JX-D1-0001​

基础定律

刚体动力学

∑F=ma

牛顿第二定律

1. 概念定义：物体动量变化率等于所受合外力。
2. 数学表述：对于质量为 m的质点，F=dtdp​​=dtd(mv)​。当质量 m为常量时，简化为 ∑F=ma。
3. 参数选择：m通过测量获得；a为质心加速度。
4. 坐标系：通常在惯性系中应用，在非惯性系中需引入惯性力。

在宏观低速条件下精度极高，是经典力学的基石。误差主要来源于对“质点”和“刚体”的理想化，以及实际中摩擦、空气阻力等未完全建模的力。

牛顿运动定律

任何宏观物体的机械运动分析基础。如机床运动部件加速度计算、车辆制动距离估算、机器人关节动力学。特征：向量性、瞬时性、独立性。

∑F：合外力向量 (N)。
m：质量 (kg)，通常为常量。
a：加速度向量 (m/s²)。
v：速度向量 (m/s)。
t：时间 (s)。

代数：向量方程。
微分：加速度是速度的导数，速度是位矢的导数。
线性：在质量恒定且力与加速度呈线性关系时成立。

时序流程：
1. 输入：t时刻系统所受的所有外力 F_ext(t)， 系统当前状态（位形 q， 速度 q˙​）。
2. 计算合力：F_total=∑F_ext。
3. 计算加速度：a(t)=F_total/m。
4. 积分更新：v(t+Δt)=v(t)+a(t)Δt； r(t+Δt)=r(t)+v(t)Δt+21​a(t)(Δt)2。
5. 输出：t+Δt时刻的 r, v。

常用于描述动量流。系统动量的变化率等于外力的“流动”。方程 dtdp​​=F描述了动量 p​在时间上的流动，外力 F是流动的驱动力。

JX-D1-0002​

本构关系

材料力学/弹性力学

σ=Eϵ

胡克定律 (一维)

1. 基本假设：材料处于线弹性、小变形范围。
2. 应力定义：σ=F/A， F为轴力，A为横截面积。
3. 应变定义：ϵ=ΔL/L0​， ΔL为长度变化，L0​为原长。
4. 本构关系：建立应力与应变的线性关系 σ=Eϵ。E为杨氏模量，是材料属性。
5. 参数优化：E通过拉伸试验测定，需保证应力低于比例极限。

在小应变（通常 ϵ<0.002）范围内精度高。误差来源于材料的非线性、塑性变形、蠕变等。强度由屈服强度 σs​和抗拉强度 σb​界定。

广义胡克定律

杆、梁、轴的拉伸/压缩变形分析；弹簧设计；结构静力分析的基础。特征：线性、可逆、各向同性材料在单轴应力下的响应。

σ：正应力 (Pa)。
ϵ：线应变 (无量纲)。
E：杨氏模量 (Pa)， 材料常数。
F：轴向力 (N)。
A：横截面积 (m²)。
ΔL,L0​：长度变化与原长 (m)。

代数：线性方程。
连续性：假设材料连续。
几何：涉及长度、面积等几何量。
优化：在弹性范围内设计，使 σ≤[σ]=σs​/n， n为安全系数。

静态加载流程：
1. 输入载荷：外力 F。
2. 计算应力：σ=F/A。
3. 计算应变：ϵ=σ/E。
4. 计算变形：ΔL=ϵ⋅L0​。
5. 校核强度：若 σ>σs​， 则材料屈服，模型失效。

描述了“应力-应变”能流的本构关系。在弹性范围内，外界做功以应变能形式存储，dVdU​=∫σdϵ=21​Eϵ2， 能量流是可逆的。

JX-D1-0003​

原理/方法

多体系统动力学

∑i​(Fi​−mi​ai​)⋅δri​=0

达朗贝尔原理 (动力学普遍方程)

1. 静力学原理：虚功原理，∑Fi​⋅δri​=0（对理想约束）。
2. 引入惯性力：将动力学问题静力学化。对每个质点，−mi​ai​视为惯性力。
3. 合成方程：主动力 Fi​、约束力 Ri​和惯性力 −mi​ai​在任意虚位移 δri​上做功之和为零：∑i​(Fi​−mi​ai​+Ri​)⋅δri​=0。
4. 理想约束：∑i​Ri​⋅δri​=0， 最终得达朗贝尔原理。

原理精确。应用中的精度取决于对系统自由度、力和约束建模的准确度。是拉格朗日方程和哈密顿原理的基础。

牛顿运动定律 + 虚功原理

复杂约束系统（如机械臂、车辆悬挂、机构）的动力学建模。特征：将动力学问题转化为瞬时“平衡”问题，消除了理想约束力。

Fi​：作用在第 i个质点上的主动力。
−mi​ai​：第 i个质点的惯性力。
δri​：符合系统约束的虚位移向量。
Ri​：约束反力。
mi​：第 i个质点的质量。

变分法：基于虚位移（等时变分）。
代数：向量点积求和。
分析力学：从向量力学向分析力学的桥梁。

建模与求解流程：
1. 系统建模：确定所有质点的 mi​， 主动力 Fi​， 并用广义坐标 qj​描述位形。
2. 计算加速度：ai​=dt2d2ri​(q,t)​， 用 q,q˙​,q¨​表示。
3. 计算虚位移：δri​=∑j​∂qj​∂ri​​δqj​。
4. 代入原理：∑i​(Fi​−mi​ai​)⋅(∑j​∂qj​∂ri​​δqj​)=0。
5. 提取方程：由于 δqj​独立，其系数为零，得到以 q,q˙​,q¨​表示的微分方程组。

从“力流”和“动量流”的角度统一了主动力、惯性力和约束。原理本身描述了在虚位移空间上，所有“力流”的功率之和为零，是瞬时能量平衡的表述。

JX-D1-0004​

运动方程

分析力学/多体动力学

dtd​(∂q˙​j​∂L​)−∂qj​∂L​=Qj​

拉格朗日方程 (第二类)

1. 定义拉格朗日函数：L=T−V， 其中 T为系统动能，V为系统势能。
2. 哈密顿原理：真实运动使作用量 S=∫t1t2​Ldt取极值，δS=0。
3. 变分推导：对 S取等时变分，应用分部积分，对完整保守系统得到 dtd​(∂q˙​j​∂L​)−∂qj​∂L​=0。
4. 引入非保守力：若非保守力（如阻尼力、驱动力）的虚功为 δW=∑j​Qj​δqj​， 则方程扩展为上式。
5. 参数：qj​为广义坐标，q˙​j​为广义速度，Qj​为广义力。

在完整约束系统下精确。数值求解精度取决于积分算法（如龙格-库塔法）。建模误差源于对 T, V, Qj​的描述是否准确。

哈密顿原理、最小作用量原理

复杂多自由度系统（如机器人、航天器、柔性机械臂）的动力学建模与控制。特征：标量形式，自动消除理想约束力，易于计算机符号推导。

L：拉格朗日函数 (J)。
T：系统总动能 (J)。
V：系统总势能 (J)。
qj​,q˙​j​：第 j个广义坐标及其速度。
Qj​：对应于 qj​的非保守广义力。
t：时间 (s)。

变分法/泛函极值：核心。
微分：对时间和广义坐标求偏导。
能量特征：基于动能和势能。
常微分方程组：最终方程为二阶ODE。

系统化建模与仿真流程：
1. 选取广义坐标​ qj​， 确定系统自由度。
2. **用 qj​,q˙​j​表示 T和 V， 构造 L=T−V。
3. 计算非保守广义力​ Qj​=∑Fnc​⋅∂qj​∂r​。
4. 代入方程， 对每个 j计算：∂q˙​j​∂L​, dtd​(), ∂qj​∂L​。
5. 得到方程：M(q)q¨​+C(q,q˙​)q˙​+G(q)=Q的形式。
6. 数值积分：给定初值 q(0),q˙​(0)， 用ODE求解器求解 q¨​， 进而得到运动轨迹。

描述了系统在位形空间（由广义坐标张成）中的“轨迹流动”。哈密顿原理表明，真实轨迹是使“作用量”这个泛函取极值的流线。拉格朗日方程是该流线上每一点满足的局部微分条件。

JX-D1-0005​

原理

分析力学/最优控制

δS=δ∫t1t2​L,dt=0

哈密顿原理

1. 定义作用量：S=∫t1t2​L(q,q˙​,t)dt。
2. 比较路径：在固定端点 q(t1), q(t2)的条件下，考虑真实路径 q(t)及其邻域的任意变分路径 q(t)+δq(t)。
3. 计算变分：δS=∫t1t2​(∂q∂L​δq+∂q˙​∂L​δq˙​)dt。
4. 分部积分：利用 δq˙​=dtd​(δq)和端点变分为零 (δq(t1)=δq(t2)=0)， 得 δS=∫t1t2​(∂q∂L​−dtd​∂q˙​∂L​)δq,dt。
5. 取极值：对任意 δq, δS=0要求被积函数为零，即导出拉格朗日方程。

是经典力学的一个基本公理，在宏观低速范围内被认为是精确的。为拉格朗日方程、哈密顿方程、诺特定理等提供基础框架。

最小作用量原理

作为更基本的原理，用于统一推导连续介质力学、电磁场、量子力学的运动定律。在最优控制（如轨迹规划）中，是庞特里亚金极大值原理的类比。特征：整体性、变分性、协变性。

S：作用量 (J·s)。
L：拉格朗日密度（或函数）。
q,q˙​：广义坐标与速度。
δ：等时变分算子。
t1,t2：固定起止时间。

泛函分析/变分法：核心是求泛函 S[q(t)]的极值。
积分：作用量是拉格朗日函数对时间的积分。
边界条件：固定端点。
对称性与守恒律（诺特定理）：若 L具有某种连续对称性，则存在对应的守恒量。

原理性流程：
1. 定义系统：确定广义坐标和拉格朗日函数 L。
2. 设定边界：固定初始和最终时刻的位形 q(t1), q(t2)。
3. 考虑所有可能路径：在函数空间中考虑连接固定端点的所有 q(t)。
4. 计算每条路径的作用量​ S。
5. 真实运动：是使 S取平稳值（通常是最小值）的那条路径。
6. 导出运动方程：通过变分 δS=0得到欧拉-拉格朗日方程（即拉格朗日方程）。

描述了系统在时空中遵循“最小阻力”或“最经济”路径的流动思想。作用量 S是衡量路径“代价”的全局量，真实运动是其极值路径，类似于“最速降线”或“光程最短”（费马原理）。

JX-D1-0006​

场方程/守恒律

连续介质力学 (流体/固体)

∂t∂ρ​+∇⋅(ρv)=0
ρDtDv​=∇⋅σ+ρb
ρDtDe​=σ:∇v−∇⋅q​

连续介质力学控制方程
(质量、动量、能量守恒)

1. 质量守恒：对控制体，质量增加率=流入净通量。微分形式即连续性方程：∂t∂ρ​+∇⋅(ρv)=0。
2. 动量守恒（Cauchy方程）：对微元体，ma=∑F。左边为物质导数 ρDtDv​，右边为面力散度 ∇⋅σ和体力 ρb之和。
3. 能量守恒（第一定律）：内能变化率=应力功率+热流入率。ρDtDe​=σ:(∇v)−∇⋅q​， 其中 σ:∇v是应力张量作功的收缩。
4. 本构关系闭合：需补充 σ=f(ϵ,ϵ˙,...)（如牛顿流体 σ=−pI+2μD）和热流 q​=−k∇T。

是物理学基本守恒律，形式精确。应用精度取决于：1）连续介质假设的尺度有效性；2）本构关系（如材料模型）的准确性；3）边界条件；4）数值求解的离散误差。

经典力学守恒定律、连续介质假设

流体：空气动力学、流体机械、化工流程。
固体：结构变形、应力分析、金属成形。
特征：场描述、偏微分方程、强非线性耦合、需在高性能计算机上数值求解（CFD/FEM）。

ρ：密度 (kg/m³)。
v：速度场 (m/s)。
σ：柯西应力张量 (Pa)。
b：单位质量体力 (N/kg)， 如重力。
e：单位质量内能 (J/kg)。
q​：热流向量 (W/m²)。
DtD​：物质导数，DtD()​=∂t∂()​+v⋅∇()。

向量分析/场论：大量使用梯度 ∇、散度 ∇⋅、物质导数。
偏微分方程：强耦合的非线性PDE系统。
张量分析：应力 σ为二阶张量。
连续性与可微性：假设场量连续可微。
守恒型方程：可写成 ∂t∂U​+∇⋅F=S的形式。

CFD/FEM求解通用流程：
1. 前处理：建立几何模型，划分计算网格（单元/节点）。
2. 初始化：设定全场初始条件（t=0时的 ρ,v,e）。
3. 离散：将PDE在空间上离散（有限体积法/有限元法），得到关于节点/单元变量的半离散ODE系统。
4. 时间推进：对时间项 ∂t∂​进行离散（显式/隐式格式），如 ΔtUn+1−Un​=RHS(Un)。
5. 迭代求解：在每一时间步，求解离散后的非线性代数方程组，更新全场变量。
6. 后处理：可视化速度、压力、应力、温度等场。

这些方程是质量、动量、能量三种物理量在连续介质中“流动”的严格数学描述。
- 连续性方程：描述质量流的源汇（无源）。
- 动量方程：描述动量流的输运（对流、扩散-由应力引起）、源（体力）。
- 能量方程：描述能量流的输运与转换（功热转换）。
流向由梯度（压力梯度、速度梯度、温度梯度）和速度场自身决定。

JX-D1-0007​

运动学/微分几何

机器人学/机构学

v=ω×r+vO​
a=α×r+ω×(ω×r)+aO​

刚体一般运动的瞬时速度/加速度合成（基点法）

1. 基点选择：在刚体上任选一点 O（基点），其运动已知（vO​，aO​）。
2. 相对运动分解：刚体上任意点 P相对于基点的运动为绕通过基点的瞬时轴的转动。
3. 速度合成：P点绝对速度 = 基点平动速度 + P点绕基点的转动速度。 vP​=vO​+ω×rOP​。
4. 加速度合成：对速度求导。aP​=dtdvP​​=aO​+α×rOP​+ω×(ω×rOP​)。
5. 参数：ω， α是描述刚体整体转动的角速度和角加速度向量，与基点选择无关。

在刚体假设下精确。实际应用误差来源于关节间隙、构件弹性变形。

刚体运动学、向量微积分

场景：工业机器人末端执行器速度/加速度分析、机械臂奇异性分析、车辆车轮运动学。
特征：向量形式，几何直观，是雅可比矩阵推导的基础。

vP​，aP​：点P的绝对速度/加速度。
vO​，aO​：基点O的速度/加速度。
ω，α：刚体的角速度/角加速度向量。
rOP​：从O指向P的位置向量。

向量代数与几何：核心是叉乘运算。
微分：加速度是速度的导数。
线性性：速度合成是线性的。

计算流程（以机器人末端为例）：
1. 建立运动链模型：确定各关节变量 qi​。
2. 正向运动学：计算末端相对于基座的位置 rE​(q)。
3. 计算雅可比矩阵：vE​=J(q)q˙​， 其中 J的列向量由 ωi​×riE​或 zi​（平移关节）构成。
4. 速度合成：通过 J(q)将关节速度映射为末端速度。
5. 加速度计算：aE​=J(q)q¨​+J˙(q，q˙​)q˙​， 其中 J˙q˙​项包含了科氏加速度和向心加速度。

描述了刚体内运动“流”的传递。速度场在刚体内呈线性分布（螺旋场）。从基点到任意点的速度“流动”是通过旋转“算子” ω×实现的。加速度场则是速度场随时间变化与空间变化的对流。

JX-D1-0008​

变换矩阵

机器人学/空间运动

ATB​=[ARB​01×3​ApBorg​1​]

齐次变换矩阵

1. 位姿描述：坐标系{B}相对于{A}的位姿包括旋转 ARB​和平移 ApBorg​。
2. 齐次坐标：将三维点 p=[x，y，z]T表示为四维向量 p~​=[x，y，z，1]T。
3. 变换统一：用 4×4矩阵同时表示旋转和平移：Ap~​=ATB​⋅Bp~​。
4. 矩阵运算：变换的复合通过矩阵乘法实现：ATC​=ATB​⋅BTC​。逆变换为 BTA​=(ATB​)−1。

数学表示精确。数值计算中的误差来自浮点数运算和旋转矩阵的正交性保持（需定期正交化）。

三维欧几里得几何、线性代数（齐次坐标）

场景：机器人运动学正解与逆解、数控机床坐标变换、计算机图形学。
特征：统一的矩阵运算框架，便于计算机递归计算，是DH参数法的基础。

ATB​：从{B}到{A}的 4×4齐次变换矩阵。
ARB​： 3×3旋转矩阵（正交阵）。
ApBorg​： {A}中表示的{B}原点坐标（3×1向量）。
p~​：点的齐次坐标。

线性代数/矩阵论：核心是矩阵乘法与求逆。
群论：所有刚体变换构成SE(3)群，齐次变换矩阵是其表示。
几何：描述空间中的刚体运动。

机器人正向运动学流程：
1. 建立连杆坐标系：根据DH规则为每个连杆赋予坐标系。
2. 确定DH参数：连杆长度 ai​， 扭角 αi​， 关节偏置 di​， 关节角 θi​。
3. 构建相邻变换：i−1Ti​=Rot(z，θi​)Trans(0，0，di​)Trans(ai​，0，0)Rot(x，αi​)。
4. 链式相乘：末端相对于基座的变换 0TN​=0T1​⋅1T2​⋯N−1TN​。
5. 提取位姿：从 0TN​中提取末端执行器的位置和姿态。

描述了空间点和坐标系“位姿流”的传递。沿着运动链，点的坐标通过连续的矩阵乘法进行变换，如同在变换的“流”中传递。复合变换是“流”的串联，逆变换是“流”的回溯。

JX-D1-0009​

平衡方程

结构力学/弹性力学

∇⋅σ+b=0
(在域 Ω内)

弹性静力学平衡方程（柯西方程）

1. 微元体受力：考虑一个无限小的体积微元 dV。
2. 体力与面力：微元受体力 bρdV， 和各面上的应力 σ⋅ndS。
3. 合力平衡：对微元应用牛顿第二定律（静力，加速度为零）：∫∂V​σ⋅ndS+∫V​bρdV=0。
4. 散度定理：将面积分转化为体积分：∫V​(∇⋅σ+bρ)dV=0。
5. 局部化：由于 V任意，被积函数必须为零，得到 ∇⋅σ+b=0（假定密度均匀）。

在连续介质和静态假设下精确。求解精度取决于边界条件、几何和本构模型的准确性。

牛顿第二定律（静力形式）、散度定理

场景：任何静态结构（桥梁、建筑、机床床身、压力容器）的应力分析基础。
特征：偏微分方程，描述了应力张量场在空间中的分布必须满足的局部平衡条件。

σ：柯西应力张量（二阶，对称）。
∇⋅：散度算子，作用于张量。
b：单位体积的体力向量（如重力 ρg​）。
Ω：结构所占空间域。

向量分析/场论：涉及张量的散度。
偏微分方程：三个标量方程（对应三个方向）。
对称性：应力张量对称 σij​=σji​（由力矩平衡得出）。

有限元法求解静力问题流程：
1. 强形式：支配方程 ∇⋅σ+b=0（在Ω内）， 边界条件：σ⋅n=t（在Γt​上）， u=u0​（在Γu​上）。
2. 弱形式（虚功原理）：∫Ω​σ：δϵdΩ=∫Ω​b⋅δudΩ+∫Γt​​t⋅δudΓ。
3. 离散：将域 Ω离散为单元，在单元内假设位移模式 u=Nae。
4. 单元计算：计算应变 ϵ=Bae， 应力 σ=DBae， 组装单元刚度矩阵 ke和载荷向量 fe。
5. 全局求解：组装总刚度方程 Ka=F， 代入位移边界条件后求解节点位移 a。
6. 后处理：由 a计算应变和应力。

描述了内力（应力）的流动必须与外力（体力）平衡。方程 ∇⋅σ=−b表明，应力场的“源”是负的体力。应力张量的散度衡量了内力的“净流出率”，它必须抵消体内的“源”以达到平衡。

JX-D1-0010​

本构模型

塑性力学

f(σij​)≤0， dϵijp​=dλ∂σij​∂g​

塑性理论（屈服准则与流动法则）

1. 弹性界限：定义屈服函数 f(σij​)， 当 f<0为弹性，f=0为屈服。
2. 屈服面：在应力空间中，f=0表示屈服面。常用准则：
- Tresca（最大剪应力）：f=σ1​−σ3​−σY​=0。
- von Mises（畸变能）：f=J2​−k2=0， 其中 J2​=21​sij​sij​， sij​为偏应力。
3. 硬化法则：屈服面随塑性变形演化（各向同性硬化 k=k(ϵˉp)， 随动硬化）。
4. 流动法则：塑性应变增量方向垂直于塑性势面 g（关联流动时 g=f）：dϵijp​=dλ∂σij​∂g​， dλ≥0。
5. 一致性条件：加载时应力点保持在屈服面上：df=0。

模型是对复杂物理现象的近似。精度取决于材料参数（屈服强度、硬化模量）的校准和硬化模型的选取。

不可逆热力学、最大塑性功原理

场景：金属成形（冲压、锻造）、结构极限载荷分析、岩土力学。
特征：路径相关（历史依赖）、不可逆、涉及加卸载判断。

f：屈服函数。
g：塑性势函数。
σij​：应力张量分量。
dϵijp​：塑性应变增量张量。
dλ：塑性乘子（标量，决定塑性应变大小）。
ϵˉp：等效塑性应变。

优化/变分不等式：塑性流动服从最大塑性耗散原理。
微分几何：屈服面是应力空间中的超曲面。
张量分析：涉及应力、应变张量及其不变量。
不等式约束：f≤0， dλ≥0， dλf=0（互补条件）。

增量塑性计算流程（返回映射算法）：
1. 弹性预测：给定应变增量 Δϵ， 假设为弹性，计算试探应力 σtrial=σn​+De：Δϵ。
2. 屈服判断：计算 f(σtrial)。若 f≤0， 为弹性步，接受试探应力；若 f>0， 进入塑性修正。
3. 塑性修正：求解非线性方程（一致性条件），使应力回归到更新后的屈服面 f(σn+1​)=0。
4. 更新状态变量：计算 Δλ， 更新应力 σn+1​和塑性应变 ϵn+1p​、硬化参数。
5. 计算一致切线模量：Dep​， 用于下一次迭代。

描述了塑性变形“流”的方向和大小。屈服面定义了弹性域的边界。当应力状态试图“流出”弹性域，塑性应变便开始“流动”，其方向由塑性势梯度决定（通常指向屈服面外法向），大小由一致性条件约束，使应力状态被“拉回”或“推移”至屈服面上。这是一种带约束的“流动”。

JX-D1-0011​

运动方程

转子动力学

Mq¨​+(C+G)q˙​+Kq=F(t)
其中 q=[x，y，θx​，θy​]T

对称刚性转子动力学方程（Jeffcott转子简化模型）

1. 模型简化：将复杂转子简化为一个在无质量弹性轴中央的刚性圆盘（质量为 m），轴两端简支，考虑轴的横向弯曲刚度 k。
2. 运动描述：圆盘质心在固定坐标系中的坐标为 (x，y)， 考虑圆盘的偏心和倾斜。
3. 受力分析：
- 弹性恢复力：−kx， −ky（各向同性假设）。
- 阻尼力：−cx˙， −cy˙​（粘性阻尼）。
- 陀螺力矩：由于转子自转 Ω和截面转角 θx​， θy​产生的力矩 Ip​Ωθ˙y​和 −Ip​Ωθ˙x​（Ip​为极转动惯量），此项导致矩阵 G（陀螺矩阵）反对称。
4. 方程组装：将力与力矩平衡方程写成矩阵形式，得到上述方程。M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为刚度矩阵，G为陀螺矩阵。
5. 激励：F(t)可包含不平衡力 meΩ2[cos(Ωt)sin(Ωt)​]。

模型抓住了转子动力学的核心特征（陀螺效应、临界转速）。精度受限于模型的简化（如忽略轴质量、非线性支撑等）。

牛顿-欧拉方程、梁的弯曲理论

场景：涡轮机械（汽轮机、压缩机）、发电机、机床主轴等的振动分析与稳定性校核。
特征：方程系数矩阵不对称（因陀螺矩阵 G），导致复模态特征值问题；存在临界转速和自激振动（油膜振荡）风险。

M：质量矩阵（对角或耦合）。
C：阻尼矩阵。
G：陀螺矩阵（反对称，正比于转速 Ω）。
K：刚度矩阵。
q：广义位移向量（包含平动和转角）。
Ω：转子旋转角速度。
e：质量偏心距。

常微分方程组：二阶线性ODE，系数可能时变（若Ω变化）。
矩阵理论/特征值问题：系统动力特性由 (−ω2M+iω(C+G)+K)ϕ=0的复特征值 ω决定。
稳定性分析：特征值实部符号决定稳定性。

转子系统振动分析流程：
1. 建模：根据转子-轴承系统结构，确定 M，K，C，G矩阵。
2. 自由振动分析：求解广义特征值问题 [K−ω2M+iω(C+G)]ϕ=0， 得到复特征值 λi​=σi​+iωdi​和复特征向量。
3. 临界转速：绘制各阶模态的阻尼比 $\zeta_i = -\sigma_i /

\lambda_i

JX-D1-0012​

控制算法

运动控制/自动化

u(t)=Kp​e(t)+Ki​∫0t​e(τ)dτ+Kd​dtde(t)​

比例-积分-微分控制器（PID）

1. 误差定义：e(t)=r(t)−y(t)， 其中 r(t)为设定值，y(t)为过程变量。
2. 比例项 (P)：uP​=Kp​e(t)， 提供与误差成比例的控制作用，快速响应。
3. 积分项 (I)：uI​=Ki​∫0t​e(τ)dτ， 累积历史误差，消除稳态误差。
4. 微分项 (D)：uD​=Kd​dtde(t)​， 预测误差变化趋势，抑制超调，提高稳定性。
5. 线性叠加：控制输出 u(t)为三项之和。离散化形式（位置式）：uk​=Kp​ek​+Ki​Ts​∑i=0k​ei​+Kd​Ts​ek​−ek−1​​。

依赖于参数整定。性能指标：超调量、调节时间、稳态误差、抗干扰能力。对线性、单输入单输出系统效果良好，对非线性、强耦合系统需改进。

经典控制理论（频域法、根轨迹）、误差驱动调节

场景：几乎所有工业过程控制（温度、压力、流量）、运动控制（位置、速度）、机器人关节控制。
特征：结构简单、物理意义明确、鲁棒性强，是应用最广的控制算法。

u(t)：控制器输出（控制量）。
e(t)：控制误差。
Kp​：比例增益。
Ki​：积分增益。
Kd​：微分增益。
Ts​：采样周期（离散系统）。

微积分：核心是比例、积分、微分运算。
差分方程：离散化后为差分方程。
优化：参数 Kp​，Ki​，Kd​的整定是一个优化问题（如Ziegler-Nichols法、ITAE准则）。
线性：标准PID是线性组合。

数字PID控制循环时序：
1. 采样：在 t=kTs​时刻，读取过程变量 yk​和设定值 rk​。
2. 计算误差：ek​=rk​−yk​。
3. 计算PID项：
Pout​=Kp​ek​。
Iout​=Iprev​+Ki​Ts​ek​。（积分抗饱和需处理）
Dout​=Kd​(ek​−ek−1​)/Ts​。（可加滤波器）
4. 计算输出：uk​=Pout​+Iout​+Dout​。
5. 输出限幅：将 uk​限制在执行器允许范围内 [umin​，umax​]。
6. 输出与更新：将 uk​发送给执行器，并更新 Iprev​=Iout​， ek−1​=ek​。
7. 等待下一个采样周期。

描述了基于误差信息的“控制作用流”。比例项是即时响应流，大小与误差成正比。积分项是累积误差流，像水池一样积累过去误差，用于消除静差。微分项是误差变化趋势的预测流，像一个阻尼器，抑制过快的变化。这三股“流”汇合后，共同驱动被控对象向设定点“流动”。

JX-D1-0013​

滤波算法

信号处理/状态估计

x^k−​Pk−​Kk​x^k+​Pk+​​=Fk​x^k−1+​=Fk​Pk−1+​FkT​+Qk​=Pk−​HkT​(Hk​Pk−​HkT​+Rk​)−1=x^k−​+Kk​(zk​−Hk​x^k−​)=(I−Kk​Hk​)Pk−​​

离散卡尔曼滤波器

1. 模型假设：线性动态系统：状态方程 xk​=Fk​xk−1​+wk​， 观测方程 zk​=Hk​xk​+vk​。wk​∼N(0，Qk​)， vk​∼N(0，Rk​)。
2. 预测（时间更新）：
- 基于上一时刻后验估计 x^k−1+​预测当前先验状态 x^k−​。
- 预测先验误差协方差 Pk−​， 反映预测的不确定性。
3. 更新（测量更新）：
- 计算卡尔曼增益 Kk​， 权衡预测与测量的置信度。
- 结合实际观测 zk​与预测观测 Hk​x^k−​， 得到后验状态估计 x^k+​。
- 更新后验误差协方差 Pk+​。
4. 参数：Qk​（过程噪声协方差）和 Rk​（测量噪声协方差）是滤波器性能的关键调参。

在模型准确且噪声为高斯白噪声的假设下，是最优线性无偏估计。误差由 Pk+​量化。模型失配或非高斯噪声会降低性能。

概率论（贝叶斯定理）、最优估计理论（最小均方误差）

场景：导航（GPS/INS融合）、目标跟踪、传感器数据融合、故障诊断。
特征：递归计算、在线实时、同时提供状态估计和估计不确定性（协方差）。

x^：状态估计向量（先验-， 后验+）。
P：估计误差协方差矩阵。
F：状态转移矩阵。
H：观测矩阵。
Q：过程噪声协方差矩阵。
R：测量噪声协方差矩阵。
K：卡尔曼增益矩阵。
z：观测向量。

概率与统计：核心是高斯分布的条件期望与协方差更新。
线性代数：涉及矩阵乘法、求逆。
递归算法：每次迭代只使用当前测量和上一时刻估计。
优化：卡尔曼增益使后验估计误差协方差矩阵的迹最小。

卡尔曼滤波递归循环：
1. 初始化：设置初始估计 x^0+​和 P0+​。
2. 预测步（时间更新）：
x^k−​=Fk​x^k−1+​+Bk​uk​（如有控制输入 uk​）。
Pk−​=Fk​Pk−1+​FkT​+Qk​。
3. 更新步（测量更新）：
- 计算卡尔曼增益：Kk​=Pk−​HkT​(Hk​Pk−​HkT​+Rk​)−1。
- 计算新息（残差）：y~​k​=zk​−Hk​x^k−​。
- 更新状态估计：x^k+​=x^k−​+Kk​y~​k​。
- 更新误差协方差：Pk+​=(I−Kk​Hk​)Pk−​。
4. 迭代：k←k+1， 返回步骤2。

描述了信息（状态估计与不确定性）的融合与更新流。预测步将状态估计和不确定性沿着时间流向前推进，同时添加过程噪声（不确定性增加）。更新步将来自传感器的测量信息流与来自模型的预测信息流进行最优融合。卡尔曼增益 Kk​是信息融合的阀门，控制着在多大程度上信任测量。协方差矩阵 P描述了估计不确定性的流动与衰减。

JX-D1-0014​

强度理论

材料力学/失效分析

1. σ1​≤σb​
2. σ1​−ν(σ2​+σ3​)≤σb​
3. σ1​−σ3​≤σb​
4. 21​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]​≤σs​
5. τmax​=2σ1​−σ3​​≤τb​

经典强度理论（四大强度理论）

1. 问题：材料在复杂应力状态（σ1​，σ2​，σ3​）下何时失效？需建立与简单拉伸试验（失效应力 σb​或 σs​）的联系。
2. 第一强度理论（最大拉应力理论）：认为最大拉应力是引起断裂的主因。适用于脆性材料（如铸铁）受拉状态。
3. 第二强度理论（最大拉应变理论）：认为最大拉应变是引起断裂的主因。考虑了泊松效应，但实验吻合不佳，较少使用。
4. 第三强度理论（最大剪应力理论，Tresca准则）：认为最大剪应力是引起屈服的主因。形式简单，偏保守，适用于塑性材料。
5. 第四强度理论（形状改变比能理论，von Mises准则）：认为畸变能密度（形状改变比能）是引起屈服的主因。与多数金属材料试验数据吻合好，应用最广。
6. 莫尔强度理论：考虑材料拉压强度不同，基于极限应力圆的包络线。适用于土壤、岩石等。

理论是近似。第三理论保守；第四理论与多数金属试验数据吻合较好，误差一般在±10%以内。选择取决于材料特性（脆性/塑性）和应力状态。

材料破坏机理假设、能量原理

场景：机械零件（轴、齿轮、压力容器）的强度设计与校核、安全评估。
特征：将复杂应力状态等效为单向应力状态，引入相当应力 σr​， 要求 σr​≤[σ]。

σ1​，σ2​，σ3​：主应力（σ1​≥σ2​≥σ3​）。
σb​：抗拉强度（脆性断裂）。
σs​：屈服强度（塑性屈服）。
τb​：剪切强度。
ν：泊松比。
σr​：相当应力。

代数/不等式：核心是比较表达式与许用值。
主应力/不变量：基于应力张量的主值或不变量（如第二偏应力不变量 J2​）。
几何解释：在应力空间（如 π平面）中，屈服面是圆柱（von Mises）或六棱柱（Tresca）。

零件强度校核流程：
1. 应力分析：通过理论计算或有限元分析，确定危险点的应力状态，计算主应力 σ1​，σ2​，σ3​。
2. 选择强度理论：根据材料属性（脆性选第一或莫尔理论，塑性选第三或第四理论）和载荷类型选择。
3. 计算相当应力：如对塑性材料常用第四理论：σr​=21​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]​。
4. 确定许用应力：[σ]=ns​σs​​或 nb​σb​​， n为安全系数。
5. 强度判断：若 σr​≤[σ]， 则安全；否则不安全。

描述了导致材料失效的“力学驱动力”的流动与集中。不同的理论假设了不同的“失效驱动力”流动路径：
- 最大拉应力理论：认为“拉应力流”是主导。
- 最大剪应力理论：认为“剪应力流”是主导。
- 畸变能理论：认为导致形状改变的“能量流”是主导。强度理论就是将这些多维的“力流”或“能流”映射到一个等效的单轴度量上。

JX-D1-0015​

疲劳模型

结构耐久性/可靠性

σa​=σf′​(2Nf​)b
ϵa​=Eσf′​​(2Nf​)b+ϵf′​(2Nf​)c

应变-寿命方程（Coffin-Manson方程）

1. 疲劳过程：材料在循环载荷下，微观裂纹萌生并扩展至断裂。
2. 总应变幅分解：循环应变幅 ϵa​可分解为弹性应变幅 ϵea​和塑性应变幅 ϵpa​。
3. 弹性部分：基于应力-寿命（S-N）方法，弹性应变幅与寿命关系：ϵea​=Eσa​​=Eσf′​​(2Nf​)b。
4. 塑性部分：基于塑性应变与寿命的幂律关系（Coffin-Manson律）：ϵpa​=ϵf′​(2Nf​)c。
5. 合成方程：总应变幅 ϵa​=ϵea​+ϵpa​=Eσf′​​(2Nf​)b+ϵf′​(2Nf​)c。
6. 参数：σf′​疲劳强度系数，b疲劳强度指数，ϵf′​疲劳延性系数，c疲劳延性指数，由材料试验确定。

适用于低周疲劳（高应变，寿命 <105次）到高周疲劳的过渡区。在高周区（ϵpa​很小），退化为应力-寿命模型。试验数据分散性大，需统计分析。

能量耗散原理、循环塑性变形累积损伤

场景：承受交变载荷的机械零件（发动机曲轴、飞机起落架、涡轮叶片）的寿命预测。
特征：基于局部应变法，考虑了材料的循环应力-应变行为，比传统S-N曲线（只关注应力）更精细。

ϵa​：总应变幅（控制变量）。
Nf​：失效循环次数（预测目标）。
σf′​：疲劳强度系数。
b：疲劳强度指数（通常为负，-0.05 ~ -0.12）。
ϵf′​：疲劳延性系数。
c：疲劳延性指数（通常为负，-0.5 ~ -0.7）。
E：弹性模量。

幂律/对数坐标线性化：方程两边取对数后，log(ϵa​)−log(2Nf​)呈分段线性关系。
统计分析：材料参数有统计分布，寿命预测需考虑存活率。
损伤累积：常与Miner线性累积损伤法则结合使用。

基于局部应变法的疲劳寿命分析流程：
1. 载荷谱获取：获取零件危险点的应变-时间历程。
2. 雨流计数：将随机历程分解为一系列完整的应变循环（ϵa​，ϵm​）。
3. 平均应力修正：使用 Morrow 或 Smith-Watson-Topper 修正公式，将非对称循环（ϵm​=0）等效为对称循环。
4. 寿命计算：对每个应变循环，利用应变-寿命方程 ϵa​=Eσf′​​(2Nf​)b+ϵf′​(2Nf​)c求解该循环下的失效寿命 Nf，i​。
5. 损伤累积：根据 Miner 法则，每个循环造成的损伤为 Di​=1/Nf，i​。总损伤 D=∑Di​。
6. 寿命预测：当 D≥1（或指定临界值）时预测失效，总寿命为载荷谱块长度除以 D。

描述了循环塑性变形导致损伤的“能量/微结构演化流”。塑性应变幅 ϵpa​是每次循环中不可逆的“损伤流”的度量，其累积导致裂纹萌生。弹性应变幅 ϵea​也贡献损伤，尤其在长寿命区。方程本质是损伤累积速率与应变幅之间的本构关系。总损伤流（导致失效）是弹性与塑性损伤流的叠加。

JX-D1-0016​

几何关系

机构学/机器人学

v=J(q)q˙​
q˙​=J+(q)v+(I−J+J)q˙​0​

速度雅可比矩阵及其广义逆

1. 微分运动关系：机器人末端操作速度 v=[vpT​，ωT]T与关节速度 q˙​之间呈线性关系，系数矩阵即为雅可比矩阵 J(q)。
2. 雅可比计算：J(q)=[Jv1​Jω1​​⋯⋯​Jvn​Jωn​​]， 对于旋转关节 i：Jvi​=zi​×(p​e​−p​i​)， Jωi​=zi​；对于移动关节：Jvi​=zi​， Jωi​=0。
3. 正向速度问题：已知 q˙​， 求 v， 直接计算 v=J(q)q˙​。
4. 逆向速度问题：已知 v， 求 q˙​。当 J是方阵且满秩，q˙​=J−1v。当非方阵或奇异，使用广义逆（伪逆）J+。
5. 冗余度处理：对冗余机器人（n>6）， (I−J+J)q˙​0​为零空间项，可在满足末端速度要求的同时优化次级目标（如避奇异、避障）。

基于微分运动学，在瞬时构型下精确。误差来源于关节间隙、连杆柔性。奇异性是固有特性。

微分几何、线性代数（矩阵的伪逆）

场景：机器人轨迹规划中的速度控制、力控制、奇异规避、冗余度解析。
特征：雅可比矩阵是位形空间的局部线性映射。奇异性对应于自由度退化。伪逆解提供最小范数解。

v：末端操作速度（6×1）。
q˙​：关节速度（n×1）。
J(q)：几何雅可比矩阵（6×n），是位形 q的函数。
J+：J的 Moore-Penrose 伪逆。
q˙​0​：零空间中的任意关节速度向量。

线性代数：核心是矩阵乘法、求逆/伪逆。
微分：雅可比是正向运动学方程的微分。
局部线性化：在给定位形 q0​附近，运动学被线性化为 δx≈J(q0​)δq。
优化：伪逆解 q˙​=J+v是 min∥q˙​∥s.t. Jq˙​=v的解。

冗余机器人逆运动学求解时序（梯度投影法）：
1. 输入：期望末端速度 vd​， 当前关节角 qk​。
2. 计算雅可比：Jk​=J(qk​)。
3. 计算伪逆：Jk+​=JkT​(Jk​JkT​)−1（假设行满秩）。
4. 计算零空间投影矩阵：N=I−Jk+​Jk​。
5. 定义优化梯度：为优化目标函数 H(q)（如关节极限躲避：H(q)=−∑(qi，max​−qi，min​)2(qi​−qi，mid​)2​）， 计算梯度 ∇Hk​。
6. 合成关节速度：q˙​k​=Jk+​vd​+αN∇Hk​， α>0。
7. 积分更新：qk+1​=qk​+q˙​k​Δt。
8. 循环：直到末端到达目标位置。

描述了从关节空间速度到任务空间速度的“运动流”映射及其逆映射。雅可比矩阵 J是这个映射的“传导率矩阵”。正运动学是速度从关节向末端的“正向流动”。逆运动学是速度从末端向关节的“反向分配”。伪逆 J+实现了在最小能量（最小关节速度范数）意义下的“最优分配流”。零空间 (I−J+J)代表了不影响末端运动的“内部循环流”，可用于系统内部的优化调节。

JX-D1-0017​

振动方程

结构动力学/模态分析

Mx¨(t)+Cx˙(t)+Kx(t)=F(t)

多自由度系统振动微分方程

1. 系统离散化：将连续结构离散为有限个自由度（如集中质量、有限元节点），位移向量 x(t)=[x1​(t)，x2​(t)，...，xn​(t)]T。
2. 动能与势能：系统动能 T=21​x˙TMx˙， 势能 U=21​xTKx， M和 K分别为质量矩阵和刚度矩阵，对称正定/半正定。
3. 瑞利耗散函数：假设阻尼力与速度成正比，R=21​x˙TCx˙， C为阻尼矩阵。
4. 拉格朗日方程：代入 L=T−U和广义力（非保守力 F(t)）， 得到上述矩阵形式方程。
5. 外力：F(t)为随时间变化的外力向量。

模型精度取决于离散化程度和 M，C，K矩阵的准确性。阻尼矩阵 C通常难以精确获得，常假设为比例阻尼（Rayleigh阻尼）：C=αM+βK。

拉格朗日力学、离散系统理论

场景：建筑抗震分析、车辆NVH分析、机床颤振预测、航空航天结构动态响应。
特征：耦合的线性二阶常微分方程组，可通过模态分析解耦。系统动态特性由特征值（频率）和特征向量（振型）描述。

M：n×n质量矩阵（通常对称、正定）。
C：n×n阻尼矩阵。
K：n×n刚度矩阵（对称、半正定）。
x(t)：n×1位移向量。
F(t)：n×1外力向量。

常微分方程组：核心是耦合的线性二阶ODE。
特征值问题：无阻尼自由振动 (K−ω2M)ϕ=0产生固有频率 ωi​和振型 ϕi​。
矩阵对角化：在模态坐标下，方程可解耦为单自由度系统。
线性叠加：响应可通过振型叠加得到。

模态分析与时程分析流程：
1. 建立 M，K矩阵：通过有限元法或集中参数法。
2. 求解广义特征值问题：(K−ωi2​M)ϕi​=0， 得到 n个固有频率 ωi​和振型 ϕi​。
3. 振型归一化：通常使 ϕiT​Mϕi​=1。
4. 模态坐标变换：令 x(t)=Φq(t)， 其中 Φ=[ϕ1​，ϕ2​，...，ϕn​]。
5. 方程解耦：假设比例阻尼，代入原方程并左乘 ΦT， 得到解耦的模态方程：q¨​i​(t)+2ζi​ωi​q˙​i​(t)+ωi2​qi​(t)=ϕiT​F(t)， i=1，2，...，n。
6. 求解单自由度方程：对每个模态方程，使用杜哈梅积分或数值积分求 qi​(t)。
7. 变换回物理坐标：x(t)=∑i=1n​ϕi​qi​(t)。

描述了振动能量在多个自由度间的流动与转化。质量矩阵 M存储动能，刚度矩阵 K存储势能，阻尼矩阵 C耗散能量。外力 F(t)是外部能量输入。模态分析揭示了系统固有的能量流动模式（振型），每个振型对应一种能量在自由度间特定比例的分配方式。系统的总响应是这些模态“能量流”的线性叠加。

