Rust 练习册：Pascal‘s Triangle与组合数学

爸爸619

871人浏览 · 2025-11-07 17:53:13

爸爸619 · 2025-11-07 17:53:13 发布

帕斯卡三角形（Pascal’s Triangle）是数学中一个经典的三角形数阵，以法国数学家布莱兹·帕斯卡命名。它在组合数学、概率论、代数等领域有广泛应用。在 Exercism 的 “pascals-triangle” 练习中，我们需要实现一个生成帕斯卡三角形的结构体。这不仅能帮助我们掌握动态规划和数学计算技巧，还能深入学习Rust中的数据结构设计和算法实现。

什么是帕斯卡三角形？

帕斯卡三角形是一个由数字排列成的三角形数阵，其中每个数字是其上方两个数字的和。它的构造规则如下：

第0行只有数字1
每行的第一个和最后一个数字都是1
中间的数字等于上一行相邻两个数字的和

帕斯卡三角形的前几行如下所示：

第0行: 1
第1行: 1 1
第2行: 1 2 1
第3行: 1 3 3 1
第4行: 1 4 6 4 1
第5行: 1 5 10 10 5 1

帕斯卡三角形在以下领域有重要应用：

组合数学：第n行第k列的数字表示C(n,k)组合数
二项式定理：系数与(a+b)^n的展开式相关
概率论：用于计算二项分布的概率
计算机科学：动态规划和递归算法的经典例子

让我们先看看练习提供的结构体和函数签名：

pub struct PascalsTriangle;

impl PascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        unimplemented!("create Pascal's triangle with {} rows", row_count);
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        unimplemented!();
    }
}

我们需要实现PascalsTriangle结构体，使其能够根据指定的行数生成帕斯卡三角形。

设计分析

1. 核心要求

结构体设计：设计合适的结构体存储帕斯卡三角形信息
行数处理：正确处理从0行到指定行数的所有行
数值计算：准确计算每个位置的数值
数据组织：合理组织和返回三角形数据

2. 技术要点

动态规划：利用已计算的值计算新值
数据结构：选择合适的数据结构存储三角形
边界处理：正确处理每行的边界情况
类型转换：处理u32到usize等类型的转换

完整实现

1. 基础实现

pub struct PascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl PascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let mut triangle = PascalsTriangle {
            rows: Vec::new(),
        };
        
        for i in 0..row_count {
            let mut row = Vec::new();
            
            for j in 0..=i {
                if j == 0 || j == i {
                    // 每行的第一个和最后一个元素都是1
                    row.push(1);
                } else {
                    // 中间的元素是上一行相邻两个元素的和
                    let prev_row = &triangle.rows[(i - 1) as usize];
                    let left = prev_row[(j - 1) as usize];
                    let right = prev_row[j as usize];
                    row.push(left + right);
                }
            }
            
            triangle.rows.push(row);
        }
        
        triangle
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
}

2. 优化实现

pub struct PascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl PascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let row_count = row_count as usize;
        let mut rows: Vec<Vec<u32>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        if row_count == 0 {
            return PascalsTriangle { rows };
        }
        
        // 初始化第一行
        rows.push(vec![1]);
        
        // 生成后续行
        for i in 1..row_count {
            let mut row = Vec::with_capacity(i + 1);
            row.push(1); // 第一个元素总是1
            
            // 计算中间元素
            let prev_row = &rows[i - 1];
            for j in 1..i {
                row.push(prev_row[j - 1] + prev_row[j]);
            }
            
            row.push(1); // 最后一个元素总是1
            rows.push(row);
        }
        
        PascalsTriangle { rows }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
}

3. 使用组合数公式的实现

pub struct PascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl PascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let row_count = row_count as usize;
        let mut rows: Vec<Vec<u32>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        for i in 0..row_count {
            let mut row = Vec::with_capacity(i + 1);
            for j in 0..=i {
                row.push(combination(i, j));
            }
            rows.push(row);
        }
        
        PascalsTriangle { rows }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
}

// 计算组合数 C(n, k)
fn combination(n: usize, k: usize) -> u32 {
    if k > n {
        return 0;
    }
    
    if k == 0 || k == n {
        return 1;
    }
    
    // 为了防止溢出，使用较小的k值
    let k = k.min(n - k);
    
    let mut result = 1u32;
    for i in 0..k {
        result = result * (n - i) as u32 / (i + 1) as u32;
    }
    
    result
}

测试用例分析

通过查看测试用例，我们可以更好地理解需求：

#[test]
fn no_rows() {
    let pt = PascalsTriangle::new(0);
    let expected: Vec<Vec<u32>> = Vec::new();
    assert_eq!(expected, pt.rows());
}

