一、Cox Loss公式介绍

Cox Loss一个基于排序的对比学习（ranking loss）
$$\mathcal{L}oss=-\sum _{i:\text{event}}\left(f(x_i)-\log \sum _{j\in R_i}\exp (f(x_j))\right)$$
我们只对 event=1（死亡的） 的人算 loss

二、先给一个具体数据

假设有 3 个病人：

病人	生存时间 t	是否事件（event）	模型输出 risk
A	10	1（死亡）	0.2
B	7	1（死亡）	1.0
C	12	0（删失）	0.5

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三、按时间排序（关键步骤）

👉 按 时间从大到小排序（工程里常用）

排序后	病人	t	event	risk
1	C	12	0	0.5
2	A	10	1	0.2
3	B	7	1	1.0

四、逐个计算（核心来了）

① 先算 B（最早死亡）

B：t = 7（最早死）

✔ risk set ( R_B )：

👉 所有在 B 死之前还活着的人：

👉 A、B、C 都还活着

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✔ 计算：

$$f(B)=1.0$$$$\sum \exp (f)=e^{1.0}+e^{0.2}+e^{0.5}$$

👉 数值：

• e¹ = 2.718
• e⁰·² ≈ 1.221
• e⁰·⁵ ≈ 1.649

👉 总和：

$$=5.588$$

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✔ loss_B：

$$=-(1.0-\log (5.588))$$$$\log (5.588)\approx 1.72$$$$=-(1.0-1.72)=0.72$$

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② 再算 A

A：t = 10

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✔ risk set ( R_A )：

👉 在 A 死之前还活着的人：

👉 A + C

（B 已经死了，不算）

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✔ 计算：

$$f(A)=0.2$$$$\sum \exp (f)=e^{0.2}+e^{0.5}$$$$=1.221+1.649=2.87$$

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✔ loss_A：

$$=-(0.2-\log (2.87))$$$$\log (2.87)\approx 1.05$$$$=-(0.2-1.05)=0.85$$

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③ C（删失）

👉 event = 0

❌ 不参与 loss

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五、总 loss

$$L=(0.72+0.85)/2\approx 0.785$$

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六、这整个过程在干什么？（核心理解）

你看 B：

👉 B 死得最早
👉 所以：

✔ 希望：
$$f(B)>f(A),f(C)$$

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但实际：

• B = 1.0
• C = 0.5（还可以）
• A = 0.2（OK）

👉 排序基本对 → loss较小

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再看 A：

👉 A 比 C 死得早

✔ 希望：
$$f(A)>f(C)$$

但实际：

• A = 0.2
• C = 0.5 ❌（错了）

👉 所以 loss_A 比较大

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🧠 七、一句话理解这个公式

👉 对每一个“死亡事件”：

模型要保证：

这个人（死得早）的风险 > 所有还活着的人

👉 Cox loss =

✔ 对每个死亡样本
✔ 和“当时还活着的人”比
✔ 排序错 → 惩罚

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