JX-D1-0018​

稳定性判据

控制系统/动力学系统

Δ(s)=an​sn+an−1​sn−1+...+a1​s+a0​=0
所有根具有负实部 ⇔劳斯表第一列全为正

劳斯-赫尔维茨稳定性判据

1. 系统特征方程：线性时不变系统稳定性由其传递函数分母或状态矩阵特征方程 Δ(s)=0的根（极点）决定。系统稳定的充要条件是所有根具有负实部（左半平面）。
2. 构建劳斯表：根据特征方程系数构造一个三角形数组（劳斯阵列）。
3. 计算规则：
- 第一行：an​，an−2​，an−4​，...
- 第二行：an−1​，an−3​，an−5​，...
- 后续行元素 ri，j​=−ri−1，1​1​​ri−2，1​ri−1，1​​ri−2，j+1​ri−1，j+1​​​
4. 判据：系统稳定的必要条件是所有系数 ai​>0。充分条件是劳斯表第一列所有元素均为正数。第一列元素符号改变的次数等于右半平面极点的个数。

判据精确（针对线性系统）。它避免了直接求解高次方程的根，是代数判据。对含参数的系统，可用于分析稳定区间。

多项式根的性质、线性系统理论

场景：控制系统参数稳定性分析、判断特征方程根的位置、预测系统是否发散。
特征：代数方法，无需求解根，适用于高阶系统。可以处理含未知参数的系统，判断参数稳定域。

Δ(s)：系统特征多项式。
ai​：多项式实系数。
s：拉普拉斯变量。
ri，j​：劳斯表中第 i行第 j列元素。

代数：基于多项式系数进行表格运算。
行列式计算：劳斯表中元素计算涉及二阶行列式。
判定定理：将复平面根的位置问题转化为实数符号问题。

劳斯稳定性分析流程：
1. 写出特征方程：Δ(s)=an​sn+...+a1​s+a0​=0。
2. 必要条件检查：所有 ai​>0。若不满足，系统不稳定。
3. 构造劳斯表：
sn： an​， an−2​， an−4​， ...
sn−1： an−1​， an−3​， an−5​， ...
sn−2： b1​=an−1​an−1​an−2​−an​an−3​​， b2​=an−1​an−1​an−4​−an​an−5​​， ...
sn−3： c1​=b1​b1​an−3​−an−1​b2​​， ...
...
s0： ...
4. 检查第一列符号：从上至下检查劳斯表第一列元素 an​，an−1​，b1​，c1​，...的符号。
5. 稳定性判断：若第一列所有元素均大于零，则系统稳定；若出现负数，则不稳定，且符号改变的次数等于右半平面极点数。
6. 特殊情况处理：如某行第一列为零但整行不全为零，用极小正数 ϵ代替继续计算；如某行全为零，则存在对称于原点的根，需用上一行构造辅助多项式求导后继续。

描述了系统极点（模态）在复平面上的“分布流”。稳定的系统，其所有极点（能量模态）都位于左半平面，意味着任何扰动引起的自由响应都会指数衰减（能量耗散）。劳斯判据通过检验特征多项式系数的组合（劳斯表第一列），间接监控了这些极点是否企图“流入”右半平面（实部为正），右半平面的极点对应指数增长的模式（能量输入超过耗散），导致系统失稳。

JX-D1-0019​

流体动力学方程

计算流体力学

∂t∂ρ​+∇⋅(ρu)=0
∂t∂(ρu)​+∇⋅(ρu⊗u)=−∇p+∇⋅τ+ρg​
∂t∂(ρE)​+∇⋅(ρHu)=∇⋅(k∇T)+∇⋅(τ⋅u)+ρu⋅g​+Sh​

可压缩纳维-斯托克斯方程组

1. 质量守恒：同上JX-D1-0006。
2. 动量守恒：牛顿第二定律应用于流体微团。左边为惯性项（当地导数和对流导数），右边为表面力（压力梯度 −∇p和粘性应力张量散度 ∇⋅τ）与体力 ρg​。
3. 能量守恒：热力学第一定律。总能量 E=e+21​u⋅u， 焓 H=h+21​u⋅u。右边依次为热传导、粘性耗散功、体积力功和外部热源 Sh​。
4. 本构关系闭合：
- 应力张量（牛顿流体）：τ=2μS−32​μ(∇⋅u)I， S为应变率张量。
- 状态方程：如理想气体 p=ρRT， e=cv​T。
- 傅里叶热传导：q​=−k∇T。
5. 参数：μ动力粘度，k热导率，R气体常数，cv​定容比热容。

是流体运动最基本的物理定律，形式精确。数值求解的精度和稳定性受离散格式、湍流模型、网格质量等极大影响。对高雷诺数流动，直接求解(DNS)计算量巨大，常用RANS或LES模型。

质量、动量、能量守恒定律、牛顿粘性定律、傅里叶热传导定律

场景：航空航天（翼型绕流、发动机燃烧）、汽车工业（外流场、发动机舱冷却）、能源动力（涡轮机械、燃烧室）。
特征：强非线性（对流项）、耦合（速度-压力-温度）、存在激波（双曲性）和湍流（多尺度、随机）。

ρ：密度。
u：速度向量。
p：压力。
τ：粘性应力张量。
g​：重力加速度。
E：单位质量总能量。
H：单位质量总焓。
T：温度。
k：热导率。
μ：动力粘度。
Sh​：体积热源。

非线性偏微分方程组：对流项 (u⋅∇)u是非线性的来源。
守恒形式：方程写成 ∂t∂U​+∇⋅F=S的形式，便于有限体积法离散。
双曲/抛物混合型：无粘项（欧拉方程）是双曲型的，有粘项是抛物型的。
多维耦合：方程在空间上耦合。

有限体积法求解流程（以稳态问题为例）：
1. 前处理：几何建模与网格划分，生成控制体。
2. 离散：在每个控制体上对守恒方程进行积分。以动量方程为例：∫CV​∇⋅(ρuu)dV=−∫CV​∇pdV+...应用高斯散度定理转化为对各控制面的通量求和。
3. 对流项离散：使用迎风、中心、QUICK等格式计算通过每个面的质量、动量和能量通量。
4. 压力-速度耦合：使用SIMPLE、PISO等算法处理压力与速度的隐式耦合。
5. 线性化与求解：将非线性方程组线性化，形成 Aϕ=b的线性系统，用迭代法（如GMRES）求解各变量（u，v，w，p，T）在网格节点上的值。
6. 迭代收敛：重复步骤3-5，直到残差小于设定值，解不再变化。
7. 后处理：可视化流线、压力云图、速度矢量等。

完整描述了质量流、动量流和能量流在流体域中的对流、扩散、产生与耗散。
- 对流：由 ∇⋅(ρϕu)项描述，是物理量 ϕ随流体运动而携带的流动。
- 扩散：由 ∇⋅(k∇T)和 ∇⋅τ描述，是由于分子热运动或粘性引起的物理量从高值区间低值区的流动。
- 源/汇：由 ρg​， Sh​等描述，是物理量在当地的产生或消失。
整个NS方程组就是这些流动过程的精确会计记录。

JX-D1-0020​

优化算法

机械设计/运筹学

minx∈Rn​f(x)
s.t. gi​(x)≤0，i=1，...，m
hj​(x)=0，j=1，...，p
更新规则：xk+1​=xk​−αk​∇f(xk​)

梯度下降法（最速下降法）

1. 问题建模：将工程设计问题（如轻量化、性能最优）转化为含目标函数 f(x)和约束 gi​(x)，hj​(x)的数学优化问题。
2. 迭代思想：从初始点 x0​出发，沿当前点目标函数梯度 ∇f(xk​)的负方向（函数值下降最快方向）进行搜索。
3. 迭代公式：xk+1​=xk​−αk​∇f(xk​)， 其中 αk​>0为步长或学习率。
4. 步长选择：可通过线搜索（如精确线搜索、Armijo准则）确定 αk​， 使 f(xk+1​)<f(xk​)。
5. 收敛条件：当 ∥∇f(xk​)∥<ϵ或 $

f(\mathbf{x}{k+1}) - f(\mathbf{x}k)

< \delta$ 时停止迭代。
6. 处理约束：对于约束问题，需结合罚函数法、拉格朗日乘子法或投影法。

收敛速度慢（线性收敛），特别是在谷底呈“之”字形振荡。对初始值和步长敏感。是许多高级优化算法（如共轭梯度法、Adam）的基础。

微积分（梯度方向是函数最速上升方向）、泰勒展开

场景：机器学习模型训练、结构参数优化、控制系统参数整定等无约束或简单约束的连续优化问题。
特征：一阶方法，只使用梯度信息；简单易实现；但易陷入局部极小，收敛速度慢。

x：n维设计变量向量。
f(x)：标量目标函数。
∇f(x)：目标函数的梯度向量。
αk​：第 k次迭代的步长。
gi​(x)：不等式约束。
hj​(x)：等式约束。
ϵ，δ：收敛容差。

微积分/向量分析：核心是梯度。
迭代算法：通过迭代逐步逼近最优解。
线性收敛：误差以线性速率减小。
搜索方向：负梯度方向是当前点处函数值下降的局部最快方向。

JX-D1-0021​

接触力学模型

机械连接/摩擦学

FN​=Kδ+Dδ˙
FT​={μFN​KT​δT​+DT​δ˙T​​if slidingif sticking​

罚函数法接触模型（含库仑摩擦）

1. 接触检测：判断从点与主面是否发生穿透。定义法向间隙 gN​， 若 gN​<0则发生接触。
2. 法向接触力：采用弹簧-阻尼模型模拟。穿透量 δ=−gN​。法向力 FN​=Kδ+Dδ˙， 其中 K为罚刚度（很大），D为法向阻尼系数。
3. 切向摩擦：采用库仑摩擦模型。
- 粘着状态：当切向力未达最大静摩擦时，FT​=KT​δT​+DT​δ˙T​（类似切向弹簧-阻尼），δT​为切向相对位移。
- 滑动状态：当切向力达到 μFN​时开始滑动，FT​=μFN​⋅sign(δ˙T​)， μ为滑动摩擦系数。
4. 状态切换：需根据切向力预测值和摩擦定律判断粘着/滑动状态的切换。

是物理接触的简化模型。精度取决于罚刚度 K（理论上 K→∞精确，但数值上会导致病态）。摩擦模型是对复杂微观滑移的宏观近似。计算效率高，广泛应用于显式动力学。

赫兹接触理论（小变形）、库仑摩擦定律、惩罚原理

场景：多体动力学中的碰撞与接触（齿轮啮合、轴承滚子-滚道、车门关闭）、机械装配干涉分析。
特征：强非线性（接触状态突变）、非光滑（摩擦力方向突变）、数值病态（罚刚度大导致小时间步）。

gN​：法向间隙（负值表示穿透）。
δ，δ˙：法向穿透量及其速率。
K，D：法向罚刚度和阻尼系数。
FN​：法向接触力。
δT​，δ˙T​：切向相对位移/速度。
KT​，DT​：切向罚刚度和阻尼系数。
FT​：切向摩擦力。
μ：摩擦系数。

非光滑动力学：摩擦力在滑动开始点不连续。
互补问题：接触条件 gN​≥0， FN​≥0， gN​⋅FN​=0构成线性互补问题（LCP）。
微分包含：摩擦力的描述符合微分包含形式。
数值稳定性：显式积分要求 Δt<2/K/m​。

显式动力学中接触力计算流程（每个时间步）：
1. 几何搜索：检测所有可能接触对，计算 gN​。
2. 法向力计算：对 gN​<0的接触对，计算穿透量 δ=−gN​和穿透速率 δ˙（基于相对速度）。计算 FN​=max(0，Kδ+Dδ˙)（防止拉力）。
3. 切向状态初始化：读取上一时间步的切向位移 δTold​和状态（粘着/滑动）。
4. 预测切向力：假设粘着，计算弹性预测量 FT∗​=KT​δTold​+DT​δ˙T​。
5. 摩擦定律判断：
- 若 ∥FT∗​∥≤μFN​， 状态为粘着，FT​=FT∗​， 更新 δTnew​=δTold​+δ˙T​Δt。
- 若 ∥FT∗​∥>μFN​， 状态为滑动，FT​=μFN​⋅(FT∗​/∥FT∗​∥)， 并修正 δTnew​使 KT​δTnew​=FT​（屈服点调整）。
6. 合力组装：将接触力 FN​和 FT​向量合成，施加到对应节点的力向量上。

描述了接触界面间力与运动的“约束流”。法向接触像一根非线性的弹簧-阻尼器，仅在受压时传递“力流”。切向摩擦则像一个带屈服极限的剪切弹簧-阻尼器：在屈服前（粘着），传递弹性“剪力流”；达到屈服极限后（滑动），“剪力流”被限制在最大值 μFN​， 多余的相对运动能量被耗散。状态切换点就是“力流”通道从弹性传递切换到限幅耗散的临界点。

JX-D1-0022​

波动方程

声学/弹性动力学

∂t2∂2u​=c2∇2u
一维形式：∂t2∂2u​=c2∂x2∂2u​

经典波动方程

1. 物理背景：描述微小扰动在弹性介质（弦、杆、膜、声场）中的传播。
2. 模型推导（以一维弦为例）：
- 考虑弦的微小横向振动，张力 T近似为常数。
- 微元 dx左右两端张力的垂直分量差为 $

JX-D1-0022​

控制原理

线性系统理论

G(s)=U(s)Y(s)​=an​sn+...+a1​s+a0​bm​sm+...+b1​s+b0​​

传递函数

1. 系统线性化：在平衡点附近，对非线性系统进行线性化，得到线性常系数微分方程：an​y(n)+...+a1​y˙​+a0​y=bm​u(m)+...+b1​u˙+b0​u。
2. 拉普拉斯变换：在零初始条件下，对微分方程两边进行拉普拉斯变换，利用微分定理 L{f(k)(t)}=skF(s)。
3. 代数化：得到 (an​sn+...+a1​s+a0​)Y(s)=(bm​sm+...+b1​s+b0​)U(s)。
4. 定义传递函数：输出与输入的拉氏变换之比即为传递函数 G(s)。它完全表征了系统的输入-输出动态特性。
5. 结构性质：分母多项式根为极点，决定系统稳定性和自由响应模式；分子多项式根为零点，影响系统对特定频率输入的响应。

仅在系统为线性时不变（LTI）且在零初始条件下精确成立。对于非线性系统，是其在小信号扰动下的近似模型。

拉普拉斯变换理论、线性系统理论

场景：控制系统分析与综合、频域响应（伯德图、奈奎斯特图）绘制、稳定性分析、控制器设计。
特征：复域（s域）表示，将微分方程转化为代数方程，便于分析系统互联（串联、并联、反馈）。

G(s)：传递函数。
s=σ+jω：复频率（拉普拉斯变量）。
Y(s)，U(s)：输出、输入信号的拉氏变换。
ai​，bi​：微分方程系数，由系统物理参数决定。
n，m：系统阶数和分子阶数。

复变函数：G(s)是复变量s的有理函数。
代数：系统互联对应传递函数的乘、加、反馈公式。
极点和零点：多项式求根，几何解释。
线性：叠加原理成立。

从物理系统到传递函数的建模流程：
1. 列写微分方程：基于物理定律（牛顿定律、基尔霍夫定律等）建立系统微分方程。
2. 线性化（若有必要）：在平衡点 (u0​，y0​)处进行泰勒展开并保留一阶项。
3. 零初始条件拉氏变换：对方程两边进行拉氏变换，L{dky/dtk}=skY(s)。
4. 整理：将所有含 Y(s)的项移到左边，含 U(s)的项移到右边。
5. 求比值：G(s)=Y(s)/U(s)。
应用流程（频域分析）：
1. 令 s=jω， 得到频率特性 G(jω)。
2. 计算幅频特性 $A(\omega) =

G(j\omega)

JX-D1-0023​

稳定性判据

频域控制理论

Z=N+P

奈奎斯特稳定性判据

1. 原理基础：幅角原理。映射定理：当s沿奈奎斯特路径（包围整个右半平面）顺时针绕行一周时，开环传递函数 G(s)H(s)在 G(s)H(s)平面上环绕点 (−1，j0)的净圈数 N与闭环系统右半平面极点 Z和开环右半平面极点 P满足 Z=N+P。
2. 稳定性条件：闭环系统稳定的充要条件是 Z=0， 即 N=−P。对于开环稳定的系统（P=0）， 稳定性条件简化为奈奎斯特曲线不包围 (−1,j0)点。
3. 绘制奈奎斯特图：画出开环频率特性 G(jω)H(jω)当 ω从 0→∞和 −∞→0时的轨迹。
4. 计算包围圈数：从 ω=−∞到 ∞观察曲线相对于 (−1,j0)点的旋转方向（逆时针为正，顺时针为负）和圈数。

判据精确，适用于线性时不变系统。可以处理延迟环节 e−sτ， 这是劳斯判据难以处理的。图形化方法还能提供稳定裕度（幅值裕度、相位裕度）信息。

复变函数（幅角原理）、反馈系统理论

场景：判断闭环控制系统稳定性，尤其是含延迟或难以获得特征多项式的系统；评估系统相对稳定性（稳定裕度）。
特征：频域图形判据，利用开环频率特性判断闭环稳定性，可提供稳定性 robustness 的直观度量。

G(s)H(s)：开环传递函数。
Z：闭环传递函数在右半平面的极点数。
P：开环传递函数在右半平面的极点数。
N：奈奎斯特曲线绕 (−1,j0)点的净圈数（逆时针为正）。
ω：频率。

复分析/映射：核心是幅角原理。
几何/图形：基于 G(s)H(s)平面上的曲线分析。
稳定性：将闭环极点位置问题转化为开环频率曲线的几何问题。

奈奎斯特稳定性分析流程：
1. 确定开环传递函数​ G(s)H(s)及其在右半平面的极点数 P。
2. 绘制奈奎斯特路径：在s平面上，路径由虚轴（从 −j∞到 +j∞）和右半平面无限大半圆组成。
3. 映射：绘制 G(s)H(s)平面上的奈奎斯特曲线。即绘制 ω从 0+→+∞的 G(jω)H(jω)曲线，再根据实轴对称性补全 ω从 −∞→0−的部分。对于原点处的极点，需用无穷小半圆绕行。
4. 计算净圈数​ N：从 ω=−∞出发，沿曲线走到 ω=+∞， 观察曲线逆时针环绕 (−1,j0)点的次数减去顺时针环绕的次数。
5. 计算闭环右半平面极点数：Z=N+P。
6. 稳定性判断：若 Z=0， 则闭环系统稳定；否则不稳定。
7. 读取稳定裕度：曲线与负实轴交点的幅值倒数 $1/

GH

JX-D1-0024​

数值方法

计算固体力学

Ka=F
其中 K=∑ke， F=∑fe

有限元法基本方程（线弹性静力）

1. 强形式到弱形式：将平衡方程 ∇⋅σ+b=0及其边界条件，通过加权残值法（如 Galerkin 法）转化为积分弱形式：∫Ω​δϵTσdΩ=∫Ω​δuTbdΩ+∫Γt​​δuTtdΓ。
2. 域离散：将连续体 Ω离散为有限个单元 Ωe， 在单元内假设位移场 ue=Neae， 其中 Ne为形函数矩阵，ae为单元节点位移向量。
3. 应变与应力：ϵe=Beae， σe=Deϵe=DeBeae， 其中 Be为应变-位移矩阵，De为本构矩阵。
4. 单元刚度矩阵与载荷向量：代入弱形式，得到单元贡献：ke=∫Ωe​(Be)TDeBedΩ， fe=∫Ωe​(Ne)TbdΩ+∫Γte​​(Ne)TtdΓ。
5. 整体组装：将各单元的 ke和 fe根据节点编号组装成整体刚度矩阵 K和整体载荷向量 F。

精度取决于：网格密度（h-收敛）、单元阶次（p-收敛）、几何与物理模型准确性。误差有离散误差、数值积分误差、舍入误差。可通过后验误差估计进行网格自适应。

变分原理（最小势能原理或虚功原理）、加权残值法

场景：复杂几何结构的静力、动力、热、流固耦合等物理场分析。是CAE软件（如ANSYS， ABAQUS）的核心。
特征：适应复杂几何和边界条件，程序通用性强。最终化为大规模稀疏线性方程组求解问题。

K：整体刚度矩阵（对称、正定、稀疏）。
a：整体节点位移向量（未知量）。
F：整体节点载荷向量。
ke：单元刚度矩阵。
fe：单元等效节点力向量。
Ne：单元形函数矩阵。
Be：单元应变-位移矩阵。
De：单元材料本构矩阵。

变分法/泛函：基于能量最小化或加权残值。
线性代数：核心是求解 Ka=F。
数值积分：单元矩阵计算需高斯积分。
逼近理论：用分片多项式逼近连续场。
稀疏矩阵：K是稀疏的，存储和求解有特殊算法。

有限元分析通用流程：
1. 前处理：几何建模 -> 材料属性定义 -> 网格划分 -> 施加约束与载荷。
2. 单元循环计算：
for 每个单元 e：
a. 提取节点坐标和材料属性。
b. 计算形函数 Ne及其导数，形成 Be。
c. 计算单元刚度矩阵 ke=∫Ve​BeTDBedV（高斯积分）。
d. 计算单元载荷 fe。
e. 将 ke和 fe组装到全局 K和 F中。
3. 施加位移边界条件：处理 Ka=F中的已知位移（置1法、乘大数法等）。
4. 求解方程组：使用直接法（如LDLT分解）或迭代法（如PCG）求解 a。
5. 后处理：
for 每个单元 e：
a. 提取单元位移 ae。
b. 计算单元应变 ϵe=Beae。
c. 计算单元应力 σe=Deϵe。
d. 可选计算节点应力（平均或外推）。
6. 结果可视化与评估。

描述了外力在离散化结构中的“传递与平衡流”。刚度矩阵 K是结构内部抗力通道的传导率张量，它将节点位移“流” a映射为节点力“流” Ka。方程 Ka=F意味着外部载荷 F流入结构后，通过内部的所有“传导路径”（单元），最终被结构内力 Ka完全平衡。每个单元的贡献是局部“传导路径”的描述，组装过程就是将所有局部路径连接成全局网络。

JX-D1-0025​

数值方法

计算流体力学

∂t∂U​+∂x∂F​+∂y∂G​+∂z∂H​=S
对控制体积分：
dtd​∫V​UdV+∮A​(F，G，H)⋅ndA=∫V​SdV

有限体积法基本方程（积分守恒形式）

1. 守恒定律的积分形式：任何流动的守恒律（质量、动量、能量）均可写成上述散度形式。对固定控制体 V积分，利用散度定理，将体积分转化为通过控制体表面 A的通量积分。
2. 离散化：将计算域划分为许多不重叠的控制体（网格单元）。对每个控制体 i， 上述方程离散为：
Vi​dtdUi​​+∑f​(Ff​⋅nf​)Af​=Si​Vi​
其中 f遍历控制体 i的所有面，Ff​是面 f上的通量向量，nf​是面向外的单位法向量，Af​是面积。
3. 关键：通量计算：Ff​的计算决定了方法的精度和性质。包括对流通量和粘性通量。对流通量计算常用格式：中心格式、迎风格式（如一阶迎风、二阶迎风）、Roe格式、AUSM+ 等，用于处理双曲性并捕捉激波。
4. 时间推进：将半离散方程写成 dUi​/dt=Ri​(U)， 采用显式（如龙格-库塔）或隐式（如后向欧拉）时间积分。

精度取决于：网格质量、通量计算格式的阶数、时间积分格式。守恒性好，能精确捕捉激波等间断。湍流模型引入主要建模误差。

物理守恒定律（积分形式）、散度定理

场景：复杂外形的流体动力学计算，特别是涉及激波、分离流、多相流的场合。是主流CFD软件（如Fluent， STAR-CCM+）的核心方法。
特征：严格的局部和全局守恒性，易于处理复杂几何，物理意义明确。

U：守恒变量向量 [ρ，ρu，ρv，ρw，ρE]T。
F，G，H：x， y， z方向通量向量。
S：源项向量。
Vi​：第 i个控制体的体积。
Ui​：控制体内守恒变量的平均值。
Ff​：面 f上的数值通量。
Af​，nf​：面 f的面积和外法向。

守恒型偏微分方程：方程写成散度形式。
数值积分：控制体及面上的积分。
离散格式：空间离散的核心是通量重构。
常微分方程组：离散后化为关于时间的ODE系统。

有限体积法求解流程（稳态问题，隐式求解）：
1. 网格生成：生成体网格，明确所有控制体及其邻居、面信息。
2. 初始化流场​ Ui0​。
3. 进入迭代循环​ (n=0,1,2...)：
a. 重构：根据控制体平均值 Uin​， 利用梯度重构（如最小二乘法）得到界面两侧的变量值 UL​， UR​。
b. 通量计算：对每个界面 f， 基于 UL​， UR​计算数值通量 Ffn​（如使用Roe格式）。
c. 计算残差：Rin​=−Vi​1​∑f​Ffn​⋅nf​Af​+Si​。
d. 求解线性系统：对隐式格式 ΔtUin+1​−Uin​​=Rin+1​， 线性化 Rn+1≈Rn+∂U∂R​ΔU， 得到 [I/Δt−∂R/∂U]ΔU=Rn， 求解 ΔU。
e. 更新流场：Uin+1​=Uin​+ΔU。
4. 收敛判断：若 $\max_i

\mathbf{R}_i

JX-D1-0026​

磨损模型

摩擦学/可靠性

V=KHWs​

阿查德磨损定律（Archard）

1. 假设：磨损是由于表面微凸体接触产生塑性变形和材料迁移所致。真实接触面积与载荷成正比，与材料硬度成反比。
2. 磨损体积推导：
- 设单个微凸体接触面积为 Ai​， 屈服压力为 H（硬度），则载荷 Wi​=HAi​。
- 总真实接触面积 Ar​=∑Ai​=W/H。
- 假设滑动距离 s内，每个微凸体贡献的磨损碎屑体积正比于其面积和滑动距离，比例系数为 K（磨损系数）。
- 总磨损体积 V=KAr​s=KHWs​。
3. 磨损系数：K是量纲一参数，综合反映了材料副、润滑条件、表面形貌等因素，通过试验测定。数值范围很广（10−8到 10−2）。
4. 演化形式：磨损率 V˙=KHWv​， 其中 v是滑动速度。

是一个高度简化的经验-半经验模型。在中等载荷、稳定滑动条件下，对多种材料组合的磨损体积趋势预测有效。精度严重依赖磨损系数 K的准确获取，而 K本身受多因素影响。

接触力学、塑性变形、材料剥离的物理模型

场景：机械密封、轴承、齿轮、制动盘、滑轨等存在滑动接触的零件的寿命预估与设计。
特征：形式简单，参数物理意义明确，是许多复杂磨损模型的基础。适用于粘着磨损和磨粒磨损的某些情况。

V：磨损体积（m³）。
K：磨损系数（无量纲）。
W：法向载荷（N）。
s：总滑动距离（m）。
H：较软材料的布氏或维氏硬度（Pa）。
v：滑动速度（m/s）。

比例关系：磨损体积与载荷、滑动距离成正比，与硬度成反比。
经验参数：K需试验标定。
积分形式：磨损是随滑动距离累积的过程，V=∫V˙dt=∫KHW(t)v(t)​dt。

基于磨损模型的寿命预测流程：
1. 确定工况：获得接触副的法向载荷历程 W(t)和相对滑动速度历程 v(t)。
2. 标定参数：通过台架试验，确定该材料副在特定润滑和环境下的磨损系数 K和材料硬度 H。
3. 计算瞬时磨损率：V˙(t)=KHW(t)v(t)​。
4. 计算累积磨损量：V(t)=∫0t​V˙(τ)dτ。对于离散工况，V=∑i​KHWi​si​​， 其中 si​=vi​ti​。
5. 关联磨损量与功能失效：将磨损体积 V转化为关键尺寸变化（如密封间隙增大、轴承游隙变化）。定义失效的临界磨损量 Vcrit​或临界尺寸变化 δcrit​。
6. 预测寿命：当 V(t)≥Vcrit​或尺寸变化 ≥δcrit​时，对应的时间 t即为预测寿命。

描述了材料以磨屑形式从接触表面“流失”的速率。磨损系数 K可以理解为每次滑动中，真实接触面积内“转化为磨屑的材料比例”。方程 V˙=K(Wv/H)表明，材料流失率​ 正比于能量输入率（Wv近似为摩擦功率）除以材料抵抗变形的能力（H）。这是一个典型的“输入-耗散”流模型，输入是机械功，耗散是材料损失。

JX-D1-0027​

运动规划

机器人学/自动化

minq(t)​∫0tf​​(∑i=1n​wi​q˙​i2​)dt
s.t. q(0)=qs​，q(tf​)=qg​， q˙​min​≤q˙​≤q˙​max​， ...

关节空间轨迹规划（三次/五次多项式插值）

1. 问题定义：在关节空间生成一条从起点 qs​到终点 qg​的光滑轨迹 q(t)， 满足运动约束（速度、加速度极限），并优化某种性能指标（如时间最短、能量最小、平滑）。
2. 多项式插值：为每个关节 i独立设计一个关于时间 t的多项式函数 qi​(t)。
- 三次多项式：满足位置和速度边界条件（4个条件），qi​(t)=a0​+a1​t+a2​t2+a3​t3。
- 五次多项式：满足位置、速度和加速度边界条件（6个条件），qi​(t)=a0​+a1​t+a2​t2+a3​t3+a4​t4+a5​t5， 加速度连续更平滑。
3. 系数求解：将边界条件代入多项式及其导数，形成关于系数 aj​的线性方程组，求解即得唯一轨迹。
4. 性能优化：以上多项式轨迹固定了运动时间 tf​。优化问题通常是最小化 tf​或 ∫q˙​2dt（近似于最小化动能），同时满足 q˙​max​， q¨​max​等约束，这通常需要数值求解。

多项式轨迹在路径点上精确通过，且速度/加速度连续。这是对理想路径的近似，未考虑动力学（如惯性力、哥氏力）约束，实际跟踪时可能需要模型预测控制。

多项式插值理论、最优控制理论

场景：工业机器人点对点运动、机械臂拾放操作、数控机床的轮廓加工。
特征：计算简单，实时性好，轨迹光滑（高阶连续）。在关节空间规划，避免了几何奇异性。

q(t)：关节角度向量（n维函数）。
qs​，qg​：起点和终点关节角。
tf​：运动总时间。
aj​：多项式系数。
wi​：权重系数。
q˙​max​，q¨​max​：关节速度、加速度极限。

多项式代数：轨迹是时间多项式。
边界值问题：满足起点和终点的位置、速度、加速度条件。
优化：在约束下优化时间或能量。
微分：速度、加速度是轨迹的导数。

三次多项式轨迹生成流程：
1. 给定条件：起始点 (t0​,q0​,q˙​0​)， 终点 (tf​,qf​,q˙​f​)。通常 q˙​0​=q˙​f​=0。
2. 建立方程：
q(t)=a0​+a1​t+a2​t2+a3​t3
q˙​(t)=a1​+2a2​t+3a3​t2
3. 代入边界条件：
q0​=a0​+a1​t0​+a2​t02​+a3​t03​
q˙​0​=a1​+2a2​t0​+3a3​t02​
qf​=a0​+a1​tf​+a2​tf2​+a3​tf3​
q˙​f​=a1​+2a2​tf​+3a3​tf2​
4. 求解线性方程组：可解析求解。令 t0​=0， 解得：
a0​=q0​
a1​=q˙​0​
a2​=tf2​3(qf​−q0​)−(2q˙​0​+q˙​f​)tf​​
a3​=tf3​−2(qf​−q0​)+(q˙​0​+q˙​f​)tf​​
5. 生成轨迹：在 t∈[0,tf​]内，按公式计算 q(t),q˙​(t),q¨​(t)， 并发送给关节控制器。

描述了关节角度从起始值到目标值的平滑“流动”过程。多项式函数定义了角度随时间变化的“流动曲线”。三次多项式确保了速度的连续性（没有突变），就像定义了“流动”的斜率是平滑变化的。五次多项式进一步确保了加速度（流动曲线的曲率）的连续性，使得“流动”更加平滑，减少了冲击。轨迹规划就是设计这条“流动曲线”的形状，使其满足边界和约束。

JX-D1-0028​

流体模型

润滑/轴承技术

∂x∂​(μh3​∂x∂p​)+∂z∂​(μh3​∂z∂p​)=6U∂x∂h​+12∂t∂h​

雷诺方程（流体动压润滑）

1. 简化假设：基于 Navier-Stokes 方程，针对薄层润滑膜（h≪L）作如下简化：忽略体积力、惯性力；压力沿膜厚方向不变；流速沿膜厚呈抛物线分布（Couette-Poiseuille流）；无滑移边界；流体为牛顿流体。
2. 推导步骤：
- 从简化后的 N-S 方程积分，得到速度分布 u(x,z,t)， w(x,z,t)。
- 将速度分布代入连续方程 ∂x∂u​+∂y∂v​+∂z∂w​=0， 并沿膜厚 y方向积分。
- 应用壁面边界条件（$v

_{y=0}=0，v

_{y=h}=V），得到上述雷诺方程。<br>∗∗3.各项物理意义∗∗：<br>−左边：压力引起的流动（Poiseuille流）的扩散项。<br>−右边第一项：表面切向运动产生的楔形效应（U \partial h/\partial x）。<br>−右边第二项：挤压膜效应（\partial h/\partial t$）。

在假设成立的范围内（等粘、不可压、层流、薄膜）是精确的。实际应用中，需考虑端泄、空化、变粘度、表面粗糙度、湍流等修正。

纳维-斯托克斯方程、连续方程、薄层流体近似

场景：滑动轴承、径向轴承、推力轴承、导轨、活塞环-缸套、齿轮啮合等流体动压润滑分析。
特征：二维椭圆型偏微分方程，求解得到油膜压力分布 p(x,z)， 进而计算承载量、摩擦力、流量。

p：油膜压力 (Pa)。
h：油膜厚度，是 x,z,t的函数 (m)。
μ：润滑油动力粘度 (Pa·s)。
U：滑动表面切向速度 (m/s)。
t：时间 (s)。
x,z：沿润滑膜平面的坐标。

偏微分方程：椭圆型PDE。
润滑近似：通过量纲分析忽略高阶小量。
雷诺边界条件：在油膜破裂处需满足 p=0且 ∂p/∂n=0。

JX-D1-0029​

热传导方程

传热学/热力学

ρcp​∂t∂T​=∇⋅(k∇T)+q˙​v​

傅里叶热传导定律与能量方程

1. 傅里叶定律：热流密度向量 q​与温度梯度成正比，方向相反：q​=−k∇T， k为热导率。
2. 微元体能量平衡：对固定微元体，内能增加率 = 净导入热流量 + 内热源生成率。
- 内能增加率：ρcp​∂t∂T​dV（cp​为比热容）。
- 净导入热流量：−∇⋅q​dV=∇⋅(k∇T)dV。
- 内热源生成率：q˙​v​dV。
3. 得到方程：令三者平衡，消去 dV， 得到瞬态热传导方程。稳态时 ∂T/∂t=0， 方程为 ∇⋅(k∇T)+q˙​v​=0。
4. 边界条件：
- 第一类：规定温度 T=Ts​。
- 第二类：规定热流 qn​=−k∂n∂T​。
- 第三类：对流换热 qn​=h(Tf​−Ts​)。

在连续介质和各向同性材料中精确。实际误差来源于：k，cp​，ρ随温度变化；接触热阻；复杂边界条件（如辐射）的近似。

能量守恒定律、傅里叶热传导经验定律

场景：发动机缸体热分析、电子设备散热、热处理工艺模拟、建筑保温计算。
特征：抛物型偏微分方程（瞬态）或椭圆型（稳态）。温度场是标量场。

T：温度 (K)。
t：时间 (s)。
ρ：密度 (kg/m³)。
cp​：定压比热容 (J/(kg·K))。
k：热导率 (W/(m·K))。
q˙​v​：内热源强度 (W/m³)。
q​：热流密度向量 (W/m²)。
h：对流换热系数 (W/(m²·K))。

偏微分方程：扩散方程。
向量分析：涉及梯度 ∇T和散度 ∇⋅。
线性/非线性：若 k，ρ，cp​为常数，则为线性；若与 T相关，则为非线性。

瞬态热分析有限元流程：
1. 空间离散：建立网格，假设单元温度场 Te=NeTne​。
2. 建立半离散方程：应用 Galerkin 法得到 CT˙+KT=F， 其中：
- 热容矩阵 C=∑∫ρcp​NTNdV
- 热传导矩阵 K=∑∫k(BTB)dV+∑∫hNTNdS（考虑对流边界）
- 热载荷向量 F=∑∫q˙​v​NdV+∑∫hTf​NdS
3. 时间积分：采用一阶后向欧拉法：(C+ΔtK)Tn+1=CTn+ΔtFn+1。
4. 迭代求解：对每个时间步，求解线性方程组得到 Tn+1。
5. 循环直至结束时间。

描述了热量在介质中的“扩散流”。傅里叶定律 q​=−k∇T表明，热流从高温区流向低温区，流速（热流密度）正比于温度梯度（驱动力），比例系数是热导率 k。热传导方程 ρcp​∂t∂T​=∇⋅(k∇T)+q˙​v​是热量守恒方程：左边是内能（热量）的储存率，右边第一项是净流入的导热热量（扩散），第二项是内部产热（源）。

JX-D1-0030​

动力学算法

多体系统动力学

[MΦq​​ΦqT​0​][q¨​λ​]=[Qγ​]

带拉格朗日乘子的多体系统动力学方程（指标-1 DAE）

1. 系统描述：用广义坐标 q描述位形，系统受完整约束 Φ(q,t)=0。
2. 动力学方程：利用拉格朗日第一类方程或达朗贝尔-拉格朗日原理，引入拉格朗日乘子向量 λ表征约束力，得到：M(q)q¨​+ΦqT​(q)λ=Q(q,q˙​,t)。
3. 约束方程：对约束方程 Φ=0求时间二阶导，得到加速度级约束方程：Φq​(q)q¨​=γ(q,q˙​,t)， 其中 γ=−(Φq​q˙​)q​q˙​−2Φqt​q˙​−Φtt​。
4. 合成方程：将加速度级动力学方程与加速度级约束方程联立，得到关于 q¨​和 λ的线性方程组（矩阵如上）。
5. 参数：M为广义质量矩阵，Φq​为约束雅可比矩阵，Q为广义力（含科氏力、离心力、外力等）。

方程在加速度级精确。数值积分会产生约束漂移（即 Φ=0和 Φ˙=0被破坏），需采用稳定化方法（如Baumgarte修正、投影法）。

达朗贝尔原理、拉格朗日乘子法、微分-代数方程理论

场景：包含复杂运动副（铰链）的多体系统动力学仿真，如汽车悬架、机器人闭链机构、航天器太阳能帆板。
特征：微分-代数方程组（DAE），同时求解加速度和约束力。矩阵具有特殊的稀疏结构。

q,q˙​,q¨​：广义坐标、速度、加速度向量。
M：广义质量矩阵（对称正定）。
Φ(q,t)：完整约束方程向量。
Φq​：约束的雅可比矩阵（∂Φ/∂q）。
λ：拉格朗日乘子向量，物理上对应约束力。
Q：广义力向量。
γ：加速度级约束方程的右端项。

线性代数：求解一个稀疏的对称/非对称线性系统。
微分-代数方程：指标为3的DAE降至指标1求解。
约束优化：拉格朗日乘子法在动力学中的体现。

多体系统动力学仿真流程（常采用）：
1. 建模：定义物体、铰链、力元，生成系统拓扑，自动推导 M， Φ， Q。
2. 组装与求解：在每一时间步 tn​， 已知 qn​,q˙​n​， 组装矩阵和右端项，求解线性方程组得到 q¨​n​和 λn​。
3. 数值积分：将 q¨​n​和 q˙​n​作为ODE右端函数，用ODE积分器（如BDF， 隐式龙格-库塔）更新状态：
[qn+1​q˙​n+1​​]=Integrator([q˙​n​q¨​n​​])。
4. 约束稳定化：在积分过程中或之后，采用方法抑制 $

\Phi

JX-D1-0031​

故障诊断模型

状态监测/可靠性工程

x(t)=∑k=1K​Ak​(t)ej(2πfk​t+ϕk​)+n(t)

信号分解与频谱分析模型（傅里叶级数/变换）

1. 周期性故障特征：旋转机械的局部故障（如轴承点蚀、齿轮断齿）会产生周期性冲击，激励结构固有频率，在振动信号中表现为以故障特征频率 fc​及其谐波为载波，以固有频率 fn​为调制的调幅-调频信号。
2. 傅里叶级数：对于周期信号 x(t)， 可分解为一系列谐波分量之和：x(t)=a0​+∑k=1∞​[ak​cos(2πkf0​t)+bk​sin(2πkf0​t)]， 其中 f0​为基频。
3. 傅里叶变换：对于非周期或瞬态信号，使用傅里叶变换得到连续频谱：X(f)=∫−∞∞​x(t)e−j2πftdt。功率谱密度 $S_{xx}(f) =

X(f)

^2$。
4. 故障诊断：计算振动信号的频谱，寻找与理论故障特征频率（如轴承的BPFO， BPFI， BSF， FTF）对应的谱峰，其幅值增长指示故障发展。
5. 先进方法：对于非平稳信号，需用时频分析（如短时傅里叶变换、小波变换、包络分析）。

傅里叶分析对平稳周期信号理论精确。实际中频谱泄露、栅栏效应、噪声会影响精度。对非平稳信号，传统频谱分析会模糊时频特征。

傅里叶分析理论、信号处理、调制原理

场景：旋转机械（轴承、齿轮箱、风机、泵）的故障检测与诊断。
特征：将时域信号变换到频域，使隐藏在噪声中的周期性成分得以凸显。特征频率与机械转速和几何尺寸有确定关系。

x(t)：时域振动/声发射信号。
X(f)：信号的傅里叶变换（频域表示）。
fk​：第 k个频率分量。
Ak​：第 k个频率分量的幅值。
ϕk​：相位。
n(t)：背景噪声。
fc​：故障特征频率。
fn​：系统固有频率。

谐波分析：将信号分解为正弦波的叠加。
积分变换：傅里叶变换是一种积分变换。
功率谱：二阶统计量，反映信号功率在频域的分布。
卷积定理：时域卷积对应频域乘积，用于理解调制。

JX-D1-0032​

相似准则

实验力学/流体力学

ρU2L2F​=f(μρUL​，gL​U​，aU​，...)

