自动驾驶工具箱-车道保持辅助与车道检测

          最小二乘法多项式曲线拟合，是常见的曲线拟合方法，有着广泛的应用，这里在借鉴最小二乘多项式曲线拟合原理与实现的原理的基础上，介绍如何在OpenCV来实现基于最小二乘的多项式曲线拟合。

概念

最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

原理

给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。

常见的曲线拟合方法:

1.使偏差绝对值之和最小

     

2.使偏差绝对值最大的最小
     

3.使偏差平方和最小

     

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

1. 设拟合多项式为：

          

2.各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

          

3.为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：

          

        

 

                         .......

          

4.将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：

          

          

                     .......

          

5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

          

6.即X*A=Y。

我们只要解出这个线性方程，即可求得拟合曲线多项式的系数矩阵。而在opencv中，有一个专门用于求解线性方程的函数，即cv::solve()，具体调用形式如下：

    int cv::solve(
        cv::InputArray X, // 左边矩阵X, nxn
        cv::InputArray Y, // 右边矩阵Y,nx1
        cv::OutputArray A, // 结果，系数矩阵A,nx1
        int method = cv::DECOMP_LU // 估算方法
    );

我们只需要按照上述原理，构造出矩阵X和Y，即可调用该函数，计算出多项式的系数矩阵A。

opencv中支持的估算方法如下图所示：

实现如下：

    bool polynomial_curve_fit(std::vector<cv::Point>& key_point, int n, cv::Mat& A)
    {
        //Number of key points
        int N = key_point.size();
     
        //构造矩阵X
        cv::Mat X = cv::Mat::zeros(n + 1, n + 1, CV_64FC1);
        for (int i = 0; i < n + 1; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n + 1; j++)
            {
                for (int k = 0; k < N; k++)
                {
                    X.at<double>(i, j) = X.at<double>(i, j) +
                        std::pow(key_point[k].x, i + j);
                }
            }
        }
     
        //构造矩阵Y
        cv::Mat Y = cv::Mat::zeros(n + 1, 1, CV_64FC1);
        for (int i = 0; i < n + 1; i++)
        {
            for (int k = 0; k < N; k++)
            {
                Y.at<double>(i, 0) = Y.at<double>(i, 0) +
                    std::pow(key_point[k].x, i) * key_point[k].y;
            }
        }
     
        A = cv::Mat::zeros(n + 1, 1, CV_64FC1);
        //求解矩阵A
        cv::solve(X, Y, A, cv::DECOMP_LU);
        return true;
    }

测试代码如下：

 int main()
    {
        //创建用于绘制的深蓝色背景图像
        cv::Mat image = cv::Mat::zeros(480, 640, CV_8UC3);
        image.setTo(cv::Scalar(100, 0, 0));
     
        //输入拟合点  
        std::vector<cv::Point> points;
        points.push_back(cv::Point(100., 58.));
        points.push_back(cv::Point(150., 70.));
        points.push_back(cv::Point(200., 90.));
        points.push_back(cv::Point(252., 140.));
        points.push_back(cv::Point(300., 220.));
        points.push_back(cv::Point(350., 400.));
     
        //将拟合点绘制到空白图上  
        for (int i = 0; i < points.size(); i++)
        {
            cv::circle(image, points[i], 5, cv::Scalar(0, 0, 255), 2, 8, 0);
        }
     
        //绘制折线
        cv::polylines(image, points, false, cv::Scalar(0, 255, 0), 1, 8, 0);
     
        cv::Mat A;
     
        polynomial_curve_fit(points, 3, A);
        std::cout << "A = " << A << std::endl;
     
        std::vector<cv::Point> points_fitted;
     
        for (int x = 0; x < 400; x++)
        {
            double y = A.at<double>(0, 0) + A.at<double>(1, 0) * x +
                A.at<double>(2, 0)*std::pow(x, 2) + A.at<double>(3, 0)*std::pow(x, 3);
     
            points_fitted.push_back(cv::Point(x, y));
        }
        cv::polylines(image, points_fitted, false, cv::Scalar(0, 255, 255), 1, 8, 0);
     
        cv::imshow("image", image);
     
        cv::waitKey(0);
        return 0;
    }

 