0行应该返回空的向量。

#[test]
fn one_row() {
    let pt = PascalsTriangle::new(1);
    let expected: Vec<Vec<u32>> = vec![vec![1]];
    assert_eq!(expected, pt.rows());
}

1行应该返回[[1]]。

#[test]
fn two_rows() {
    let pt = PascalsTriangle::new(2);
    let expected: Vec<Vec<u32>> = vec![vec![1], vec![1, 1]];
    assert_eq!(expected, pt.rows());
}

2行应该返回[[1], [1, 1]]。

#[test]
fn three_rows() {
    let pt = PascalsTriangle::new(3);
    let expected: Vec<Vec<u32>> = vec![vec![1], vec![1, 1], vec![1, 2, 1]];
    assert_eq!(expected, pt.rows());
}

3行应该返回[[1], [1, 1], [1, 2, 1]]。

#[test]
fn last_of_four_rows() {
    let pt = PascalsTriangle::new(4);
    let expected: Vec<u32> = vec![1, 3, 3, 1];
    assert_eq!(Some(expected), pt.rows().pop());
}

4行的最后一行应该是[1, 3, 3, 1]。

#[test]
fn five_rows() {
    let pt = PascalsTriangle::new(5);
    let expected: Vec<Vec<u32>> = vec![
        vec![1],
        vec![1, 1],
        vec![1, 2, 1],
        vec![1, 3, 3, 1],
        vec![1, 4, 6, 4, 1],
    ];
    assert_eq!(expected, pt.rows());
}

5行应该返回完整的5行帕斯卡三角形。

性能优化版本

考虑性能的优化实现：

pub struct PascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl PascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let row_count = row_count as usize;
        
        // 预分配向量容量以减少重新分配
        let mut rows: Vec<Vec<u32>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        if row_count == 0 {
            return PascalsTriangle { rows };
        }
        
        // 使用静态初始化避免重新分配
        rows.push(vec![1u32]);
        
        // 生成后续行
        for i in 1..row_count {
            let mut row: Vec<u32> = Vec::with_capacity(i + 1);
            
            // 第一个元素总是1
            row.push(1);
            
            // 使用引用避免重复索引
            let prev_row = unsafe { rows.get_unchecked(i - 1) };
            
            // 计算中间元素
            for j in 1..i {
                let sum = unsafe { 
                    *prev_row.get_unchecked(j - 1) + *prev_row.get_unchecked(j) 
                };
                row.push(sum);
            }
            
            // 最后一个元素总是1
            row.push(1);
            rows.push(row);
        }
        
        PascalsTriangle { rows }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
}

// 使用迭代器的版本
pub struct PascalsTriangleIterator {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl PascalsTriangleIterator {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let row_count = row_count as usize;
        let mut rows: Vec<Vec<u32>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        if row_count > 0 {
            rows.push(vec![1]);
            
            for i in 1..row_count {
                let prev_row = &rows[i - 1];
                let row = std::iter::once(1)
                    .chain(prev_row.windows(2).map(|w| w[0] + w[1]))
                    .chain(std::iter::once(1))
                    .collect();
                rows.push(row);
            }
        }
        
        PascalsTriangleIterator { rows }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
}

// 惰性计算版本
pub struct LazyPascalsTriangle {
    row_count: usize,
    cached_rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl LazyPascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        LazyPascalsTriangle {
            row_count: row_count as usize,
            cached_rows: Vec::new(),
        }
    }

    pub fn rows(&mut self) -> &Vec<Vec<u32>> {
        // 只在需要时计算行
        while self.cached_rows.len() < self.row_count {
            let row_index = self.cached_rows.len();
            
            let row = if row_index == 0 {
                vec![1]
            } else {
                let mut row = Vec::with_capacity(row_index + 1);
                row.push(1);
                
                let prev_row = &self.cached_rows[row_index - 1];
                for j in 1..row_index {
                    row.push(prev_row[j - 1] + prev_row[j]);
                }
                
                row.push(1);
                row
            };
            
            self.cached_rows.push(row);
        }
        
        &self.cached_rows
    }
    
    // 获取特定行
    pub fn row(&mut self, index: usize) -> Option<&Vec<u32>> {
        if index >= self.row_count {
            return None;
        }
        
        self.rows(); // 确保计算到所需行
        self.cached_rows.get(index)
    }
}

错误处理和边界情况

考虑更多边界情况的实现：

pub struct PascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

#[derive(Debug, PartialEq)]
pub enum TriangleError {
    Overflow,
    InvalidRowCount,
}