量纲分析与π定理（白金汉π定理）

1. 确定相关物理量：分析物理现象，列出所有影响该现象的物理量，共 n个。例如，物体在流体中受到的阻力 F与密度 ρ、流速 U、特征长度 L、粘度 μ、重力加速度 g、声速 a等有关。
2. 确定基本量纲：通常为质量 [M]、长度 [L]、时间 [T]（热力学加温度[Θ]）。上述物理量的量纲可用基本量纲表示。
3. 计算量纲矩阵的秩​ r， 通常 r等于基本量纲的个数。
4. 构建无量纲π项：根据π定理，可以构建 n−r个独立的无量纲数。通过选择 r个重复变量（通常选具有独立量纲的、重要的物理量，如 ρ,U,L），与其他物理量依次组合形成无量纲数。
5. 得到关系式：物理现象的关系可以表示为这些无量纲数之间的函数关系。如上式，阻力系数是雷诺数、弗劳德数、马赫数等的函数。

π定理是精确的数学定理。相似准则的实用性取决于是否正确地选择了所有重要的相关物理量。完全相似（所有π数相等）通常难以实现，需根据主导作用保证部分相似。

量纲齐次原理、群论（李群）

场景：设计模型实验（风洞、水洞），将模型实验结果换算到原型；指导计算流体力学中的无量纲化；整理实验数据得到经验公式。
特征：降低问题变量数目，揭示物理本质，建立模型与原型之间的换算关系。

物理量：F，ρ，U，L，μ，g，a，...。
基本量纲：[M], [L], [T]。
n：相关物理量总数。
r：量纲矩阵的秩（基本量纲数）。
πi​：第 i个无量纲数。

线性代数：量纲矩阵的秩与零空间。
群论：与物理量的尺度变换群有关。
无量纲化：通过尺度变换消除量纲。

应用π定理推导阻力公式的步骤：
1. 列出相关物理量：F，ρ，U，L，μ（共n=5个）。假设忽略重力和压缩性。
2. 写出量纲：[F]=MLT−2，[ρ]=ML−3，[U]=LT−1，[L]=L，[μ]=ML−1T−1。
3. 确定基本量纲数：r=3 (M, L, T)。
4. 计算π数个数：n−r=2。
5. 选择重复变量：选 ρ，U，L（它们量纲独立）。
6. 构造π项：
- π1​=ρaUbLcF， 令其无量纲，解指数得：a=−1，b=−2，c=−2， 故 π1​=F/(ρU2L2)（阻力系数 CD​）。
- π2​=ρdUeLfμ， 解得：d=−1，e=−1，f=−1， 故 π2​=μ/(ρUL)=1/Re（雷诺数 Re的倒数）。
7. 得到关系：π1​=f(π2​)或 CD​=f(Re)。

提供了在不同尺度或条件下，物理现象之间“相似性”的判据。每个无量纲数（如 Re，Fr，Ma）代表了两种竞争效应的比值。例如，雷诺数 Re=μρUL​是惯性力流与粘性力流的比。π定理保证了，如果两个系统的所有无量纲数相同，那么尽管它们的绝对尺寸、速度等不同，但其内部“各种力量（或能量）的流动格局”是几何相似的，因此物理现象相似。模型实验就是基于此，创造与原型具有相同“力流比”的环境。

JX-D1-0033​

断裂判据

断裂力学/损伤容限

KI​=Yσπa​
断裂条件：KI​≥KIC​

线弹性断裂力学 - 应力强度因子与断裂韧性

1. 裂纹尖端场：Irwin等人分析表明，I型（张开型）裂纹尖端附近的应力场具有奇异性，形式为 σij​=2πr​KI​​fij​(θ)+...， 其中 r,θ为以裂纹尖端为原点的极坐标。
2. 应力强度因子​ KI​：它量化了裂纹尖端应力奇异性强度，是载荷、裂纹尺寸和构件几何的函数。对无限大板中心裂纹，KI​=σπa​。有限尺寸修正引入几何因子 Y：KI​=Y(a/W)σπa​。
3. 断裂韧性​ KIC​：是材料的固有属性，表示材料抵抗裂纹失稳扩展的能力，通过标准试验测定。
4. 断裂判据：当裂纹尖端的 KI​达到材料的 KIC​时，裂纹发生失稳扩展，导致断裂。即 KI​≥KIC​。
5. 适用范围：小范围屈服，即塑性区尺寸远小于裂纹尺寸和构件尺寸。

在小范围屈服条件下是精确的工程判据。当塑性区较大时，需采用弹塑性断裂力学（如J积分）。KIC​的测试有严格标准。

线弹性理论（Williams 渐近展开）、能量释放率理论（Griffith理论）

场景：含缺陷结构（压力容器、管道、飞机结构、焊接接头）的安全评定、疲劳裂纹扩展寿命预测、材料筛选。
特征：基于裂纹尖端局部参量，突破了传统强度理论中“无缺陷”的假设，是损伤容限设计的基础。

KI​：I型应力强度因子 (MPa·√m)。
σ：远场名义应力 (MPa)。
a：裂纹尺寸（半长或深度）(m)。
Y：几何修正因子（无量纲，是 a/W等的函数）。
KIC​：平面应变断裂韧性 (MPa·√m)，材料常数。
r,θ：裂纹尖端极坐标。

奇异积分：裂纹尖端应力场具有 1/r​奇异性。
渐近分析：Williams 特征展开。
判据：基于临界值的比较。
几何函数：Y通过理论解、数值计算或实验确定。

含裂纹结构安全评估流程：
1. 缺陷表征：通过无损检测确定裂纹的位置、形状和最大尺寸 a。
2. 确定载荷与应力：计算裂纹所在位置在无裂纹情况下的应力分布 σ(x)， 特别是垂直于裂纹面的应力分量。
3. 选择应力强度因子公式：根据裂纹和构件几何（如表面裂纹、埋藏裂纹、孔边裂纹），查阅手册或通过有限元分析获取对应的 KI​计算公式，包括几何因子 Y。
4. 计算当前 KI​：KI​=Yσπa​。
5. 获取材料韧性：查阅材料手册或测试得到 KIC​。
6. 安全判断：
- 若 KI​<KIC​， 结构安全。
- 若 KI​≥KIC​， 结构可能发生脆性断裂。
7. 计算许用裂纹尺寸：ac​=π1​(YσKIC​​)2， 为临界裂纹尺寸。定期检测，确保 a<ac​。

描述了导致裂纹扩展的“驱动力”的流动与集中。应力强度因子 KI​是裂纹尖端应力奇异性强度的度量，可以理解为“驱动裂纹扩展的能量流”的强度。它汇聚了远场载荷 σ和几何（a,Y）的贡献。断裂韧性 KIC​则是材料抵抗这种扩展的能量耗散能力的阈值。断裂判据 KI​≥KIC​意味着，当“驱动力流”的强度超过材料的“耗散能力”时，富余的能量流将用于创造新表面，驱动裂纹前进。

JX-D1-0034​

优化算法

机器学习/控制

J(θ)=m1​∑i=1m​L(f(x(i);θ),y(i))
θt+1​=θt​−α⋅m^t​/(v^t​​+ϵ)
m^t​=mt​/(1−β1t​)，v^t​=vt​/(1−β2t​)
mt​=β1​mt−1​+(1−β1​)gt​
vt​=β2​vt−1​+(1−β2​)gt2​

Adam 优化算法

1. 问题：最小化目标函数 J(θ)， 如神经网络损失函数，其中 θ为参数。
2. 梯度估计：计算当前参数 θt​下损失函数的梯度 gt​=∇θ​J(θt​)（常基于小批量数据）。
3. 一阶矩估计（动量）：计算梯度的指数移动平均 mt​， 它积累了过去梯度的信息，像动量一样平滑更新方向，加速在稳定方向的收敛并抑制振荡。
4. 二阶矩估计（自适应学习率）：计算梯度平方的指数移动平均 vt​， 它估计了每个参数梯度幅度的历史变化。参数更新时，学习率按 1/vt​​缩放，为每个参数自适应调整步长：对于频繁更新（大梯度）的参数减小步长，对于不频繁更新（小梯度）的参数增大步长。
5. 偏差校正：由于 m0​，v0​初始化为0，在初期会偏向0，因此进行校正得到 m^t​和 v^t​。
6. 参数更新：使用校正后的矩估计进行更新。

在实践中对许多非凸优化问题（如训练DNN）非常有效，收敛速度快。其性能依赖于超参数 α，β1​，β2​的选择。理论收敛性在凸优化框架下得到证明。

随机梯度下降、动量法、RMSProp

场景：深度神经网络训练、强化学习策略优化、大规模机器学习模型参数训练。
特征：结合了动量（Momentum）和自适应学习率（RMSProp）的优点，对超参数选择相对鲁棒，是当前最常用的优化器之一。

θ：待优化参数向量。
J(θ)：目标函数（损失函数）。
gt​：在 t步时目标函数关于 θ的梯度。
mt​：梯度一阶矩估计（有偏）。
vt​：梯度二阶矩估计（有偏）。
m^t​,v^t​：偏差校正后的一阶和二阶矩估计。
α：学习率（步长）。
β1​,β2​：一阶和二阶矩的指数衰减率（通常0.9， 0.999）。
ϵ：很小的数（如1e-8）防止除零。

随机优化：基于小批量数据的随机梯度。
指数移动平均：矩估计的计算方式。
自适应学习率：每个参数有自己的步长。
偏差校正：修正初始化偏差。

Adam 算法迭代流程：
1. 初始化：参数 θ0​； 一阶矩向量 m0​=0； 二阶矩向量 v0​=0； 时间步 t=0。
2. 循环直到收敛：
t=t+1
a. 计算梯度：gt​=∇θ​Jt​(θt−1​)（在迷你批次上计算）。
b. 更新有偏一阶矩估计：mt​=β1​mt−1​+(1−β1​)gt​。
c. 更新有偏二阶矩估计：vt​=β2​vt−1​+(1−β2​)gt2​（逐元素平方）。
d. 计算偏差校正：m^t​=mt​/(1−β1t​)， v^t​=vt​/(1−β2t​)。
e. 更新参数：θt​=θt−1​−α⋅m^t​/(v^t​​+ϵ)（逐元素运算）。
3. 输出：优化后的参数 θt​。

描述了在参数空间中寻找最优点的、智能化的“下降流”。与简单梯度下降的“盲流”不同，Adam引入了两个“记忆流”：
- 动量流​ mt​：是梯度历史的加权平均，类似于“惯性”，使得更新方向不仅取决于当前坡度，还保留了之前的运动趋势，能穿越狭窄山谷并加速。
- 自适应学习率流​ vt​：是梯度平方的历史平均，反映了每个参数方向上的“起伏程度”。更新时，用 m^t​除以 v^t​​， 相当于在“起伏大”（梯度变化大）的方向上刹车（减小步长），在“起伏小”的方向上加油（增大步长），实现了每个参数维度上步长的自适应调节。这就像一股能感知地形历史和当前起伏的智能水流，能更高效地流向最低点。

JX-D1-0035​

可靠性模型

系统可靠性工程

Rs​(t)=∏i=1n​Ri​(t)（串联）
Rs​(t)=1−∏i=1n​(1−Ri​(t))（并联）

串联与并联系统可靠性模型

1. 可靠性定义：部件或系统在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率，记为 R(t)。
2. 串联系统：系统中所有部件均正常工作，系统才正常工作。假设部件失效相互独立，则系统可靠度等于各部件事件的交集概率，即各部件可靠度的乘积：Rs​(t)=P(E1​∩E2​∩...∩En​)=R1​(t)R2​(t)...Rn​(t)。
3. 并联系统：系统中只要有一个部件正常工作，系统就正常工作。系统失效是所有部件都失效的事件的并集。系统可靠度等于1减去所有部件都失效的概率：Rs​(t)=1−P(Eˉ1​∩Eˉ2​∩...∩Eˉn​)=1−(1−R1​(t))(1−R2​(t))...(1−Rn​(t))。
4. 失效率：常用指数分布模型 R(t)=e−λt， 其中 λ为恒定失效率。串联系统的失效率 λs​=∑λi​。
5. 更复杂系统：混联系、表决系统（k/n）等，需用布尔代数或故障树分析。

在部件失效独立的假设下精确。实际系统中，部件失效可能存在相关性（共因失效），模型会高估可靠度。指数分布假设（恒定失效率）适用于电子产品的随机失效期，不适用于机械磨损期。

概率论（独立事件的概率）、布尔代数

场景：复杂装备（如飞机、发电厂、通信网络）的可靠性设计、预测与评估；冗余设计（如备份系统）的效果量化。
特征：基于部件可靠度预测系统可靠度，是可靠性框图（RBD）和故障树分析（FTA）的基础。

Ri​(t)：第 i个部件在时刻 t的可靠度。
Rs​(t)：系统在时刻 t的可靠度。
λi​：第 i个部件的（恒定）失效率。
t：任务时间。
n：部件数量。

概率：可靠度是概率。
独立性假设：核心是部件失效相互独立。
布尔函数：系统结构对应一个布尔函数。
指数分布：常用寿命分布模型。

系统可靠性评估流程：
1. 系统定义：明确系统功能、任务时间、失效判据。
2. 绘制可靠性框图：根据功能关系，用方块图表示部件，用串联、并联等连接表示逻辑关系。
3. 获取部件可靠度数据：从手册、试验或现场数据得到各部件的可靠度 Ri​(t)或失效率 λi​。
4. 模型化：根据RBD，写出系统可靠度 Rs​关于 Ri​的表达式。例如，对于串-并联混合系统，可能需要逐步简化（如先用串联公式计算子系统可靠度，再将其视为一个“部件”参与并联计算）。
5. 计算：代入部件可靠度和任务时间 t， 计算系统可靠度 Rs​(t)。
6. 分析：评估是否满足可靠性指标 R0​。若不满足，可进行敏感度分析，找出薄弱环节，通过提高部件可靠度或增加冗余（并联）来改进。

描述了系统功能成功的“概率流”如何通过各部件传递。
- 串联系统：功能成功流必须依次通过每一个部件，任何一个部件的“阻断”（失效）都会

JX-D1-0036​

控制理论

状态空间分析

x˙=Ax+Bu
y=Cx+Du

线性时不变系统的状态空间方程

1. 状态变量选择：选择一组能够完全确定系统未来行为的最小变量集 x=[x1​,x2​,...,xn​]T。
2. 状态方程：描述状态变量随时间的变化率 x˙与当前状态 x和输入 u之间的关系，通常由物理定律（如牛顿定律、电路定律）推导而来，线性化后得到 x˙=Ax+Bu。
3. 输出方程：描述系统输出 y与状态 x和输入 u之间的关系，y=Cx+Du。
4. 矩阵意义：A为系统矩阵 (n×n)， B为输入矩阵 (n×p)， C为输出矩阵 (q×n)， D为直馈矩阵 (q×p)。
5. 与传递函数关系：G(s)=C(sI−A)−1B+D。

模型是线性时不变系统在小扰动下的精确或近似描述。精度取决于状态变量选择的完备性和线性化的有效性。

线性系统理论、常微分方程理论

场景：多输入多输出系统的分析与控制设计、最优控制（LQR）、状态估计（卡尔曼滤波）、现代控制系统设计。
特征：时域表示，揭示了系统内部状态，便于计算机仿真和分析可控性、可观性。

x：状态向量 (n×1)。
u：输入向量 (p×1)。
y：输出向量 (q×1)。
A：系统矩阵。
B：输入矩阵。
C：输出矩阵。
D：直馈矩阵。
s：拉普拉斯变量。

线性代数：核心是矩阵运算。
常微分方程组：状态方程是一阶线性ODE组。
特征值：系统稳定性由 A的特征值决定。
可控性与可观性：由 (A,B)和 (A,C)的秩判据判断。

从状态空间到响应的求解流程：
1. 给定初始状态​ x(0)和输入 u(t)。
2. 求解状态方程：x(t)=eAtx(0)+∫0t​eA(t−τ)Bu(τ)dτ。
3. 计算输出：y(t)=Cx(t)+Du(t)。
4. 数值求解：通常用ODE求解器（如龙格-库塔法）离散求解：
xk+1​=xk​+Δt(Axk​+Buk​)（前向欧拉）。
可控性格拉姆矩阵：Wc​=∫0tf​​eAτBBTeATτdτ， 若满秩则系统可控。

描述了系统内部状态 x的“演化流”。系统矩阵 A定义了状态变量之间如何相互影响和自演化。输入矩阵 B定义了外部控制信号 u如何“注入”并驱动状态流。输出方程定义了内部状态流中哪些部分以及如何被“观测”为输出 y。状态空间表示清晰地勾勒了信息（状态）在系统内部的流动路径。

JX-D1-0037​

动力学算法

机器人学/多体动力学

​正向迭代：iωi​=i−1RiT​(i−1ωi−1​+θ˙ii−1​z^i−1​)iω˙i​=i−1RiT​(i−1ω˙i−1​+i−1θ¨ii−1​z^i−1​+i−1ωi−1​×(θ˙ii−1​z^i−1​))iv˙i​=i−1RiT​[i−1v˙i−1​+i−1ω˙i−1​×i−1pi​+i−1ωi−1​×(i−1ωi−1​×i−1pi​)]+d¨ii−1​z^i−1​+...iv˙Ci​=iω˙i​×ipCi​+iωi​×(iωi​×ipCi​)+iv˙i​逆向迭代：ifi​=iFi​+i+1Rii+1​fi+1​ini​=iNi​+i+1Rii+1​ni+1​+ipCi​×iFi​+ipi+1​×(i+1Rii+1​fi+1​)τi​=iniT​(i−1RiT​i−1z^i−1​) (旋转关节)​

牛顿-欧拉迭代动力学算法

1. 正向迭代（外推）：从基座（连杆0）到末端，递推计算每个连杆的角速度、角加速度、线加速度和质心加速度。
- 利用相邻连杆间的运动关系（速度、加速度合成）。
- 引入旋转矩阵 i−1Ri​和位置向量 i−1pi​。
2. 连杆受力分析：计算作用在连杆 i质心上的惯性力 iFi​=mii​v˙Ci​和惯性力矩 iNi​=iIii​ω˙i​+iωi​×(iIii​ωi​)。
3. 逆向迭代（内推）：从末端到基座，递推计算关节力矩。
- 连杆 i上的合力 ifi​和合力矩 ini​来自其自身的惯性力/矩、其子连杆传递过来的力/矩，以及可能的外力。
- 关节力矩 τi​是 ini​在关节轴 i−1z^i−1​上的投影。
4. 算法特点：计算复杂度为 O(n)， 效率极高，是机器人实时控制的标准动力学算法。

在刚体假设和运动副理想约束下精确。计算是数值稳定的。实际误差来源于质量、惯性参数标定误差，以及忽略关节摩擦、柔性。

牛顿-欧拉方程（刚体动力学）、运动学递推

场景：工业机器人、仿人机器人的实时模型计算、动力学仿真、基于模型的控制（如计算力矩控制）。
特征：高效率的递推算法，同时计算运动学（速度、加速度）和动力学（关节力矩），物理意义清晰。

i−1Ri​：从连杆 i坐标系到连杆 i−1坐标系的旋转矩阵。
i−1pi​：在 i−1系中表示的从 i−1原点到 i原点的向量。
iωi​,iω˙i​：连杆 i的角速度和角加速度（在 i系中表示）。
iv˙i​：连杆 i原点的线加速度。
ipCi​：连杆 i质心在其自身坐标系中的位置。
mi​,iIi​：连杆 i的质量和在其质心坐标系中的惯性张量。
ifi​,ini​：作用在连杆 i上的合力和合力矩（在 i系中表示）。
τi​：关节 i的驱动力/力矩。

向量/张量运算：涉及叉乘、旋转矩阵变换。
递推/迭代算法：正向和逆向两次扫描。
运动学与动力学耦合：正向迭代是运动学，逆向迭代是动力学。

牛顿-欧拉算法完整时序流程：
1. 初始化：已知关节位置 q、速度 q˙​、加速度 q¨​。设基座速度和加速度为零（或已知），末端力和力矩 n+1fn+1​,n+1nn+1​已知（如末端外力）。
2. 正向迭代 (i=1 to n)：
a. 计算 i−1Ri​,i−1pi​（由DH参数和 qi​确定）。
b. 计算 iωi​,iω˙i​（如上公式）。
c. 计算 iv˙i​,iv˙Ci​。
3. 计算连杆惯性力/矩 (i=1 to n)：
iFi​=mii​v˙Ci​
iNi​=iIii​ω˙i​+iωi​×(iIii​ωi​)
4. 逆向迭代 (i=n to 1)：
a. 计算连杆 i上的合力和合力矩：
ifi​=iFi​+i+1Rii+1​fi+1​
ini​=iNi​+i+1Rii+1​ni+1​+ipCi​×iFi​+ipi+1​×(i+1Rii+1​fi+1​)
b. 计算关节力矩：
τi​=iniT​(i−1RiT​i−1z^i−1​)（旋转关节）
τi​=ifiT​(i−1RiT​i−1z^i−1​)（移动关节）
5. 输出：所有关节力矩 τ1​,...,τn​。

描述了运动、力和力矩在机器人运动链中的双向流动。
- 正向迭代：是运动波从基座向末端的传播。每个关节的运动（q,q˙​,q¨​）作为输入，产生沿链向下传递的连杆速度和加速度“波”。
- 逆向迭代：是力波从末端向基座的反射。末端载荷和每个连杆的惯性效应作为“力源”，产生的关节力矩是这些力波反向传播并叠加的结果。算法本质是求解这个动态系统中的“波”传播与反射平衡。

JX-D1-0038​

机构学公式

平面机构学

F=3(n−1)−2j1​−j2​

平面机构自由度计算公式（格鲁勃-契贝谢夫公式）

1. 自由度定义：机构所具有的独立运动的数目，或确定机构位置所需独立广义坐标的数目。
2. 构件与运动副：机构由 n个活动构件（含机架则为 n+1个）和若干运动副组成。平面机构中，每个自由构件有3个自由度（平面内两个平移，一个旋转）。
3. 运动副约束：
- I类副（低副，如转动副、移动副）：引入2个约束，保留1个自由度，记数量为 j1​。
- II类副（高副，如齿轮副、凸轮接触）：引入1个约束，保留2个自由度，记数量为 j2​。
4. 公式推导：机构总自由度 = 所有活动构件自由度之和 - 所有运动副引入的约束数之和。即 F=3n−(2j1​+1j2​)。考虑到机架固定（减去3个自由度），常用形式为 F=3(n−1)−2j1​−j2​。
5. 特殊情况：需检查局部自由度（如滚子自转）和虚约束（重复约束），并进行修正。

公式在理想情况下精确。实际机构中，间隙、弹性变形可能导致“过约束”或“欠约束”，影响实际运动确定性。

运动学、约束理论、螺旋理论

场景：新机构的概念设计、运动可行性分析、判断机构是否具有确定运动。
特征：快速计算机构自由度的代数公式，是机构型综合和结构分析的基础工具。

F：机构的自由度（Degree of Freedom）。
n：机构中活动构件的数目（不包括机架）。
j1​：机构中I类低副（转动副、移动副）的数目。
j2​：机构中II类高副（点、线接触）的数目。

计数与代数：基于构件和运动副的计数进行简单代数运算。
图论：机构可抽象为图，自由度与图的拓扑有关。
约束分析：核心是计算独立约束数。

机构自由度分析流程：
1. 识别活动构件：画出机构简图，标记所有可动构件，计数 n。
2. 识别运动副类型与数目：识别所有转动副（R）、移动副（P）等低副，计数 j1​；识别所有齿轮副、凸轮接触等高副，计数 j2​。
3. 代入公式计算：F=3(n−1)−2j1​−j2​。
4. 判断与修正：
- 若 F>0， 机构需要 F个原动件才有确定运动。
- 若 F=0， 机构为静定结构。
- 若 F<0， 机构为超静定结构，可能存在过约束。
5. 检查特殊情形：
- 局部自由度：某些构件的局部运动不影响其他构件运动（如凸轮机构中的滚子自转），需从 F中减去其数目 f′。
- 虚约束：不起独立限制作用的重复约束，需从 F中加上其数目 s′（或从约束数中减去）。
修正后公式：F=3(n−1)−2j1​−j2​−f′+s′。
6. 得出结论：机构需要 F个输入（原动件）。

描述了机构中“可动性”或“运动潜力”的资源分配。每个活动构件贡献3个“运动资源”（自由度）。每个运动副消耗一定数量的“运动资源”以建立构件间的连接（约束），低副消耗2个，高副消耗1个。机架固定消耗3个。机构的总体“可动性” F就是初始总资源减去所有消耗后剩余的独立“运动资源”数量，也就是需要外部提供多少“驱动能量流”才能完全确定整个系统的运动状态。

JX-D1-0039​

电磁学方程

电机与驱动

va​ea​Te​Jdtdωm​​+Bωm​​=Ra​ia​+La​dtdia​​+ea​=Ke​ωm​=Kt​ia​=Te​−TL​​

直流有刷电机数学模型

1. 电枢回路方程：电枢电压 va​平衡电阻压降 Ra​ia​、电感压降 La​dia​/dt和反电动势 ea​。反电动势与转速成正比：ea​=Ke​ωm​， Ke​为反电动势常数。
2. 电磁转矩方程：电机产生的电磁转矩与电枢电流成正比：Te​=Kt​ia​， Kt​为转矩常数。在 SI 单位下，Ke​=Kt​。
3. 机械运动方程：电磁转矩 Te​克服负载转矩 TL​和摩擦转矩 Bωm​， 驱动转子加速：Jdtdωm​​=Te​−TL​−Bωm​。
4. 模型参数：Ra​,La​为电枢电阻和电感；J,B为转子转动惯量和粘性摩擦系数；Ke​,Kt​由电机磁路设计决定。
5. 传递函数：联立方程，忽略电感 La​时，可得转速对电压的开环传递函数：Va​(s)Ωm​(s)​=(Ra​J)s+(Ra​B+Kt​Ke​)Kt​​。

模型是线性的，忽略了磁饱和、齿槽效应、电刷压降等非线性因素。在小信号分析和控制设计中有良好精度。参数 Ra​,Kt​,Ke​,J可通过测试获得。

电路理论（基尔霍夫电压定律）、电磁感应定律（法拉第定律）、安培力定律、刚体转动定律

场景：直流伺服电机控制系统设计与分析、机器人关节驱动建模、数控机床进给系统建模。
特征：模型简单，易于控制，解释了电能->磁能->机械能的转换过程。是理解更复杂电机（如无刷直流、永磁同步）的基础。

va​,ia​：电枢电压 (V) 和电流 (A)。
Ra​,La​：电枢电阻 (Ω) 和电感 (H)。
ea​：反电动势 (V)。
Ke​：反电动势常数 (V/(rad/s))。
ωm​：转子机械角速度 (rad/s)。
Te​,TL​：电磁转矩和负载转矩 (N·m)。
Kt​：转矩常数 (N·m/A)。
J：转子及负载折算到电机轴的转动惯量 (kg·m²)。
B：粘性摩擦系数 (N·m/(rad/s))。

常微分方程组：电和机械的耦合ODE。
线性：假设磁路线性，方程是线性的。
能量转换：电功率 ea​ia​等于机械功率 Te​ωm​（忽略损耗）。
一阶系统：动态特性类似一阶惯性加延时。

直流电机速度控制系统仿真流程：
1. 给定参考速度​ ωref​(t)。
2. 速度控制器（如PI控制器）：根据速度误差 eω​=ωref​−ωm​计算控制电压 va∗​：va∗​=Kp​eω​+Ki​∫eω​dt。
3. 功率驱动：PWM放大器将 va∗​转换为实际电枢电压 va​（可能考虑电压极限和死区）。
4. 更新电枢电流：求解 La​dtdia​​=va​−Ra​ia​−Ke​ωm​（欧拉法：iak+1​=iak​+La​Δt​(vak​−Ra​iak​−Ke​ωmk​)）。
5. 更新电磁转矩：Tek+1​=Kt​iak+1​。
6. 更新机械运动：求解 Jdtdωm​​=Te​−TL​−Bωm​（欧拉法：ωmk+1​=ωmk​+JΔt​(Tek+1​−TLk​−Bωmk​)）。
7. 反馈：将 ωmk+1​反馈到步骤2，循环。

清晰描述了能量在电、磁、机械域之间的流动与转换。
- 电路方程：描述了电能从电源流入电枢，一部分转化为热能 (ia2​Ra​)， 一部分存储在磁场中 (La​dia​/dt)， 剩余部分转化为反电动势所代表的机械能输出​ (ea​ia​)。
- 机械方程：描述了电磁转矩 Te​代表的“机械能流”输入，一部分用于克服摩擦耗散 (Bωm​)， 一部分用于加速存储动能 (Jdωm​/dt)， 剩余部分输出给负载做功 (TL​ωm​)。
反电动势 ea​是机电耦合的枢纽，它像一个速度反馈的“发电机”，将机械转速“转换”为阻碍电流变化的电压，体现了系统的双向能量流动能力。

JX-D1-0040​

流体方程

空气动力学/流体机械

p+21​ρv2+ρgh=constant

伯努利方程（沿流线，无粘、不可压、稳态）

1. 假设条件：理想流体（无粘）、不可压缩、稳态流动、质量力有势（如重力）、沿同一流线。
2. 模型推导：对无粘流体的欧拉运动方程沿流线积分。欧拉方程：∂t∂v​+(v⋅∇)v=−ρ1​∇p+g​。 在稳态、沿流线条件下，可积分得到伯努利方程。
3. 物理意义：方程表明，沿同一流线，单位体积流体的压力能 p、动能 21​ρv2和势能 ρgh之和保持不变，即机械能守恒。
4. 应用形式：常用于两点1和2的比较：p1​+21​ρv12​+ρgh1​=p2​+21​ρv22​+ρgh2​。
5. 粘性修正：实际流体有粘性，存在机械能损失 hf​， 方程修正为：p1​+21​ρv12​+ρgh1​=p2​+21​ρv22​+ρgh2​+ρghf​。

在假设条件下精确。实际应用误差来源于粘性效应、可压缩性、非稳态性以及流线不同。常用于定性分析和近似估算。

牛顿第二定律（欧拉方程）、机械能守恒

场景：管道流动测量（文丘里管、孔板）、机翼升力原理的定性解释、水泵和风机进出口分析、空速管原理。
特征：建立了流速、压力和高度之间的关系，形式简单，物理意义直观。

p：静压 (Pa)。
ρ：流体密度 (kg/m³)， 常数。
v：流速 (m/s)。
g：重力加速度 (m/s²)。
h：相对于参考水平面的高度 (m)。
hf​：水头损失 (m)。

代数方程：沿流线的能量代数关系。
守恒量：伯努利常数沿流线守恒。
标量场：压力、速度是空间位置的函数。

应用伯努利方程分析文丘里管的流程：
1. 选取流线：取管中心流线。
2. 选取两点：点1在粗管截面 A1​处，点2在喉部截面 A2​处。假设水平放置，h1​=h2​。
3. 列连续方程：Q=A1​v1​=A2​v2​。
4. 列伯努利方程（忽略损失）：p1​+21​ρv12​=p2​+21​ρv22​。
5. 联立求解：由3和4， 消去 v1​， 得到 v2​=ρ[1−(A2​/A1​)2]2(p1​−p2​)​​。
6. 计算流量：Q=A2​v2​=A2​ρ[1−(A2​/A1​)2]2(p1​−p2​)​​。
7. 测量压差：通过U型管差压计测量 p1​−p2​， 即可得 Q。

完美诠释了流体机械能沿流线的守恒流动与转换。方程 p+21​ρv2+ρgh=C表明，在无粘、不可压、稳态流动中，流线上任意一点的压力能、动能和势能可以互相转换，但总和不变。这就像一条“能量流”管道，截面积变化（A）会导致流速 v变化，从而引起动能 21​ρv2和压力能 p之间的此消彼长（文丘里效应）。速度大的地方压力小，速度小的地方压力大，这是伯努利原理的核心，描述了机械能在不同形式间的“流动”与“再分配”。

JX-D1-0041​

弹性理论

弹性力学

{∂x∂σxx​​+∂y∂τxy​​+bx​=0∂x∂τxy​​+∂y∂σyy​​+by​=0​
⎩⎨⎧​ϵxx​=∂x∂u​ϵyy​=∂y∂v​γxy​=∂y∂u​+∂x∂v​​
⎩⎨⎧​ϵxx​=E1​(σxx​−νσyy​)ϵyy​=E1​(σyy​−νσxx​)γxy​=G1​τxy​​

平面问题基本方程（平衡、几何、物理）

1. 平面应力与平面应变：针对特定几何和载荷的简化。
- 平面应力：薄板，厚度方向应力为零 (σzz​=τxz​=τyz​=0)， 应变 ϵzz​不为零。
- 平面应变：长柱体，厚度方向应变被约束为零 (ϵzz​=γxz​=γyz​=0)， 应力 σzz​不为零。
2. 平衡微分方程：从三维平衡方程中简化得到，表示微元体在 x,y方向的力平衡。
3. 几何方程（应变-位移关系）：表示应变张量与位移梯度之间的关系，保证变形的协调性。
4. 物理方程（本构关系）：广义胡克定律在平面问题下的形式。平面应力与平面应变的弹性矩阵 D不同：
- 平面应力：D=1−ν2E​​1ν0​ν10​00(1−ν)/2​​
- 平面应变：D=(1+ν)(1−2ν)E​​1−νν0​ν1−ν0​00(1−2ν)/2​​
5. 解法：通常引入应力函数 Φ， 使平衡方程自动满足，协调方程化为双调和方程 ∇4Φ=0。

在假设成立的条件下精确。平面应力适用于厚度远小于其他尺寸的薄板；平面应变适用于长度远大于横截面尺寸的柱体。是许多弹性力学解析解和有限元分析的基础。

连续介质力学、线弹性理论

场景：薄板弯曲（近似）、长坝、滚子接触、齿轮齿根应力等二维结构分析。
特征：将三维问题简化为二维，控制方程是偏微分方程组，可用复变函数、有限元等方法求解。

u,v：x,y方向的位移分量。
ϵxx​,ϵyy​,γxy​：正应变和剪应变分量。
σxx​,σyy​,τxy​：正应力和剪应力分量。
bx​,by​：体力分量。
E：杨氏模量。
ν：泊松比。
G：剪切模量，G=E/(2(1+ν))。
Φ：艾里应力函数。

偏微分方程组：平衡、几何、本构方程组成PDE组。
协调性：应变分量需满足圣维南协调方程 ∂y2∂2ϵxx​​+∂x2∂2ϵyy​​=∂x∂y∂2γxy​​。
双调和方程：应力函数满足 ∇4Φ=0。
张量：应力和应变是二阶对称张量。

基于应力函数的求解流程：
1. 引入艾里应力函数​ Φ(x,y)， 定义：
σxx​=∂y2∂2Φ​,σyy​=∂x2∂2Φ​,τxy​=−∂x∂y∂2Φ​
此定义自动满足平衡方程（无体力时）。
2. 将应力代入本构方程得到应变，再代入应变协调方程。
3. 导出控制方程：得到关于 Φ的双调和方程：∇4Φ=∂x4∂4Φ​+2∂x2∂y2∂4Φ​+∂y4∂4Φ​=0。
4. 根据边界条件确定​ Φ：边界条件可能是应力边界（给定面力）或位移边界。将 Φ设为满足双调和方程的形式（如多项式、三角函数等），利用边界条件确定待定系数。
5. 计算应力：由 Φ求二阶偏导得应力分量。
6. 计算应变和位移：由应力通过本构关系得应变，对几何方程积分得位移（需确定刚体位移）。

描述了应力、应变、位移在二维弹性体中的分布与传递流。
- 平衡方程：确保内部应力流的连续性，任何微元应力净流出必须与体力平衡。
- 几何方程：定义了位移场到应变场的“微分映射”，应变是位移变化的度量，保证了变形后物质的连续性（不出现裂缝或重叠）。
- 本构方程：是应力流与应变流之间的“本构关系通道”，由材料特性决定。
应力函数 Φ是一个“势函数”，其 Hessian 矩阵直接给出应力分量，类似于流函数给出流速。双调和方程 ∇4Φ=0是应力分布必须满足的“调和”条件，它隐含了平衡和协调性。

JX-D1-0042​

复合材料力学

层合板理论

[NM​]=[AB​BD​][ϵ0κ​]

经典层合板理论（CLT）本构关系

1. 基本假设：直法线假设（Kirchhoff-Love），层间完美粘结，平面应力状态。
2. 单层板本构：第 k层在材料主轴下的应力-应变关系为 {σ}k​=[Qˉ​]k​{ϵ}k​， 其中 [Qˉ​]k​是偏轴刚度矩阵，由铺层角 θk​和主轴刚度 [Q]k​转换得到。
3. 层合板应变：基于直法线假设，距中面 z处的应变与中面应变 ϵ0和曲率 κ有关：{ϵ(z)}={ϵ0}+z{κ}。
4. 合力和合力矩：对厚度 h积分应力得到：
{N}=∫−h/2h/2​{σ}dz=∑k=1n​∫zk−1​zk​​[Qˉ​]k​({ϵ0}+z{κ})dz
{M}=∫−h/2h/2​{σ}zdz=∑k=1n​∫zk−1​zk​​[Qˉ​]k​({ϵ0}+z{κ})zdz
5. 得到刚度矩阵：积分后得到 A,B,D矩阵：
Aij​=∑k=1n​(Qˉ​ij​)k​(zk​−zk−1​)
Bij​=21​∑k=1n​(Qˉ​ij​)k​(zk2​−zk−12​)
Dij​=31​∑k=1n​(Qˉ​ij​)k​(zk3​−zk−13​)
A为拉伸刚度矩阵，B为耦合刚度矩阵，D为弯曲刚度矩阵。

对于薄板（跨度/厚度 > 10）和小变形情况精度良好。忽略了横向剪切变形，对厚板或某些铺层（如 ±45∘）误差较大，需用一阶剪切变形理论（FSDT）修正。

弹性力学、平板理论、等效单层理论

场景：复合材料机翼、车身、船体的结构设计与分析。
特征：可以预测层合板在面内力和弯矩作用下的宏观变形，以及各铺层的应力。耦合矩阵 B的存在导致拉-弯、拉-扭耦合等特殊效应。

N,M：单位宽度上的面内合力和合力矩向量 (Nx​,Ny​,Nxy​,Mx​,My​,Mxy​)。
ϵ0：中面应变向量 (ϵx0​,ϵy0​,γxy0​)。
κ：中面曲率向量 (κx​,κy​,κxy​)。
A：面内刚度矩阵 (3×3)。
B：耦合刚度矩阵 (3×3)。
D：弯曲刚度矩阵 (3×3)。
[Qˉ​]k​：第 k层的偏轴刚度矩阵。
θk​,zk​：第 k层的铺层角和上下表面 z坐标。

线性代数：核心是矩阵方程。
积分运算：刚度矩阵由厚度方向积分得到。
层合结构：刚度是各层贡献的叠加。
耦合效应：B矩阵非零导致耦合。

层合板分析与设计流程：
1. 给定铺层顺序：确定各层的材料、厚度、铺层角 θk​和位置 zk−1​,zk​。
2. 计算单层刚度：由材料工程常数 E1​,E2​,G12​,ν12​计算主轴刚度 [Q]k​， 再通过坐标变换得到偏轴刚度 [Qˉ​]k​(θk​)。
3. 计算层合板刚度矩阵：按公式数值积分计算 A,B,D。
4. 给定载荷：已知 N,M。
5. 求解中面应变和曲率：[ϵ0κ​]=[AB​BD​]−1[NM​]。
6. 计算各层应变：对第 k层， {ϵ}k​(z)={ϵ0}+z{κ}， z∈[zk−1​,zk​]。
7. 计算各层应力：{σ}k​(z)=[Qˉ​]k​{ϵ}k​(z)。
8. 失效判断：将各层应力转换到材料主轴，代入失效准则（如Tsai-Wu, Tsai-Hill）判断是否破坏。

描述了外力在复合材料层合板中的“传递与分配流”。刚度矩阵 [AB;BD]是整个层合板的“传导率张量”，它将宏观的“中面变形流” (ϵ0,κ) 映射为宏观的“力流” (N,M)。
- A矩阵：传递面内“力流”。
- D矩阵：传递弯曲“力矩流”。
- B矩阵：描述了面内变形与弯曲变形之间的耦合能流通道，是复合材料特有的现象，例如拉伸可能引起弯曲（拉-弯耦合）。整个理论是将多层、各向异性的复杂“流”网络，等效为一个具有特殊传导特性的宏观“板”单元。

JX-D1-0043​

振动理论

单自由度系统

mx¨+cx˙+kx=F0​cos(ωt)

单自由度系统受迫振动方程

1. 系统建模：质量 m、弹簧 k、阻尼 c组成的系统，受简谐激振力 F(t)=F0​cos(ωt)。
2. 运动方程：由牛顿第二定律直接得到。
3. 稳态解：方程特解为 xp​(t)=Xcos(ωt−ϕ)， 其中：
- 振幅：X=(1−r2)2+(2ζr)2​F0​/k​， 其中 r=ω/ωn​为频率比，ωn​=k/m​为无阻尼固有频率，ζ=c/(2mk​)为阻尼比。
- 相位差：ϕ=arctan(1−r22ζr​)。
4. 共振：当 r≈1(ω≈ωn​) 时，振幅 X达到峰值 Xmax​≈2ζF0​/k​（对小阻尼）。
5. 频响函数：H(ω)=F0​X​=1−r2+j2ζr1/k​， 是复数。

模型精确。是理解振动现象的基础。实际系统可能具有非线性（刚度、阻尼），但线性模型在振幅不大时是良好的近似。

牛顿第二定律、线性微分方程理论

场景：隔振系统设计、振动传感器原理、结构共振评估、动平衡分析。
特征：最基本的振动模型，其频响特性（幅频、相频曲线）是所有振动分析的基础。解析解完整，物理意义清晰。

m,c,k：质量、阻尼系数、刚度系数。
x,x˙,x¨：位移、速度、加速度。
F0​,ω：激振力幅值和圆频率。
ωn​：无阻尼固有频率。
ζ：阻尼比。
X,ϕ：稳态响应振幅和相位差。
r：频率比。

二阶线性常微分方程：具有解析解。
复数/相量法：求解稳态响应的有力工具。
共振峰：幅频曲线在 ωn​附近出现峰值。
品质因子：Q=1/(2ζ)， 描述共振锐度。

受迫振动响应分析流程：
1. 建立方程：mx¨+cx˙+kx=F0​ejωt（用复数表示）。
2. 设特解：xp​(t)=Xejωt， 其中 X为复振幅。
3. 代入方程：(−mω2+jcω+k)Xejωt=F0​ejωt。
4. 解得复振幅：X(ω)=k−mω2+jcωF0​​=1−r2+j2ζrF0​/k​。
5. 计算幅值与相位：
$

X

JX-D1-0044​

非线性动力学

自激振动

x¨−μ(1−x2)x˙+x=0

范德波尔方程

1. 方程形式：典型的非线性阻尼（或称“负阻尼”）方程。阻尼项为 −μ(1−x2)x˙。
2. 阻尼特性分析：
- 当 $

x

< 1时，(1-x^2) > 0，阻尼项为负（-\mu(...)\dot{x}），系统获得能量，振幅增大。<br>−当

x

> 1时，(1-x^2) < 0，阻尼项为正，系统耗散能量，振幅减小。<br>∗∗3.极限环∗∗：上述特性导致系统存在一个稳定的周期解，即极限环。无论初始条件如何，系统最终都会稳定到该周期运动上。<br>∗∗4.参数影响∗∗：\mu是小参数时，极限环近似为正弦波；\mu$ 较大时，极限环是 relaxation oscillation（张弛振荡），波形剧烈变化。
5. 物理背景：最初用于描述真空管振荡电路，也近似描述摩擦引起的颤振、某些生物节律等。

方程是自激振动的一个经典数学模型。其解（极限环）的周期和形状可以通过近似方法（如平均法、多尺度法）或数值积分得到。

非线性振动理论、动力系统理论（极限环、稳定性）

场景：电子振荡器、机械系统的摩擦颤振（如刹车尖叫）、心脏的电生理模型、某些化学反应振荡。
特征：自持振荡，不依赖于外部周期激励，而是由系统内部的能量调节机制（此处为非线性阻尼）产生。

JX-D1-0045​

热力学定律

工程热力学

∮TδQ​≤0
（可逆取等号）

克劳修斯不等式（热力学第二定律的数学表述）

1. 热力学第二定律：指出热过程的方向性，如热不能自发地从低温传到高温。
2. 克劳修斯不等式：对任意循环过程，系统与热源交换的热量 δQ除以热源绝对温度 T的循环积分小于或等于零。等号对可逆过程成立，小于号对不可逆过程成立。
3. 熵的定义：基于可逆过程，定义熵变 dS=TδQrev​​。对于任意过程，有 dS≥TδQ​， 或 TdS≥δQ。
4. 熵增原理：对绝热系统（或孤立系统），δQ=0， 则 dS≥0。即孤立系统的熵永不减少，可逆过程熵不变，不可逆过程熵增加。
5. 应用：用于判断过程能否自发进行，计算过程不可逆性引起的做功能力损失（㶲损失）。

是热力学的基本定律，普遍成立。在实际计算中，需要准确知道热交换和温度历程。

热力学第二定律

场景：热机（内燃机、燃气轮机）最大效率分析、制冷循环性能系数计算、化工过程可行性判断、能量系统优化。
特征：定义了过程的方向性和不可逆性的度量（熵产）。是热力学分析的基石。

S：熵 (J/K)。
δQ：系统在微元过程中吸收的微小热量 (J)。
T：热源的温度 (K)。
dS：熵的微小变化。
下标 rev：表示可逆过程。

循环积分：对闭合路径的积分。
不等式：核心是不等式，区分可逆与不可逆。
状态函数：熵 S是状态函数，其变化与路径无关。
不可逆性度量：熵产 Sgen​=ΔS−∫TδQ​≥0。

