重力等：
mp​dtdvp​​=FDEP​+FD​+FBrownian​+...
拖曳力 FD​=6πμR(u−vp​)。
4. 电场求解：求解静电场或准静态电场 ∇⋅(σ∇ϕ)=0， 其中 σ是电导率，得到电势分布和电场 E=−∇ϕ。

能预测粒子在微流控芯片中的富集、分离和排列。精度依赖于介电谱参数（ϵ,σ）的准确性和电场计算的精度。

静电学、介电极化理论、粒子动力学。

细胞/微粒分离、富集、检测、纳米材料组装。特征：非接触操控，可区分不同介电特性的微粒。

变量：粒子位置 xp​， 速度 vp​， 电场 E(x)， 电势 ϕ(x)。
粒子参数：半径 R， 复介电常数 ϵ~p​， 密度 ρp​。
介质参数：复介电常数 ϵ~m​， 粘度 μ。
电场参数：施加电压（幅值、频率）， 电极几何。

粒子运动方程、时均力公式、复介电常数、电场梯度。

介电泳、粒子操控、交流电场、Clausius-Mossotti因子。

1. 求解电场：给定电极几何和施加电压，求解电势方程得 ϕ和 E。
2. 计算 DEP 力场：(\mathbf{F}{DEP}(\mathbf{x}) = 2\pi \epsilon_m R^3 \text{Re}[f{CM}(\omega)] \nabla

\mathbf{E}_{rms}

Flow-L1-0100​

多相流模型

强化采油（EOR）

聚合物驱油模型 (Polymer Flooding Enhanced Oil Recovery Model)​

1. 驱替机制：将高粘度聚合物溶液注入油藏，提高驱替相粘度，改善流度比，增大波及体积，并可能降低残余油饱和度。
2. 扩展的黑油模型：在油-水两相流基础上，增加聚合物组分输运方程。水相中聚合物浓度 cp​影响水相粘度 μw​(cp​,γ˙​)和岩石对水的相对渗透率（由于吸附导致渗透率下降）。
3. 控制方程：
- 多相达西定律：对油水两相。
- 聚合物质量守恒：
∂t∂​(ϕSw​cp​+ρr​(1−ϕ)ap​)+∇⋅(cp​uw​−ϕSw​D∇cp​)=0
其中 ap​是吸附的聚合物浓度（常采用 Langmuir 等温线 ap​=1+Kcp​amax​Kcp​​)， D是扩散-弥散张量。
- 粘度模型：μw​=μw0​[1+(Ap1​cp​+Ap2​cp2​+Ap3​cp3​)]或采用幂律模型考虑剪切变稀。
- 渗透率下降因子：Rk​=1+1+Kap​(Rk,max​−1)Kap​​， 水相相对渗透率更新为 krwnew​=krw​/Rk​。

是油藏数值模拟中聚合物驱的标准模型。精度依赖于聚合物粘度、吸附、不可及孔隙体积等参数的准确描述。

多相渗流、组分输运、聚合物溶液流变学、吸附等温线。

陆上/海上油田三次采油、提高原油采收率。特征：通过化学剂改变流变性，宏观驱替效率高，但成本较高。

变量：油/水饱和度 So​,Sw​， 压力 p， 聚合物浓度 cp​， 吸附量 ap​。
聚合物参数：粘度增加系数 Ap1​,Ap2​,Ap3​， 吸附参数 (amax​,K)， 不可及孔隙体积 ϕipv​。
油藏参数：绝对渗透率 K， 孔隙率 ϕ， 相对渗透率曲线， 毛细压力曲线。

对流-扩散-吸附方程、粘度-浓度关系、渗透率下降、多相达西定律。

聚合物驱、提高采收率、流度控制、吸附。

1. 求解压力-饱和度方程：两相流动。
2. 求解聚合物输运方程：更新 cp​场。
3. 更新物性：根据新的 cp​计算水相粘度 μw​(cp​)和吸附量 ap​(cp​)。
4. 更新相对渗透率：根据 ap​计算 Rk​并修正 krw​。
5. 时间推进：重复上述步骤模拟驱替过程，计算采收率提高程度。

高粘度聚合物溶液注入后，驱替前方的原油。改善的流度比使驱替前缘更稳定，减少粘性指进，从而更大范围地波及油藏孔隙。聚合物在岩石表面的吸附降低水相渗透率，进一步改善流度控制。部分聚合物分子可能滞留在大孔隙喉道，产生流动阻力。流动方向由注入井指向生产井，但聚合物溶液的流变性改变了压力分布和前沿推进模式。

油、水、聚合物（在 water phase 中）三相组分，在水相中聚合物改变其流变性，通过多孔介质渗流。

Flow-L1-0101​

多相流/相变模型

液冷（喷雾冷却）

液滴撞击、铺展、蒸发

喷雾冷却传热模型 (Spray Cooling Heat Transfer Model)​

1. 物理过程：微小液滴冲击高热流密度表面，经历撞击、铺展、形成薄液膜、蒸发/沸腾，高效带走热量。
2. 传热分区：
- 单相对流区：壁面过热度低，热量通过对流从壁面传到液膜，再通过对流/传导从液膜传到液滴自由面。
- 核态沸腾区：壁面过热度足够，液膜内产生汽泡，传热增强。
- 临界热流区：热流密度达到峰值，液膜干涸风险。
3. 关键子模型：
- 液滴撞击动力学：最大铺展直径 Dmax​/D0​∼We1/4， 铺展时间 ts​∼D0​/U0​。
- 液膜质量与能量守恒：对控制体建立方程，考虑液滴加入、蒸发、液膜流出。
- 传热关联式：总传热系数 htotal​=hsp​+hnb​+hevap​， 其中单相对流项 hsp​∝kl​/δ(δ为液膜厚度)， 核态沸腾项用修正的池沸腾关联，蒸发项 hevap​=m˙‘’hfg​/ΔT。
4. 整体模型：通常将加热面划分为单元，计算每个单元上由液滴撞击、相邻液膜流动和蒸发共同决定的局部热流。

半经验模型，能有效预测喷雾冷却的平均传热性能。精度严重依赖于液滴尺寸/速度分布、撞击频率、以及沸腾/蒸发子模型的准确性。

液滴撞击动力学、薄液膜流动与传热、相变换热原理、质量能量守恒。

高功率电子器件（如CPU、激光器）、燃气轮机叶片、冶金淬火的强化冷却。特征：极高热流密度移除潜力，工质需求量小，但存在CHF极限。

变量：壁面温度 Tw​， 液膜厚度 δ(x,y,t)， 局部热流密度 q′′(x,y)， 蒸发率 m˙‘’。
喷雾参数：液滴平均直径 D32​， 速度 Ud​， 体积通量 G， 覆盖率。
工质参数：饱和温度 Tsat​， 潜热 hfg​， 物性。

分区模型、质量能量平衡、撞击动力学标度律、经验传热关联。

喷雾冷却、液滴撞击、液膜蒸发、高热流密度散热。

1. 输入喷雾特性：给定液滴尺寸分布、速度、通量。
2. 划分加热面网格。
3. 对每个面元在每个时间步：
a. 统计撞击的液滴，计算其带来的质量、动量、能量。
b. 更新该面元上的液膜厚度和温度。
c. 根据当地液膜状态和壁面过热度，选用合适的传热模型计算热流 q′′。
d. 计算蒸发量，更新液膜质量。
e. 计算液膜径向流动，与相邻面元交换质量。
4. 积分：求和所有面元的热流得到总散热量，并判断是否发生干涸（δ→0）。

液滴以一定频率和分布撞击热表面。每个液滴铺展形成薄液膜，并与已有液膜融合。热量从壁面传导至液膜，通过对流和相变（蒸发/沸腾）散失。蒸发的蒸气被气流带走，未蒸发的液体沿表面流出或被后续液滴更新。流动方向复杂，包括液滴的法向撞击、液膜的径向铺展与流动，以及蒸气的法向逸出。

液体工质（如水、FC-72）液滴及其产生的液膜，在加热表面上发生撞击、流动和相变（蒸发/沸腾）。

Flow-L1-0102​

本构模型

纳米流体

有效热物性模型

纳米流体的有效导热系数模型 (Effective Thermal Conductivity of Nanofluids)​

1. 背景：在基液（水、油等）中加入纳米颗粒（金属氧化物、碳材料）形成悬浮液，旨在提高导热系数。
2. 经典模型：
- Maxwell-Garnett 模型（球形颗粒，稀悬浮）：
keff​=kf​kp​+2kf​−ϕ(kp​−kf​)kp​+2kf​+2ϕ(kp​−kf​)​
其中 kp​,kf​是颗粒和基液导热系数， ϕ是颗粒体积分数。
3. 扩展与修正：考虑颗粒形状（纵横比）、界面热阻、颗粒团聚、布朗运动引起的微对流：
- 考虑布朗运动：keff​=kstatic​+kBrownian​， 其中 kBrownian​∝ϕρp​cp,p​3πμdp​kB​T​​f(T,ϕ)。
- 考虑界面热阻：在 Maxwell 模型中用 kp∗​=kp​/(1+γkp​/dp​)替代 kp​， γ是 Kapitza 热阻。
4. 经验关联：大量实验数据拟合的公式，形式多样，通常为 keff​/kf​=1+aϕb， 其中 a,b是依赖于颗粒/基液组合的常数。

经典模型在低浓度、球形、无团聚时有一定预测性。实际纳米流体行为复杂，经验关联式往往更实用但外推性差。

有效介质理论、微对流概念、界面热阻、实验关联。

先进换热工质、微通道冷却液、太阳能集热器工质。特征：旨在提高传热效率，但存在稳定性、压降增加、成本等问题。

变量：有效导热系数 keff​。
材料参数：基液导热系数 kf​， 颗粒导热系数 kp​， 颗粒直径 dp​， 体积分数 ϕ。
界面参数：Kapitza 热阻 RK​=γ/kp​。
状态参数：温度 T。

有效介质近似、代数公式、界面修正、布朗运动项。

纳米流体、有效导热系数、Maxwell-Garnett、布朗运动。

1. 选择模型：根据颗粒浓度、形状、是否考虑动态效应选择模型。
2. 收集参数：获得基液、颗粒的物性，以及 ϕ,dp​,T。
3. 计算静态部分：如用 Maxwell 模型计算 kstatic​。
4. 计算动态部分（如需要）：计算布朗运动对 keff​的贡献并叠加。
5. 应用：将计算出的 keff​用于能量方程，模拟纳米流体传热。

纳米颗粒悬浮在基液中。热量的输运通过两种途径：1) 基液和颗粒本身的导热；2) 颗粒的布朗运动及其诱导的微对流增强了局部混合。颗粒-液体界面存在热阻。有效导热系数是颗粒属性、浓度、尺寸、温度和聚集状态的复杂函数。热流方向仍由温度梯度决定，但输运能力被增强。

