泰勒公式是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近展开成多项式形式，以便于近似计算和分析。泰勒公式的一般形式为：

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R_n(x)$$

其中，$R_n(x)$ 是余项，表示泰勒多项式与原函数之间的误差。余项有两种常见的形式：拉格朗日余项和佩亚诺余项。

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拉格朗日余项

拉格朗日余项给出了泰勒展开式中误差的精确表达式。对于一个 $n$ 次泰勒展开式，拉格朗日余项的形式为：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$$

其中，$\xi$ 是介于 $a$ 和 $x$ 之间的一个数。拉格朗日余项的关键在于它提供了一个具体的误差估计，这个误差是由 $f$ 的 $(n+1)$ 阶导数在某个中间点 $\xi$ 处的值决定的。

应用场景案例

假设我们想要近似计算 $\sin (0.1)$ 的值，并且希望知道近似值的误差范围。我们可以使用泰勒展开式：

$$\sin (x)\approx \sin (0)+\cos (0)x-\frac{\sin (0)}{2!}{x}^2-\frac{\cos (0)}{3!}{x}^3$$

即：

$$\sin (x)\approx x-\frac{x^3}{6}$$

对于 $x=0.1$，我们有：

$$\sin (0.1)\approx 0.1-\frac{(0.1{)}^3}{6}\approx 0.1-0.00016667\approx 0.09983333$$

使用拉格朗日余项，我们可以估计误差：

$$R_3(0.1)=\frac{\sin (\xi )}{4!}(0.1{)}^4$$

由于 $\sin (\xi )$ 的最大值为 1（在 $\xi$ 介于 0 和 0.1 之间时），我们有：

$$|R_3(0.1)|\le \frac{1}{24}(0.1{)}^4\approx 0.000004167$$

因此，近似值 $0.09983333$ 的误差不超过 $0.000004167$。

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佩亚诺余项

佩亚诺余项则给出了泰勒展开式中误差的一个渐近表达式。对于一个 $n$ 次泰勒展开式，佩亚诺余项的形式为：

$$R_n(x)=o((x-a{)}^n)$$

这里的 $o((x-a{)}^n)$ 表示一个小量，当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$R_n(x)$ 比 $(x-a{)}^n$ 更快地趋近于零。佩亚诺余项的关键在于它描述了误差的一个渐近行为，而不是一个具体的数值。

应用场景案例

假设我们想要证明 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$。我们可以使用泰勒展开式：

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$

因此：

$$\frac{\sin (x)}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$$

当 $x\to 0$ 时，$o(x^2)$ 趋近于零，所以：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$$

在这个例子中，佩亚诺余项帮助我们理解了 $\frac{\sin (x)}{x}$ 在 $x$ 趋近于零时的渐近行为。

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区别

1. 精确性：

   • 拉格朗日余项给出了误差的一个精确表达式，可以用来估计具体的误差大小。
   • 佩亚诺余项给出了误差的一个渐近行为，主要用于理论分析，不提供具体的误差数值。

2. 应用场景：

   • 拉格朗日余项适用于需要具体误差估计的情况，例如在数值计算中。
   • 佩亚诺余项适用于理论分析，特别是在证明某些极限或渐近性质时。

3. 数学形式：

   • 拉格朗日余项包含了一个未知的中间点 $\xi$，这使得它在实际应用中可能难以精确计算。
   • 佩亚诺余项的形式更简洁，易于处理，但它的信息量较少。

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