经典统计力学（平衡态）​

研究大量粒子系统的宏观平衡性质与微观状态之间的统计关联。

1. 等概率原理（微正则系综）
2. 最概然分布
3. 系综理论（微正则、正则、巨正则）

1. 正则分布：ρ = e^{-βH}/Z, β=1/(k_B T)
2. 配分函数：Z = Σ e^{-βE_i}
3. 热力学量关系：U = -∂lnZ/∂β, F = -k_B T lnZ, S = k_B (lnZ + βU)

配分函数 Z, 自由能 F, 内能 U, 熵 S, 温度 T

通过配分函数Z计算所有热力学量，导出状态方程。

理想气体、谐振子固体（Einstein/Debye模型）、顺磁体、化学反应平衡

量子统计力学（平衡态）​

考虑量子效应（全同性、能级离散化）的平衡态统计。

1. 全同粒子不可区分性
2. 波函数对称性（Boson/Fermion）
3. 能级量子化

1. Fermi-Dirac分布：f_FD(ε) = 1/[e^{β(ε-μ)} + 1]
2. Bose-Einstein分布：f_BE(ε) = 1/[e^{β(ε-μ)} - 1]
3. 巨配分函数：Ξ = Π_i (1 ∓ e^{-β(ε_i-μ)})^∓g_i

化学势 μ, 分布函数 f(ε)

在高温低密度下退化为经典分布。给出金属电子气、光子气、液氦超流等宏观性质。

金属自由电子气、黑体辐射、玻色-爱因斯坦凝聚、简并费米气体

分子动理论（非平衡态）​

从分子碰撞和运动出发，研究气体输运现象和非平衡态。

1. 分子混沌假设
2. 二元弹性碰撞
3. 分子力场模型（刚球、Lennard-Jones）

玻尔兹曼方程：
∂f/∂t + v·∇r f + (F/m)·∇v f = ∫∫ (f'f₁' - ff₁) g σ dΩ d³v₁
f(r, v, t): 分子速度分布函数

分布函数 f, 碰撞截面 σ, 相对速率 g

Chapman-Enskog展开：从玻尔兹曼方程逐级求解，零阶→欧拉方程，一阶→NS方程及输运系数公式。

稀薄气体流动、热传导、扩散、声波吸收

非平衡态统计力学​

研究偏离平衡态的弛豫过程和稳态输运。

1. 局部平衡假设
2. 线性响应理论
3. 涨落-耗散定理

1. 线性本构关系：J​ = L X​ (如傅里叶定律、牛顿粘性定律)
2. Green-Kubo关系：输运系数 = ∫₀∞ <J(t)·J(0)> dt
3. 主方程：dP_n/dt = Σ_m (W{m→n}P_m - W{n→m}P_n)

流 J, 力 X, 弛豫时间 τ, 关联函数

建立宏观不可逆过程（热传导、粘性、扩散）与微观可逆运动之间的联系。

电导率、粘滞系数、热导率的微观计算，布朗运动

涨落理论​

研究宏观物理量围绕平均值的随机偏差。

系统与热库接触，能量可交换。

1. 能量涨落：<(ΔE)²> = k_B T² C_V
2. 粒子数涨落：<(ΔN)²> = N k_B T κ_T / V
3. 爱因斯坦涨落公式：<(Δx)²> = k_B T / (∂²F/∂x²)

均方差 <(ΔX)²>, 响应函数 (C_V, κ_T)

涨落与响应函数（如热容、压缩率）通过热力学第二定律联系。

临界现象（涨落增强）、光散射、传感器噪声分析

热力学极限​

定义宏观热力学的成立条件。

粒子数 N → ∞, 体积 V → ∞, 但密度 N/V 有限。

密集函数（如内能密度 u = U/V）存在良好极限。

粒子数 N, 体积 V

保证热力学函数具有强度性/广延性，相变成为奇点。

区分宏观系统与有限小系统（如纳米团簇、生物大分子）的热行为

热力学第零定律​

定义了温度的概念和测温基础。

如果A与B热平衡，B与C热平衡，则A与C也热平衡。

温度 T （态函数，强度量）

热平衡：T_A = T_B

无

温度计的校准，温标的建立

热力学第一定律​

能量守恒与转换定律。

dU = δQ + δW
（U: 内能，Q: 热量，W: 功）
对循环过程：∮(δQ+δW)=0

内能 U(S, V, N)

绝热过程：dU = δW

从 dU = TdS - pdV 可得：(∂T/∂V)S = -(∂p/∂S)V

热机效率分析，反应热计算，焓的引入

热力学第二定律​

过程的方向性与不可逆性。

克劳修斯不等式：∮ (δQ/T) ≤ 0 （可逆取等）
熵增原理（孤立系）：dS ≥ 0

熵 S(U, V, N)
亥姆霍兹自由能 F(T,V,N)=U-TS
吉布斯自由能 G(T,p,N)=H-TS

熵判据：(dS)U,V ≥ 0
自由能判据：(dF)T,V ≤ 0, (dG)_T,p ≤ 0

从 dF = -SdT - pdV 得：(∂S/∂V)T = (∂p/∂T)V
从 dG = -SdT + Vdp 得：-(∂S/∂p)T = (∂V/∂T)p

热机最大效率（卡诺定理）、化学反应方向、相平衡条件

热力学第三定律​

绝对零度不可达到，及熵的零点。

能斯特-西蒙表述：lim{T→0} (ΔS)T = 0
普朗克表述：S(T=0) = 0（完美晶体）

熵的绝对值

在 T→0 时，等温过程的熵变为零。

在 T→0 时，所有热容 C_V, C_p → 0。

低温物理，绝热去磁制冷，超导转变

基本热力学关系​

热力学势的全微分。

dU = TdS - pdV + μdN
dH = TdS + Vdp + μdN
dF = -SdT - pdV + μdN
dG = -SdT + Vdp + μdN

内能 U, 焓 H, 自由能 F, 吉布斯自由能 G, 化学势 μ

平衡时，对应的热力学势在约束条件下取极值。

四个基本势对应四组Maxwell关系，联系可测物理量。

推导物质的热力学性质关系（如C_p与C_v差）

响应函数​

描述系统对外界扰动的响应。

1. 热容：C_V = (∂U/∂T)V, C_p = (∂H/∂T)p
2. 压缩率：κ_T = -(1/V)(∂V/∂p)T, κ_S = -(1/V)(∂V/∂p)S
3. 膨胀系数：α_p = (1/V)(∂V/∂T)_p

由二阶导数定义

衡量系统的稳定性，满足不等式：C_V>0, κ_T>0, C_p≥C_V, κ_T≥κ_S

响应函数间有关系：C_p - C_V = TVα_p²/κ_T

物性测量，相变诊断，稳定性分析

热传导​

傅里叶定律：
q​ = -k ∇T
q: 热流密度，k: 导热系数

由分子动理论：
k = (1/3) c_v ρ v λ
（v: 平均速率，λ: 平均自由程）
或声子气体模型：k = (1/3) C v l

热扩散方程：
ρc_p ∂T/∂t = ∇·(k∇T) + Q_v
各向同性均匀：∂T/∂t = α ∇²T + Q_v/(ρc_p)
α = k/(ρc_p): 热扩散率

导热系数 k [W/(m·K)]
热扩散率 α [m²/s]

1. 第一类：T

_s = T_s(t)
2. 第二类：-k ∂T/∂n

对流换热​

牛顿冷却定律：
q_w = h (T_w - T_∞)
h: 对流换热系数

源于流体运动引起的能量输运，h 依赖于流动状态（层流/湍流）、物性、几何。

能量方程（边界层近似）：
u ∂T/∂x + v ∂T/∂y = α ∂²T/∂y² + ν/(c_p) (∂u/∂y)²
（常忽略粘性耗散项）

对流换热系数 h [W/(m²·K)]
Nu = hL/k: 努塞尔数

壁面：无滑移 v=0, T=T_w 或热流连续
主流区：T→T∞, u→U∞

平板层流/湍流边界层、管内充分发展流动（Graetz问题）、自然对流边界层（相似解）

热辐射​

斯蒂芬-玻尔兹曼定律：
q_emit = εσT⁴
普朗克定律：
I_{bλ} = 2hc²/[λ⁵(e^{hc/(λk_BT)}-1)]

电磁波量子（光子）的发射、吸收、散射。黑体辐射是平衡态光子气体。

辐射传递方程(RTE)：
dI_ν/ds = κ_ν(I_bν - I_ν) + (σ_sν/4π)∫ I_νΦ dΩ'
扩散近似：q_rad = -(16σT³/(3β_R))∇T

发射率 ε, 吸收系数 κ, 散射系数 σ_s, 衰减系数 β = κ+σ_s, 斯蒂芬常数 σ

表面辐射：-k ∂T/∂n

_s = εσ(T_s⁴ - T_surr⁴) + 可能的入射辐射

扩散​

菲克第一定律：
J​ = -D ∇c
J: 扩散通量，c: 浓度，D: 扩散系数

由分子无规运动（布朗运动）引起。
爱因斯坦关系：D = μ k_B T
（μ: 迁移率）

扩散方程：
∂c/∂t = D ∇²c + S
与热传导方程形式相同。

扩散系数 D [m²/s]

