专业术语统计报告_电力系统区间潮流分析的扩展仿射模型及其应用研究

一、概要简析

【概要分析】
本文档《电力系统区间潮流分析的扩展仿射模型及其应用研究》围绕研究主题展开系统性的探讨。文档总字符数达214315，其中中文字符48445个，英文字词20325个，体现了中英文结合的学术写作特点。从文档中提取的专业术语共计1175个，涉及6个研究领域，主要集中在区间分析(1004次)、潮流计算(982次)、新能源电力系统(975次)。高频术语如“区间潮流”（339次）、“灵敏度指标”（203次）等，反映了研究的核心焦点。整体而言，本文献在相关研究领域具有较高的学术价值，通过系统的分析与论述，为后续研究提供了重要的理论基础和方法参考。

【数据统计】

• 总字符数：214315
• 中文字符数：48445
• 英文字词数：20325

二、统计图表分析

2.1 三类术语层次分布

【数据统计】

• 论文名称术语：3个 (核心术语：电力系统、扩展仿射模型、区间潮流分析)
• 标题摘要术语：324个 (核心术语：区间潮流、输入变量、直角坐标系)
• 正文术语：848个 (核心术语：区间潮流、灵敏度指标、电力系统)
• 术语总数：1175个
• 频次占比：论文名称 2.3% | 标题摘要 37.9% | 正文 59.8%

【可视化图表】

类别	术语数量	频次	占比
论文名称	3	224	2.3%
标题摘要	324	3745	37.9%
正文	848	5905	59.8%
总计	1175	9874	100%

【图表评论】
旭日图展示了三类术语在文档不同部分的层次分布。从内向外依次为论文名称术语、标题摘要术语和正文术语。论文名称层级包含3个核心术语，总频次224次，占比2.3%，核心术语包括“电力系统、扩展仿射模型、区间潮流分析”，这些术语直接概括了研究的核心主题。标题摘要层级包含324个术语，总频次3745次，占比37.9%，核心术语如“区间潮流、输入变量、直角坐标系”，反映了研究的次要关键词和方法论。正文层级最为丰富，包含848个术语，总频次5905次，占比59.8%，核心术语如“区间潮流、灵敏度指标、电力系统”，体现了研究的具体技术细节和实验方法。从内向外逐层细化，论文名称术语聚焦于研究主题，标题摘要术语扩展了研究范围，正文术语则深入到具体技术实现，形成了完整的术语层次体系，清晰地揭示了文档的知识结构。

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2.2 研究领域分布

【领域分析】

• 主要领域：区间分析(1004次)、潮流计算(982次)、新能源电力系统(975次)

【可视化图表】

研究领域	术语出现次数
新能源电力系统	975
电力系统稳定性	974
电力电子换流器	965
不确定性分析	975
区间分析	1004
潮流计算	982
总计	5875

【图表评论】
雷达图展示了专业术语在六个研究领域的分布情况，直观反映了文档的学科交叉特性。从图中可以看出，术语分布呈现以下特点：区间分析 出现频次最高，达1004次，表明该领域是研究的核心基础。潮流计算 和 新能源电力系统 的频次分别为982次和975次，构成了研究的次要支撑领域。而 电力电子换流器 频次相对较低，为965次，说明该领域在本研究中涉及较少。各领域术语分布存在一定差异，但整体较为均衡，标准差为12.2，反映了研究的多学科交叉融合特点。这种分布格局表明，本研究不仅深耕于核心领域，同时广泛吸纳了相关学科的理论与方法，形成了较为完整的研究体系。

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2.3 专业术语分布

【集中度分析】

• 前5术语累计频次：968次
• 前5术语累计占比：15.7%
• 前10术语累计占比：24.9%

【可视化图表】

排名	术语	频次
1	区间潮流	339
2	灵敏度指标	203
3	电力系统	150
4	输入变量	145
5	直角坐标系	131
6	不确定性	129
7	灵敏度分析	116
8	电压稳定性	109
9	静态电压稳定性	107
10	仿射方法	105
11	全局灵敏度分析	105
12	电压幅值	93
13	节点电压	91
14	无功功率	87
15	噪声元	85
前15累计		1995

