个人认为同济高数乃至数学一中最烧脑的一章。。。重点在于计算方式的掌握，如果理解不了可以暂时不强求，背熟积分公式即可。此外本贴暂时忽略两类曲面积分之间的联系，以及高斯公式的相关内容，日后会尽快更新，争取高效率学习。

        在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

        定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。

        第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

一型曲线积分与单积分的联系：设曲线L可表示为函数y=y(x)从a到b的一段。将弧微分ds近似为直线，由图2的直角三角形得~

二型曲线积分与单积分的联系：设曲线L可表示为函数y=y(x)从a到b的一段~

一二型曲线积分的联系：把一型的ds投影到dx与dy方向上，即可转换为二型

目录

11.1对弧长的曲线积分

11.2对坐标的曲线积分

11.3两类曲线积分的联系

11.4格林公式

11.5对面积的曲面积分

11.6对坐标的曲面积分 

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考研数学一大纲对这一章的要求如下：

1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.

2.掌握计算两类曲线积分的方法.

3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.

4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。

5.了解散度与旋度的概念，并会计算.

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11.1对弧长的曲线积分

• 几何意义是，曲线上的密度不想同，因此需要通过积分来求出变化的密度
• 所谓的密度不同的曲线，可以有2维和3维两种
• （函数值可以为负~）
• 计算方法记住公式套路就行，花样不是很多
• 原公式中x、y的均为t的函数，本质上就是参数方程；有时候y为x的函数，亦或x与y的函数，可以将其中一个之接视为参数t

11.2对坐标的曲线积分

• 第二类曲线积分本质为变力在做功时方向和大小都在变化
• 也分为二维和三维的情况
• 对坐标的曲线积分，亦可以分段，且区间的变化是点的坐标到点的坐标的变化
• 积分方向的选择非常重要~

11.3两类曲线积分的联系

• 一类：f*德尔塔s（s即为根号下德尔塔x方和德尔塔y方的和）~
• 二类：P*德尔塔x+Q*德尔塔y

11.4格林公式

• 本质上，就是三维的牛顿莱布尼茨公式~
• 单连通区域：D内任一闭曲线围城的部分都属于D~
• 复联通区域：逆时针是正方向
• 格林公式的定义：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，P（x，y）与Q（x，y）在D上有一阶连续偏导，则D区域上的二重积分，即为L闭区间的曲线积分，L为D的正方向曲线
• 积分符号上有一个圆圈，意为闭曲线上的曲线积分
• （例题一定要重视~）

11.5对面积的曲面积分

• 定积分：积分域
• 二重积分：平面域
• 三重积分：空间域
• 曲线积分：曲线弧
• 曲面积分：曲面域~

•  如果三元函数在光滑曲面上连续，则对面积的曲面积分存在~
• 计算方式为将曲面投影在XoY平面上，相当于先用累次积分再用一次普通的定积分~

11.6对坐标的曲面积分 

• 对坐标的曲面积分是由方向~
• （例题非常重要）

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