在光学像差分析中，泽尼克系数是非常重要的一种光学像差分析工具。在介绍泽尼克系数之前，我们先简单介绍一下光学像差的概念。

光学像差

光学系统的像差（Aberrations）是指实际成像与理想光学模型（如近轴光学理论）之间的偏差，导致图像模糊、变形或色彩失真。这些偏差源于光线传播的物理限制和光学元件的设计缺陷。像差大致可以分为以下几类：

光学工程师也会把像差进一步分为高阶像差和低阶像差：

• 低阶像差：离焦（Defocus）、散光（Astigmatism）、倾斜（Tilt）
• 高阶像差：彗差（Coma）、球差（Spherical Aberration）、三叶草像差（Trefoil）等。

光学像差的表征

一般光学工程师会利用相位差图来表征光学像差，因为光本身具有波粒二象性，所以光线在光学系统中传播的时候，由于波的性质，光线会有衍射效应，而衍射效应导致光线通过光学系统的时候，会有一个光程差，这个光程差将引入额外的相位差，这个相位差可以反应光学像差。所以光学像差会用波前像差图来表征。不同的像差，其对应的波前相位差图也会不同。

但是，不同的光学系统的波前相位差图可能也有很多，而且可能也很复杂，有没有什么办法对光学像差做一个统一的分析呢。答案是肯定的，其中一种方式就是引入基函数。

空间中的向量基

在线性代数里面，我们以前都学习过空间基，比如二维空间的任何一点都可以表示为 $(x,y)$ 的一个坐标点，这个坐标点本身可以看成是一个二维向量，在笛卡尔坐标系里，这个二维向量可以表示成两个标准基的线性加权：

$$r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right)=x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)+y\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$$

这里的 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$ 其实就是二维空间的向量基，有了空间的向量基，那么就可以对这个空间中的任意一个向量进行表示。

光学像差的基–泽尼克多项式

前面我们介绍了空间中的基，就是一组正交且完备的向量基函数，可以实现对该空间中任意一个向量的表征。那么光学像差，或者说波前相位差这样一个空间，是否也存在这样一组基函数，可以实现对任意波前相位差的表征呢，答案是肯定的。我们今天介绍的泽尼克系数就是这样一组基函数。泽尼克多项式（Zernike Polynomials）是一类在单位圆域内正交的多项式，由荷兰物理学家弗里茨・泽尼克（Frits Zernike）于 1934 年提出，最初用于描述光学系统中的像差。

泽尼克多项式的某种表达形式为：

$$Z_n^m(r,\theta )=\{\begin{array}{ll}{R}_n^{|m|}(r)\cos (m\theta )& m\ge 0\\ R_n^{|m|}(r)\sin (|m|\theta )& m<0\end{array}$$

其中，$r\in [0,1],\theta \in [0,2\pi ]$ $n$ 表示的径向 $r$ 的阶数，$m$ 表示的是角向频率 $\theta$ 的阶数，$n,m$ 都是整数，并且 $|m|\le n$，$n-|m|$ 为偶数。

径向函数的表达式为：

$$R_n^m(r)=\sum _{k=0}^{\frac{(n-|m|)}{2}}\frac{(-1{)}^k(n-k)!}{k!\left(\frac{n+|m|}{2}-k\right)!\left(\frac{n-|m|}{2}-k\right)!}{r}^{n-2k}$$

泽尼克系数的正交性，在单位圆上满足：

$$\iint rdrd\theta Z_i(r,\theta )Z_j(r,\theta )=\pi {\delta }_{ij}$$

有了泽尼克多项式，也就是光学像差的基，就可以用泽尼克多项式对光学像差进行表示，理论上任意的波前像差 $W(r,\theta )$ 可以表示为：

$$W(r,\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=-n}^n{c}_n^m{Z}_n^m(r,\theta )$$

