引言

    层叠智能超表面（Stacked Intelligent Metasurface, SIM）作为一种新兴的设计方案，由多层超表面构成，能够在波域中实现全息多输入多输出（HMIMO）预编码，从而降低能耗和硬件成本。本文基于多用户波束成形场景，重点研究下行链路可达速率及其最大化问题。与以往关于多用户SIM的研究不同，本研究采用统计信道状态信息（CSI）而非瞬时CSI，以克服大规模开销等挑战，并针对大规模表面的性能进行了深入分析。

系统模型

    本研究考虑了一个SIM辅助的MIMO通信系统。具体而言，配备Nt根天线的基站通过基于波处理的SIM与K个单天线用户设备进行通信。SIM由L个超表面实现，每个超表面包含大量N个超原子。智能控制器负责调整入射到超表面层的电磁波的相位偏移。

图1：SIM辅助的MIMO系统架构

    系统中，第l层表面上第n个超原子的相位偏移记为θₗₙ ∈ [0, 2π)，相应的相位调整记为φₗₙ = e^(jθₗₙ)。层间的系数矩阵Wₗ描述了层(l-1)到层l之间的传播特性，其元素由超原子的面积、传播角度和传输距离等参数决定。

    信道建模采用相关莱斯衰落分布，包含视距（LoS）和非视距（NLoS）两个分量。空间相关性通过sinc函数建模，考虑了超表面单元的水平和垂直间距。

下行链路数据传输

    在下行传输过程中，基于波域波束成形，第k个用户接收到的信号可以表示为各用户信息符号经过SIM处理后的叠加，加上加性高斯白噪声。下行可达频谱效率定义为所有用户对数信干噪比（SINR）之和。

    本研究应用了"使用后遗忘"（UatF）界限技术来推导SINR表达式。关键创新在于，假设用户设备具有平均的有效信道知识，而非瞬时信道信息。这使得优化可以在若干相干间隔进行，而不需要每个间隔都优化，从而显著降低了开销。

    通过理论推导，获得了下行可达SINR的闭式表达式，其中分子项包含期望信号功率，分母项包含干扰功率和噪声功率。所推导的表达式清晰地展示了莱斯因子、信道增益、LoS和NLoS分量对系统性能的影响。

问题建模与优化

    本研究的核心目标是关于每个表面的相位偏移和分配功率，最大化总频谱效率。优化问题包含以下约束条件：SIM的级联结构约束、相位偏移矩阵的对角结构、恒模约束（每个RIS元素仅提供相位偏移）以及最大功率约束。

    由于该优化问题的非凸性及恒模约束的存在，求解具有挑战性。因此，采用交替优化（AO）算法，分别对相位偏移和分配功率进行迭代优化。具体而言，首先在固定功率的情况下优化相位偏移，然后在固定相位偏移的情况下优化功率分配。通过迭代该过程，目标函数收敛至最优值。

SIM优化

    针对相位偏移的优化，采用投影梯度上升算法，同时考虑恒模约束以获得局部最优解。算法从初始点出发，沿目标函数的梯度方向移动，并将新点投影到可行集上。恒模约束意味着相位偏移必须位于单位圆内。

    通过理论推导，获得了目标函数关于相位偏移的梯度的闭式表达式。该梯度表达式包含了SINR分子和分母项关于相位偏移的导数，涉及矩阵的对角化操作。值得注意的是，该算法具有显著优势，因为梯度以闭式形式获得，且由简单的矩阵运算组成，计算复杂度较低。对于大规模SIM，复杂度为O(NₜN² + LN² + KN³)，其中每层超表面的超原子数量影响最大。

功率优化

    在固定相位偏移的情况下，本小节专注于功率分配的优化。由于该问题的非凸性，采用加权最小均方误差（MMSE）重构方法获得局部最优解。

    首先将SINR表达式重写为功率向量的函数形式，然后考虑等效的单输入单输出（SISO）信道模型。通过引入接收系数和辅助权重，将原优化问题转化为加权MMSE问题。该等效问题与原问题具有相同的解。

    通过求解加权MMSE问题，获得了功率分配的闭式解。该解的计算复杂度与SIM优化设计相似，同样由矩阵运算组成，复杂度为O(NₜN² + LN² + KN³)。

    两种算法均具有较低的计算复杂度并快速收敛。需要注意的是，由于优化获得的是局部最优解，不同的初始化会导致不同的解，这将在数值结果中进一步研究。

数值结果

    仿真设置中，SIM平行于x-y平面，位于高度10米处。相邻超原子的间距为λ/2，每个超原子的尺寸为λ/2 × λ/2。SIM的厚度为5λ，层间距为厚度除以层数。用户位置在60米到80米之间随机分布。载波频率为2 GHz，系统带宽为20 MHz。

图2：大规模SIM辅助MIMO架构的可达总频谱效率与超原子数量N的关系

    图2展示了不同表面层数L下，可达总频谱效率随每个表面单元数量N的变化。结果表明，对于不同的L值，下行总频谱效率随N增加而提高。此外，表面层数的增加也会导致总频谱效率的提升。为了比较，图中还展示了L=4时瞬时CSI的性能，其表现优于统计CSI，因为后者基于较低的界限，在若干相干间隔进行优化而非每个间隔优化。然而，统计CSI建模能够节省大量开销。图中还显示了表面单元尺寸的影响：随着单元尺寸减小，相关性降低，总频谱效率提高。蒙特卡洛仿真验证了分析结果的准确性。

图3：大规模SIM辅助MIMO架构的可达总频谱效率与超表面层数L的关系

    图3展示了当Nₜ = K = 8时，总频谱效率随SIM层数L的变化。观察到总频谱效率在L=6之前持续改善，这是因为SIM能够在电磁波域中减轻用户间干扰。与单层SIM相比，性能有显著提升。图中再次对比了瞬时CSI和统计CSI的情况，后者虽然性能较差，但换取了更低的开销。

图4：5个不同随机初始点下，大规模SIM辅助MIMO架构的可达总频谱效率与迭代次数的关系

    图4展示了所提算法的收敛性。当连续两次迭代之间目标函数的差值小于10⁻⁵或迭代次数大于130时，算法终止。结果表明，随着迭代次数增加，算法收敛到最大值。由于问题的非凸性，算法不会收敛到全局最优解，这意味着从不同初始点出发可能收敛到不同的点。因此，从多个初始点执行算法后选择最佳解。图中展示了5个不同随机初始点下的频谱效率与迭代次数的关系，观察到所有初始点最终收敛到相同的频谱效率。一般而言，选择5个随机初始点能够在性能和复杂度之间取得良好平衡。

结论

    本文针对莱斯衰落信道下的大规模SIM辅助多用户通信，推导了可达下行频谱效率的闭式表达式。该表达式基于大尺度统计特性，下行预编码在波域进行，从而降低了计算负担和处理延迟。研究结果用于基于统计CSI的优化，相比瞬时CSI实现了更低的开销。提出的交替优化算法分别求解SIM各表面的相位偏移和分配功率。该研究为未来6G网络中大规模SIM的实际部署提供了理论基础和优化方案。