【图表评论】
环形图和柱状图展示了高频术语的分布情况与集中度。从图中可以看出，前5个高频术语累计频次达968次，占总频次的15.7%，呈现出较高的术语集中度。前10个高频术语累计占比达24.9%，进一步证实了研究主题的聚焦性。排名第一的术语“区间潮流”出现339次，是研究的核心概念。排名第二的术语“灵敏度指标”出现203次，排名第三的术语“电力系统”出现150次，三者共同构成了研究的核心术语体系。从排名第5开始，术语频次明显下降，呈现出长尾分布特征，表明研究围绕少数核心概念展开，而其他术语则是对核心概念的补充和细化。这种分布模式符合学术文献的一般规律，体现了研究的深度与广度。

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2.4 术语共现网络

【共现分析】

• 核心节点：区间潮流
• 最强关联对：直角坐标系 - 区间潮流 (156次)
• 主要聚类：以图像增强、注意力机制等为核心的术语聚类
• 共现关系总数：18对

【可视化图表】

术语A	术语B	共现次数
电压稳定性	静态电压稳定性	129
不确定性	电力系统	94
区间潮流	电力系统	40
灵敏度分析	电力系统	26
仿射方法	静态电压稳定性	21
区间潮流	灵敏度分析	4

【图表评论】
术语共现网络图展示了高频术语之间的关联关系，揭示了文档的知识结构。网络中包含10个节点和18条边，形成了以“区间潮流”为中心的术语聚类。最强关联对为“直角坐标系”与“区间潮流”，共现次数达156次，表明这两个概念在研究中有紧密的关联性。从网络结构来看，主要形成了3个聚类：聚类一以“区间潮流”为核心，包含“直角坐标系”、“其他”等术语，反映了以区间潮流为核心的相关研究方面的研究；聚类二以“电力系统”为核心，包含“不确定性”、“其他”等术语，对应以电力系统为核心的相关研究方面的内容；聚类三则聚焦于“灵敏度分析”相关的研究方向。各聚类之间通过“区间潮流”等术语相互连接，形成了完整的知识网络。这种网络结构清晰地展示了研究的核心主题及其相互关系，有助于理解文档的整体框架和知识体系。

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2.5 核心概念词云

【词云数据统计】

• 词云术语总数：20个
• 加权总频次：285.9次

【可视化图表】

排名	术语	加权频次
1	仿射模型	37.5
2	区间潮流	33.9
3	灵敏度指标	20.3
4	电力系统	15.0
5	输入变量	14.5
6	区间潮流扩展仿射优化方法	14.5
7	区间潮流分析	14.0
8	直角坐标系	13.1
9	不确定性	12.9
10	扩展仿射优化模型	12.0

【图表评论】
词云图通过加权频次直观呈现了文档的核心概念体系。图中包含20个术语，加权总频次达285.9次。排名前五的术语分别为“仿射模型”（37.5次）、“区间潮流”（33.9次）、“灵敏度指标”（20.3次）、“电力系统”（15.0次）和“输入变量”（14.5次）。这些术语的字号最大、位置最显眼，构成了研究的核心概念群。从词云的整体分布来看，术语按照重要程度由大到小、由中心向四周排列，形成了层次分明的视觉结构。排名靠前的术语反映了研究的核心主题和方法，排名中等的术语体现了研究的具体内容和细节，排名靠后的术语则展示了研究的边缘话题或未来方向。词云图不仅总结了全文的关键概念，也为读者快速把握研究要点提供了直观的视觉引导，是理解文档内容的重要辅助工具。

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2.6 英文缩写分布

【缩写统计】

• 缩写总数：20个
• 缩写总频次：195次
• 高频缩写 Top 5：
  1. IEEE：103次
  2. MW：33次
  3. EAA：8次
  4. IET：6次
  5. QCQP：5次
• 前5缩写累计占比：79.5%

【可视化图表】

排名	缩写	频次
1	IEEE	103
2	MW	33
3	EAA	8
4	IET	6
5	QCQP	5
6	SPC	4
7	ST	4
8	SCI	4
9	DG	3
10	SOS	3
前10累计		173

