一、格林公式

定理1（格林公式） 设平面有界闭区域$(\sigma )$由一条分段光滑的简单闭曲线所围成，$(\sigma )$的边界曲线记为$(C)$，函数$P,Q\in C^{(1)}((\sigma ))$，则$$\underset{(\sigma )}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}\sigma ={\oint }_{(+C)}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$$其中$(+C)$表示$(C)$为正向（一般指逆时针）。

二、平面线积分与路径无关的条件+无旋场、保守场、有势场

定理2 设区域$(\sigma )\subseteq {\mathbb{R}}^2$，$P,Q\in C((\sigma ))$，$A,B\in (\sigma )$，则下列三个命题等价：
(1) 沿$(\sigma )$内任一分段光滑的简单闭曲线$C$，均有$${\oint }_{(+C)}P\text{d}x+Q\text{d}y=0$$成立；
(2) 线积分$${\int }_{(A)}^{(B)}P\text{d}x+Q\text{d}y$$的值在$(\sigma )$内与积分路径无关；
(3) 被积表达式$P\text{d}x+Q\text{d}y$在$(\sigma )$内是某个二元函数$u(x,y)$的全微分。

环量：对于向量场$\mathbf{A}(M)=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}$，称沿闭曲线$(C)$的第二型线积分$${\oint }_{(C)}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}$$为向量场$\mathbf{A}$沿闭曲线$(C)$的环量。

无旋场：沿$(\sigma )$内任一分段光滑的简单闭曲线$C$线积分均为零，即环量均为零
保守场：线积分${\int }_{(C)}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}$的值与路径无关
有势场：存在$u(x,y)$使得$\text{d}u=P\text{d}x+Q\text{d}y$

定理2表明：无旋场、保守场、有势场相互等价

定理3 设$(\sigma )$为一平面单连通域，$P,Q\in C^{(1)}((\sigma ))$，则定理2中的三个命题成立的充要条件是$$\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y},(x,y)\in \sigma$$即四个条件等价。

三、高斯公式+散度

定理4（高斯公式） 设空间有界闭区域$(V)$由分片光滑的闭曲面$(S)$所围成，$\mathbf{A}(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\in C^{(1)}((V))$，则$$\underset{(V)}{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text{d}V=\underset{(S)}{\iint }P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$$其中$(S)$的法向量朝外。

简写为：$$\underset{(V)}{\iiint }\nabla \cdot \mathbf{A}\text{d}V=\underset{(S)}{\iint }\mathbf{A}\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}$$通量：$\mathbf{A}(M)$对曲面$(S)$的第二型面积分$\underset{(S)}{\iint }\mathbf{A}\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}$的物理意义是向量场$\mathbf{A}(M)$对曲面$(S)$的通量
通量密度/散度：$\text{div}\mathbf{A}(M)=\underset{(\Delta V\to M)}{\lim }\frac{\underset{(S)}{\iint }\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}}{\Delta V}=\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

通量有关的计算公式：
(1) $\nabla \cdot (C\mathbf{A})=C\nabla \cdot \mathbf{A}$
(2) $\nabla \cdot (\mathbf{A}\pm \mathbf{B})=\nabla \cdot \mathbf{A}\pm \nabla \cdot \mathbf{B}$
(3) $\nabla \cdot u\mathbf{A}=u\nabla \cdot \mathbf{A}+\nabla u\cdot \mathbf{A}$