类似热传导，有浓度、通量、对流边界条件。

一维瞬态扩散、恒定源扩散、扩散层生长

多场耦合输运​

不可逆过程热力学
（Onsager理论）：
Ji = Σ_j L_ij Xj
L_ij: 唯象系数，X_j: 广义力

满足 Onsager 倒易关系：L_ij = L_ji
和居里原理（对称性限制）。

耦合的输运方程组，如：
热-质扩散（Soret/Dufour效应）、热电效应、热弹性耦合。

耦合系数 L_ij
塞贝克系数 S, 佩尔捷系数 Π 等

根据具体耦合现象定义。

热电发电/制冷、交叉扩散分离、热扩散泳

气态​

无固定形状体积，可压缩，分子运动占主导。

满足状态方程，如理想气体：pV = nRT
真实气体：范德瓦尔斯方程等。

理想气体、范德瓦尔斯、维里方程等。

在p-T图上占据高温低压区。

气化/凝华潜热 L = TΔs

理想气体模型、硬球模型、Lennard-Jones流体

液态​

有体积无固定形状，不可压缩（近似），短程有序。

与气相平衡时：μ_l = μ_g, T_l = T_g, p_l = p_g + 2σ/R（弯曲液面）

状态方程复杂，常用经验式或从对应态原理获得。

在p-T图上位于气固之间，存在气液临界点(C)。

熔化/凝固潜热

空穴理论、自由体积模型、微扰理论

固态​

有固定形状体积，不可压缩，长程有序（晶态）或短程有序（非晶）。

力学平衡条件加入应力张量。弹性本构。

晶体有弹性本构：σ_ij = C_ijkl ε_kl。热状态方程：V = V(T, p)。

在p-T图上占据低温高压区。

升华潜热

晶格动力学、德拜模型、弹性理论

一级相变​

有相变潜热，体积、熵等广延量发生突变。

两相化学势相等：μ₁(T, p) = μ₂(T, p)
但化学势的一阶偏导数不等。

在两相区，状态方程不连续（如气液相变的p-V图有水平段）。

相平衡线（如熔化线、汽化线）。

潜热 L = T(s₂ - s₁) ≠ 0

克拉珀龙-克劳修斯方程：dp/dT = L/(TΔv)

二级及连续相变​

无潜热，但热容、压缩率等响应函数发散或突变。

两相化学势及其一阶导数连续，但二阶导数不连续或发散。

状态方程连续，但导数奇异。

在临界点（C）或λ线处发生。

潜热 L = 0

朗道连续相变理论、标度律、重正化群理论

临界现象​

气液临界点附近，涨落关联长度发散，出现普适性。

临界点满足：(∂p/∂V)T = 0, (∂²p/∂V²)T = 0

状态方程满足标度形式。

气液临界点(C)，铁磁居里点。

临界乳光、Opalescence

临界指数（α, β, γ, δ...）、标度律、重正化群

玻璃化转变​

过冷液体动力学冻结为非晶固体，非热力学平衡相变。

非平衡过程，无明确热力学平衡条件。

体积、焓在T_g附近连续变化，但热膨胀系数、热容发生跳变。

在状态图上表现为动力学“冻结线”。

无潜热，但C_p有跳变

自由体积模型、构型熵模型（Adam-Gibbs）、模态耦合理论

温度​

利用物质的物理性质随温度的变化。

1. 热电偶：塞贝克效应，ΔV = S(T) ΔT
2. 热电阻：金属/半导体 R = R₀[1+α(T-T₀)]
3. 辐射测温：普朗克定律，I ∝ 1/[λ⁵(e^{C₂/(λT)}-1)]
4. 声学测温：声速 c = √(γRT/M)

热电偶（K, S, B型）、RTD（Pt100）、热敏电阻、红外热像仪、声学温度计、光纤光栅

ITS-90国际温标，固定点（如三相点、凝固点）、标准温度计（铂电阻、光学高温计）

传感器自热、引线误差、参考端误差、发射率误差、环境辐射、响应时间

工业过程控制、科学实验、设备状态监测、医疗体温

热流​

测量通过单位面积的热功率。

1. 基于傅里叶定律：q = -k ΔT/Δx （利用已知k的材料）
2. 量热法：q = (dQ/dt)/A = (m c dT/dt)/A

梯度型热流计、阻容式热流计、塞贝克型热流计、量热计

标准热流发生器、比较法（与标准热流计比对）

接触热阻、侧向热损、传感器热阻对场的干扰、非一维性

建筑围护结构传热系数测定、工业炉窑热损失评估、电子器件散热测试

热物性​

通过测量温度场或热流响应反演。

1. 导热系数k：稳态法（一维傅里叶定律）、瞬态法（如热线法、激光闪射法）
热线法：ΔT(t) = (q/4πk) ln(t) + C
2. 热扩散率α：激光闪射法，α = 0.1388 L²/t_{½}
3. 比热容c_p：差示扫描量热法(DSC)，ΔQ = m c_p ΔT

防护热板仪、热线/热盘仪、激光闪射仪、差示扫描量热仪(DSC)

标准参考物质（如熔融石英、不锈钢、蓝宝石）

样品制备（接触、均匀性）、边界热损、模型假设偏离、仪器漂移

新材料研发、隔热材料评价、相变材料特性表征

热辐射特性​

测量物体发射、吸收、反射、透射辐射能的能力。

1. 发射率ε：通过与同温度黑体比较辐射能量，ε = L/ L_bb
2. 反射率/吸收率：积分球测量
3. 透射率：分光光度计测量

发射率测量仪、积分球、傅里叶变换红外光谱仪(FTIR)、椭偏仪

标准黑体源、标准反射板、标准透射样品

背景辐射、温度均匀性、角度分布、光谱依赖性

航天器热控涂层、节能玻璃、红外隐身材料、火焰温度场测量

热成像​

将物体表面的温度分布转换为可视图像。

基于普朗克定律，探测物体自身发射的红外辐射，经标定得到温度。

制冷/非制冷型红外焦平面探测器、多光谱/高光谱热像仪

黑体面源、温度均匀性靶标

发射率设定误差、大气衰减、镜头透过率、环境反射、探测器非均匀性

电力设备故障检测、建筑节能审计、医疗诊断、军事侦察

计算流体力学与传热学(CFD/CHT)​

数值求解Navier-Stokes方程与能量方程。

质量、动量、能量守恒的N-S方程组，可加入辐射、燃烧、多相流模型。

FVM（有限体积法）为主，FDM/FEM也可。非结构网格。

SIMPLE/PISO算法、k-ε/k-ω/SST湍流模型、VOF/欧拉-拉格朗日多相流、DO/MC辐射模型。

ANSYS Fluent, STAR-CCM+, OpenFOAM, COMSOL Multiphysics

强：处理复杂几何、非线性、多物理场。弱：计算量大，湍流、多相流模型需验证。

有限元分析(FEA) for 热力耦合​

将连续体离散为有限个单元，求解固体传热、热应力、相变问题。

固体热传导方程、热弹性方程、相场方程。

FEM（有限元法），可自适应网格。

伽辽金加权残值法、Newmark-β法（瞬态）、单元生死法（焊接/增材）、相场法。

ANSYS Mechanical, ABAQUS, MSC Nastran, COMSOL

强：处理复杂固体几何、材料非线性、接触热阻。弱：对流换热边界需简化或耦合CFD。

格子玻尔兹曼方法(LBM)​

在介观尺度求解离散速度的玻尔兹曼方程，恢复宏观N-S方程。

离散速度模型下的玻尔兹曼方程（BGK, MRT碰撞算子）。

规则的 Euler 网格，时间步进显式。

DnQm 离散速度模型、多松弛时间(MRT)、多相流模型（Shan-Chen, Color-Gradient）

Palabos, OpenLB, PowerFLOW (商业)

强：天然并行、易处理复杂边界和多孔介质。弱：高马赫数、可压缩流模拟有挑战。

分子动力学模拟(MD)​

直接求解原子/分子的牛顿运动方程，从微观得到宏观统计量。

牛顿第二定律：m_i d²ri/dt² = Fi = -∇_i U
势函数U：LJ, EAM, Tersoff, ReaxFF等。

原子位置和速度，时间步长飞秒级。

Verlet积分算法、NVE/NVT/NPT系综、Ewald求和（长程力）、非平衡MD（热流计算）。

LAMMPS, GROMACS, Materials Studio

强：从第一性原理获得k、界面热阻等。弱：时间空间尺度极小（nm, ns），计算昂贵。

蒙特卡洛方法(MC)​

基于随机采样来获得系统的统计性质或模拟随机过程。

不直接求解微分方程，通过随机过程（如随机游走）模拟传热、辐射等。

粒子或能量包的位置、状态。

Metropolis-Hastings算法（平衡态）、直接模拟蒙特卡洛(DSMC)（稀薄气体）、蒙特卡洛辐射计算。

自编程为主，MCNP（辐射输运）

强：处理高维、复杂边界、辐射问题有效。弱：结果有统计噪声，收敛可能慢。

系统级热仿真与集总参数​

将复杂系统简化为热阻-热容网络，用常微分方程(ODE)描述。

热网络方程：C_i dT_i/dt = Σ_j (T_j - T_i)/R_ij + Q_i
C: 热容，R: 热阻，Q: 热源。

节点温度，时间离散用ODE求解器。

热阻网络建模、状态空间法、模型降阶。

FloTHERM, Icepak, 6SigmaET, Simulink/AMESim

强：计算快，适用于电子设备、整车、建筑等系统级瞬态分析。弱：忽略内部细节，精度依赖热网络建模。

电子散热​

高功率密度芯片（CPU, GPU）、功率器件（IGBT）的结温控制。

传导（TIM, 基板）、对流（风冷/液冷）、相变（热管/VC）、辐射（次要）。

结温 T_j < T_jmax（~85-125°C），温度均匀性，可靠性（热循环）。

散热器（翅片）、热管/均热板、液体冷却（冷板、喷淋、浸没）、热电制冷、相变材料（PCM）散热。

结壳热阻 R_jc, 壳环热阻 R_ca, 系统热阻 R_sa, 散热功率密度 [W/cm²]

