四舵轮全向移动机器人运动学逆解

fy.ch

363人浏览 · 2026-04-02 11:33:07

fy.ch · 2026-04-02 11:33:07 发布

项目开源至Github：four_wheel_steering_mobile_robot

本文分析四舵轮移动机器人底盘的运动学逆解。

四舵轮底盘拥有8个自由度，每个舵轮都是双关节结构，分为舵轮的旋转和舵轮驱动轮的转动。由此，四舵轮底盘可以产生原地旋转、蟹行的平动、两后轮保持前向固定而两前轮转动的传统阿克曼结构、以及后轮参与转向的双阿克曼结构这四种运动方式。

运动学逆解是根据输入的机器速度 $v_x$ ， $v_y$ ， $w$ ，反推四舵轮的角度和转速。
这里先分析双阿克曼结构，分析完会发现双阿克曼的运动学模型可以退化成其他几种。

双阿克曼结构运动学分析图

运动学分析图如下（图丑，将就看）：

在这里插入图片描述

如图可见我的四舵轮分布在底盘正方形的四个定点上，并分别以 $f l, f r, r l, r r$ 命名。轮间距定义为 $H$ ，如图中 $f l - r l$ 的黄色虚线所示距离。当然，也存在四舵轮分布呈现矩形的方式，计算过程一样，只是稍微复杂。

双阿克曼结构运动时会有一个瞬时运动中心C点，该点与四个舵轮的连线，与舵轮方向垂直；并且，C与运动学中心A的连线，与机器人的线速度方向垂直。这是我们分析运动学的关键。

定义世界坐标系 $X O Y$ ，如图中红色所示。
定义机器人坐标系中的坐标 $x A y$ ，如图中蓝色所示，满足右手定则。机器人运动学中心为A点。
在机器人坐标系中， $x$ 轴指向机器人正前方， $y$ 轴指向机器人左侧，则对应的前向速度设置为 $v_x$ ，左侧速度设置为 $v_y$ ，角速度为 $w, (图中为 o m e g a)$ ，如图中紫色所示。 $V$ 表示机器人运动学中心的真实线速度，它与机器人正前方是存在夹角的，称之为滑移角，计算方式为 $\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}$ ，图中并未标出。

以左前舵轮为例，定义舵轮的线速度和转角分别为 $V_{fl}$ , $\theta_{fl}$ ，其他三个类似。

至此，运动学定义完毕，下面开始计算。

双阿克曼模式运动学逆解

首先关注两个距离： $A B$ 和 $B C$ ，以下分析会重点用到。

下面先分析四个舵轮的线速度和转角与 $A B$ 和 $B C$ 的关系：
还是以左前舵轮为例，假设左前轮 $f l$ 到 $C$ 点的距离为 $L_{C-fl}$ ，则有：
$V_{fl}$ = $w$ * $L_{C-fl}$ 。
由几何关系又可得：
$L_{C-fl}$ = $\sqrt{(AB+H)^2 + (BC - H)^2}$
图画的不好，但这里也容易理解。
那么，我们就得到了舵轮线速度和 $A B$ 与 $B C$ 的关系：

$V_{fl}$ = $w$ * $\sqrt{(AB+H)^2 + (BC - H)^2}$

又几何关系也很容易可以看出转角的计算公式：

$\theta_{fl}$ = $\arctan\frac{AB+H}{BC-H}$ 这里需要注意方向，这样算出来的两个前轮是对的，但后轮算出来要加负号，可以理解下。

注意，这里算出的角度不能用于计算机计算，code的时候应该用 $a t an 2 ()$ 函数。
其他三个舵轮的线速度和转角也类似，不再赘述。

可以看到，舵轮的转角和速度是跟 $A B$ 和 $B C$ 有关的，而 $A B$ 和 $B C$ 又如何由已知量 $v_x$ ， $v_y$ ， $w$ 推导出来呢，继续：

机器线速度有如下关系：

$\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ = $w$ * $A C$ = $w$ * $\sqrt{AB^2 + BC^2}$

则可得：

$AB^2 + BC^2$ = $\frac{v_x^2 + v_y^2}{w^2}$

再由滑移角的计算可得：

$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}$ = $\frac{AB}{BC}$

联立上两式可得：

$\frac{v_x}{w}$ , $\frac{v_y}{w}$

这时，消去 $A B$ 和 $B C$ ，就得到了四舵轮转角和线速度，与输入的机身速度 $v_x$ ， $v_y$ ， $w$ 之间的关系：

$\begin{cases} V_{fl} = \sqrt{(V_x - Hw)^2 + (Hw + V_y)^2} \\ V_{fr} = \sqrt{(V_x + Hw)^2 + (Hw + V_y)^2} \\ V_{rl} = \sqrt{(V_x - Hw)^2 + (Hw - V_y)^2} \\ V_{rr} = \sqrt{(V_x + Hw)^2 + (Hw - V_y)^2} \end{cases}$

$\begin{cases} \theta_{fl} = \arctan2\frac{V_y + Hw}{V_x - Hw} \\ \theta_{fr} = \arctan2\frac{V_y + Hw}{V_x + Hw} \\ \theta_{rl} = \arctan2\frac{V_y - Hw}{V_x - Hw} \\ \theta_{rr} = \arctan2\frac{V_y - Hw}{V_x + Hw} \end{cases}$

