引言

国赛2023C题问题二

要求：考虑商超以品类为单位做补货计划，请分析各蔬菜品类的销售总量与成本加成定价的关系，并给出各蔬菜品类未来一周(2023年7月1-7日)的日补货总量和定价策略， 使得商超收益最大。

思路：首先利用双对数需求模型探究销售总量与成本加成定价的关系，然后通过LSTM模型对未来7天各品类的成本与销量进行预测，再设定价格弹性修正函数融入定价的影响，最后使用Gbest-PSO算法求解连续优化模型。

时间序列预测模型：

论文提到了ARIMA、岭回归、灰色预测时间序列预测模型，并说明了它们预测结果不好，但论文中并未呈现该结果，且本帖为学习帖，所以要认真地将这些模型学习一遍。上一篇讲了ARIMA，本篇将讲解灰色预测模型在国赛2023C题问题二中的应用。

灰色预测模型原理

灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种针对小样本、贫信息不确定性系统进行预测的方法。其核心思想是通过对有限数据进行生成处理，挖掘数据内在规律，建立微分方程模型进行预测。

建模过程

1. 对原始数据进行累加生成（AGO）或累减生成（IAGO）。将原始离散数据转化为具有指数规律的新序列【弱化原始数据的随机性】。

X^{(1)} = [x^{(1))}(1)), x^{(1))}(2)), \cdots , x^{(1))}(n))]

其中，

x^{(1)}(k) = \sum_{i=1}^{k}x^{(0)}(i) (k = 1, 2, \cdots, n)

2. 构造紧邻均值生成序列。

Z^{(1)}(k) = 0.5x^{(1)}(k) + 0.5x^{(1)}(k-1) (k = 2, 3, \cdots, n)

3. 建立GM(1,1)模型（一阶单变量灰色模型）【描述数据变化趋势】。

\frac{\mathrm{dx^{(1)}(t)} }{\mathrm{d} t} + ax^{(1)}(t) = b

其中，a 为发展系数，b 为灰作用量。

4. 通过最小二乘法估计模型参数。

\hat{\beta } = [a, b]^{T}            即  \hat{\beta } = (B^{T}B)^{-1}B^{T}Y

其中，

B = \begin{bmatrix} -Z^{(1)}(2)&1 \\ -Z^{(1)}(3)&1 \\ \cdots&\cdots \\ -Z^{(1)}(n)&1 \end{bmatrix}

Y = [x^{(0)}(2), x^{(0)}(3), \cdots, x^{(0)}(n)]^{T}

5. 求解方程得到预测值后，需进行累减还原获得最终预测结果。

\hat{x}^{(1)}(k+1) = (x^{(0)}(1) - \frac{b}{a})e^{-ak} + \frac{b}{a} (k=0,1,\cdots ,n-1)

\hat{x}^{(0)}(k+1) = \hat{x}^{(1)}(k+1) -\hat{x}^{(1)}(k) (k=1,2,\cdots ,n-1)

6. 通过计算残差和关联度评估精度。

代码实现与结果

《灰色预测(GM)的MATLAB实现》_gm(1,1)模型预测的代码matlab拟合效果代码-CSDN博客

一文读懂灰色预测模型GM(1,1)（原理+计算+软件操作） - 知乎 (zhihu.com)

由于代码主要是参考第一篇的，所以就不放出来了。

依旧是以水生根茎类数据为例：

从图中可以看出，灰色预测模型的预测值与实际观察值之间存在显著的差异，预测值无法很好地跟随实际值的变化。预测值在初始阶段陡然上升，这与实际数据的波动性质不符。实际数据表现出较大的波动性，而预测值则过于平滑，无法捕捉到数据的实际变化。

灰色预测模型在解决该问题时的局限性

1. 对数据波动性的捕捉能力不足‌

灰色预测模型适用于具有指数趋势的数据，但对于具有较大波动性的数据，其预测效果可能不佳。

2. 模型假设的限制‌

灰色预测模型基于灰色系统理论，假设数据具有指数趋势，并且数据的生成过程满足一定的条件。然而，在实际应用中，这些假设可能不成立，导致预测结果偏离实际值。

3. 长期预测的不准确性‌

灰色预测模型在短期预测中可能表现尚可，但在长期预测中，由于模型本身的限制和数据的复杂性，预测结果可能会产生较大的偏差。

预测结果差的原因

1. 数据特征不匹配‌

水生根茎类数据的波动性和复杂性可能与灰色预测模型所假设的指数趋势不符。因此，模型无法准确捕捉数据的实际变化，导致预测结果差。

2. 模型参数的局限性‌

灰色预测模型的参数选择对预测结果有很大影响。如果参数选择不当，或者数据的特征与模型假设不符，那么预测结果可能会产生较大的偏差。

3. 外部因素的干扰‌

水生根茎类数据可能受到外部因素的干扰，如政策变化、自然灾害等。这些因素未被纳入灰色预测模型的考虑范围内，因此模型无法准确预测这些外部因素对数据的影响。

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