应用克劳修斯不等式分析热机循环：
1. 定义系统：取热机工质为闭口系统。
2. 分析循环：工质从高温热源 TH​吸热 QH​， 向低温热源 TC​放热 QC​（QC​为负），对外做功 W。
3. 应用克劳修斯不等式：∮TδQ​=TH​QH​​+TC​QC​​≤0（假设热源温度恒定）。
4. 导出热机效率上限：由上式得 TH​QH​​≤−TC​QC​​， 即 QC​≤−TH​TC​​QH​。 代入热力学第一定律 W=QH​+QC​， 得到输出功 W≤QH​(1−TH​TC​​)。
5. 得到卡诺效率：可逆时取等号，得到最大热效率 ηCarnot​=1−TH​TC​​。任何实际（不可逆）热机效率均低于此值。
6. 计算熵产：Sgen​=−(TH​QH​​+TC​QC​​)≥0， 其值衡量了循环的不可逆程度。

描述了热量传递与转换过程中“品质”的退化或“无序度”（熵）的流动。
克劳修斯不等式 ∮TδQ​≤0意味着，在任何一个循环中，“热流除以温度”这个量的净流入不可能为正。可以理解为“㶲流”（可用能流）的收支平衡：任何实际过程都伴随着㶲的耗散（转化为“火无”，即不可用能）。等式对应㶲守恒（可逆过程），不等式对应㶲耗散（不可逆过程）。熵增原理 dSisolated​≥0则指出，在孤立系统中，无序度（熵）流总是自发地增加，直到达到最大（平衡态）。这是对能量转化过程方向性的根本约束。

JX-D1-0046​

流体方程

边界层理论

u∂x∂u​+v∂y∂u​=−ρ1​dxdp​+ν∂y2∂2u​
∂x∂u​+∂y∂v​=0

普朗特边界层方程（不可压，稳态，二维）

1. 边界层概念：高雷诺数下，粘性影响仅局限在物面附近的薄层内，层外为无粘势流。
2. 量级分析：利用边界层厚度 δ≪L的特征，对N-S方程各项进行量级比较，忽略高阶小量。
3. 简化得到方程：
- x方向动量方程简化为上述形式，保留了惯性项、压力梯度和粘性项（仅 y方向的扩散）。
- y方向动量方程简化为 ∂y∂p​≈0， 即边界层内压力沿法向不变，等于外流压力 p(x)。
- 连续方程不变。
4. 边界条件：
- 壁面无滑移：y=0,u=v=0。
- 边界层外缘：y→∞,u→U(x)， 其中 U(x)由外流势流解给出，并满足伯努利方程 p+21​ρU2=const， 故 −ρ1​dxdp​=UdxdU​。
5. 解法：相似性解（布拉修斯解）、积分法（卡门动量积分方程）。

在高雷诺数 (Re>104) 的平板、楔形流等情况下精度很高。对于分离流、强压力梯度情况，可能需要更复杂的模型。

纳维-斯托克斯方程、量纲分析与摄动理论

场景：飞机机翼、涡轮叶片、船舶外壳的摩擦阻力计算、传热与传质分析、流动分离预测。
特征：将N-S方程简化为抛物型偏微分方程，降低了求解难度，是计算流体力学中许多湍流模型的基础。

u,v：边界层内 x（流向）和 y（法向）速度分量。
p：压力，在边界层内只是 x的函数。
ρ,ν：流体密度和运动粘度。
U(x)：边界层外缘的势流速度。
δ(x)：边界层厚度。

偏微分方程：简化的PDE组。
量级分析/摄动法：推导的核心方法。
相似性解：通过变量变换将PDE转化为ODE。
抛物型：在流向 x上可以推进求解。

应用卡门动量积分方程近似求解流程：
1. 动量积分方程：dxdθ​+(2+H)Uθ​dxdU​=ρU2τw​​， 其中 θ是动量厚度，H=δ∗/θ是形状因子，δ∗是位移厚度，τw​是壁面剪应力。
2. 假设速度剖面：例如，假设 u/U=f(y/δ)=a0​+a1​η+a2​η2+a3​η3+a4​η4， η=y/δ。
3. 确定系数：利用边界条件：
η=0:f=0；
η=1:f=1,f′=0,f′′=0（层流）；
以及壁面满足的动量方程：f′′(0)=−νδ2​dxdU​（或为零，若零压力梯度）。
4. 计算积分厚度：将假定的 f(η)代入 δ∗,θ,H的定义式计算，它们都是 δ的函数。
5. 计算壁面剪应力：$\tau_w = \mu \frac{\partial u}{\partial y}

_{y=0} = \frac{\mu U}{\delta} f'(0)。<br>6.∗∗代入动量积分方程∗∗：得到一个关于\delta(x)的常微分方程。<br>7.∗∗求解∗∗\delta(x)：给定初始条件（如前缘\delta(0)=0），数值积分求解\delta(x)，进而得到\theta(x), \tau_w(x)$ 等。

JX-D1-0047​

声学方程

声学/振动

∇2p−c02​1​∂t2∂2p​=0

声波方程（线性化、无源、均匀介质）

1. 基本假设：介质为理想气体，声波引起的小扰动（压力 p′， 密度 ρ′， 速度 u）满足：p′≪p0​, ρ′≪ρ0​, u≪c0​。
2. 线性化：将流体力学方程（连续、动量、状态）在静止基态（p0​,ρ0​,u=0）附近线性化，忽略二阶及以上小量。
- 连续方程：∂t∂ρ′​+ρ0​∇⋅u=0
- 动量方程：ρ0​∂t∂u​=−∇p′
- 状态方程：p′=c02​ρ′， c0​=γp0​/ρ0​​为声速。
3. 推导波动方程：对动量方程取散度，并利用连续方程和状态方程消去 u和 ρ′， 得到关于 p′的齐次波动方程。通常仍用 p表示声压扰动。
4. 方程形式：三维波动方程，是双曲型偏微分方程。其解代表以速度 c0​传播的声波。
5. 简谐解：p(r,t)=p^​(r)ejωt， 代入得亥姆霍兹方程：∇2p^​+k2p^​=0， k=ω/c0​为波数。

在小振幅声波的假设下是精确的。当声压级很高（如 >140 dB）或介质不均匀、有流动时，需用非线性声学或对流波动方程。

流体力学方程的线性化、气体状态方程

场景：室内声学设计、噪声控制、声纳、超声检测、麦克风和扬声器建模。
特征：线性、双曲型方程，描述了声压扰动的传播。是许多声学数值方法（如边界元法、有限元法）的基础。

p：声压扰动 (Pa)。
c0​：介质中的声速 (m/s)。
ρ0​：静态密度 (kg/m³)。
p0​：静态压力 (Pa)。
u：质点速度向量 (m/s)。
ω：角频率 (rad/s)。
k：波数 (rad/m)。
γ：比热容比。

偏微分方程：双曲型波动方程。
线性：方程是线性的，满足叠加原理。
分离变量：可分离为时间和空间部分。
亥姆霍兹方程：频域形式是椭圆型。

平面波、球面波、柱面波基本解推导：
1. 平面波：假设解只依赖于一个坐标 x和时间 t， 方程化为 ∂x2∂2p​−c02​1​∂t2∂2p​=0。
通解：p(x,t)=f(t−x/c0​)+g(t+x/c0​)， 表示向右和向左传播的行波。
2. 球面波：在球坐标系 (r,θ,ϕ)中，假设球对称，方程化为 ∂r2∂2(rp)​−c02​1​∂t2∂2(rp)​=0。
通解：p(r,t)=r1​f(t−r/c0​)+r1​g(t+r/c0​)， 表示向外和向内传播的球面波，振幅随 1/r衰减。
3. 柱面波：在柱坐标系 (r,ϕ,z)中，假设轴对称且与 z无关，方程化为 r1​∂r∂​(r∂r∂p​)−c02​1​∂t2∂2p​=0， 其解涉及贝塞尔函数。

描述了声压扰动（即机械振动）在弹性介质中的“传播波”。波动方程 ∇2p=c02​1​∂t2∂2p​本质是动量守恒与质量守恒耦合的结果。左边 ∇2p代表压力的空间变化（“压力聚集度”），右边代表压力的时间二阶变化（“加速”）。方程表明，空间上某点的压力聚集会产生该点压力的时间变化（反之亦然），这种关系以波速 c0​为特征，导致扰动以“波”的形式传播出去。这是一种能量和信息的波动式流动。

JX-D1-0048​

电磁学方程

宏观电磁学

∇⋅D∇×E∇⋅B∇×H​=ρf​=−∂t∂B​=0=Jf​+∂t∂D​​

麦克斯韦方程组（微分形式）

1. 高斯电场定律：电位移 D的散度等于自由电荷密度 ρf​。描述了电场的有源性。
2. 法拉第电磁感应定律：电场 E的旋度等于磁感应强度 B随时间变化率的负值。描述了变化的磁场产生电场（涡旋电场）。
3. 高斯磁场定律：磁感应强度 B的散度为零。表明磁场是无源的（不存在磁单极）。
4. 安培-麦克斯韦定律：磁场强度 H的旋度等于自由电流密度 $\mathbf{J

TH-D1-0001​

静力学

刚体力学

力的平行四边形法则​

作用在同一点上的两个力 F1​​和 F2​​， 其合力 R可以用以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线来表示。即：R=F1​​+F2​​（向量加法）。

1. 实验基础：通过弹簧秤实验验证，两个力共同作用的效果与一个力单独作用的效果相同，该力即合力。
2. 几何构造：将两个力矢量 F1​​和 F2​​的起点置于同一点，以它们为邻边作平行四边形，从公共起点指向对角顶点的矢量即为合力 R。
3. 向量代数证明：力是矢量，满足矢量加法的交换律和结合律。在直角坐标系下，若 F1​​=(F1x​,F1y​)， F2​​=(F2x​,F2y​)， 则 R=(F1x​+F2x​,F1y​+F2y​)。
4. 三角形法则：平行四边形法则的简化。将 F2​​的起点移至 F1​​的终点，则从 F1​​起点指向 F2​​终点的矢量即为合力 R。

条件：力作用于同一刚体上的同一点。
范围：适用于所有矢量（力、速度、加速度等）。是静力学和矢量分析的基础。对于非共点力，需先平移并考虑力矩。

欧几里得几何、向量代数

场景：任何力的合成与分解分析。例如，斜拉桥索力的合成、机械构件上多载荷的等效、运动学中速度与加速度的合成。
意义：奠定了静力学和矢量分析的基础，是将复杂力系简化的第一步。

F1​​,F2​​：两个分力矢量。
R：合力矢量。
θ：两分力之间的夹角。
R=F12​+F22​+2F1​F2​cosθ​：合力大小。
α=arctan(F1​+F2​cosθF2​sinθ​)：合力与 F1​​的夹角。

几何性：基于几何作图。
向量性：满足向量加法规则。
可逆性：一个力可以分解为无数对分力，需附加条件（如方向）才能确定。

1. 作图法：按比例尺画出两个力，做平行四边形，量取对角线长度和方向。
2. 解析法：建立坐标系，将各力正交分解为 x,y分量，分别求和得到合力的分量 Rx​=∑Fix​， Ry​=∑Fiy​， 再合成 R=Rx2​+Ry2​​， 方向 θR​=arctan(Ry​/Rx​)。
3. 扩展：对于 n个共点力，连续应用三角形法则或多边形法则求合力。

描述了力作为一种矢量“流”的叠加原理。两个力矢量如同两条有方向的“作用流”，在作用点汇合。平行四边形法则定义了这两条“流”如何合并为一条等效的“总作用流”。合力矢量代表了两个分力对物体平动效应（动量变化率）的矢量和，是力流在向量空间中的线性叠加。

TH-D1-0002​

静力学

刚体力学

二力平衡原理​

作用于同一刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等、方向相反、且作用在同一条直线上。即：F1​​=−F2​​， 且两力共线。

1. 必要性证明（反证法）：假设两个力平衡但不共线。根据力的可传性，将它们的作用点移到其作用线的交点。此时，两个力构成一个力偶，力偶矩不为零，将使刚体产生转动，与平衡状态（既无平动也无转动）矛盾。因此，它们必须共线。
2. 充分性证明：若两个力大小相等、方向相反、作用线重合，则它们的主矢为零，对任意点的主矩也为零。根据刚体平衡的充要条件（主矢和主矩均为零），刚体必处于平衡状态。
3. 推论：二力构件（二力杆）无论形状如何，其两端所受的力必沿两铰链中心的连线，且等值、反向。

条件：两个力作用于同一刚体。刚体处于平衡状态（静止或匀速直线运动）。
范围：仅适用于刚体。对于变形体，此条件是必要的，但不一定是充分的（还需考虑内力平衡）。

牛顿第一定律、刚体静力学公理

场景：桁架中杆件受力分析（二力杆假设）、绳索和链的受力、简单的支撑反力分析。
意义：是进行受力分析时最基础、最重要的原理之一。快速判断二力杆的受力方向，极大简化复杂结构的计算。

F1​​,F2​​：作用在刚体上的两个力。
无其他独立参数，但涉及力的三要素：大小、方向、作用线。

充要条件：既是平衡的必要条件，也是充分条件。
共线性：核心在于作用线重合，而不仅仅是方向相反。
简化性：是复杂力系平衡的一个最基本特例。

1. 识别二力构件：在结构（如桁架）中，找出仅在两处受力且不计自重的构件。
2. 应用原理：立即断定这两个力必定沿着两力作用点的连线，且大小相等、方向相反（压力或拉力）。
3. 标注受力：在受力图上，沿连线方向画出该构件的受力。若指向构件为压力，背离构件为拉力。
4. 代入平衡方程：将此已知方向的力作为未知量，代入整体或局部的平衡方程求解其大小。

描述了力流在刚体内部传递达到静力平衡时的一种最简单、最直接的路径。当刚体只受两个力作用且平衡时，这两个力必须构成一条封闭的、无矩的“力流环”。任何偏离共线的情况都会产生力偶矩，打破平衡，引发旋转的“角动量流”。二力平衡原理定义了这种单向、共线的静力传递通道。

TH-D1-0003​

静力学

刚体力学

加减平衡力系原理​

在作用于刚体的已知力系上，加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。

1. 公理性陈述：此原理是静力学的基本公理之一，无法从更基础的原理推导，其正确性由大量实践验证。
2. 推理应用：它是力系等效变换和简化的理论基础。例如，力的可传性原理（作用于刚体上某点的力，可沿其作用线滑移到刚体内任意一点，而不改变其对刚体的外效应）就是加减平衡力系原理的直接推论。
3. 证明力的可传性：设力 F作用于点 A。在作用线上任一点 B加上一对平衡力 F′和 F′′， 令 F′=−F′′=F。 则 F与 F′′构成一对平衡力，可以减去。剩下的就是作用于 B点的力 F′， 其大小和方向与原力 F相同。

条件：仅适用于刚体。对于变形体，力沿作用线移动会改变其内部应力分布，从而改变效应。
范围：是静力学所有等效变换操作的基石。

静力学公理

场景：力系的简化、力向一点平移（需附加力偶）、约束反力的分析、复杂载荷的等效替换。
意义：提供了对力系进行等效操作的法律依据，使得我们能够将复杂的力系转化为更简单、更容易分析的形式。

无特定公式，是一个操作原理。
涉及概念：原力系、平衡力系（主矢和主矩均为零的力系）、效应（对刚体运动状态的影响）。

公理性：是逻辑起点之一。
操作性：指导如何进行力系的等效变换。
刚性假设依赖：严格依赖于刚体不变形的假设。

1. 目标：简化力系或改变力的作用点以方便分析。
2. 操作：在需要添加力的点，添加一对大小相等、方向相反、共线的力（构成平衡力系），其中一个力与原力系中某个力满足特定关系（如相等、共线）。
3. 简化：将新添加的力与原有力进行合并或抵消，从而达到等效变换的目的。
4. 检查：确保变换前后力系的主矢和主矩不变。

描述了在刚体模型中“力流”的重新分配与组合不影响整体宏观效应的原理。刚体假设下，内部“力流”路径的细节被忽略，只关心净效应。加减平衡力系，相当于在系统的“力流网络”中，增加或移除一个内部自平衡、不对外产生净“流量”（主矢）和“涡流”（主矩）的局部回路，因此不改变整个网络对外的输运特性。

TH-D1-0004​

静力学

力偶理论

力偶等效定理​

作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩（大小和转向）相同，则它们彼此等效。即：力偶对刚体的转动效应完全由力偶矩矢量决定。

1. 力偶矩定义：力偶矩 M等于力偶中一个力的大小 F与力偶臂 d（两力作用线之间的垂直距离）的乘积，即 M=±Fd， 正负号表示转向（通常逆时针为正）。
2. 等效变换证明：可以通过以下操作将一个力偶变换为另一个等效力偶而不改变其效应：
a. 在作用面内任意转动/移动：因为力偶矩（大小和转向）不变。
b. 同时改变力和力偶臂，但保持力偶矩不变：例如，将 (F,d)变为 (2F,d/2)。
c. 转移到平行平面：力偶矩矢量方向不变，刚体效应相同（需考虑力偶矩是自由矢量）。
3. 推论：力偶可以在其作用面内任意移动和转动，也可以移动到平行平面，而不改变其对刚体的外效应。

条件：力偶作用在刚体上。对于平面力系，力偶矩是代数量；对于空间力系，力偶矩是自由矢量。
范围：是力偶合成与简化的基础。力偶矩是衡量力偶转动效应的唯一度量。

静力学公理、矢量代数

场景：机械中转动副的受力分析、机构中力矩的等效替换、复杂力系简化时力偶的处理。
意义：将力偶抽象为一个纯粹的“转动作用”（力偶矩），极大地简化了涉及力矩的计算。使得力偶可以像力矢量一样进行合成与分解。

M：力偶矩矢量，其大小 M=Fd， 方向垂直于力偶所在平面，按右手螺旋法则确定。
F：力偶中一个力的大小。
d：力偶臂（两力作用线的垂直距离）。
平面问题中，M常作为代数量处理。

自由矢量性：在空间问题中，力偶矩矢量可以滑移，是自由矢量。
无主矢：力偶的主矢恒为零。
效应独立性：力偶只产生纯转动效应，与作用点无关。

1. 计算力偶矩：对于给定的力偶，计算其力偶矩 M=F×d（平面内）或确定其力偶矩矢量 M=r×F（空间，其中 r为从一个力作用点到另一个力作用点的矢量）。
2. 等效替换：若需用另一个力偶 (F′,d′)等效替换原力偶，只需保证 F′d′=Fd且转向相同。
3. 力偶合成：同一平面内的多个力偶，其合力偶矩等于各力偶矩的代数和。空间力偶系，合力偶矩矢量等于各力偶矩矢量的矢量和。

描述了纯转动作用的“矩流”的等效性。力偶是一种特殊的力系，其“力流”自成闭环（主矢为零），不产生平动效应，只产生“转动效应流”或“角动量流”。力偶矩矢量 M就是这个“转动效应流”的强度与方向度量。该定理指出，无论产生这个“矩流”的具体力对（F,d）如何，只要其“流量”（大小和方向）相同，对刚体的外部转动效应就完全相同。这类似于电路中的电流源，只要电流值相同，其对外电路的效果就相同。

TH-D1-0005​

静力学

约束与受力分析

三力平衡汇交定理​

刚体在三个互不平行的力作用下处于平衡时，这三个力的作用线必汇交于同一点。

1. 证明思路：设三个力 FA​​,FB​​,FC​​分别作用于刚体上 A,B,C三点，且刚体平衡。
2. 应用二力平衡原理推论：根据力的可传性，将 FA​​和 FB​​分别沿其作用线滑移，设它们交于点 O。
3. 合成与平衡：将汇交于 O点的 FA​​和 FB​​合成为一个力 RAB​​， 根据平行四边形法则，RAB​​也通过 O点。此时，刚体相当于受 RAB​​和 FC​​两个力作用而平衡。
4. 应用二力平衡原理：根据二力平衡原理，RAB​​和 FC​​必须大小相等、方向相反、且作用线重合。因此，FC​​的作用线也必然通过 O点。由此得证，三力作用线共点。

条件：刚体；仅受三个力作用；三个力不平行；刚体处于平衡状态。
范围：是求解静定三力构件受力方向的强大工具。如果三个力中有两个力相交，则可立即确定第三个力的方向线必通过该交点。

二力平衡原理、力的可传性原理

场景：三角支架、三铰拱、某些机构在特定位置（受三个力）的受力分析。
意义：提供了一个非常重要的几何约束条件。在受力分析中，如果识别出物体受三个不平行力作用且平衡，且已知其中两个力的方向，则第三个力的方向线必通过前两个力作用线的交点，这常常是解题的关键。

F1​​,F2​​,F3​​：作用在刚体上的三个力。
交点 O：三个力作用线的公共交点。

几何约束：提供了一个力的方向必须满足的几何条件（共点）。
平衡的推论：是平衡状态下的必然结果，而非独立条件。
简化分析：将力的方向确定问题转化为几何找点问题。

1. 识别：判断研究对象是否仅受三个不平行力作用且平衡。
2. 找已知方向：找出其中两个力的作用线（例如，重力竖直向下，一个约束反力沿杆方向）。
3. 确定交点：延长这两条作用线，找到它们的交点 O。
4. 确定第三力方向：第三个未知力的作用线也必然通过交点 O。连接第三个力作用点（或已知点）与交点 O， 即得到该力的方向线。
5. 建立方程：利用三力汇交的几何关系和平行四边形法则（或力三角形闭合），求解力的大小。

描述了三力平衡时，“力流”必须汇聚于一个“节点”。在三个力作用的平衡系统中，任何两个力的合力必须与第三个力共线且反向以维持平衡。这就要求这三个力的作用线必须相交于一点，使得它们的“力流”线能够在一个共同的“汇交点”上实现矢量闭合。这个“汇交点”是系统内“力流”的静力学奇点，所有力的作用线在此交汇，确保了净力矩为零（因为每个力对该点的力矩均为零）。

TH-D1-0006​

静力学

力系简化

力的平移定理​

作用在刚体上某点的力，可以平行移动到刚体内任意一点，但必须附加一个力偶，该附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。

1. 等效变换过程：设力 F作用于点 A。欲将其平移到点 B。
2. 在点 B添加平衡力系：在点 B加上一对平衡力 F′和 F′′， 且令 F′=F， F′′=−F。
3. 重新组合：此时，系统包含：作用于 A点的原力 F， 作用于 B点的力 F′， 以及作用于 B点的力 F′′。注意到 F和 F′′大小相等、方向相反，且平行但不共线，它们构成一个力偶，其力偶矩 M=rBA​×F， 其中 rBA​是从 B指向 A的矢量。
4. 等效结果：原力系等效为一个作用于 B点的力 F′（大小方向与原力相同）和一个附加力偶 M。

条件：适用于刚体。
范围：是力系向一点简化的理论基础。任何复杂的力系都可以通过此定理向某点简化，得到一个主矢和一个主矩。

加减平衡力系原理

场景：固定端约束反力的简化（得到一个力和一个力偶）、复杂分布载荷的等效、机构动力学中惯性力系的简化。
意义：将力的作用点效应（产生移动和转动）分解为纯粹的平动效应（作用于新点的力）和纯粹的转动效应（附加力偶）。是静力学和动力学中力系简化的核心操作。

F：原力矢量。
A：原力作用点。
B：目标平移点。
F′：平移后作用于 B点的力，F′=F。
M：附加力偶矩，M=rBA​×F。
rBA​：从平移点 B指向原作用点 A的位置矢量。

等效性：变换前后力系对刚体的外效应（主矢和主矩）不变。
矢量性：附加力偶矩是矢量，垂直于原力与平移矢量构成的平面。
可逆性：一个力和一个力偶可以合成为一个力（当力偶矩与力垂直时）。

1. 选择简化中心​ O。
2. 平移各力：将力系中每个力 Fi​​从作用点 Ai​平移到 O点，得到作用于 O点的力 Fi​​和附加力偶 Mi​​=ri​×Fi​​， 其中 ri​是从 O指向 Ai​的矢量。
3. 合成主矢：将所有平移至 O点的力矢量求和，得到力系的主矢 R=∑Fi​​。
4. 合成主矩：将所有附加力偶矩以及原力系中的力偶矩求和，得到力系对 O点的主矩 MO​​=∑Mi​​+∑MCj​​（MCj​​为原力系中的力偶）。
5. 得到最终等效：原力系等效为作用于 O点的一个力 R和一个力偶 MO​​。

揭示了力对刚体作用的双重性（平动与转动）在空间变换下的分解规律。一个力 F从 A点平移到 B点，其“平动效应流” (F) 被完整地带到 B点。但是，其关于 B点的“转动效应流” (M=r×F) 却丢失了。为了完全等效，必须额外补充一个“转动效应流”（即附加力偶矩）来弥补这个差额。该定理本质是力系效应在改变参考点时的变换规则。

TH-D1-0007​

静力学

力系平衡

平面任意力系的平衡方程​

刚体在平面任意力系作用下平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩均为零。即：
∑Fx​=0
∑Fy​=0
∑MO​(F)=0
（或二矩式、三矩式）

1. 必要性：如果刚体平衡（静止或匀速直线平动、无转动），则根据牛顿第一定律和转动定律，其合力（主矢）和合力矩（对任一点的主矩）必须为零。
2. 充分性：如果主矢为零，则力系不会引起刚体质心的加速（平动平衡）。如果对任意一点 O的主矩为零，且主矢为零，则可以证明对任何其他点 A的主矩也为零（因为 MA​​=MO​​+rAO​×R， 其中 R=0）。因此，力系既不能引起平动，也不能引起转动，刚体必平衡。
3. 其他形式：
- 二矩式：∑Fx​=0（或 ∑Fy​=0）， ∑MA​=0， ∑MB​=0， 要求 A,B两点的连线不能与 x轴（或 y轴）垂直。
- 三矩式：∑MA​=0， ∑MB​=0， ∑MC​=0， 要求 A,B,C三点不共线。

条件：力系作用在同一个刚体上；刚体处于平面一般运动状态（或静止）；力系是平面任意力系。
范围：求解平面结构（如梁、框架、机构）静定问题的根本工具。

牛顿运动定律、力的平移定理

场景：求解梁的支座反力、桁架中指定杆件内力、刚架的内力分析、机械结构的静力学设计校核。
意义：提供了三个独立的代数方程，可以求解三个未知量（通常是约束反力或内力）。是工程静力学计算的核心。

∑Fx​：所有力在 x轴上投影的代数和。
∑Fy​：所有力在 y轴上投影的代数和。
∑MO​(F)：所有力对 O点之矩的代数和。
A,B,C：矩心点。

代数方程组：三个独立的线性方程（对于线性系统）。
独立性：需确保所选方程相互独立（二矩式、三矩式有几何条件）。
标量方程：在平面问题中，力和力矩都表示为代数量。

1. 确定研究对象：选取需要计算未知力的物体或系统。
2. 画受力图：画出所有作用在研究对象上的外力（主动力和约束反力）。
3. 建立坐标系：选择合适的 x,y坐标轴方向，以简化投影计算。
4. 列平衡方程：
a. 基本式：∑Fx​=0； ∑Fy​=0； ∑MO​=0（O点通常选在多个未知力的交点上，以使方程简化）。
b. 校核：可用其他矩心的力矩方程验证结果。
5. 求解方程：解出所有未知力。
6. 讨论结果：正号表示假设方向正确，负号表示实际方向与假设相反。

描述了平面力系达到静力平衡时，“力流”和“矩流”的全局守恒条件。
- ∑Fx​=0,∑Fy​=0保证了在 x和 y方向上，流入系统的“平动冲量流”净增量为零，即质心加速度为零。
- ∑MO​=0保证了关于任意点 O的“角动量流”净增量为零，即刚体角加速度为零。
这三个方程共同构成了平面力系“流动”的连续性方程和角动量守恒方程，是系统处于静力平衡状态的数学表述。

TH-D1-0008​

材料力学

应力分析

圣维南原理​

作用于物体表面某一小区域上的力系，如果用一个静力等效的力系（即主矢和主矩相同）来代替，那么这种替换仅在力系作用区域附近产生显著的应力差异，在距离该区域较远处，应力分布的影响可以忽略不计。

1. 定性陈述：局部载荷的等效替换，只影响载荷作用区域附近的应力分布，对“远处”的应力影响很小。
2. 定量理解：“较远处”通常指距离载荷作用区域的尺寸大于该区域本身的尺寸。例如，在杆件拉伸中，端部夹持方式（力分布）只影响端部附近（约1-2倍截面尺寸）的应力，杆件中间部分的应力是均匀的。
3. 工程意义：该原理无法严格证明，但其正确性被大量实验和弹性力学精确解所支持。它极大地简化了工程计算，允许我们用简单的等效力系（如集中力、均布力）代替复杂的实际载荷进行“远处”的应力应变分析。

条件：替换的力系必须是静力等效的（主矢、主矩相同）。物体是线弹性的（通常）。
范围：不适用于动力载荷、稳定性问题（如压杆稳定）以及载荷作用区域本身就是关注焦点的情况。

弹性力学、实验归纳

场景：
1. 拉伸/压缩杆件：用合力代替复杂的端部载荷，计算中间截面应力。
2. 梁的弯曲：用等效集中力或力矩代替复杂的支撑反力分布。
3. 应力集中分析：只在孔、缺口等局部区域需要考虑实际载荷分布。
意义：是连接理论简化模型与实际复杂受力的桥梁，使得许多弹性力学问题得以简化求解。没有它，几乎所有的材料力学公式都无法直接应用。

无具体公式，是一个定性原理。
涉及概念：静力等效、局部效应区、圣维南影响区。

定性原理：非定量，给出趋势性结论。
近似性：是工程近似的基础。
区域性：明确区分了“近场”和“远场”。

1. 实际问题：一个构件承受复杂的表面力分布。
2. 等效替换：用一个简单的、静力等效的力系（如一个集中力和一个力偶）来替代这个复杂分布力。
3. 确定影响区：估计载荷作用区域的尺寸 d。在距离该区域大于 d（例如 2d或 3d）的地方，可以应用简化模型进行计算。
4. 应用简化公式：在“远场”区域，使用材料力学公式（如 σ=F/A, σ=My/I）计算应力。
5. 局部细化：如果需要研究载荷作用区域本身的应力（如接触应力），则不能应用此原理，需用弹性力学或有限元进行精细分析。

描述了弹性体内应力“流”的局部扰动特性。复杂的表面载荷会在其作用点附近产生复杂的、高梯度的“应力流场”。圣维南原理指出，这种扰动是一种局部衰减的“流”。在远离扰动源的地方，应力“流”的分布模式主要由结构的整体形状和边界条件决定，而不再“记得”载荷的具体分布细节，只“记得”其静力等效的总效应（主矢和主矩）。这类似于流体中局部扰动产生的涡流会随着距离衰减。

TH-D1-0009​

材料力学

应力应变关系

胡克定律（一维）​

在材料的线弹性范围内，应力 σ与应变 ϵ成正比。即：σ=Eϵ， 其中 E为杨氏模量（弹性模量）。

1. 实验基础：罗伯特·胡克通过弹簧实验发现“伸长量与力成正比”（Ut tensio, sic vis）。推广到连续介质，即应力与应变成正比。
2. 线弹性假设：材料卸载后变形完全恢复，且应力-应变关系是线性的。
3. 比例极限：该定律成立的上限应力称为比例极限。对于许多材料，比例极限接近弹性极限（卸载后无残余变形的最大应力）。
4. 广义胡克定律：对于各向同性材料的三维应力状态，胡克定律推广为包含正应力和剪应力的六个方程，涉及两个弹性常数 E（杨氏模量）和 ν（泊松比）或 G（剪切模量）。

条件：材料处于线弹性阶段；小变形；通常适用于各向同性材料。
范围：是线弹性理论的本构关系基础。适用于金属材料在比例极限内的变形，也近似适用于许多其他材料在小应变下的行为。

固体物理学、连续介质力学

场景：几乎所有弹性结构的设计与校核计算：杆的拉压、梁的弯曲、轴的扭转、薄壳的变形等。
意义：建立了可测量的变形（应变）与内部力（应力）之间的桥梁，是材料力学和结构力学的基石。没有它，应力分析和变形计算将无法关联。

σ：正应力 (Pa)。
ϵ：线应变（无量纲）。
E：杨氏模量或弹性模量 (Pa)， 材料常数，表征材料抵抗弹性变形的能力。
ΔL：长度变化量。
L0​：原始长度。对于杆件，ϵ=ΔL/L0​。

线性关系：应力与应变成正比。
本构关系：描述材料自身的力学响应。
参数 E：是材料刚度的度量，E越大，产生相同应变所需的应力越大，材料越“刚”。

1. 确定载荷和几何：已知外力 F和杆件横截面积 A、原长 L0​。
2. 计算应力：假设应力均匀分布，σ=F/A。
3. 应用胡克定律：ϵ=σ/E。
4. 计算变形：ΔL=ϵ⋅L0​=(FL0​)/(EA)。
5. 校核：确保计算出的应力 σ低于材料的比例极限或许用应力。
6. 广义应用：在复杂应力状态下，使用广义胡克定律计算各向应变，例如 ϵx​=E1​[σx​−ν(σy​+σz​)]。

描述了材料在弹性范围内，内部“应力流”与“应变流”之间的线性传导关系。杨氏模量 E是这个传导关系的比例系数或阻抗。应力 σ是驱动变形的“广义力”，应变 ϵ是产生的“广义位移”。胡克定律 σ=Eϵ类似于电路中的欧姆定律 V=IR， 其中 E类似于电阻 R， 表征材料抵抗弹性变形的“流阻”。这是一种最简单的、线性的“力流”-“变形流”本构关系。

TH-D1-0010​

材料力学

梁的弯曲

平面弯曲的正应力公式（弯曲公式）​

梁在纯弯曲时，横截面上任一点的正应力 σ与该点到中性轴的距离 y成正比，与截面惯性矩 I成反比。公式为：σ=−IMy​。

1. 基本假设：平面假设（变形后横截面保持平面）、单向受力假设（纵向纤维间无挤压）、材料线弹性（服从胡克定律）。
2. 几何关系：根据平面假设，纵向线应变 ϵ沿截面高度线性分布：ϵ=ρy​， 其中 ρ是中性层曲率半径，y是到中性轴的距离。
3. 物理关系：由胡克定律 σ=Eϵ， 得 σ=Eρy​。 即正应力沿高度也线性分布。
4. 静力学关系：横截面上正应力的合力应等于内力（弯矩 M）。即：
- 轴向力平衡：∫A​σdA=0-> 确定中性轴通过形心。
- 力矩平衡：∫A​yσdA=M-> 将 σ=Ey/ρ代入，得 M=ρE​∫A​y2dA=ρEI​， 其中 I=∫A​y2dA为截面对中性轴的惯性矩。
5. 导出公式：由 M=EI/ρ得 1/ρ=M/(EI)， 代入 σ=Ey/ρ， 即得 σ=−IMy​。 负号表示 y为正（受拉区）时 σ为负（压应力），通常根据弯矩方向判断拉压。

条件：纯弯曲（横截面上只有弯矩，无剪力）；材料线弹性；小变形；平面弯曲（弯矩作用在纵向对称面内）。对于横力弯曲（有剪力），该公式近似成立，误差在工程允许范围内。

几何学、平衡条件、胡克定律

场景：各种梁式构件（如桥梁、楼板、机床主轴）的强度校核与设计。计算梁在弯矩作用下，截面上最大拉应力和最大压应力。
意义：是梁弯曲理论的核心公式，将外部载荷（弯矩 M）、截面几何属性（I）和内部应力（σ）联系起来。是进行梁的强度设计的直接工具。

σ：横截面上某点的正应力 (Pa)， 拉为正，压为负。
M：该横截面上的弯矩 (N·m)， 使梁下部纤维受拉时通常定义为正。
y：该点到中性轴（形心轴）的垂直距离 (m)， 在中性轴以上为正，以下为负。
I：整个横截面对中性轴的面积二次矩（惯性矩）(m⁴)。
E：杨氏模量 (Pa)。
ρ：中性层曲率半径 (m)。

线性分布：应力沿截面高度线性分布，中性轴上为零。
与 y成正比：离中性轴越远，应力越大。
与 I成反比：I是截面抗弯能力的度量。
符号约定：需协调 M和 y的符号。

1. 求支座反力， 画出梁的弯矩图，确定危险截面及其弯矩 M。
2. 确定截面几何性质：找到形心位置，确定中性轴；计算截面对中性轴的惯性矩 I。
3. 确定危险点：在危险截面上，距离中性轴最远的点应力最大。ymax​有上下两个值。
4. 计算最大应力：σmax​=IMymax​​。 通常计算 σt,max​=Myt​/I（最大拉应力）和 σc,max​=Myc​/I（最大压应力）， yt​和 yc​分别为受拉和受压侧最远点到中性轴的距离。
5. 强度校核：σmax​≤[σ]（许用应力）。

描述了弯曲弯矩 M如何通过截面几何属性 I转化为横截面上线性分布的“正应力流”。弯矩 M是截面上的“内力矩流”，它需要由截面上的微内力 σdA对中性轴的矩来平衡。公式 σ=−My/I表明，这个“内力矩流”被“分配”到截面的各个微面积上，分配的比例因子就是 y/I。惯性矩 I是截面抵抗弯曲变形能力的度量，I越大，相同的弯矩 M产生的最大应力 σmax​越小。这体现了通过合理设计截面形状（增大 I）来“疏导”和“降低”弯曲应力“流”强度的思想。

TH-D1-0011​

材料力学

梁的变形

梁的挠曲线近似微分方程​

在小变形和线弹性条件下，梁的挠度 w(x)与弯矩 M(x)满足关系：dx2d2w​=EIM(x)​或 EIw′′=M(x)。

1. 曲率公式：由纯弯曲公式，曲率 κ=ρ1​=EIM​。
2. 曲率与挠度关系：在数学上，平面曲线的曲率公式为 $\kappa = \frac{

w''

}{(1+(w')^2)^{3/2}}，其中w' = dw/dx为转角。<br>∗∗3.小变形近似∗∗：当梁的挠度很小，即w' << 1（转角远小于1弧度）时，(1+(w')^2)^{3/2} \approx 1。因此，曲率可近似为\kappa \approx

w''

。<br>∗∗4.符号约定∗∗：根据弯矩正负和挠曲线凹凸方向（w''的正负）的协调，通常规定：当弯矩M为正（使梁下侧受拉）时，挠曲线向下凸，w''为负。因此，引入符号得到：w'' = -\frac

TH-D1-0021​

系统动力学

分析力学

达朗贝尔原理​

在质点运动的任一瞬时，作用于质点的主动力 F、约束反力 N和质点的惯性力 FI​=−ma在形式上组成平衡力系。即：F+N+FI​=0。

1. 牛顿第二定律：F+N=ma。
2. 移项构造：将方程右端的 ma移到左边：F+N−ma=0。
3. 引入惯性力：定义惯性力 FI​=−ma， 它是一个虚拟的力，其大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。
4. 得到平衡方程：代入即得 F+N+FI​=0。 这样，动力学问题在形式上转化为静力学问题。
5. 对质点系的推广：对系中每个质点应用达朗贝尔原理，并考虑所有力（包括内力）的平衡。由于内力成对出现且等大反向，在求和时会抵消。

条件：适用于惯性参考系。惯性力是虚拟力，没有施力物体，不服从牛顿第三定律。
范围：适用于任意质点或刚体系统，是动力学分析的一种重要方法，特别适用于求动约束反力和加速度。

牛顿第二定律、静力平衡原理

场景：求解非自由质点系的加速度和约束反力（如滑轮系统、旋转机械的轴承动反力）、转子动平衡分析。
意义：提供了处理动力学问题的一种“静力学化”方法，直观性强，在工程中广泛用于动载荷分析。

F：主动力（真实存在的力）。
N：约束反力。
FI​：惯性力，FI​=−ma。
m：质点质量。
a：质点在惯性系中的加速度。

动静法：将动力学问题转化为静力学问题求解。
虚拟力：惯性力是引入的虚拟力，以使方程在形式上平衡。
瞬时性：平衡关系在运动的每一瞬时成立。

1. 受力分析：画出研究对象上的所有主动力 F和约束反力 N。
2. 运动分析：确定质点的加速度 a。
3. 施加惯性力：在质点上虚加惯性力 FI​=−ma， 方向与 a相反。
4. 列平衡方程：将主动力、约束反力和惯性力视为一个平衡力系，列出静力平衡方程（如 ∑Fx​=0,∑Fy​=0,∑M=0）。
5. 求解方程：解出未知的加速度或约束反力。

描述了在惯性参考系中，真实力与虚拟的惯性力共同构成一种“动态平衡”。惯性力 −ma代表了质点由于惯性而抵抗运动状态改变的“趋势”或“效应流”。达朗贝尔原理本质是将动量变化率 ma​ 从方程的一侧“搬运”到另一侧，并赋予其“力”的形式，从而将动力学的“因果流”（力产生加速度）重新表述为静力学的“平衡流”（所有力的矢量和为零）。这为理解非惯性系中的“表观力”提供了桥梁。

TH-D1-0022​

系统动力学

分析力学

虚位移原理（虚功原理）​

对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：所有主动力在任何虚位移上所作的元功之和等于零。即：∑Fi​⋅δri​=0。

1. 基本概念：
- 虚位移​ δri​：在给定瞬时，约束所允许的、无限小的、假想的位移。它是可能的位移，而非实际发生的位移，与时间无关。
- 理想约束：约束反力在系统的任何虚位移上所作元功之和为零。光滑接触、不可伸长的柔索、刚性杆连接等通常视为理想约束。
2. 必要性证明：如果系统平衡，则每个质点合力为零：Fi​+Ni​=0。 点乘虚位移 δri​并求和：∑(Fi​+Ni​)⋅δri​=0。 由于约束理想，∑Ni​⋅δri​=0， 故 ∑Fi​⋅δri​=0。
3. 充分性证明（略，通常由分析力学给出）：该原理是分析力学的出发点，可导出拉格朗日方程。

条件：系统受理想约束；考虑虚位移，而非实位移；适用于静平衡问题。
范围：是求解复杂系统平衡问题的强大工具，尤其适用于多自由度系统，因为它避免了求解未知的约束反力。

能量守恒、约束力学

场景：复杂机构（如连杆机构、差动滑轮）的平衡位置或平衡力求解、结构力学中利用虚功原理求位移（单位载荷法）。
意义：用统一的标量功方程代替多个矢量平衡方程，是分析力学的基础，也是有限元法中变分原理的源头。

Fi​：第 i个质点所受的主动力。
δri​：第 i个质点的虚位移。
Ni​：第 i个质点所受的约束反力。
理想约束：满足 ∑Ni​⋅δri​=0的约束。

标量方程：将矢量平衡问题转化为一个标量方程。
变分原理：涉及虚位移（变分）。
消去约束反力：理想约束反力在方程中不出现，简化了计算。

1. 判断约束：确认系统所受约束为理想约束。
2. 确定自由度：分析系统有多少个独立广义坐标。
3. 给出虚位移关系：用广义坐标的变分 δqj​表示各主动力作用点的虚位移 δri​。
4. 计算虚功：计算所有主动力的虚功之和 δW=∑Fi​⋅δri​， 并将其表示为 ∑Qj​δqj​的形式，其中 Qj​为对应于广义坐标 qj​的广义力。
5. 令虚功为零：由于 δqj​的独立性，由 δW=∑Qj​δqj​=0可得所有广义力 Qj​=0。
6. 求解方程：由 Qj​=0解出平衡时的广义坐标值或主动力关系。

描述了系统平衡时，所有主动力在任意可能（虚拟）的位移模式上所做的“功流”之和必须为零。虚位移 δr代表了系统在约束允许下的所有可能运动趋势。虚功原理要求，在这些所有可能的“运动趋势流”中，主动力不能在其中任何一个趋势上做净正功，否则系统就会沿该趋势运动而打破平衡。这本质上是能量原理在约束系统平衡问题上的体现，即系统在平衡位置时，其势能（对于保守系统）取驻值。

TH-D1-0023​

系统动力学

分析力学

拉格朗日方程​

对于具有完整、理想约束的系统，其运动微分方程可由下式给出：
dtd​(∂q˙​j​∂L​)−∂qj​∂L​=Qj∗​(j=1,2,...,n)
其中 L=T−V为拉格朗日函数，T为系统动能，V为系统势能，qj​为广义坐标，Qj∗​为非保守广义力（如阻尼力、外力）。

