一、项目背景

聚类是无监督机器学习的核心任务，其目标是将相似的数据点归为一类，不相似的归为不同类。传统聚类算法（如K-Means）基于数据点的欧氏距离进行聚类，对凸分布的数据（如球形、椭圆形）效果较好，但对非凸分布的数据（如环形、螺旋形）聚类效果极差——因为K-Means假设聚类中心是数据的“质心”，而环形数据的质心位于圆环中心，无法区分不同环的样本。

谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论的聚类方法，核心思想是将数据点映射到“图的特征空间”，把聚类问题转化为“图的分割问题”（使同一子图内的点相似度高，不同子图间的点相似度低）。该方法无需假设数据的分布形状，能有效处理非凸分布的聚类场景。

本项目以三层同心环形分布的二维数据为研究对象，实现谱聚类算法，并探究核函数关键参数sigma对聚类效果的影响，验证谱聚类处理非凸数据的有效性。

二、解决问题的方案

1. 数据构建：生成三层同心圆环的二维数据，模拟非凸分布的聚类场景；
2. 相似度矩阵构建：计算数据点间的欧氏距离，通过高斯核函数（RBF核）将“距离”转换为“相似度”（距离越近，相似度越高），sigma是核函数的核心参数；
3. 谱聚类执行：基于相似度矩阵，使用谱聚类算法（结合K-Means分配最终聚类标签）对数据进行聚类，指定聚类数为3（对应三层圆环）；
4. 参数敏感性分析：遍历不同的sigma值（10⁻² ~ 10⁰），可视化每个sigma下的聚类结果，分析参数对聚类效果的影响；
5. 结果可视化：绘制不同sigma下的聚类散点图，直观展示谱聚类处理非凸数据的效果。

三、带详细注释的代码

#!/usr/bin/python
# -*- coding:utf-8 -*-

# 导入必要的库
import numpy as np  # 数值计算基础库，用于生成数据、矩阵运算
import matplotlib.pyplot as plt  # 绘图库，用于可视化聚类结果
import matplotlib.colors  # 颜色配置辅助库
from sklearn.cluster import spectral_clustering  # 谱聚类算法实现
from sklearn.metrics import euclidean_distances  # 计算欧氏距离的工具函数

def expand(a, b):
    """
    扩展坐标轴范围的辅助函数，让绘图结果更美观（避免数据点贴坐标轴）
    :param a: 坐标轴最小值
    :param b: 坐标轴最大值
    :return: 扩展后的最小值、最大值（扩展幅度为原范围的10%）
    """
    d = (b - a) * 0.1  # 计算扩展幅度：原范围的10%
    return a - d, b + d  # 返回扩展后的范围

if __name__ == "__main__":
    # ===================== 全局绘图配置 =====================
    # 设置中文显示（避免matplotlib绘制中文时乱码）
    matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
    # 设置负号显示正常（避免负号变成方块）
    matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

    # ===================== 构建非凸分布的数据集 =====================
    # 生成0到2π的等差数列，步长0.1（用于构建圆环的角度）
    t = np.arange(0, 2 * np.pi, 0.1)
    # 构建第一层圆环数据（半径1）：横坐标cos(t)，纵坐标sin(t)，转置后为N×2的矩阵
    data1 = np.vstack((np.cos(t), np.sin(t))).T
    # 构建第二层圆环数据（半径2）
    data2 = np.vstack((2 * np.cos(t), 2 * np.sin(t))).T
    # 构建第三层圆环数据（半径3）
    data3 = np.vstack((3 * np.cos(t), 3 * np.sin(t))).T
    # 合并三层圆环数据，最终得到3×len(t) ×2的二维数组（所有样本点）
    data = np.vstack((data1, data2, data3))

    # ===================== 谱聚类参数配置 =====================
    n_clusters = 3  # 聚类数量（对应三层圆环）
    # 计算所有数据点间的欧氏距离（平方），得到N×N的距离矩阵m
    m = euclidean_distances(data, squared=True)
    # 计算距离矩阵的中位数作为sigma的初始参考值（高斯核的带宽）
    sigma = np.median(m)