impl std::fmt::Display for TriangleError {
    fn fmt(&self, f: &mut std::fmt::Formatter) -> std::fmt::Result {
        match self {
            TriangleError::Overflow => write!(f, "计算过程中发生溢出"),
            TriangleError::InvalidRowCount => write!(f, "行数无效"),
        }
    }
}

impl std::error::Error for TriangleError {}

impl PascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        // 处理边界情况
        if row_count == 0 {
            return PascalsTriangle {
                rows: Vec::new(),
            };
        }
        
        let row_count = row_count as usize;
        let mut rows: Vec<Vec<u32>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        // 初始化第一行
        rows.push(vec![1]);
        
        // 生成后续行
        for i in 1..row_count {
            let mut row = Vec::with_capacity(i + 1);
            row.push(1); // 第一个元素总是1
            
            // 计算中间元素
            let prev_row = &rows[i - 1];
            for j in 1..i {
                // 检查溢出
                match prev_row[j - 1].checked_add(prev_row[j]) {
                    Some(sum) => row.push(sum),
                    None => panic!("在计算帕斯卡三角形时发生溢出"),
                }
            }
            
            row.push(1); // 最后一个元素总是1
            rows.push(row);
        }
        
        PascalsTriangle { rows }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
    
    // 安全版本，返回Result
    pub fn try_new(row_count: u32) -> Result<Self, TriangleError> {
        // 处理边界情况
        if row_count == 0 {
            return Ok(PascalsTriangle {
                rows: Vec::new(),
            });
        }
        
        let row_count = row_count as usize;
        let mut rows: Vec<Vec<u32>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        // 初始化第一行
        rows.push(vec![1]);
        
        // 生成后续行
        for i in 1..row_count {
            let mut row = Vec::with_capacity(i + 1);
            row.push(1); // 第一个元素总是1
            
            // 计算中间元素
            let prev_row = &rows[i - 1];
            for j in 1..i {
                // 检查溢出
                match prev_row[j - 1].checked_add(prev_row[j]) {
                    Some(sum) => row.push(sum),
                    None => return Err(TriangleError::Overflow),
                }
            }
            
            row.push(1); // 最后一个元素总是1
            rows.push(row);
        }
        
        Ok(PascalsTriangle { rows })
    }
    
    // 获取行数
    pub fn row_count(&self) -> usize {
        self.rows.len()
    }
    
    // 获取特定行
    pub fn get_row(&self, index: usize) -> Option<&Vec<u32>> {
        self.rows.get(index)
    }
    
    // 获取特定位置的值
    pub fn get_value(&self, row: usize, col: usize) -> Option<u32> {
        self.rows.get(row).and_then(|r| r.get(col).copied())
    }
}

// 使用u64以支持更大的数值
pub struct PascalsTriangle64 {
    rows: Vec<Vec<u64>>,
}

impl PascalsTriangle64 {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let row_count = row_count as usize;
        let mut rows: Vec<Vec<u64>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        if row_count == 0 {
            return PascalsTriangle64 { rows };
        }
        
        rows.push(vec![1]);
        
        for i in 1..row_count {
            let mut row = Vec::with_capacity(i + 1);
            row.push(1);
            
            let prev_row = &rows[i - 1];
            for j in 1..i {
                row.push(prev_row[j - 1] + prev_row[j]);
            }
            
            row.push(1);
            rows.push(row);
        }
        
        PascalsTriangle64 { rows }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u64>> {
        self.rows.clone()
    }
}

扩展功能

基于基础实现，我们可以添加更多功能：

pub struct PascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl PascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let row_count = row_count as usize;
        let mut rows: Vec<Vec<u32>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        if row_count == 0 {
            return PascalsTriangle { rows };
        }
        
        rows.push(vec![1]);
        
        for i in 1..row_count {
            let mut row = Vec::with_capacity(i + 1);
            row.push(1);
            
            let prev_row = &rows[i - 1];
            for j in 1..i {
                row.push(prev_row[j - 1] + prev_row[j]);
            }
            
            row.push(1);
            rows.push(row);
        }
        
        PascalsTriangle { rows }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
    
    // 获取行数
    pub fn row_count(&self) -> usize {
        self.rows.len()
    }
    
    // 获取特定行
    pub fn get_row(&self, index: usize) -> Option<&Vec<u32>> {
        self.rows.get(index)
    }
    
    // 获取特定位置的值
    pub fn get_value(&self, row: usize, col: usize) -> Option<u32> {
        self.rows.get(row).and_then(|r| r.get(col).copied())
    }
    