泽尼克项与一般像差的对应关系：

系数	泽尼克项	像差类型	相位分布特征
$c_0^0$	$Z_0^0$	平移（常数项）	全局相位偏移
$c_1^{\pm 1}$	$Z_1^{\pm 1}$	倾斜（Tilt）	线性倾斜（类似棱镜）
$c_2^0$	$Z_2^0$	离焦（Defocus）	旋转对称二次曲面（碗状）
$c_2^{\pm 2}$	$Z_2^{\pm 2}$	像散（Astigmatism）	双曲抛物面（正交方向曲率相反）
$c_3^{\pm 1}$	$Z_3^{\pm 1}$	彗差（Coma）	非对称泪滴状
$c_4^0$	$Z_4^0$	球差（Spherical）	旋转对称四次曲面

从上面的公式可以看出，实际的泽尼克多项式可以由很多个，但一般会取前 N 项进行分析，对于一般的像差，取前 15 项就差不多够了，更复杂的像差，可能会取更多的项，zemax 里面一般取到 37 项。

zemax 里的 标准泽尼克系数：

光学像差与 PSF

前面介绍了光学像差与泽尼克多项式的关系，接下来利用一些 python 的工具库可以进一做泽尼克多项式的分析，我们可以选用 GitHub 上的 zernpy 这个工具库：

https://github.com/sklykov/zernpy

从 Github 上下载下来之后，可以看到这个工具库主要有两个主要的函数 ZernPol, ZernPSF

通过简单的调用，可以实现对不同泽尼克多项式在单位圆上的相位可视化：

import os
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from zernpy import ZernPol, ZernPSF

if __name__ == '__main__':
    # Example usage of ZernPol class
    zp = ZernPol(m=-2, n=2)
    print(f"Zernike Polynomial for m=-2, n=2: {zp}")
    # Plot the Zernike polynomial profile
    ZernPol.plot_profile(zp)

上面这段代码，就可以对 $m=-2,n=2$ 这个泽尼克多项式单位圆上的相位进行计算以及可视化：

可以设置不同的 $m,n$ 可以得到不同的泽尼克多项式的相位情况。

也可以用这个工具，进行 PSF 的仿真：

import os
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from zernpy import ZernPol, ZernPSF

if __name__ == '__main__':

    zpsf = ZernPSF(ZernPol(m=1, n=3))  # horizontal coma
    NA = 0.95
    wavelength = 0.55
    expansion_coeff = -0.26
    pixel_physical_size = 0.2*wavelength   # example of physical properties
    zpsf.set_physical_props(NA, wavelength, expansion_coeff, pixel_physical_size)  # provide physical properties of the system
    kernel = zpsf.calculate_psf_kernel(normalized=True)  # get the kernel as the square normalized matrix
    
    print(f"PSF kernel shape: {kernel.shape}")
    plt.imshow(kernel, cmap='gray', interpolation='nearest')
    plt.title("PSF Kernel")
    plt.show()

上面的代码，可以生成某个泽尼克多项式下对应的 PSF，因为只模拟了单波长，所以显示的是一个单通道的黑白 PSF

也可以对多个泽尼克多项式进行加权，得到多个像差混合的 PSF

import os
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from zernpy import ZernPol, ZernPSF

if __name__ == '__main__':

    # Example of using ZernPSF with multiple Zernike polynomials
    # Create multiple Zernike polynomials and calculate the PSF kernel
    zp1 = ZernPol(m=-1, n=3)
    zp2 = ZernPol(m=2, n=4)
    zp3 = ZernPol(m=0, n=4)
    pols = (zp1, zp2, zp3)
    coeffs = (0.5, 0.21, 0.15)
    zpsf_pic = ZernPSF(pols)
    zpsf_pic.set_physical_props(NA=0.65, wavelength=0.6, expansion_coeff=coeffs, pixel_physical_size=0.6/5.0)
    psf_kernel = zpsf_pic.calculate_psf_kernel()
    print(f"PSF kernel shape with multiple Zernike polynomials: {psf_kernel.shape}")
    plt.imshow(psf_kernel, cmap='gray', interpolation='nearest')
    plt.title("PSF Kernel with Multiple Zernike Polynomials")
    plt.show()

上面这段代码，实现了三种泽尼克多项式融合下的 PSF