前言

这里为我曾经使用过的一个模型写一些自己的理解，欢迎大家交流指正！模型原理并非原创，这里只写个人理解。参考：
[1]张一豪,崔欣超,左晨,等.基于博弈论组合赋权-TOPSIS法的矿井通风系统可靠性评价[J].山西大同大学学报(自然科学版),2024,40(06):112-117.
清风数学建模

在讲解组合模型（弈论综合AHP-CRITIC赋权-Topsis评价）之前，先复习一下用到的模型。

AHP层次分析法

AHP层次分析法是一种用于评价决策方案的主观评价方法，使用这个模型需要明确：
（1）目标层

你需要明确自己想要解决的问题是什么，比如现在你想知道去哪旅游，杭州，苏州，上海？那么显然，最佳旅游地就是目标层目标。

（2）决策层

这层需要确定的事项往往有二，首先是候选决策。比如前文提到的苏州，杭州，上海。这些就是待选方案。
其次是评价准则。它的设定往往与最终方案紧密相关。对于去旅游，常见的影响因素有风景，美食，消费，交通。

确定了这两项，那么接下来就可以构建判断矩阵了。

这里我认为总的来说就两大重要矩阵：各个候选人在各影响因素下的评分（有点像是某人的各科成绩）；各个评分在总评中的占比（有点像是各科成绩在总评中的占比）；
依然以旅游为例，那么我们首先需要确定各个旅游地的各因素评分：

图源：清风数学建模
最终得分为当前值/该列总和。

再计算各个影响因素的最终占比：

注意，在确定权重之后，需要进行一致性检验，一致性检验通过才可以使用权重矩阵！
列出各个候选人分数与各评价指标占比，最终加和计算总分

具体计算步骤推荐阅读：层次分析法详解

CRITIC

CRITIC是一种客观赋权法，综合考虑指标波动性与相关性。不仅考虑指标自身的数据差异，还通过冲突性指标衡量指标间的相关程度，从而避免重复信息被过度赋权。
常见流程往往为：
构造数据矩阵-> 指标正向化、负向化 -> 计算同一指标下的对比强度 -> 计算每一指标与其他指标的冲突性 -> 计算信息承载量 -> 计算指标权重

Topsis法

Topsis法也叫优劣解距离法，我们需要确定最优解与最劣解，最终得出的解应尽可能满足离最优解近，离最劣解远。其中，需要注意的是，由于不同指标的衡量标准不同（常常可划分为极大型指标、极小型指标、中间型指标、区间型指标），因此我们需要先将指标进行正向化，统一转换为极大型指标。

Topsis基本步骤为：
原始指标正向化 -> 正向化矩阵标准化 -> 计算得分并归一化

博弈论

博弈论有非合作博弈与合作博弈，其中：
非合作博弈： 重点在于“个体的理性算计”。大家不能串通，也没有法律约束，每个人都只盯着自己的利益最大化，最终互相制衡，卡在一个谁也动弹不得的死角（这就是纳什均衡）。
合作博弈： 重点在于“分蛋糕”。大家坐下来签合同，结成联盟，追求的是集体利益最大化，然后再用数学公式（比如著名的 Shapley 值）来绝对公平地分赃。
后文主要使用了非合作博弈。这里需要了解一个非合作博弈中经典的收益矩阵：

收益矩阵由参与者，策略，最终受益组成（参考经典的囚徒困境）。
推荐浏览：纳什均衡

博弈论组合赋权

用博弈论来组合 AHP 和 CRITIC，底层逻辑是**“最小化偏差的极值模型”**，具体步骤总结如下：
在AHP、CRITIC求得的w1,w2的基础上，引入博弈论对这两种权重进行耦合，计算得出最优权重值w∗。
（1）将主客观权重线性组合

其中，w*为待求的组合权重，α1和α2分别代表AHP法和CRITIC法的线性组合系数，且α1、α2均大于0。

（2）依据博弈论思想对线性组合权重进行优化
为了达到博弈的均衡，我们需要最小化最终权重 与 $W_1$、$W_2$ 之间的离差（这就相当于收益矩阵里的最优解）。目标函数是

其中，k=1，2

（3）根据矩阵微分原理，对（1）、（2）中的公式进行一阶导变换：

进而解出α1，α2。
（4）计算最优综合权重
将α1，α2进行归一化处理得出最优组合系数β1 ,β2 并代入得出最优组合权重w∗。
（5）综合计算得分
有了权重，再使用Topsis确定最佳方案即可。

总结

本文创作的初衷是为了复习模型知识，能力有限，还望海涵。欢迎指正交流！