1.随机微分方程

Stochastic Differential Equation，SDE。
1引言，2线性随机微分方程分类，
3线性随机微分方程求解（a齐次标量线性SDE的求解，b狭义线性SDE的求解）
a，几何布朗运动
b，均值回复模型，O-U过程，Vasicek模型

SDE例子：几何布朗运动
$$dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)$$
其中，$S(t)$是随机过程，$\mu$和$\sigma$是常数，$W(t)$是标准的布朗运动。该方程在金融领域可以用来刻画股票等金融资产的价格演化
SDE有无穷多个可能的解，为了对解加以限定，需要加入初值条件（initial value condition IV）比如$S(0)=S_0$

SDE类似于ODE有无穷多个解，需要有初值条件（IV初值）加以限定。

从普通的微分方程开始
$$dS(t)=\mu S(t)dt,S(0)=S$$
求解的思路：
1.采取变量分离法（separation of variables），将公式右边的$S(t)$提取到左侧
$\frac{dS(t)}{S(t)}=\mu dt$。
2对公式两侧取积分，可得
$$\begin{array}{c}{\int }_0^t\frac{dS(u)}{S(u)}={\int }_0^t\mu du\Rightarrow \ln S(t)-\ln S(0)=\mu t\end{array}$$
3将初值条件$S(0)=S$代入，最终可得
$$\begin{array}{rl}\ln S(t)-\ln S=& \mu t\\ S(t)=& S{e}^{\mu t}\end{array}$$

几何布朗运动SDE的求解
布朗运动$W(t)$是处处连续且处处不可微的，这一特征造成了我们不能使用通常求解微分方程的相关方法对SDE进行分析和求解。

$\frac{dS(t)}{S(t)}=\mu dt+\sigma dW(t)\nRightarrow d\ln [S(t)]=\mu dt+\sigma dW(t)$
这里不成立的原因也是因为布朗运动$W(t)$的二次变差不为0，需要使用Ito’s lemma进行求解。

问题回顾：

几何布朗运动
$$dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)$$
其中，$S(t)$是随机过程，$\mu$和$\sigma$是常数，$W(t)$是标准的布朗运动。求$f[S(t)]=\ln S(t)$的对应SDE。

回顾一维的Ito’s lemma。若$Z(t)=f(t,X(t))$，且$dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)$。
则有结论：$df(t,X)=[f_t+F(t)f_X+\frac{1}{2}{G}^2(t)f_{XX}]dt+G(t)f_{X}dW(t)$

解1，还是利用泰勒公式，这里其实类似的是一元Ito’s lemma的证明过程。
先写出整体的泰勒展开式，$df=f_{t}dt+f_{S}dS+\frac{1}{2}{f}_{tt}(dt{)}^2+\frac{1}{2}{f}_{SS}(dS{)}^2+f_{tS}(dt)(dS)$，然后先消去为0的几个项数$(dt{)}^2,(dt)(dS)$。
$df=f_{t}dt+f_{S}dS+\frac{1}{2}{f}_{SS}(dS{)}^2$
然后知道几个结果，$f_t=0,f_S=\frac{1}{S},f_{SS}=-\frac{1}{S^2}$，还有一个关于$(dS{)}^2$，剩余不为0的项就是${\sigma }^2{S}^2(t)dt$。
代入得到，$df=\frac{1}{S}[\mu Sdt+\sigma SdW(t)]+\frac{1}{2}(-\frac{1}{S^2}){\sigma }^2{S}^{2}dt$
$df=[\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2]dt+\sigma dW(t)$
$d\ln S(t)=(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)dt+\sigma dW(t)$

解2直接利用结论：$dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)$，其中$F(t)=\mu S(t)$，$G(t)=\sigma S(t)$。
公式中的$f_t=0,f_X=f_S=\frac{1}{S},f_{XX}=f_{SS}=-\frac{1}{S^2}$。
代入得到
$df=[0+\mu S\frac{1}{S}-\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{1}{S^2}]dt+\sigma S^2\frac{1}{S^2}dW(t)$
$df=[\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2]dt+\sigma dW(t)$

GBM几何布朗运动SDE的解仍然是一个随机变量。可以求数字特征（均值，方差）

进一步求积分
$d\ln S(t)=[\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2]dt+\sigma dW(t)$

${\int }_0^{t}d\ln S(u)={\int }_0^t[\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2]du+{\int }_0^t\sigma dW(u)$