高热导材料（金刚石、石墨烯膜）、高导热TIM、高散热翅片铝/铜、不导电冷却液。

航空航天热控​

太空极端环境（太阳辐照、深冷背景）、高超声速气动加热、设备舱温度控制。

辐射（主控）、传导、相变（吸热）。

设备在轨工作温度范围、再入热防护、减少主动能耗。

热控涂层（低α/高ε）、多层隔热材料(MLI)、热管/环路热管(LHP)、相变储热装置、百叶窗、流体循环回路。

吸收发射比 α/ε, 热平衡温度、再入峰值热流、控温精度。

低放气材料、高发射率涂层、高导热碳纤维、耐高温陶瓷基复合材料(CMC)。

能源动力系统​

内燃机/燃气轮机燃烧室与叶片冷却、电池包热管理、核反应堆堆芯冷却。

对流（强制，沸腾/凝结）、传导、辐射（高温）。

最高温度限制、温度均匀性（电池）、换热效率、系统可靠性。

强化传热表面（肋片、内肋管）、喷雾冷却、热管、冷板、液冷系统、相变储热。

换热系数 h, 压降 Δp, 冷却效率 η_cool, 温差均匀性 ΔT_max。

高温合金、陶瓷涂层、导热增强型PCM、电池热界面材料。

建筑与环境​

建筑围护结构保温、室内热舒适、暖通空调(HVAC)系统能效。

传导、对流（自然/强制）、辐射、相变（潜热储热）。

室内热舒适（温度、湿度）、建筑能耗、绿色建筑标准。

保温材料、Low-E玻璃、相变储能墙体、地源热泵、辐射供暖/供冷、新风热回收。

传热系数U值、热惰性指标、建筑能耗强度、PMV-PPD热舒适指标。

高性能保温材料（真空绝热板VIP、气凝胶）、相变建材、蓄热材料。

生物与医疗热学​

生物组织热响应（热疗、低温手术）、医疗设备热管理、生物材料保存。

传导、对流（血流灌注）、代谢产热。

靶向温度控制、防止健康组织热损伤、保持细胞活性。

射频/微波/超声热疗探头、低温探针、体外循环热交换器、血液/器官保温箱、红外热成像诊断。

热剂量（如CEM43）、冷冻速率、复温速率、温度均匀性。

生物相容性材料、相变储冷剂、低温保护剂。

制造与加工​

焊接、增材制造（3D打印）、切削加工中的温度场与热应力控制。

传导、对流（保护气/冷却液）、辐射（高温）、相变（熔化/凝固）。

控制热影响区、减少残余应力与变形、保证成形质量与性能。

预热/后热、冷却通道、在线测温与闭环控制、热源模型优化（激光/电子束功率分布）。

热输入、冷却速率、熔池尺寸、残余应力分布。

耐高温模具材料、专用冷却润滑液、高性能隔热/导热材料。

微纳尺度传热​

当特征尺度接近或小于声子/电子平均自由程时，热输运的尺寸效应、波动性、弹道性。

傅里叶定律失效，热导率呈现尺寸依赖性，热流与温度梯度非线性。

声子玻尔兹曼方程(PBE)、非傅里叶模型（如CV方程）、声子波动模型、原子格林函数法。

时域热反射法(TDTR)、3ω法、微纳加工的热桥结构、扫描热显微镜(SThM)。

高热导界面材料、热二极管/晶体管、高性能热电材料、纳米器件热管理。

硅纳米线、石墨烯/二维材料、超晶格、纳米多孔材料。

非傅里叶热传导​

热传播速度有限（相对论修正、介质惯性）、超快过程（皮秒-飞秒）中的热响应。

引入热松弛时间，热传导方程由抛物型变为双曲型，可能出现热波。

Cattaneo-Vernotte (CV) 模型：τ ∂q/∂t + q = -k∇T → 双曲热传导方程。
双相滞后(DPL)模型：更普遍。

超快激光泵浦-探测技术、飞秒热反射、太赫兹时域光谱。

超快激光加工、脉冲热成像、生物组织短时热疗、集成电路热分析。

超导薄膜、生物组织、非晶材料、在极低温或极短时间尺度下的任何材料。

声子工程与热超构材料​

通过人工结构（超材料、超表面）调控声子/热流的传播，实现热隐身、热集中、热旋转等新奇功能。

将变换光学思想引入热传导，设计各向异性、非均匀的热导率张量分布。

变换热学方程：∇·(κ' ∇T') = 0， 通过坐标变换联系虚拟空间(κ)和物理空间(κ')。

红外热成像、扫描热显微镜、定制化微纳加工与测量。

热隐身涂层、高效热集中器（太阳能）、热逻辑器件、热信息处理。

多层复合材料、各向异性材料（如石墨）、3D打印定制结构。

量子热力学与量子热输运​

在量子尺度（量子点、分子结）和极低温下，热与功的量子特性、量子相干性、纠缠对热机效率的影响。

能量量子化、量子涨落、量子相干性、量子测量反作用影响热力学过程。

量子主方程、非平衡格林函数(NEGF)、Floquet理论（周期驱动）、全计数统计。

单电子晶体管测温、超导量子干涉仪(SQUID)、量子点热电测量。

量子热机、量子制冷、量子传感、量子信息处理的热管理。

量子点、分子结、超导量子比特、拓扑材料。

活性物质与非平衡统计​

生命系统、自驱动粒子等消耗能量维持的非平衡态，其热力学定律的重新审视与拓展。

系统持续耗散能量，远离平衡态，可能存在稳态甚至有序结构（耗散结构）。

活性粒子模型（如Active Brownian Particle）、随机热力学、大偏差理论、场论方法。

荧光相关光谱、光镊、微流控、高速成像追踪。

理解细胞代谢、组织发育、群体行为、设计活性软物质与微型机器人。

细菌悬浮液、自催化化学反应体系、细胞骨架、人工活性胶体。

界面与跨尺度热输运​

不同材料、不同相、不同维度材料接触界面处的热阻（Kapitza电阻）产生机制与调控。

声子/电子波函数失配、界面缺陷、化学键合状况导致界面成为主要热阻。

声学失配模型(AMM)、扩散失配模型(DMM)、分子动力学模拟、非平衡格林函数。

时域热反射法(TDTR，特别适合测界面热导)、电子束自加热法。

降低芯片封装界面热阻、提高复合材料导热、高效热电器件界面设计。

金属-半导体界面、二维材料异质结、固-液界面、烧结/焊接界面。

第零定律​

若A=B，B=C，则A=C

热平衡的传递性，定义温度

热平衡系统

无相变

第一定律​

dU = δQ - δW

能量守恒

封闭系统

宏观低速

第二定律​

dS ≥ δQ/T

熵增原理

宏观系统

大量粒子

第三定律​

lim(T→0) S = 0

绝对零度不可达

极低温

理想晶体

温度​

T

热平衡的强度量

热力学温度定义

K

压强​

P

单位面积压力

P = F/A

Pa

体积​

V

系统占据空间

几何量

m³

内能​

U

系统总能量

状态函数

J

焓​

H

H = U + PV

等压过程热量

J

熵​

S

混乱度度量

dS = δQ_rev/T

J/K

亥姆霍兹自由能​

F

F = U - TS

等温等容判据

J

吉布斯自由能​

G

G = H - TS

等温等压判据

J

内能全微分​

dU = TdS - PdV

内能是(S,V)的函数

绝热过程

焓的全微分​

dH = TdS + VdP

焓是(S,P)的函数

等压过程

亥姆霍兹自由能​

dF = -SdT - PdV

F是(T,V)的函数

等温等容

吉布斯自由能​

dG = -SdT + VdP

G是(T,P)的函数

等温等压

等容过程​

V = 常数

W = 0

Q = ΔU = nC_VΔT

ΔS = nC_V ln(T₂/T₁)

等压过程​

P = 常数

W = PΔV

Q = ΔH = nC_PΔT

ΔS = nC_P ln(T₂/T₁)

等温过程​

T = 常数

W = nRT ln(V₂/V₁)

Q = W

ΔS = nR ln(V₂/V₁)

绝热过程​

δQ = 0

W = -ΔU

Q = 0

ΔS = 0（可逆）

多方过程​

PV^n = 常数

W = (P₂V₂ - P₁V₁)/(1-n)

Q = ΔU + W

具体计算

热传导​

傅里叶定律

q = -k∇T

热导率k

材料、温度

热对流​

牛顿冷却定律

q = h(T_s - T_f)

对流系数h

流速、物性

热辐射​

斯特藩-玻尔兹曼定律

q = εσ(T_s⁴ - T_∞⁴)

发射率ε

表面特性

微正则系综​

孤立系统

Ω(N,V,E)

熵S

N,V,E

正则系综​

封闭系统

Z(N,V,T)

亥姆霍兹自由能F

N,V,T

巨正则系综​

开放系统

Ξ(μ,V,T)

巨势Ω

μ,V,T

等温等压系综​

等温等压

Δ(N,P,T)

吉布斯自由能G

N,P,T

一级相变​

一阶导数不连续

G

体积V，熵S

熔化、汽化

二级相变​

二阶导数不连续

G及其一阶导

热容C_P，膨胀系数

超导、超流

λ相变​

高阶连续

G及其低阶导

热容发散

氦I-氦II

临界现象​

奇异性

各种响应函数

临界指数

气液相变

理想气体​

PV = nRT

无

高温低压

简单

范德瓦尔斯​

(P + a/V_m²)(V_m - b) = RT

a：分子引力，b：分子体积

中等压力

简单修正

Redlich-Kwong​

P = RT/(V_m-b) - a/[√T V_m(V_m+b)]

a,b：与临界参数相关

中等压力

改进

Soave-RK​

P = RT/(V_m-b) - a(T)/[V_m(V_m+b)]

a(T)温度相关

广泛

工程常用

Peng-Robinson​

P = RT/(V_m-b) - a(T)/[V_m(V_m+b)+b(V_m-b)]

改进临界区

油气行业

准确

维里方程​

PV/RT = 1 + B/V_m + C/V_m² + ...

维里系数B,C,...

