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前言

数学模型有确定性和随机性之分，模型中变量受到随机干扰的系统称为随机系统，反之为确定系统。本文会介绍随机系统的各个数学模型

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一、随机系统模型

随机系统模型是指在确定系统模型的基础上加上一个随机噪声，因此数学模型中带有噪声项的都可以认为是随机系统模型。
首先将随机系统分为了“时间序列模型”、“方程误差类模型”和“输出误差类模型”三大类，接下来从这三个类别依次讨论。以下讨论的系统均为单输入单输出系统。

为了方便起见，设$u(t)$为系统输入序列，$y(t)$为系统观测输出序列，$v(t)$为零均值随机白噪声序列，然后定义：
$A(z)=1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\dots +a_{n_a}{z}^{-n_a},a_i\in R,$
$B(z)=b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+\dots +b_{n_b}{z}^{-n_b},b_i\in R,$
$C(z)=1+c_1{z}^{-1}+c_2{z}^{-2}+\dots +c_{n_c}{z}^{-n_c},c_i\in R,$
$D(z)=1+d_1{z}^{-1}+d_2{z}^{-2}+\dots +d_{n_d}{z}^{-n_d},d_i\in R,$
$F(z)=1+f_1{z}^{-1}+f_2{z}^{-2}+\dots +f_{n_f}{z}^{-n_f},f_i\in R,$

1.时间序列模型

时间序列模型的特征是系统中有两个变量，一个是观测$y(t)$,一个是随机白噪声$v(t)$.

1.1 自回归模型（AR模型）

$A(z)y(t)=v(t)$

1.2 滑动平均模型（MA模型）

$y(t)=D(z)v(t)$

1.3 自回归滑动平均模型（ARMA模型）

$A(z)y(t)=D(z)v(t)$

1.4 确定性ARMA模型

$A(z)y(t)=D(z)u(t)$
这里是一个确定系统模型，因为随机的$v(t)$被替换为了确定的$u(t)$.

1.5 带积分ARMA模型

$A(z)(1-z^{-1}{)}^{d}y(t)=D(z)v(t)$

2.方程误差类模型

$A(z)y(t)=B(z)u(t)+\omega (t)$
其中$\omega (t)$为白噪声或有色噪声。
对于方程误差类模型的分析，需要把重点放在$\omega (t)$上。

2.1 受控自回归模型（CAR模型）

$A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)$

2.2 受控自回归滑动平均模型（CARMA模型）

$A(z)y(t)=B(z)u(t)+D(z)v(t)$

2.3 受控自回归自回归模型（CARAR模型）

$A(z)y(t)=B(z)u(t)+\frac{1}{C(z)}v(t)$

2.4 受控自回归自回归滑动平均模型（CARARMA模型）

$A(z)y(t)=B(z)u(t)+\frac{D(z)}{C(z)}v(t)$

3.输出误差类模型

$y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+\omega (t)$
模型特征是包含了有理方式项$\frac{B(z)}{A(z)}u(t)$

3.1 输出误差模型（OE模型）

$y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+v(t)$

3.2 输出误差滑动平均模型（OMEA模型）

$y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+D(z)v(t)$

3.3 输出误差自回归模型

$y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+\frac{1}{C(z)}v(t)$

3.4 输出误差自回归滑动平均模型（OEARMA模型或Box-Jenkins模型）

$y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+\frac{D(z)}{C(z)}v(t)$

3.5 一般输出误差模型

$F(z)y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+\frac{D(z)}{C(z)}v(t)$

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参考文献

丁锋.系统辨识新论[M].北京:科学出版社,2013:45.