牛顿或非牛顿基液中悬浮有纳米颗粒的悬浮液，需要考虑颗粒-流体相互作用对宏观输运性质的影响。

Flow-L1-0103​

流动模型

超疏水表面减阻

气液界面滑移

超疏水表面滑移边界条件模型 (Slip Boundary Condition for Superhydrophobic Surfaces)​

1. 物理机制：超疏水表面微观结构（微柱、沟槽）中截留气体，形成气-液复合界面。液体在气体区域上方流动时，表现为有效的速度滑移。
2. 有效滑移长度：定义滑移边界条件：(u

_{wall} = b \frac{\partial u}{\partial n}

_{wall})， 其中 b是滑移长度。对于周期性结构，可通过求解单元胞的斯托克斯流问题，得到有效滑移张量 beff​。
3. 经典结果：
- 平行沟槽（方向与流动平行）：滑移显著，b∥​≈πL​ln[sec(2πϕs​​)]， 其中 L是周期， ϕs​是固体面积分数。
- 垂直沟槽（方向与流动垂直）：滑移很小。
- 柱状阵列：各向同性滑移， b∝L/(πϕs​​)。
4. 失效条件：当流动压力或表面活性剂导致气体被驱逐（Cassie-Wenzel 转变），滑移效应消失。

对小雷诺数流动和理想气垫情况的理论预测较为准确。实际应用中，气体层的稳定性是挑战，模型需考虑压力和气液界面变形。

斯托克斯流理论、滑移边界条件、界面力学、均匀化方法。

微流体芯片减阻、船舶外壳涂层、输水管道内衬。特征：通过表面微结构产生滑移，降低粘性阻力，但可能影响结构强度和耐久性。

变量：壁面速度 uwall​， 壁面速度梯度 ∂u/∂n。
表面参数：几何周期 L， 固体面积分数 ϕs​， 气液界面曲率压力 pcap​。
流动参数：特征压力 pflow​。

滑移长度、均匀化理论、斯托克斯方程单元胞解、各向异性张量。

超疏水、滑移边界条件、减阻、气液界面。

1. 表征表面：获得超疏水表面的微观几何（周期、固相占比、取向）。
2. 计算有效滑移长度：根据几何和流向，选用理论公式或数值求解单元胞问题，得到 beff​。
3. 在 CFD 中施加边界条件：在超疏水壁面，应用 Navier 滑移边界条件 ut​=beff​(∂ut​/∂n)， 其中 ut​是切向速度。
4. 求解流场：得到考虑滑移效应的速度分布和减阻效果。

Flow-L1-0104​

多相流模型

液冷（冷板通道）

沸腾流型、压降与传热

微通道流动沸腾统一模型 (Unified Flow Boiling Model for Microchannels)​

1. 挑战：微通道内两相流型演变迅速，传统宏通道关联式不适用。旨在发展适用于从单相到干涸全过程的模型。
2. 流型映射：基于气液韦伯数、对流数等参数划分流型（泡状、弹状、环状、雾状）。
3. 分区域模型：
- 饱和沸腾区：使用基于流型的局部传热关联式。例如，环状流采用液膜蒸发模型：h=δkl​​， 液膜厚度 δ由液膜质量守恒和剪切力平衡求解。
- 干涸后区：传热恶化，采用气相单相对流或液滴撞击传热模型。
4. 统一公式：如 Kandlikar 模型：hTP​=最大 of [hNBD​,hCBD​]， 其中 hNBD​是核态沸腾主导区公式， hCBD​是对流沸腾主导区公式，两者都是质量流速 G、干度 x、Bo数等的函数，并包含流道尺寸修正。
5. 压降模型：采用均相流或分相流模型，但参数针对微通道修正。

试图为微通道沸腾提供一个通用的工程预测工具。精度中等，仍是研究热点，新模型和新实验数据不断涌现。

两相流与传热学、流型分析、微尺度效应、经验关联式开发。

微通道冷板、芯片内微通道冷却、微型换热器。特征：尺度效应显著（表面张力主导），流型变化快，易流动不稳定。

变量：局部传热系数 h(z)， 压降 Δp， 干度 x(z)， 流型。
操作参数：质量流速 G， 热流密度 q′′， 进口过冷度。
几何参数：水力直径 Dh​， 通道形状。
工质参数。

分区模型、流型图、统一关联式、微通道修正。

微通道沸腾、流型、统一模型、高热流密度冷却。

1. 沿通道离散：从进口到出口将通道分成小段。
2. 顺序计算：对每一段 i：
a. 根据入口条件计算当地干度 xi​和物性。
b. 判断当地流型（查流型图）。
c. 根据流型和选定的模型计算局部传热系数 hi​和摩擦压降梯度 (dp/dz)i​。
d. 计算该段温升和压降，更新出口条件作为下一段入口。
3. 汇总：得到沿程壁温分布和总压降。

液体从过冷状态被加热，达到饱和后开始沸腾。在微通道中，气泡生成后迅速堵塞通道，流型迅速从泡状流经弹状流过渡到环状流。在环状流区，液膜在壁面蒸发变薄，最终可能导致局部干涸。流动方向沿通道轴向，但两相之间存在速度滑移。

工质在微小尺度通道内流动并受热沸腾，涉及相变、流型变化和显著的微尺度效应（表面张力、蒸发空间）。

Flow-L1-0105​

本构模型

磁流变抛光液

宾汉塑性、磁场依赖

磁流变抛光液的宾汉模型 (Bingham Model for Magnetorheological Polishing Fluids)​

1. 工作原理：磁流变抛光液由磁性颗粒、非磁性磨料和载液组成。在磁场作用下，磁性颗粒形成链状结构，使流体产生屈服应力，将磨料“锁定”在 workpiece 表面进行抛光。
2. 本构关系：与电流变液类似，采用电场依赖的宾汉模型，但驱动力为磁场强度 H：
{γ˙​=0τ=τy​(H)+μp​γ˙​​τ≤τy​(H)τ>τy​(H)​
3. 屈服应力模型：常用模型包括：
- 偶极子模型：τy​∝ϕμ0​χ2H2， 其中 ϕ是磁性颗粒体积分数， χ是磁化率。
- 经验公式：τy​=αHβ， α,β由实验确定。
4. 抛光去除模型：材料去除率与磨料颗粒对工件表面的压力（与 τy​相关）和相对速度有关。Preston 方程形式：RR=Kp​⋅τ⋅v。

能描述 MRF 流体的核心流变特性。抛光去除模型的精度依赖于对界面接触力学的准确描述。

宾汉塑性、磁流变效应、磁偶极子相互作用、微切削力学。

光学元件（透镜、反射镜）超精密抛光、半导体硅片平坦化。特征：利用磁场控制“柔性小磨头”，可实现复杂面形、无亚表面损伤抛光。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​。
磁场参数：磁场强度 H， 磁化率 χ。
流体参数：塑性粘度 μp​， 磁性颗粒浓度 ϕ， 屈服应力模型参数 α,β。
工艺参数：工件-流体相对速度 v。

分段本构、磁场依赖的屈服应力、偶极子相互作用、Preston方程。

磁流变抛光、宾汉塑性、磁场控制、超精密加工。

1. 计算/测量磁场分布：得到抛光区域内的 H(x)。
2. 计算局部屈服应力：τy​(x)=f(H(x))。
3. 分析流场：根据工具和工件的相对运动，计算流体中的剪切率分布，判断哪些区域 τ>τy​发生流动（剪切稀化区），哪些区域为固态（τ≤τy​）。
4. 计算去除函数：在固态区或高粘度区，磨料有效作用于工件表面，根据改进的 Preston 方程计算局部材料去除率 RR(x)。
5. 工艺优化：通过控制磁场分布和运动路径，实现确定性抛光。

在磁场作用下，磁性颗粒形成链状结构，赋予流体屈服应力。在抛光区域，工件表面的流体受到剪切，当剪切应力超过 τy​(H)时，流体开始流动，磨料相对工件运动进行抛光。屈服应力的大小由磁场控制，从而控制抛光压力。流动方向由工具与工件的相对运动决定，但在磁场结构内部，流体的有效粘度极高，近似固态。

非胶体磁性颗粒、磨料颗粒与载液（常为水基或油基）组成的悬浮液，表现为磁场依赖的宾汉塑性流体。

Flow-L1-0106​

流动模型

声学悬浮

声辐射力势阱

声悬浮模型 (Acoustic Levitation Model)​

1. 物理原理：在强声驻波场中，小物体会受到时均的声辐射力作用。在声压节点（或反节点，取决于物体密度和可压缩性）形成三维势阱，可悬浮物体。
2. 声辐射力（对小球，波长>>球径）：
Frad​=−∇U， 其中势能 (U = \frac{4}{3}\pi R^3 [\frac{1}{2} f_1 \kappa_0 <p_{in}^2> - \frac{3}{4} f_2 \rho_0 <

\mathbf{v}_{in}

^2>])。
系数：f1​=1−κ0​κs​​， f2​=2ρs​+ρ0​2(ρs​−ρ0​)​， 其中 κ是压缩率，下标 s,0分别表示球和流体。<>表示时间平均。
3. 势阱位置：对于大多数固体（ρs​>ρ0​,κs​<κ0​）， f1​,f2​>0， 力指向声压节点（速度反节点）。势阱刚度决定了悬浮的稳定性。
4. 流场耦合：悬浮物会散射声波，并可能驱动声流（见Flow-L1-0074），影响其位置和旋转。

对小物体在理想驻波场中的悬浮位置和稳定性预测良好。实际装置中，声场不均匀、边界效应、物体形状不规则等因素会引入误差。

声散射理论、声辐射力公式、势能分析。

无容器材料处理（如凝固、合成）、液滴动力学研究、空间实验模拟。特征：非接触式悬浮，适用于多种材料（固体、液滴），但悬浮力较小。

变量：声辐射力 Frad​， 势能 U(x)， 物体位置 xp​。
声场参数：声压幅值 pa​， 频率 f， 波长 λ， 声场模式（如驻波）。
物体参数：半径 R， 密度 ρs​， 压缩率 κs​。
流体参数：密度 ρ0​， 声速 c0​。

势能梯度、声散射系数、时间平均、稳定性分析。

声悬浮、声辐射力、势阱、无容器处理。

1. 建立声场：通过换能器和反射器产生稳定的驻波场，理论或数值计算声压分布 p1​(x)和速度分布 v1​(x)。
2. 计算辐射力势：在声场中计算 U(x)。
3. 寻找势阱：寻找 U(x)的局部极小点，即为稳定的悬浮位置。
4. 粒子动力学：悬浮粒子在势阱中受到辐射力、重力和阻力的平衡：mp​x¨p​=−∇U−6πμRx˙p​+mp​g， 求解其平衡位置和振动模态。

Flow-L1-0107​

多物理场模型

电解加工/沉积

电化学流动、传质

电解加工中的对流-扩散-电迁移模型 (Convection-Diffusion-Migration Model for Electrochemical Machining)​

