IMU误差分析与内参标定

加油JIAX

379人浏览 · 2026-04-01 07:15:10

加油JIAX · 2026-04-01 07:15:10 发布

注：本篇笔记的主体内容来源于对深蓝学院《多传感器融合定位》课程的学习，推荐有一定基础的SLAM初学者学习该课程。

1. 误差组成

IMU误差通常分为“信号误差”、“内参误差”两类进行分析和处理。信号误差主要关注传感器输出信号中的随机噪声和不稳定性特性。具体包括：

（1）量化噪音：模拟信号通过 AD (模数转换) 采集变为离散信号时产生的精度损失。AD 转换的步长越小，量化噪声越小。

（2）角度/速度随机游走：陀螺仪/加速度计输出中包含的宽带白噪声成分。

（3）零偏不稳定性：零偏（Bias）在一定范围内随时间的缓慢随机漂移。其变化无法预估，只能用概率区间描述。时间越长，漂移的可能区间越大。

（4）速率斜坡：一种趋势性误差，而非随机误差。通常由环境因素（如温度）引起零位变化，可以通过温补来消除。

（5）零偏重复性：多次启动时，零偏不相等产生的重复性误差。多次启动时，零偏不相等产生的重复性误差。

这些误差通常难以用确定的解析模型消除，而是通过概率模型（如Allan方差分析）来描述其统计特性。

内参误差主要关注传感器内部物理结构或电路导致的确定性误差，包括零偏（常值）、刻度系数误差、安装误差等。这些误差可以通过建立确定的数学模型（误差方程）进行标定和补偿。

内参误差如零偏直接参与惯性解算实际的加减乘除计算，而信号误差主要用于决定测量值的权重。

在预积分过程，信号误差会决定信息矩阵 $\Sigma ^{-1}$ 的大小，如果 IMU 信号误差很大（白噪声方差大），信息矩阵就会很小，优化器在调整位姿时就会更不信任这段 IMU 预积分的结果，而更倾向于相信视觉或激光雷达的观测。

在基于滤波的系统中，信号误差的影响更加直接，它构成了过程噪声协方差矩阵 $Q$ ：

其与观测噪音协方差矩阵 $R$ 共同决定了卡尔曼增益 $K$ ，从而决定系统是相信预测还是相信观测。

2.内参误差模型

（1）零偏。陀螺仪或加速度计输出中的常值偏移。

加速度计零偏：

陀螺仪零偏：

（2）刻度系数误差。器件的输出往往为脉冲值或模数转换得到的值，需要乘以一个刻度系数才能转换成角速度或加速度值，若该系数不准，便存在刻度系数误差。

加速度计的刻度系数：

$K_{a}=\begin{bmatrix} K_{ax} & 0 &0 \\ 0 & K_{ay} &0 \\ 0 & 0& K_{az} \end{bmatrix}$

陀螺仪的刻度系数：

$K_{g}=\begin{bmatrix} K_{gx} & 0 &0 \\ 0 & K_{gy} &0 \\ 0 & 0& K_{gz} \end{bmatrix}$

（3）安装误差。如下图所示，b坐标系是正交的imu坐标系，g坐标系的三个轴是分别对应三个陀螺仪。由于加工工艺原因，陀螺仪的三个轴并不正交，而且和b坐标系的轴不重合，二者之间的偏差即为安装误差。

内参模型的建立应该是基于正交的b系的，比如一个沿着zb轴方向的加速度 $a_{zb}$ ，其会对xa轴、ya轴、za轴造成分量： $a_{zb}\cdot cos\theta _{zx}$ 、 $a_{zb}\cdot cos\theta _{zy}$ 、 $a_{zb}\cdot cos\theta _{zz}$ 。其他轴类似，则加速度计的安装误差矩阵：

$S_{a}=\begin{bmatrix}cos\theta _{xx}&cos\theta _{yx} &cos\theta _{zx} \\ cos\theta _{xy}& cos\theta _{yy}&cos\theta _{zy}\\ cos\theta _{xz} & cos\theta _{yz} & cos\theta _{zz}\end{bmatrix}$