1. 从达朗贝尔-拉格朗日原理出发：结合达朗贝尔原理和虚位移原理，得到动力学普遍方程：∑i​(Fi​−mi​ai​)⋅δri​=0。
2. 引入广义坐标：将质点直角坐标 ri​用广义坐标 qj​表示：ri​=ri​(q1​,q2​,...,qn​,t)。 进而虚位移 δri​=∑j​∂qj​∂ri​​δqj​。
3. 推导关键变换：
a. 惯性项变换：∑i​mi​ai​⋅δri​=∑j​[dtd​(∂q˙​j​∂T​)−∂qj​∂T​]δqj​。
b. 主动力项变换：∑i​Fi​⋅δri​=∑j​Qj​δqj​， Qj​为广义力。
4. 得到方程：代入动力学普遍方程，并利用 δqj​的独立性，得到 dtd​(∂q˙​j​∂T​)−∂qj​∂T​=Qj​。
5. 引入保守力：若主动力部分有势，即 Qj(c)​=−∂qj​∂V​， 并定义 L=T−V， 同时将非保守力记为 Qj∗​， 则得到标准形式。

条件：系统受完整约束（约束方程不含速度项，或可积分）；理想约束；广义坐标独立。
范围：是解决复杂多自由度系统动力学问题的标准、系统的方法。避免了画受力图和解约束反力，直接得到运动方程。

达朗贝尔原理、虚功原理、变分法

场景：机器人动力学建模、多体系统仿真、航天器姿态动力学、复杂机械系统（如汽车悬架）的振动分析。
意义：提供了建立系统运动微分方程的规范化流程，方程形式统一、简洁，特别适合计算机符号推导和数值求解。是现代动力学分析和控制的基石。

qj​：第 j个广义坐标。
q˙​j​：广义速度。
T：系统总动能，是 qj​, q˙​j​, t的函数。
V：系统势能（保守力部分），是 qj​, t的函数。
L：拉格朗日函数，L=T−V。
Qj∗​：非保守广义力，对应所有非保守主动力（如摩擦力、外驱动力）的虚功：Qj∗​=∑Finc​⋅∂qj​∂ri​​。

二阶常微分方程组：对每个广义坐标得到一个二阶ODE。
能量函数：方程由动能和势能构造而来。
自动消去约束力：理想约束反力不出现在方程中。

1. 确定系统：分析自由度，选取合适的广义坐标 q1​,q2​,...,qn​。
2. 计算动能 T：用广义坐标和广义速度表示系统总动能。
3. 计算势能 V：用广义坐标表示所有保守力（重力、弹簧力）的势能。
4. 构造拉格朗日函数：L=T−V。
5. 计算非保守广义力 Qj∗​：对每个非保守力，计算其虚功，并提取 δqj​前的系数。
6. 代入拉格朗日方程：对每个 j， 计算 ∂q˙​j​∂L​和 ∂qj​∂L​， 然后求导 dtd​(∂q˙​j​∂L​)， 最后列出方程 dtd​(∂q˙​j​∂L​)−∂qj​∂L​=Qj∗​。
7. 整理方程：得到关于 qj​, q˙​j​, q¨​j​的 n个耦合的二阶常微分方程。

是能量流在广义坐标空间中的动力学表述。方程 dtd​(∂q˙​j​∂L​)−∂qj​∂L​=Qj∗​可以理解为：
- ∂q˙​j​∂L​是广义动量 pj​（“动量流”在广义坐标上的分量）。
- dtd​(∂q˙​j​∂L​)是广义动量的变化率。
- ∂qj​∂L​是广义力（保守部分）的负值。
方程表明，广义动量的变化率由保守广义力 (−∂L/∂qj​) 和非保守广义力 (Qj∗​) 共同驱动。拉格朗日方程本质上描述了系统能量（动能与势能）在广义坐标方向上的流动与转换规律，是哈密顿原理的微分形式。

TH-D1-0024​

系统动力学

分析力学

哈密顿原理​

在相同的时间间隔 [t1​,t2​]内，具有相同起止位形的所有可能运动中，真实运动是使哈密顿作用量 S取驻值（通常为极小值）的那一条。即：
δS=δ∫t1​t2​​L(q,q˙​,t)dt=0。
其中 L=T−V为拉格朗日函数。

1. 作用量定义：S=∫t1​t2​​Ldt， 它是一个泛函，依赖于路径 q(t)。
2. 变分概念：考虑真实路径 q(t)附近的一条 varied path q(t)+δq(t)， 其中 δq(t)是虚位移（在 t1​,t2​处为零），且 δq˙​=d(δq)/dt。
3. 计算作用量变分：
δS=∫t1​t2​​δLdt=∫t1​t2​​(∂q∂L​δq+∂q˙​∂L​δq˙​)dt。
对第二项分部积分：$\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right

{t_1}^{t_2} - \int{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \delta q dt。由于端点变分为零，第一项消失。<br>∗∗4.得到欧拉−拉格朗日方程∗∗：代入得\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \right] \delta q dt = 0。由于\delta q的任意性，被积函数必须为零，即得到拉格朗日方程。<br>∗∗5.原理陈述∗∗：真实运动使S$ 取驻值。

条件：系统受完整、理想约束；作用量积分存在；起止位形固定。
范围：是分析力学和物理学的最高原理之一。不仅适用于力学，也适用于电磁学、量子力学等，是变分原理的典范。

变分法、最小作用量原理

场景：理论推导连续介质力学方程（如梁、板的振动方程）、最优控制理论（庞特里亚金最小值原理的源头）、量子力学的路径积分表述。
意义：用一个简洁优美的变分原理概括了整个系统的动力学规律，具有极高的理论概括性和美学价值。是连接经典力学与近代物理的桥梁。

S：哈密顿作用量，是一个泛函。
L：拉格朗日函数。
q(t)：广义坐标随时间变化的路径。
δq：路径的变分（虚位移）。
t1​,t2​：固定的起始和终止时间。

变分原理：用泛函的驻值条件代替微分方程。
全局性：考虑整条路径，而非瞬时状态。
协变性：在坐标变换下形式不变，易于推广到相对论等情况。

1. 确定系统：明确系统的动能 T和势能 V， 构造拉格朗日函数 L=T−V。
2. 定义作用量：S[q(t)]=∫t1​t2​​L(q(t),q˙​(t),t)dt。
3. 应用驻值条件：要求作用量 S对路径 q(t)的一阶变分为零：δS=0。
4. 执行变分运算：对 L进行变分，分部积分，利用端点条件，得到被积函数为零的方程。
5. 导出运动方程：得到欧拉-拉格朗日方程，即拉格朗日方程。
6. 求解方程：解此微分方程得到真实运动 q(t)。

TH-D1-0025​

系统动力学

振动理论

单自由度系统无阻尼自由振动方程​

质量-弹簧系统的运动由以下微分方程描述：
mx¨+kx=0。
其通解为：x(t)=Acos(ωn​t)+Bsin(ωn​t)=Ccos(ωn​t−ϕ)。
其中 ωn​=k/m​为固有圆频率。

1. 建立模型：考虑一个质量为 m的物块，连接一个刚度为 k的弹簧，置于光滑平面。以静平衡位置为坐标原点。
2. 受力分析：在任意位移 x处，弹簧恢复力 Fs​=−kx（负号表示力与位移方向相反）。
3. 应用牛顿第二定律：mx¨=−kx， 整理即得 mx¨+kx=0。
4. 求解微分方程：这是一个常系数齐次线性ODE。设解为 x=est， 代入得特征方程 ms2+k=0， 解得 s=±iωn​， 其中 ωn​=k/m​。
5. 构造通解：利用欧拉公式，实值通解为 x(t)=Acos(ωn​t)+Bsin(ωn​t)。 利用三角恒等式可合并为 x(t)=Ccos(ωn​t−ϕ)， 其中 C=A2+B2​为振幅，ϕ=arctan(B/A)为初相位。
6. 运动特性：简谐振动，周期 Tn​=2π/ωn​， 频率 fn​=ωn​/(2π)。

条件：系统是线性的（弹簧力与位移成正比）；无阻尼；无外部激励；小位移（保证线性）。
范围：是所有振动分析的基础模型。其固有频率 ωn​是系统最重要的动态特性参数之一。

牛顿第二定律、胡克定律

场景：任何近似为质量-弹簧系统的振动分析：机床基础的隔振、车辆悬架的垂向振动、精密仪器平台的防振设计。
意义：揭示了振动最基本的模式——简谐振动。固有频率 ωn​是系统固有的、仅由系统参数 (m,k) 决定的特性，是共振分析和动态设计的关键。

x(t)：质量块相对于静平衡位置的位移。
m：系统的等效质量 (kg)。
k：系统的等效刚度 (N/m)。
ωn​：固有圆频率 (rad/s)， ωn​=k/m​。
fn​：固有频率 (Hz)， fn​=ωn​/(2π)。
Tn​：固有周期 (s)， Tn​=1/fn​=2π/ωn​。
A,B,C：振幅常数，由初始条件决定。
ϕ：初相位角 (rad)。

二阶线性齐次ODE：标准形式 x¨+ωn2​x=0。
简谐解：解是时间的正弦或余弦函数。
特征根为纯虚数：导致等幅振荡。

1. 建模：将实际系统简化为质量-弹簧模型，确定等效 m和 k。
2. 列方程：mx¨+kx=0或 x¨+ωn2​x=0。
3. 写通解：x(t)=Acos(ωn​t)+Bsin(ωn​t)。
4. 定常数：利用初始条件 x(0)=x0​， x˙(0)=v0​， 解得 A=x0​， B=v0​/ωn​。
5. 求响应：x(t)=x0​cos(ωn​t)+(v0​/ωn​)sin(ωn​t)。
6. 分析特性：计算 ωn​,fn​,Tn​， 评估系统动态特性。

描述了动能与势能之间无耗散的周期性流动与转换。质量 m代表惯性，是“动能储存器”；弹簧 k代表弹性，是“势能储存器”。运动方程 mx¨+kx=0表明，加速度（动量的变化率）由位移（势能的度量）驱动。在振动过程中，能量在动能 21​mx˙2和势能 21​kx2之间来回流动，总量守恒。固有频率 ωn​=k/m​是这种能量流动节奏的固有速率，由系统的“惯性流阻”和“弹性容抗”共同决定。

TH-D1-0026​

系统动力学

振动理论

单自由度系统有阻尼自由振动方程​

考虑粘性阻尼的质量-弹簧-阻尼器系统的运动方程为：
mx¨+cx˙+kx=0。
其解的特性取决于阻尼比 ζ=2mk​c​=2mωn​c​。

1. 建立模型：在质量-弹簧系统上增加一个粘性阻尼器，阻尼力 Fd​=−cx˙， 与速度成正比，方向相反。
2. 列方程：mx¨=−kx−cx˙-> mx¨+cx˙+kx=0。
3. 标准化：两边除以 m， 得 x¨+2ζωn​x˙+ωn2​x=0， 其中 ωn​=k/m​， ζ=c/(2mk​)。
4. 求解特征方程：设 x=est， 得 s2+2ζωn​s+ωn2​=0， 解得 s1,2​=ωn​(−ζ±ζ2−1​)。
5. 根据阻尼比分情况讨论：
- 欠阻尼​ (0<ζ<1)：s1,2​=−ζωn​±iωd​， 其中 ωd​=ωn​1−ζ2​为有阻尼固有频率。解为衰减振动：x(t)=e−ζωn​t[Acos(ωd​t)+Bsin(ωd​t)]。
- 临界阻尼​ (ζ=1)：s1,2​=−ωn​（重根）。解为 x(t)=(A+Bt)e−ωn​t， 无振荡，最快地非振荡返回平衡位置。
- 过阻尼​ (ζ>1)：两个不等的负实根。解为 x(t)=Aes1​t+Bes2​t， 缓慢地非振荡返回平衡位置。

条件：线性系统；阻尼为粘性阻尼（与速度成正比）。
范围：更接近实际系统的振动模型。阻尼比 ζ是衡量系统阻尼大小的无量纲参数，决定了振动的衰减模式和速率。

牛顿第二定律、粘性阻尼模型

场景：车辆减震器设计、建筑结构在地震后的余振分析、精密仪器需要快速停止晃动的场合（如天平、光学平台）。
意义：引入了阻尼的概念，揭示了实际振动系统能量耗散的机制。临界阻尼是许多仪表和减振系统追求的设计目标，以实现快速无超调的响应。

c：粘性阻尼系数 (N·s/m)。
ζ：阻尼比，无量纲，ζ=2mk​c​。
ωd​：有阻尼固有频率，ωd​=ωn​1−ζ2​。
其他变量同 TH-D1-0025。

二阶线性齐次ODE：标准形式 x¨+2ζωn​x˙+ωn2​x=0。
特征根为复数或实数：取决于 ζ。
衰减项：解中包含指数衰减因子 e−ζωn​t。

1. 建模：确定 m,c,k。
2. 计算参数：ωn​=k/m​， ζ=c/(2mk​)。
3. 判断阻尼情况：比较 ζ与 1。
4. 写出对应解的形式：根据 ζ值选择欠阻尼、临界阻尼或过阻尼的通解。
5. 代入初始条件​ x(0),x˙(0)， 确定积分常数 A,B。
6. 分析响应：观察振幅衰减率、振荡频率（如果存在）和达到平衡所需时间。

描述了能量在动能、势能和热耗散之间的流动。阻尼器 c代表一种“能量耗散器”或“阻尼流阻”，它将机械能（动能）不可逆地转化为热能。运动方程 mx¨+cx˙+kx=0中，cx˙项代表了与速度成正比的耗散力。在振动过程中，系统的总机械能不断通过阻尼器“泄漏”出去，导致振幅指数衰减 e−ζωn​t。阻尼比 ζ量化了这种“泄漏”速率相对于系统固有振荡速率 ωn​的大小。临界阻尼 (ζ=1) 是“能量流”能够最快耗散而不发生往复振荡的临界状态。

TH-D1-0027​

系统动力学

振动理论

单自由度系统受迫振动（简谐激励）方程​

系统在简谐激励力 F(t)=F0​cos(ωt)作用下的运动方程为：
mx¨+cx˙+kx=F0​cos(ωt)。
其稳态解为同频率的简谐振动：xp​(t)=Xcos(ωt−ϕ)。

1. 建立方程：在阻尼自由振动方程右端加上激励项。
2. 求解稳态响应：由于是线性常系数ODE，其特解（稳态解）与激励同频率。设特解 xp​=Xcos(ωt−ϕ)， 其中 X为稳态振幅，ϕ为相位差。
3. 代入确定 X和 ϕ：将 xp​及其导数代入原方程，利用三角恒等式比较 cos(ωt)和 sin(ωt)的系数，得到两个代数方程。求解可得：
X=(1−r2)2+(2ζr)2​F0​/k​，
ϕ=arctan(1−r22ζr​)，
其中 r=ω/ωn​为频率比，ζ为阻尼比。
4. 全解：全解 = 齐次通解（瞬态响应） + 特解（稳态响应）。由于齐次解是衰减的，长时间后只剩下稳态响应。

条件：线性系统；激励为简谐形式；系统稳定（ζ>0）。
范围：是分析系统在周期性载荷下响应的基础，特别是共振现象的分析。频率响应函数 X/(F0​/k)和相位 ϕ是系统重要的动态特性。

线性系统理论、常微分方程

场景：旋转机械（如电机、涡轮机）由于不平衡质量引起的振动、车辆在周期性不平路面上的振动、建筑物在风载荷或地震波作用下的响应分析。
意义：揭示了共振现象：当激励频率 ω接近系统固有频率 ωn​（即 r≈1）时，振幅 X会急剧放大（在无阻尼时趋于无穷）。阻尼可以抑制共振峰值。

F0​：激励力的幅值 (N)。
ω：激励力的圆频率 (rad/s)。
r：频率比，r=ω/ωn​。
X：稳态响应的振幅。
ϕ：响应滞后于激励的相位角。
F0​/k：静变形，即 F0​静态作用下的位移。

非齐次线性ODE：标准形式。
稳态解为同频简谐：频率不变，振幅和相位改变。
频率响应：振幅 X和相位 ϕ是频率比 r和阻尼比 ζ的函数。

1. 写出方程：mx¨+cx˙+kx=F0​cos(ωt)。
2. 计算系统参数：ωn​,ζ。
3. 计算频率比：r=ω/ωn​。
4. 计算稳态振幅和相位：
X=(1−r2)2+(2ζr)2​F0​/k​
ϕ=arctan(1−r22ζr​)
5. 写出稳态响应：xp​(t)=Xcos(ωt−ϕ)。
6. 分析共振：令 dX/dr=0， 可得共振频率 ωr​=ωn​1−2ζ2​（当 ζ<1/2​）及共振振幅 Xmax​。

描述了外部能量通过激励力持续输入系统，与系统内部的惯性、阻尼和弹性特性相互作用，形成稳态振动的过程。激励力 F0​cos(ωt)是一个外部“能量流”源。系统的响应振幅 X和相位 ϕ反映了系统对这个输入“能量流”的“阻抗”特性。频率响应函数 X/(F0​/k)类似于电路的增益。共振发生时 (ω≈ωn​)， 系统的动态阻抗最小，外部能量输入与系统内部能量存储（动能与势能）的节奏同步，导致能量在系统内高效积累（振幅增大）。阻尼则扮演了“能量泄放通道”的角色，限制了共振时的能量积累。相位差 ϕ反映了能量流动的时序关系。

TH-D1-0028​

材料力学

强度理论

最大拉应力理论（第一强度理论）​

引起材料脆性断裂的主要因素是最大拉应力。无论材料处于何种应力状态，只要其最大主应力 σ1​达到材料单向拉伸时的强度极限 σb​， 材料即发生断裂。强度条件为：σ1​≤[σ]， 其中 [σ]=σb​/nb​， nb​为安全系数。

1. 基本假设：材料的破坏（断裂）是由最大拉应力引起的。适用于脆性材料（如铸铁、陶瓷、岩石）。
2. 理论表述：在复杂应力状态下，计算三个主应力 σ1​≥σ2​≥σ3​。 若 σ1​>0（拉应力），则当 σ1​=σb​时发生断裂。
3. 强度条件：引入安全系数 nb​， 得许用应力 [σ]=σb​/nb​。 工作状态下的最大主应力应满足 σ1​≤[σ]。
4. 局限性：未考虑其他主应力的影响，且不能解释材料在压应力状态下（无拉应力）的破坏。

条件：适用于脆性材料，且最大主应力为拉应力的情况。材料通常拉压强度不同。
范围：常用于受拉脆性材料（如铸铁受拉杆、混凝土受拉区）的强度校核。对于纯剪切，它预测的断裂条件为 τmax​=σb​/2。

材料破坏机理、主应力分析

场景：铸铁构件（如机床床身、管道）的拉伸强度设计、岩石和混凝土结构的抗拉强度评估。
意义：是最早的、最简单的强度理论，为脆性材料在拉伸主导的应力状态下的设计提供了依据。

σ1​,σ2​,σ3​：一点处的三个主应力，且 σ1​≥σ2​≥σ3​。
σb​：材料在单向拉伸试验中测得的强度极限 (Pa)。
[σ]：许用拉应力。
nb​：对应于强度极限的安全系数。

单参数准则：只依赖于最大主应力 σ1​。
拉应力主导：只关心拉应力，压应力被认为无害。
主应力空间：在 σ1​−σ2​−σ3​空间中，破坏面是垂直于 σ1​轴的平面 σ1​=σb​。

1. 应力分析：对危险点进行应力分析，求出其三个主应力 σ1​,σ2​,σ3​。
2. 确定最大拉应力：找出 σ1​（如果 σ1​>0）。
3. 获取材料参数：查取材料的强度极限 σb​， 并确定安全系数 nb​， 计算许用应力 [σ]=σb​/nb​。
4. 强度校核：检查是否满足 σ1​≤[σ]。
5. 设计截面：如果不满足，则根据 σ1​≤[σ]反推所需的截面尺寸。

基于一种简单的“力流”中断模型：认为材料内部的结合力（分子、原子间作用力）主要抵抗拉应力。当某点的最大拉应力 σ1​超过材料固有的结合强度 σb​时，该处的“结合键流”被拉断，裂纹萌生并扩展，导致宏观断裂。该理论将复杂的多向应力状态“映射”到最简单的单向拉伸试验上，认为破坏是由单一方向的“拉应力流”过载引起的。

TH-D1-0029​

材料力学

强度理论

最大拉应变理论（第二强度理论）​

引起材料脆性断裂的主要因素是最大拉应变。无论材料处于何种应力状态，只要其最大拉应变 ϵ1​达到材料单向拉伸时的极限拉应变 ϵu​（ϵu​=σb​/E）， 材料即发生断裂。强度条件为：σ1​−ν(σ2​+σ3​)≤[σ]。

1. 基本假设：材料的破坏是由最大拉应变引起的。也主要针对脆性材料。
2. 应变表达：利用广义胡克定律，最大拉应变 ϵ1​=E1​[σ1​−ν(σ2​+σ3​)]。
3. 破坏准则：当 ϵ1​=ϵu​=σb​/E时发生断裂。代入得 σ1​−ν(σ2​+σ3​)=σb​。
4. 强度条件：引入安全系数，得 σ1​−ν(σ2​+σ3​)≤[σ]。
5. 与第一理论比较：考虑了其他主应力 σ2​,σ3​通过泊松效应的影响。例如，在三向等压状态下 (σ1​=σ2​=σ3​=−p)， ϵ1​=[−p−ν(−p−p)]/E=−p(1−2ν)/E， 为压应变，因此不会断裂，这比第一理论合理。

条件：适用于脆性材料；材料服从广义胡克定律直到破坏；通常拉压强度不同。
范围：曾用于混凝土、岩石等脆性材料，但实验吻合性不如第一和第三理论，现已较少使用。

广义胡克定律、应变能

场景：历史上用于砖石、混凝土结构的强度分析。在某些特定组合应力状态下，对脆性材料破坏的预测可能比第一理论更准确。
意义：引入了多向应力的耦合影响（通过泊松比），是强度理论发展中的重要一步。

ϵ1​：最大主应变（通常对应最大主应力方向）。
ϵu​：单向拉伸时的极限拉应变，ϵu​=σb​/E。
ν：泊松比。
其他变量同 TH-D1-0028。

多参数准则：依赖于三个主应力，通过泊松比耦合。
应变准则：破坏判据基于应变，而非应力。
考虑侧向效应：反映了侧向应力对纵向应变的影响。

1. 应力分析：求出危险点的三个主应力。
2. 计算相当应力：σr2​=σ1​−ν(σ2​+σ3​)。
3. 获取材料参数：σb​,ν,E及安全系数 nb​， 计算 [σ]=σb​/nb​。
4. 强度校核：检查是否满足 σr2​≤[σ]。
5. 说明：当 σ2​=σ3​=0（单向拉伸）时，σr2​=σ1​， 退化到第一理论。

从“变形流”的角度解释破坏：认为材料的破坏是由于某个方向的伸长变形（拉应变）超过了材料所能承受的极限。广义胡克定律 $\epsilon_1 = [\sigma

TH-D1-0040​

系统动力学

振动理论

多自由度系统无阻尼自由振动方程​

一个具有 n个自由度的线性系统，其无阻尼自由振动由以下矩阵方程描述：
[M]{x¨(t)}+[K]{x(t)}={0}。
其中 [M]为质量矩阵，[K]为刚度矩阵，{x(t)}为位移向量。

1. 系统建模：用 n个广义坐标 x1​,x2​,...,xn​描述系统位形。
2. 能量表达：系统动能 T=21​{x˙}T[M]{x˙}， 势能 U=21​{x}T[K]{x}。 矩阵 [M]和 [K]对称，通常正定或半正定。
3. 拉格朗日方程推导：代入拉格朗日方程 L=T−U， 对于无阻尼自由振动，Qj∗​=0， 直接得到 dtd​(∂{x˙}∂T​)+∂{x}∂U​={0}。 计算得 [M]{x¨}+[K]{x}={0}。
4. 方程特性：这是一个耦合的线性二阶常微分方程组。

条件：线性系统；无阻尼；无外激励；小变形。
范围：是多自由度系统振动分析的基础。通过求解特征值问题，可以得到系统的固有频率和振型。

拉格朗日方程、线性系统理论

场景：建筑结构的地震模态分析、汽车车身的振动特性、飞机机翼的颤振初步分析、多转子轴承系统的临界转速计算。
意义：将复杂的连续系统或离散系统简化为有限自由度模型，是进行模态分析、响应计算和动态设计的第一步。

{x(t)}：n维位移列向量。
[M]：n×n质量矩阵，对称正定。
[K]：n×n刚度矩阵，对称正定或半正定。
ωr​：第 r阶固有频率。
{ϕ}r​：第 r阶模态振型（特征向量）。

矩阵微分方程：用矩阵形式表示的耦合ODE组。
特征值问题：解的形式引出广义特征值问题 ([K]−ω2[M]){ϕ}={0}。
对称性：[M], [K]通常对称。

1. 建立模型：确定自由度，建立 [M]和 [K]矩阵（可用拉格朗日法、影响系数法等）。
2. 假设简谐解：设 {x(t)}={ϕ}eiωt， 代入方程得 ([K]−ω2[M]){ϕ}={0}。
3. 求解特征值问题：令 det([K]−ω2[M])=0， 解得 n个特征值 ωr2​（r=1,...,n）， 进而得到固有频率 ωr​。
4. 求解特征向量：对每个 ωr2​， 代入 ([K]−ωr2​[M]){ϕ}r​={0}， 解得对应的特征向量（模态振型）{ϕ}r​， 通常进行关于 [M]的正交归一化：{ϕ}rT​[M]{ϕ}s​=δrs​。
5. 得到自由振动响应：通解为各阶模态的线性叠加：{x(t)}=∑r=1n​(αr​cosωr​t+βr​sinωr​t){ϕ}r​， 系数由初始条件确定。

描述了多自由度系统中，振动能量在各模态间可能的分布与流动。质量矩阵 [M]和刚度矩阵 [K]分别描述了系统的惯性分布和弹性耦合。运动方程 [M]{x¨}+[K]{x}={0}表明，加速度 {x¨}与位移 {x}通过 [M]和 [K]相互耦合。求解特征值问题，就是寻找一组特殊的同步运动模式（振型 {ϕ}r​），在这些模式下，所有坐标以同一频率 ωr​做简谐振动，且惯性力 −ωr2​[M]{ϕ}r​与弹性恢复力 [K]{ϕ}r​处处平衡。每个振型对应一种系统内能量储存与转换的固有空间分布模式。

TH-D1-0041​

系统动力学

振动理论

模态叠加法​

对于线性阻尼系统，其动力响应可以通过系统的各阶模态振型的线性叠加来表示。即：
{x(t)}=∑r=1n​qr​(t){ϕ}r​=[Φ]{q(t)}。
其中 [Φ]=[{ϕ}1​,{ϕ}2​,...,{ϕ}n​]为模态矩阵，{q(t)}为模态坐标向量。

1. 坐标变换：将物理坐标 {x}变换到模态坐标 {q}， 即 {x}=[Φ]{q}。 这里 [Φ]由无阻尼系统的模态振型构成。
2. 方程解耦：将变换代入原动力学方程 [M]{x¨}+[C]{x˙}+[K]{x}={F(t)}， 并左乘 [Φ]T。利用模态的正交性条件：
[Φ]T[M][Φ]=[I](质量归一化)，
[Φ]T[K][Φ]=[Ω2]， 其中 [Ω2]=diag(ω12​,ω22​,...,ωn2​)。
3. 阻尼假设：通常假设为比例阻尼（瑞利阻尼）[C]=α[M]+β[K]， 则 [Φ]T[C][Φ]=[2ζω]也为对角阵，其中 ζr​为第 r阶模态阻尼比。
4. 得到解耦方程：原方程化为 n个独立的单自由度方程：
q¨​r​(t)+2ζr​ωr​q˙​r​(t)+ωr2​qr​(t)=fr​(t)，
其中 fr​(t)={ϕ}rT​{F(t)}为第 r阶模态力。
5. 分别求解：每个方程可用单自由度系统方法求解，然后叠加得到物理响应。

条件：线性系统；阻尼矩阵可对角化（通常满足比例阻尼假设）；已求得无阻尼系统的模态。
范围：是分析线性多自由度系统动力响应的最常用、最有效的方法。特别适合于计算系统在宽带激励下的响应。

线性代数（坐标变换、矩阵对角化）、单自由度系统理论

场景：结构在地震载荷、风载荷、冲击载荷下的时程响应分析；机械系统在复杂激励下的振动计算；响应谱分析。
意义：将复杂的高维耦合微分方程组，解耦为一系列独立的低维方程，极大地简化了计算。并且，由于高阶模态对响应的贡献通常较小，可以只取前几阶模态进行叠加，实现降维，提高计算效率。

{q(t)}：模态坐标向量。
[Φ]：模态矩阵，列向量为质量归一化振型。
fr​(t)：第 r阶广义力（模态力）。
ζr​：第 r阶模态阻尼比。
[I]：单位矩阵。
[Ω2]：特征值对角阵。

坐标变换：通过线性变换实现解耦。
正交性：解耦依赖于模态关于 [M], [K], [C]的正交性。
叠加原理：响应是各模态响应的线性叠加。

1. 模态分析：求解无阻尼系统特征值问题，得到 ωr​和 {ϕ}r​， 并质量归一化。
2. 模态坐标变换：计算模态力 fr​(t)={ϕ}rT​{F(t)}。
3. 确定模态阻尼：通过试验或假设（如 ζr​=0.05）给定各阶 ζr​。
4. 求解解耦方程：对每个关心的模态 r， 求解 q¨​r​+2ζr​ωr​q˙​r​+ωr2​qr​=fr​(t)， 得到 qr​(t)（可用杜哈梅积分、数值积分等）。
5. 叠加得到物理响应：{x(t)}=∑r=1n​qr​(t){ϕ}r​。 通常只需叠加前 m(m<n)阶模态。
6. 计算其他量：如速度、加速度、内力等，可通过 {x}进一步计算。

提供了一种在“模态空间”中分析系统动力响应的“投影-叠加”流。物理坐标下的复杂运动 {x(t)}， 可以看作是在各个“固有运动模式通道”（模态振型 {ϕ}r​）上同时发生的、独立运动的叠加。每个模态通道的“强度”由模态坐标 qr​(t)描述。模态叠加法的精髓在于，通过模态变换，将物理空间中相互耦合的“能量流”通道，解耦为一组独立的、单方向的“模态能量流”通道。每个通道有自己的频率 ωr​和阻尼 ζr​， 外部激励 {F(t)}也被投影到各通道上成为模态力 fr​(t)。系统的总响应就是所有这些独立通道响应的“矢量合成流”。

TH-D1-0042​

系统动力学

振动理论

动力吸振器原理​

在原主系统（质量 m1​, 刚度 k1​）上附加一个较小的子系统（质量 m2​, 刚度 k2​, 阻尼 c2​）， 构成一个两自由度系统。通过合理设计 m2​, k2​, c2​， 可以使主系统在特定激励频率下的振动幅值显著减小，甚至为零。

1. 系统模型：主系统受简谐力 F0​eiωt激励。附加系统与主系统连接。
2. 运动方程：
m1​x¨1​+(c2​)x˙1​+(k1​+k2​)x1​−c2​x˙2​−k2​x2​=F0​eiωt
m2​x¨2​+c2​(x˙2​−x˙1​)+k2​(x2​−x1​)=0
3. 无阻尼吸振器​ (c2​=0)：设解为 xj​=Xj​eiωt， 代入求解。当 ωa​=k2​/m2​​=ω（激励频率）时，主系统振幅 X1​=0， 即主系统完全不动。此时，吸振器以 X2​=−F0​/k2​的振幅振动，其惯性力恰好抵消了外激振力。
4. 有阻尼吸振器：最优调谐和阻尼设计（如Den Hartog优化）可以使主系统在一个较宽的频带内响应都较小，避免了无阻尼吸振器对频率敏感的缺点。

条件：主系统和吸振器均为线性；激励为简谐或窄带；主系统可近似为单自由度系统。
范围：用于抑制单一频率或窄带频率的振动。广泛应用于旋转机械（如发动机、空调压缩机）、电力线路、高层建筑抗风振。

两自由度系统强迫振动理论

场景：汽车发动机悬置系统、直升机旋翼的振动控制、精密光学平台隔振、输电线防舞动。
意义：提供了一种被动振动控制的经典方法。其原理直观，效果显著，是振动工程中一项重要的设计技术。

m1​,k1​：主系统的质量和刚度。
m2​,k2​,c2​：动力吸振器的质量、刚度和阻尼。
ωa​：吸振器的固有频率，ωa​=k2​/m2​​。
ω：外激励频率。
X1​,X2​：主系统和吸振器的稳态振幅。

两自由度系统：系统模型简单，但现象丰富。
反共振：主系统响应为零的现象是一种反共振。
参数优化：存在最优的调谐比和阻尼比。

1. 识别干扰频率​ ω：确定需要抑制的主要振动频率。
2. 选择吸振器质量​ m2​：通常 m2​为 m1​的 1/50 到 1/5， 根据空间和重量限制确定。
3. 计算吸振器刚度：对无阻尼吸振器，令 k2​=m2​ω2， 使 ωa​=ω。
4. 有阻尼优化设计：如果需要较宽的抑振频带，则按 Den Hartog 方法选择最优调谐比 μ=m2​/m1​下的最优频率比和最优阻尼比。
5. 安装与测试：将设计好的吸振器安装到主系统上，并测试其抑振效果。

体现了通过引入一个辅助的“能量交换器”，将主系统的振动能量“转移”和“耗散”掉的思想。主系统在外激励下获得能量。附加的吸振器被调谐到激励频率，与主系统发生强烈的相互作用。在理想情况下（无阻尼），吸振器像一个“动力反作用力发生器”，其运动产生的惯性力与弹性力，恰好与外激励力大小相等、方向相反，从而在主系统上完全抵消了激励的作用，使主系统保持静止。外激励输入的能量全部流入吸振器，并在其内部循环。加入阻尼后，这部分能量被吸振器的阻尼器耗散掉，从而更鲁棒地抑制了振动。这是一个典型的“能量转移与耗散”流控制策略。

TH-D1-0043​

材料力学

应力分析

剪切胡克定律​

在材料的线弹性范围内，剪应力 τ与剪应变 γ成正比。即：τ=Gγ， 其中 G为剪切模量（或切变模量）。

1. 实验基础：纯剪切试验（如薄壁圆管扭转）表明，在小变形下，剪应力与剪应变成正比。
2. 物理意义：G是材料抵抗剪切变形的能力，是材料固有的弹性常数。
3. 与弹性常数关系：对于各向同性线弹性材料，三个弹性常数 E（杨氏模量）、G（剪切模量）、ν（泊松比）不是独立的，满足关系：G=2(1+ν)E​。
4. 广义胡克定律组成部分：它是广义胡克定律在纯剪切情况下的简化形式，是三维本构关系的重要部分。

条件：材料处于线弹性范围；小变形；通常适用于各向同性材料。
范围：是分析构件剪切变形和扭转问题的基础本构关系。适用于轴、键、销钉等受剪部件的应力应变计算。

线弹性理论、连续介质力学

场景：圆轴扭转时的应力应变计算、螺栓和铆钉的剪切强度校核、弹性联轴器的扭转变形分析。
意义：建立了剪应力与剪应变之间的线性关系，与拉伸胡克定律一起，构成了各向同性材料线弹性本构关系的核心。

τ：剪应力 (Pa)。
γ：剪应变（无量纲，弧度）。
G：剪切模量 (Pa)， 材料常数。

线性本构关系：与正应力的胡克定律形式对称。
常数关联：G可由 E和 ν导出。

1. 确定受力状态：判断构件是否处于纯剪切或主要受剪状态。
2. 计算剪应力：根据载荷和几何计算剪应力 τ（如扭转 τ=Tρ/Ip​）。
3. 计算剪应变：由剪切胡克定律 γ=τ/G。
4. 计算变形：根据几何关系，由剪应变计算相对位移或转角（如扭转角 ϕ=TL/(GIp​)）。
5. 强度校核：确保 τ≤[τ]， [τ]为许用剪应力。

描述了材料抵抗形状畸变（剪切变形）的“刚度”特性。剪切模量 G是材料抵抗“角度变形流”的“流阻”。剪应力 τ是驱动这种角度变形的“广义力”，剪应变 γ是产生的“广义位移”。定律 τ=Gγ表明，要产生一定的角度畸变，所需的剪应力与 G成正比。它是材料内部抵抗晶格滑移或分子链相对转动能力的宏观度量。

TH-D1-0044​

材料力学

梁的弯曲

梁的剪力-弯矩微分关系​

在分布载荷 q(x)作用的直梁上，剪力 Fs​(x)、弯矩 M(x)和载荷集度之间存在以下微分关系：
dxdFs​(x)​=−q(x)
dxdM(x)​=Fs​(x)
dx2d2M(x)​=−q(x)

1. 微段平衡：从梁中取一微段 dx， 其左右截面内力分别为 Fs​,M和 Fs​+dFs​,M+dM， 其上作用有分布载荷 q(x)（向上为正）。
2. 垂直力平衡：Fs​−(Fs​+dFs​)−q(x)dx=0-> dxdFs​​=−q(x)。
3. 力矩平衡：对微段右截面形心取矩，M+Fs​dx−q(x)dx⋅(dx/2)−(M+dM)=0， 忽略高阶小量 (dx)2项，得 dxdM​=Fs​。
4. 综合：将两式结合即得 dx2d2M​=−q(x)。
5. 集中力与力偶：在集中力 F作用点，剪力 Fs​有突变（跳跃 F）；在集中力偶 Me​作用点，弯矩 M有突变（跳跃 Me​）。

条件：直梁；小变形；平面弯曲；载荷垂直于轴线。
范围：是绘制和校核剪力图、弯矩图，以及进行梁的强度和变形分析的基础工具。

微元体平衡、静力学

场景：快速绘制梁的内力图（剪力图、弯矩图）；根据已知载荷推断内力分布；检验内力图正确性；推导梁的挠曲线微分方程。
意义：建立了梁横截面内力与外部载荷之间的解析关系，是结构力学中极其重要的一组关系式，极大地方便了内力的计算和分析。

Fs​(x)：横截面上的剪力，符号规定：使微段顺时针转为正。
M(x)：横截面上的弯矩，符号规定：使梁下侧受拉为正。
q(x)：分布载荷集度，方向向上为正。
x：沿梁轴线的坐标。

微分关系：内力是载荷的积分，载荷是内力的微分。
递推性：可由载荷 q(x)积分得剪力，再积分得弯矩。
突变关系：集中载荷处内力图有跳跃。

1. 求支座反力。
2. 分段：根据载荷不连续点（支座、集中力、集中力偶、分布载荷起止点）将梁分段。
3. 利用微分关系绘图：
- 无分布载荷段 (q=0)：Fs​为常数，M为斜直线。
- 均布载荷段 (q=常数)：Fs​为斜直线，M为二次抛物线。
- 集中力作用点：Fs​图突变，M图有尖点。
- 集中力偶作用点：M图突变，Fs​图不变。
4. 计算控制点内力：用截面法计算各分段点处的 Fs​和 M值。
5. 连线：根据微分关系确定的曲线形状，连接各控制点，完成内力图。

揭示了梁的内力（剪力和弯矩）沿轴线方向的“流动”或“传递”规律。方程 dxdFs​​=−q(x)是剪力的连续性方程：剪力的变化率等于负的载荷集度。这意味着，分布载荷是“吸收”或“供给”剪力流的“源”或“汇”。方程 dxdM​=Fs​是弯矩的平衡方程：弯矩的变化率等于剪力。这表明，剪力是产生弯矩变化的“驱动力”，类似于剪力是弯矩的“流”。这两个微分关系共同描述了外部载荷 q(x)如何通过截面剪力的“传导”，最终体现为弯矩的“分布”。

TH-D1-0045​

材料力学

组合变形

斜弯曲应力公式​

当横向载荷不作用在梁的纵向对称面内时，梁发生斜弯曲。横截面上任一点的正应力为：
σ=−(Iy​My​​z+Iz​Mz​​y)。
其中 My​,Mz​为弯矩在形心主轴 y,z上的分量，Iy​,Iz​为对主轴的惯性矩。

1. 载荷分解：将横向力 F沿截面的两个形心主轴方向 y,z分解，产生弯矩 Mz​=Fy​x和 My​=−Fz​x。
2. 应力叠加：Mz​引起绕 z轴的弯曲，在点 (y,z)产生应力 σ′=−Iz​Mz​y​；My​引起绕 y轴的弯曲，产生应力 σ′′=−Iy​My​z​。 由于是线弹性小变形，总应力可叠加：σ=σ′+σ′′。
3. 中性轴位置：令 σ=0， 得中性轴方程：Iy​My​​z+Iz​Mz​​y=0。 中性轴是一条通过截面形心的直线，但其方向一般不垂直于载荷作用面。
4. 最大应力：发生在离中性轴最远的点。

条件：线弹性材料；小变形；平面弯曲的叠加原理适用；载荷垂直于轴线，但不通过弯曲中心（对开口薄壁截面需注意约束扭转）。
范围：用于分析具有双对称截面或至少一个对称轴的梁，在任意方向横向载荷下的弯曲应力。

叠加原理、平面弯曲理论

场景：屋面桁条、桥梁的桥面板、机床导轨等在非对称载荷下的强度计算。
意义：将复杂的斜弯曲问题分解为两个相互垂直的平面弯曲问题来处理，简化了计算。是处理非对称弯曲的基础。

My​,Mz​：弯矩在形心主轴 y和 z方向的分量 (N·m)。 注意符号：My​使 z坐标为正值处产生拉应力时为正；Mz​使 y坐标为正值处产生拉应力时为正。
Iy​,Iz​：截面对 y轴和 z轴的惯性矩 (m⁴)。
y,z：所求应力点的坐标 (m)， 在主轴坐标系中。

线性叠加：两个平面弯曲应力的代数和。
主轴分解：必须在形心主惯性轴上分解弯矩。
中性轴倾斜：中性轴一般不垂直于合弯矩 M的作用面。

1. 建立形心主轴坐标系​ Oyz。
2. 内力分析：计算横截面上的弯矩 M， 并将其向 y,z轴分解，得到 My​和 Mz​（注意正负）。
3. 计算几何性质：Iy​, Iz​。
4. 确定危险点：通常是截面的角点。将角点坐标 (y,z)代入应力公式。
5. 计算应力：σ=−(Iy​My​​z+Iz​Mz​​y)。
6. 强度校核：找出最大拉应力和最大压应力，分别与许用应力比较。

描述了当弯曲载荷不在主轴平面时，弯矩“流”被分解到两个正交的主方向，分别产生应力“流”，然后叠加的机制。合弯矩 M是一个矢量。在主轴坐标系下，它可以分解为 My​和 Mz​两个分量。每个分量作为一个独立的“弯矩流”，按照各自方向的平面弯曲规律（σ∝M/I和到中性轴的距离）产生正应力分布。总的正应力场是这两个独立应力场的线性叠加。这体现了矢量分解与线性叠加在力学分析中的强大应用。

TH-D1-0046​

材料力学

组合变形

偏心拉伸/压缩应力公式​

当轴向力 F不通过杆件横截面的形心时，产生偏心拉压。横截面上任一点的正应力为：
σ=AF​+Iz​Mz​​y+Iz​My​​z=AF​(1+iz2​ey​y​+iy2​ez​z​)。
其中 Mz​=Fey​， My​=Fez​为偏心距引起的弯矩，ey​,ez​为偏心距，iy​,iz​为惯性半径。

1. 力系简化：将偏心力 F向截面形心简化，得到一个轴向力 F和两个弯矩 Mz​=F⋅ey​， My​=F⋅ez​。
2. 应力叠加：轴向力产生均匀应力 σN​=F/A；弯矩 Mz​产生弯曲应力 σMz​=(Mz​y)/Iz​；弯矩 My​产生弯曲应力 σMy​=(My​z)/Iy​。 总应力 σ=σN​+σMz​+σMy​。
3. 中性轴：令 σ=0， 得中性轴方程：1+iz2​ey​y​+iy2​ez​z​=0。 是一条不通过形心的直线。
4. 核心区域：当压力 F作用在截面形心周围的某个区域（形心核心）内时，截面上将不出现拉应力。这对于混凝土、砌体等抗拉能力弱的材料很重要。