1. 过程：在电场作用下，阳极工件发生氧化溶解，阴极工具形状被复制到工件上。电解液流动带走产物和热量。
2. 控制方程：
- 电势场：∇⋅(σ∇ϕ)=0， 其中电导率 σ可能随温度、气体（氢气、氧气）含量变化。
- 离子输运：对每种离子 i， 在稀释溶液近似下：
∂t∂ci​​+u⋅∇ci​=Di​∇2ci​+RTzi​FDi​​∇⋅(ci​∇ϕ)+Ri​
包含对流、扩散、电迁移和均相化学反应 Ri​。
- 流场：N-S 方程，考虑电渗流或气泡驱动的自然对流（通常较弱，主要为压力驱动流）。
3. 电极反应边界条件：在阳极（工件）表面，溶解电流密度由 Butler-Volmer 方程给出，并决定金属蚀除速度（法拉第定律）：vn​=ρnFM​j， 其中 M是摩尔质量， n是电子数， j是电流密度。
4. 间隙动态：蚀除导致加工间隙变化，反过来影响电场、流场和传质，需时变模拟。

能详细模拟 ECM 过程中的形状演化、电流效率。模型复杂，涉及多场强耦合，参数（如传递系数、交换电流密度）难以获取。

电化学动力学、离子输运（Nernst-Planck 方程）、电荷守恒、流体力学。

航空发动机叶片型面加工、模具内腔加工、微细电解加工。特征：非接触式加工，无工具损耗，可加工高硬材料，但精度受杂散腐蚀影响。

变量：电势 ϕ， 离子浓度 ci​， 流速 u， 压力 p， 阳极表面位置（间隙）h(x,y,t)。
电化学参数：交换电流密度 j0​， 传递系数 α， 扩散系数 Di​， 迁移数 ti​。
操作参数：电压 U， 电解液流量、浓度、温度。

对流-扩散-迁移方程、Butler-Volmer 动力学、动边界问题、多物理场耦合。

电解加工、电化学、离子输运、Butler-Volmer。

1. 初始间隙：给定初始工具-工件间隙和流场。
2. 求解电场：在现有间隙内求解电势方程，得电流密度分布 j。
3. 计算蚀除速度：由 j和法拉第定律计算阳极表面的法向蚀除速度 vn​。
4. 更新阳极表面：hn+1=hn−vn​Δt， 更新计算域。
5. 求解流场与浓度场（可选，可简化）：在新几何下求解，更新电导率分布，返回步骤2。
6. 时间推进，模拟形状演化。

电解液在工具与工件间的狭小间隙中高速流动，带走反应产物和热量。电场驱动离子迁移，阳极发生金属溶解。溶解速率（即材料去除率）由局部电流密度决定，而电流密度又受间隙内的电势分布、电解液电导率（受浓度、温度影响）控制。流动方向主要沿间隙从入口到出口，冲刷确保新鲜电解液供应。

导电电解液（通常为水基盐溶液），涉及多种离子的电迁移、扩散和对流，在电极表面发生电化学反应。

Flow-L1-0108​

生物流体模型

呼吸道纤毛流

纤毛摆动、黏液输运

纤毛驱动的黏液流模型 (Cilia-Driven Mucus Flow Model)​

1. 生理背景：呼吸道内壁的纤毛通过协调摆动，驱动上方的黏液层（Periciliary液层 + 黏液层）向喉部运动，清除吸入的颗粒和病原体。
2. 建模方法：
- 微观模型：对单个纤毛，采用细长体理论或阻力理论模拟其在粘性流体中的运动，计算其产生的流场和力。
- 宏观模型：将纤毛层等效为一个滑移边界条件或多孔介质层，其顶部具有一个等效滑移速度 us​。在黏液层求解斯托克斯方程，底部边界条件为 u(z=0)=us​。
3. 双层模型：考虑 Periciliary 液层（低粘度，牛顿流体）和上覆的黏液层（高粘度，非牛顿，常为粘弹性）。纤毛仅在 PCL 中摆动，其顶端与黏液层底部相互作用，拖动黏液运动。
4. 协调性：纤毛的摆动存在 metachronal wave，可大幅提高输运效率。模型中可通过在空间上调制等效滑移速度 us​(x,t)来模拟。

宏观模型可定性研究黏液清除的整体机制。微观模型能揭示纤毛相互作用和协调性，但计算量大。

低雷诺数流体力学（斯托克斯流）、细长体理论、多孔介质类比、双层流动。

呼吸道清洁机制研究、纤毛功能障碍疾病（如原发性纤毛运动障碍）分析、仿生微流体泵设计。特征：低雷诺数，多尺度，生物协调性，非牛顿流体。

变量：黏液层速度 u(z)， 压力 p， 纤毛顶端位移 Xc​(s,t)， 等效滑移速度 us​(x,t)。
几何参数：纤毛长度 L， 摆动频率 f， 波长 λ， 黏液层厚度 Hm​。
流体参数：PCL 粘度 μpcl​， 黏液粘度 μm​（可能为非牛顿）。

斯托克斯方程、滑移边界、运动边界、周期性协调。

纤毛、黏液清除、低雷诺数、生物流体力学。

微观模拟：1. 给定纤毛的周期性摆动运动学。2. 求解纤毛在粘性流体中的运动，计算其产生的流场和作用于黏液层的拖曳力。
宏观模拟：1. 将纤毛层的效应简化为一个滑移速度边界条件 us​。2. 在黏液层求解斯托克斯方程 μm​dz2d2u​=dxdp​， 边界条件：u(0)=us​,u(Hm​)=0（假设空气-黏液界面剪切应力可忽略）。3. 得到速度剖面和平均流量。

纤毛在 Periciliary 液层中做拍击运动。有效冲程中，纤毛伸直，顶端穿透并拖动上方的黏液层。恢复冲程中，纤毛弯曲，在低阻力的 PCL 中返回。大量纤毛的协调波状运动，在黏液层底部产生一个指向喉部的净滑移速度，从而驱动整个黏液层像输送带一样运动。流向由纤毛的协调波方向决定，通常指向喉部。

牛顿流体（Periciliary液层）和非牛顿粘弹性流体（黏液层）组成的双层流动，驱动由底层的周期性运动边界（纤毛）产生，流动为极低雷诺数。

Flow-L1-0109​

状态方程

水锤、液压系统

可压缩流、弹性管

水锤方程 (Water Hammer Equations)​

1. 现象：管道中阀门突然关闭，流速急剧变化导致压力剧烈波动（水锤）。考虑流体可压缩性和管壁弹性。
2. 控制方程（一维）：
- 连续性方程：∂t∂p​+ρa2∂x∂v​=0
- 动量方程：(\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{f}{2D}v

v

= 0)
其中 a=1+(K/E)(D/e)c1​K/ρ​​是压力波波速， K是流体体积模量， E是管材杨氏模量， e是壁厚， c1​是约束系数。
3. 特征线法：将偏微分方程转化为沿特征线 dx/dt=±a的常微分方程（相容性方程）进行求解：
(C^+: \frac{dv}{dt} + \frac{1}{\rho a} \frac{dp}{dt} + \frac{f}{2D}v

v

= 0)， 沿 dx/dt=a
(C^-: \frac{dv}{dt} - \frac{1}{\rho a} \frac{dp}{dt} + \frac{f}{2D}v

v

= 0)， 沿 dx/dt=−a
4. 边界条件：阀门、泵、水库等处的边界关系。

能精确模拟管道系统中的压力瞬变，是设计和安全分析的关键工具。精度依赖于波速 a和摩阻系数 f的准确估计。

一维可压缩流、弹性理论、特征线理论、动量质量守恒。

供水管网、液压传动系统、电站水轮机导叶关闭。特征：压力波传播与反射，可能造成管道破裂或设备损坏。

Flow-L1-0110​

多相流模型

流化床燃烧

气-固-反应耦合

流化床燃烧模型 (Fluidized Bed Combustion Model)​

1. 物理过程：气体（空气）流化固体燃料颗粒（煤、生物质），进行燃烧反应，涉及流动、传热、传质和化学反应。
2. 建模框架：常采用基于 KTGF 的稠密气-固双流体模型（见 Flow-L1-0066）。
3. 扩展反应：
- 脱挥发分：固体燃料热解，产生挥发分气体和焦炭。采用 Arrhenius 反应动力学。
- 挥发分燃烧：挥发分气体与氧气在气相中燃烧，采用湍流-燃烧相互作用模型（如 EDC）。
- 焦炭燃烧：焦炭颗粒表面与氧气发生异相反应，反应速率受化学反应和氧气扩散控制：dtdmc​​=−Ap​1/ks​+1/kd​pO2​​， 其中 ks​是表面反应速率常数， kd​是扩散速率常数。
4. 能量方程：考虑反应热、气固对流换热、辐射传热（重要）。固体相有独立的温度方程或与气体相局部热平衡假设。
5. 污染物生成：可加入 NOx、SOx 的生成模型。

能模拟流化床内复杂的流动、燃烧和传热过程，是设计和优化 FBC 锅炉的强大工具。模型复杂，计算量大，化学反应动力学参数不确定。

稠密气固两相流、化学反应动力学、传热传质、多流体模型。

燃煤/生物质发电锅炉、废弃物焚烧炉、化工流化床反应器。特征：低温燃烧，低 NOx， 燃料适应性广，但可能结焦。

变量：各相体积分数 αg​,αs​， 速度 ug​,us​， 温度 Tg​,Ts​， 组分浓度（O2​,CO2​,H2​O,挥发分等）， 固体燃料组成（挥发分、固定碳、灰分）。
反应动力学参数：脱挥发分动力学参数（A,E）， 焦炭燃烧参数（ks​,kd​）， 挥发分燃烧机理。
操作参数：过量空气系数、床温、给料率。

多流体方程、反应动力学、Arrhenius公式、异相反应、强耦合。

流化床燃烧、气固反应、双流体模型、焦炭燃烧。

1. 求解气固流场：使用双流体模型+KTGF。
2. 求解脱挥发分：根据固体颗粒温度和停留时间，计算其质量损失和挥发分释放速率，作为气相组分源项和固体质量源项。
3. 求解气相燃烧：在气相中求解挥发分和氧气的输运与反应。
4. 求解焦炭燃烧：计算每个固体相单元（代表颗粒群）的焦炭燃烧速率，更新固体质量，并消耗氧气产生 CO2​。
5. 求解能量方程：考虑所有反应热、对流和辐射换热。
6. 耦合迭代：所有过程强烈耦合，需迭代求解。

空气从底部风室进入，流化床料层（惰性床料和燃料）。燃料颗粒在床内剧烈混合、加热、热解释放挥发分。挥发分在气泡相和乳化相中与氧气混合燃烧。剩余的焦炭颗粒继续与氧气反应燃烧。燃烧放热加热床料，床料通过传导和对流将热量传递给受热面（水冷壁）。气体产物和夹带的细颗粒离开床层进入悬浮段。流动方向总体向上，但颗粒存在强烈的内部循环。