应该是写对了，代码也贴上，代码是对的：

void FourSteeredWheeledRobot::inverseKinematics(double Vx, double Vy, double Omega, std::array<double, 4>& target_steer, std::array<double, 4>& target_drive) {
    double h = CHASSIS_HALF_WIDTH;
    double hw = h * Omega;

    target_steer = {
        std::atan2((Vy + hw), (Vx - hw)),
        std::atan2((Vy + hw), (Vx + hw)),
        std::atan2((Vy - hw), (Vx - hw)),
        std::atan2((Vy - hw), (Vx + hw))
    };

    target_drive = {
        std::sqrt(std::pow(Vx - hw, 2) + std::pow(hw + Vy, 2)) / WHEEL_RADIUS,
        std::sqrt(std::pow(Vx + hw, 2) + std::pow(hw + Vy, 2)) / WHEEL_RADIUS,
        std::sqrt(std::pow(Vx - hw, 2) + std::pow(hw - Vy, 2)) / WHEEL_RADIUS,
        std::sqrt(std::pow(Vx + hw, 2) + std::pow(hw - Vy, 2)) / WHEEL_RADIUS
    };
}

至此，双阿克曼结构的运动学逆解分析完毕。

我们用webots仿真来验证一下：

四舵轮双阿克曼运动

从视频可以发现后退时舵轮有时转角非常大，导致切换不丝滑，这是因为我们设定了舵轮的转角范围是 $[-\pi, \pi]$ ，而舵轮驱动轮的速度总是非负。所以前进时舵轮角度为0，速度为正，后退时舵轮角度为 $\pi$ ，速度还是为正，这样舵轮转角就很大。后续可以通过一个转换函数来将舵轮转角限制在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 范围内，速度则可以取负，这样舵轮的转动就平滑了。

下面看看套这个公式会不会直接得出其他几种运动学模型的公式：

自旋模式运动学逆解

自旋模式下，机器人只有角速度 $w$ ，线速度 $v_x = 0$ ， $v_y = 0$ . 套公式可得：

$\begin{cases} V_{fl} = \sqrt{2}H * w \\ V_{fr} = \sqrt{2}H * w \\ V_{rl} = \sqrt{2}H * w \\ V_{rr} = \sqrt{2}H * w \end{cases}$

$\begin{cases} \theta_{fl} = \arctan2\frac{w}{-w}\\ \theta_{fr} = \arctan2\frac{w}{w} \\ \theta_{rl} = \arctan2\frac{-w}{-w} \\ \theta_{rr} = \arctan2\frac{-w}{w} \end{cases}$

当 $w > 0$ 时，机器逆时针旋转，此时四舵轮角度为
$\begin{cases} \theta_{fl} = 135°\\ \theta_{fr} = 45° \\ \theta_{rl} = -135° \\ \theta_{rr} = -45° \end{cases}$

当 $w < 0$ 时，机器顺时针旋转，此时四舵轮角度为
$\begin{cases} \theta_{fl} = -45°\\ \theta_{fr} = -135° \\ \theta_{rl} = 45° \\ \theta_{rr} = 135° \end{cases}$

上述公式是不是退化成了自旋模型！

我们用webots仿真来验证一下：

四舵轮自旋

蟹行模式运动学逆解

蟹行模式下，机器人只有速度 $v_x$ 和 $v_y$ ，姿态不变故 $w = 0$ . 套公式可得：

$\begin{cases} V_{fl} = \sqrt{(V_x)^2 + (V_y)^2} = V \\ V_{fr} = \sqrt{(V_x)^2 + (V_y)^2} = V \\ V_{rl} = \sqrt{(V_x)^2 + (-V_y)^2} = V \\ V_{rr} = \sqrt{(V_x)^2 + (-V_y)^2} = V \end{cases}$

$\begin{cases} \theta_{fl} = \arctan2\frac{V_y}{V_x} = \theta \\ \theta_{fr} = \arctan2\frac{V_y}{V_x} = \theta \\ \theta_{rl} = \arctan2\frac{V_y}{V_x} = \theta \\ \theta_{rr} = \arctan2\frac{V_y}{V_x} = \theta \end{cases}$

四轮的速度即车体的速度 $V$ ，四轮的转角即车体的滑移角 $\theta$ 。

上述公式是不是退化成了蟹行模型！

我们用webots仿真来验证一下：

四舵轮蟹行运动

常规阿克曼模式运动学逆解

当两个后轮保持前向固定而两个前轮转动时，机器人运动学模型为常规阿克曼模型。
那么此时的运动学模型如下：

在这里插入图片描述

从图中可以看出：

$\begin{cases} \theta_{rl} = 0 \\ \theta_{rr} = 0 \end{cases}$

再套公式有：

$\begin{cases} \theta_{rl} = 0 = \arctan2\frac{V_y - Hw}{V_x - Hw} \\ \theta_{rr} = 0 = \arctan2\frac{V_y - Hw}{V_x + Hw} \end{cases}$

得 $V_y = Hw$ ，此时公式变为：

$\begin{cases} V_{fl} = \sqrt{(V_x - Hw)^2 + (2Hw)^2} \\ V_{fr} = \sqrt{(V_x + Hw)^2 + (2Hw)^2} \\ V_{rl} = V_x - Hw \\ V_{rr} = V_x + Hw \end{cases}$

$\begin{cases} \theta_{fl} = \arctan2\frac{2Hw}{V_x - Hw} \\ \theta_{fr} = \arctan2\frac{2Hw}{V_x + Hw} \\ \theta_{rl} = 0 \\ \theta_{rr} = 0 \end{cases}$