理论计算

理论基础

定容热容​

C_V = (δQ/dT)_V

C_V = T(∂S/∂T)_V

等容升温所需热量

C_V = (∂U/∂T)_V

定压热容​

C_P = (δQ/dT)_P

C_P = T(∂S/∂T)_P

等压升温所需热量

C_P = (∂H/∂T)_P

热膨胀系数​

α = (1/V)(∂V/∂T)_P

α = 热膨胀率

温度变化引起的体积变化

α > 0通常

等温压缩率​

κ_T = -(1/V)(∂V/∂P)_T

κ_T = 体积压缩性

压力变化引起的体积变化

κ_T > 0

绝热压缩率​

κ_S = -(1/V)(∂V/∂P)_S

κ_S = 绝热压缩性

绝热过程中体积变化

κ_S < κ_T

线性响应​

接近平衡

流=系数×力

近平衡

线性唯象律

非线性​

远离平衡

复杂非线性关系

远离平衡

非线性方程

扩展不可逆​

有记忆效应

流与力的历史相关

快速过程

微分方程

理性热力学​

无特殊假设

基于一般原理

广泛

复杂本构

热传导​

傅里叶定律

∂T/∂t = α∇²T

傅里叶数Fo = αt/L²

几何、边界相似

热对流​

牛顿冷却+能量方程

ρc_p(∂T/∂t+v·∇T) = k∇²T

努塞尔数Nu = hL/k

Re, Pr, Gr相似

热辐射​

辐射传递方程

dI/ds = -βI + j

辐射数Rd = σT⁴L/kΔT

光学厚度相似

质量传递​

菲克定律+对流扩散

∂C/∂t+v·∇C = D∇²C

舍伍德数Sh = kL/D

Re, Sc相似

沸腾传热​

汽泡生成、脱离

热流密度q，过热度ΔT

Rohsenow公式

锅炉、蒸发器

冷凝传热​

液膜形成、流动

冷凝液膜厚度δ，Re

Nusselt理论

冷凝器

熔化和凝固​

相界面移动

斯蒂芬数Ste，傅里叶数Fo

斯蒂芬问题

铸造、相变储能

升华和凝华​

直接相变

质量流率，驱动力

类似扩散

冷冻干燥

麦克斯韦-玻尔兹曼​

可区分粒子

Z = (Z_1)^N/N!

f(ε) = g e^{-βε}

经典极限

玻色-爱因斯坦​

全同玻色子

Ξ = Π_i 1/(1-e^{-β(ε_i-μ)})

f_BE = 1/(e^{β(ε-μ)}-1)

光子、声子

费米-狄拉克​

全同费米子

Ξ = Π_i (1+e^{-β(ε_i-μ)})

f_FD = 1/(e^{β(ε-μ)}+1)

电子、质子

热导率​

k = -q/∇T

声子输运、电子输运

稳态法、瞬态法

温度、结构

热扩散率​

α = k/(ρc_p)

能量输运速率

激光闪射法

温度、相

比热容​

c_p = (δQ/dT)_P

德拜模型、爱因斯坦模型

量热法

温度、相变

热膨胀系数​

α = (1/L)dL/dT

非简谐振动

膨胀仪

温度、结构

发射率​

ε = E/E_b

表面特性、温度

辐射计

表面状态

卡诺循环​

等温膨胀、绝热膨胀、等温压缩、绝热压缩

η = 1 - T_C/T_H

最高效率

理论极限

朗肯循环​

等压加热、绝热膨胀、等压冷凝、绝热压缩

η = 1 - (h₄-h₁)/(h₃-h₂)

蒸汽动力

发电厂

奥托循环​

等容加热、绝热膨胀、等容放热、绝热压缩

η = 1 - 1/r^{γ-1}

火花点火

汽油机

狄塞尔循环​

等压加热、绝热膨胀、等容放热、绝热压缩

η = 1 - (1/r^{γ-1})[(ρ^γ-1)/(γ(ρ-1))]

压燃点火

柴油机

布雷顿循环​

等压加热、绝热膨胀、等压冷却、绝热压缩

η = 1 - 1/r_p^{(γ-1)/γ}

气体动力

燃气轮机

尺寸效应​

特征尺度~1μm-1nm

表面积/体积比增大

边界条件变化

传热增强

量子限制​

特征尺度~德布罗意波长

能级量子化

薛定谔方程

热容变化

边界散射​

平均自由程~特征尺度

声子边界散射

玻尔兹曼方程

热导率降低

近场辐射​

间距<热波长

倏逝波贡献

涨落电动力学

辐射增强

生物产热​

新陈代谢

q_met = q_bas + q_act

基础代谢率

体温调节

热传递​

传导、对流、辐射、蒸发

生物热方程

热导率、血流率

热舒适

热调节​

血管舒张/收缩、出汗

反馈控制方程

调定点、增益

恒温生物

热损伤​

蛋白质变性

Arrhenius方程

活化能、频率因子

热疗、烧伤

信息熵​

H = -Σ p_i log p_i

不确定性的度量

统计熵的推广

信息论

兰道尔原理​

W ≥ kT ln2

擦除1bit信息的最小功

热力学极限

计算热力学

麦克斯韦妖​

信息获取→熵减

信息与熵的关系

解决佯谬

反馈控制

涨落定理​

P(+σ)/P(-σ) = e^{σ/k}

熵产生涨落

非平衡统计

小系统

玻尔兹曼方程​

∂f/∂t + v·∇f + F·∇v f = (∂f/∂t)coll

稀薄气体

矩方法、模型方程

输运系数

福克-普朗克方程​

∂P/∂t = -∂(AP)/∂x + (1/2)∂²(BP)/∂x²

随机过程

特征函数法

分布演化

朗之万方程​

m dv/dt = -γv + F(t) + ξ(t)

布朗运动

随机微分方程

扩散系数

格林-久保公式​

L = (1/kT) ∫_0^∞ ⟨J(t)J(0)⟩ dt

线性响应

关联函数

输运系数

平均场理论​

自发磁化强度

α=0, β=1/2, γ=1, δ=3

满足标度律

高维、长程

二维伊辛模型​

自发磁化强度

α=0, β=1/8, γ=7/4, δ=15

精确解

二维磁系统

三维伊辛模型​

自发磁化强度

α≈0.12, β≈0.33, γ≈1.24, δ≈4.8

数值结果

三维磁系统

标度理论​

广义序参数

标度关系

标度假设

普遍行为

阿伏伽德罗常数​

N_A

1摩尔物质的粒子数

6.022×10²³

mol⁻¹

玻尔兹曼常数​

k

R/N_A

1.381×10⁻²³

J/K

理想气体常数​

R

通用气体常数

8.314

J/(mol·K)

斯特藩常数​

σ

黑体辐射常数

5.67×10⁻⁸

W/(m²·K⁴)

第一辐射常数​

c₁

2πhc²

3.7418×10⁻¹⁶

W·m²

第二辐射常数​

c₂

hc/k

1.4388×10⁻²

m·K

标准大气压​

P₀

标准大气压

1.01325×10⁵

Pa

标准温度​

T₀

标准温度

273.15

K

标准摩尔体积​

V_m0

标准状态下摩尔体积

22.414×10⁻³

m³/mol

临界压缩因子​

Z_c

P_cV_c/(RT_c)

0.2-0.3（实际气体）

无量纲

绝热指数​

γ

C_P/C_V

1.4（空气），1.67（单原子）

无量纲

普朗特数​

Pr

ν/α

0.7（空气），7（水）

无量纲

施密特数​

Sc

ν/D

~1（气体），~1000（液体）

无量纲

路易斯数​

Le

α/D

~1（气体）

无量纲

努森数​

Kn

λ/L

<0.01（连续介质）

无量纲

内能U​

dU = TdS - PdV

S, V

(∂T/∂V)S = -(∂P/∂S)V

焓H​

dH = TdS + VdP

S, P

(∂T/∂P)S = (∂V/∂S)P

亥姆霍兹自由能F​

dF = -SdT - PdV

T, V

(∂S/∂V)T = (∂P/∂T)V

吉布斯自由能G​

dG = -SdT + VdP

T, P

(∂S/∂P)T = -(∂V/∂T)P

巨势Ω​

dΩ = -SdT - PdV - Ndμ

T, V, μ

相应关系

空气(300K)​

1.1614

1007

0.0263

2.25×10⁻⁵

3.33×10⁻³

水(300K)​

997.0

4179

0.613

1.47×10⁻⁷

2.57×10⁻⁴

铝(300K)​

2702

903

237

9.71×10⁻⁵

2.31×10⁻⁵

铜(300K)​

8933

385

401

1.16×10⁻⁴

1.67×10⁻⁵

钢(300K)​

7854

434

60.5

1.77×10⁻⁵

1.20×10⁻⁵

玻璃(300K)​

2500

750

1.4

7.47×10⁻⁷

9.0×10⁻⁶

木材(松木)​

640

1210

0.12

1.55×10⁻⁷

5.0×10⁻⁶

聚苯乙烯​

1050

1210

0.08

6.28×10⁻⁸

7.0×10⁻⁵

玻尔兹曼常数

k

1.380649×10⁻²³

J/K

普朗克常数

h

6.62607015×10⁻³⁴

J·s

约化普朗克常数

ħ

1.054571817×10⁻³⁴

J·s

阿伏伽德罗常数

N_A

6.02214076×10²³

mol⁻¹

理想气体常数

R

8.314462618

J/(mol·K)

斯特藩-玻尔兹曼常数

σ

5.670374419×10⁻⁸

W/(m²·K⁴)