则各项误差综合在一起后：

$A=K_{a}\cdot S_{a}\cdot a+b_{a}$

其中a为传感器的理想输入（真值），A为传感器的读数。因为Sa的对角线元素大小近似为1，并且在标定中对角线的余弦因子会被刻度系数K吸收（K近似单位矩阵），所以加速度计的安装误差矩阵可以简化为：

$S_{a}=\begin{bmatrix}0&S_{ayx} &S _{azx} \\ S _{axy}& 0 &S_{azy}\\ S_{axz} & S_{ayz} & 0\end{bmatrix}$

陀螺仪的安装误差矩阵类似：

$S_{g}=\begin{bmatrix}0&S_{gyx} &S _{gzx} \\ S _{gxy}& 0 &S_{gzy}\\ S_{gxz} & S_{gyz} & 0\end{bmatrix}$

则可以得到误差模型：

$A=K_{a}\cdot \left ( I+ S_{a}\right )\cdot a+b_{a}$

又因为K和S在上等式中会耦合在一起，要对其进行解耦：

令 $K_{a}=I+\Delta K_{a}$ ，则：

$A=\left ( I+\Delta K_{a} \right )\cdot \left ( I+ S_{a}\right )\cdot a+b_{a}$

$A=\left ( I+\Delta K_{a}+ S_{a}+\Delta K_{a}\cdot S_{a}\right )\cdot a+b_{a}$

忽略二阶小量 $\Delta K_{a}\cdot S_{a}$ ：

$A=\left ( I+\Delta K_{a}+ S_{a}\right )\cdot a+b_{a}$

$A=\left ( K_{a}+ S_{a}\right )\cdot a+b_{a}$

则加速度计的输出可以展开为：

陀螺仪的输出可以展开为：

3.内参标定

3.1 基于转台的标定（正向建模）

在IMU的误差模型中，陀螺仪和加速度计的误差方程是互相独立的，可分别标定。以加速度计为例，其误差模型方程为：

误差模型方程是一个包含12个未知参数的方程组，显然方程组没有唯一解。此时，通过改变输入，获得多个不同方程（大于12个），组成的方程组便可求解参数。

基于转台的标定方法将IMU固定在转台上，通过旋转IMU，改变其输入构造方程组。因为转台很精准，所以每个位置对应的加速度输入和角速度输入都是已知的，并且有IMU的读数作为输出。因此可以依赖转台提供的真值输入与IMU的实际输出来解算出模型参数。

加速度计标定：

（1）解析法：

当IMU水平向上放置时，得：

其中，g为重力加速度。代入入加速度计误差模型，可得：

同理，当IMU水平向下放置时，得：

联立这两个方程组，便可解出6个参数。随后，再次改变IMU放置方式，可解其他参数。

（2）线性最小二乘法：

加速度计误差模型可以进行转化：

其中：

这样就可以直接把所有转台位置的数据罗列起来，构建超定方程组，通过线性最小二乘法求解：

这里的x对应上图中待求解的θ，A对应上图的输入x，b对应上图的输出y。

正向建模依赖于转台提供的高精度的已知输入a，是拿着答案（真值）找过程（误差参数），既知道输入的大小，还知道方向，能把误差参数“钉”得非常死，解算出的参数非常接近物理真值。

虽然Ka与Sa进行解耦造成了一点微小误差，但内参标定就是一个降低误差的过程（知道输出，根据内参模型反推输入），可以不拘小节。

陀螺仪标定：

（1）解析法：

首先，以绕IMU的z轴逆时针旋转，计算输出与输入的关系：

展开并忽略二阶小量，可得：

对等式两侧进行积分，得：

绕IMU的z轴顺时针旋转时，同样方法可得：

通过式(1) - 式(2)可以求解出 $S_{gxz}$ 、 $S_{gyz}$ 、 $K_{gz}$ 。此处不通过式(1)+式(2)求解零偏，因为旋转所用时间偏短，零偏造成的角度输出太小。