$\ln S(t)-\ln S(0)=(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma W(t)$
$$\begin{array}{c}\ln S(t)=\underset{cont.}{\underbrace{\ln S(0)+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t}}+\sigma W(t)\end{array}$$

由于$W(t)\sim N(0,t)$，所以$\sigma W(t)\sim N(0,{\sigma }^{2}t)$，进一步$\ln S(t)\sim N(\ln S(0)+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t,{\sigma }^{2}t)$

又小结论：若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$Y=e^X\sim LogNormal(\mu ,{\sigma }^2)$
若$X\sim LogNormal(m,v)$，则$\mathbb{E}X=e^{m+\frac{1}{2}v},\mathrm{Var}X=(e^v-1)e^{2m+v}$

所以$S(t)\sim LogNormal(\ln S(0)+(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t,{\sigma }^{2}t)$

$S(t)$期望和方差
服从对数正态分布的$S(t)$期望和方差如下
$\mathbb{E}[S(t)]=\exp [\ln S_0+\mu t]=S_0\cdot e^{\mu t}$
$\mathrm{Var}[S(t)]=\exp [2\ln S_0+2\mu t][\exp ({\sigma }^{2}t)-1]=S_0^2{e}^{2\mu t}\cdot (e^{{\sigma }^{2}t}-1)$

本章只涉及线性随机微分方程的求解问题。

2.一维线性SDE例子

$$\begin{array}{c}dX(t)=\alpha (t,X(t))dt+\beta (t,X(t))dW(t)\end{array}$$

$\alpha (t,X(t))=a_1(t,X(t))+a_2(t),\beta (t,X(t))=b_1(t,X(t))+b_2(t)$
$$\begin{array}{c}dX(t)=\left[a_1(t,X(t))+a_2(t)\right]dt+\left[b_1(t,X(t))+b_2(t)\right]dW(t)\end{array}$$

例子2：Vasicek模型
刻画利率$r(t)$变动的Vasicek模型如下
$$\begin{array}{c}dr(t)=(\alpha -\beta r(t))dt+\sigma dW(t)\end{array}$$
其中，$\alpha ,\beta ,\sigma$均是大于0的常数，通过对比可以看出
$a_1=-\beta ,a_2=\alpha ,b_1=0,b_2=\sigma$
因此用来刻画短期利率变动的Vasicek模型属于自治线性SDE，并且具有加性噪声，该模型来自于奥伦斯坦-乌伦贝克过程（Ornstein-Uhlenbeck process），简称O-U过程，并且该过程具有均值回复的特征。

例子3：Hull-White模型
刻画利率$r(t)$变动的Hull-White模型如下
$$\begin{array}{c}dr(t)=(\alpha (t)-\beta (t)r(t))dt+\sigma (t)dW(t)\end{array}$$
其中，$\alpha (t),\beta (t),\sigma (t)$均是大于0的函数，通过对比可以看出
$a_1=-\beta (t),a_2=\alpha (t),b_1=0,b_2=\sigma (t)$
因此Hull-White模型属于具有加性噪声的线性SDE。对比Vasicek模型，该模型仍然具有均值回复的特征。只是相应的系数均是时变的。

例子4：CIR模型
刻画利率$r(t)$变动的CIR模型如下
$$\begin{array}{c}dr(t)=(\alpha -\beta r(t))dt+\sigma \sqrt{r(t)}dW(t)\end{array}$$
其中，$\alpha ,\beta ,\sigma$均是大于0的常数，与前面的Vasicek模型对比，其随机项当中增加了$\sqrt{r(t)}$

通过对比可以看出
$a_1=-\beta ,a_2=\alpha ,b_1=\text{不符合},b_2=0$
该模型无法被归入任何一个线性SDE类别中，正因为该模型的$\sqrt{r(t)}$，该模型也称作平方根过程（square-root process）。该模型由Cox，Ingersoll和Ross三人提出。

相比较下Vasicek模型会出现为0，不符合实际现象，但是CIR模型可以修正这个问题。

例子5：HJM模型
刻画顺势远期利率$f(t,T)$演化的多因子HJM模型如下
$$\begin{array}{c}df(t,T)=\alpha (t,T)dt+\sum _{i=1}^n{\sigma }_i(t,T)d{W}_i(t)\end{array}$$
通过对比可以看出$a_1=0,b_1=0$。并且由于模型中包含有$n$个布朗运动$W_i(t),i=1,\cdots ,n$，因此这是一个多维线性SDE。
该模型框架由Heath，Jarrow和Morton三人提出。