第一辐射常数

c₁

3.741771852×10⁻¹⁶

W·m²

第二辐射常数

c₂

1.438776877×10⁻²

m·K

真空光速

c

299792458

m/s

标准大气压

atm

101325

Pa

标准温度

T_0

273.15

K

标准重力加速度

g

9.80665

m/s²

宏观连续介质理论​

忽略物质原子结构，将物质视为连续充满空间的介质场，用场函数（密度、速度、温度、应力等）描述

1. 质量守恒（连续性方程）
2. 动量守恒（Cauchy动量方程）
3. 能量守恒（热力学第一定律）
4. 熵不等式（热力学第二定律）

偏微分方程组（PDEs）：
∂(·)/∂t + ∇·(·) = 源项

宏观尺度 >> 分子平均自由程
特征长度 L ≫ 分子尺寸

矢量分析、张量分析、场论、偏微分方程

本构关系需微观理论提供物理基础；连续介质方程是统计力学动理论方程的矩方程

微观统计力学​

从分子运动论出发，用分布函数描述粒子状态，宏观量是相应微观量的统计平均

1. Liouville方程（经典）
2. Boltzmann方程（稀薄气体）
3. 量子统计分布（Fermi-Dirac, Bose-Einstein）

积分-微分方程或代数方程：
分布函数演化方程

微观→介观尺度，可描述非平衡、稀薄效应

概率论、动力学理论、泛函分析、蒙特卡洛方法

通过Chapman-Enskog展开等可推导出连续介质方程及输运系数表达式

质量守恒​

d/dt ∫CV ρ dV + ∫CS ρ(v​ - v_CS)·n​ dA = 0
（CV：控制体，CS：控制面）

连续性方程：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
或 Dρ/Dt + ρ∇·v​ = 0
（D/Dt为物质导数）

ρ: 密度
v: 速度场
n: 控制面外法向单位矢量

控制体内质量的增加率等于净流入的质量流率

1. 定常流：∇·(ρv) = 0
2. 不可压缩流：∇·v​ = 0
3. 一维定常管流：ρ₁v₁A₁ = ρ₂v₂A₂

线动量守恒​

d/dt ∫CV ρv​ dV + ∫CS ρv(v​ - vCS)·n​ dA = ∫CV ρfb dV + ∫CS t​ dA
（f_b: 体积力，t: 面力矢量）

Cauchy动量方程：
ρ Dv/Dt = ∇·σ​ + ρf_b
σ: Cauchy应力张量

σ: 应力张量
f_b: 体积力密度（如重力）
t​ = σ·n: 牵引力矢量

控制体内动量的增加率等于净流入的动量流率加上作用其上的合力

1. Euler方程（无粘流体）：σ​ = -pI​ → ρ Dv/Dt = -∇p + ρf_b
2. Navier-Stokes方程（牛顿流体）：σ​ = -pI​ + τ, τ=μ[∇v+(∇v)^T] + λ(∇·v)I​

能量守恒
（热力学第一定律）

d/dt ∫CV ρ(e + ½v²) dV + ∫CS ρ(e + ½v²)(v​ - vCS)·n​ dA = ∫CV ρfb·v​ dV + ∫CS t·v​ dA - ∫CS q·n​ dA + ∫CV ρQ dV
（e: 比内能，q: 热流矢量，Q: 内热源）

总能量方程：
ρ D(e + ½v²)/Dt = ∇·(σ·v) - ∇·q​ + ρ(f_b·v​ + Q)

e: 比内能
q: 热流矢量
Q: 内热源强度（W/kg）
h = e + p/ρ: 比焓

控制体内（内能+动能）的增加率等于：净流入的能流 + 体积力功 + 面力功 + 净热传导 + 内热源

1. 机械能方程：由动量方程点乘v得到，描述动能变化
2. 内能方程：总能方程减机械能方程：
ρ De/Dt = σ:∇v​ - ∇·q​ + ρQ
3. 焓方程：ρ Dh/Dt = Dp/Dt + τ:∇v​ - ∇·q​ + ρQ

熵不等式
（热力学第二定律）

d/dt ∫CV ρs dV + ∫CS ρs(v​ - vCS)·n​ dA ≥ -∫CS (q/T)·n​ dA + ∫_CV (ρQ/T) dV
（s: 比熵）

熵方程：
ρ Ds/Dt + ∇·(q/T) - ρQ/T = γ ≥ 0
γ: 熵产率（≥0）

s: 比熵
T: 绝对温度
γ: 熵产率（W/(m³·K)）

熵的增加率不小于熵的净流入率加内热源产生的熵流；γ≥0给出了过程方向性限制

Clausius-Duhem不等式（本构关系必须满足的条件）

弹性固体
（小变形）

广义胡克定律：
σ​ = C:ε
或 σ_ij = C_ijkl ε_kl
ε​ = ½[∇u​ + (∇u)^T]

通常与温度相关：
ρ = ρ₀[1 - 3α(T - T₀)]
e = c_v T + e₀
s = c_v ln(T/T₀) + s₀

q​ = -k ∇T
（k: 导热系数）

Duhamel-Neumann定律
（热弹性）：
σ​ = C:(ε​ - αΔTI)

C: 四阶弹性张量
α: 线膨胀系数
c_v: 定容比热容
k: 导热系数

牛顿流体​

牛顿粘性定律：
σ​ = -pI​ + τ
τ​ = μ[∇v​ + (∇v)^T] + λ(∇·v)I
常设 λ = -2μ/3 (Stokes假设)

可压缩流：理想气体状态方程 p = ρRT
或更一般的 f(p, ρ, T) = 0
不可压缩流：ρ = 常数

q​ = -k ∇T

牛顿冷却定律（对流换热边界）：
q_w = h(T_w - T_∞)

μ: 动力粘度
λ: 第二粘度
h: 对流换热系数

非牛顿流体​

广义牛顿流体：
τ​ = η(‖D‖) D
D​ = ½[∇v​ + (∇v)^T]（应变率张量）
1. 幂律流体：η = m ‖D‖ⁿ⁻¹
2. Bingham塑性：η = ∞ 当 ‖τ‖ < τ_y；否则 τ​ = [τ_y/‖D‖ + μ_p] D​

通常密度变化小，近似不可压缩

q​ = -k ∇T

常假设粘度与温度相关：
η = η₀ exp[E_a/(RT)] (Arrhenius型)

m: 稠度系数
n: 幂律指数
τ_y: 屈服应力
μ_p: 塑性粘度

粘弹性材料​

微分型（Maxwell, Kelvin-Voigt模型）或积分型（Boltzmann叠加原理）
例：Maxwell模型：
D​ = (1/2G) τ̇ + (1/2η) τ
（D: 偏应变率张量，τ: 偏应力张量）

可能需要考虑热膨胀和比热随T的变化

q​ = -k ∇T

松弛时间与温度相关（时温等效原理）：
a_T = exp[E_a/R (1/T - 1/T_ref)]

G: 剪切模量
η: 粘度
E_a: 活化能
a_T: 移位因子

理想气体​

无剪切应力（τ=0），σ​ = -pI​

理想气体状态方程：
p = ρRT
比内能：e = c_v T, c_v = R/(γ-1)
比焓：h = c_p T, c_p = γR/(γ-1)
γ = c_p/c_v: 比热比

q​ = -k ∇T

Sutherland粘度公式：
μ = μ₀ (T/T₀)^(3/2) (T₀+S)/(T+S)
S: Sutherland常数

R: 气体常数
γ: 比热比
c_v, c_p: 比热容

可压缩流体
（完全气体）​

同牛顿流体

除 p=ρRT 外，还需：
内能/焓：e = c_v T, h = c_p T
熵：s₂ - s₁ = c_p ln(T₂/T₁) - R ln(p₂/p₁)
声速：c = √(γRT)

q​ = -k ∇T

与理想气体相同，但考虑输运系数(μ, k)随T变化

同理想气体，且c为声速

固体热传导
（Fourier传导）

物体内部温度场分布与演化

热扩散方程：
ρc ∂T/∂t = ∇·(k∇T) + Q_v
1. 各向同性： ρc ∂T/∂t = k∇²T + Q_v
2. 稳态无源： ∇²T = 0（Laplace方程）

α = k/(ρc)：热扩散率
Fo = αt/L²：傅里叶数
Bi = hL/k：毕渥数

1. 第一类(Dirichlet)：T

_s = T_s
2. 第二类(Neumann)：-k∂T/∂n

对流换热
（流体与固体表面）

流体运动引起的热量传递

能量方程（以温度表示）：
ρc_p (∂T/∂t + v·∇T) = ∇·(k∇T) + τ:∇v​ + βT Dp/Dt + Q_v
（常忽略粘性耗散与压力功）

Re = ρUL/μ：雷诺数
Pr = μc_p/k：普朗特数
Nu = hL/k：努塞尔数
Gr = gβΔT L³/ν²：格拉晓夫数

速度无滑移：v

_s = 0
温度连续：T_f

热辐射​

电磁波传递热量

辐射传递方程(RTE)：
dI_ν/ds = κ_ν (I_bν - I_ν) + σ_sν/(4π)∫ I_ν(Ω')Φ(Ω',Ω) dΩ'
（I_ν: 辐射强度，κ_ν: 吸收系数，σ_sν: 散射系数，I_bν: 黑体辐射强度）

Stefan-Boltzmann定律：q_rad = εσ(T⁴ - T_surr⁴)
Planck分布：I_bλ = 2hc²/[λ⁵(e^{hc/(λk_BT)}-1)]
Wien位移定律：λ_max T = b

表面辐射边界：
-k ∂T/∂n

_s = εσ(T_s⁴ - T_surr⁴)
+ 可能的入射辐射

多相流传热
（相变，凝结/沸腾）

伴随相变（气液、液固）的热量传递

在相界面处需满足：
1. 质量守恒：ρ_l(vl - vi)·n​ = ρ_v(vv - vi)·n​ = ṁ''
2. 能量守恒：k_l ∇T_l·n​ - k_v ∇T_v·n​ = ṁ'' h_fg
3. 动量（可能简化）：p_v - p_l = σ(1/R₁+1/R₂) + 其他力

h_fg：相变潜热
Ja = c_p ΔT/h_fg：雅各布数
Bo = (ρ_l-ρ_v)gL²/σ：邦德数
We = ρv²L/σ：韦伯数

在相界面：温度连续 T_i = T_sat(p)
远离界面：单相流边界条件

1. Nusselt层流膜状凝结理论
2. 池沸腾曲线（自然对流→核态沸腾→过渡沸腾→膜态沸腾）
3. Stefan问题（一维凝固/熔化）

多孔介质传热传质​

流体在固体骨架内的流动与换热

局部体积平均方程：
连续性：∂(ερ_f)/∂t + ∇·(ερ_fvf) = 0
动量（Darcy-Forchheimer方程）：
-∇p = (μ/K)vf + (C_Fρ_f/√K)|vf|vf
能量（局部非热平衡模型）：
固体：(1-ε)(ρc)s ∂T_s/∂t = ∇·[(1-ε)k_s∇T_s] + h_v(T_f - T_s)
流体：ε(ρc_p)f ∂T_f/∂t + (ρc_p)fvf·∇T_f = ∇·(εk_f∇T_f) - h_v(T_f - T_s)