条件：线弹性材料；小变形；截面至少有一个对称轴（否则可能引起弯曲）。
范围：用于分析立柱、机座、基础等承受偏心载荷的构件。是材料力学中组合变形的基本问题之一。

叠加原理、轴向拉压与弯曲理论

场景：厂房立柱、桥梁墩台、机械设备地脚螺栓的应力计算、土建结构中避免截面出现拉应力的设计（如水库重力坝）。
意义：提供了计算偏心载荷下截面应力的通用公式。形心核心的概念对于抗拉性能差的材料的设计至关重要。

F：轴向力 (N)， 拉力为正。
A：横截面积 (m²)。
ey​,ez​：力 F作用点在 y,z方向上的偏心距 (m)。
My​,Mz​：对形心主轴的弯矩，Mz​=Fey​， My​=Fez​。
iy​,iz​：惯性半径，iy​=Iy​/A​， iz​=Iz​/A​。

线性叠加：轴向应力与两个方向弯曲应力的叠加。
中性轴偏移：中性轴不通过形心。
形心核心：是一个与截面形状有关的区域。

1. 确定内力：将偏心力向形心简化，得到轴力 F和弯矩 My​, Mz​。
2. 计算各应力分量：σN​=F/A， σMy​=My​z/Iy​， σMz​=Mz​y/Iz​。
3. 应力叠加：σ=σN​+σMy​+σMz​。
4. 确定危险点：根据 F和 My​,Mz​的方向，判断截面上的最大拉应力点和最大压应力点（通常是离中性轴最远的角点）。
5. 强度校核：计算 σt,max​和 σc,max​， 与许用应力比较。
6. 校核形心核心（对抗拉材料）：确保压力作用点在形心核心内，使截面不出现拉应力。

描述了轴向力“流”和弯曲力矩“流”共同作用下的正应力合成。偏心力 F的作用可以分解为经过形心的均匀拉伸/压缩流​ (F/A) 和绕主轴的弯曲流​ (My​,Mz​)。总的正应力场是均匀场和两个线性分布场的叠加。中性轴 σ=0是总应力场中正应力“汇”与“源”平衡的界线。形心核心是这样一个区域：当压力作用在其中时，由弯曲产生的拉应力“流”处处小于由轴向压力产生的压应力“流”，从而保证整个截面上只有压应力“流”，这对于“抗拉能力弱”的材料意味着“力流”通道不会被拉应力中断。

TH-D1-0047​

材料力学

能量法

卡氏第一定理​

对于线弹性结构，若其应变能 U表示为载荷 Fi​的函数，则应变能对任一载荷 Fi​的偏导数，等于该载荷作用点沿其作用方向的位移 δi​。即：
δi​=∂Fi​∂U​。

1. 应变能：线弹性结构的应变能是载荷的二次齐次函数。例如，对拉伸杆 U=F2L/(2EA)。
2. 考虑载荷微小增量：设第 i个载荷有一微小增量 dFi​， 其余载荷不变。应变能的相应增量为 dU=∂Fi​∂U​dFi​。
3. 外力功增量：载荷 Fi​在由其引起的位移增量 dδi​上做功为 Fi​dδi​。由于 dFi​是缓慢施加的，位移 δi​也会增加 dδi​。 在此过程中，外力总功的增量 dW=Fi​dδi​+dFi​⋅δi​（忽略高阶小量 dFi​dδi​/2的争论，在精确推导中考虑加载顺序）。
4. 功能原理：应变能增量等于外力功增量，dU=dW。 结合 δi​与 Fi​的线性关系，可推导出 δi​=∂U/∂Fi​。 更严格的证明基于克拉珀龙定理和应变能作为力的函数的性质。

条件：线弹性结构；小变形；应变能必须表示为载荷 Fi​的显函数；位移 δi​是 Fi​作用点沿其方向的位移。
范围：适用于计算线弹性结构在指定载荷作用点沿其方向的位移。特别适用于桁架、刚架等。

功能原理、线弹性理论

场景：计算静定或超静定结构在特定点、特定方向的位移。例如，求梁上某点的挠度或转角，求桁架某节点的位移。
意义：提供了一种通过求导（而非积分）来计算位移的能量方法，有时比直接积分法更简便，尤其当需要计算多个位移时。

U：结构的应变能 (J)， 是外力 F1​,F2​,...,Fn​的函数。
Fi​：第 i个广义力（可以是力或力偶）。
δi​：与 Fi​对应的广义位移（线位移或角位移）。

导数关系：位移是应变能对力的偏导数。
能量函数：要求 U是力的函数。
线性系统：依赖于力-位移的线性关系。

1. 写出应变能表达式：用所有外力 Fi​表示结构的总应变能 U。例如，对由 m根杆组成的桁架，U=∑j=1m​2Ej​Aj​Nj2​Lj​​， 其中 Nj​是第 j根杆的轴力，需表示为 Fi​的函数。
2. 对目标力求偏导：若要求与力 Fk​对应的位移 δk​， 则计算 δk​=∂Fk​∂U​。
3. 代入数值：将已知的载荷值代入导数表达式，得到位移值。
注意：如果所求位移处没有对应的外力，需在该处虚加一个广义力 Q， 将 U表示为包含 Q的函数，求导后再令 Q=0。

反映了应变能对广义力的变化率等于相应的广义位移。可以将应变能 U视为储存在结构中的“弹性势能场”。广义力 Fi​是这个场的“广义坐标”。卡氏第一定理 δi​=∂U/∂Fi​表明，广义位移 δi​是“势能场”在力 Fi​方向上的“梯度”。换句话说，如果你轻微地推动某个载荷 Fi​（改变其大小），系统储存的弹性势能的变化率，正好等于该载荷作用点已经发生的位移。这揭示了力与位移在能量意义上的共轭关系。

TH-D1-0048​

材料力学

能量法

卡氏第二定理​

对于线弹性结构，若其应变能 U表示为位移 δi​的函数，则应变能对任一位移 δi​的偏导数，等于该位移对应的力 Fi​。即：
Fi​=∂δi​∂U​。
更常用的形式是单位载荷法（莫尔定理）​ 的推导基础。

1. 与第一定理的比较：卡氏第一定理中 U=U(Fi​)， 第二定理中 U=U(δi​)。 由于线弹性结构力与位移成正比，二者存在一一对应的 Legendre 变换关系。
2. 推导思路：考虑余能原理。对于线弹性体，应变能 U与应变余能 Uc​在数值上相等，但自变量不同：U=U(δi​)， Uc​=Uc​(Fi​)， 且 U+Uc​=∑Fi​δi​。 利用 Legendre 变换的性质，可得 Fi​=∂U/∂δi​。
3. 实用形式：直接使用 U作为 δi​的函数通常不方便。更常用的是由此导出的单位载荷法（莫尔积分），它用虚功原理表达了位移计算公式。

条件：线弹性结构；小变形；应变能必须表示为位移 δi​的显函数。
范围：理论价值更高，是推导单位载荷法等的重要基础。直接应用较少，因为通常 U更容易写成力的函数。

余能原理、Legendre变换

场景：作为理论工具，用于推导结构力学中的其他方法（如单位载荷法、力法正则方程）。在分析以位移为基本未知量的有限元法中也有体现。
意义：揭示了应变能对位移的偏导数等于对应的力，这与卡氏第一定理构成对偶关系，是分析力学中 Legendre 变换的体现。

U：结构的应变能，是广义位移 δ1​,δ2​,...,δn​的函数。
δi​：第 i个广义位移。
Fi​：与 δi​对应的广义力。

导数关系：力是应变能对位移的偏导数。
对偶性：与卡氏第一定理对偶。
位移函数：要求 U是位移的函数。

1. （理论上）将 U表示为位移的函数：这通常需要知道力-位移关系和结构的本构方程，往往很复杂。
2. 对目标位移求偏导：计算 Fi​=∂δi​∂U​。
3. 得到力的表达式。
更实用的途径：从卡氏第二定理出发，结合虚功原理，推导出计算位移的莫尔积分公式：
Δ=∫EIM(x)M(x)​dx+∫EAFN​(x)FN​(x)​dx+∫kGAFs​(x)Fs​(x)​dx+...
其中 M(x)等是单位虚载荷引起的内力。

与第一定理对偶，描述了应变能对广义位移的变化率等于相应的广义力。如果将结构视为一个“弹性系统”，其广义位移 δi​是描述系统位形的“坐标”，那么应变能 U(δi​)就是该系统的“势能函数”。卡氏第二定理 Fi​=∂U/∂δi​正是势能梯度等于力这一基本原理的表述。广义力 Fi​是试图改变广义位移 δi​的“广义推力”，其大小等于势能场在该方向的“坡度”。这为基于位移的有限元法提供了理论基础：单元刚度矩阵本质上就是应变能对节点位移求二阶导的结果。

TH-D1-0049​

材料力学

能量法

莫尔定理（单位载荷法）​

计算线弹性结构在某点、沿某方向的位移 Δ的公式为：
Δ=∫EIM(x)M(x)​dx+∫EAFN​(x)FN​(x)​dx+∫kGAFs​(x)Fs​(x)​dx+∑GIp​T(x)T(x)​dx。
其中 M(x)等为实际载荷引起的内力，M(x)等为在所求位移点、沿所求方向施加单位虚载荷引起的内力。k为剪切形状因子。

1. 虚功原理：在结构实际位移状态上，施加一组虚设的单位载荷，则外力虚功等于内力虚功。
2. 外力虚功：单位力在所求位移 Δ上做功：1⋅Δ。
3. 内力虚功：单位载荷引起的内力 N,M,Fs​​,T在实际载荷引起的微元变形 d(ΔL),dθ,λds,dϕ上做功，并沿整个结构积分。
4. 微元变形：由实际内力引起，根据胡克定律和几何关系：
- 轴向：d(ΔL)=EAN​dx
- 弯曲：dθ=EIM​dx
- 剪切：λds=kGAFs​​dx（常忽略）
- 扭转：dϕ=GIp​T​dx
5. 代入虚功方程：1⋅Δ=∫(NEAN​+MEIM​+kFs​​GAFs​​+TGIp​T​)dx。

条件：线弹性结构；小变形；单位载荷引起的结构响应与实际载荷引起的响应无关（适用叠加原理）。
范围：是计算结构位移最常用、最通用的能量方法之一。适用于任何形式的线弹性结构（梁、刚架、桁架、曲杆等）。

虚功原理、线弹性本构关系

场景：计算梁或刚架指定点的挠度和转角；求桁架节点的位移；校核结构的刚度；解超静定结构时的变形协调条件计算。
意义：将复杂的位移计算转化为两个内力状态乘积的积分，避免了直接积分微分方程，且物理意义清晰，应用极为广泛。

Δ：所求的广义位移（线位移或角位移）。
M(x),N(x),Fs​(x),T(x)：实际载荷引起的内力方程。
M(x),N(x),Fs​​(x),T(x)：单位虚载荷引起的内力方程。
k：剪切形状因子，依赖于截面形状。
积分遍及整个结构。

积分计算：位移表达为定积分。
图乘法：当 EI为常数且内力图至少有一个是直线时，积分可简化为图形互乘。
虚设单位载荷：根据所求位移的类型（线位移加单位力，角位移加单位力偶）施加。

1. 求实际内力：在实际载荷作用下，求出结构各段的内力方程 M(x),N(x)等。
2. 施加单位载荷：在要求位移的点、沿要求位移的方向，施加一个与位移类型对应的单位力（或单位力偶）。
3. 求单位载荷内力：在单位载荷单独作用下，求出结构各段的内力方程 M(x),N(x)等。
4. 列莫尔积分：根据结构类型和变形贡献，写出相应的积分式。对梁和刚架，通常只考虑弯矩项 Δ=∫EIMM​dx已足够精确。
5. 分段积分：将结构分为若干段，在每段内积分，然后求和。
6. 图乘法：如果满足条件，用图乘法代替积分：Δ=∑EIωyc​​， 其中 ω是一个弯矩图的面积，yc​是该面积形心对应的另一个直线弯矩图上的纵坐标。

是虚功原理在线弹性位移计算中的具体实现。其核心思想是：在真实的变形状态（由实际载荷引起）上，施加一个虚拟的“单位力流”，并计算这个“虚拟力流”在整个真实变形场上所做的“虚功”。根据虚功原理，这个“外力虚功”等于“内力虚功”。内力虚功是虚拟内力 N,M在真实微元变形 d(ΔL),dθ上做功的积分。由于真实变形由实际内力通过本构关系决定，最终公式表现为两个内力场乘积的积分。这本质上是一种“标量积”或“投影”：将实际的内力（变形）场“投影”到单位虚载荷引起的内力场上，其“投影长度”就是所求的位移 Δ。图乘法则是这个投影在特定条件下的几何直观体现。

TH-D1-0050​

材料力学

超静定问题

力法（柔度法）正则方程​

用于求解 n次超静定结构。基本思想是解除多余约束，代之以多余未知力 X1​,X2​,...,Xn​， 根据原结构在解除约束处的位移协调条件建立方程：
δ11​X1​+δ12​X2​+...+δ1n​Xn​+Δ1P​=Δ1​
δ21​X1​+δ22​X2​+...+δ2n​Xn​+Δ2P​=Δ2​
...
δn1​X1​+δn2​X2​+...+δnn​Xn​+ΔnP​=Δn​
其中 δij​是柔度系数，ΔiP​是载荷引起的位移，Δi​是原结构的已知位移（通常为零）。

1. 确定超静定次数， 选择基本静定系（静定基），并解除相应的多余约束，用多余未知力 Xi​代替。
2. 位移协调条件：原结构在解除约束处的位移应与已知条件一致。例如，固定端转角为零，铰支座线位移为零等。
3. 计算位移：根据叠加原理，基本静定系在多余未知力和外载荷共同作用下，在 Xi​作用点沿其方向的位移 Δi​为：Δi​=∑j=1n​δij​Xj​+ΔiP​。
- δij​：由 Xj​=1单独作用引起的沿 Xi​方向的位移（柔度系数），可用莫尔积分计算。
- ΔiP​：由外载荷单独作用引起的沿 Xi​方向的位移。
4. 建立方程：令 Δi​等于原结构的实际位移（通常为零），得到上述正则方程。
5. 解方程：求解线性方程组得到 Xi​， 然后按静定结构计算所有内力和反力。

条件：线弹性结构；小变形。
范围：求解各类超静定结构（梁、刚架、桁架、拱等）的基本方法。是结构力学中最重要的方法之一。

叠加原理、位移协调条件、线弹性理论

场景：求解多跨连续梁、超静定刚架、桁架的内力分布；计算复杂结构的支座反力；为后续的强度、刚度和稳定性分析提供基础。
意义：将超静定问题转化为静定问题与位移协调问题的结合，是分析高次超静定结构的系统性方法。其方程具有对称性，便于理解和计算。

Xi​：第 i个多余未知力（广义力）。
δij​：柔度系数，表示在 Xj​作用点沿 Xj​方向作用单位力时，在 Xi​作用点沿 Xi​方向引起的位移。根据位移互等定理，δij​=δji​。
ΔiP​：外载荷单独作用下，在 Xi​作用点沿 Xi​方向引起的位移。
Δi​：原结构中与 Xi​对应的实际已知位移。

线性方程组：关于多余未知力的线性方程组。
对称性：柔度矩阵 [δij​]对称。
叠加原理：方程基于线性叠加。

1. 判断超静定次数​ n。
2. 选择基本静定系：解除 n个多余约束，用 X1​,...,Xn​代替，得到静定基。
3. 建立位移协调方程：对每个解除的约束，写出原结构已知位移条件（如 Δi​=0）， 并表达为 ∑δij​Xj​+ΔiP​=Δi​。
4. 计算系数和自由项：分别计算在各单位力 Xj​=1单独作用和外载荷单独作用下，静定基的内力 Mj​(x),MP​(x)等。然后用莫尔积分（如图乘法）计算所有 δij​和 ΔiP​：δij​=∫EIMi​Mj​​dx， ΔiP​=∫EIMi​MP​​dx。
5. 解方程：求解线性方程组，得到 Xi​。
6. 作最终内力图：利用叠加公式 M(x)=∑Xi​Mi​(x)+MP​(x)等， 绘制最终内力图。

是位移协调条件在力空间中的表达。超静定结构的内力分布不仅满足平衡条件，还必须满足变形协调条件。力法将后者表达为关于多余未知力 Xi​的方程。柔度系数 δij​反映了结构在单位力 Xj​作用下，在 i方向产生的“位移柔量”，它描述了结构“力流”通道的“柔顺性”。正则方程 ∑δij​Xj​=−ΔiP​要求，所有多余力 Xj​在其自身作用点引起的位移总和，必须恰好抵消外载荷在该点引起的位移，以满足原结构的约束条件。这相当于在结构的“变形流场”中，用一组内部的“自平衡力流” Xi​来“修正”由外载荷引起的变形，使其与外部约束相容。

TH-D1-0051​

材料力学

压杆稳定

欧拉公式（理想压杆临界力）​

对于一端固定、另一端自由的细长理想压杆，其临界压力为：
Fcr​=(μL)2π2EI​。
其中 μ为长度因数，取决于杆端约束条件：两端铰支 μ=1；一端固定一端自由 μ=2；一端固定一端铰支 μ≈0.7；两端固定 μ=0.5。

1. 理想模型：等截面直杆；材料线弹性；压力严格沿轴线；初始无弯曲；小变形。
2. 建立挠曲线方程：在临界状态，杆处于微弯平衡状态。取分离体，建立弯矩方程：M(x)=−Fw(x)（对两端铰支杆）。 代入梁的弯曲近似微分方程 EIw′′=M(x)， 得：EIw′′+Fw=0。
3. 求解微分方程：令 k2=F/(EI)， 方程化为 w′′+k2w=0。 通解：w(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)。
4. 应用边界条件：对两端铰支杆，w(0)=0-> B=0； w(L)=0-> Asin(kL)=0。 非零解要求 sin(kL)=0， 即 kL=nπ,n=1,2,...。
5. 得到临界力：取 n=1（最小临界力），kL=π， 代入 k2=F/(EI)， 得 Fcr​=π2EI/L2。
6. 推广：对于其他约束，边界条件不同，但推导方法类似，得到相同形式的公式，用 μL（相当长度）代替 L。

条件：理想压杆（无初始缺陷）；线弹性材料；小变形；细长杆（满足欧拉公式适用条件 λ≥λP​）。
范围：适用于大柔度（细长）压杆的弹性失稳临界力计算。是稳定性理论的基础。

梁的弯曲微分方程、特征值问题

场景：钢结构立柱、桥梁桁架中的压杆、机械工程中的顶杆、活塞杆的稳定性设计。
意义：首次给出了压杆临界载荷的解析公式，揭示了失稳载荷与抗弯刚度 EI成正比、与相当长度 (μL)2成反比的基本规律，是结构稳定性设计的基石。

Fcr​：临界压力 (N)， 超过此值，杆将失稳。
E：材料的弹性模量 (Pa)。
I：横截面对中性轴（在弯曲平面内）的最小惯性矩 (m⁴)。
L：压杆的实际长度 (m)。
μ：长度因数，反映杆端约束。
λ：柔度（长细比），λ=μL/i， i=I/A​为惯性半径。
λP​：比例极限对应的柔度，λP​=πE/σP​​。

特征值问题：临界力是微分方程边值问题的特征值。
与 L2成反比：长度的影响非常显著。
与 I成正比：截面形状对稳定性影响大，应使 I尽可能大且各向同性。

1. 判断杆端约束， 确定长度因数 μ。
2. 计算截面惯性矩​ I：取截面最小形心惯性矩。
3. 计算柔度​ λ=μL/i， 其中 i=I/A​。
4. 判断是否适用欧拉公式：若 λ≥λP​（对Q235钢，λP​≈100）， 则适用。
5. 计算临界力：Fcr​=(μL)2π2EI​。
6. 稳定性校核：工作压力 F应满足 F≤nst​Fcr​​， nst​为稳定安全系数。

描述了压杆在轴向压力下，从直线平衡形态向弯曲平衡形态“分岔”的临界条件。压力 F产生弯矩 −Fw， 而弯曲变形产生恢复弯矩 EIw′′。平衡方程 EIw′′+Fw=0表明，压力 F扮演了“负刚度”的角色。当 F较小时，正的弯曲刚度占优，直线形态稳定。当 F达到临界值 Fcr​=π2EI/(μL)2时，压力产生的“负刚度”效应恰好抵消了弯曲刚度，系统处于随遇平衡的临界状态。超过 Fcr​， “负刚度”占优，微小的扰动就会使弯曲变形迅速增大，导致失稳。欧拉公式给出了这个“刚度竞争”的平衡点。

TH-D1-0052​

材料力学

动载荷

惯性力法（动静法）求动应力​

对于做等加速直线运动或等角速转动的构件，可以通过施加惯性力，将动力学问题在形式上转化为静力学问题，然后按静载荷方法计算应力（动应力）。
等加速直线运动：σd​=Kd​σst​， Kd​=1+ga​。
等角速转动：圆环动应力 σd​=ρω2R2。

1. 达朗贝尔原理应用：对构件中的每个质点，施加惯性力 −ai​dm。
2. 等加速直线运动：构件以加速度 a平移。惯性力集度为 −adm/dV=−ρa， 方向与加速度相反。将其作为体积力加到构件上，然后按静力学求解应力。例如，吊索以加速度 a提升重物，动载荷 Fd​=mg+ma=mg(1+a/g)， 动应力 σd​=(1+a/g)σst​。
3. 等角速转动：以匀角速 ω旋转的圆环，各质点有向心加速度 an​=ω2R， 故惯性离心力集度为 ρω2R。 取半圆环分析，由平衡条件可得横截面上的拉力 Fd​=∫0π​(ρARdθ⋅ω2R)sinθ=ρAω2R2， 动应力 σd​=Fd​/A=ρω2R2。
4. 动载因数：Kd​=σd​/σst​=1+a/g等。

条件：构件作等加速直线运动或等角速度转动；材料仍处于线弹性范围；不考虑由加速度变化引起的弹性振动。
范围：适用于加速度已知或可求的刚性运动构件的动应力计算。是处理一类常见动载荷问题的方法。

达朗贝尔原理、静力学方法

场景：起重机加速吊装时钢丝绳的应力计算、旋转飞轮或涡轮机转子的应力分析、火箭发射时部件的过载分析。
意义：提供了一种计算由于刚性运动加速度引起的动应力的简便方法，是机械零件强度设计时必须考虑的因素之一。

a：线加速度 (m/s²)。
ω：角速度 (rad/s)。
ρ：材料密度 (kg/m³)。
R：旋转半径 (m)。
g：重力加速度 (m/s²)。
Kd​：动荷因数。
σst​：静载荷下的应力 (Pa)。
σd​：动载荷下的应力 (Pa)。

动静法转化：通过加惯性力化为静力问题。
动载因数：动应力与静应力的比值，常大于1。
与 ω2成正比：旋转动应力对转速非常敏感。

1. 运动分析：确定构件各点的加速度。
2. 施加惯性力：在构件上虚加分布惯性力，其集度大小为单位质量乘以加速度，方向与加速度相反。
3. 建立平衡方程：将惯性力视为静载荷，与真实的外力一起，建立静力平衡方程。
4. 计算内力：用截面法计算横截面上的内力（轴力、弯矩等）。
5. 计算动应力：根据内力计算应力 σd​， 或利用动荷因数 Kd​计算：σd​=Kd​⋅σst​。
6. 强度校核：σd​≤[σ]。

是达朗贝尔原理在动应力计算中的直接应用。将惯性力 −ρa视为作用在构件上的“虚拟体积力场”，这个力场与真实外力场和内部应力场共同构成“瞬时静力平衡”。这样，就将由加速度引起的、分布在整个构件上的“动量变化效应流”，转化为一个虚构的、静态的“体积力流”来处理。动应力就是真实外力与这个虚构惯性力共同作用产生的应力。动荷因数 Kd​衡量了惯性力“流”相对于静重力“流”的强度。

TH-D1-0053​

材料力学

动载荷

冲击动荷因数​

当重物以速度 v垂直冲击被冲击构件时，冲击动荷因数 Kd​近似为：
Kd​=1+1+Δst​2h​​（自由落体冲击，高度 h）
或 Kd​=gΔst​v2​​（水平冲击，速度 v）
其中 Δst​是将冲击物重量 Q作为静载荷作用在冲击点、沿冲击方向时，该点的静位移。

1. 基本假设：冲击物为刚体；被冲击物为线弹性体（质量忽略或等效）；冲击过程无能量损失（能量守恒）；冲击后两者一起运动。
2. 能量守恒：冲击物损失的机械能（势能 Q(h+Δd​)或动能 21​gQ​v2）等于被冲击物获得的应变能 Ud​=21​Fd​Δd​。
3. 力-位移关系：由于被冲击物是线弹性的，有 Fd​/Δd​=Q/Δst​=k（刚度）。 故 Ud​=21​kΔd2​=2Δst​Q​Δd2​。
4. 建立方程求解：例如，对自由落体，能量守恒：Q(h+Δd​)=2Δst​Q​Δd2​。 整理得 Δd2​−2Δst​Δd​−2hΔst​=0， 解得 Δd​=Δst​(1+1+2h/Δst​​)。 故 Kd​=Δd​/Δst​=1+1+2h/Δst​​。
5. 动载荷与动应力：Fd​=Kd​Q， σd​=Kd​σst​。

条件：冲击物为刚性；被冲击物为线弹性；忽略冲击过程中的其他能量损失（如热、声）；被冲击物质量可忽略，或冲击持续时间远大于被冲击物的自振周期。
范围：用于近似估算突加载荷（如锤击、坠落、碰撞）引起的动应力和变形。是一种简化的工程方法。

机械能守恒定律、线弹性假设

场景：打桩机效率分析、冲压加工中模具的强度校核、汽车碰撞时保险杠的吸能设计、重物坠落对平台或地板的冲击评估。
意义：揭示了冲击动应力与静应力的关系，动荷因数 Kd​通常远大于1。增大静位移 Δst​（即降低被冲击物刚度）可以显著降低冲击效应，这是缓冲和隔冲设计的理论基础。

Q：冲击物的重量 (N)。
h：冲击物下落的高度 (m)， 对初始接触 (h=0) 的突加载荷，Kd​=2。
v：水平冲击速度 (m/s)。
Δst​：静位移 (m)， 是 Q作为静载作用在冲击点、沿冲击方向时该点的位移。
Δd​：冲击时的最大动位移 (m)。
Fd​：冲击载荷的最大值 (N)。
Kd​：冲击动荷因数。

能量法：基于能量守恒推导。
近似性：忽略了许多复杂因素（应力波、局部塑性变形等），是近似公式。
Δst​的关键作用：Kd​反比于 Δst​​， 柔度大的结构抗冲击性能好。

1. 计算静位移​ Δst​：在冲击点，沿冲击方向，施加一个大小等于冲击物重量 Q的静力，计算该点的位移。
2. 确定冲击条件：获取冲击高度 h或速度 v。
3. 计算动荷因数：选用合适的 Kd​公式。
4. 计算动载荷和动位移：Fd​=Kd​Q， Δd​=Kd​Δst​。
5. 计算动应力：σd​=Kd​σst​， 其中 σst​是 Q作为静载引起的应力。
6. 强度校核：σd​≤[σ]。 为提高抗冲击能力，应设法增大 Δst​（降低刚度）。

描述了冲击过程中，冲击物的动能或势能突然转化为被冲击物的应变能，导致瞬时载荷和应力急剧放大的现象。Kd​是这个能量转换过程中“冲击效应放大系数”。静位移 Δst​反映了被冲击系统的“柔度”或“吸能潜力”。Δst​越大，系统在冲击时能通过更大的变形来吸收能量，从而降低冲击力峰值，即“以柔克刚”。能量守恒方程 Q(h+Δd​)=21​kΔd2​是“能量流入”等于“能量储存”的平衡。冲击问题的核心是能量的快速流动与再分配。

TH-D1-0054​

材料力学

交变应力

疲劳极限（持久极限）​

在交变应力作用下，材料经过无限次应力循环而不发生疲劳破坏的最大应力值，称为疲劳极限或持久极限，记为 σr​。下标 r表示循环特征，如对称循环 (r=−1) 的疲劳

TH-D1-0054​

材料力学

交变应力

疲劳极限（持久极限）​

在交变应力作用下，材料经过无限次应力循环而不发生疲劳破坏的最大应力值，称为疲劳极限或持久极限，记为 σr​。下标 r表示循环特征，如对称循环 (r=−1) 的疲劳极限记为 σ−1​。对于钢铁材料，通常以 107次循环未破坏对应的应力作为疲劳极限。

1. 疲劳试验：通过旋转弯曲疲劳试验机或拉压疲劳试验机，对一组标准光滑试件施加不同应力幅 σa​的对称循环应力，记录导致破坏的循环次数 N。
2. 绘制 S-N 曲线：以应力幅 σa​（或最大应力 σmax​）为纵坐标，破坏循环次数 N为横坐标（通常取对数），绘制曲线。
3. 确定疲劳极限：对于钢铁、钛合金等材料，S-N 曲线在 N很大时出现水平段，该水平段对应的应力值即为疲劳极限 σ−1​。对于铝合金等有色金属，S-N 曲线无水平段，常规定 N=5×108或 109次对应的应力为条件疲劳极限。
4. 物理机制：疲劳极限的存在与材料内部微观结构有关，当应力水平低于此值时，裂纹难以萌生或扩展。

条件：标准光滑小试件；恒幅对称循环应力；室温、空气环境。
范围：是材料抗疲劳性能的基本指标。实际构件因尺寸、形状、表面状态、载荷类型等影响，其疲劳强度通常低于材料疲劳极限。

材料科学、损伤累积理论

场景：轴、齿轮、弹簧、连杆、桥梁、飞机结构等承受交变载荷的零部件设计。
意义：为无限寿命设计提供了依据。若构件工作应力低于其（修正后的）疲劳极限，理论上可无限次循环而不破坏。是疲劳强度设计和校核的基准。

σr​：循环特征为 r时的疲劳极限 (Pa)。
r：应力比，r=σmin​/σmax​。
σ−1​：对称循环 (r=−1) 疲劳极限。
N：应力循环次数。
S-N曲线：应力-寿命曲线。

经验性/实验性：由试验测定，无严格数学推导。
统计特性：疲劳数据具有分散性，通常用存活率-应力-寿命 (P-S-N) 曲线描述。
材料依赖性：不同材料 S-N 曲线形状不同。

1. 制备标准试件。
2. 进行疲劳试验：在不同应力水平下进行成组试验。
3. 数据处理：绘制 S-N 曲线，确定是否存在水平渐近线。
4. 确定 σ−1​：取水平段应力值，或规定循环次数下的条件疲劳极限。
5. 应用于设计：考虑有效应力集中系数 Kf​、尺寸系数 ϵ、表面质量系数 β等，对 σ−1​进行修正，得到构件的疲劳极限 σ−10​=Kf​ϵβ​σ−1​， 用于无限寿命设计。

代表了材料抵抗在交变应力下裂纹萌生和早期扩展的“内在抗力阈值”。当外部交变应力“流”的幅值低于这个阈值时，其能量不足以驱动材料内部缺陷（如位错、夹杂物）处发生不可逆的滑移和微裂纹形成，或者不足以使已有微裂纹克服扩展阻力。因此，能量“流”在材料内部循环往复，但不会造成损伤的累积和宏观破坏。疲劳极限是材料微观结构（晶粒、相界、缺陷）对循环滑移阻碍能力的宏观体现。对于钢铁材料，其明显的疲劳极限可能与循环硬化及裂纹尖端的闭合效应有关。

TH-D1-0055​

材料力学

交变应力

疲劳寿命的 Miner 线性累积损伤理论​

在变幅交变应力作用下，疲劳损伤可以线性累加。若在应力水平 Si​下循环 ni​次，该应力水平下的疲劳寿命为 Ni​（由 S-N 曲线确定），则损伤率 Di​=ni​/Ni​。当各应力水平造成的损伤率之和等于 1 时，发生疲劳破坏。即：
D=∑i=1k​Ni​ni​​=1。

1. 基本假设：
- 在各个应力水平下，疲劳损伤的累积是独立的。
- 每个循环造成的损伤与当前已累积的损伤无关。
- 损伤达到临界值（定义为1）时发生破坏。
2. 损伤定义：在恒幅应力 Si​下，循环一次造成的损伤为 1/Ni​。循环 ni​次造成的损伤为 ni​/Ni​。
3. 线性叠加：不同应力水平下的损伤可以直接相加，总损伤 D=∑(ni​/Ni​)。
4. 破坏准则：当 D≥1时，预测发生疲劳破坏。实际上，由于载荷顺序效应等因素，D的实验值通常在 0.7 到 2.0 之间。

条件：变幅载荷；各应力水平下的损伤可线性叠加；忽略载荷间的相互作用（如过载引起的残余应力、裂纹闭合等）。
范围：工程上估算变幅载荷下疲劳寿命的常用方法。虽然简单，但因其易用性而被广泛采用，常与载荷谱计数法（如雨流法）结合使用。

损伤力学、经验假设

场景：汽车底盘、飞机机翼、风力发电机叶片等在随机载荷下的寿命预估；机械零件的定期检修周期制定。
意义：提供了一种将复杂的变幅载荷历史转化为疲劳损伤的工程方法，是进行有限寿命设计和可靠性评估的基础工具之一。

Si​：第 i个应力水平（通常指应力幅）。
ni​：在应力水平 Si​下的实际循环次数。
Ni​：在应力水平 Si​下，导致破坏的循环次数（由 S-N 曲线得到）。
D：累积损伤和。

线性假设：损伤与循环次数成正比，且可线性叠加。
经验性：基于假设，非严格物理推导。
破坏判据：D=1是理论临界值。

1. 获取载荷谱：通过实测或标准，得到构件危险点的应力时间历程。
2. 载荷谱计数：使用雨流法或穿级计数法，将连续的应力时间历程统计成不同应力水平 Si​及其对应的循环次数 ni​的表格。
3. 确定 S-N 曲线：获得材料的 S-N 曲线方程（如 σam​N=C）。
4. 计算疲劳寿命 Ni​：对每个 Si​， 由 S-N 曲线计算其疲劳寿命 Ni​。
5. 计算损伤 Di​：Di​=ni​/Ni​。
6. 累积损伤：D=∑Di​。
7. 预测寿命：若一段载荷谱对应的损伤为 Dblock​， 则破坏所需的载荷谱块数 Bf​=1/Dblock​。总寿命（循环次数）Ntotal​=Bf​×∑ni​。

将疲劳破坏视为一种“损伤量”的线性累积过程。每个应力循环都像是一滴“损伤水滴”，滴入一个“损伤桶”中。不同应力水平下的循环，其“水滴”大小不同（1/Ni​）。Miner 理论假设这些“水滴”可以简单地累加，且“桶”的容量是固定的（D=1）。当累积的“损伤流体”达到桶的容量时，破坏发生。这是一种高度简化的模型，它忽略了损伤累积可能存在的非线性（例如，大应力“水滴”可能会改变“桶”的容量或后续“水滴”的累积效率），但为处理复杂的载荷“流”提供了一条实用的量化路径。

TH-D1-0056​

材料力学

强度理论

最大拉应力理论（第一强度理论）​

认为材料的破坏是由最大拉应力引起的。当构件危险点处的最大拉应力 σ1​达到材料单向拉伸时的极限应力 σb​时，发生脆性断裂。强度条件为：
σ1​≤[σ]， 其中 [σ]=σb​/nb​。

1. 破坏假设：无论应力状态如何，只要最大主应力 σ1​达到材料极限，即发生断裂。
2. 忽略其他应力：该理论认为 σ2​, σ3​对材料的破坏没有影响。
3. 与实验对比：对脆性材料（如铸铁、陶瓷、岩石）在单向拉伸、双向拉伸以及拉-压应力状态且拉应力占优的情况，预测与试验结果大致符合。
4. 局限性：未考虑 σ2​, σ3​的影响，且无法解释材料在单向压缩（σ1​=0）时也会破坏的现象。

条件：适用于脆性材料（如铸铁、混凝土、岩石）；且危险点处于拉应力状态（通常 σ1​>0）。
范围：是最早的强度理论，形式简单，常用于脆性材料的拉伸破坏校核。

经验性破坏准则

场景：铸铁构件受拉或受弯时的强度校核；混凝土梁受拉区开裂判断；地质岩层拉伸断裂分析。
意义：为脆性材料拉伸破坏提供了一个简单实用的设计准则。是后续更复杂强度理论发展的起点。

σ1​,σ2​,σ3​：主应力，且 σ1​≥σ2​≥σ3​。
σb​：材料的抗拉强度极限。
[σ]：许用拉应力。
nb​：对应于强度极限的安全系数。

单参数准则：只依赖于最大主应力 σ1​。
拉应力准则：只适用于 σ1​>0的情况。
形式简单。

1. 应力分析：确定构件危险点的应力状态，计算其主应力 σ1​,σ2​,σ3​。
2. 提取最大拉应力：找出 σ1​（如果 σ1​≤0， 则该理论不适用）。
3. 获取材料参数：查取材料的抗拉强度极限 σb​。
4. 确定安全系数​ nb​， 计算许用应力 [σ]=σb​/nb​。
5. 强度校核：检查是否满足 σ1​≤[σ]。

认为材料的破坏是由“拉应力流”通道被拉断所致。该理论假设材料内部存在微观缺陷或薄弱面，当最大主应力方向（σ1​方向）的拉应力“流”强度超过材料内部结合力所能承受的极限时，缺陷会扩展并连接，导致宏观上的脆性断裂。它忽略了压应力“流”可能对缺陷闭合产生的有利影响，也忽略了剪切“流”的作用，是一种最直接的“拉断”模型。

TH-D1-0057​

材料力学

强度理论

最大拉应变理论（第二强度理论）​

认为材料的破坏是由最大拉应变引起的。当构件危险点处的最大拉应变 ϵ1​达到材料单向拉伸时的极限应变 ϵu​时，发生破坏。利用广义胡克定律，强度条件可写为：
σ1​−ν(σ2​+σ3​)≤[σ]， 其中 [σ]=σb​/nb​。

1. 破坏假设：无论应力状态如何，最大拉应变是破坏主因。
2. 应变表达：由广义胡克定律，ϵ1​=E1​[σ1​−ν(σ2​+σ3​)]。 单向拉伸极限应变 ϵu​=σb​/E。
3. 建立准则：令 ϵ1​=ϵu​， 即 E1​[σ1​−ν(σ2​+σ3​)]=Eσb​​， 得 σ1​−ν(σ2​+σ3​)=σb​。
4. 引入安全系数：得到设计准则 σ1​−ν(σ2​+σ3​)≤[σ]。
5. 与实验对比：对脆性材料在双向拉-压（压应力绝对值较大）时，预测比第一理论更接近试验。但形式较复杂，且未被广泛证实。

条件：线弹性材料直到破坏；小变形；适用于部分脆性材料，特别是 σ2​, σ3​为压应力的情况。
范围：历史上曾用于脆性材料，如铸铁、混凝土，但现代工程中应用较少，多被莫尔理论等取代。

经验性破坏准则、广义胡克定律

场景：早期用于铸铁构件在复杂应力状态下的强度计算，如受内压的脆性材料管道。
意义：考虑了其他主应力对最大拉应变的影响，比第一理论有所进步。但其预测能力有限，目前主要具有历史意义。

ϵ1​：最大主应变。
ϵu​：单向拉伸的极限应变。
ν：泊松比。
其余同 TH-D1-0056。

三参数准则：依赖于三个主应力，但以组合形式出现。
考虑泊松效应：反映了侧向应力对纵向应变的影响。

1. 应力分析：计算危险点的主应力 σ1​,σ2​,σ3​。
2. 计算相当应力：σr2​=σ1​−ν(σ2​+σ3​)。
3. 获取材料参数：σb​, ν。
4. 确定许用应力​ [σ]=σb​/nb​。
5. 强度校核：检查是否满足 σr2​≤[σ]。

认为破坏是由“拉伸变形流”超过容限引起的。它不仅关注最大主应力方向的直接拉伸，还考虑了由于泊松效应，其他方向的应力（σ2​, σ3​）会间接影响该方向的应变。例如，压应力 σ2​, σ3​会产生横向膨胀，从而增加 σ1​方向的拉应变。因此，该理论认为，即使 σ1​相同，处于双向受压状态的点比单向受拉的点更不容易因拉应变而破坏，因为压应力抑制了横向膨胀。这是一种基于“变形协调”的破坏观点。

TH-D1-0058​

材料力学

强度理论

最大切应力理论（第三强度理论，Tresca 准则）​

认为材料的破坏（屈服）是由最大切应力引起的。当构件危险点处的最大切应力 τmax​达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力 τs​时，发生塑性屈服。强度条件为：
σ1​−σ3​≤[σ]， 其中 [σ]=σs​/ns​。

1. 破坏假设：塑性屈服由最大切应力控制。
2. 切应力计算：任意应力状态下的最大切应力 τmax​=(σ1​−σ3​)/2。
3. 单向拉伸屈服状态：σ1​=σs​,σ2​=σ3​=0， 此时 τmax​=σs​/2。 故材料屈服时的极限切应力 τs​=σs​/2。
4. 建立准则：令 τmax​=τs​， 即 (σ1​−σ3​)/2=σs​/2， 得 σ1​−σ3​=σs​。
5. 引入安全系数：得到设计准则 σ1​−σ3​≤[σ]， 其中 [σ]=σs​/ns​。
6. 与实验对比：对塑性材料（如低碳钢）在大多数应力状态下，预测偏于安全，且形式简单，在工程中广泛应用。

条件：适用于塑性材料（如大多数金属）；材料屈服后即认为失效；通常用于静载荷下的强度设计。
范围：是塑性力学中重要的屈服准则，广泛应用于机械、压力容器等行业的强度设计（如锅炉强度计算规范）。

塑性力学、剪切滑移机制

场景：轴类零件的强度设计（弯扭组合）；压力容器筒体的强度校核；塑性材料构件在复杂应力状态下的屈服判断。
意义：物理意义清晰（屈服源于晶格滑移），形式简单，且预测保守，在工程设计中非常受欢迎。

τmax​：最大切应力。
τs​：材料单向拉伸屈服时的最大切应力。
σs​：材料的屈服极限。
[σ]：许用应力。
ns​：对应于屈服极限的安全系数。

双参数准则：只依赖于最大和最小主应力 σ1​和 σ3​， 忽略中间主应力 σ2​的影响。
线性形式：相当应力 σr3​=σ1​−σ3​是线性的。

1. 应力分析：计算危险点的主应力 σ1​,σ2​,σ3​。
2. 计算相当应力：σr3​=σ1​−σ3​。
3. 获取材料参数：屈服极限 σs​。
4. 确定许用应力​ [σ]=σs​/ns​。
5. 强度校核：检查是否满足 σr3​≤[σ]。

认为材料的塑性屈服是“剪切滑移流”达到临界值的结果。该理论基于金属晶体学的位错滑移机制：当作用在某个滑移面上的切应力达到临界值时，位错开始大规模运动，导致宏观屈服。最大切应力 τmax​代表了最有可能发生滑移的平面上的切应力驱动“流”。准则 σ1​−σ3​=σs​表明，屈服只取决于最大主应力与最小主应力之差，即最大剪应力幅值，而与静水压力（σ1​+σ2​+σ3​)/3）无关。这符合金属材料屈服对静水压力不敏感的观察。

TH-D1-0059​

材料力学

强度理论

形状改变比能理论（第四强度理论，von Mises 准则）​

认为材料的破坏（屈服）是由形状改变比能（畸变能密度）引起的。当构件危险点处的形状改变比能 ud​达到材料单向拉伸屈服时的形状改变比能 uds​时，发生塑性屈服。强度条件为：
21​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]​≤[σ]， 其中 [σ]=σs​/ns​。