四、斯托克斯公式+旋度

定理5（斯托克斯公式） 设区域$(G)\subseteq {\mathbb{R}}^3$，$P,Q,R\in C^{(1)}((G))$，$(C)$为$(G)$内一条分段光滑的有向简单闭曲线，$(S)$是以$(C)$为边界且完全位于$(G)$的任一分片光滑的有向曲面，$(C)$的方向与$(S)$的法向量符合右手螺旋定则，则$${\oint }_{(C)}P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z=\underset{(S)}{\iint }\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\text{d}y\text{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\text{d}z\text{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y$$简写为：$${\oint }_{(C)}\mathbf{A}\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}=\underset{(S)}{\iint }(\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}$$环量：空间向量场$\mathbf{A}$沿空间闭曲线$(C)$的线积分${\oint }_{(C)}\mathbf{A}(x,y,z)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}$称为$\mathbf{A}(x,y,z)$沿闭曲线$(C)$的环量，它表示了$\mathbf{A}$绕$(C)$旋转趋势的大小。
环量密度：令$\mathbf{A}$沿微小曲面$(\Delta S)$的边界$(\Delta C)$的环量为$\Delta \Gamma$，$\mathbf{n}$为$(\Delta S)$的法向量，则定义$\mathbf{A}$在点$M$沿$\mathbf{n}$方向的环量密度为$$\frac{\text{d}\Gamma }{\text{d}S}=\underset{(\Delta S)\to M}{\lim }\frac{{\oint }_{(\Delta C)}\mathbf{A}\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}}{\Delta S}$$其中$(\Delta S)$不断缩小到点$M$且保持法向量为$\mathbf{n}$不变。它反映了$\mathbf{A}$在点$\mathbf{M}$绕方向$\mathbf{n}$的旋转趋势大小。
旋度：$\mathbf{rot}A=\nabla \times \mathbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$
则$\frac{\text{d}\Gamma }{\text{d}S}=\mathbf{rot}A\cdot {\mathbf{e}}_n=\Vert \mathbf{rot}A\Vert \cos (\mathbf{rot}A,{\mathbf{e}}_n)$

旋度有关的计算公式：
(1) $\nabla \times (C\mathbf{A})=C\nabla \times \mathbf{A}$
(2) $\nabla \times (\mathbf{A}\pm \mathbf{B})=\nabla \times \mathbf{A}\pm \nabla \times \mathbf{B}$
(3) $\nabla \times u\mathbf{A}=u(\nabla \times \mathbf{A})+\nabla u\times \mathbf{A}$

场的其他计算公式：
(1) $\nabla \cdot (\mathbf{A}\times \mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot (\nabla \times \mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot (\nabla \times \mathbf{B})$
(2) $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0$（暴力运算即可证明）
(3) $\nabla \times (\nabla u)=0$（因为有势场是无旋场）
(4) $\nabla \cdot (\nabla u)=\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$
(5) $\nabla \times (\nabla \times A)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})-{\nabla }^2\mathbf{A}$，其中${\nabla }^2\mathbf{A}=\Delta \mathbf{A}=(\Delta P,\Delta Q,\Delta R)$

五、重要的特殊向量场

1. 无旋场（基于斯托克斯公式）

定义 设有向量场$\mathbf{A}(M)\in C((G)),(G)\subseteq {\mathbb{R}}^3$。
(1) 若线积分${\int }_{(A)}^{(B)}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}$的值在$(G)$内与路径无关，则称$\mathbf{A}$为保守场，其中$A,B$为$(G)$内任意两点；
(2) 若在$(G)$内恒有$\mathbf{rot}A=0$，则称$\mathbf{A}$为无旋场；
(3) 若存在定义在$(G)$上的函数$u$，使得$\mathbf{A}=\nabla u$，则称$\mathbf{A}$为有势场，并称$u$为$\mathbf{A}$的势函数。

定理6 设$(G)$是一维单连域，$\mathbf{A}=(P,Q,R)\in C^{(1)}((G))$，则下列四个命题等价：
(1) $A$是无旋场；
(2) $A$是保守场；
(3) $A$是有势场；
(4) 沿$(G)$内任一简单闭曲线$(C)$均有$${\oint }_{(C)}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}={\oint }_{(C)}P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z=0$$

2. 无源场（基于高斯公式）

定义 若在向量场$\mathbf{A}$的场域中处处都有$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$，则称$\mathbf{A}$为无源场。

定理7 设$(G)\subseteq {\mathbb{R}}^3$是二维单连域，$\mathbf{A}\in C^{(1)}((G))$，则下列三个命题是等价的：
(1) $\mathbf{A}$是无源场；
(2) $\mathbf{A}$沿$(G)$内任一不自相交闭曲面$(S)$的通量为$0$，即$\underset{(S)}{\iint }\mathbf{A}\cdot \text{d}\mathbf{S}=0$；
(3) 在$(G)$内存在任一向量函数$\mathbf{B}(M)$，使得$\mathbf{A}=\nabla \times \mathbf{B}$，即$\mathbf{A}$是某向量场$\mathbf{B}$的旋度场，其中$\mathbf{B}$称为$\mathbf{A}$的一个向量势。

3. 调和场

定义 既无源又无旋的向量场$\mathbf{A}$称为调和场，即在场域内恒有$$\nabla \cdot \mathbf{A}=0,\nabla \times \mathbf{A}=0$$