【图表评论】
环形图展示了英文缩写在文档中的分布情况。文档中共出现20个不同的英文缩写，总频次达195次。排名前五的缩写分别为“IEEE”（103次）、“MW”（33次）、“EAA”（8次）、“IET”（6次）和“QCQP”（5次），前5个缩写累计占比达79.5%，呈现出较高的集中度。从缩写的类型来看，主要包括期刊名称缩写（如“IEEE”）、作者姓名缩写（如“MW”）、技术术语缩写（如“EAA”）和评价指标缩写（如“IET”）等。这些缩写的高频出现，反映了文档引用了大量该领域的经典文献，采用了通用的技术术语和评价标准，体现了研究的规范性和专业性。缩写的分布特征也为读者理解该领域的学术交流习惯提供了参考。

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三、原文章节举例

3.3 基于区间泰勒展开的灵敏度系数求解

3.2 节所构造的基于直角坐标系的区间潮流扩展仿射优化方法的关键在于求解${\frac{\partial e_i}{\partial \epsilon }|}_0,{\frac{\partial f_i}{\partial \epsilon }|}_0$ 一阶灵敏度系数， ${\frac{{\partial }^2{e}_i}{\partial {\epsilon }^2}|}_0,\frac{{\partial }^2{f}_i}{\partial {\epsilon }^2}$ $\frac{{\partial }^2{e}_i}{\partial {\epsilon }^2}$ $\frac{{\partial }^2{f}_i}{\partial {\epsilon }^2}$ 二阶灵敏度系数。本节首先将节点注入有功功率 $[{\underline{P}}_i,{\overline{P}}_i]$ 和无功功率 $[{\underline{Q}}_i,{\overline{\underline{Q}}}_i]$ 转化为注入有功功率、无功功率噪声元的仿射形式，如下所示：

$$\{\begin{array}{l}\left[\underline{P_i},\overline{P_i}\right]=P_i^0+\Delta P_i{\epsilon }_i^P\\ \left[\underline{Q_i},\overline{Q_i}\right]=Q_i^0+\Delta Q_i{\epsilon }_i^Q\end{array}\text{\hspace{1em}(3-16)}$$

式(3-16)中： ${\mathbf{\epsilon }}_i^{\mathrm{P}}$ 、 ${\epsilon }_i^{\mathrm{Q}}$ 分别为第 $i$ 个注入有功功率、无功功率扰动的噪声元，其大小均在[ 1,1] − 之间波动； $\Delta P_i$ 、 $\Delta {\mathcal{Q}}_i$ 分别为注入有功功率、无功功率扰动区间的波动半径。

将式(3-16)代入直角坐标系潮流方程中可得：

$$\{\begin{array}{l}\Delta P_i=P_i^0+\Delta P_i{\epsilon }_i^P-e_i{\sum }_{j=1}^n\left(G_{ij}{e}_j-B_{ij}{f}_j\right)-f_i{\sum }_{j=1}^n\left(G_{ij}{f}_j+B_{ij}{e}_j\right)=0\\ \Delta Q_i=Q_i^0+\Delta Q_i{\epsilon }_i^Q-f_i{\sum }_{j=1}^n\left(G_{ij}{e}_j-B_{ij}{f}_j\right)+e_i{\sum }_{j=1}^n\left(G_{ij}{f}_j+B_{ij}{e}_j\right)=0\\ \Delta U_i=U_i^2-e_i^2-f_i^2=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3-17)}$$

为了便于推导，将上述含仿射变量的潮流方程组式(3-17)用矢量形式表示为

$$\mathbf{F}(\mathbf{x},[\epsilon ])=\left[\begin{array}{l}\Delta \mathbf{P}(\mathbf{x},[\epsilon ])\\ \Delta \mathbf{Q}(\mathbf{x},[\epsilon ])\\ \Delta \mathbf{U}(\mathbf{x},[\epsilon ])\end{array}\right]=0\text{\hspace{1em}(3-18)}$$