漂移项$\alpha$，扩散项$\sigma$。

与常微分方程类似，SDE的求解也有很多种不同的方法。然而SDE往往难以显式得到相应的解$X(t)$，也就是说在通常的情况下往往等式的两端均存在$X(t)$类似于微积分中的隐函数。

幸运的是，对于一维线性SDE来说，是可以得到其显示解（explicit solution）

3.齐次标量线性SDE

定义：
形如下式的SDE
$$\begin{array}{c}dX(t)=\left(a(t)X(t)+b(t)\right)dt+\sum _{k=1}^m\left[c_k(t)X(t)+d_k(t)\right]d{W}_k(t)\end{array}$$
其中$a(\cdot ),b(\cdot ),c_k(\cdot ),d_k(\cdot )$均是连续有界的标量（scaler）函数，称为标量线性SDE（scaler linear SDE）。
若$b(\cdot )=d_k(\cdot )=0$，则称为齐次标量线性SDE（homogeneous scalar linear SDE）。
注意：几何布朗运动就是齐次标量线性SDE的一个特殊形式
$$dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)$$

回忆之前的求解方法，
（1）分离变量，将$S(t)$移到左边
（2）Ito’s lemma，得到$d\ln S(t)$的SDE
（3）对SDE两端求积分，进而得到$\ln S(t)$的表达式
（4）求积分，得到最终的$S(t)$解
这种方法类似常微分方程的分离变量法

齐次标量线性SDE的解
可以类似的方法求解齐次标量线性SDE，假设关于随机过程$S(t)$的齐次标量线性SDE如下
$dS(t)=\mu (t)S(t)dt+\sigma (t)S(t)dW(t)$
其中$\mu (t)$和$\sigma (t)$都是关于时间$t$的连续有界函数，并且在当前时刻$S(0)=S_0$，则对应的SDE显式解为
S(t)=S0exp⁡{∫0t[μ(u)−12σ2(u)]du+∫0tσ(u)dW(u)} S(t)=S_0 \exp \{ \int_{0}^{t} [\mu(u) - \frac{1}{2}\sigma^2(u)]du + \int_{0}^{t} \sigma(u)dW(u) \} S(t)=S0​exp{∫0t​[μ(u)−21​σ2(u)]du+∫0t​σ(u)dW(u)}

解析解（1显示解2隐式解）
没有解析解，数值模拟方法得到

狭义线性SDE定义
形如SDE
$$\begin{array}{c}dX(t)=\left(a(t)X(t)+b(t)\right)dt+\sum _{k=1}^m{d}_k(t)d{W}_k(t)\end{array}$$
其中$a(\cdot ),b(\cdot ),d_k(\cdot )$均是连续有界的标量（scaler）函数，称为狭义线性SDE（linear SDE in narrow sense）。
若$b(\cdot )=d_k(\cdot )=0$，则称为齐次方程就是普通的微分方程。
注意：与前边提及的齐次标量线性SDE不同，此处方程的随机项不包含$X(t)$，因此不能简单采用分离变量法进行求解

那如何求解？
举例Vasicek模型
$$\{\begin{array}{l}dr(t)=(\alpha -\beta r(t))dt+\sigma dW(t)\\ r(0)=r_0\end{array}$$
可以看作狭义线性SDE的特殊形式

求解
！无法简单的移项，$r(t)$一定会两边，如$\frac{dr(t)}{\alpha -\beta r(t)}=dt+\frac{\sigma dW(t)}{\alpha -\beta r(t)}$

Applying the $\text{Ito product rule}$ ($d(XY)=XdY+YdX$), and noting that $e^{\beta t}$ is a deterministic function (so its quadratic variation with $r(t)$ is zero),
$$\begin{array}{c}dX(t)=d\left(e^{\beta t}r(t)\right)=e^{\beta t}dr(t)+r(t)d\left(e^{\beta t}\right).\end{array}$$

