1. 多普勒效应定义

物体辐射的波长因为波源和观测者的相对运动而产生变化。

在运动的波源前面，波被压缩，波长变得较短，频率变得较高（蓝移blue shift）；

在运动的波源后面时，会产生相反的效应。波长变得较长，频率变得较低（红移red shift）；

波源的速度越高，所产生的效应越大。

根据波红（或蓝）移的程度，可以计算出波源循着观测方向运动的速度。

这就是雷达通过多普勒效应测量物体运动速度的重要原理

2. 多普勒公式

假设原有波源的波长为λ，波速为u，观察者移动速度为，波源的移动速度

 

其中，𝑓′为观察者角度观察到的频率，𝑓为发射源于该介质中的原始发射频率，u为波在该介质中的行进速度，为观察者相对于介质的移动速度，接近发射源则前方运算符号为+号，反之为-号；为发射源相对与介质的移动速度，若接近观察者则前方运算符号为-号，反之为+号

3. 多普勒公式推导

简单画个草图做推导

方框代表信号源，小人代表观察者，中间的黑色曲线代表波源发出的波峰的位置（中间是几个周期都可以，因为无所谓的）

波源的波长为λ，波速为u，然后我们引入一个中间量τ代表周期，也就是，λ=𝑢𝜏也就是一个波峰到另一个波峰位置的距离也就是波长

3.1 波源静止，接收者运动的情况

我们首先让接收者相对波源有一个相向的速度

我们现在只关注传播到接收者的波，假设某一时刻波峰恰好传播到接收者，那么上面的图表示接收者静止时，下一次波峰传播到接收者，就需要走波长λ=𝑢𝜏距离，但是如果接收者有相向的速度，此时就像一个相遇问题，波峰和接收者相向运动，波峰走了𝑢𝜏′，接收者走了𝜏′，那么原本需要波峰走完的路程，由波峰和接收者一起走完了，所以

得到

所以得到结果

3.2 波源运动，接收者静止的情况

接下来，我们让接收者静止，只让波源运动

假设一开始波源发射一个波峰，经过𝜏时间波峰到达接收者，如果波源不动，那么接下来下一个波峰也需要𝜏时间到达接收者，但是波源以𝑣𝑠的速度向接收者移动，此时在第一个波峰行进过程中的𝜏时间内，波源已经向前移动了，下一个波峰要到达接收者，只需要走𝑢𝜏′=𝑢𝜏−𝜏即可到达，所以得出

所以

上面两种情况相互独立，显然可以同时发生，互不影响，也就是波源和接收者同时运动

那么综合上面的结果，得到

4. 多普勒公式在雷达测速的应用场景及其推导

（本节内容部分节选自博客关于目标有相向速度时，为什么反射波比发射波发生了压缩的推导，推导部分我增加了很多细节，便于理解）

假设雷达以特定的频率发射脉冲，如果这个脉冲遇到了一个朝它运动的目标并反射回来，那么脉冲波形就会被压缩得更紧。这就意味着回波信号相对于发射信号除了存在时延以及强度变弱之外，其载波频率也会有一定得升高。这就表明我们可以通过捕捉载波频率的微弱变化来完成对运动目标的速度提取。

需要注意的是，这里的场景和刚刚讨论的多普勒效应都有所不同，这里是从发射源发射信号，遇到目标反射回来以后还要被发射源接收，所以这里雷达充当了发射者和观察者双重身份

可以看到

那么就可以得到

即

所以在雷达原理中，我们会讲多普勒频移

这就是多普勒频移在雷达测速中的重要应用之一