0 介绍

        本文介绍了一种新模型来学习与旋转、平移、反射和排列等变的图神经网络，称为 E(n)-等变图神经网络 (EGNN)。

         与现有方法相比，EGNN不需要在中间层中计算昂贵的高阶表示，同时仍能获得有竞争力或更好的性能。 此外，虽然现有方法仅限于 3 维空间的等变性，但EGNN很容易扩展到更高维空间。 

1  introduction

        尽管深度学习在很大程度上取代了手工制作的特征，但许多进步严重依赖于深度神经网络中的归纳偏差。（inductive bias）

         将神经网络限制为和研究问题相关函数的一种有效方法是，利用问题的对称性、变换等变性（equivariance），通过研究某个对称组来简化当前问题的计算。【eg，CNN的卷积是等变形、池化是近似不变性；GNN的点的排列顺序是等变性（不同点的排列对应不同的邻接矩阵，但是最终这张graph表达的信息是一样的）】

        许多问题都表现出 3D 平移和旋转对称性。论文中将这些对称操作的集合记为SE(3) ，如果包含反射，那么集合记为 E(3)。 通常希望对这些任务的预测相对于 E(3) 变换是等变的或不变的。、

        最近，已经提出了等变E(3) 或 SE(3) 的各种形式和方法。 其中许多工作在研究中间网络层的高阶表示类型方面实现了创新。 然而，这些高阶表示的转换需要计算成本高昂的系数或近似值。 此外，在实践中，对于许多类型的数据，输入和输出仅限于标量值（例如温度或能量，在文献中称为 type-0）和 3d 矢量（例如速度或动量，在文献中称为 type-1）。

        这篇paper提出了一种新的架构，它是平移、旋转和反射等变 (E(n))，以及关于输入点集的置换等变。 模型比以前的方法更简单，同时模型中的等变性不限于 3 维空间，并且可以扩展到更大的维空间，而不会显着增加计算量。

2 背景知识

2.1 等变性

定义：

        

通俗地说，先平移/旋转/排列再映射，和先映射再平移/旋转/排列 效果是一样的

2.2 GNN

GNN笔记：消息传播模型_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客

3 EGNN

• 考虑一张图,其中,
• 每一个点的特征embedding是 (和2.2的GNN一样）[这个nf指的是node feature,并不是n乘f]【不带方向的物理信息，标量】
• 但在此基础上，EGNN对每个点加了一个n维的坐标【带方向的几何信息，矢量】

GNN将保持与这些坐标 xi 旋转和平移的等变性，并且它还将以与 GNN 相同的方式保持与节点集 V 上排列的等变性。

 用公式表示第l层EGNN，Equivariant Graph Convolutional Layer (EGCL)有：

和传统GNN不一样的地方用绿色框框画出来了

• 在等式3中，EGNN增加了两个坐标之间的距离作为参数
• 在等式 4 中，按照论文的意思，xi的位置更新为径向的矢量场，由所有共同决定【这里我不是很理解，为什么会是径向的，因为不同的xi，它的方向是不一样的，作为向量减法，不一定沿着径向呀】
  • 等式4每一项的加权系数是通过函数 计算的
  • 这里的C=1/(M-1)
• ——>等式3&4可以保证等变性
• ——>与此同时，另外一个区别是，这边考虑了所有(i,j)对，而不仅仅是邻居点之间的pair，也就是说，embedding  mij可以包含全图的信息

 

 

 3.1 平移等变性

g是一个平移向量，x（type-1向量）是平移等变性（equivariant），h（type-0向量）是平移不变性（invariant）

 ——>不难发现，EGCL的组合也是具有等变性的

3.2 拓展EGNN

这里对前面的EGNN进行轻微修改，以便我们明确地跟踪粒子的动量。

这不仅可以用于获得粒子在每一层的速度估计值，还可以将动量引入进来

用公式表示，就是将

 表示成

 '

如果为0，那么等式4和等式7表达的是一个意思

3.3 得到点的信息

在某些情况下，我们可能并不总是得到一个邻接矩阵。 在这些情况下，我们可以假设一个全连接图，其中所有节点相互交换消息。

这种全连接方法可能无法很好地扩展到大图，我们希望只需考虑邻居节点N(i)的点之间的交互。

论文这里使用如下的方式

其中如果(i,j)有连边，那么eij为1，否则为0

论文通过一个函数来近似eij :（线性层+sigmoid激活函数，输入边embedding，输出边value的soft estimation）