绘制结果：

cv::solve(X, Y, A, cv::DECOMP_LU);

A = [-80.59143874478204;
 2.591187861030039;
 -0.01564864659563801;
 3.472543637058225e-05]

 

cv::solve(X, Y, A, cv::DECOMP_SVD)

A = [0.02079552657076436;
 1.342995408381021;
 -0.009847461533329421;
 2.641160332074949e-05]

cv::solve(X, Y, A, cv::DECOMP_CHOLESKY);

A = [-80.59143874468819;
 2.591187861028489;
 -0.01564864659563045;
 3.472543637057102e-05]

车道检测

OpenCV曲线拟合与圆拟合

使用OpenCV做图像处理与分析的时候，经常会遇到需要进行曲线拟合与圆拟合的场景，很多OpenCV开发者对此却是一筹莫展，其实OpenCV中是有现成的函数来实现圆拟合与直线拟合的，而且还会告诉你拟合的圆的半径是多少，简直是超级方便，另外一个常用到的场景就是曲线拟合，常见的是基于多项式拟合，可以根据设定的多项式幂次生成多项式方程，然后根据方程进行一系列的点生成，形成完整的曲线，这个车道线检测，轮廓曲线拟合等场景下特别有用。下面就通过两个简单的例子来分别学习一下曲线拟合与圆拟合的应用。

一：曲线拟合与应用

基于Numpy包的polyfit函数实现，其支持的三个参数分别是x点集合、y点集合，以及多项式的幂次。得到多项式方程以后，就可以完整拟合曲线，图中有如下四个点：

调用polyfit生成的二阶多项式如下：

拟合结果如下：

使用三阶多项式拟合，调用polyfit生成的多项式方程如下：

生成的拟合曲线如下：

使用polyfit进行曲线拟合时候需要注意的是，多项式的幂次最大是数据点数目N - 1幂次多项式，比如有4个点，最多生成3阶多项式拟合。上述演示的完整代码实现如下：

def circle_fitness_demo():
    image = np.zeros((400, 400, 3), dtype=np.uint8)
    x = np.array([30, 50, 100, 120])
    y = np.array([100, 150, 240, 200])
    for i in range(len(x)):
        cv.circle(image, (x[i], y[i]), 3, (255, 0, 0), -1, 8, 0)
    cv.imwrite("D:/curve.png", image)

    poly = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 3))
    print(poly)
    for t in range(30, 250, 1):
        y_ = np.int(poly(t))
        cv.circle(image, (t, y_), 1, (0, 0, 255), 1, 8, 0)
    cv.imshow("fit curve", image)
    cv.imwrite("D:/fitcurve.png", image)

二：圆拟合与应用

圆的拟合是基于轮廓发现的结果，对发现的近似圆的轮廓，通过圆拟合可以得到比较好的显示效果，轮廓发现与拟合的API分别为findContours与fitEllipse，
有图像如下：

使用轮廓发现与圆拟合处理结果如下：

红色表示拟合的圆，蓝色是圆的中心位置
上述完整的演示代码如下：

def circle_fitness_demo():
    src = cv.imread("D:/javaopencv/c2.png")
    cv.imshow("input", src)
    src = cv.GaussianBlur(src, (3, 3), 0)
    gray = cv.cvtColor(src, cv.COLOR_BGR2GRAY)
    ret, binary = cv.threshold(gray, 0, 255, cv.THRESH_BINARY | cv.THRESH_OTSU)
    cv.imshow("binary", binary)

    image, contours, hierachy = cv.findContours(binary, cv.RETR_EXTERNAL, cv.CHAIN_APPROX_SIMPLE)
    for i in range(len(contours)):
        rrt = cv.fitEllipse(contours[i])
        cv.ellipse(src, rrt, (0, 0, 255), 2, cv.LINE_AA)
        x, y = rrt[0]
        cv.circle(src, (np.int(x), np.int(y)), 4, (255, 0, 0), -1, 8, 0)
    cv.imshow("fit circle", src)
    cv.imwrite("D:/fitcircle.png", src)

参考：

【算法+OpenCV】基于opencv的直线和曲线拟合与绘制（最小二乘法）

OpenCV曲线拟合与圆拟合