区间再现公式

1.基本形式

• 区间再现公式的基本形式是：

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$$

证明采用换元法即可，略。

[例1] 求：${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{3}dx$

解：
$${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{3}dx\stackrel{区间再现}{⟹}{\int }_0^1{x}^3(1-x)dx=\frac{1}{20}$$

2.三角相关的推论

推论1

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx$$

• 证明直接采用区间再现即可。

[例2] 求：${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx$

解：
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx=\frac{\pi }{4}$$

推论2

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$$

• 证明直接采用区间再现即可。

[例3] 求：${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx$

解：
$${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx=\frac{{\pi }^2}{4}$$

3.拓展模型

证明均采用区间再现，略。

模型1

$${\int }_0^{T}xf(x)dx=\frac{T}{2}{\int }_0^{T}f(x)dx，其中f(x)=f(2T-x)$$

[例4] 求：${\int }_0^{n\pi }x|\sin x|dx$

解：考虑到，$|\sin x|=|\sin (n\pi -x)|$

于是：
$${\int }_0^{n\pi }x|\sin x|dx=\frac{n\pi }{2}{\int }_0^{n\pi }|\sin x|dx=\frac{n^2\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\sin xdx=n^2\pi$$

模型2

$${\int }_a^b\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx=\frac{b-a}{2}$$

[例5] 求：${\int }_2^4\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}}dx$

解：
$${\int }_2^4\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}}dx=\frac{4-2}{2}=1$$

模型3

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{f(\sin x)}{f(\sin x)+f(\cos x)}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{f(\cos x)}{f(\sin x)+f(\cos x)}dx=\frac{\pi }{4}$$

[例6]：求：
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{e^{\sin x}}{e^{\sin x}+e^{\cos x}}dx$$
解：
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{e^{\sin x}}{e^{\sin x}+e^{\cos x}}dx=\frac{\pi }{4}$$

4.对称区间积分公式

若$f(x)$在$[-a,a]$连续，则：
$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^a[f(x)+f(-x)]dx$$
[例7]：求：
$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}x}{1+e^x}dx$$
解：
$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}x}{1+e^x}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\frac{{\sin }^{2}x}{1+e^x}+\frac{{\sin }^{2}x}{1+e^{-x}})dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{4}$$