其中

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{x}={\left[e_1{e}_2\dots e_{n-1}{f}_1{f}_2\dots f_{n-1}\right]}^{\mathrm{T}},\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^{N\times 1}\\ \left[\mathbf{\epsilon }\right]={\left[\left[{\mathbf{\epsilon }}_1^p\right]\left[{\mathbf{\epsilon }}_2^p\right]\dots \left[{\mathbf{\epsilon }}_1^Q\right]\left[{\mathbf{\epsilon }}_2^Q\right]\dots \right]}^{\mathrm{T}},[\mathbf{\epsilon }]\in {\mathbf{R}}^{m\times 1}\end{array}\text{\hspace{1em}(3-19)}$$

式(3-19)中： $N$ 为待求变量的维数， $N=2n-2$ ； $m$ 为注入功率扰动噪声元的维数。

基于直角坐标系的区间潮流方程具有特殊的结构，方程中不含常数项和变量 $\mathbf{x}$ 的一次项，仅含变量 $x$ 的二次项和区间变量 $[\epsilon ]$ 的一次项[119]。因此，函数 $F(\mathbf{x},[\epsilon ])$ 对仿射噪声元 $[\epsilon ]$ 进行泰勒展开时仅需展开到二阶项，即

$$\begin{array}{l}0=\mathbf{F}\left({\mathbf{x}}_0,{\epsilon }_0\right)+{\sum }_{j=1}^m\left({\sum }_{i=1}^N\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x_i}\cdot \frac{\partial x_i}{\partial {\epsilon }_j}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial {\epsilon }_j}\right){|}_{\left({\mathbf{x}}_0,{\epsilon }_0\right)}\cdot \Delta {\epsilon }_j+\\ \frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m({\sum }_{p=1}^N{\sum }_{q=1}^N\frac{{\partial }^2\mathbf{F}}{\partial x_p\partial x_q}\cdot \frac{\partial x_p}{\partial {\epsilon }_i}\cdot \frac{\partial x_q}{\partial {\epsilon }_j}+2{\sum }_{p=1}^N\frac{{\partial }^2\mathbf{F}}{\partial x_p\partial {\epsilon }_i}\cdot \frac{\partial x_p}{\partial {\epsilon }_j}\\ {+{\sum }_{p=1}^N\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x_p}\cdot \frac{{\partial }^2{x}_p}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j}+\frac{{\partial }^2\mathbf{F}}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j})|}_{\left({\mathbf{x}}_0,{\epsilon }_0\right)}\cdot \Delta {\epsilon }_i\Delta {\epsilon }_j\end{array}\text{\hspace{1em}(3-20)}$$

式(3-20)中， ${\epsilon }_0$ 为仿射噪声元 $[\epsilon ]$ 的中点值，即 ${\epsilon }_0=0$ ； ${\mathbf{x}}_0$ 为 ${\epsilon }_0=0$ 时的确定性潮流解值；

$$\left[\Delta \epsilon \right]=\left[-\epsilon ,\epsilon \right]。$$

由于变量 $\Delta \epsilon$ 可以在区间 $[-\epsilon ,\epsilon ]$ 内任意取值，要使式(3-20)恒成立，则以下三个等式必须恒成立，即

$$\mathbf{F}\left({\mathbf{x}}_0,{\epsilon }_0\right)=0\text{\hspace{1em}(3-21)}$$

$${\left(\sum _{i=1}^N\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x_i}\cdot \frac{\partial x_i}{\partial {\epsilon }_j}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial {\epsilon }_j}\right)|}_{\left(x_0,{\epsilon }_0\right)}=0\text{\hspace{1em}(3-22)}$$

$$\left(\sum _{p=1}^N\sum _{q=1}^N\frac{{\partial }^2\mathbf{F}}{\partial x_p\partial x_q}\cdot \frac{\partial x_p}{\partial {\epsilon }_i}\cdot \frac{\partial x_q}{\partial {\epsilon }_j}+2\sum _{p=1}^N\frac{{\partial }^2\mathbf{F}}{\partial x_p\partial {\epsilon }_i}\cdot \frac{\partial x_p}{\partial {\epsilon }_j}+\sum _{p=1}^N\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x_p}\cdot \frac{{\partial }^2{x}_p}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j}+\frac{{\partial }^2\mathbf{F}}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j}\right){|}_{\left(x_0,{\epsilon }_0\right)}=0(3-23)$$

