(不会还有人不会做欧拉方程吧)考研数学中的欧拉方程
具有如下结构的变系数线性微分方程被称为欧拉方程：
f
(
x
)
=
x
n
y
(
n
)
+
a
1
x
n
−
1
y
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
y
′
+
a
n
y
.
f(x) = x^{n}y^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{n-1}xy'+a_ny\,.
f(x)=xny(n)+a1xn−1y(n−1)+...+an−1xy′+any.
如何解此方程呢？
天才欧拉给出了答案。
他令
x
=
e
t
x=e^t
x=et
这时我们可以神奇的发现方程已经解出来了
具体我们可以利用链式法则考察：
一阶：
d
y
d
t
=
d
y
d
x
∗
d
x
d
t
=
y
′
∗
e
t
=
x
y
′
一阶：\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} *\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} =y'*e^t=xy'
一阶：dtdy=dxdy∗dtdx=y′∗et=xy′
二阶：
d
2
y
d
t
2
=
d
(
d
y
d
t
)
d
t
=
d
(
x
∗
y
′
)
d
x
∗
d
x
d
t
=
(
y
′
+
x
y
′
′
)
∗
x
=
x
y
′
+
x
2
y
′
′
.
.
.
.
.
.
二阶：\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} = \frac{\mathrm{d} (\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t})}{\mathrm{d} t} =\frac{\mathrm{d} (x*y')}{\mathrm{d} x}*\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} =(y'+xy'')*x=xy'+x^2y'' \\. \\.\\.\\.\\.\\.
二阶：dt2d2y=dtd(dtdy)=dxd(x∗y′)∗dtdx=(y′+xy′′)∗x=xy′+x2y′′......
由此可以得到：
x
y
′
=
d
y
d
t
xy'=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}
xy′=dtdy
x
2
y
′
′
=
d
2
y
d
t
2
−
d
y
d
t
=
d
(
d
d
t
−
1
)
d
t
y
.
.
.
.
.
x^2y''=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}-1)}{\mathrm{d} t}y \\. \\. \\. \\. \\.
x2y′′=dt2d2y−dtdy=dtd(dtd−1)y.....
此时我们引入微分算子: D = d d t D=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} D=dtd
则上式可写为：
x
y
′
=
D
y
xy'=Dy
xy′=Dy
x
2
y
′
′
=
D
(
D
−
1
)
Y
x^2y''=D(D-1)Y
x2y′′=D(D−1)Y
同理可得
:
x
3
y
′
′
′
=
D
(
D
−
1
)
(
D
−
2
)
y
.
.
.
.
.
.
同理可得:x^3y'''=D(D-1)(D-2)y \\.\\.\\.\\.\\.\\.
同理可得:x3y′′′=D(D−1)(D−2)y......
我们来看个2004年数学1的例子：
求欧拉方程
x
2
d
2
y
d
x
2
+
4
x
d
y
d
x
+
2
y
=
0
(
x
>
0
)
的通解为：
y
=
?
x^2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}+4x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+2y=0(x>0)的通解为：y=?
x2dx2d2y+4xdxdy+2y=0(x>0)的通解为：y=?
解：令
x
=
e
t
则原式为：
D
(
D
−
1
)
y
+
4
D
y
+
2
y
=
0
即：
D
2
y
+
3
D
y
+
2
y
=
0
此时就变成了我们熟悉的线性方程
:
r
2
+
3
r
+
2
=
0
(
r
+
1
)
(
r
+
2
)
=
0
r
1
=
−
1
,
r
2
=
−
2
y
=
C
1
e
−
t
+
C
2
e
−
2
t
=
C
1
x
+
C
2
x
2
解：令x=e^t则原式为：D(D-1)y+4D y+2y=0\\ 即：D^2y+3Dy+2y=0\\ 此时就变成了我们熟悉的线性方程:\\ r^2+3r+2=0\\ (r+1)(r+2)=0\\ r_1=-1,r_2=-2\\ y=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2}
解：令x=et则原式为：D(D−1)y+4Dy+2y=0即：D2y+3Dy+2y=0此时就变成了我们熟悉的线性方程:r2+3r+2=0(r+1)(r+2)=0r1=−1,r2=−2y=C1e−t+C2e−2t=xC1+x2C2
这要是还不懂没救了
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