【积分的定义】

本文将详细的描述积分的定义和牛顿.莱布尼茨公式。感谢此文：如何简单地证明、理解牛顿-莱布尼兹公式？

在上面四个图中，我们可以看到，使用等分矩形的形式来计算曲线与坐标轴所围的面积，则当细分到一定程度时，则二者是几乎相等的。

德国数学家黎曼，定义了黎曼和，也即在闭区间上进行分隔，也即 ，则 ，也即是分隔的区间中，最大的区间。我们再对于每个取样区间 中，取一点

定义以下黎曼和：

当时，则黎曼和若趋近于某个常数S，则称为该函数在上是可积的，积分定为：

其值为S。这就是黎曼积分。也就是我们正常学习的积分。

【牛顿.莱布尼茨公式】

给出积分的定义之后，我们可以使用黎曼和来求积分，事实上在计算机的计算之中就是使用黎曼和来近似的。在数值计算当中，我们使用黎曼和的形式来计算积分并不容易，比如的积分计算按照黎曼和计算很容易，每次都取最大值做高：

取极限，则

上面是属于好求的，倘若那就很难受了。

因此必须要求更好的求积分的方法，否则就难受大了。

牛顿.莱布其茨提出了一个方便快捷的求积分的公式：

设有原函数，也即的导数等于，那么：

下面来证明牛莱公式：

其中最后两步使用到了拉格朗日中值定理。

【拉格朗日中值定理】

在可导可积的区间上，则至少存在一个使得：

也即：

从直观上理解，若上连续，则必然存在一点其切线（斜率）与与的连线平行。如上图所示。

【柯西中值定理】

由拉格朗日中值定理，可以引入另一个函数，其在上连续可导。则：

证明是显而易见的。

还有一个罗尔中值定理，与拉格朗日中值定理，柯西中值定理合称微分三大中值定理。

【罗尔中值定理】

若上连续，且=，则必存在，使得，可以将罗尔中值定理看成是拉格郎日中值定理的其中的一种特例。