式(3-21)～式(3-22)中：待求量依次为 ${\mathbf{x}}_0$ $x_0\cdot x$ 关于 $\epsilon$ 的一阶导数值 $\frac{\partial x}{\partial \epsilon }\in R^{N\times m}$ 和 $\mathbf{x}$ 关于 $\epsilon$ 的二阶导数值 $\frac{{\partial }^{2}x}{\partial {\epsilon }^2}\in R^{N\times m^2}$ ，具体求解方法的推导过程如下所述。

由于 ${\epsilon }_0=0$ ，式(3-21)退化为一个经典的确定性直角坐标系潮流方程组，通常采用牛顿法迭代求解，即

$$\{\begin{array}{l}-{\mathbf{J}}_k\Delta {\mathbf{x}}_k=\Delta {\mathbf{F}}_k\\ {\mathbf{x}}_{k+1}={\mathbf{x}}_k+\Delta {\mathbf{x}}_k\end{array}\text{\hspace{1em}(3-24)}$$

式(3-24)中： $J_{\mathbf{k}}$ 为雅克比矩阵； $k$ 为迭代次数； $\Delta F_k$ 为第 $k$ 次迭代的残差向量。当迭代 $k$ 次满足收敛条件时， ${\mathbf{x}}_0={\mathbf{x}}_{k+1}$ 。

对于 $j=1,2,\cdots ,m$ ，展开式(3-22)得

$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \frac{\partial F_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial F_1}{\partial x_N}\\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1}& \frac{\partial F_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial F_2}{\partial x_N}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial F_N}{\partial x_1}& \frac{\partial F_N}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial F_N}{\partial x_N}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\partial x_1}{\partial {\epsilon }_j}\\ \frac{\partial x_2}{\partial {\epsilon }_j}\\ ⋮\\ \frac{\partial x_N}{\partial {\epsilon }_j}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{\partial F_1}{\partial {\epsilon }_j}\\ \frac{\partial F_2}{\partial {\epsilon }_j}\\ ⋮\\ \frac{\partial F_N}{\partial {\epsilon }_j}\end{array}\right]=0\text{\hspace{1em}(3-25)}$$

即

$$

• \boldsymbol {J} _ {k + 1} \frac {\partial \boldsymbol {x}}{\partial \varepsilon_ {j}} = \frac {\partial \boldsymbol {F}}{\partial \varepsilon_ {j}} \tag {3-26}
  $$

通过求解式(3-26)可以求得 $\frac{\partial x}{\partial {\epsilon }_j}\in R^{N\times 1}$ $j=1,2,\cdots ,m$ ，再按照相应的排列即可得到$\frac{\partial x}{\partial \epsilon }\in R^{N\times m}$ N m× ∈x R 。

由于 $\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_p\partial {\epsilon }_i}=0$ $\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j}=0$ ，则对于 $i=1,2,\cdots ,m\setminus j=1,2,\cdots ,m$ ，展开式(3-23)可得

$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \frac{\partial F_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial F_1}{\partial x_N}\\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1}& \frac{\partial F_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial F_2}{\partial x_N}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial F_N}{\partial x_1}& \frac{\partial F_N}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial F_N}{\partial x_N}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{x}_1}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j}\\ \frac{{\partial }^2{x}_2}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j}\\ ⋮\\ \frac{{\partial }^2{x}_N}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\left[\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial {\epsilon }_i}\right]}^{\mathrm{T}}\mathbf{H}(F_1)\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial {\epsilon }_j}\\ {\left[\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial {\epsilon }_i}\right]}^{\mathrm{T}}\mathbf{H}(F_2)\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial {\epsilon }_j}\\ ⋮\\ {\left[\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial {\epsilon }_i}\right]}^{\mathrm{T}}\mathbf{H}(F_N)\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial {\epsilon }_j}\end{array}\right]=0\text{\hspace{1em}(3-27)}$$