多组分气相（空气、燃烧产物）、固体相（燃料颗粒、惰性床料、灰分），涉及剧烈的化学反应（均相与异相）、相变和传热。

Flow-L1-0111​

本构模型

软玻璃材料

老化与 rejuvenation

软玻璃材料的 SGR 模型 (Soft Glassy Rheology Model)​

1. 材料背景：胶体凝胶、泡沫、乳膏等软玻璃材料，在静止时表现为固体（屈服应力），剪切后可液化，且性质具有时间依赖性（老化：模量随静止时间增加；rejuvenation：剪切使其“年轻化”）。
2. 模型核心：基于能量景观图概念，每个 mesoscopic 单元被困在能量阱深度 E中。分布函数 P(E,t)描述单元在不同能阱的分布。
3. 动力学方程：
∂t∂P​=−Γ0​e−(E−21​kB​Tln(γ˙​/γ˙​0​))/kB​TP+Γ(t)ρ(E)+漂移项（描述加载时能阱变化）
其中 Γ0​是尝试频率， ρ(E)是能阱密度分布（常取常数）， T是有效噪声温度（反映热涨落和机械噪声）。
4. 宏观应力：通过对所有单元的局部应力（假设与应变相关）加权平均得到。模型能预测屈服应力、蠕变、应力松弛、老化等复杂流变行为。

能统一描述软玻璃材料许多复杂的线性与非线性、瞬态流变行为。是物理启发的模型，但参数多，数学复杂。

统计物理、能量景观理论、老化动力学。

化妆品、食品、油漆、钻井泥浆、组织工程支架。特征：强调时间依赖性和老化-rejuvenation 竞争，是当前软物质物理前沿。

变量：分布函数 P(E,t)， 宏观应力 σ(t)。
模型参数：有效噪声温度 T， 能阱密度分布 ρ(E)， 尝试频率 Γ0​， 参考应变率 γ˙​0​。

积分-微分方程、分布函数、能量景观、老化动力学。

软玻璃材料、SGR模型、老化、能量景观。

1. 初始化：给定初始分布 P(E,0)， 通常对应某个老化状态。
2. 施加变形：给定应变或应变率历史 γ(t)。
3. 演化分布函数：在每个时间步，根据主方程更新 P(E,t)， 其中跃迁率依赖于当前应变率 γ˙​(t)和能量 E。
4. 计算宏观应力：σ(t)=∫dEP(E,t)σlocal​(E,γ)。
5. 得到流变响应：如应力松弛、蠕变曲线、流动曲线。

材料由大量 mesoscopic 单元构成，每个单元处于一个能量阱中。无剪切时，单元倾向于陷入更深的阱（老化），模量增加。施加剪切为系统提供能量，使单元有机会跳出当前阱（rejuvenation），导致材料软化甚至流动。宏观应力是所有这些单元贡献的叠加。流动的发生是 overcoming 能量壁垒的集体过程。

软玻璃材料（如胶体凝胶、乳膏），表现为具有老化行为的屈服应力流体，本构关系具有复杂的时间和应变历史依赖性。

Flow-L1-0112​

流动模型

微重力、液桥

热毛细对流不稳定性

液桥热毛细对流振荡模型 (Oscillatory Thermocapillary Convection in Liquid Bridge)​

1. 物理体系：在两个同轴圆盘间支撑一个圆柱形液桥（浮区法模拟），上下盘施加温差，表面张力梯度驱动热毛细对流。
2. 控制方程：布西内斯克近似下的 N-S 方程和能量方程，在自由表面应用热毛细应力条件（见 Flow-L1-0079）。
3. 线性稳定性分析：对小扰动进行线性化，假设扰动形式为 f(r,z)exp(imθ+ωt)， 其中 m是方位角波数。求解广义特征值问题，得到增长率 Re(ω)和频率 Im(ω)与马兰戈尼数 Ma的关系。
4. 临界马兰戈尼数：当 Re(ω)从负变正，对应基态对流失稳，产生振荡流。Mac​依赖于 Prandtl 数 Pr、液桥纵横比 Γ=H/R和体积。
5. 非线性模拟：超过 Mac​后，需进行直接数值模拟以获得饱和的振荡流场，通常呈现规则的 traveling wave 或 standing wave。

线性理论能准确预测振荡对流失稳的临界条件 (Mac​) 和初始频率。非线性行为和饱和态需 DNS 模拟。

热毛细对流、线性稳定性理论、布西内斯克方程、自由表面边界条件。

空间材料科学（浮区法晶体生长）、微重力流体物理实验。特征：微重力下热毛细对流主导，在临界温差下失去稳定性，从稳态轴对称流转变为三维振荡流，影响晶体质量。

变量：扰动流函数、温度扰动、复增长率 ω=σ+iΩ。
控制参数：马兰戈尼数 Ma， 普朗特数 Pr， 邦德数 Bo， 纵横比 Γ， 体积比 V/V0​。
失稳模态：方位角波数 m。

线性稳定性分析、特征值问题、复增长率、临界点。

液桥、热毛细对流、振荡失稳、线性稳定性分析。

1. 求解基态：在给定 Ma下，求解稳态、轴对称的热毛细对流基本流场 (U0​,T0​)。
2. 线性化：在基态上叠加小扰动，代入控制方程并线性化，得到关于扰动量的线性偏微分方程组。
3. 特征值问题：假设扰动在时间和方位角方向分离变量，得到关于径向和轴向坐标的特征值问题 L(q)=ωM(q)， 其中 q是扰动变量向量。
4. 求解特征值：用数值方法（如谱方法、有限差分）离散，求解广义特征值问题，得到特征值谱 ω(Ma)。
5. 确定临界点：找到使最大 Re(ω)为零的 Ma， 即为 Mac​， 对应的 Im(ω)为临界频率。

基态是轴对称的 toroidal 热毛细涡环。当温差（Ma数）超过临界值，轴对称基态对小扰动失去稳定性。最不稳定的扰动通常具有某个非零的方位角波数 m， 导致流动在方位角方向上发生周期性变化，形成三维的、沿周向传播的行波或驻波。流动方向在振荡的相位中周期性变化。

牛顿流体、具有自由表面的液柱、在微重力或小 Bond 数条件下，由温度梯度驱动的热毛细对流，考虑其线性稳定性。

Flow-L1-0113​

多相流模型

强化采油（泡沫驱）

泡沫表观粘度模型

泡沫驱的表观粘度模型 (Apparent Viscosity Model for Foam Flooding)​

1. 泡沫作用：在气体中引入表面活性剂溶液，在地下多孔介质中产生泡沫，大幅提高驱替相（气体）的表观粘度，改善流度比，提高波及效率。
2. 表观粘度模型：基于实验观测，泡沫的表观粘度 μapp​强烈依赖于气体速度 ug​、液体速度 ul​、表面活性剂浓度、岩心渗透率等。
一种常用形式（Hirasaki & Lawson）：
μapp​=μg​+1+βuw​/ug​αβuw​/ug​​
其中 uw​是水相速度， α,β是拟合参数，α反映泡沫达到最强时的粘度平台，β控制达到平台的速度。
3. 阻力因子：定义 Fr​=μapp​/μg​， 可高达数十至数百。泡沫强度（表观粘度）在低气体流速下高，在高气体流速下因泡沫结构破坏而降低。
4. 模拟实现：在多相流模拟器中，将气体粘度替换为 μapp​， 并将其视为局部流速和饱和度的函数。

工程上实用的简化模型，能模拟泡沫对气体流度的主要控制效果。但泡沫的生成、破灭、运移等微观机制被高度参数化。

经验关联式、多孔介质两相流、泡沫流变学。

油气田泡沫驱提高采收率、含水层泡沫法修复。特征：大幅降低气体流度，提高波及体积，但稳定性受油、盐等因素影响。

变量：气体表观粘度 μapp​， 阻力因子 Fr​。
模型参数：α,β， 参考气体粘度 μg0​。
状态变量：气体速度 ug​， 液体速度 uw​， 含油饱和度 So​(油的存在会破坏泡沫)。

经验公式、表观粘度、流速比依赖、参数拟合。

泡沫驱、表观粘度、流度控制、提高采收率。

1. 求解两相流：在多孔介质中求解气-液两相达西定律，得到各相速度场 ug​,uw​。
2. 计算局部表观粘度：在每个网格，根据当地 ug​,uw​和可能的含油饱和度 So​， 计算 μapp​。例如：若 So​>So∗​(临界值)， 则 μapp​=μg​；否则 μapp​=μg​+1+β(uw​/ug​)αβ(uw​/ug​)​。
3. 更新气相流度：用 μapp​替换原始气体粘度，重新计算气相相对流度 λg​=krg​/μapp​。
4. 迭代求解：由于 μapp​依赖于速度，而速度依赖于流度，需迭代求解至收敛。

表面活性剂溶液和气体共同注入多孔介质，在孔隙中生成泡沫。泡沫由液膜分隔的气泡组成，极大地增加了气体流动的粘性阻力，表现为气体表观粘度急剧升高。泡沫的强度（表观粘度）取决于气液流速比。流动方向仍从注入井指向生产井，但高粘度的泡沫优先进入高渗条带，将其堵塞，迫使后续流体转向低渗区，从而更均匀地驱替原油。

气-液两相（泡沫）、在多孔介质中流动，气相表现为非牛顿行为（剪切变稀的表观粘度），涉及表面活性剂。

Flow-L1-0114​

湍流模型

旋转湍流

系统旋转效应

系统旋转修正的湍流模型 (System Rotation Modified Turbulence Models)​

1. 旋转影响：系统旋转会改变湍流结构，抑制/增强湍流，并可能诱发二次流。在旋转参考系下，动量方程增加科里奥利力项 −2Ω×u。
2. 对湍流模型的影响：需修改湍流模型以反映旋转效应。常见方法：
- 在 k−ϵ框架中：修改 ϵ方程，增加旋转贡献项 SΩ​， 或修改湍流时间尺度。例如，在 k−ωSST 中，旋转效应被部分包含在 production 项中。
- 采用显式代数应力模型：通过求解完整的雷诺应力输运方程简化式，可自然包含旋转产生的应力再分配效应。
3. 旋转理查德森数：RiΩ​=ϵ2Ωk​∂y∂U​， 类似曲率理查德森数，用于判断旋转对湍流的稳定（RiΩ​>0）或失稳（RiΩ​<0）作用。
4. 模型修正：在 ϵ方程中增加项：SΩ​=CΩ​kϵ​2Ωi​Ωj​∂xj​∂Ui​​或其他形式，其中 CΩ​是模型常数。

能改进旋转机械（离心泵、涡轮）内部流动、旋转管道流动的湍流预测。修正形式多样，尚无统一标准。

旋转参考系下的动量方程、湍动能和耗散率方程、旋转对湍流各向异性的影响。

离心压气机和涡轮内部流、旋转盘腔流动、地球物理旋转流体模拟。特征：科里奥利力影响湍流生成和耗散，可能诱导泰勒-普劳德曼效应。

变量：湍流量 k,ϵ或 ω， 平均速度 U。
旋转参数：系统旋转角速度 Ω。
模型参数：旋转修正项常数 CΩ​等。

源项修正、旋转理查德森数、各向异性、模型常数调整。

旋转湍流、科里奥利力、湍流模型修正、旋转机械。

1. 在旋转参考系下求解平均流场：动量方程中包含科里奥利力项。
2. 计算旋转相关参数：如速度梯度与旋转矢量的点积等。
3. 求解修正的湍流模型方程：在标准 k−ϵ或 k−ω方程的源项中加入旋转修正项。
4. 更新湍流粘度， 求解流场，迭代至收敛。