Substituting $dr(t)=(\alpha -\beta r(t))dt+\sigma dW(t)$ and $d(e^{\beta t})=\beta e^{\beta t}dt$, then

$$\begin{array}{rl}dX(t)& =e^{\beta t}\left[(\alpha -\beta r(t))dt+\sigma dW(t)\right]+r(t)\left(\beta e^{\beta t}dt\right)\\ & =e^{\beta t}\left[\left(\alpha -\beta r(t)+\beta r(t)\right)dt+\sigma dW(t)\right]\\ & =e^{\beta t}\left[\alpha dt+\sigma dW(t)\right].\end{array}$$

$$\begin{array}{c}dX(t)=d{e}^{\beta t}r(t)=e^{\beta t}\left[\alpha dt+\sigma dW(t)\right]\end{array}$$

Next, we integrate both sides from $0$ to $t$.
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{t}d{e}^{\beta u}r(u)=& {\int }_0^t{e}^{\beta u}\left[\alpha du+\sigma dW(u)\right]\\ e^{\beta t}r(t)-r(0)=& \alpha {\int }_0^t{e}^{\beta u}du+\sigma {\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)\\ e^{\beta t}r(t)=& r(0)+\frac{\alpha }{\beta }(e^{\beta t}-1)+\sigma {\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)\\ r(t)=& e^{-\beta t}\left[r_0+\frac{\alpha }{\beta }(e^{\beta t}-1)+\sigma {\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)\right]\\ r(t)=& r_0{e}^{-\beta t}+\frac{\alpha }{\beta }(1-e^{-\beta t})+\sigma e^{-\beta t}{\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)\end{array}$$

有性质1：Ito积分的期望为0。和性质2：Ito等距
设 $f(t)$ 是关于布朗运动 {W(t)}t≥0\{W(t)\}_{t \geq 0}{W(t)}t≥0​ 的适应过程【只依赖于之前信息】，不依赖未来（adapted process），且满足可积性条件：
$$\mathbb{E}\left[{\int }_0^T{f}^2(t)dt\right]<\infty$$

性质1：Ito积分的零均值性（Zero Mean Property）}

Ito积分的期望为零：
$$\mathbb{E}\left[{\int }_0^{t}f(u)dW(u)\right]=0,\forall t\in [0,T]$$

性质2：Ito等距（Ito Isometry）

Ito积分平方的期望等于被积函数平方的（期望）积分：
$$\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^{t}f(u)dW(u)\right)}^2\right]=\mathbb{E}\left[{\int }_0^t{f}^2(u)du\right]={\int }_0^t\mathbb{E}\left[f^2(u)\right]du$$

所以可以得到
$\mathbb{E}\left[r(t)\right]=\mathbb{E}\left[r_0{e}^{-\beta t}+\frac{\alpha }{\beta }(1-e^{-\beta t})+\sigma e^{-\beta t}{\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)\right]=r_0{e}^{-\beta t}+\frac{\alpha }{\beta }(1-e^{-\beta t})$

$\mathrm{Var}\left[r(t)\right]=\mathbb{E}{\left[r(t)-\mathbb{E}\left(r(t)\right)\right]}^2=\mathbb{E}{\left[r_0{e}^{-\beta t}+\frac{\alpha }{\beta }(1-e^{-\beta t})+\sigma e^{-\beta t}{\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)-\left(r_0{e}^{-\beta t}+\frac{\alpha }{\beta }(1-e^{-\beta t})\right)\right]}^2=\mathbb{E}{\left[\sigma e^{-\beta t}{\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)\right]}^2$

$\mathbb{E}{\left[\sigma e^{-\beta t}{\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)\right]}^2={\sigma }^2{e}^{-2\beta t}\mathbb{E}{\left[{\int }_0^t{e}^{\beta u}dW(u)\right]}^2={\sigma }^2{e}^{-2\beta t}\mathbb{E}\left[{\int }_0^t{e}^{2\beta u}du\right]=\frac{{\sigma }^2{e}^{-2\beta t}}{2\beta }(e^{2\beta t}-1)=\frac{{\sigma }^2}{2\beta }(1-e^{-2\beta t})$

并且进一步有
$r(t)\sim N(r_0{e}^{-\beta t}+\frac{\alpha }{\beta }(1-e^{-\beta t}),\frac{{\sigma }^2}{2\beta }(1-e^{-2\beta t}))$

1.当$t\to \infty$时，$\mathbb{E}\left[r(t)\right]\to \frac{\alpha }{\beta }$，均值回复的定义
2.由于$r(t)$服从正态分布，因此取值可能为负，而负利率现象在真实金融市场中非常罕见，这也是Vasicek模型的不足之处。