ε: 孔隙率
K: 渗透率
C_F: Forchheimer系数
h_v: 流体-固体内换热系数
Da = K/L²: 达西数

入口/出口压力或速度，温度边界

1. 纯导热（有效导热系数模型）
2. 强制对流（Brinkman-Forchheimer扩展）
3. 自然对流（Rayleigh数修正）

热应力与耦合​

温度变化引起变形与应力，反之应力也影响温度场

耦合方程组：
1. 热弹性本构：σ​ = C:(ε​ - αΔTI)
2. 能量方程（含热弹性耦合项）：
ρc_v ∂T/∂t = -∇·q​ + Q_v + βT₀ ∂(trε)/∂t
3. 运动方程：∇·σ​ + ρf_b = ρ∂²u/∂t²

α: 热膨胀系数
β = αE/(1-2ν): 热应力系数（各向同性）
η_th = (1+ν)αE/[(1-ν)k]: 热弹性耦合系数

力学边界：力或位移边界
热边界：温度或热流边界
初始温度场与位移场

1. 一维杆件受热（约束与自由膨胀）
2. 厚壁圆筒/球壳的热应力分布
3. 热冲击问题（动态热应力）

经典统计力学
（平衡态）

正则分布概率：
ρ(p, q) = exp[-βH(p,q)] / Z
Z = ∫ exp[-βH(p,q)] dΓ (配分函数)
β = 1/(k_B T)

相空间分布函数 ρ(p, q)
哈密顿量 H(p,q) = K + U

内能：U = -∂lnZ/∂β
熵：S = k_B (lnZ - β∂lnZ/∂β)
压力：p = k_B T ∂lnZ/∂V

通过配分函数Z可导出状态方程（如理想气体pV=Nk_BT）和热力学性质

1. 理想气体模型
2. 谐振子模型（固体比热）
3. 平均场理论

分子动理论
（非平衡态）

Boltzmann方程：
∂f/∂t + v·∇r f + (F/m)·∇v f = (∂f/∂t)_coll
f(r, v, t): 速度分布函数

单粒子分布函数 f(r, v, t)
碰撞项(∂f/∂t)_coll = ∫∫ (f'f₁' - ff₁) gσ dΩ d³v₁

数密度：n = ∫ f d³v
宏观速度：u​ = (1/n) ∫ v​ f d³v
温度：T = (m/(3k_B n)) ∫ (v​ - u)² f d³v
应力张量：P_ij = m ∫ (v_i-u_i)(v_j-u_j) f d³v

Chapman-Enskog展开：
f = f⁽⁰⁾ + Kn f⁽¹⁾ + ...
零阶f⁽⁰⁾（Maxwellian）→ Euler方程
一阶f⁽¹⁾ → Navier-Stokes方程，并给出μ, k表达式

1. BGK模型方程：简化碰撞项
2. 矩方法：求解分布函数的矩方程
3. 直接模拟蒙特卡洛(DSMC)：稀薄气体

量子统计
（平衡态）

Fermi-Dirac分布：
f_FD(ε) = 1 / [exp((ε-μ)/(k_B T)) + 1]
Bose-Einstein分布：
f_BE(ε) = 1 / [exp((ε-μ)/(k_B T)) - 1]

分布函数 f(ε)， ε为单粒子能级
μ为化学势

总粒子数：N = Σ_i g_i f(ε_i)
内能：U = Σ_i g_i ε_i f(ε_i)
熵：S = -k_B Σ_i g_i [f ln f ± (1∓f)ln(1∓f)] （上为FD，下为BE）

在高温经典极限下，均退化为Maxwell-Boltzmann分布

1. 自由电子气模型（金属比热、导电）
2. 声子气体模型（Debye比热模型）
3. 光子气体（黑体辐射）

非平衡态
量子输运​

量子Boltzmann方程​ 或 密度矩阵方程（量子Liouville方程）
∂ρ/∂t = -i/ħ [H, ρ] + (∂ρ/∂t)_coll
ρ: 密度矩阵

密度矩阵 ρ
哈密顿算符 H
碰撞算符 (∂ρ/∂t)_coll

电流：J​ = Tr[J​ ρ]
热流：q​ = Tr[q​ ρ]
（J, q为相应算符）

通过Wigner变换等可连接到半经典Boltzmann方程

1. Keldysh非平衡格林函数
2. 量子主方程
3. 非弹性散射模型​

量纲分析与相似​

Buckingham π定理：物理规律不依赖于单位制，N个物理量，r个基本量纲，则有(N-r)个独立无量纲数。

现象由相同的控制方程和单值性条件描述。

指导实验（模型实验）、简化方程、理解物理主导机制。

将物理关系表达为无量纲数之间的函数：
Π₁ = f(Π₂, Π₃, ...)

Re, Pr, Gr, Nu, Fo, Bi, 等

集总参数法​

忽略系统内部空间分布，用常微分方程(ODE)描述整体随时间变化：
ρcV dT/dt = -hA(T - T_∞) + Q

系统内部热阻 ≪ 外部换热热阻，即 Bi = h(V/A)/k ≪ 0.1。

小型物体在强对流或强制冷却中；电子元件瞬态温升初步估算。

温度指数趋近：
T(t) - T∞ = [T₀ - T∞] exp(-t/τ)
时间常数 τ = ρcV/(hA)

毕渥数 Bi

边界层近似​

在壁面附近薄层内，保留法向二阶导，切向简化：
连续性：∂u/∂x + ∂v/∂y = 0
x动量：u∂u/∂x + v∂u/∂y = -1/ρ dp/dx + ν∂²u/∂y²
能量：u∂T/∂x + v∂T/∂y = α∂²T/∂y²

边界层厚度 δ ≪ 特征长度L；法向速度 ≪ 切向速度；法向压力梯度≈0。

平板、楔形物体等外部绕流；管内入口段流动与换热。

相似解（Blasius解， Falkner-Skan方程）
积分方程（Karman-Pohlhausen法）

雷诺数 Re_x， 普朗特数 Pr

摄动法​

将解展开为小参数ε的幂级数：
f = f₀ + ε f₁ + ε² f₂ + ...
代入方程，按ε的幂次分离求解。

存在小参数（如滑移系数Kn， 马赫数Ma， 曲率小量等）。

微弱稀薄气体效应（滑移流）、低马赫数可压缩流、几何微扰问题。

得到各阶修正解f₀, f₁, f₂...， 零阶解通常是对应的简单问题。

克努森数 Kn， 马赫数 Ma， 曲率比 ε

数值方法​

将连续PDE离散为代数方程组：
1. 有限差分(FDM)：泰勒展开离散导数。
2. 有限体积(FVM)：对控制体积积分守恒方程。
3. 有限元(FEM)：加权残值法，构造弱形式。

连续介质假设成立；网格足够细密；时间步长满足稳定性条件。

复杂几何、非线性、多物理场耦合问题。

大型稀疏线性/非线性方程组，需迭代求解。

网格雷诺数 Re_Δ， 库朗数 CFL = uΔt/Δx

变分法与能量法​

基于最小势能原理或虚功原理：
δΠ = 0, 其中Π为总势能（应变能+外力功）。
或基于能量守恒建立近似ODE。

适用于保守系统或可写出能量表达式的系统。

结构稳定性（欧拉屈曲）、振动频率（Rayleigh法）、传热路径优化。

特征值问题（屈曲载荷、固有频率）或最优形状/路径。

欧拉数（屈曲）， 斯特劳哈尔数 St（振动）

计算流体力学与传热学(CFD/CHT)​

数值求解完整的NS方程+能量方程+湍流模型+辐射模型等。

1. 湍流模型（RANS: k-ε, k-ω, SST; LES; DNS）
2. 多相流模型（VOF, 欧拉-拉格朗日）
3. 动网格与流固耦合(FSI)​

极端复杂几何下的流动、换热、化学反应、相变等多物理场问题。

传统解析/半解析解的特例或验证基准。

发动机燃烧室、飞机气动加热、电子设备散热、化学反应器。

微纳尺度传热​

1. 弹道输运：热流 q = 1/4 Σ ħω v_g D(ω) ΔN
2. 声子玻尔兹曼方程(PBE)：类似气体动理论。
3. 非傅里叶效应：Cattaneo-Vernotte方程 τ_q ∂q/∂t + q = -k∇T。

特征长度 ≲ 声子/载流子平均自由程， Fourier定律失效。

纳米器件自热、超快激光加热、近场辐射换热、低维材料热导。

当特征尺度 >> 平均自由程时，回归到傅里叶定律。

芯片热管理、热电材料、扫描热显微镜、超快热测量。

非傅里叶热传导模型​

双相位滞后(DPL)模型：
q(r, t+τ_q) = -k∇T(r, t+τ_T)
泰勒展开至一阶：
q + τ_q ∂q/∂t = -k(∇T + τ_T ∂∇T/∂t)
结合能量方程得双曲型热传导方程。

引入了热流滞后时间τ_q和温度梯度滞后时间τ_T，描述有限的热传播速度。

超短脉冲激光加热（皮秒、飞秒级）、低温超导、生物组织加热。

τ_q, τ_T → 0时，退化为经典傅里叶定律。

激光加工、肿瘤热疗、脉冲热成像检测。

分子动力学模拟(MD)​

求解牛顿运动方程：
m_i d²ri/dt² = Fi = -∇i U({r}j)
U: 原子间势能（Lennard-Jones, EAM, Tersoff等）。