在系统旋转的参考系下，湍流脉动受到科里奥利力的作用。当平均涡量方向与系统旋转方向一致时，湍流受到抑制（稳定化）；方向相反时，湍流可能增强（失稳化）。这改变了湍动能及其耗散的平衡，从而影响有效涡粘性和雷诺应力的分布。流动由压力梯度、科里奥利力和湍流应力共同驱动，可能出现与旋转轴平行的二次流。

牛顿流体、不可压缩/可压缩、湍流，在系统旋转参考系下的流动。

Flow-L1-0115​

流动模型

环境、河口环流

盐度梯度、斜压效应

河口重力环流模型 (Estuarine Gravitational Circulation Model)​

1. 驱动机制：河口区域，淡水与海水交汇形成盐度梯度，导致水平密度差，在斜压效应下产生垂向环流：表层流向海洋（淡水流出），底层流向陆地（盐水入侵）。
2. 简化模型（如 Hansen & Rattray）：假设稳态、纵向密度梯度恒定、横向均匀，忽略非线性项，求解垂向动量平衡和盐度扩散平衡：
0=−ρ0​1​∂x∂p​+∂z∂​(ν∂z∂u​)
0=−ws​∂z∂S​+∂z∂​(Ks​∂z∂S​)
压力梯度由静水压和密度变化决定：∂x∂p​=ρg∂x∂η​+g∫zη​∂x∂ρ​dz′。
3. 解：得到抛物线型的速度剖面，表层与底层流向相反。交换流 QE​与淡水流量、密度梯度、水深、粘度/扩散系数相关。
4. 扩展：实际中需考虑潮汐搅拌、风应力、河道几何等，常用三维水动力-盐度耦合模型。

简化模型揭示了重力环流的基本物理。实际河口环流复杂，需用复杂的数值模型（如 ROMS, FVCOM）模拟。

静力学平衡、动量与盐度（质量）守恒、斜压效应、湍流闭合。

河口混合与环流、盐水入侵预测、营养物质和污染物输运、航运。特征：垂向速度剪切由密度梯度驱动，是河口纵向物质交换的重要机制。

变量：纵向速度 u(z)， 盐度 S(z)， 水位 η(x)。
外力参数：淡水径流量 Qf​， 潮汐强迫， 风应力。
混合参数：垂向涡粘系数 νt​(z)， 盐扩散系数 Ks​(z)。

二阶常微分方程、边界值问题、静水压近似、斜压项。

河口环流、重力环流、盐水入侵、斜压流。

1. 给定条件：河口形状、淡水流入、外海盐度、潮汐、风等。
2. 求解盐度场：从盐度输运方程求解得到盐度分布 S(x,z)， 得到密度场 ρ(x,z)。
3. 求解动量方程：在密度场驱动下，求解包含斜压项的压力梯度，得到三维流速场 u,w。
4. 耦合：流速场反过来影响盐度输运，需迭代求解稳态或进行瞬态模拟。

淡水从河流流入，在河口与高盐海水相遇混合。由于密度差异，较轻的淡水位于上层，向海流动；较重的海水潜入下层，向陆地方向入侵，形成垂向环流。潮汐混合和湍流扩散使盐度垂向分布趋于均匀，但密度梯度始终存在，维持着环流。流动方向在垂向上分裂，水平方向由压力梯度（斜压+水面坡度）和摩擦平衡决定。

盐水与淡水混合，密度随盐度变化，考虑浮力效应，流动受潮汐、风、河流多重驱动，通常为浅水流动。

Flow-L1-0116​

多相流模型

液冷（浸没式相变冷却）

池沸腾、空间限制效应

受限空间池沸腾模型 (Pool Boiling in Confined Spaces)​

1. 背景：在电子器件浸没式液冷中，发热表面与冷源（冷凝面）之间间隙很小，沸腾产生的蒸汽逸出受限，与传统池沸腾不同。
2. 特征现象：
- 蒸汽逸出路径延长，可能导致蒸汽覆盖，降低传热。
- 间隙内两相流动，可能形成环状流、弹状流等。
- 冷凝液回流影响沸腾。
3. 建模思路：
- 分区模型：将间隙沿流向分为单相液区、核态沸腾区、蒸汽塞/蒸汽膜区等。
- 两相流模型：将间隙视为微通道，应用流动沸腾模型，但需考虑上下壁面传热耦合。
- 热阻网络：将总热阻分解为导热、对流、相变等部分，间隙厚度是关键参数。
4. 传热关联式：经验修正传统池沸腾关联式，引入间隙尺寸 s的影响。例如， h=hpool​⋅f(s/Db​)， 其中 Db​是气泡脱离直径。

能定性分析受限空间对沸腾传热的抑制（或偶尔增强）效应。定量预测需针对具体几何和工质进行实验或精细模拟。

池沸腾原理、两相流、受限空间效应、热阻分析。

浸没式服务器冷却、电力电子模块散热、紧凑型相变散热器。特征：空间限制改变了气泡动力学和两相流动模式，对传热有复杂影响。

变量：局部热流密度 q′′(x)， 间隙内压力 p(x)， 空泡份额 α(x)。
几何参数：间隙高度 s， 发热面长度 L。
工质参数：饱和温度 Tsat​， 物性。
操作参数：热负荷 Q， 冷源温度 Tc​。

分区模型、两相流压降、热阻网络、经验修正因子。

受限空间沸腾、浸没冷却、间隙沸腾、两相流。

1. 建立几何模型：定义发热面、冷源和间隙。
2. 假设流型：根据热流和间隙尺寸，判断可能的流型（如泡状流、蒸汽塞流）。
3. 应用模型：采用分区模型或简化两相流模型，联立质量、动量、能量方程。例如，在蒸汽塞区，假设蒸汽塞占据部分间隙，液体在角落回流。
4. 求解：计算沿程压力、空泡份额分布，以及发热面和冷源的温度分布，校核传热性能。
5. 判断极限：检查是否发生干涸或蒸汽阻塞。

在狭窄间隙内，发热面产生的气泡生长受限，可能 coalesce 形成大的蒸汽塞或蒸汽膜。蒸汽向冷源侧运动，并在冷凝面上凝结。凝结的液体通过间隙的边角或专门通道回流。间隙内的流动是蒸汽和液体反向运动的复杂两相流。传热性能受限于蒸汽逸出和液体回流的顺畅程度。流向：蒸汽从热端向冷端运动，液体从冷端向热端回流。

工质在狭窄的密闭或半密闭间隙内发生池沸腾，涉及气泡生成、生长、 coalescence、蒸汽逸出和冷凝液回流，上下壁面存在强热耦合。

Flow-L1-0117​

本构模型

剪切增稠流体（STF）

微观机理、剪切增稠 onset

剪切增稠流体的临界剪切率模型 (Critical Shear Rate Model for Shear Thickening Fluids)​

1. 微观机理：剪切增稠常归因于颗粒间由润滑力主导的“水动力学”机制向以摩擦接触主导的“摩擦接触”机制的转变。
2. 临界剪切率：存在一个临界剪切率 γ˙​c​， 超过后粘度急剧上升。γ˙​c​与颗粒浓度、粒径、介质粘度有关。
3. 状态图模型：基于无量纲数（如粘性数 Iv​=γ˙​η0​/P， 其中 P是颗粒压力）划分“润滑”和“摩擦”状态。
4. 本构建模：一种方法是采用依赖于剪切率和颗粒相应力（或浓度）的粘度。例如：
η(γ˙​,ϕ)=η0​(ϕ)[1+(γ˙​c​γ˙​​)n](Δη)/n， 当 γ˙​>γ˙​c​时粘度跃升。
另一种是采用 two-state 模型，引入一个代表微观结构状态的参数，其动力学方程在剪切率超过阈值时发生分岔。

能描述剪切增稠的 onset 和大致趋势。精确预测流动曲线需要更复杂的微观力学模型。

稠密悬浮液流变学、颗粒间相互作用（润滑/摩擦）、状态转变。

STF智能材料、减震吸能器件、软体机器人。特征：粘度在临界剪切率下突增，具有能量耗散和冲击防护潜力。

变量：表观粘度 η， 剪切率 γ˙​。
微观参数：颗粒体积分数 ϕ， 临界体积分数 ϕc​， 临界剪切率 γ˙​c​(ϕ)， 摩擦系数 μ。
介质参数：基液粘度 η0​。

临界点、状态转变、无量纲数、粘度跃变。

剪切增稠、临界剪切率、摩擦转变、状态图。

1. 表征材料：通过流变实验测量不同浓度下的流动曲线，确定 γ˙​c​和粘度增量。
2. 建立本构关系：用实验数据拟合模型参数，例如 η(γ˙​)=η∞​+1+(γ˙​/γ˙​c​)−nη0​−η∞​​形式的反向S型曲线。
3. 在CFD中实现：在每次迭代中，根据当地 γ˙​计算 η， 代入广义牛顿流体模型求解。

在低剪切率下，颗粒被润滑液膜隔开，流体表现为剪切变稀。当剪切率超过临界值，颗粒间的排斥力不足以克服使其靠近的粘性力，颗粒开始发生摩擦接触，形成力链网络，导致流动阻力急剧增加，表现为剪切增稠。流动方向由外力决定，但粘度在高速区剧增会强烈抑制流动。

高浓度颗粒悬浮液（如二氧化硅/乙二醇），其流变行为表现出明显的剪切增稠转变，微观上涉及颗粒间相互作用机制的改变。

Flow-L1-0118​

多物理场模型

材料加工（选择性激光熔化）

熔池动力学、马兰戈尼流

选择性激光熔化熔池模型 (Selective Laser Melting Melt Pool Model)​

1. 物理过程：高能激光束扫描金属粉末床，局部熔化形成熔池，随后快速凝固形成实体。
2. 控制方程：
- 流体：熔融金属视为不可压缩牛顿流体，求解 N-S 方程，包含浮力、热毛细力（马兰戈尼力）、反冲压力（蒸发导致）、达西阻尼（固相区）。
- 传热：能量方程包含传导、对流、辐射、蒸发潜热/冷却、激光热源（如高斯体热源）。
- 自由表面：使用 VOF 法追踪气-液界面，表面张力采用 CSF 模型，热毛细力作为切向应力边界条件。
3. 关键物理：
- 马兰戈尼对流：熔池表面巨大的温度梯度（中心热，边缘冷）驱动强烈的从中心向外（对大多数金属）的表面流，深刻影响熔池形貌和传热。
- 蒸发与反冲压力：高温导致金属蒸发，产生的反冲压力压凹熔池表面，影响其深度和稳定性。
4. 快速凝固：熔池尾部快速冷却凝固，决定了微观组织（晶粒结构、相组成）。