    # ===================== 绘图与谱聚类执行 =====================
    # 创建画布，尺寸12×8，背景白色
    plt.figure(figsize=(12, 8), facecolor='w')
    # 设置总标题，字体大小20
    plt.suptitle(u'谱聚类（不同sigma值的效果）', fontsize=20)
    # 生成n_clusters个颜色（从Spectral色板中取0到0.8的范围，避免颜色过接近）
    clrs = plt.cm.Spectral(np.linspace(0, 0.8, n_clusters))

    # 遍历6个不同的sigma值（从10^-2到10^0，等比数列），分析参数影响
    for i, s in enumerate(np.logspace(-2, 0, 6)):
        print(f"当前sigma值：{s}")  # 打印当前sigma值，便于调试
        # 构建高斯核相似度矩阵：af = exp(-距离² / sigma²) + 1e-6（加1e-6避免数值为0）
        af = np.exp(-m ** 2 / (s ** 2)) + 1e-6
        # 执行谱聚类：
        # - af：相似度矩阵
        # - n_clusters：聚类数
        # - assign_labels='kmeans'：用K-Means分配最终的聚类标签（谱聚类仅生成特征空间，需K-Means收尾）
        # - random_state=1：固定随机种子，保证结果可复现
        y_hat = spectral_clustering(af, n_clusters=n_clusters, assign_labels='kmeans', random_state=1)

        # 绘制子图：2行3列，第i+1个子图
        plt.subplot(2, 3, i+1)
        # 遍历每个聚类，绘制对应样本点
        for k, clr in enumerate(clrs):
            cur = (y_hat == k)  # 筛选出第k类的样本索引
            # 关键修改：将c=clr改为color=clr，消除颜色参数警告
            plt.scatter(data[cur, 0], data[cur, 1], s=40, color=clr, edgecolors='k')

        # 调整坐标轴范围（避免数据点贴边）
        x1_min, x2_min = np.min(data, axis=0)  # 数据x、y轴的最小值
        x1_max, x2_max = np.max(data, axis=0)  # 数据x、y轴的最大值
        x1_min, x1_max = expand(x1_min, x1_max)  # 扩展x轴范围
        x2_min, x2_max = expand(x2_min, x2_max)  # 扩展y轴范围
        plt.xlim((x1_min, x1_max))  # 设置x轴范围
        plt.ylim((x2_min, x2_max))  # 设置y轴范围
        plt.grid(True)  # 显示网格线，便于观察
        plt.title(u'sigma = %.2f' % s, fontsize=16)  # 子图标题：当前sigma值

    # 自动调整子图间距，避免重叠
    plt.tight_layout()
    # 调整总标题的位置（顶部预留10%空间）
    plt.subplots_adjust(top=0.9)
    # 显示绘图结果
    plt.show()

四、关键说明

1. 高斯核函数：af = np.exp(-m² / s²) + 1e-6 是谱聚类的核心，将“距离”转换为0~1之间的“相似度”：sigma越小，相似度随距离衰减越快；sigma越大，所有点的相似度越接近，聚类效果越差。
2. 参数敏感性：当sigma过小时（如0.01），相似度矩阵过于“稀疏”，谱聚类可能将同一圆环的样本错误分割；当sigma适中时（如0.1~1），能准确区分三层圆环；当sigma过大时（如1.0），所有样本的相似度接近，聚类完全失效。
3. 谱聚类优势：对比K-Means，谱聚类能完美分割环形数据，体现了其处理非凸分布数据的核心优势。

运行结果：

'''
当前sigma值：0.01
当前sigma值：0.025118864315095794
当前sigma值：0.06309573444801933
当前sigma值：0.15848931924611143
当前sigma值：0.3981071705534973
当前sigma值：1.0

进程已结束，退出代码为 0
'''