从原子间势出发，直接模拟原子运动轨迹，统计得到宏观量（温度、压力、热流等）。

纳米尺度导热、相变机理、界面热阻、材料力学性能。

宏观连续介质理论的本构关系（如状态方程、导热系数）可通过MD模拟获得。

碳纳米管/石墨烯热导、硅薄膜热特性、界面声子散射。

格子玻尔兹曼方法(LBM)​

离散速度空间上的玻尔兹曼方程：
f_i(x+e_iΔt, t+Δt) - f_i(x, t) = Ω_i
Ω_i: 碰撞算子（常用BGK模型）。

介观方法，易于并行，处理复杂边界和多相流优势明显。

多孔介质流动、多相流、微流动、生物流体。

通过Chapman-Enskog展开，可证明LBM在宏观上恢复NS方程。

燃料电池扩散层流动、血流模拟、颗粒悬浮流。

热设计优化方程​

1. 熵产最小化(EGM)：
Ṡ_gen = ∫ (q·∇(1/T) dV + 其他不可逆项) 最小化。
2. 构形理论：优化传热路径的几何构形（如分形流道）。

从热力学第二定律（最小熵产）或最优结构角度指导设计。

换热器流道设计、电子设备散热翅片布置、高效隔热结构。

为传统基于“强化传热”的设计提供了更深层次的热力学理论指导。

高性能散热器、紧凑式换热器、航空航天热防护系统。

声子​

晶格振动的能量量子，是绝缘体/半导体中热传导的主要载体。

1. 声子-声子散射：由晶格非谐性（势能展开的三次及更高次项）引起。
• 倒逆（Umklapp, U-）过程：产生本征热阻。
• 非倒逆（Normal, N-）过程：不直接产生热阻，但影响声子分布。
2. 声子-缺陷散射：杂质、同位素、点缺陷引起的散射。
3. 声子-边界散射：样品尺寸小于声子平均自由程时主导。

q​ = (1/3) Σ_s ∫ ħω_s(k) vg,s(k) f_s(k) dk
f: 声子分布函数， vg: 声子群速度

κ_ph = (1/3) C_v v_g Λ
（C_v: 声子比热， v_g: 声子平均群速度， Λ: 声子平均自由程）

高温区（T > Θ_D）：κ_ph ∝ 1/T （U过程主导）
低温区（T < Θ_D）：κ_ph ∝ T³ （边界散射主导）

电子​

金属中的自由电子，是金属中热传导的主要载体（通常也主导电导）。

1. 电子-电子散射：通常较弱。
2. 电子-声子散射：高温下主导。
3. 电子-缺陷/杂质散射：低温下主导。

q​ = (1/3) C_e v_F Λ_e
C_e: 电子比热， v_F: 费米速度， Λ_e: 电子平均自由程

κ_e = L σ T （魏德曼-弗朗兹定律）
L: 洛伦兹数（~2.44×10⁻⁸ W·Ω/K²）， σ: 电导率

纯金属高温：κ_e ∝ 1/T （电子-声子散射）
纯金属低温：κ_e ∝ T （电子-缺陷散射）

磁振子​

磁性材料中自旋波的能量量子。

磁振子-磁振子散射， 磁振子-声子散射。

与声子类似，形式为 q ∝ ∇T

κ_mag 通常远小于 κ_ph 和 κ_e，仅在极低温下对某些材料有显著贡献。

复杂，依赖磁有序类型和温度。

光子​

高温下，固体中电磁辐射的传热。

材料的吸收/散射/发射特性。

q​ = (16/3) σ n² T³ l_r ∇T （Rosseland扩散近似）
n: 折射率， l_r: 光子平均自由程， σ: 斯蒂芬常数

κ_rad = (16/3) σ n² T³ l_r

κ_rad ∝ T³ （在光学厚介质中）

晶体（单晶）​

原子在三维空间呈长程周期性有序排列。

钻石、硅、蓝宝石、铜、铝

1. 绝缘体/半导体：声子。
2. 金属：电子。

钻石：~2000
硅：~150
铜：~400

• 声子/电子平均自由程长。
• 本征热阻来自声子-声子散射（U过程）或电子-声子散射。
• 高热导率， 高度各向异性（如石墨：面内 ~2000， 面间 ~10）。

多晶​

由大量晶粒（小单晶）和晶界组成。晶粒内有序，晶界处无序。

大多数金属、陶瓷（如氧化铝）、多晶硅

1. 金属：电子（晶界散射降低κ）。
2. 陶瓷/半导体：声子（晶界散射起主要作用）。

多晶铜：~350-380
多晶氧化铝：~30

• 晶界是声子和电子的主要散射中心。
• 热导率通常低于同成分单晶。
• 晶粒尺寸越小，晶界密度越高，热导率通常越低（特别是对声子传热材料）。

非晶/无定形​

原子排列短程有序，但无长程序。

玻璃、聚合物、非晶合金、非晶硅

主要为声子，但传播模式与晶体不同（扩散振动模式为主）。

玻璃：~1
非晶硅：~1-2
聚合物：0.1-0.5

• 声子平均自由程被限制在原子尺度（~几个原子间距）。
• 热导率低，对温度不敏感（近乎常数）。
• 通常表现为导热绝缘体。

准晶​

具有长程取向序（原子排列对称性高，如五次对称）但无平移周期性。

Al-Mn合金、Al-Cu-Fe合金等

主要为声子，传导机理复杂。

与金属玻璃相当，较低，~1-10

• 独特的结构导致不寻常的声子态密度和输运性质。
• 热导率一般介于晶体与非晶之间。

低维材料​

在一个或多个维度上尺寸减小到纳米尺度，量子限域效应显著。

石墨烯、碳纳米管、二维材料（MoS₂）、纳米线

1. 碳基：声子主导，性能卓越。
2. 其他：声子或电子，取决于材料。

石墨烯：~2000-5000（面内）
碳纳米管：~3000
硅纳米线：~1-10（直径依赖）

• 表面/边界散射效应极强，显著降低声子平均自由程。
• 声子谱改变（量子限域）。
• 高热导率潜力，但强烈依赖维度、尺寸和边界粗糙度。

本征散射​

声子-声子散射（倒逆过程，U-process）

Λ_U ∝ 1/T （高温下）

κ_ph ∝ 1/T （高温下）

显著

纯净、完美的单晶在高温下。

点缺陷散射​

同位素、杂质原子、空位、间隙原子等原子尺度的缺陷。

Λ_point 与温度无关或弱相关。

κ ∝ 1/N_point， N_point为点缺陷浓度。

低温下主导

掺杂半导体、同位素工程材料。

线缺陷散射​

位错（刃位错、螺位错）。

Λ_disl ∝ 1/√(ρ_d)， ρ_d为位错密度。

κ 随位错密度增加而降低。

中低温下显著

塑性变形后的金属、外延薄膜中的失配位错。

面缺陷/界面散射​

晶界、相界、表面、异质结界面。

Λ_boundary ≈ 特征尺寸（当样品尺寸小于本征Λ时）。

κ_boundary ∝ D （D: 晶粒尺寸/样品特征尺寸）。

低温下主导， 特别是当Λ_boundary << Λ_U时

多晶材料、纳米线、薄膜、超晶格。

体缺陷/第二相散射​

孔隙、沉淀相、非晶区域。

依赖第二相的尺寸、形状、分布和声学失配程度。

通常显著降低有效热导率，特别是对声子传热材料。

复杂

多孔材料、复合材料、非均质合金。

电子-声子散射​

金属中自由电子对声子的散射。

Λ_e-ph 与温度相关。

降低声子对总热导的贡献（在金属中通常占比较小）。

高温下增强

金属中， 电子导热占主导， 声子导热贡献小。

块体均匀材料​

成分和结构在宏观尺度均匀。

热流连续通过单一介质。

κ_eff = κ_bulk

追求本征的高或低热导率。

散热片（铜、铝）、隔热砖（氧化锆）。

颗粒增强复合材料​

颗粒（金属、陶瓷、聚合物）分散在基体（金属、陶瓷、聚合物）中。

热流绕过或穿过分散的颗粒，路径曲折，界面众多。

Maxwell-Garnett模型（稀相）：
κ_eff = κ_m [ (κ_p+2κ_m+2φ(κ_p-κ_m))/(κ_p+2κ_m-φ(κ_p-κ_m)) ]
κ_m: 基体， κ_p: 颗粒， φ: 颗粒体积分数

增强导热：高κ_p， 低界面热阻。
降低导热：低κ_p， 多孔/气孔， 高界面热阻。

金属基复合材料（SiC/Al）、导热胶/膏（环氧树脂/BN）、隔热泡沫混凝土。

纤维/晶须增强复合材料​

高导热纤维（碳纤维、SiC纤维）定向或随机分布于基体中。

沿纤维方向导热能力强，垂直方向弱。具有各向异性。

并联模型（沿纤维方向）：
κ∥ ≈ φ κ_f + (1-φ) κ_m
串联模型（垂直方向）：
1/κ⊥ ≈ φ/κ_f + (1-φ)/κ_m

实现定向高导热（如沿纤维方向）。
纤维取向、长径比、界面结合是关键。

高导热碳纤维/金属复合材料、印刷电路板（PCB）的玻璃纤维/环氧层压板。

层状复合材料/多层膜​

不同材料交替堆叠成多层结构。

热流垂直于界面（串联）或平行于界面（并联）。
界面热阻（Kapitza电阻）​ 至关重要。

垂直于层面（串联）：
κ⊥ = (Σ d_i) / (Σ (d_i/κ_i) + Σ R_k,i)
平行于层面（并联）：
κ∥ = Σ (d_i κ_i) / Σ d_i
R_k: 界面热阻