能模拟熔池的动态行为、温度场、流场，预测熔池尺寸、缺陷（如球化、匙孔）倾向。计算量极大，材料高温物性参数是关键。

多物理场耦合（流、热、相变、自由表面）、马兰戈尼效应、激光-材料相互作用。

金属3D打印（SLM）、激光焊接、激光表面重熔。特征：极高的温度梯度和冷却速率，强烈的马兰戈尼对流，涉及熔化、蒸发、凝固多个相变。

变量：速度 u， 压力 p， 温度 T， 液相分数 fl​， 气相分数 αg​。
激光参数：功率 P， 光斑直径 d， 扫描速度 vs​。
材料参数：随温度变化的密度、粘度、比热、导热系数、表面张力及其温度系数 dσ/dT， 蒸发潜热等。

自由表面流动、马兰戈尼边界条件、移动热源、相变（熔化/凝固/蒸发）。

选择性激光熔化、熔池动力学、马兰戈尼流、激光加工。

1. 初始化粉末床， 激活激光热源。
2. 求解流场与温度场耦合方程：
a. 计算温度场，更新物性、液相分数，并计算浮力、马兰戈尼力源项。
b. 求解包含 Darcy 阻尼项（在糊状区）的动量方程，得到速度场。
c. VOF 法更新气-液界面，并施加表面张力（含热毛细力）和反冲压力边界条件。
3. 激光移动：热源位置随时间按扫描路径更新。
4. 时间推进，模拟熔池形成、发展和凝固全过程。

激光照射处，金属粉末迅速熔化形成熔池。熔池表面巨大的温度梯度驱动强烈的马兰戈尼对流，从高温中心流向低温边缘。熔池内部还可能存在浮力驱动的对流。金属蒸发产生的反冲压力使熔池中心下凹，可能形成深熔小孔（keyhole）。熔池随着激光移动而向前推进，尾部金属快速凝固。流动方向复杂，表面为外向径向流，内部可能有多涡结构。

熔融金属（液态，可视为牛顿流体）、固态金属、金属蒸气，涉及强烈的相变（熔化、蒸发、凝固）和极高的温度梯度。

Flow-L1-0119​

湍流模型

可压缩湍流

密度加权平均、可压缩修正

**Favre 平均的 Navier-Stokes

Flow-L1-0119​

湍流模型

可压缩湍流

密度加权平均、可压缩修正

Favre 平均的 Navier-Stokes 方程 (Favre-Averaged Navier-Stokes Equations)​

1. 动机：在可压缩湍流中，密度脉动显著，雷诺平均（时间平均）会导致方程中出现密度-速度关联项，使方程复杂。Favre（密度加权）平均能简化方程形式。
2. 定义：对任意变量 ϕ， 其 Favre 平均 ϕ~​=ρϕ​/ρˉ​， 脉动 ϕ′′=ϕ−ϕ~​。 其中上划线表示雷诺平均。
3. 控制方程：对可压缩 N-S 方程进行 Favre 平均，得到：
- 连续方程：∂t∂ρˉ​​+∂xj​∂​(ρˉ​u~j​)=0
- 动量方程：∂t∂​(ρˉ​u~i​)+∂xj​∂​(ρˉ​u~i​u~j​)=−∂xi​∂pˉ​​+∂xj​∂​(τˉij​−ρˉ​ui′′​uj′′​​)
- 能量方程：类似地，包含湍流热通量 ρˉ​uj′′​h′′​和湍流输运项。
4. 封闭问题：出现了 Favre 平均的雷诺应力 −ρˉ​ui′′​uj′′​​和湍流热通量等未知项，需要湍流模型封闭。

是模拟可压缩湍流（如高速飞行器绕流、涡轮机械内部流）的基础方程框架。简化了平均方程的形式，但封闭模型（如可压缩 k−ϵ）仍需发展。

密度加权平均、质量加权统计、可压缩流动基本方程。

超音速/高超音速飞行器气动热、压气机/涡轮内流、燃烧室湍流。特征：密度变化显著，湍流与激波相互作用，总温/总压变化重要。

变量：Favre 平均速度 u~i​， 雷诺平均密度 ρˉ​、压力 pˉ​， Favre 平均雷诺应力 ui′′​uj′′​​。
模型封闭项：雷诺应力模型、湍流热通量模型。

密度加权平均算子、时均方程、出现 Favre 平均的关联项。

Favre 平均、可压缩湍流、密度加权、雷诺应力。

1. 应用 Favre 平均：对瞬态可压缩 N-S 方程进行密度加权平均。
2. 得到平均方程：推导出关于 ρˉ​,u~i​,T~,pˉ​的 Favre 平均方程组。
3. 模型封闭：采用湍流模型（如可压缩 k−ϵ， SA）来封闭 Favre 平均的雷诺应力和湍流热通量项。
4. 数值求解：使用 CFD 方法求解封闭后的方程组。

流动为可压缩湍流，存在强烈的密度脉动和压力脉动。Favre 平均将脉动的影响归入密度加权的关联项中。平均流动由平均压力梯度、平均粘性应力和 Favre 平均雷诺应力共同驱动。流向由压力梯度和边界条件决定，但激波和膨胀波会强烈干扰湍流结构。

可压缩牛顿流体（空气、燃气等），流动为湍流，马赫数显著（通常 > 0.3），密度变化不可忽略。

Flow-L1-0120​

本构模型

血液流（大中动脉）

非牛顿粘度、管流

血液的 Casson 模型 (Casson Model for Blood Flow)​

1. 背景：血液在较低剪切率下（如小血管、低流速区）表现出屈服应力和剪切变稀特性，Casson 模型能较好地描述。
2. 本构方程：τ​=τy​​+μc​γ˙​​， 当 τ>τy​； γ˙​=0， 当 τ≤τy​。
3. 圆管流动解（稳态层流）：速度剖面为：
u(r)=4μc​R2​dzdp​[1−(Rr​)2−38​Rr0​​(1−(Rr​)3/2)+2Rr0​​(1−Rr​)]， 其中 (r_0 = \frac{2\tau_y}{

dp/dz

})是塞流半径（屈服区）。
4. 流量-压降关系： Buckingham-Reiner 方程形式：
Q=8μc​πR4​dzdp​[1−716​Rr0​​+34​(Rr0​​)4−211​(Rr0​​)4]。
5. 参数：屈服应力 τy​和 Casson 粘度 μc​依赖于血细胞比容（Hct）。

在低剪切率范围（<100 s⁻¹）和中等 Hct 下，能较好地拟合血液流变数据。在高剪切率下，血液趋于牛顿流体，Carreau-Yasuda 模型可能更佳。

屈服应力流体、剪切变稀、Hagen-Poiseuille 流推广。

动脉粥样硬化区域（低剪切区）血流模拟、体外血液循环设备（如血泵）设计、血液粘度测量。特征：捕捉屈服应力和低剪切率下的剪切变稀，对血栓形成等病理研究有重要意义。

变量：剪切应力 τ， 剪切率 γ˙​， 速度 u(r)。
模型参数：屈服应力 τy​， Casson 粘度 μc​。
流动参数：压力梯度 dp/dz， 管半径 R， 塞流半径 r0​。
血液参数：血细胞比容 Hct。

分段本构、屈服应力、圆管流动解析解、Buckingham-Reiner 方程。

血液流变学、Casson模型、屈服应力、塞流。

1. 测量/获取参数：通过血液流变实验确定 τy​和 μc​， 通常与 Hct 关联。
2. 应用于流动分析：在给定压力梯度下，计算塞流半径 r0​。若 r0​<R， 则存在屈服区（r≤r0​速度均匀）和剪切流动区（r0​<r≤R）。
3. 计算流量和速度剖面：使用上述解析公式。
4. 在CFD中实现：作为广义牛顿流体模型，在每次迭代中根据当地 γ˙​计算有效粘度 μeff​=(τy​/γ˙​​+μc​​)2（当 γ˙​>0）。

Flow-L1-0121​

多相流模型

环境（海洋）

气泡羽流、卷吸

气泡羽流卷吸模型 (Bubble Plume Entrainment Model)​

1. 现象：从海底或水下释放的气体形成气泡羽流，上升过程中卷吸周围水体，形成垂直向上的两相流动。
2. 积分模型（一维）：假设羽流横截面上速度、气体份额等呈相似剖面（如高斯分布），沿垂向积分控制方程。
3. 控制方程：
- 体积守恒：dzd​(b2w)=2αbw， 其中 b是羽流特征半径， w是中心线速度， α是卷吸系数。
- 动量守恒：dzd​(b2w2)=gb2ρa​Δρ​， 其中 Δρ是羽流与环境的密度差，主要由气泡贡献。
- 气泡质量守恒：dzd​(Qg​ρg​)=0（忽略气体溶解）， Qg​是气体体积流量。
4. 卷吸系数：α是经验常数，通常在 0.08-0.12 之间，可能随羽流 Richardson 数变化。
5. 求解：给定源项（气体流量、初始动量），可积分得到沿深度 z的 b(z),w(z),Qg​(z)。

一维积分模型能有效预测羽流宏观特性（如上升高度、卷吸流量、表面扩展直径）。无法描述羽流内部的详细结构。

羽流理论、卷吸假设、积分动量模型、两相流。

海底天然气泄漏、湖泊/水库曝气、工业废水排放、潜艇尾迹。特征：由浮力驱动，强烈卷吸环境流体，气泡膨胀（压力降低），气体可能溶解。

变量：羽流半径 b(z)， 中心线速度 w(z)， 气体体积流量 Qg​(z)。
模型参数：卷吸系数 α， 剖面形状参数（如高斯分布的宽度比）。
环境参数：环境密度剖面 ρa​(z)， 水深。
源项：初始气体流量 Qg0​， 初始动量通量 M0​。

常微分方程组、积分模型、相似剖面、卷吸系数。

气泡羽流、卷吸、积分模型、浮力射流。

1. 给定初始条件：在气泡释放点（z=0）， 给定 b0​,w0​,Qg0​。
2. 沿深度积分：从 z=0向上积分控制方程组，考虑气泡膨胀 Qg​(z)=Qg0​Pa​/(Pa​+ρgz)（等温假设）。
3. 计算密度差：Δρ=ρa​−ρp​， 其中羽流密度 ρp​≈ρa​(1−ϵ)， ϵ是气体体积分数。
4. 终止条件：当羽流动能耗尽或到达水面时停止。

气泡从点源或线源释放，在浮力作用下上升。上升的气泡带动周围水体向上运动，并通过剪切卷吸不断将环境流体吸入羽流。羽流宽度随高度增加而增大，中心速度随高度先增后减（浮力做功 vs. 卷吸增质）。流动方向总体垂直向上，内部存在环流。

