柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)的四种形式
柯西-施瓦茨不等式其实是有四种不同的形式的，如果只知道其中一种，看论文的时候肯定会陷入迷惑，下面我们来看看柯西-施瓦茨不等式的四种形式：
一，在实数域中
设
a
i
,
b
i
∈
R
(
i
=
1
,
2
,
.
.
,
n
)
\ a_i,b_i\in R\ (i=1,2,..,n)
ai,bi∈R (i=1,2,..,n)，则
(
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
)
2
≤
∑
i
=
1
n
a
i
2
∑
i
=
1
n
b
i
2
(\sum_{i=1}^na_ib_i)^2\le\sum_{i=1}^na_i^2\sum_{i=1}^nb_i^2
(i=1∑naibi)2≤i=1∑nai2i=1∑nbi2
当且仅当 b 1 a 1 = b 2 a 2 = . . . = b n a n \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=...=\frac{b_n}{a_n} a1b1=a2b2=...=anbn 不等式符号成立
二，在n维欧氏空间
对于欧式空间中任意向量
α
,
β
\alpha, \beta
α,β 有
(
α
,
β
)
2
≤
(
α
,
α
)
(
β
,
β
)
(\alpha,\beta)^2\le (\alpha,\alpha)(\beta,\beta)
(α,β)2≤(α,α)(β,β)
其中定义 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 是向量 α , β \alpha, \beta α,β 的内积
当且仅当 α , β \alpha,\beta α,β 线性相关时，等号才成立
三，在数学分析中
积分：
设
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f(x),g(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上可积，则
[
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
]
2
≤
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
2
(
x
)
d
x
[\int_a^bf(x)g(x)dx]^2\le\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx
[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx
级数：
若级数
∑
a
n
2
\sum a_n^2
∑an2 和
∑
b
n
2
\sum b_n^2
∑bn2 收敛，则级数
∑
a
n
b
n
\sum a_nb_n
∑anbn 收敛，且
(
∑
a
n
b
n
)
2
≤
∑
a
n
2
∑
b
n
2
(\sum a_nb_n)^2\le\sum a_n^2\sum b_n^2
(∑anbn)2≤∑an2∑bn2
四，概率空间中
设 ξ , η \xi,\eta ξ,η 为任意随机变量，若 E ( ξ 2 ) , E ( η 2 ) E(\xi^2),E(\eta^2) E(ξ2),E(η2) 存在，则 E ( ξ η ) E(\xi\eta) E(ξη) 也存在
且
[
E
(
ξ
η
)
]
2
≤
E
(
ξ
2
)
E
(
η
2
)
[E(\xi\eta)]^2\le E(\xi^2)E(\eta^2)
[E(ξη)]2≤E(ξ2)E(η2)
等号成立当且仅当存在常数
t
0
t_0
t0，使得
P
{
η
=
t
0
ξ
}
=
1
P\{\eta=t_0\xi\}=1
P{η=t0ξ}=1
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