当转台静止时，可以简单认为陀螺仪输出只有零偏，即：

此时采集一段时间内的数据，取平均值，即可得到零偏。（mems 陀螺仪的零偏重复性极差，因此每次上电都要在线估计零偏，因此离线标定时，零偏标与不标区别不大。）

3.2 基于优化的标定（反向建模）

整体思路：加速度输入(重力加速度)是已知的，已知值与测量值的差异作为残差，通过优化，估计内参。

因为使用转台是，必须服从转台的坐标轴定义，所以imu的加速度计和陀螺仪的三轴都有两个误差分量。当不使用转台时，可以简化模型，假设加速度计的X轴就是IMU的X轴，并且加速度计的Y轴处于IMU的X轴与Y轴所处平面内，也就是平面z=0：

从而使加速度计的安装误差矩阵只剩下下三角阵，陀螺仪的安装误差矩阵保持原样：

（1）加速度计标定

正向建模依赖于转台提供的高精度的已知输入，比如知道重力加速度的大小，以及此时重力加速度在三轴上的分量各自大小。在没有转台的情况下，我们手持设备或静止放置，不能准确获取设备姿态，所以不知道此时真实的加速度在x,y,z轴上的具体分量，但我们已知一个物理公理：静止状态下，加速度的模长应该等于重力加速度g。

所以基于优化模型的标定建立一个逆向公式，描述“如果传感器输出了A，经过误差参数的修正，真实的输入a应该是多少”。也就是：

其中，再简化模型：

则，反向方程为：

标定时，令IMU静止，则输入只有重力加速度。把加速度计矢量定义为：

$g=\begin{bmatrix} 0 & 0 & g_{0} \end{bmatrix}^{T}$

其中，g0为当地重力加速度大小。那么当内参完全准确是，有：

$\left \| g \right \|^{2}=\left \| a \right \|^{2}$

当内参存在误差时，可写出残差函数为：

$f=\left \| g \right \|^{2}-\left \| a \right \|^{2}$

（2）陀螺仪标定

陀螺仪内参估计在加速度计标定完成后进行，因此认为此时加速度计无误差。令 $A_{k}$ 代表在第 k 个静止位置时，三个加速度计的输出构成的矢量在IMU坐标系下的表示，即：

$A_{k}=R_{b_{k},w}\cdot g$

其中 $R_{b_{k},w}$ 表示从世界坐标系(w系，和水平面平行且不随IMU旋转而旋转的坐标系)到第 k 个位置对应的IMU坐标系的转换矩阵。

在第 k+1 个位置时，同样有测量值：

$A_{k+1}=R_{b_{k+1},w}\cdot g$

从第 k 个位置到第 k+1 个位置，可以根据陀螺仪测量计算出两个位置之间的相对旋转 $R_{b_{k+1},b_{k}}$ ，根据该旋转可以算出一个第 k+1 位置加速度计输出矢量的推测值：

$A_{k+1}^{g}=R_{b_{k+1},b_{k}}\cdot A_{k}$

可见，推测值的误差就体现了陀螺仪的误差，因此可以根据推测值与观测值构建残差函数：

$f=A_{k+1}-A_{k+1}^{g}$

此时，即可构建并求解优化问题，得到标定好的内参。

4. 加速度计雅可比推导

此时，残差函数为：

根据链式求导法则，推导残差f对Ka,Sa,ba的雅可比：

其中，链式求导的前两项为：

（1）a对ba的偏导比较容易求得：

（2）a对Ka的偏导。由于a是一个3x1的向量，Ka是一个3x3的矩阵，不好直接求偏导，并且Ka中只有主对角线元素有用，所以：

其中：

则a可以表示为：

在向ceres::Problem添加优化参数时，使用向量形式的Ka：

则a对Ka的偏导可以表示为：

（3）a对Sa的偏导。

由于下三角阵形式的Sa不好求偏导，所以与Ka类似，在向ceres::Problem添加优化参数时，使用向量形式的Sa：

并且，此时显式写出a的组成：

则a为：

a对向量形式Sa的偏导为：

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