线性代数学习笔记(九)——矩阵运算(一)
本篇笔记记录了矩阵的加法和减法、矩阵的数乘和矩阵的乘法运算。需要注意矩阵的加法和减法必须要同型矩阵才行运算;矩阵的数乘是将某数乘以矩阵中的所有元素,与行列式不同,矩阵所有元素均有公因子 k k k,该公因子只向外提 1 1 1次,而非行列式的提 n n n次;矩阵的乘法规则与行列式类似,但有左乘和右乘之分,需要注意矩阵的左右顺序;如果两个矩阵左乘和右乘的结果相等,那么称这两个矩阵是可交换的,并进一步讨论了矩阵可交换的条件。
1 矩阵的加法和减法
1.1 矩阵的加法
对应元素相加。
例如:
[
1
1
1
1
1
1
]
+
[
0
2
3
−
1
1
1
]
=
[
1
3
4
0
2
2
]
\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&2&3\\ -1&1&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&3&4\\ 0&2&2\\ \end{bmatrix}
[111111]+[0−12131]=[103242]
显然,只有同型矩阵才能相加。
1.2 矩阵的减法
对应元素相减。
例如:
[
1
2
3
3
3
3
4
4
4
]
−
[
1
0
1
0
0
1
0
0
0
]
=
[
0
2
2
3
3
2
4
4
4
]
\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 3&3&3\\ 4&4&4\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&2&2\\ 3&3&2\\ 4&4&4\\ \end{bmatrix}
134234334
−
100000110
=
034234224
同理,也只有同型矩阵才能做减法。
1.3 五条运算律
①
A
+
B
=
B
+
A
A+B=B+A
A+B=B+A
②
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
(A+B)+C=A+(B+C)
(A+B)+C=A+(B+C)
③
A
+
O
=
A
A+O=A
A+O=A
④
A
+
(
−
A
)
=
O
A+(-A)=O
A+(−A)=O
⑤
A
+
B
=
C
⟺
A
=
C
−
B
A+B=C \iff A=C-B
A+B=C⟺A=C−B
上述矩阵 A 、 B 、 C 和 O A、B、C和O A、B、C和O在运算时必须为同型矩阵。
2 矩阵的数乘
2.1 数乘的定义
用一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素。
例如:
k
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
=
[
1
k
2
k
3
k
4
k
5
k
6
k
7
k
8
k
9
k
]
k\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1k&2k&3k\\ 4k&5k&6k\\ 7k&8k&9k\\ \end{bmatrix}
k
147258369
=
1k4k7k2k5k8k3k6k9k
矩阵所有元素均有公因子 k k k,这个公因子向外提1次(与行列式不同,行列式一行或列有公因子提一次,所有元素均有公因子提 n n n次)。
2.2 三条运算法则
①
k
(
A
+
B
)
=
k
A
+
k
B
k(A+B)=kA+kB
k(A+B)=kA+kB
②
(
k
+
l
)
A
=
k
A
+
l
A
(k+l)A=kA+lA
(k+l)A=kA+lA
③
k
l
(
A
)
=
(
k
l
)
A
kl(A)=(kl)A
kl(A)=(kl)A
k 、 l k、l k、l为两个数, A 、 B A、B A、B为同型矩阵。
例2:
已知
A
=
[
1
2
3
3
3
3
]
A=\begin{bmatrix}1&2&3\\3&3&3\end{bmatrix}
A=[132333],
B
=
[
0
2
6
2
0
4
]
B=\begin{bmatrix}0&2&6\\2&0&4\end{bmatrix}
B=[022064],求
3
A
−
1
2
B
3A-\frac12B
3A−21B的值。
解: 3 A − 1 2 B 3A-\frac12B 3A−21B
= 3 [ 1 2 3 3 3 3 ] − 1 2 [ 0 2 6 2 0 4 ] =3\begin{bmatrix}1&2&3\\3&3&3\end{bmatrix}-\frac12\begin{bmatrix}0&2&6\\2&0&4\end{bmatrix} =3[132333]−21[022064]
= [ 3 6 9 9 9 9 ] − [ 0 1 3 1 0 2 ] =\begin{bmatrix}3&6&9\\9&9&9\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&1&3\\1&0&2\end{bmatrix} =[396999]−[011032]
= [ 3 5 6 8 9 7 ] =\begin{bmatrix}3&5&6\\8&9&7\end{bmatrix} =[385967]
3 矩阵的乘法
3.1 矩阵相乘规则
矩阵的乘法与行列式的乘法类似。
例如:
[
2
1
0
1
0
1
]
[
1
0
1
0
1
1
0
1
1
]
\begin{bmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}
[211001]
100011111
① 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第1列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第1列;
[
2
1
0
1
0
1
]
[
1
0
1
0
1
1
0
1
1
]
=
[
2
×
1
+
1
×
0
+
0
×
0
⋯
⋮
⋱
]
\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\color{red}{1}&0&1\\\color{red}{0}&1&1\\\color{red}{0}&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{red}{2×1+1×0+0×0}&{\cdots}\\{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}
[211001]
100011111
=[2×1+1×0+0×0⋮⋯⋱]
② 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第2列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第2列;
[
2
1
0
1
0
1
]
[
1
0
1
0
1
1
0
1
1
]
=
[
2
2
×
0
+
1
×
1
+
0
×
1
⋯
⋮
⋮
⋱
]
\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\color{red}{0}&1\\0&\color{red}{1}&1\\0&\color{red}{1}&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&\color{red}{2×0+1×1+0×1}&{\cdots}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}