式(3-27)中， $H(F_i)(i=1,2,\cdots ,N)$ 为 $F_{{}_i}$ 的海森矩阵，由于采用直角坐标系的潮流方程是一个二次型代数方程[119]，即不含自变量的一次项和常数项，因此，进行二阶泰勒展开时，其海森矩阵是一个稀疏的常数矩阵。进一步可写为

$$

• \boldsymbol {J} _ {k + 1} \frac {\partial^ {2} \boldsymbol {x}}{\partial \varepsilon_ {i} \partial \varepsilon_ {j}} = \left[ \frac {\partial \boldsymbol {x}}{\partial \varepsilon_ {i}} \right] ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {H} (\boldsymbol {F}) \frac {\partial \boldsymbol {x}}{\partial \varepsilon_ {j}} \tag {3-28}
  $$

通过式(3-28)可以求得 $\frac{{\partial }^{2}x}{\partial {\epsilon }_i\partial {\epsilon }_j}\in R^{N\times 1}$ ， $i,j=1,2,\cdots ,m$ ，再按照对应的排列即可得到

$$\frac{{\partial }^2\mathbf{x}}{\partial {\mathbf{\epsilon }}^2}\in {\mathbf{R}}^{N\times m^2}。$$

从以上推导过程可以看出：

(1) 由于 ${\epsilon }_0=0$ ，式(3-21)退化为一个经典的确定性潮流方程，且包含于区间解集，这反映了区间潮流解集的有效性。

(2) 从式(3-26)和式(3-28)的求解过程可以看出，两组方程均是线性代数方程，且其系数矩阵均为迭代收敛后的雅克比矩阵，因此，在迭代收敛后仅需进行一次雅克比矩阵的分解，减少了计算量。

(3) 利用区间泰勒展开可将区间潮流解集的求解问题等价转化为确定性问题的求解，实现了区间运算和迭代运算的解耦，从根本上避免区间迭代法的收敛性和初值敏感性问题。

综合3.2节构造的基于直角坐标系的区间潮流扩展仿射模型，可统一为二次规划问题，其约束条件为噪声元的范围，其具体的求解流程如图3-1所示。

图 3-1 基于直角坐标系的区间潮流扩展仿射优化方法计算流程图

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四、原文章节举例

4.2.1 解析化总方差求解方法

在实际不确定性分析中，响应函数通常是含输入变量的隐式函数，不易获得其方差分解形式和总方差，因此，需要采用函数替代法近似含输入变量的隐式函数，例如，响应面法、神经网络方法等。本节引入区间响应面模型的概念[123]，将扩展的仿射模型与传统的确定性响应面模型相结合，构造区间潮流解的区间响应面模型。通过建立区间潮流的不确定输入量与潮流解输出区间响应之间的关系，即将区间响应面模型构造为区间潮流解的近似区间代理模型。区间响应面模型的基本思想如图 4-1 所示。在图4-1 中： $x_1$ 和 $x_2$ 是两个输入不确定量， $y(x_1,x_2)$ 是区间代理模型，区间代理模型通常由显式函数表达式表示，显式函数表达式可以很容易地处理区间不确定性问题，而不会出现区间结果过度估计，这是区间响应面模型的最大的优点。

图 4-1 区间响应面示意图

在 3.2 节推导形成区间潮流解的扩展仿射模型，可以表达为输入功率噪声元与潮流输出区间响应的二阶多项式，即统一用区间响应面模型表示为

$$y(\hat{\epsilon })=a_0+\sum _{i=1}^n{a}_i{\hat{\epsilon }}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n{b}_{ij}{\hat{\epsilon }}_i{\hat{\epsilon }}_j\text{\hspace{1em}(4-28)}$$

式(4-28)中： $y(\hat{\epsilon })$ 表示区间潮流解的输出响应； $a_0$ 表示区间潮流解的期望值或标称值；$a_i\setminus b_{ij}$ 分别表示仿射一阶灵敏度系数和仿射二阶灵敏度系数； $n$ 为输入噪声元的维数。式(4-28)这个显式函数将区间潮流解的扩展仿射模型统一起来，方便解析化计算总方差和分解。

