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【第 7 章：图像复原与重建】
106. 退化图像的逆滤波
107. 退化图像的维纳滤波
108. 约束最小二乘方滤波
109. 几何均值滤波

【youcans 的 OpenCV 例程 300 篇】107. 退化图像的维纳滤波（Wiener filter）

6. 退化图像复原

图像复原是对图像退化的过程进行估计，并补偿退化过程造成的失真，以便获得未经退化的原始图像或原始图像的最优估值，从而改善图像质量的一种方法。

典型的图像复原方法是根据图像退化的先验知识建立退化模型，以退化模型为基础采用滤波等手段进行处理，使复原后的图像符合一定的准则，达到改善图像质量的目的。

因此，图像复原是沿着质量降低的逆过程来重现真实的原始图像，通过去模糊函数而去除图像模糊。

6.2 退化图像的维纳滤波（Wiener filter）

逆滤波对加性噪声特别敏感，使得恢复的图像几乎不可用（例程9.20中的退化图像未加入噪声项） 。

最小均方误差滤波用来去除含有噪声的模糊图像，其目标是寻找未污染图像的一个估计，使均方误差最小：
$$e^2=E\{(f-\hat{f}{)}^2\}$$
最小均方差滤波由 Wiener [1942] 首先提出，是最早提出的线性图像复原方法，因此称为维纳滤波。

信噪比 $SNR(f)=S(f)/N(f)$，是信息承载信号功率（未退化的原图像）水平与噪声功率水平的测度。低噪声图像的信噪比较高，高噪声图像的信噪比较低。

将复原后的图像视为“信号”，而复原图像与原图像的差视为“噪声”，则可以将空间域的信噪比定义为：
$$SNR=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}\hat{f}(x,y{)}^2/\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}[f(x,y)-\hat{f}(x,y){]}^2$$
最小均方误差滤波的传递函数描述为：
$$G(f)=\frac{H^{\ast }(f)S(f)}{|H(f){|}^{2}S(f)+N(f)}=\frac{H^{\ast }(f)}{|H(f){|}^{2}S(f)+N(f)/S(f)}$$
式中 $G(f)、H(f)$ 是 g 和 h 在频率域的傅里叶变换，$S(f)、N(f)$ 是信号 x(t)、噪声 n(t) 的功率谱。

用信噪比将上式进一步表示为：
$$G(f)=\frac{1}{H(f)}\frac{|H(f){|}^2}{|H(f){|}^2+1/SNR(f)}$$
当处理白噪声时$|N(u,v){|}^2$ 是一个常数， 但未退化图像和噪声的功率谱通常未知或不能估计，则可用下式近似：
$$\hat{F}(u,v)=\frac{1}{H(u,v)}\frac{|H(u,v){|}^2}{|H(u,v){|}^2+K}G(u,v)$$
K 是加到 $|H(u,v){|}^2$的所有项上的一个规定常数。

例程 9.21: 维纳滤波 （Wiener filter）

    # 9.21: 退化图像的维纳滤波 (Wiener filter)
    def getMotionDsf(shape, angle, dist):
        xCenter = (shape[0] - 1) / 2
        yCenter = (shape[1] - 1) / 2
        sinVal = np.sin(angle * np.pi / 180)
        cosVal = np.cos(angle * np.pi / 180)
        PSF = np.zeros(shape)  # 点扩散函数
        for i in range(dist):  # 将对应角度上motion_dis个点置成1
            xOffset = round(sinVal * i)
            yOffset = round(cosVal * i)
            PSF[int(xCenter - xOffset), int(yCenter + yOffset)] = 1
        return PSF / PSF.sum()  # 归一化

    def makeBlurred(image, PSF, eps):  # 对图片进行运动模糊
        fftImg = np.fft.fft2(image)  # 进行二维数组的傅里叶变换
        fftPSF = np.fft.fft2(PSF) + eps
        fftBlur = np.fft.ifft2(fftImg * fftPSF)
        fftBlur = np.abs(np.fft.fftshift(fftBlur))
        return fftBlur

    def inverseFilter(image, PSF, eps):  # 逆滤波
        fftImg = np.fft.fft2(image)
        fftPSF = np.fft.fft2(PSF) + eps  # 噪声功率，这是已知的，考虑epsilon
        imgInvFilter = np.fft.ifft2(fftImg / fftPSF)  # 计算F(u,v)的傅里叶反变换
        imgInvFilter = np.abs(np.fft.fftshift(imgInvFilter))
        return imgInvFilter

    def wienerFilter(input, PSF, eps, K=0.01):  # 维纳滤波，K=0.01
        fftImg = np.fft.fft2(input)
        fftPSF = np.fft.fft2(PSF) + eps
        fftWiener = np.conj(fftPSF) / (np.abs(fftPSF)**2 + K)
        imgWienerFilter = np.fft.ifft2(fftImg * fftWiener)
        imgWienerFilter = np.abs(np.fft.fftshift(imgWienerFilter))
        return imgWienerFilter


    # 读取原始图像
    img = cv2.imread("../images/Fig0526a.tif", 0)  # flags=0 读取为灰度图像
    hImg, wImg = img.shape[:2]

    # 不含噪声的运动模糊
    PSF = getMotionDsf((hImg, wImg), 45, 100)  # 运动模糊函数
    imgBlurred = np.abs(makeBlurred(img, PSF, 1e-6))  # 生成不含噪声的运动模糊图像
    imgInvFilter = inverseFilter(imgBlurred, PSF, 1e-6)  # 逆滤波
    imgWienerFilter = wienerFilter(imgBlurred, PSF, 1e-6)  # 维纳滤波

    # 带有噪声的运动模糊
    scale = 0.05  # 噪声方差
    noisy = imgBlurred.std() * np.random.normal(loc=0.0, scale=scale, size=imgBlurred.shape)  # 添加高斯噪声
    imgBlurNoisy = imgBlurred + noisy  # 带有噪声的运动模糊
    imgNoisyInv = inverseFilter(imgBlurNoisy, PSF, scale)  # 对添加噪声的模糊图像进行逆滤波
    imgNoisyWiener = wienerFilter(imgBlurNoisy, PSF, scale)  # 对添加噪声的模糊图像进行维纳滤波

    plt.figure(figsize=(9, 7))
    plt.subplot(231), plt.title("blurred image"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgBlurred, 'gray')
    plt.subplot(232), plt.title("inverse filter"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgInvFilter, 'gray')
    plt.subplot(233), plt.title("Wiener filter"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgWienerFilter, 'gray')
    plt.subplot(234), plt.title("blurred image with noisy"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgBlurNoisy, 'gray')
    plt.subplot(235), plt.title("inverse filter"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgNoisyInv, 'gray')
    plt.subplot(236), plt.title("Wiener filter"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgNoisyWiener, 'gray')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

程序说明：

对于不含噪声的运动模糊图像，在已知运动模糊退化模型和参数的前提下，使用逆滤波可以很好地复原退化图像，逆滤波的性能优于维纳滤波。但是，考虑实际退化图像往往含有一定水平的加性噪声，此时即使已知退化模型，逆滤波的后的噪声几乎掩盖了图像内容，而维纳滤波的结果则较好。

（本节完）

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