    // 计算某行的和
    pub fn row_sum(&self, row_index: usize) -> Option<u32> {
        self.rows.get(row_index).map(|row| row.iter().sum())
    }
    
    // 获取对称轴右侧的值（不包括中间值）
    pub fn right_half(&self, row_index: usize) -> Option<Vec<u32>> {
        self.rows.get(row_index).map(|row| {
            let mid = (row.len() + 1) / 2;
            row.iter().skip(mid).copied().collect()
        })
    }
    
    // 判断是否包含某个值
    pub fn contains(&self, value: u32) -> bool {
        self.rows.iter().any(|row| row.contains(&value))
    }
    
    // 查找值的位置
    pub fn find(&self, value: u32) -> Vec<(usize, usize)> {
        let mut positions = Vec::new();
        
        for (row_index, row) in self.rows.iter().enumerate() {
            for (col_index, &val) in row.iter().enumerate() {
                if val == value {
                    positions.push((row_index, col_index));
                }
            }
        }
        
        positions
    }
    
    // 格式化显示
    pub fn display(&self) -> String {
        let mut result = String::new();
        
        for (i, row) in self.rows.iter().enumerate() {
            // 添加适当的前导空格以居中显示
            let padding = " ".repeat((self.rows.len() - i - 1) * 2);
            result.push_str(&padding);
            
            for (j, &value) in row.iter().enumerate() {
                if j > 0 {
                    result.push(' ');
                }
                result.push_str(&value.to_string());
            }
            result.push('\n');
        }
        
        result
    }
}

// 帕斯卡三角形的统计信息
pub struct TriangleStats {
    pub row_count: usize,
    pub total_elements: usize,
    pub max_value: u32,
    pub max_value_position: (usize, usize),
    pub even_count: usize,
    pub odd_count: usize,
}

impl PascalsTriangle {
    pub fn stats(&self) -> TriangleStats {
        let row_count = self.rows.len();
        let total_elements: usize = self.rows.iter().map(|row| row.len()).sum();
        
        let mut max_value = 0;
        let mut max_value_position = (0, 0);
        let mut even_count = 0;
        let mut odd_count = 0;
        
        for (row_index, row) in self.rows.iter().enumerate() {
            for (col_index, &value) in row.iter().enumerate() {
                if value > max_value {
                    max_value = value;
                    max_value_position = (row_index, col_index);
                }
                
                if value % 2 == 0 {
                    even_count += 1;
                } else {
                    odd_count += 1;
                }
            }
        }
        
        TriangleStats {
            row_count,
            total_elements,
            max_value,
            max_value_position,
            even_count,
            odd_count,
        }
    }
}

// 生成器模式实现
pub struct TriangleGenerator {
    current_row: Vec<u32>,
    next_row_index: usize,
    max_rows: usize,
}

impl TriangleGenerator {
    pub fn new(max_rows: usize) -> Self {
        TriangleGenerator {
            current_row: vec![1],
            next_row_index: 1,
            max_rows,
        }
    }
}

impl Iterator for TriangleGenerator {
    type Item = Vec<u32>;
    
    fn next(&mut self) -> Option<Self::Item> {
        if self.next_row_index > self.max_rows {
            return None;
        }
        
        let result = self.current_row.clone();
        
        if self.next_row_index < self.max_rows {
            let mut next_row = Vec::with_capacity(self.next_row_index + 1);
            next_row.push(1);
            
            for i in 1..self.next_row_index {
                next_row.push(self.current_row[i - 1] + self.current_row[i]);
            }
            
            next_row.push(1);
            self.current_row = next_row;
        }
        
        self.next_row_index += 1;
        Some(result)
    }
}

// 便利函数
pub fn generate_pascals_triangle(row_count: u32) -> Vec<Vec<u32>> {
    PascalsTriangle::new(row_count).rows()
}

pub fn print_pascals_triangle(row_count: u32) {
    let triangle = PascalsTriangle::new(row_count);
    println!("{}", triangle.display());
}

实际应用场景

帕斯卡三角形在实际开发中有以下应用：

组合数学：计算组合数和排列数
概率论：二项分布的概率计算
算法教学：递归和动态规划的经典例子
计算机图形学：贝塞尔曲线的计算
金融数学：期权定价模型
密码学：某些加密算法中的数学计算
数据分析：统计分布的计算
教育工具：数学教学演示