1. 能量分解：应变比能 u可分解为体积改变比能 uv​和形状改变比能 ud​：u=uv​+ud​。
2. 计算 ud​：利用广义胡克定律，可推导得 ud​=6E1+ν​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]。
3. 单向拉伸屈服状态：σ1​=σs​,σ2​=σ3​=0， 代入得 uds​=3E1+ν​σs2​。
4. 建立准则：令 ud​=uds​， 即 6E1+ν​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]=3E1+ν​σs2​， 化简得 21​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]=σs2​。
5. 引入安全系数：取平方根并引入安全系数，得到设计准则，其相当应力 σr4​=21​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]​≤[σ]。
6. 与实验对比：对塑性材料，其预测比 Tresca 准则更接近试验数据，且考虑了中间主应力 σ2​的影响。

条件：适用于塑性材料；材料屈服后即认为失效；通常用于静载荷下的强度设计。
范围：是现代塑性力学的基础，被许多工程规范（如钢结构、机械设计）所采用，尤其适用于精确分析。

塑性力学、能量原理

场景：复杂应力状态下塑性材料构件的精确强度分析；有限元分析软件中默认的金属材料屈服准则；航空航天、汽车等高科技领域的关键部件设计。
意义：物理意义明确（畸变能驱动屈服），预测精度高，是工程和学术界最广泛接受的塑性屈服准则。

ud​：形状改变比能（畸变能密度）(J/m³)。
uds​：单向拉伸屈服时的形状改变比能。
σr4​：第四强度理论的相当应力 (Pa)。

三参数准则：依赖于所有三个主应力之差，考虑了中间主应力的影响。
二次型：相当应力是主应力差的平方和的平方根。
与八面体切应力相关：σr4​=3​τ8​。

1. 应力分析：计算危险点的主应力 σ1​,σ2​,σ3​。
2. 计算相当应力：σr4​=21​[(σ1​−σ2​)2+(σ2​−σ3​)2+(σ3​−σ1​)2]​。
3. 获取材料参数：屈服极限 σs​。
4. 确定许用应力​ [σ]=σs​/ns​。
5. 强度校核：检查是否满足 σr4​≤[σ]。

认为材料的塑性屈服是“畸变能流”密度达到临界值的结果。该理论从能量角度出发，认为引起材料形状改变（畸变）的那部分弹性应变能，是驱动微观位错运动和宏观塑性变形的“能量流”。体积改变部分（静水压力）只改变材料密度，不引起形状变化，因此与屈服无关。准则的数学形式 J2​​=k（其中 J2​是应力偏张量的第二不变量）意味着，屈服发生在应力偏张量的“模长”达到某一常数时，这与金属晶体多滑移系的宏观统计行为相符，能更好地拟合实验数据。

TH-D1-0060​

材料力学

强度理论

莫尔强度理论​

认为材料的破坏（断裂或屈服）主要是由于某个截面上的切应力达到极限值，但该极限值与该截面上的正应力有关。其强度条件可表示为：
σ1​−[σc​][σt​]​σ3​≤[σt​]。
其中 [σt​]和 [σc​]分别为材料的许用拉应力和许用压应力。

1. 基本思想：材料在不同应力状态下的破坏，是由于某一斜截面上的切应力 τ和正应力 σ共同作用的结果。破坏条件可写为 τ=f(σ)， 函数 f由实验确定。
2. 简化模型：用单向拉伸和单向压缩两个极限应力状态的应力圆（极限应力圆）的包络线来近似 f(σ)。包络线是这些极限应力圆的公切线。
3. 线性近似：工程上常作直线包络线近似。由单向拉伸极限应力圆 (σ1​=σb​,σ3​=0) 和单向压缩极限应力圆 (σ1​=0,σ3​=−σbc​) 作公切线，推导出任意应力状态下的破坏条件为 σ1​/σb​−σ3​/σbc​=1。
4. 引入安全系数：用许用应力代替极限应力，得到设计准则 σ1​/[σt​]−σ3​/[σc​]≤1， 即 σ1​−[σc​][σt​]​σ3​≤[σt​]。
5. 与其它理论关系：当 [σt​]=[σc​]时，退化为最大切应力理论 (σ1​−σ3​=[σ])。

条件：适用于拉压强度不等的材料，如铸铁、混凝土、岩石等脆性材料。
范围：是脆性材料在复杂应力状态下强度计算的重要理论，尤其在岩土、地质工程中应用广泛。

经验性破坏准则、图解法

场景：铸铁构件在拉-压复合应力下的强度校核；混凝土结构在双向应力下的破坏分析；岩石地基的承载力计算。
意义：考虑了材料抗拉和抗压强度不同的特性，比最大拉应力理论更全面，对脆性材料在压应力占优的情况也能给出较好预测。

σb​：材料的抗拉强度极限。
σbc​：材料的抗压强度极限。
[σt​]：许用拉应力，[σt​]=σb​/nt​。
[σc​]：许用压应力，[σc​]=σbc​/nc​。
通常 $

\sigma_{bc}

> \sigma_b，故[\sigma_c] > [\sigma_t]$。

双参数准则：依赖于 σ1​和 σ3​， 但系数由材料拉压强度比决定。
考虑拉压异性：核心特点是区分材料的拉压强度。
图解法基础：源于应力圆包络线概念。

TH-D1-0061​

系统动力学

分析力学

哈密顿原理​

在相同时间内，保守系统从初始位形到最终位形的所有可能运动中，真实运动是使哈密顿作用量 S取驻值（通常是极小值）的那一条。即：
δS=δ∫t1​t2​​L(q,q˙​,t)dt=0。
其中 L=T−V为拉格朗日函数。

1. 作用量定义：S=∫t1​t2​​Ldt， 它是路径 q(t)的泛函。
2. 变分原理：考虑真实路径 q(t)的邻近路径 q(t)+δq(t)， 其中 δq(t1​)=δq(t2​)=0。计算作用量 S的变分 δS。
3. 变分计算：
δS=∫t1​t2​​(∂q∂L​δq+∂q˙​∂L​δq˙​)dt。
对第二项分部积分，利用端点条件 δq(t1​)=δq(t2​)=0， 得：
δS=∫t1​t2​​[∂q∂L​−dtd​(∂q˙​∂L​)]δqdt。
4. 驻值条件：对于任意的变分 δq， 要使 δS=0， 必须满足：
∂q∂L​−dtd​(∂q˙​∂L​)=0。
这正是拉格朗日方程。因此，哈密顿原理与拉格朗日方程等价。
5. 推广：对于非保守系统，可引入广义力 Qj∗​， 原理写为 δ∫Ldt+∫∑Qj∗​δqj​dt=0。

条件：完整系统；对于保守系统，L=T−V；对于非保守系统，需已知广义力。变分路径满足端点固定。
范围：是分析力学和理论物理的基石之一。它从整体（积分）角度描述运动规律，具有高度的概括性和普适性，是推导连续介质力学场方程和有限元法的基础。

变分法、最小作用量原理

场景：推导复杂离散系统或连续系统的运动方程；弹性力学中平衡方程和自然边界条件的统一推导；量子力学中费曼路径积分的经典对应。
意义：提供了一个统一、优美且强大的框架来建立物理系统的运动规律。它将动力学问题转化为求泛函极值的问题，是连接物理学与数学的桥梁。

S：哈密顿作用量，是泛函。
L：拉格朗日函数，L=T−V。
q：广义坐标向量。
δ：变分符号，表示对路径的微小改变。
t1​,t2​：固定的初始和最终时刻。

积分变分原理：用作用量积分 S的驻值条件代替微分方程。
整体性：考虑整个时间区间上的运动，而非瞬时状态。
协变性：形式不依赖于具体坐标选取。

1. 确定系统动能 T和势能 V， 构造拉格朗日函数 L=T−V。
2. 写出作用量：S=∫t1​t2​​L(q,q˙​,t)dt。
3. 对可能路径 q(t)进行变分， 计算 δS。
4. 令 δS=0， 并利用变分法基本引理，得到欧拉-拉格朗日方程：dtd​(∂q˙​∂L​)−∂q∂L​=0。
5. 解此微分方程**， 得到真实运动 q(t)。

是物理学中“最小作用量原理”​ 在力学中的表述。它断言：自然界的真实运动总是选择一条使某个称为“作用量”的积分量取极值（通常是极小值）的路径。作用量 S是拉格朗日函数 L（动能与势能之差）对时间的积分。哈密顿原理 δS=0意味着，在从起点到终点的所有“虚拟路径流”中，真实路径是使这个“作用量流”的总和取驻值的那一条。这就像光走最短时间路径一样，力学系统的运动也遵循某种“最经济”或“最平稳”的法则。它从全局和历史的视角，用一条简洁的数学原理概括了牛顿力学的所有运动定律。

TH-D1-0062​

系统动力学

分析力学

哈密顿正则方程​

对于保守系统，引入广义动量 pj​=∂L/∂q˙​j​和哈密顿函数 H(q,p,t)=∑j​pj​q˙​j​−L， 则系统的运动由以下一对一阶方程描述：
q˙​j​=∂pj​∂H​， p˙​j​=−∂qj​∂H​， (j=1,2,...,n)。
若 H不显含时间 t， 则 H是守恒量，代表系统的总机械能。

1. Legendre 变换：从以 (q,q˙​)为自变量的拉格朗日函数 L， 变换到以 (q,p)为自变量的哈密顿函数 H：H(q,p,t)=pq˙​−L(q,q˙​,t)， 其中 q˙​要通过关系 p=∂L/∂q˙​用 p表示。
2. 计算 H的全微分：
dH=d(pq˙​−L)=q˙​dp+pdq˙​−(∂q∂L​dq+∂q˙​∂L​dq˙​+∂t∂L​dt)。
利用 p=∂L/∂q˙​， 中间两项抵消，得：
dH=q˙​dp−∂q∂L​dq−∂t∂L​dt。
3. 与拉格朗日方程联系：拉格朗日方程给出 dtd​(∂q˙​∂L​)=∂q∂L​， 即 p˙​=∂q∂L​。
4. 代入并比较系数：将 ∂L/∂q=p˙​代入 dH表达式，得：
dH=q˙​dp−p˙​dq−∂t∂L​dt。
另一方面，H=H(q,p,t)， 故 dH=∂q∂H​dq+∂p∂H​dp+∂t∂H​dt。
比较两式 dq, dp, dt的系数，即得：
q˙​=∂p∂H​， −p˙​=∂q∂H​， −∂t∂L​=∂t∂H​。
5. 守恒律：若 H不显含 t， 则 dH/dt=∂H/∂t+∑(∂q∂H​q˙​+∂p∂H​p˙​)=0+∑(−p˙​q˙​+q˙​p˙​)=0， 故 H守恒。

条件：完整系统；变换 p=∂L/∂q˙​可逆（即 Hessian 矩阵 ∂2L/∂q˙​i​∂q˙​j​非奇异）；系统保守或广义力有势。
范围：是理论力学、统计物理、量子力学的基础。它将 2n个一阶方程写成非常对称的形式，特别适合于研究运动守恒律、相空间几何和微扰理论。

勒让德变换、辛几何

场景：天体力学中的轨道计算；分子动力学模拟；控制理论中的最优控制（哈密顿-雅可比-贝尔曼方程）；量子力学的经典极限。
意义：提供了分析力学另一种等价的、更对称的表述。它揭示了力学系统的辛几何结构，是通向现代物理学（如广义相对论、量子场论）的重要门户。

qj​：广义坐标。
pj​：广义动量，pj​=∂L/∂q˙​j​。
H：哈密顿函数，H(q,p,t)=∑pj​q˙​j​−L。
n：系统的自由度。

一阶方程组：将二阶的拉格朗日方程化为一阶方程组。
辛对称形式：方程关于 (q,p)对称，具有辛结构。
能量函数：H常代表总能量。

1. 写出拉格朗日函数​ L(q,q˙​,t)。
2. 定义广义动量：pj​=∂L/∂q˙​j​。
3. 反解出 q˙​j​：将上述关系视为方程，解出 q˙​j​作为 (q,p,t)的函数。
4. 构造哈密顿函数：H(q,p,t)=∑j=1n​pj​q˙​j​(q,p,t)−L(q,q˙​(q,p,t),t)。
5. 写出正则方程：q˙​j​=∂H/∂pj​， p˙​j​=−∂H/∂qj​。
6. 求解这 2n个一阶微分方程， 得到运动规律 q(t),p(t)。

实现了从位形空间 (q)到相空间 (q,p)的转变，并将动力学表述为相空间中的“辛流”。正则方程 q˙​=∂H/∂p,p˙​=−∂H/∂q定义了一个相空间中的矢量场。这个矢量场由哈密顿函数 H的梯度决定，但其结构是“旋转”的：位置 q的变化率由动量 p方向的梯度给出，而动量的变化率由位置 q方向的负梯度给出。这种结构保证了相空间体积在流动下保持不变（刘维尔定理），并揭示了力学系统内在的辛几何特性。哈密顿函数 H是驱动这个“辛流”的“能量源”。

TH-D1-0063​

系统动力学

振动理论

单自由度有阻尼系统自由振动解​

系统方程：mx¨+cx˙+kx=0。 其解的形式取决于阻尼比 ζ=c/(2mk​)=c/(2mωn​)。
1. 欠阻尼 (ζ<1)：x(t)=e−ζωn​t[Acos(ωd​t)+Bsin(ωd​t)]， 其中 ωd​=ωn​1−ζ2​。
2. 临界阻尼 (ζ=1)：x(t)=(A+Bt)e−ωn​t。
3. 过阻尼 (ζ>1)：x(t)=e−ζωn​t[Acosh(ω′t)+Bsinh(ω′t)]， 其中 ω′=ωn​ζ2−1​。

1. 特征方程：设解 x=est， 代入方程得特征方程 ms2+cs+k=0。
2. 求解特征根：$s

TH-D1-0064​

系统动力学

随机振动

随机过程的均方值、自相关函数与功率谱密度关系（Wiener-Khinchin定理）​

对于一个宽平稳随机过程 X(t)，其自相关函数 RXX​(τ)=E[X(t)X(t+τ)]与功率谱密度函数 SXX​(ω)构成一对傅里叶变换对：
SXX​(ω)=∫−∞∞​RXX​(τ)e−iωτdτ
RXX​(τ)=2π1​∫−∞∞​SXX​(ω)eiωτdω
且均方值 ψX2​=E[X2(t)]=RXX​(0)=2π1​∫−∞∞​SXX​(ω)dω。

1. 定义自相关函数：衡量随机信号自身在不同时刻的相关性，对于平稳过程，只依赖于时间差 τ。
2. 定义功率谱密度：表征随机信号功率在频域上的分布密度。可以定义为样本函数截断后傅里叶变换幅值平方的期望除以时长，在时长趋于无穷时的极限。
3. 建立联系：通过帕塞瓦尔定理（能量守恒），信号在时域的总能量等于频域的总能量。对于功率信号，推导其平均功率的频域表达式，最终得到 SXX​(ω)是 RXX​(τ)的傅里叶变换。
4. 均方值关系：令 τ=0， 自相关函数 RXX​(0)=E[X2(t)]即为均方值。根据逆变换公式，RXX​(0)=2π1​∫−∞∞​SXX​(ω)dω， 这表明总功率（均方值）等于功率谱密度在全频域上的积分。

条件：X(t)是宽平稳随机过程；自相关函数绝对可积 $\int_{-\infty}^{\infty}

R_{XX}(\tau)

d\tau < \infty$。
范围：是随机振动理论的基础核心。建立了时域统计特性（自相关函数）与频域统计特性（功率谱密度）之间的桥梁，使得频域分析方法得以应用于随机过程。

随机过程理论、傅里叶分析、信号处理

场景：分析风载荷、路面不平度、海浪、地震动等随机激励的频域特性；计算线性系统在随机激励下的输出功率谱密度和均方响应；结构随机疲劳分析。
意义：提供了在频域内描述和分析随机振动的最强大工具。通过功率谱密度，可以直观地看到随机信号中各个频率成分的功率贡献，极大简化了线性系统随机响应的计算。

X(t)：平稳随机过程。
RXX​(τ)：自相关函数。
SXX​(ω)：双边功率谱密度函数。
E[⋅]：数学期望（集平均）。
ψX2​：均方值。
ω：圆频率 (rad/s)。

傅里叶变换对：SXX​(ω)与 RXX​(τ)互为傅里叶变换。
非负性：SXX​(ω)≥0。
实偶函数：对于实过程，RXX​(τ)是实偶函数，SXX​(ω)也是实偶函数。

TH-D1-0065​

系统动力学

随机振动

线性系统在平稳随机激励下的响应功率谱密度​

对于一个线性时不变系统，其频率响应函数为 H(ω)。当输入是一个平稳随机过程 X(t)， 其功率谱密度为 SXX​(ω)时，输出 Y(t)也是一个平稳随机过程，且其功率谱密度 SYY​(ω)和输入-输出互谱密度 SXY​(ω)分别为：
$S_{YY}(\omega) =

H(\omega)

^2 S{XX}(\omega)<br>S{XY}(\omega) = H(\omega) S_{XX}(\omega)$

1. 系统输入输出关系：在频域，输出傅里叶变换 Y(ω)=H(ω)X(ω)。
2. 输出 PSD 推导：根据 PSD 定义，$S{YY}(\omega) = \lim{T\to\infty} \frac{E[

Y_T(\omega)

^2]}{2T}。其中Y_T(\omega)是y_T(t)（y(t)的截断）的傅里叶变换。代入Y_T(\omega)=H(\omega)X_T(\omega)，得：<br>S{YY}(\omega) = \lim{T\to\infty} \frac{E[

H(\omega)X_T(\omega)

^2]}{2T} =

H(\omega)

TH-D1-0066​

系统动力学

非线性振动

相平面与奇点分类​

对于二阶自治系统 x¨+f(x,x˙)=0， 令 y=x˙， 可化为一阶方程组：
x˙=y， y˙​=−f(x,y)。
在 (x,y)平面（相平面）上，系统的运动状态表示为一条轨迹。满足 x˙=0且 y˙​=0的点 (x0​,y0​)称为奇点（平衡点）。在奇点附近线性化系统，根据雅可比矩阵特征根的性质，可将奇点分类为：结点、焦点、中心、鞍点。

1. 相平面构建：以位移 x和速度 y=x˙为坐标轴，构成相平面。系统的一个状态对应相平面中的一个点，运动过程形成一条轨迹（相轨迹）。
2. 平衡点定义：令 x˙=0,y˙​=0， 解出 (x0​,y0​)， 即系统可能静止的状态。
3. 线性化：在平衡点 (x0​,y0​)附近作泰勒展开，忽略高阶项：
{Δx˙=∂x∂g​Δx+∂y∂g​ΔyΔy˙​=∂x∂h​Δx+∂y∂h​Δy​， 其中 g(x,y)=y,h(x,y)=−f(x,y)。 系数矩阵 J即为雅可比矩阵。
4. 特征根分析：求解 $

J - \lambda I

= 0得到特征根\lambda_{1,2}。根据特征根的类型判断奇点类型：<br>−∗∗结点∗∗：\lambda_1, \lambda_2为同号实数。稳定结点（负实部），不稳定结点（正实部）。<br>−∗∗焦点∗∗：\lambda_1, \lambda_2为共轭复数。稳定焦点（实部负），不稳定焦点（实部正）。<br>−∗∗中心∗∗：\lambda_1, \lambda_2为纯虚数。<br>−∗∗鞍点∗∗：\lambda_1, \lambda_2$ 为异号实数。
5. 轨迹行为：结点和焦点附近的轨迹趋近或远离平衡点；中心附近的轨迹是闭合曲线（周期运动）；鞍点附近的轨迹呈双曲线型，存在两条渐近线（稳定流形和不稳定流形）。

条件：系统是二阶、自治的（f不显含时间 t）；在平衡点附近可线性化。
范围：是分析二阶非线性系统定性行为（稳定性、周期解）的经典几何方法。是理解非线性动力学的基础工具。

微分方程定性理论、动力系统

场景：分析单自由度非线性振子的稳定性（如 Duffing 振子、Van der Pol 振子）；研究简单生态模型（捕食者-被捕食者）；电路系统（如 LC 振荡器）的相图分析。
意义：将微分方程的解转化为相平面上的几何图形，直观地展示了系统所有可能的运动状态及其稳定性，无需精确求解非线性方程。

x：系统位移（或广义坐标）。
y=x˙：系统速度（或广义速度）。
(x0​,y0​)：平衡点（奇点）。
J：雅可比矩阵，在平衡点处取值。
λ1,2​：雅可比矩阵的特征值。
相轨迹：相平面上表示系统状态随时间演化的曲线。

几何方法：用图形（相图）代替解析解。
定性分析：关注解的长期行为和拓扑结构，而非精确表达式。
局部线性化：通过分析平衡点附近的线性系统来推断原非线性系统的局部性质。

TH-D1-0067​

系统动力学

非线性振动

极限环​

在相平面中，一个孤立的闭合轨迹称为极限环。它对应于非线性自治系统的周期解。极限环可以是稳定的、不稳定的或半稳定的。

1. 存在性：极限环是二阶（或更高维）非线性自治系统特有的现象，线性系统不可能有孤立的闭合轨迹（线性系统的闭合轨迹是连续族，如中心点周围的无穷多同心环）。
2. 稳定性定义：
- 稳定极限环：邻近的相轨迹随时间 t→+∞时趋近于该闭合轨迹。
- 不稳定极限环：邻近的相轨迹随时间 t→+∞时远离该闭合轨迹。
- 半稳定极限环：一侧的轨迹趋近，另一侧的轨迹远离。
3. 产生机制：通常由系统内的能量平衡机制产生。例如，Van der Pol 振子 x¨−μ(1−x2)x˙+x=0(μ>0)， 当振幅小时，负阻尼 (−x2x˙项占主导) 使系统获得能量，振幅增大；当振幅大时，正阻尼 (x˙项占主导) 使系统耗散能量，振幅减小。最终达到一个稳定的振幅，即稳定极限环。
4. 判断方法：没有通用的解析判据。常用方法包括：庞加莱-本迪克松定理（在平面有界区域内，若无平衡点，则轨迹必趋于极限环）、数值仿真、摄动法（如林德斯泰特-庞加莱法）求近似周期解。

条件：非线性自治系统；通常是二阶系统，在高维系统中也可能存在极限环（周期轨道）。
范围：是自激振动理论的核心概念。用于解释和建模那些不依赖于外部周期激励，而是由系统自身非线性特性产生的稳定周期振荡。

动力系统理论、非线性微分方程

场景：机械系统中的自激振动，如机床颤振、输电线舞动、刹车尖叫；电子振荡器（如 Van der Pol 振荡器）；生物节律（如心脏跳动、神经元放电）；化学反应中的振荡现象。
意义：揭示了非线性系统可以自发产生并维持稳定的周期运动，这是线性系统所不具备的特性。为理解和设计振荡器、分析不稳定现象提供了理论基础。

极限环：相平面中的孤立闭合轨迹。
周期解：x(t+T)=x(t)， 对应相平面上的闭合轨迹。
稳定性：由邻近轨迹的渐近行为定义。
庞加莱映射：用于研究极限环稳定性的工具。

孤立闭轨：与线性系统的中心点周围连续闭轨族不同。
非线性特有：线性系统不可能产生极限环。
稳定性多样性：稳定、不稳定、半稳定。

1. 建立系统模型：得到非线性自治微分方程。
2. 数值仿真：从不同初始条件出发，数值积分微分方程，绘制相轨迹。
3. 观察闭轨：观察是否存在孤立的闭合轨迹。
4. 分析稳定性：从极限环内外两侧选取邻近的初始点，观察其轨迹是趋近还是远离该闭轨，判断其稳定性。
5. 近似解析：对于弱非线性系统，可用摄动法（如平均法、多尺度法）求极限环振幅和频率的近似表达式。

代表了非线性系统中一种动态平衡的“闭合能量流”。在稳定极限环上，系统在一个周期内，由非线性机制提供的能量输入与由阻尼机制导致的能量耗散达到精确平衡。例如，在 Van der Pol 振子中，当振幅小时，非线性项提供负阻尼，相当于“泵入”能量，使振幅增大；当振幅大时，非线性项表现为正阻尼，“耗散”能量，使振幅减小。最终，系统状态被“吸引”到一个特定的闭合轨道上，形成稳定的周期振荡。这个闭合轨道就是极限环，它像一个吸引子，将附近的运动状态都吸引过来。极限环上的运动是自维持的，不需要外部周期激励，其振幅和频率由系统内部参数决定。

TH-D1-0068​

系统动力学

分析力学

刘维尔定理​

在哈密顿力学中，保守系统在相空间中的概率分布函数 ρ(q,p,t)沿着系统的运动轨迹是常数，即其物质导数为零：
dtdρ​=∂t∂ρ​+∑i=1n​(∂qi​∂ρ​q˙​i​+∂pi​∂ρ​p˙​i​)=0。
利用哈密顿正则方程，可导出连续性方程：
∂t∂ρ​+∑i=1n​(∂qi​∂(ρq˙​i​)​+∂pi​∂(ρp˙​i​)​)=0。
对于哈密顿系统，相空间体积在运动过程中保持不变。

1. 相空间与系综：考虑大量性质完全相同、但初始条件各异的系统构成的系综。系综在相空间中的分布用概率密度函数 ρ(q,p,t)描述。
2. 概率守恒：系综中的系统数守恒，类似于流体力学中的质量守恒。在相空间中，概率“流体”的流动满足连续性方程。
3. 推导连续性方程：在相空间体积元 dΓ=dq1​...dqn​dp1​...dpn​中，概率变化率等于流入该体积元的概率净通量。利用散度定理可得：
∂t∂ρ​+∑i​(∂qi​∂(ρq˙​i​)​+∂pi​∂(ρp˙​i​)​)=0。
4. 哈密顿系统特性：对于哈密顿系统，q˙​i​=∂pi​∂H​， p˙​i​=−∂qi​∂H​。 计算相空间速度场的散度：
∑i​(∂qi​∂q˙​i​​+∂pi​∂p˙​i​​)=∑i​(∂qi​∂pi​∂2H​−∂pi​∂qi​∂2H​)=0。
这表明相空间“流体”是不可压缩的。
5. 刘维尔定理：将散度为零代入连续性方程，并展开导数项：
∂t∂ρ​+∑i​(q˙​i​∂qi​∂ρ​+p˙​i​∂pi​∂ρ​)+ρ∑i​(∂qi​∂q˙​i​​+∂pi​∂p˙​i​​)=dtdρ​=0。
因此，沿着相轨迹，概率密度 ρ保持不变。

条件：系统是保守的，可由哈密顿量 H描述；相空间概率分布函数 ρ足够光滑。
范围：是统计力学和哈密顿动力学的基石。它保证了相空间中系综分布函数的演化具有保体积性，是推导平衡态统计分布（如微正则系综）的关键。

哈密顿力学、统计力学

场景：统计力学中推导平衡态分布；分子动力学模拟中验证算法是否保辛（辛算法能更好地保持刘维尔定理）；研究动力系统长期演化行为。
意义：揭示了保守哈密顿系统在相空间演化的几何性质——保体积性。这意味着相空间中的“概率流体”像不可压缩流体一样流动，不会聚集也不会稀释，为时间反演对称性和庞加莱回归定理等提供了基础。

ρ(q,p,t)：相空间中的概率密度函数。
q,p：n维广义坐标和广义动量向量。
H(q,p,t)：哈密顿函数。
dΓ：相空间体积元。
dtdρ​：沿相轨迹的物质导数（全导数）。

守恒律：概率密度沿轨迹守恒。
几何性质：相空间体积在哈密顿流下保持不变（保体积性）。
微分形式：表达为连续性方程或物质导数为零。

1. 确定系统的哈密顿量​ H(q,p)。
2. 写出正则方程，即相空间的速度场 (q˙​,p˙​)。
3. 计算速度场的散度：∇⋅v=∑(∂qi​∂q˙​i​​+∂pi​∂p˙​i​​)， 验证其为零。
4. 写出概率密度 ρ的连续性方程。
5. 代入散度为零的条件， 得到 dtdρ​=0， 即刘维尔定理。
6. 应用：在统计力学中，对于平衡态，∂t∂ρ​=0， 结合 dtdρ​=0可推出 ρ是运动积分（如能量 H）的函数。

描述了保守哈密顿系统在相空间中“概率流体”演化的不可压缩性。想象相空间像一个充满“概率粒子”的流体，每个粒子代表系统的一个可能状态。哈密顿正则方程定义了该流体的速度场。刘维尔定理指出，这个速度场的散度为零，意味着流体是不可压缩的。因此，在流动过程中，任何一块相空间体积元虽然形状会扭曲，但其体积保持不变。同时，流体中“概率密度” ρ的“物质导数”为零，意味着跟随一个“概率粒子”运动，其周围的概率密度不会改变。这保证了相空间中的概率分布像刚体一样被“搬运”，而不会发生扩散或集中，是统计力学中各态历经假说和微正则分布成立的动力学基础。

TH-D1-0069​

系统动力学

分析力学

泊松括号​

对于相空间中的任意两个动力学变量 A(q,p,t)和 B(q,p,t)， 其泊松括号定义为：
{A,B}=∑i=1n​(∂qi​∂A​∂pi​∂B​−∂pi​∂A​∂qi​∂B​)。
特别地，正则坐标满足基本泊松括号关系：
{qi​,qj​}=0， {pi​,pj​}=0， {qi​,pj​}=δij​。
动力学变量 A随时间的变化率为：dtdA​=∂t∂A​+{A,H}， 其中 H为哈密顿量。

1. 定义：泊松括号是一种双线性、反对称的微分运算，满足雅可比恒等式 {A,{B,C}}+{B,{C,A}}+{C,{A,B}}=0。
2. 与运动方程联系：取 A=qi​， 则 dtdqi​​=∂t∂qi​​+{qi​,H}=0+∑j​(∂qj​∂qi​​∂pj​∂H​−∂pj​∂qi​​∂qj​∂H​)=∂pi​∂H​， 这正是正则方程之一。类似地，取 A=pi​可得 dtdpi​​=−∂qi​∂H​。
3. 运动积分：若 A不显含时间且 {A,H}=0， 则 dtdA​=0， A是运动积分（守恒量）。
4. 正则变换的不变量：正则变换 (q,p)→(Q,P)保持泊松括号形式不变，即 {A,B}q,p​={A,B}Q,P​， 且新的坐标动量满足 {Qi​,Qj​}=0， {Pi​,Pj​}=0， {Qi​,Pj​}=δij​。

条件：系统可由正则变量 (q,p)描述；函数 A,B关于 (q,p)连续可微。
范围：是哈密顿力学中表述运动方程、寻找守恒量和研究对称性的优雅工具。也是经典力学向量子力学过渡的桥梁（对应量子力学中的对易子）。

辛几何、李代数

场景：简洁表达哈密顿系统的运动方程；判断物理量是否为守恒量；研究动力系统的对称性（诺特定理）；在摄动理论中研究近可积系统；量子力学中经典对应的建立。
意义：泊松括号将力学系统的代数结构清晰地展现出来。它将运动方程、守恒律和对称性统一在一个简洁的代数框架内，是理论物理学中极为重要的数学结构。

A,B：相空间中的任意动力学函数（物理量）。
{A,B}：A与 B的泊松括号。
H：系统的哈密顿函数。
δij​：克罗内克δ符号，i=j时为1，否则为0。

双线性：{aA+bB,C}=a{A,C}+b{B,C}。
反对称：{A,B}=−{B,A}。
满足雅可比恒等式。
莱布尼茨法则：{AB,C}=A{B,C}+{A,C}B。

1. 给定两个相空间函数​ A(q,p,t)和 B(q,p,t)。
2. 按定义计算：{A,B}=∑i​(∂qi​∂A​∂pi​∂B​−∂pi​∂A​∂qi​∂B​)。
3. 应用1：运动方程：任何量 A的时间导数 dtdA​=∂t∂A​+{A,H}。
4. 应用2：守恒量判断：若 ∂t∂A​=0且 {A,H}=0， 则 A守恒。
5. 应用3：正则变换验证：变换 (q,p)→(Q,P)是正则的，当且仅当新变量满足基本泊松括号关系。

泊松括号 {A,B}度量了两个物理量 A和 B在相空间“流动”方向上的“不可对易性”或“相互影响”。它可以理解为：沿着由 B生成的哈密顿流移动，物理量 A的变化率。特别地，{A,H}就是 A沿着由系统哈密顿量 H生成的真实运动轨迹的变化率（若 A不显含时间）。基本关系 {qi​,pj​}=δij​反映了坐标和其共轭动量之间的经典对易关系，是相空间基本辛结构的体现。泊松括号为零意味着两个量在运动中是“对易”的，其中一个量的守恒不会因另一个量的变化而改变。这种代数结构深刻地反映了力学系统的内在对称性和约束。

TH-D1-0070​

系统动力学

连续系统振动

一维波动方程​

描述一维均匀弹性介质（如弦、杆）中波传播的基本方程：
∂t2∂2u​=c2∂x2∂2u​。
其中 u(x,t)是偏离平衡位置的位移，c=T/ρ​（弦）或 c=E/ρ​（杆）是波速。

1. 模型建立：以均匀弦的横向振动为例。取微段 dx， 设弦的线密度为 ρ， 张力为 T。微段两端张力在垂直方向的分量差提供恢复力。
2. 受力分析：左端垂直力 $-T \sin\theta \approx -T \frac{\partial u}{\partial x}

_x，右端垂直力T \frac{\partial u}{\partial x}

_{x+dx}。合力为T \left( \frac{\partial u}{\partial x}

_{x+dx} - \frac{\partial u}{\partial x}

_x \right) \approx T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx。<br>∗∗3.运动方程∗∗：根据牛顿第二定律，(\rho dx) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx，两边除以\rho dx，得\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}。令c^2 = T/\rho，即得一维波动方程。<br>∗∗4.杆的纵向振动∗∗：类似推导，用应力应变关系\sigma = E\epsilon和牛顿定律，得到相同形式的方程，其中c^2 = E/\rho$。

条件：均匀介质；小变形；忽略阻尼和外部激励；张力 T恒定（对于弦）。
范围：是数学物理方程中最基本的双曲型方程。适用于描述一维结构中波的传播，如琴弦振动、声波在细杆中的传播、传输线方程等。

牛顿第二定律、弹性力学

场景：弦乐器（吉他、钢琴）的振动分析；地震波在地层中的一维传播模型；电缆或绳索的波动；杆状结构的纵向冲击响应。
意义：揭示了波传播的普遍规律：位移对时间的二阶导数与对空间的二阶导数成正比。其解具有行波形式，表明扰动以有限速度 c传播。是理解更复杂波动现象的基础。

TH-D1-0071​

系统动力学

连续系统振动

梁的横向自由振动微分方程（欧拉-伯努利梁）​

对于细长、等截面梁的横向小振幅自由振动，忽略剪切变形和转动惯量，其运动方程为：
EI∂x4∂4w​+ρA∂t2∂2w​=0。
其中 w(x,t)为横向位移，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为密度，A为横截面积。

1. 受力分析：从梁中取微段 dx。截面上的内力有剪力 Fs​和弯矩 M。根据材料力学，弯矩与曲率关系：M=−EI∂x2∂2w​（小变形下，曲率近似为 w′′）。
2. 平衡方程：
-

TH-D1-0071​

系统动力学

连续系统振动

梁的横向自由振动微分方程（欧拉-伯努利梁）​

对于细长、等截面梁的横向小振幅自由振动，忽略剪切变形和转动惯量，其运动方程为：
EI∂x4∂4w​+ρA∂t2∂2w​=0。
其中 w(x,t)为横向位移，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为密度，A为横截面积。

1. 受力分析：从梁中取微段 dx。截面上的内力有剪力 Fs​和弯矩 M。根据材料力学，弯矩与曲率关系：M=−EI∂x2∂2w​（小变形下，曲率近似为 w′′）。
2. 平衡方程：
- 垂直力平衡：∂x∂Fs​​dx=ρAdx∂t2∂2w​。
- 力矩平衡：∂x∂M​dx+Fs​dx=0（忽略转动惯量）。
3. 消去剪力：由力矩平衡得 Fs​=−∂x∂M​。 代入垂直力平衡方程：−∂x2∂2M​dx=ρAdx∂t2∂2w​。
4. 引入弯矩-曲率关系：将 M=−EIw′′代入上式，得到：
−∂x2∂2​(−EI∂x2∂2w​)=ρA∂t2∂2w​。
5. 简化得方程：对于等截面均匀梁，EI为常数，故 EI∂x4∂4w​+ρA∂t2∂2w​=0。

条件：细长梁（长度远大于截面尺寸）；材料线弹性；小变形（曲率近似为 w′′）；平截面假定；忽略剪切变形和截面转动惯量。
范围：是梁横向振动分析的基础理论，适用于大多数工程梁的低阶模态分析。对于短粗梁或高频振动，需使用 Timoshenko 梁理论。

弹性力学、达朗贝尔原理

场景：桥梁、楼板、飞机机翼、转子叶片、精密仪器悬臂等结构的自由振动分析；确定结构的固有频率和振型。
意义：提供了一个四阶偏微分方程来描述梁的弯曲波动。通过求解该方程的特征值问题，可以获得梁的固有频率和模态振型，是结构动力学模态分析的基础。

w(x,t)：梁在位置 x处、时间 t时的横向位移。
E：材料弹性模量 (Pa)。
I：横截面对中性轴的惯性矩 (m⁴)。
ρ：材料密度 (kg/m³)。
A：横截面积 (m²)。
M(x,t)：截面弯矩。
Fs​(x,t)：截面剪力。

四阶空间导数：反映了弯曲变形与内力（弯矩）的关系。
二阶时间导数：反映了惯性效应。
线性齐次 PDE：适用于自由振动。若考虑外激励 f(x,t)， 则方程为 EIw′′′′+ρAw¨=f(x,t)。

1. 建立方程：根据模型写出 EIw′′′′+ρAw¨=0。
2. 分离变量：设解为 w(x,t)=W(x)⋅T(t)， 代入方程得到 EIW(4)T+ρAWT¨=0， 分离得 ρAWEIW(4)​=−TT¨​=ω2（常数）。
3. 求解空间方程：得到本征值问题 W(4)−β4W=0， 其中 β4=EIρAω2​。 通解为 W(x)=C1​cos(βx)+C2​sin(βx)+C3​cosh(βx)+C4​sinh(βx)。
4. 应用边界条件：代入梁两端的边界条件（如固定、铰支、自由），得到关于系数 Ci​的齐次方程组。令系数行列式为零，得到特征方程，求解出无穷多个特征值 βn​。
5. 计算固有频率：由 ωn​=βn2​ρAEI​​得到各阶固有频率。
6. 确定振型：将 βn​代回，确定对应的振型函数 Wn​(x)（精确到常数因子）。

描述了梁在弯曲振动中“惯性流”与“弹性恢复力流”的动态平衡。方程左边第一项 EIw′′′′代表由于梁的弯曲变形而产生的弹性恢复力流密度。它是弯矩的二阶导数（即剪力梯度），最终表现为分布力。第二项 ρAw¨代表单位长度梁的惯性力流密度（质量乘以加速度）。方程表明，在自由振动中，每一点上因弯曲变形产生的净弹性力，完全用于平衡该点质量的惯性力。这是一个波动方程，其解对应着特定频率 ωn​和空间形态 Wn​(x)的驻波，即模态。不同模态代表了不同频率下，“惯性流”和“弹性恢复力流”在梁空间分布上达到共振平衡的状态。

TH-D1-0072​

系统动力学

连续系统振动

模态叠加法​

对于线性连续系统（如梁、板、壳），其受迫振动的响应可以表示为各阶固有模态（振型）的线性叠加：
w(x,t)=∑n=1∞​Wn​(x)qn​(t)。
其中 Wn​(x)是第 n阶模态振型（满足齐次边界条件），qn​(t)是对应的广义坐标（模态坐标）。通过坐标变换，可将偏微分方程解耦为无穷多个单自由度系统的常微分方程：
q¨​n​(t)+2ζn​ωn​q˙​n​(t)+ωn2​qn​(t)=Mn​1​Fn​(t)。
其中 Mn​=∫ρAWn2​dx为广义质量，Fn​(t)=∫f(x,t)Wn​(x)dx为广义力。

1. 模态展开假设：基于线性系统振动的完备性，任何满足边界条件的位移场 w(x,t)可展开为固有振型 Wn​(x)的级数。
2. 代入控制方程：将 w(x,t)=∑n​Wn​(x)qn​(t)代入连续系统的运动偏微分方程（如梁的方程 EIw′′′′+ρAw¨=f(x,t)）。
3. 利用正交性：固有振型关于质量和刚度加权正交，即 ∫ρAWm​Wn​dx=Mn​δmn​， ∫EIWm′′​Wn′′​dx=ωn2​Mn​δmn​。
4. 方程解耦：将展开式代入方程后，两边乘以 Wm​(x)并在整个域上积分。利用正交性，所有 m=n的项消失，得到仅关于 qn​(t)的方程：
Mn​q¨​n​+ωn2​Mn​qn​=∫f(x,t)Wn​(x)dx=Fn​(t)。
5. 引入阻尼：通常假设比例阻尼（如瑞利阻尼），使得阻尼项在模态坐标下也解耦，形式为 Cn​q˙​n​， 其中 Cn​=2ζn​ωn​Mn​。

条件：系统是线性的；阻尼是比例阻尼或经典阻尼，以保证解耦；固有振型 Wn​(x)已知且构成完备集。
范围：是求解线性连续系统动力响应的最有效方法之一。特别适用于对激励进行频域分析或只关注少数低阶模态贡献的情况。

线性代数、特征值问题、振动理论

场景：建筑结构在地震载荷下的响应分析；飞机机翼在湍流中的振动；汽车车身在路面激励下的动态响应；任何复杂线性结构的瞬态或稳态动力分析。
意义：将复杂的分布参数系统（无限自由度）的求解，转化为一系列单自由度系统（模态坐标）的求解。极大地简化了计算，并且物理意义清晰：总响应是各阶模态按一定权重（qn​(t)）的叠加。可以方便地截断高阶模态，进行降阶分析。

Wn​(x)：第 n阶模态振型函数（特征函数）。
qn​(t)：第 n阶模态坐标（广义坐标）。
ωn​：第 n阶固有频率。
ζn​：第 n阶模态阻尼比。
Mn​：第 n阶广义质量。
Fn​(t)：第 n阶广义力。
f(x,t)：分布激励力。

坐标变换：从物理坐标 w(x,t)变换到模态坐标 qn​(t)。
解耦：利用振型正交性，将耦合的偏微分方程解耦为独立的常微分方程。
叠加原理：总响应为各模态响应之和。

1. 进行模态分析：求解系统的无阻尼自由振动方程，得到固有频率 ωn​和振型 Wn​(x)。
2. 计算广义参数：计算各阶的广义质量 Mn​=∫ρAWn2​dx和广义刚度 Kn​=ωn2​Mn​。
3. 计算广义力：对给定的激励 f(x,t)， 计算 Fn​(t)=∫f(x,t)Wn​(x)dx。
4. 建立模态方程：对每一阶模态，写出解耦的方程：q¨​n​+2ζn​ωn​q˙​n​+ωn2​qn​=Fn​(t)/Mn​。
5. 求解模态坐标：用单自由度系统的方法（杜哈梅积分、频响函数等）求解每个 qn​(t)。
6. 叠加得到物理响应：w(x,t)=∑n​Wn​(x)qn​(t)。

体现了线性系统动力响应可以分解为一系列独立“模态通道”的贡献。每个模态 Wn​(x)定义了系统的一种特定的、空间固定的振动形态。广义坐标 qn​(t)则描述了该形态随时间参与的“强度”或“振幅”。模态叠加法的核心在于正交性，它保证了不同模态之间的能量不会相互交换，就像一个多维空间中的正交基。外部激励 f(x,t)通过投影到各个模态上（计算广义力 Fn​(t)）来“激发”这些模态。每个被激发的模态就像一个独立的单自由度振子，按照自己的固有频率 ωn​和阻尼比 ζn​演化。最终观测到的物理振动，是所有被激发模态的振动“流”在空间上的线性叠加。这种方法将复杂的连续系统振动，转化为多个简单振动的合成。

TH-D1-0073​

系统动力学

多体系统动力学

凯恩方程​

对于具有 n个自由度的多体系统，凯恩方程表述为：
∑i=1N​(Fi​⋅vi(k)​+Mi​⋅ωi(k)​)=0,k=1,2,...,n。
其中，N为刚体数目，Fi​和 Mi​是作用在第 i个刚体上的主动力主矢和对质心的主动力矩主矢。vi(k)​和 ωi(k)​分别是第 i个刚体质心的偏速度和刚体的偏角速度，对应于第 k个广义速度 q˙​k​。