空气（或其他气体）气泡分散在水中，形成气-液两相羽流。气泡是驱动相，水是连续相。考虑气泡的浮力、阻力、膨胀和可能的聚并破碎。

Flow-L1-0122​

流动模型

微重力、空间推进剂管理

毛细力主导的液体定位

毛细推进剂管理装置（PMD）模型 (Capillary Propellant Management Device Model)​

1. 功能：在微重力下，利用表面张力和毛细力将液体推进剂引导并固定在贮箱出口附近，确保发动机启动时能供应单相液体。
2. 关键部件：筛网、通道、叶片等，提供毛细压力差 Δpc​=2σ/Reff​， 其中 Reff​是孔隙或通道的特征曲率半径。
3. 模型核心：
- 毛细压力-饱和度关系：对于多孔筛网或通道， Δpc​=J(s)σ/k/ϕ​， 其中 J(s)是 Leverett 函数， k渗透率， ϕ孔隙率， s液体饱和度。
- 液体输送：在 PMD 通道内，液体流动由毛细压力梯度和粘性阻力平衡：∇pc​=μl​ul​/Kkrl​(s)， 其中 K是绝对渗透率， krl​是相对渗透率。
4. 平衡分析：在微重力下，液体位置由毛细力、静压差（残余重力或加速度）和惯性力平衡决定。设计需确保在各种加速度干扰下，毛细力始终能将液体“拉”向出口。

能分析 PMD 的毛细抽吸性能、留存能力（抗气蚀能力）和液体重定位时间。精度依赖于毛细压力曲线和渗透率参数的准确获取。

毛细作用、多孔介质流动（达西定律）、Young-Laplace 方程、微重力流体管理。

卫星、飞船的液体推进剂贮箱。特征：微重力环境下，表面张力主导液体行为，PMD 确保可靠的无气体推进剂供应。

变量：液体压力 pl​， 气体压力 pg​， 毛细压力 pc​=pg​−pl​， 液体饱和度 s， 液体速度 ul​。
材料参数：表面张力 σ， 接触角 θ， 筛网/通道几何（孔隙半径 R， 渗透率 K， 孔隙率 ϕ）。
工况参数：加速度水平 a（微重力扰动）。

毛细压力-饱和度关系、达西定律、力平衡分析、无量纲数（邦德数、毛细数）。

推进剂管理、毛细力、微重力、多孔筛网。

1. 定义 PMD 几何和材料属性：如筛网目数、通道尺寸、接触角。
2. 计算毛细压力能力：Δpc,max​=2σcosθ/Rmin​， Rmin​是最小孔隙半径。
3. 分析受力：计算最大能克服的加速度压头 ρaL（L是特征长度）， 要求 Δpc,max​>ρaL以确保液体留存。
4. 模拟液体输送：在给定初始分布和边界条件下，求解基于达西定律的两相流方程，模拟液体在 PMD 中的重定位过程。

在微重力下，液体因表面张力聚集在能提供最大毛细压力的位置（如细小的孔隙或角落）。PMD 设计了一个从贮箱内部到出口的毛细压力梯度。当发动机需要推进剂时，出口处的毛细力将液体从贮箱主体“抽吸”过来，同时阻止气体进入供应管路。流动方向由毛细压力梯度驱动，从低压毛细区指向高压毛细区（即从粗孔隙指向细孔隙）。

液体推进剂（如肼、四氧化二氮）及其蒸气，在微重力环境下，流动由毛细力主导，惯性力和重力可忽略或作为扰动。

Flow-L1-0123​

多物理场模型

材料加工（化学气相沉积）

反应流、表面沉积

化学气相沉积反应输运模型 (Chemical Vapor Deposition Transport and Reaction Model)​

1. 过程：前驱体气体通入反应室，通过均相（气相）和异相（基片表面）化学反应，在基片上沉积固体薄膜。
2. 控制方程：
- 流体与传热：低马赫数 N-S 方程、能量方程，考虑自然对流/强制对流。
- 物种输运：对每种气相物种 i：∂t∂(ρYi​)​+∇⋅(ρuYi​)=∇⋅(ρDi​∇Yi​)+ω˙ihom​， 其中 Di​是扩散系数， ω˙ihom​是均相反应源项。
- 表面反应：在基片表面，异相反应消耗/产生物种。边界条件：(-D_i \rho \frac{\partial Y_i}{\partial n}

{surf} = \dot{s}i^{het})， 其中 s˙ihet​是表面反应速率（mol/m²/s）， 常由 Langmuir-Hinshelwood 或 Arrhenius 动力学描述。
3. 沉积速率：表面沉积速率 G=ρs​Ms​​∑j​νsj​s˙jhet​， 其中 Ms​,ρs​是固体产物的摩尔质量和密度， νsj​是化学计量系数。

能模拟 CVD 过程中的流场、温度场、浓度场，预测沉积速率和薄膜均匀性。模型复杂，化学反应机理和动力学参数是关键不确定性来源。

反应流体力学、对流-扩散方程、表面反应动力学、Langmuir-Hinshelwood 机理。

半导体薄膜沉积（如硅、氮化镓）、太阳能电池、光学涂层、耐磨涂层。特征：涉及复杂的气相和表面化学反应，沉积速率和均匀性受输运过程（边界层）强烈影响。

变量：速度 u， 温度 T， 压力 p， 物种质量分数 Yi​， 沉积速率 G(x,y)。
反应参数：均相反应速率常数 khom​(T)， 表面反应速率常数 khet​(T)， 吸附/脱附系数， 活化能 Ea​。
操作参数：进气组成、流量、压力、基片温度 Ts​。

对流-扩散-反应方程组、表面反应边界条件、Arrhenius 方程、低马赫数流。

化学气相沉积、反应输运、表面反应、薄膜生长。

1. 建立几何与网格：反应室、基片、进气口、出气口。
2. 求解流场与温度场：考虑浮力、辐射换热等。
3. 求解物种输运方程：耦合气相反应源项。
4. 施加表面反应边界条件：在基片表面，根据当地温度 Ts​和物种浓度 (Y_i

_{surf})计算表面反应速率 s˙ihet​。
5. 耦合迭代：表面反应消耗物种，影响边界层浓度分布，进而影响流场（自然对流）和温度场，需强耦合迭代求解。
6. 计算沉积速率分布​ G(x,y)。

Flow-L1-0124​

湍流模型

壁湍流、近壁处理

壁面函数法

标准壁面函数法 (Standard Wall Function Approach)​

1. 目的：在高雷诺数湍流中，近壁粘性底层网格分辨率要求极高。壁面函数通过半经验公式将第一层网格节点（位于对数区）的物理量与壁面条件联系起来，避免直接解析粘性底层。
2. 核心公式（对于速度）：假设从壁面到第一节点 yp​的区域内，平均速度满足对数律：
u+=κ1​ln(Ey+)， 其中 u+=up​/uτ​， y+=uτ​yp​/ν， uτ​=τw​/ρ​是摩擦速度， κ≈0.41， E≈9.8。
3. 实施：在壁面相邻的单元，不求解到壁面的输运方程，而是：
- 给定壁面剪切应力 τw​：由 up​和 yp​通过对数律公式迭代求解 uτ​和 τw​。
- 给定湍流量：在 k−ϵ模型中，指定第一节点处的 kp​和 ϵp​： kp​=uτ2​/Cμ​​， ϵp​=uτ3​/(κyp​)。
4. 限制：仅适用于高雷诺数、平衡边界层。对分离、强压力梯度、低雷诺数流动不准确。

在满足其适用条件（高Re， 平衡边界层）时，能大幅减少网格量并获得合理的壁面摩擦和传热预测。在复杂流动中可能导致显著误差。

湍流边界层理论、对数律、壁面律。

外部空气动力学（飞机、汽车）、高雷诺数管道/通道流、工业换热器。特征：用于节省计算资源，但对网格第一层节点位置 y+敏感（通常要求 30<y+<300）。

变量：壁面相邻节点速度 up​， 距离 yp​， 壁面剪切应力 τw​， 摩擦速度 uτ​。
模型常数：冯·卡门常数 κ， 粗糙度参数 E， Cμ​=0.09。
无量纲数：y+， u+。

代数关系式、对数函数、迭代求解、半经验。

壁面函数、对数律、近壁处理、高雷诺数。

1. 网格生成：确保壁面第一层网格节点位于对数区（y+≈30∼300）。
2. 在迭代求解过程中：
a. 根据当前解得到 up​。
b. 假设 τw​， 计算 uτ​=τw​/ρ​和 y+=uτ​yp​/ν。
c. 利用对数律公式 up​=uτ​κ1​ln(Ey+)检查是否成立，若不成立则更新 τw​（如牛顿迭代）。
d. 将收敛的 τw​作为壁面边界条件施加于动量方程。
e. 根据 uτ​计算 kp​和 ϵp​， 作为湍流方程的边界条件。

在壁面附近，流动分为粘性底层、过渡层和对数层。壁面函数假设第一层网格节点位于对数层，并使用对数律公式将节点速度与壁面剪切应力关联起来。这样，粘性底层和过渡层的细节被建模，而无需用网格解析。流向由外部流动决定，近壁速度剖面满足对数律。

牛顿流体、湍流、高雷诺数、壁面边界层处于平衡或近平衡状态。

Flow-L1-0125​

本构模型

组织、生物凝胶

超弹性、粘弹性

Ogden 超弹性模型 (Ogden Hyperelastic Model)​

1. 适用材料：橡胶、软组织等可承受大变形且几乎不可压缩的材料。
2. 应变能函数：Ogden 模型用主伸长比 λ1​,λ2​,λ3​表示应变能密度：
W=∑p=1N​αp​μp​​(λ1αp​​+λ2αp​​+λ3αp​​−3)， 其中 μp​和 αp​是材料常数。对于不可压缩材料， λ1​λ2​λ3​=1。
3. 应力计算：主柯西应力 σi​=λi​∂λi​∂W​−p（i=1,2,3）， p是静水压力（由不可压缩条件确定）。
4. 参数意义：μp​具有应力量纲，与剪切模量相关；αp​为无量纲指数，可正可负，能拟合复杂的应力-应变曲线。当 N=2,α1​=2,α2​=−2时，退化为 Mooney-Rivlin 模型。
5. 参数确定：通过单轴拉伸、等双轴拉伸、平面剪切等实验数据拟合得到 μp​,αp​。

能非常灵活和准确地拟合橡胶类材料在大变形范围内的实验数据，包括拉伸、压缩、剪切。需要多个项（N>2）来拟合复杂行为。

连续介质力学、超弹性理论、不可压缩材料、应变能函数。

轮胎、密封件、软组织力学（如肝脏、乳房）、柔性电子器件。特征：描述材料在大变形下的非线性弹性响应，假设可逆、等温、各向同性。

变量：主伸长比 λi​， 应变能密度 W， 柯西应力 σi​， 静水压力 p。
材料参数：系数 μp​， 指数 αp​， 项数 N（通常 2-3）。

应变能函数、主伸长比、材料常数拟合、不可压缩约束。

Ogden模型、超弹性、橡胶弹性、大变形。

1. 实验测试：进行单轴、双轴等不同模式的力学实验，获得应力-伸长比曲线。
2. 参数拟合：选择项数 N， 利用最小二乘法等优化算法，调整参数 μp​,αp​使模型预测与实验数据最佳吻合。
3. 在有限元中实现：将应变能函数 W及其导数（应力、切线模量）编入材料子程序。
4. 边界值问题求解：给定载荷和边界条件，求解平衡方程 ∇⋅σ=0， 其中 σ由 Ogden 模型和不可压缩条件计算。