算法复杂度分析

时间复杂度：O(n²)
- 其中n是行数，需要计算n(n+1)/2个元素
空间复杂度：O(n²)
- 需要存储n(n+1)/2个元素

与其他实现方式的比较

// 使用递归的实现
pub struct RecursivePascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl RecursivePascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let mut triangle = RecursivePascalsTriangle {
            rows: Vec::new(),
        };
        
        for i in 0..row_count {
            let mut row = Vec::new();
            for j in 0..=i {
                row.push(Self::pascal_value(i, j));
            }
            triangle.rows.push(row);
        }
        
        triangle
    }
    
    // 递归计算帕斯卡三角形的值
    fn pascal_value(row: u32, col: u32) -> u32 {
        if col == 0 || col == row {
            1
        } else {
            Self::pascal_value(row - 1, col - 1) + Self::pascal_value(row - 1, col)
        }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
}

// 使用记忆化的递归实现
use std::collections::HashMap;

pub struct MemoizedPascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
    memo: HashMap<(u32, u32), u32>,
}

impl MemoizedPascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let mut triangle = MemoizedPascalsTriangle {
            rows: Vec::new(),
            memo: HashMap::new(),
        };
        
        for i in 0..row_count {
            let mut row = Vec::new();
            for j in 0..=i {
                row.push(Self::pascal_value_memo(i, j, &mut triangle.memo));
            }
            triangle.rows.push(row);
        }
        
        triangle
    }
    
    // 带记忆化的递归计算
    fn pascal_value_memo(row: u32, col: u32, memo: &mut HashMap<(u32, u32), u32>) -> u32 {
        if col == 0 || col == row {
            return 1;
        }
        
        if let Some(&value) = memo.get(&(row, col)) {
            return value;
        }
        
        let value = Self::pascal_value_memo(row - 1, col - 1, memo) + 
                    Self::pascal_value_memo(row - 1, col, memo);
        memo.insert((row, col), value);
        value
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
}

// 使用数学公式的实现
pub struct FormulaPascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<u32>>,
}

impl FormulaPascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let mut rows: Vec<Vec<u32>> = Vec::with_capacity(row_count as usize);
        
        for i in 0..row_count {
            let mut row = Vec::with_capacity((i + 1) as usize);
            for j in 0..=i {
                row.push(Self::combination(i, j));
            }
            rows.push(row);
        }
        
        FormulaPascalsTriangle { rows }
    }
    
    // 使用组合数公式计算
    fn combination(n: u32, k: u32) -> u32 {
        if k > n {
            return 0;
        }
        
        if k == 0 || k == n {
            return 1;
        }
        
        let k = k.min(n - k); // 利用对称性
        let mut result = 1u32;
        
        for i in 0..k {
            result = result * (n - i) / (i + 1);
        }
        
        result
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<u32>> {
        self.rows.clone()
    }
}

// 使用第三方库的实现
// [dependencies]
// num = "0.4"

use num::BigUint;

pub struct BigPascalsTriangle {
    rows: Vec<Vec<BigUint>>,
}

impl BigPascalsTriangle {
    pub fn new(row_count: u32) -> Self {
        let row_count = row_count as usize;
        let mut rows: Vec<Vec<BigUint>> = Vec::with_capacity(row_count);
        
        if row_count == 0 {
            return BigPascalsTriangle { rows };
        }
        
        rows.push(vec![BigUint::from(1u32)]);
        
        for i in 1..row_count {
            let mut row = Vec::with_capacity(i + 1);
            row.push(BigUint::from(1u32));
            
            let prev_row = &rows[i - 1];
            for j in 1..i {
                row.push(&prev_row[j - 1] + &prev_row[j]);
            }
            
            row.push(BigUint::from(1u32));
            rows.push(row);
        }
        
        BigPascalsTriangle { rows }
    }

    pub fn rows(&self) -> Vec<Vec<BigUint>> {
        self.rows.clone()
    }
}

总结

通过 pascals-triangle 练习，我们学到了：

动态规划：掌握了利用已计算结果计算新结果的方法
数据结构设计：学会了设计合适的数据结构存储复杂数据
边界处理：深入理解了各种边界情况的处理
数学算法实现：了解了如何将数学概念转换为代码实现
性能优化：学会了预分配内存和避免重复计算等优化技巧
错误处理：理解了如何处理计算过程中的潜在错误

这些技能在实际开发中非常有用，特别是在算法设计、数学计算、数据处理等场景中。帕斯卡三角形虽然是一个经典的数学问题，但它涉及到了动态规划、数据结构设计、边界处理等许多核心概念，是学习Rust实用编程的良好起点。

通过这个练习，我们也看到了Rust在数学计算和算法实现方面的强大能力，以及如何用安全且高效的方式实现经典算法。这种结合了安全性和性能的语言特性正是Rust的魅力所在。

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