1. 热障涂层：利用低κ材料和多层界面散射声子。
2. 超晶格：通过周期结构调控声子色散，实现极低κ（声子玻璃-电子晶体PGEC概念）。

涡轮叶片热障涂层（YSZ）、热电材料超晶格（Bi₂Te₃/Sb₂Te₃）、半导体器件中的多层互连。

多孔材料​

固相骨架与气相（通常是空气）组成的网络。

热传递路径：1. 固体骨架传导；2. 孔隙内气体传导；3. 辐射；4. 对流（孔隙大时）。

常用经验或有效介质模型，如：
κ_eff ≈ κ_s (1-φ) + κ_g φ （极粗糙近似）
实际值远低于此，因热流路径曲折。

追求极低热导率（超级隔热）。关键：降低固体传导（使用低κ材料、细薄骨架）、降低气体传导（高真空或填充低导率气体）、降低辐射（添加遮光剂）。

气凝胶、泡沫玻璃、真空绝热板（VIP）芯材、航空航天隔热瓦。

纳米结构材料​

在纳米尺度（<100 nm）上对材料结构进行设计，如纳米晶、纳米线阵列、纳米多孔。

强烈的界面散射和量子限域效应。声子平均自由程被界面严重限制。

没有普适模型。常需通过求解声子玻尔兹曼方程或分子动力学模拟预测。

1. 追求低κ：通过大量界面散射声子（如纳米晶、纳米多孔硅用于热电）。
2. 追求高κ：利用高κ纳米单元（如碳纳米管、石墨烯）并优化界面耦合。

纳米多孔硅热电材料、石墨烯/聚合物纳米复合材料、垂直排列碳纳米管阵列（VACNT）热界面材料。

追求超高热导率​

最大化载流子（声子/电子）的平均自由程和群速度，最小化散射。

1. 使用高纯度、完美单晶材料，减少缺陷散射。
2. 优选强共价键、轻原子的晶体（高声子群速度v_g）。
3. 对于电子导热，选择高电导率金属。
4. 在低温下工作。
5. 使用高导热低维材料（如石墨烯、金刚石膜）并优化界面耦合。

单晶金刚石、单晶立方氮化硼(c-BN)、高纯单晶硅、石墨烯、碳纳米管、高纯铜/银。

所有类型的散射（点缺陷、位错、晶界、电子-声子、声子-声子U过程）。

声子的N过程（可间接延长U过程的平均自由程）， 自由电子输运。

追求极低热导率​

最大化声子散射，切断热流路径。

1. 使用非晶/玻璃态材料（本征低κ）。
2. 引入大量晶界（纳米晶化）。
3. 引入多孔结构， 特别是纳米级孔隙。
4. 设计复杂晶格结构（如笼状化合物、高熵合金），增强声子非谐性。
5. 构建多层界面/超晶格，增强界面散射。
6. 在孔隙中抽真空或填充低导热气体（如氩气）。

二氧化硅气凝胶、泡沫玻璃、非晶聚合物、纳米多孔硅、氧化物热电材料（如Bi₂Te₃基超晶格）、高熵合金。

固体传导（通过增加散射和降低路径）、气体传导（抽真空）、辐射传热（添加遮光剂）。

通常不利用， 而是尽可能阻断所有传热路径。

实现各向异性导热​

在一个方向上促进导热，同时在垂直方向上抑制导热。

1. 使用层状或纤维状结构，高导热方向沿层/纤维方向。
2. 构建定向排列的纳米结构阵列（如垂直排列的碳纳米管）。
3. 利用晶体本身强烈的各向异性（如石墨、六方氮化硼h-BN）。

高取向石墨膜、碳纤维复合材料、h-BN填充的聚合物、VACNT阵列。

垂直于优选方向的传热（通过界面、孔隙或材料本身各向异性来抑制）。

沿优选方向的连续高导热路径。

实现可控/可调热导率​

通过外部场（热、电、磁、力）改变材料的微观结构或载流子浓度/分布。

1. 相变材料：固-液相变导致κ突变。
2. 电/磁调控：在磁性材料或多铁材料中，通过外场改变自旋序，影响磁振子或声子输运。
3. 机械调控：对低维材料（如石墨烯）施加应变，改变声子谱和散射。
4. 静电调控：在二维材料场效应管中，通过栅压改变载流子浓度，影响电子-声子耦合。

相变存储器材料（GeSbTe）、多铁材料、应变工程石墨烯、二维材料异质结。

-

利用外部场对材料微观状态或电子结构的可逆调控。

傅里叶定律​

宏观连续体

T(r,t)

低（抛物线PDE）

基础

CV/DPL模型​

介观-宏观
（快速瞬态/微尺度）

T(r,t),q(r,t)

中（双曲线/高阶PDE）

傅里叶定律的推广，考虑了有限速度和非局部效应。

声子BTE (RTA)​

介观
（纳米-微米尺度）

f(r,k,t)或 e(r,ω,t)

高（积分-微分方程）

通过适当的近似（如扩散近似），可推导出CV/DPL或傅里叶定律。是微观声子图象的连续描述。

格林-久保 (EMD)​

微观-介观
（原子尺度， 块体性质）

原子轨迹 ri​(t)

很高（长时间MD模拟+相关函数）

直接从原子模拟得到宏观输运系数（如 k），是联系原子与连续体的桥梁。

分子动力学 (NEMD)​

微观-介观
（纳米结构， 界面）

原子轨迹 ri​(t)

高（非平衡稳态MD模拟）

可直接模拟纳米结构、界面、缺陷的热阻，无需预先知道本构关系。

一、 理想化边界模型​

1. 并联（等温）模型​

组分沿热流方向并列排列，两相温差相同。代表理论上界。

keff∥​=ϕk1​+(1−ϕ)k2​

k1​,k2​：两相热导率；
ϕ：组分1的体积分数。
适用：高导热相在热流方向连续，如理想化的层状复合材料（沿层面方向）。

2. 串联（等热流）模型​

组分沿热流方向串联排列，热流密度相同。代表理论下界。

keff⊥​1​=k1​ϕ​+k2​1−ϕ​或
keff⊥​=ϕk2​+(1−ϕ)k1​k1​k2​​

适用：热流垂直于多层界面，或高阻相连续分布在热流路径上。

3. Wiener界限​

任何真实复合材料的有效热导率介于并联（上界）与串联（下界）模型之间。

keff⊥​≤keff​≤keff∥​

用于检验更复杂模型的合理性。

二、 有效介质理论​

4. Maxwell-Garnett (MG) 模型​

稀释的球形颗粒（相2）无相互作用地分散在连续基体（相1）中。

keff​+2k1​keff​−k1​​=ϕk2​+2k1​k2​−k1​​

ϕ为分散相（相2）体积分数。
适用：低填充率（通常 ϕ<0.3）的颗粒复合材料，颗粒随机分散。

5. Bruggeman 对称模型​

两相在复合材料中对称等价，无明确基体，适用于中等至高体积分数。

ϕk2​+2keff​k2​−keff​​+(1−ϕ)k1​+2keff​k1​−keff​​=0

需数值求解 keff​。
适用：两相相互渗透的网状结构，或颗粒填充率较高时。

6. 包含界面热阻的MG模型 (H-J模型)​

在MG模型基础上，考虑颗粒与基体间的界面热阻（Kapitza电阻）​ Rk​。

keff​+2km​keff​−km​​=ϕkp​+2km​+2Rk​km​kp​/akp​−km​​

a：颗粒半径。
关键：引入无量纲界面参数​ αk​=Rk​km​/a。当 αk​很大时，即使 kp​很高， keff​也受限。

三、 多孔材料专门模型​

7. 气相热导率 kg∗​​

孔隙内的气体传热。当孔径很小时，气体分子平均自由程受限于孔壁，热导率降低。

kg∗​=1+2βKnkg​​或更精确的气动模型。
其中， Kn=Λ/dp​(Knudsen数)。

kg​：常压下气体热导率；
Λ：气体分子平均自由程；
dp​：平均孔径；
β：~2（与模型有关）。
适用：微纳米多孔材料（如气凝胶），真空下 kg∗​≈0。

8. 辐射热导率 krad​​

高温下，孔隙内的辐射传热不可忽略，可等效为一种“热导”。

krad​=316​σn2T3ρe​dp​​（扩散近似）

σ：Stefan-Boltzmann常数；
n：折射率；
T：平均温度；
dp​：平均孔径；
ρe​：光谱消光系数的罗斯兰德平均倒数。
适用：高温多孔隔热材料（T>500°C）。

9. 多孔材料总有效热导率​

固相导热、气相导热、辐射导热及可能的对流并联或串联叠加。常用简化模型。

keff​=ksolid​+kgas​+krad​+kconv​
其中：
ksolid​≈ks​(1−ϵ)m
kgas​≈kg∗​ϵ

ϵ：孔隙率；
ks​：固体骨架材料热导率；
m：结构因子（1~2，与孔结构和固体连通性有关）；
kconv​通常在气体自然对流被抑制时忽略。

四、 工程与半经验模型​

10. 几何因子模型 (Series-Parallel)​

将复合材料视为由串联和并联单元组合而成的规则几何结构。

常见立方体单元模型：
keff​=[k1​A1​+k2​(1−A1​)f​+k1​A2​+k2​(1−A2​)1−f​]−1

A1​,A2​,f为与组分分布几何相关的参数。调整参数可匹配不同结构。

11. 各向异性纤维复合材料模型 (Hatta-Taya)​

纤维定向排列，考虑纤维方向与热流方向夹角的影响。

沿纤维轴向：
keff∥​=km​[1+km​+(1−ϕ)(kf​−km​)S∥​ϕ(kf​−km​)​]
横向复杂，与纤维排布有关。

S∥​：纤维轴向的形状因子（对长圆柱，S≈0）。
适用：单向纤维增强复合材料。

12. 经验关联式 (Lewis-Nielsen)​

在MG模型基础上，引入最大堆积分数​ ϕm​以考虑颗粒相互作用。

keff​=km​1−Bψϕ1+ABϕ​
其中：
B=kf​/km​+Akf​/km​−1​,
ψ=1+ϕm2​1−ϕm​​ϕ

A：与颗粒形状、取向相关的常数（对球形~1.5）；
ϕm​：最大随机紧密堆积分数（~0.64）。
适用：中高体积分数的颗粒填充聚合物，预测较准确。