材料经历大变形，其力学响应完全由应变能函数 W描述。给定一个变形梯度 F， 计算其主伸长比 λi​， 然后通过应变能函数得到应力。对于不可压缩材料，变形是等容的。流动方向不适用，这是固体力学模型，描述的是变形而非流动。

不可压缩的超弹性固体材料（如橡胶、生物软组织），承受大变形，行为是非线性弹性的。

Flow-L1-0126​

多相流模型

环境（大气污染）

烟羽扩散、高斯模型

高斯烟羽扩散模型 (Gaussian Plume Dispersion Model)​

1. 假设：连续点源，稳态条件，均匀湍流场，风速恒定，无地面反射或完全反射。
2. 浓度公式（无反射）：
C(x,y,z)=2πuσy​σz​Q​exp(−2σy2​y2​)[exp(−2σz2​(z−H)2​)+exp(−2σz2​(z+H)2​)]
其中 Q是源强， u是平均风速， H是有效源高， σy​(x),σz​(x)是水平和垂直扩散参数。
3. 扩散参数：σy​,σz​是下风向距离 x和大气稳定度等级（Pasquill-Gifford 分类）的函数，由经验公式或图表给出。
4. 修正：考虑地面反射（上式中已包含）、建筑物下洗、复杂地形等。

在平坦地形、稳态气象条件下，对连续点源的中远距离扩散提供快速、合理的估算。无法处理非稳态、复杂地形、化学反应等情况。

梯度输运理论（K理论）在特定条件下的解析解、湍流统计理论。

工厂烟囱连续排放评估、环境风险初步分析、应急响应快速估算。特征：解析公式，计算快捷，参数化依赖于经验分类（稳定度等级）。

变量：污染物浓度 C(x,y,z)。
源参数：排放率 Q， 有效源高 H（物理高度+烟羽抬升高度）。
气象参数：风速 u， 大气稳定度等级（A-F）。
扩散参数：σy​(x)， σz​(x)（Pasquill-Gifford 曲线或公式）。

解析解、高斯分布、经验参数、稳态公式。

高斯烟羽、大气扩散、Pasquill-Gifford、连续点源。

1. 确定输入：源强 Q， 源高 H， 风速 u， 大气稳定度等级。
2. 计算扩散参数：根据下风向距离 x和稳定度等级，查表或使用公式计算 σy​(x)和 σz​(x)。
3. 计算浓度：将参数代入高斯烟羽公式，计算感兴趣位置 (x,y,z)的浓度。
4. 考虑修正：如计算地面浓度（设 z=0）， 或考虑混合层顶部的反射。

污染物从点源连续释放，被平均风向下风向输送。同时，大气湍流导致烟羽在横向（y）和垂直（z）方向扩散，浓度分布呈高斯型。烟羽中心线沿平均风向（x轴）。垂直方向因地面反射，采用镜像源法。扩散宽度 σy​,σz​随下风向距离增加而增大。

污染物（气体或小颗粒）作为示踪物在湍流大气中扩散，背景风场稳定，不考虑污染物自身的动力和浮力效应。

Flow-L1-0127​

流动模型

微流体、惯性聚焦

惯性迁移、平衡位置

方形通道中惯性聚焦的平衡位置模型 (Equilibrium Position of Inertial Focusing in Square Channels)​

1. 现象：在有限雷诺数（~10-100）的泊肃叶流中，悬浮颗粒受惯性升力作用横向迁移，最终稳定在通道截面的特定平衡位置。
2. 惯性升力：由剪切诱导升力（Saffman 力）和壁面诱导升力（与壁面相互作用产生）组成，是颗粒雷诺数 Rep​=ρf​γ˙​a2/μ和通道尺寸的函数。
3. 平衡位置：在方形通道中，颗粒最终聚焦于四个面的中心点附近（面对角线方向），形成四条聚焦线。理论分析和实验表明，平衡位置对应于净惯性升力为零的点。
4. 模型：通过数值求解颗粒在流动中的运动方程，或通过实验标定，得到平衡位置与 Rep​和通道尺寸的关系。对于方形通道，平衡位置到壁面的无量纲距离 yc​/W（或 zc​/W）随 Rep​变化，通常先靠近中心，然后移向面中心。

能定性预测颗粒聚焦的大致位置。精确的平衡位置依赖于颗粒与通道尺寸比 a/W、Rep​和颗粒形状，通常需要实验或详细模拟确定。

惯性微流体、颗粒-流体相互作用、Saffman 升力、壁面效应。

微流控细胞聚焦与排列、颗粒/细胞分选、流式检测样品预处理。特征：无需外部场，仅利用流道几何和惯性效应实现颗粒空间排序，适用于高通量。

变量：颗粒横向位置 (y,z)， 通道宽度 W， 高度 H（方形时 H=W）。
流动参数：平均流速 U， 流体粘度 μ， 密度 ρf​。
颗粒参数：直径 dp​=2a， 密度 ρp​。
无量纲数：颗粒雷诺数 Rep​=ρf​γ˙​a2/μ， 通道雷诺数 Rec​=ρf​UW/μ， 尺寸比 a/W。

力平衡分析、数值模拟、实验标定、无量纲关系。

惯性聚焦、平衡位置、方形通道、惯性升力。

1. 计算流场：求解通道内充分发展的泊肃叶流速度剖面。
2. 计算颗粒受力：对于给定位置的颗粒，计算惯性升力（通常通过经验公式或查找预计算的数据表）。
3. 求解颗粒轨迹：积分颗粒运动方程 mp​dtdup​​=Fdrag​+Flift​， 其中曳力用斯托克斯公式，升力用模型公式。
4. 寻找平衡点：模拟大量颗粒从不同初始位置释放，观察其最终稳定位置，即为惯性聚焦的平衡位置。

颗粒在泊肃叶流中运动，受到指向通道中心的剪切诱导升力和指向壁面的壁面诱导升力。在方形截面中，这两种力在四个对称的面中心点附近达到平衡。因此，颗粒从任意初始位置开始，在惯性升力作用下横向迁移，最终稳定在这四个平衡位置附近，形成四条清晰的聚焦线。流向沿通道轴向。

刚性球形颗粒悬浮在牛顿流体中，在方形微通道内流动，雷诺数在中间范围（~10-100），惯性效应显著但流动仍为层流。

Flow-L1-0128​

多物理场模型

燃料电池

多孔电极、反应输运

质子交换膜燃料电池（PEMFC）多物理场模型 (PEMFC Multiphysics Model)​

1. 计算域：包含气体通道、气体扩散层（GDL）、催化层（CL）、质子交换膜（PEM）。
2. 控制方程：
- 流体流动：气体通道内为 Navier-Stokes 方程；多孔介质（GDL, CL）内为 Brinkman 方程或达西定律。
- 气体输运：多组分对流-扩散方程，考虑 Knudsen 扩散（CL 内）。
- 电荷传输：电子传导（在固体相）：∇⋅(−σs​∇ϕs​)=Ss​；质子传导（在膜和 CL 离子相）：∇⋅(−σm​∇ϕm​)=Sm​。源项 Ss​=−Sm​=j是电化学反应电流密度。
- 电化学反应：在 CL 中， Butler-Volmer 方程描述反应速率：j=j0​[exp(RTαa​Fη​)−exp(−RTαc​Fη​)]CO2​ref​CO2​​​， 其中过电位 η=ϕs​−ϕm​−Eeq​。
- 水输运：水在膜中的渗透和电渗拖拽，气相和溶解相的水输运。

能模拟 PEMFC 内部的详细分布（电流、温度、物种、水含量），是优化流场板、操作条件的关键工具。模型高度复杂，涉及多尺度、多物理场强耦合。

多孔介质传质、电化学动力学、电荷守恒、两相流、热管理。

质子交换膜燃料电池设计与优化、水热管理、耐久性研究。特征：涉及气-液两相流、多组分输运、电子/离子传导、电化学反应、热传递的强耦合。

变量：速度 u， 压力 p， 气体组分浓度 Ci​， 电子电位 ϕs​， 质子电位 ϕm​， 温度 T， 液态水饱和度 s。
材料参数：GDL/CL 孔隙率 ϵ、渗透率 K、电导率 σ；膜参数（电导率、水渗透率）；电化学参数（交换电流密度 j0​， 传递系数 α）。
操作参数：进气湿度、温度、压力、电池电压 Vcell​。

多物理场耦合偏微分方程组、Butler-Volmer 方程、多孔介质达西定律、对流-扩散-反应。

质子交换膜燃料电池、多物理场、电化学反应、水管理。

1. 建立几何与网格：划分通道、GDL、CL、膜区域。
2. 求解流场与气体输运：在通道和多孔介质中求解质量、动量、组分方程。
3. 求解电荷传输：在固体相和膜/离子相中求解电位方程。
4. 计算反应源项：在 CL 中，根据局部氧气浓度、水活度、过电位，通过 Butler-Volmer 方程计算局部电流密度 j。
5. 求解水输运与相变：考虑水蒸气扩散、液态水毛细输运、膜中水输运、电渗拖拽。
6. 求解能量方程：考虑反应热、欧姆热、相变潜热。
7. 强耦合迭代：上述所有方程高度耦合，需迭代求解至收敛。

氢气在阳极流道流动，通过 GDL 扩散到阳极 CL，发生氧化反应生成质子和电子。电子通过外部电路做功，质子通过 PEM 迁移到阴极 CL。氧气在阴极流道流动，扩散到阴极 CL，与质子和电子结合生成水。水通过扩散、电渗拖拽和毛细力在膜和电极中传输。流动方向沿流道，扩散方向垂直于膜电极组件。

多组分气体（H₂, O₂, N₂, H₂O(v)）、液态水、电子导电的固体相、质子导电的聚合物电解质，涉及电化学反应和相变。

Flow-L1-0129​

本构模型

熔融聚合物

粘弹性、松弛谱

广义麦克斯韦模型 (Generalized Maxwell Model)​

1. 模型结构：由多个麦克斯韦单元（一个弹簧和一个粘壶串联）并联而成，再加上一个平衡态的弹簧（用于固体）或粘壶（用于流体）。
2. 本构关系：总应力是各模式应力之和：σ(t)=∑k=1N​σk​(t)+σe​。 每个麦克斯韦单元满足：σk​+λk​∂t∂σk​​=ηk​γ˙​， 其中 λk​=ηk​/Gk​是松弛时间。
3. 松弛模量：在剪切小振幅振荡剪切（SAOS）中，松弛模量 G(t)=∑k=1N​Gk​e−t/λk​+Ge​（对于固体）， 或 (G(t) = \sum_{k=1}^{N} G_k e^{-t/\