1. 引入广义速度：选择广义坐标 qk​和广义速度 q˙​k​。偏速度定义为质心速度对广义速度的偏导数：vi(k)​=∂q˙​k​∂vi​​。 偏角速度类似定义。
2. 广义主动力：定义第 k个广义主动力 Fk​=∑i=1N​(Fi​⋅vi(k)​+Mi​⋅ωi(k)​)。 它反映了所有主动力/力矩在第 k个广义速度方向上的“功率贡献”。
3. 广义惯性力：类似地，定义第 k个广义惯性力 Fk∗​=∑i=1N​(−mi​ai​⋅vi(k)​−(Ii​⋅αi​+ωi​×(Ii​⋅ωi​))⋅ωi(k)​)。 其中 −mi​ai​和 −(Ii​⋅αi​+ωi​×(Ii​⋅ωi​))分别是惯性力和惯性力矩。
4. 凯恩方程：基于达朗贝尔原理（动态平衡），广义主动力与广义惯性力之和为零：Fk​+Fk∗​=0,k=1,...,n。 这就是凯恩方程的常见形式。
5. 简化形式：如果系统中所有作用力（包括约束力）在虚位移上做功之和为零（理想约束），则方程中只出现主动力，即表格中的核心表述形式。更一般的形式是 Fk​+Fk∗​=0。

条件：系统约束是理想的；需要正确计算偏速度和偏角速度。
范围：特别适用于包含复杂约束（如非完整约束）的多刚体系统。它避免了求解约束反力，直接建立关于广义坐标或广义速度的运动方程，计算效率高，便于计算机自动推导。

分析力学、达朗贝尔原理

场景：机器人动力学建模与控制；航天器姿态动力学；车辆多体动力学仿真；复杂机构（如并联机床）的运动方程自动生成。
意义：提供了一种系统化、程式化的方法推导多体系统动力学方程。它结合了矢量力学（力的分析）和分析力学（能量、广义坐标）的优点，尤其适合计算机符号推导，是现代多体系统动力学仿真软件的基石之一。

qk​：第 k个广义坐标。
q˙​k​：第 k个广义速度。
vi(k)​：第 i个刚体质心速度关于 q˙​k​的偏速度。
ωi(k)​：第 i个刚体角速度关于 q˙​k​的偏速度。
Fi​,Mi​：作用在第 i个刚体上的主动力主矢和主动力矩主矢（对质心）。
Fk​：第 k个广义主动力。
Fk∗​：第 k个广义惯性力。

功率形式：方程本质上是功率的平衡（主动力功率与惯性力功率之和为零）。
不出现约束力：对于理想约束，约束反力在偏速度上的投影为零，自动消去。
适用于非完整系统：直接使用广义速度，无需区分完整与非完整约束。

1. 选择广义速度​ q˙​k​。
2. 计算运动学量：用广义速度表示每个刚体的质心速度 vi​和角速度 ωi​， 进而计算加速度 ai​和角加速度 αi​。
3. 计算偏速度：vi(k)​=∂vi​/∂q˙​k​， ωi(k)​=∂ωi​/∂q˙​k​。
4. 计算广义主动力：Fk​=∑i​(Fi​⋅vi(k)​+Mi​⋅ωi(k)​)。
5. 计算广义惯性力：Fk∗​=∑i​(−mi​ai​⋅vi(k)​−(Ii​⋅αi​+ωi​×(Ii​⋅ωi​))⋅ωi(k)​)。
6. 建立方程：对每个 k， 令 Fk​+Fk∗​=0， 得到 n个关于 q˙​k​和 qk​的一阶微分方程（或通过积分得到二阶方程）。

凯恩方程是达朗贝尔原理在广义速度空间（切空间）上的投影。它将系统的动力学平衡条件，表达为在每一个独立的“运动方向”（由偏速度 vi(k)​和 ωi(k)​张成）上，主动力的“功率流”与惯性力的“功率流”之和必须为零。偏速度可以理解为：当仅让第 k个广义速度发生单位变化，而其他广义速度保持不变时，各个刚体所产生的虚拟运动模式。凯恩方程巧妙地避开了约束力的直接计算，因为对于理想约束，约束反力在这些“虚拟运动模式”上不做功（功率为零）。因此，方程直接建立了驱动系统的“主动功率流”与抵抗运动的“惯性功率流”之间的平衡关系，高效地描述了系统广义动量的变化率。

TH-D1-0074​

系统动力学

多体系统动力学

罗伯逊-维滕堡方法（Roberson-Wittenburg Method）​

一种基于图论和铰接体理论的系统化方法，用于推导复杂多体系统的动力学方程。其核心是利用通路矩阵和变换矩阵来描述系统中刚体之间的相对运动，并最终组装成系统的整体质量矩阵和力向量，方程形式为：
M(q)q¨​+C(q,q˙​)=Q(q,q˙​,t)。
其中，M是广义质量矩阵，C包含科里奥利力和离心力项，Q是广义力向量。

1. 系统拓扑描述：将多体系统抽象为一个有根树（或带环图）。每个刚体是一个顶点，铰（关节）是连接顶点的边。定义每个体相对于其内接体（向根方向）的铰坐标 qi​。
2. 运动学计算：
- 通路矩阵​ P：描述刚体之间的连接关系。Pij​=1表示体 j在从根到体 i的通路上。
- 变换矩阵：计算从惯性系到每个体连体系的变换矩阵 T0i​， 它是路径上所有铰变换矩阵的乘积。
- 速度/加速度递推：从根节点开始向外递推，计算每个体的角速度、角加速度、质心速度和加速度，这些量可表示为广义速度 q˙​和广义加速度 q¨​的线性函数。
3. 动力学组装：
- 广义惯性力：对每个刚体，计算其惯性力/力矩在主刚体（通常选根或惯性系）上的等效力系。利用速度影响系数矩阵（即偏速度矩阵）将各刚体的惯性贡献投影到广义坐标空间。
- 广义主动力：类似地，将作用在各刚体上的主动力/力矩投影到广义坐标空间。
- 组装方程：将所有刚体的广义惯性力和广义主动力相加，利用达朗贝尔原理或虚功原理，得到形如 Mq¨​+C=Q的方程。矩阵 M和向量 C通过系统的拓扑和惯性参数系统化地构造出来。

条件：系统由刚体通过理想铰连接而成；铰的特性（自由度、运动学关系）已知。
范围：特别适合由计算机自动生成复杂多体系统（如机器人、车辆、航天器）的动力学方程。是许多多体动力学仿真软件（如 ADAMS）的核心算法基础。

图论、旋量理论、分析力学

场景：工业机器人逆动力学计算；车辆平顺性与操纵稳定性仿真；卫星编队或空间机械臂的动力学建模；生物力学中人体运动的模拟。
意义：将多体系统动力学方程的推导过程完全算法化、程式化。通过系统拓扑和铰类型的描述，可以自动生成最小维数的运动方程，极大地提高了建模效率，并便于实现符号推导和数值计算。

q：系统的广义坐标向量（通常由各铰的相对坐标组成）。
M(q)：广义质量矩阵（或惯性矩阵），对称正定。
C(q,q˙​)：包含科里奥利力和离心力的向量。
Q：广义力向量（包含重力、外力和控制力等）。
P：通路矩阵，描述系统拓扑。
T0i​：从惯性系到第 i个刚体坐标系的变换矩阵。

系统化/程式化：有固定的步骤（运动学递推、动力学组装）。
基于图论：用矩阵描述系统拓扑结构。
最小维数方程：直接得到与系统自由度数目相等的方程，无需拉格朗日乘子。
适合数值计算：递推公式便于计算机迭代实现。

1. 系统拓扑描述：定义刚体、铰、建立有根树结构，编号。
2. 定义铰坐标和速度：为每个铰定义相对运动坐标 qi​和速度 q˙​i​。
3. 前向运动学递推：从根（基座）开始，向外递推计算每个刚体的位姿、角速度、角加速度、质心速度、质心加速度。这些量表示为 q˙​和 q¨​的函数。
4. 计算速度影响系数矩阵：从递推公式中提取出偏速度（即 q˙​的系数矩阵）。
5. 后向动力学递推：从末端刚体开始，向根方向递推计算每个刚体的惯性力/力矩，并利用速度影响系数矩阵将其投影到广义坐标空间，累加得到广义惯性力 −Mq¨​−C。
6. 计算广义主动力：将重力、外力等主动力同样投影到广义坐标空间，得到 Q。
7. 组装方程：令广义惯性力与广义主动力之和为零，得到最终方程 Mq¨​+C=Q。

该方法将复杂多体系统视为一个由“运动流”和“力流”网络构成的拓扑结构。前向运动学递推沿着树的枝干从根到叶传递“运动流”：每个铰的相对运动（广义速度 q˙​i​）像水流一样，从父物体流向子物体，叠加并变换，最终决定每个末端执行器的运动。后向动力学递推则相反，它从叶到根传递“力流”：末端物体的惯性效应和外力，通过各个铰关节，反向传递并叠加，最终在基座或广义坐标空间形成总的广义惯性力和广义主动力。通路矩阵和变换矩阵精确地描述了这种“运动流”和“力流”的传递路径与变换关系。最终方程 Mq¨​+C=Q是整个系统在广义坐标空间中的“动量平衡”表述，其中 M描述了系统的惯性分布如何影响广义加速度，C反映了由于系统内部运动（科里奥利效应、离心效应）产生的“惯性耦合流”。

TH-D1-0075​

系统动力学

分析力学

哈密顿原理​

在相同的时间端点 t1​和 t2​，以及相同的边界条件下，保守系统（或有势力系统）的真实运动路径，使作用量 S取驻值（通常为极小值）：
δS=δ∫t1​t2​​L(q,q˙​,t)dt=0。
其中 L=T−V为拉格朗日函数，T为动能，V为势能。

1. 作用量定义：定义泛函 S[q(t)]=∫t1​t2​​L(q(t),q˙​(t),t)dt， 它依赖于系统的路径 q(t)。
2. 变分：考虑真实路径 q(t)附近的一个微小变分 δq(t)， 满足 δq(t1​)=δq(t2​)=0。计算作用量 S的一阶变分 δS。
3. 变分计算：
δS=∫t1​t2​​(∂q∂L​δq+∂q˙​∂L​δq˙​)dt。
利用 δq˙​=dtd​(δq)并对第二项分部积分：
$\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d}{dt}(\delta q) dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right

{t_1}^{t_2} - \int{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q dt。<br>由于端点变分为零，边界项消失。<br>∗∗4.驻值条件∗∗：代入得\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \delta q dt = 0。<br>由于\delta q是任意的，根据变分法基本引理，被积函数必须为零：<br>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$。
这正是拉格朗日方程。

条件：系统是完整的（约束可积）；主动力有势（或部分有势，非有势部分可单独处理）；比较路径具有相同的端点时间和状态。
范围：是分析力学和理论物理的基石。适用于离散系统和连续系统（场论），是推导运动方程、场方程（如电磁场、引力场）的普遍原理。

变分法、最小作用量原理

场景：从第一性原理推导复杂机械系统、电路系统、电磁场系统的运动方程或场方程；有限元法中的弱形式推导；最优控制理论（如庞特里亚金最小值原理与之相关）。
意义：将力学规律归结为一个极值原理，具有高度的概括性和普适性。它从整体（整个时间历程）而非瞬时（牛顿第二定律）的角度描述自然规律，体现了自然界的“经济性”或“最优性”，是理论物理学统一框架的起点。

S：作用量，是一个泛函。
L：拉格朗日函数，L=T−V。
T：系统总动能。
V：系统总势能（保守力对应的）。
q,q˙​：广义坐标和广义速度。
δ：变分符号，表示函数的微小变化。

变分原理：真实路径使某个泛函（作用量）取驻值。
积分形式：考虑整个时间区间 [t1​,t2​]上的整体行为。
推导运动方程：通过变分运算，可导出拉格朗日方程或欧拉-拉格朗日方程。

1. 确定系统：明确系统的广义坐标 qi​。
2. 构造拉格朗日量：计算系统的动能 T和势能 V， 形成 L=T−V。
3. 定义作用量：S=∫t1​t2​​L(q,q˙​,t)dt。
4. 应用哈密顿原理：δS=0。
5. 执行变分运算：对 S进行变分，利用端点条件 δq(t1​)=δq(t2​)=0和分部积分。
6. 得到运动方程：令被积函数中 δq的系数为零，得到欧拉-拉格朗日方程 dtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=0。

TH-D1-0076​

系统动力学

分析力学

诺特定理​

对于一个力学系统，如果其作用量在某种连续变换下保持不变（即具有某种对称性），那么必然存在一个相应的守恒量。
具体地，设作用量 S=∫Ldt在无穷小变换 qi​→qi​+ϵΦi​(q,q˙​,t)下不变（ϵ为小参数），则存在守恒量：
I=∑i​∂q˙​i​∂L​Φi​−G， 其中 G是使得 δL=dtdG​的某个函数。

1. 对称变换：考虑依赖于参数 ϵ的连续变换 qi​(t)→Qi​(t,ϵ)， 且当 ϵ=0时，Qi​(t,0)=qi​(t)。其生成元为 $\Phi_i = \frac{\partial Q_i}{\partial \epsilon}

{\epsilon=0}。<br>∗∗2.作用量不变性∗∗：假设在该变换下，拉格朗日量可能变化一个全导数项，即L(Q, \dot{Q}, t) = L(q, \dot{q}, t) + \epsilon \frac{dG}{dt} + O(\epsilon^2)。则作用量S的变分为\delta S = \epsilon (G(t_2)-G(t_1))，仅依赖于端点。对于端点固定的变分，\delta S=0要求G(t_2)=G(t_1)，但更一般地，作用量的不变性意味着运动方程的不变性。<br>∗∗3.推导守恒量∗∗：计算拉格朗日量在变换下的变分\delta L，并利用运动方程（欧拉−拉格朗日方程）进行化简。经过推导可得：<br>\frac{d}{dt} \left( \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}i} \Phi_i - G \right) = 0。<br>因此，量I = \sum_i p_i \Phi_i - G是守恒的，其中p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}i}为广义动量。<br>∗∗4.经典对应∗∗：<br>−∗∗时间平移不变性∗∗(t \to t+\epsilon)：若L不显含时间，则能量H = \sum_i p_i \dot{q}i - L守恒。<br>−∗∗空间平移不变性∗∗(x_i \to x_i + \epsilon)：若L在某个方向平移下不变，则该方向的线动量守恒。<br>−∗∗空间旋转不变性∗∗：若L$ 在旋转下不变，则角动量守恒。

条件：系统可由作用量原理描述；存在连续对称变换使作用量保持不变（至多相差一个边界项）。
范围：是理论物理学的核心定理之一，连接了对称性与守恒律。适用于经典力学、场论、量子力学等。

群论、变分法、理论物理

场景：在粒子物理中，由规范对称性导出电荷守恒；在广义相对论中，由时空对称性导出能量-动量守恒；在经典力学中，快速判断系统的守恒量（能量、动量、角动量）。
意义：深刻揭示了物理学中对称性与守恒律之间的内在联系。它告诉我们，自然界每一种连续的对称性（变换下作用量不变），都对应着一个物理量的守恒。这是现代物理学构建理论的基本指导原则之一。

ϵ：无穷小变换参数。
Φi​：变换的生成元，描述了广义坐标的变化方式。
G：保证拉格朗日量变化至多为全导数的函数。
I：由对称性导出的守恒量（诺特荷）。
pi​：广义动量。

深刻对应：对称性 ↔守恒律。
构造性：给出了由对称变换生成元 Φi​和函数 G直接计算守恒量的公式。
普适性：适用于任何由作用量描述的物理理论。

1. 识别对称性：分析系统的拉格朗日量 L， 找出其在何种连续变换下保持不变（或仅改变一个全导数）。
2. 写出无穷小变换：qi​→qi​+ϵΦi​， 并确定生成元 Φi​。如果 L的变化为 δL=ϵdtdG​， 确定函数 G。
3. 计算广义动量：pi​=∂q˙​i​∂L​。
4. 构造守恒量：I=∑i​pi​Φi​−G。
5. 验证：利用运动方程验证 dtdI​=0。

TH-D1-0077​

系统动力学

稳定性理论

李雅普诺夫直接法（第二方法）​

对于自治系统 x˙=f(x)， f(0)=0（原点为平衡点）。如果存在一个标量函数 V(x)， 满足：
1. V(x)在原点某邻域内正定（V(0)=0， 且 x=0时 V(x)>0）。
2. V˙(x)=dtdV​=∇V⋅f(x)在该邻域内负定（V˙(0)=0， 且 x=0时 V˙(x)<0）。
则系统的平衡点 x=0是渐近稳定的。
若 V˙(x)半负定（V˙(x)≤0）， 则平衡点是稳定的（非渐近）。
若存在 V(x)使得 V˙(x)正定，则平衡点是不稳定的。

1. 基本思想：不直接求解微分方程，而是构造一个类似于“能量”的标量函数 V(x)（李雅普诺夫函数），通过分析 V及其沿系统轨迹的导数 V˙的符号来判断稳定性。
2. 稳定性直观解释：
- V(x)正定：V在原点处有极小值，像一个“碗”。
- V˙(x)负定：沿系统轨迹，V的值随时间严格递减。这意味着状态 x(t)将不断向 V值更小的等值面移动，最终趋于原点（V的最小值点）。
- V˙(x)半负定：V不增加，状态轨迹不会跑出某个 V等值面，但不一定趋于原点（可能收敛到 V˙=0的集合）。
3. 寻找 V函数：没有通用方法。对于机械系统，常取总机械能（动能+势能）或其变形作为候选函数。对于一般系统，需要经验和技巧。
4. 定理推广：有关于全局渐近稳定、指数稳定、以及非自治系统 $\dot{\mathbf{x}}

TH-D1-0078​

系统动力学

经典力学

牛顿第二定律​

物体动量随时间的变化率等于作用在该物体上的合外力：F=dtdp​=dtd(mv)​。对于质量不变的系统，简化为 F=ma。

1. 实验基础：基于伽利略斜面实验和牛顿本人的研究，总结出力与加速度的瞬时正比关系。
2. 动量表述：更一般的表述是力等于动量的变化率，这能自然处理变质量问题。
3. 矢量性：力和加速度都是矢量，方程在惯性系中成立。
4. 证明思路：该定律是物理学的基本公设，无法从更基本的原理推导，其正确性由无数实验验证。在分析力学中，它可以作为欧拉-拉格朗日方程在笛卡尔坐标下的特例导出。

条件：适用于宏观、低速（远低于光速）的物体；在惯性参考系中成立；物体可视为质点或刚体（平动）。
范围：是经典力学的基石，奠定了整个动力学的基础。在相对论和量子领域需要修正。

实验归纳、公理化体系

场景：所有机械系统的运动分析和受力计算；结构动力学中惯性力的计算（达朗贝尔原理）；车辆、飞机、航天器的轨迹规划与控制。
意义：提供了动力学分析最直接和根本的方程。它将系统的运动（加速度）与原因（力）联系起来，是解决任何动力学问题的起点。

F：作用在物体上的合外力（矢量）。
p：物体的动量，p=mv。
m：物体的质量（惯性质量）。
v：物体的速度。
a：物体的加速度，a=dv/dt。

因果律：力是原因，加速度是瞬时结果。
矢量方程：在三个空间方向上独立成立。
二阶微分方程：决定了位置随时间演化的规律。

1. 受力分析：隔离研究对象，画出所有外力。
2. 建立方程：在选定的惯性系中，沿各坐标轴列出 ∑Fx​=max​等分量式。
3. 运动学关联：将加速度 a表示为位置对时间的二阶导数。
4. 求解方程：结合初始条件，求解微分方程得到运动规律 r(t)。
5. 分析结果：解释运动的轨迹、速度、时间等特性。

牛顿第二定律描述了“动量流”的守恒关系。外力 F是输入系统的动量流率，即单位时间内注入系统的动量。物体的动量 p是系统存储的动量存量。定律 F=dp/dt表明：外力引起的动量流入率，等于系统内动量存量的变化率。当质量不变时，动量变化体现为速度变化（加速度）。这一定律是“流平衡”思想在力学中最原始的体现：推动一个物体，就是在持续地向它输送动量。

TH-D1-0079​

系统动力学

分析力学

达朗贝尔原理​

在任意瞬时，作用于一个质点系上的所有主动力 Fi​和惯性力 −mi​ai​在系统的任何虚位移 δri​上所做的虚功之和为零：
∑i​(Fi​−mi​ai​)⋅δri​=0。

1. 牛顿第二定律：对每个质点有 Fi​+Ri​=mi​ai​， 其中 Ri​是约束力。
2. 理想约束假设：约束力在虚位移上不做功，即 ∑i​Ri​⋅δri​=0。
3. 移项与虚功：将牛顿方程写为 Fi​−mi​ai​=−Ri​。两边点乘虚位移 δri​并对所有质点求和：∑i​(Fi​−mi​ai​)⋅δri​=−∑i​Ri​⋅δri​=0。
4. 得到原理：由此即得达朗贝尔原理。它将动力学问题转化为瞬时静力学平衡问题，其中 −mi​ai​被视为“惯性力”。

条件：约束是理想的（约束力在虚位移上不做功）；虚位移满足瞬时约束条件。
范围：适用于完整系统，是推导拉格朗日方程的关键桥梁。它将矢量力学与分析力学联系起来。

牛顿力学、虚功原理

场景：复杂机械系统（如机构、机器人）的动力学建模；多体系统动力学方程的推导；结构动力学中动载荷的分析。
意义：提供了处理约束系统动力学的强大方法。通过引入“惯性力”，将动力学问题转化为静力学问题，简化了思维和计算。是有限元法中动力分析的基础。

Fi​：作用在质点 i上的主动力。
−mi​ai​：质点 i的惯性力（达朗贝尔力）。
δri​：质点 i的虚位移（满足约束的任意无穷小位移）。
Ri​：作用在质点 i上的约束力。

动静法：将动力学问题转化为静力平衡问题。
标量形式：使用虚功（标量）代替矢量力平衡。
瞬时性：原理在每一瞬时都成立。

1. 分析系统：确定所有主动力 Fi​。
2. 施加惯性力：对每个质点，施加惯性力 −mi​ai​。
3. 考虑虚位移：给出系统一组满足约束的虚位移 δri​。
4. 计算虚功：计算所有主动力和惯性力在该虚位移上做的虚功之和。
5. 令和为零：根据原理，该虚功和为零。由此得到系统的运动微分方程。

达朗贝尔原理是“力流”平衡的瞬时表述。它将真实的主动力 Fi​和虚构的惯性力 −mi​ai​放在同等地位，认为在每一瞬间，这些“力”在系统可能的虚位移模式上所做的“功率流”之和为零。惯性力 −ma代表了质量对运动状态改变的“惯性抵抗流”。原理的本质是：在由真实力和惯性力共同构成的“广义力场”中，系统在任意虚位移方向上都没有净的“功率流”。这保证了动力学演化路径与约束的兼容性。

TH-D1-0080​

系统动力学

分析力学

虚功原理​

对于一个处于平衡状态的静力学系统，所有主动力在系统的任何一组虚位移上所做的虚功之和为零：
∑i​Fi​⋅δri​=0。

1. 平衡条件：系统平衡时，每个质点合力为零：Fi​+Ri​=0， 其中 Ri​为约束力。
2. 理想约束：约束力在虚位移上不做功：∑i​Ri​⋅δri​=0。
3. 点乘与求和：将平衡方程 Fi​=−Ri​两边点乘虚位移 δri​并求和：∑i​Fi​⋅δri​=−∑i​Ri​⋅δri​=0。
4. 得到原理：对于平衡系统，主动力的虚功和为零。反之，如果对于所有满足约束的虚位移，主动力虚功和为零，且约束是理想的，则系统平衡（充分必要条件）。

条件：系统处于静力学平衡；约束是理想的、定常的；虚位移是无穷小、满足约束的任意位移。
范围：是分析静力学的基础，特别适用于复杂约束系统。是达朗贝尔原理在加速度为零时的特例。

静力学、变分原理

场景：机构静力分析（求平衡位置、约束反力）；结构力学中利用虚位移法求内力；柔性机构的平衡构型分析。
意义：提供了求解静力学平衡问题的普遍方法，避免了直接求解复杂的约束力。它是有限元法中求解平衡方程的理论基础之一。

Fi​：作用在质点 i上的主动力。
δri​：质点 i的虚位移（满足约束的任意无穷小位移）。
Ri​：约束力。

标量化：将矢量平衡问题转化为标量虚功计算。
变分原理：基于虚位移的变分思想。
充分必要：在理想约束下，虚功原理是平衡的充要条件。

1. 确认平衡：明确系统处于静止状态。
2. 分析主动力：确定所有主动力 Fi​（重力、外力等）。
3. 给出虚位移：根据约束条件，给系统一组协调的虚位移 δri​。通常用一个或多个广义坐标的变分 δqj​表示。
4. 计算虚功：δW=∑i​Fi​⋅δri​， 并将其表示为 ∑j​Qj​δqj​， 其中 Qj​为广义力。
5. 令虚功为零：由于 δqj​的独立性，由 δW=0推出所有广义力 Qj​=0， 得到平衡方程。

虚功原理描述了静力学系统中“能量流”的平衡。虚位移 δri​是系统在平衡位置附近所有可能发生的微小“构型流”。主动力 Fi​在这些虚位移上做的虚功 δW， 代表了如果系统真的沿该方向发生位移，外力将输入系统的能量流。原理 δW=0表明：在平衡位置，沿任何可能的虚位移方向，净能量流均为零。系统没有自发沿任何方向运动的趋势，所有能量输入通道都被“堵塞”或平衡。这是静力学平衡最本质的“流”表述。

TH-D1-0081​

系统动力学

分析力学

哈密顿原理​

在所有满足固定端点条件 q(t1​)=q1​， q(t2​)=q2​的可能运动路径 q(t)中，真实发生的路径是使作用量 S取驻值（通常为极小值）的那一条：
δS=δ∫t1​t2​​L(q,q˙​,t)dt=0。
其中 L=T−V为拉格朗日量。

1. 作用量定义：定义泛函 S[q(t)]=∫t1​t2​​L(q,q˙​,t)dt。
2. 变分计算：考虑真实路径 q(t)的一个变分 q(t)+ϵη(t)， 其中 η(t1​)=η(t2​)=0。计算作用量的一阶变分：
δS=∫t1​t2​​(∂q∂L​δq+∂q˙​∂L​δq˙​)dt。
3. 分部积分：对第二项分部积分，利用端点条件消去边界项：
$\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right

{t_1}^{t_2} - \int{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q dt = - \int{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q dt。<br>∗∗4.得到欧拉−拉格朗日方程∗∗：代入得\delta S = \int{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \delta q dt = 0。由于\delta q任意，故被积函数必须为零：\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0$。这就是系统的运动方程。

条件：系统是完整、保守的；作用量积分存在；端点固定；拉格朗日量 L足够光滑。
范围：是分析力学和理论物理的基石。它用变分原理统一表述了力学规律，可推广到场论和量子力学。

变分法、最小作用量原理

场景：推导复杂机械系统的运动方程；经典力学到量子力学的过渡（路径积分）；最优控制理论（变分法）；有限元法中的能量原理。
意义：提供了力学最高层次的原理性表述。它将动力学问题转化为求泛函极值的问题，具有极大的概括性和美感。是连接物理学各分支的桥梁。

S：作用量，是一个泛函。
L：拉格朗日函数，L=T−V。
q(t)：广义坐标随时间的变化路径。
δq：路径的变分（虚位移）。
t1​,t2​：固定的初始和终止时间。

变分原理：真实路径由泛函驻值条件决定。<br全局性：比较整条路径，而非瞬时状态。
微分方程的积分形式：将局部微分方程（欧拉-拉格朗日方程）转化为全局积分条件。

1. 建立拉格朗日量：根据系统动能 T和势能 V， 写出 L(q,q˙​,t)=T−V。
2. 定义作用量：S=∫t1​t2​​Ldt。
3. 应用哈密顿原理：真实路径 q(t)满足 δS=0， 即作用量的一阶变分为零。
4. 推导运动方程：通过变分计算，得到欧拉-拉格朗日方程 dtd​(∂q˙​∂L​)−∂q∂L​=0。
5. 求解方程：结合初始条件，求解微分方程得到真实运动 q(t)。

TH-D1-0082​

系统动力学

分析力学

拉格朗日方程​

对于具有 n个广义坐标 qi​的完整系统，运动方程为：
dtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=0,i=1,...,n。
其中 L(q,q˙​,t)=T−V为拉格朗日量。对于非保守系统，右侧增加广义力 Qi​：
dtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=Qi​。

1. 从哈密顿原理导出：这是最优雅的推导。由哈密顿原理 δ∫Ldt=0， 经过变分计算（如 TH-D1-0081 所述），直接得到上述方程。
2. 从达朗贝尔原理导出：更具力学直观。对每个质点应用达朗贝尔原理：∑i​(Fi​−mi​ai​)⋅δri​=0。将 δri​用广义坐标表示：δri​=∑j​∂qj​∂ri​​δqj​。代入并整理，利用动能 T的表达式，最终可化为拉格朗日方程的形式。
3. 关键步骤：证明过程中需要用到关系式 ∂q˙​j​∂r˙i​​=∂qj​∂ri​​以及 dtd​(∂qj​∂ri​​)=∂qj​∂r˙i​​。

条件：系统是完整的（约束方程不含速度，或可积分）；理想约束；拉格朗日量 L足够光滑。
范围：是处理复杂约束系统动力学的标准工具。它用最少的变量（广义坐标）描述系统，自动消去了理想约束力，方程形式统一简洁。

变分原理、分析力学

场景：机器人动力学建模与控制；多体系统仿真；航天器姿态动力学；车辆悬架系统分析；任何复杂机械系统的运动方程推导。
意义：是经典力学从矢量形式向分析形式飞跃的标志。它使得动力学方程的推导变得系统化和程式化，特别适合计算机符号推导。是计算多体动力学的基础。

qi​：第 i个广义坐标。
q˙​i​：第 i个广义速度。
L：拉格朗日函数，L=T−V。
T：系统动能（表示为广义坐标和速度的函数）。
V：系统势能。
Qi​：非保守广义力（对应广义坐标 qi​）。

二阶常微分方程组：关于 qi​(t)的方程。
标量形式：方程由能量标量 L导出，无需处理矢量力分解。
自动消约束：理想约束力不出现在最终方程中。

1. 选择广义坐标：确定能唯一确定系统位形且独立的坐标 q1​,...,qn​。
2. 写出动能和势能：将 T和 V用广义坐标和速度表示。
3. 构造拉格朗日量：L=T−V。
4. 代入拉格朗日方程：对每个 qi​， 计算 ∂qi​∂L​， ∂q˙​i​∂L​， 然后求 dtd​(∂q˙​i​∂L​)。
5. 列出方程：写出 dtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=0（或 =Qi​）。
6. 简化与求解：简化方程，并结合初始条件求解。

拉格朗日方程描述了广义坐标空间中“广义动量流”与“广义力势”的平衡。定义广义动量 pi​=∂L/∂q˙​i​， 它是系统在广义方向 qi​上的“运动趋势存量”。方程 dtd​pi​=∂qi​∂L​+Qi​表明：广义动量 pi​的变化率（广义动量流），由两部分驱动：一是拉格朗日量对坐标的偏导 ∂L/∂qi​（来自保守势的“广义力势流”），二是非保守广义力 Qi​（外部输入的“广义力流”）。动能 T贡献了广义动量，势能 V贡献了广义力。这个方程统一了各种力学系统的演化规律，其核心是广义能量（拉格朗日量）在广义坐标和速度空间中的“梯度流”平衡。

TH-D1-0083​

系统动力学

分析力学

哈密顿正则方程​

通过勒让德变换，将拉格朗日方程化为关于广义坐标 qi​和广义动量 pi​的一阶对称方程组：
q˙​i​=∂pi​∂H​,p˙​i​=−∂qi​∂H​,i=1,...,n。
其中哈密顿函数 H(q,p,t)=∑i​pi​q˙​i​−L(q,q˙​,t)。

1. 定义广义动量：pi​=∂q˙​i​∂L​。
2. 勒让德变换：从变量 (q,q˙​,t)变换到 (q,p,t)。定义哈密顿量 H(q,p,t)=∑i​pi​q˙​i​(q,p,t)−L(q,q˙​(q,p,t),t)。
3. 计算微分：计算 H的全微分：
dH=∑i​(q˙​i​dpi​+pi​dq˙​i​)−(∑i​∂qi​∂L​dqi​+∂q˙​i​∂L​dq˙​i​+∂t∂L​dt)。
利用 pi​=∂L/∂q˙​i​， 消去 pi​dq˙​i​和 ∂q˙​i​∂L​dq˙​i​， 得到：
dH=∑i​(q˙​i​dpi​−∂qi​∂L​dqi​)−∂t∂L​dt。
4. 与拉格朗日方程联系：由拉格朗日方程知 ∂qi​∂L​=dtd​pi​=p˙​i​。
5. 得到正则方程：将 p˙​i​代入，并比较 dH的表达式：
dH=∑i​(q˙​i​dpi​−p˙​i​dqi​)−∂t∂L​dt。
另一方面，从 H=H(q,p,t)有 dH=∑i​(∂qi​∂H​dqi​+∂pi​∂H​dpi​)+∂t∂H​dt。
比较系数，即得 q˙​i​=∂pi​∂H​， p˙​i​=−∂qi​∂H​， 以及 ∂t∂H​=−∂t∂L​。

条件：变换 pi​=∂L/∂q˙​i​可逆（即 Hessian 矩阵 ∂2L/∂q˙​i​∂q˙​j​非奇异）；系统完整。
范围：是分析力学和统计力学的核心。它将运动方程化为对称的一阶形式，便于理论分析、数值积分和量子化。

勒让德变换、辛几何

场景：天体力学和航天轨道计算；分子动力学模拟；量子力学的经典对应；最优控制（哈密顿体系）；动力系统理论的研究。
意义：揭示了力学系统内在的对称结构和几何性质。正则方程具有辛结构，保证了相体积守恒（刘维尔定理），是连接经典与量子力学的桥梁。

qi​：广义坐标。
pi​：广义动量，pi​=∂L/∂q˙​i​。
H：哈密顿函数，系统总能量（若 L不显含 t）。
q˙​i​：广义速度。
p˙​i​：广义动量的变化率。

一阶对称方程组：关于 q和 p的方程形式对称优美。
辛结构：方程可写为 z˙=J∇H， 其中 J是辛矩阵。
相空间描述：在 2n维相空间中描述系统。

1. 建立拉格朗日量：L=T−V。
2. 定义广义动量：pi​=∂L/∂q˙​i​。
3. 反解广义速度：从 pi​=pi​(q,q˙​,t)反解出 q˙​i​=q˙​i​(q,p,t)。
4. 构造哈密顿量：H=∑i​pi​q˙​i​(q,p,t)−L(q,q˙​(q,p,t),t)。
5. 写出正则方程：q˙​i​=∂H/∂pi​， p˙​i​=−∂H/∂qi​。
6. 求解与分析：在相空间中分析系统的运动。

哈密顿正则方程描述了相空间中“状态流”的哈密顿梯度场。相空间点 z=(q,p)代表系统的完整状态。哈密顿量 H是这个空间上的一个标量场（能量场）。方程 q˙​=∂H/∂p， p˙​=−∂H/∂q表明：状态点 z的运动速度，由哈密顿量 H的梯度场 ∇H经过一个固定的旋转（辛矩阵 J）所决定。这个“流” z˙=J∇H就是哈密顿流。它具有关键性质：1. 沿流 H守恒（能量守恒）；2. 流保持相空间的辛结构（面积/体积守恒）。因此，系统的演化可以看作相空间中一个不可压缩的、沿等能面流动的“流体”。这是对动力学最几何化、最深刻的描述之一。

TH-D1-0084​

系统动力学

稳定性理论

李雅普诺夫直接法（第二方法）​

设 x=0是系统 x˙=f(x)的一个平衡点。如果存在一个标量函数 V(x)， 满足：
1. V(x)在原点某邻域内正定（V(0)=0， 且 V(x)>0对 x=0）。
2. V˙(x)=dtdV​=∇V⋅f(x)在同样邻域内负定（V˙(0)=0， 且 V˙(x)<0对 x=0）。
则平衡点 x=0是渐近稳定的。若 V˙仅为负半定，则平衡点是稳定的（非渐近）。函数 V(x)称为李雅普诺夫函数。

1. 能量类比：李雅普诺夫函数 V(x)可以看作系统的一种“广义能量”。稳定性要求能量为正，且沿轨迹不断衰减（V˙<0）。
2. 证明思路（渐近稳定）：
- 稳定性：对于任意 ϵ>0， 由于 V连续正定，存在 δ>0使得 ∥x0​∥<δ时 V(x0​)<α(ϵ)， 其中 α是 V的类 K函数。由于 V˙≤0， V不增，故轨迹始终满足 V(x(t))<α(ϵ)， 从而 ∥x(t)∥<ϵ。
- 吸引性：利用 V˙负定和 V正定，可以证明 limt→∞​V(x(t))=0， 从而 limt→∞​x(t)=0。严格证明需要用到不变集原理（LaSalle 不变性原理）。
3. 关键：构造合适的 V函数是应用该方法的核心和难点。

条件：系统是自治的（或可化为自治）；平衡点位于原点；能构造出满足条件的李雅普诺夫函数 V(x)。
范围：是判断非线性系统稳定性的最强大和通用的方法之一。它不依赖于线性化，能给出大范围稳定性的结论。

稳定性理论、能量法

场景：机器人控制器的稳定性设计（如计算力矩控制）；电力系统暂态稳定性分析；航空航天器姿态稳定控制；化学反应器的稳定性分析。
意义：提供了分析非线性系统稳定性的直接工具，避免了线性化的局限性。它是现代控制理论中设计稳定控制律的基础（如 backstepping, 滑模控制）。

x：系统状态向量。
V(x)：李雅普诺夫函数（候选）。
V˙(x)：V沿系统轨迹的时间导数，V˙=∑i​∂xi​∂V​x˙i​=∇V⋅f(x)。
正定：V(0)=0且 V(x)>0对 x=0。
负定：V˙(0)=0且 V˙(x)<0对 x=0。

充分条件：找到 V函数则稳定，找不到不能断定不稳定。
能量函数：V不一定是物理能量，可以是任何正定函数。
大范围稳定：若 V径向无界（即 ∥x∥→∞时 V→∞）， 且 V˙负定，则全局渐近稳定。

1. 确定平衡点：通常平移至原点 x=0。
2. 选取候选 V函数：常选二次型 V=xTPx（P正定），或根据系统物理意义构造。
3. 计算 V˙：V˙=∇V⋅f(x)。
4. 判断定号性：检查 V是否正定，V˙是否负定（或负半定）。可利用 Sylvester 判据等。
5. 得出结论：若 V正定，V˙负定，则原点渐近稳定；若 V˙负半定，需进一步分析（如用 LaSalle 原理）判断是否渐近稳定。

李雅普诺夫直接法描述了系统状态空间中“能量流”的耗散过程。李雅普诺夫函数 V(x)定义了状态空间中的一个“能量盆地”。V正定意味着原点处于盆地底部。V˙(x)=∇V⋅f(x)是 V沿系统轨迹方向的方向导数，代表了能量沿轨迹的变化率，即“能量流”。负定​ V˙<0意味着无论系统从盆地中的哪一点出发，其“能量”都严格单调递减，状态点必然沿着能量下降的方向“流”向盆地底部（原点），从而实现渐近稳定。负半定​ V˙≤0意味着能量不增加，状态点不会跑出某个等能面，但不保证一定流向原点，可能停留在某个不变集上（稳定但非渐近）。该方法的核心思想是：稳定性取决于能否找到一个“能量函数”，其沿系统动力学的“流”是耗散的。

TH-D1-0085​

系统动力学

稳定性理论

李雅普诺夫间接法（第一方法）​

对于非线性系统 x˙=f(x)， 设 x=0是平衡点，f连续可微。计算雅可比矩阵 A=Df(0)。则：
1. 若 A的所有特征值实部均为负，则平衡点渐近稳定。
2. 若 A至少有一个特征值实部为正，则平衡点不稳定。
3. 若 A的特征值实部均非正，但存在实部为零的特征值（且无正实部特征值），则稳定性不能由线性化决定，需用其他方法（中心流形定理等）。

1. 线性化：在平衡点附近将系统展开：x˙=Ax+g(x)， 其中 g(x)包含高阶项，且 ∥g(x)∥/∥x∥→0当 x→0。
2. 线性系统稳定性：线性系统 x˙=Ax的稳定性完全由 A的特征值决定：所有特征值实部为负则渐近稳定；有正实部则不稳定。
3. 非线性扰动的影响：可以证明，当线性部分渐近稳定时，高阶项 g(x)在足够小的邻域内不会破坏稳定性（通过构造合适的李雅普诺夫函数）。当线性部分不稳定时，高阶项也无法镇定系统。当线性部分临界稳定（有零实部特征值）时，高阶项可能决定稳定性，因此线性化无法给出结论。
4. 证明关键：利用线性系统的李雅普诺夫方程 ATP+PA=−Q（Q正定）构造 V(x)=xTPx作为原非线性系统的局部李雅普诺夫函数。

条件：f在平衡点处连续可微；只给出平衡点局部稳定性的信息。
范围：是判断平衡点局部稳定性最常用、最简便的方法。对于大多数工程系统，线性化稳定性结论是可靠的。临界情况需要进一步分析。

线性系统理论、特征值分析

场景：快速评估控制系统在工作点附近的局部稳定性；判断机器人平衡姿态的稳定性；分析电力系统运行点的静态稳定性；化学反应平衡点的稳定性初步判断。
意义：将复杂的非线性系统稳定性问题，在局部简化为线性代数问题（求特征值），极大地降低了分析难度。是控制系统设计和分析中不可或缺的工具。

x：系统状态向量。
A：雅可比矩阵，Aij​=∂xj​∂fi​​(0)。
λi​：矩阵 A的特征值。
Re(λi​)：特征值 λi​的实部。
g(x)：非线性高阶项。

局部性：结论仅适用于平衡点足够小的邻域内。
特征值判据：稳定性由特征值实部的符号直接决定。
临界情况不确定：当存在零实部特征值时失效。

1. 计算雅可比矩阵：$A = \left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \right

_{\mathbf{x}=0}。<br>∗∗2.求特征值∗∗：计算A的特征值\lambda_1, ..., \lambda_n。<br>∗∗3.检查实部符号∗∗：<br>−若所有\text{Re}(\lambda_i) < 0，则原点∗∗局部渐近稳定∗∗。<br>−若存在某个\text{Re}(\lambda_i) > 0，则原点∗∗不稳定∗∗。<br>−若所有\text{Re}(\lambda_i) \le 0，且存在\text{Re}(\lambda_i)=0$， 则无法判断，需用中心流形定理或直接法。

TH-D1-0086​

系统动力学

动力系统

庞加莱-本迪克松定理​

在平面上，如果一个动力系统的轨迹被限制在一个有界闭区域 D内，且该区域不包含任何平衡点，那么这条轨迹要么本身是一个周期轨道（极限环），要么随时间趋近于一个周期轨道（即 ω-极限集是一个周期轨道）。

1. 平面限制：定理的关键前提是系统状态空间是二维的（平面）。在二维中，轨迹的拓扑可能性有限。
2. 有界性与无平衡点：轨迹有界保证了 ω-极限集非空、紧致、连通。区域内无平衡点排除了趋向于点的可能性。
3. 证明思路（概述）：利用平面拓扑的 Jordan 曲线定理。考虑轨迹的 ω-极限集 Ω。可以证明 Ω是一个不变集，且由于区域无平衡点，Ω中必有一条轨迹 γ。选取 γ上一点 p， 考虑通过 p的横截线 L。由于轨迹反复穿过 L， 且 Ω是连通的，可以论证这些交点必须收敛到 p本身，从而 γ是周期轨道，且 Ω=γ。
4. 结论：因此，平面有界区域内的长期行为只有两种：周期运动，或趋于周期运动。混沌不可能出现。