输入噪声元 ${\hat{\mathcal{E}}}_i$ 是由注入功率的波动区间 $[\underline{P_i},\overline{P_i}]$ 和 $[\underline{Q_i},\overline{{\mathcal{Q}}_i}]$ 的等效仿射算子式(3-16)产生，其取值范围为[ 1,1] − 。本文假设所有输入噪声元 ${\hat{\mathcal{E}}}_i$ 的均值为 0，噪声元 ${\hat{\mathcal{E}}}_i$ 的方差为 ${\sigma }_i$ ，噪声元 ${\hat{\mathcal{E}}}_i$ 和噪声元 ${\hat{\epsilon }}_j$ 之间的区间相关性为 ${\rho }_{ij}$ 。因此，对式(4-28)求取区间潮流解输出响应的总方差为

$$\begin{array}{l}V(y)={\sum }_{i=1}^n{a}_i^{2}V({\hat{\epsilon }}_i)+{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^n{b}_{ij}^{2}V({\hat{\epsilon }}_i{\hat{\epsilon }}_j)\\ +{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^{n}2a_i{a}_j\mathrm{Cov}\left({\hat{\epsilon }}_i,{\hat{\epsilon }}_j\right)+{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=j}^{n}2a_i{b}_{jk}\mathrm{Cov}\left({\hat{\epsilon }}_i,{\hat{\epsilon }}_j{\hat{\epsilon }}_k\right)\\ +{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^n{\sum }_{\begin{array}{c}k=i\\ k\in \varphi \end{array}}^n{\sum }_{\begin{array}{c}m=k\\ m\in \varphi \end{array}}^{n}2b_{ij}{b}_{km}Cov({\hat{\mathcal{E}}}_i{\hat{\mathcal{E}}}_j,{\hat{\mathcal{E}}}_k{\hat{\mathcal{E}}}_m)\end{array}\text{\hspace{1em}(4-29)}$$

式(4-29)： ϕ={m,k∣m>j\phi = \left\{ m , k \right| m > jϕ={m,k∣m>j or $k>i\}$ ； $V(\bullet )$ 表示方差算子， $Co\nu (\bullet ,\bullet )$ 表示两个噪声元之间的协方差。

根据基本方差计算公式[124]，式(4-29)进一步计算为

$$\begin{array}{l}V(y)={\sum }_{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2+{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^n{b}_{ij}^2\left({\rho }_{ij}^2+1\right){\sigma }_i^2{\sigma }_j^2+{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^{n}2a_i{a}_j{\rho }_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j\\ +{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^n{\sum }_{\begin{array}{c}k=i\\ k\in \varphi \end{array}}^n{\sum }_{m=k}^{n}2b_{ij}{b}_{km}({\rho }_{ik}{\rho }_{jm}{\sigma }_i{\sigma }_j{\sigma }_k{\sigma }_m+{\rho }_{im}{\rho }_{jk}{\sigma }_i{\sigma }_j{\sigma }_k{\sigma }_m)\end{array}\text{\hspace{1em}(4-30)}$$

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五、总结

本报告对《电力系统区间潮流分析的扩展仿射模型及其应用研究》进行了系统的专业术语统计与分析。文档总字符数214315，中文字符48445个，英文字词20325个，共提取专业术语1175个。高频术语“区间潮流”（339次）、“灵敏度指标”（203次）等构成了研究的核心概念体系。

文档涉及6个研究领域，主要集中在区间分析(1004次)、潮流计算(982次)、新能源电力系统(975次)，体现了多学科交叉的研究特点。术语共现网络包含10个节点和18条边，最强关联对“直角坐标系”与“区间潮流”共现156次，形成了以“区间潮流”为中心的术语聚类。

英文缩写共出现20个，总频次195次，前五缩写“IEEE”（103次）等累计占比79.5%，反映了文档引用的经典文献和技术标准。

综上，本报告通过多维度术语统计，全面揭示了文档的知识结构和研究焦点。

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六、原文部分参考文献

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[15] 杨纶标．模糊数学原理及应用[M]．广州：华南理工大学出版社，2005

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