4.狭义SDE

狭义线性SDE的解
对于狭义线性SDE
$$\begin{array}{c}dX(t)=\left[a(t)X(t)+b(t)\right]dt+\sigma (t)dW(t)\end{array}$$
初值条件为$X(0)=X_0$，相应的显式解为
$$\begin{array}{c}X(t)=X_0\exp \left[{\int }_0^{t}a(s)ds\right]+{\int }_0^t\exp \left[{\int }_s^{t}a(u)du\right]b(s)ds+{\int }_0^t\exp \left[{\int }_s^{t}a(u)du\right]\sigma (s)dW(s)\end{array}$$

证明：
if $\Lambda (t)=\exp \left[-{\int }_0^{t}a(u)du\right]$, then $\frac{\Lambda (u)}{\Lambda (t)}=\frac{\exp \left[-{\int }_0^{u}a(s)ds\right]}{\exp \left[-{\int }_0^{t}a(s)ds\right]}=\exp \left[-{\int }_0^{u}a(s)ds+{\int }_0^{t}a(s)ds\right]=\exp \left[{\int }_u^{t}a(s)ds\right]$

$\frac{d\Lambda (t)}{dt}=\exp \left[-{\int }_0^{t}a(u)du\right]\left(-a(t)\right)dt=-a(t)\Lambda (t)dt$

let $Y(t)=\Lambda (t)X(t)$
dY(t)=Λ(t)dX(t)+X(t)dΛ(t)=Λ(t){[a(t)X(t)+b(t)]dt+σ(t)dW(t)}+X(t)[−a(t)Λ(t)dt]dY(t)=dΛ(t)X(t)=b(t)Λ(t)dt+Λ(t)σ(t)dW(t) \begin{aligned} dY(t) =&\Lambda (t)dX(t)+X(t)d\Lambda (t) \\ =&\Lambda (t)\left\{ \left[ a(t)X(t)+b(t)\right] dt+\sigma (t)dW(t)\right\} +X(t)\left[ -a(t)\Lambda (t)dt\right] \\ dY(t) =&d\Lambda (t)X(t)=b(t)\Lambda (t)dt+\Lambda (t)\sigma (t)dW(t) \end{aligned} dY(t)==dY(t)=​Λ(t)dX(t)+X(t)dΛ(t)Λ(t){[a(t)X(t)+b(t)]dt+σ(t)dW(t)}+X(t)[−a(t)Λ(t)dt]dΛ(t)X(t)=b(t)Λ(t)dt+Λ(t)σ(t)dW(t)​

integration
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{t}d\Lambda (u)X(u)=& {\int }_0^{t}b(u)\Lambda (u)du+{\int }_0^t\Lambda (u)\sigma (u)dW(u)\\ \Lambda (t)X(t)-\Lambda (0)X(0)=& {\int }_0^{t}b(u)\Lambda (u)du+{\int }_0^t\Lambda (u)\sigma (u)dW(u)\\ \Lambda (t)X(t)=& X(0)+{\int }_0^{t}b(u)\Lambda (u)du+{\int }_0^t\Lambda (u)\sigma (u)dW(u)\\ X(t)=& \frac{1}{\Lambda (t)}\left[X(0)+{\int }_0^{t}b(u)\Lambda (u)du+{\int }_0^t\Lambda (u)\sigma (u)dW(u)\right]\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}X(t)=& \frac{X(0)}{\Lambda (t)}+{\int }_0^{t}b(u)\frac{\Lambda (u)}{\Lambda (t)}du+{\int }_0^t\frac{\Lambda (u)}{\Lambda (t)}\sigma (u)dW(u)\\ X(t)=& \frac{X(0)}{\Lambda (t)}+{\int }_0^{t}b(u)\exp \left[{\int }_u^{t}a(s)ds\right]du+{\int }_0^t\exp \left[{\int }_u^{t}a(s)ds\right]\sigma (u)dW(u)\\ X(t)=& X_0\exp \left[{\int }_0^{t}a(u)du\right]+{\int }_0^{t}b(u)\exp \left[{\int }_u^{t}a(s)ds\right]du+{\int }_0^t\exp \left[{\int }_u^{t}a(s)ds\right]\sigma (u)dW(u)\end{array}$$

总结回顾
1.SDE分类
2.求解
3.期望+方差==》随机积分和（Ito积分的期望为0，Ito等距）