[211001]
100011111
=[2⋮2×0+1×1+0×1⋮⋯⋱]
③ 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第3列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第3列;
[
2
1
0
1
0
1
]
[
1
0
1
0
1
1
0
1
1
]
=
[
2
1
2
×
1
+
1
×
1
+
0
×
1
⋮
⋮
⋱
]
\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&\color{red}{1}\\0&1&\color{red}{1}\\0&1&\color{red}{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&\color{red}{2×1+1×1+0×1}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}
[211001]
100011111
=[2⋮1⋮2×1+1×1+0×1⋱]
④ 同理,依次用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第1列、第2列和第3列,分别入在结果矩阵的第1列、第2列和第3列。
[
2
1
0
1
0
1
]
[
1
0
1
0
1
1
0
1
1
]
=
[
2
1
3
1
1
2
]
\begin{bmatrix}2&1&0\\\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&2\end{bmatrix}
[211001]
100011111
=[211132]
3.2 矩阵相乘的前提
[ 2 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 3 ] \begin{bmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\\1&1&3\end{bmatrix} [211001] 100101111113
上述第一个矩阵第一行有3个元素,第二个矩阵第一列有4个元素,元素之间没有办法相互对应,所以两个矩阵不能相乘。
矩阵相乘前提:第一个矩阵的列数
=
=
= 第二个矩阵的行数。
结果矩阵形状:结果矩阵的行数
=
=
= 第一个矩阵的行数,结果矩阵的列数
=
=
= 第二个矩阵的列数。
矩阵 A 5 × 3 A_{5×3} A5×3和矩阵 B 4 × 2 B_{4×2} B4×2不能相乘,因为矩阵 A A A的列数 3 3 3不等于矩阵 B B B的行数 4 4 4。
宋氏七字口诀: 中间相等,取两头 \color{red}{中间相等,取两头} 中间相等,取两头。
例如: A 3 × 4 B 4 × 5 = C 3 × 5 A_{3×4}B_{4×5}=C_{3×5} A3×4B4×5=C3×5
举例:
A
5
×
3
B
4
×
3
A_{5×3}B_{4×3}
A5×3B4×3不能相乘;
A
5
×
4
E
4
×
4
A_{5×4}E_{4×4}
A5×4E4×4可以相乘,结果为
B
5
×
4
B_{5×4}
B5×4;
F
s
×
t
E
t
×
h
F_{s×t}E_{t×h}
Fs×tEt×h可以相乘,结果为
D
s
×
h
D_{s×h}
Ds×h;
例3:
[
−
1
1
5
4
3
−
2
]
2
×
3
[
1
−
1
0
2
−
3
6
]
3
×
2
\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}_{2×3}\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}_{3×2}
[−14135−2]2×3
10−3−126
3×2
= [ − 1 × 1 + 1 × 0 + 5 × ( − 3 ) − 1 × ( − 1 ) + 1 × 2 + 5 × 6 4 × 1 + 3 × 0 + ( − 2 ) × ( − 3 ) 4 × ( − 1 ) + 3 × 2 + ( − 2 ) × 6 ] 2 × 2 =\begin{bmatrix}-1×1+1×0+5×(-3)&-1×(-1)+1×2+5×6\\4×1+3×0+(-2)×(-3)&4×(-1)+3×2+(-2)×6\end{bmatrix}_{2×2} =[−1×1+1×0+5×(−3)4×1+3×0+(−2)×(−3)−1×(−1)+1×2+5×64×(−1)+3×2+(−2)×6]2×2
= [ − 16 33 10 − 10 ] 2 × 2 =\begin{bmatrix}-16&33\\10&-10\end{bmatrix}_{2×2} =[−161033−10]2×2
如果交换上述两个矩阵的位置:
[
1
−
1
0
2
−
3
6
]
3
×
2
[
−
1
1
5
4
3
−
2
]
2
×
3
\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}_{3×2}\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}_{2×3}
10−3−126
3×2[−14135−2]2×3
= [ 1 × ( − 1 ) + ( − 1 ) × 4 1 × 1 + ( − 1 ) × 3 1 × 5 + ( − 1 ) × ( − 2 ) 0 × ( − 1 ) + 2 × 4 0 × 1 + 2 × 3 0 × 5 + 2 × ( − 2 ) − 3 × ( − 1 ) + 6 × 4 − 3 × 1 + 6 × 3 − 3 × 5 + 6 × ( − 2 ) ] 3 × 3 =\begin{bmatrix}1×(-1)+(-1)×4&1×1+(-1)×3&1×5+(-1)×(-2)\\0×(-1)+2×4&0×1+2×3&0×5+2×(-2)\\-3×(-1)+6×4&-3×1+6×3&-3×5+6×(-2)\end{bmatrix}_{3×3} = 1×(−1)+(−1)×40×(−1)+2×4−3×(−1)+6×41×1+(−1)×30×1+2×3−3×1+6×31×5+(−1)×(−2)0×5+2×(−2)−3×5+6×(−2) 3×3
= [ − 5 − 2 7 8 6 − 4 27 15 − 27 ] 3 × 3 =\begin{bmatrix}-5&-2&7\\8&6&-4\\27&15&-27\end{bmatrix}_{3×3} = −5827−26157−4−27 3×3
如果
A
=
[
−
1
1
5
4
3
−
2
]
A=\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}
A=[−14135−2],
B
=
[
1
−
1
0
2
−
3
6
]
B=\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}
B=
10−3−126
则
A
B
=
[
−
16
33
10
−
10
]
AB=\begin{bmatrix}-16&33\\10&-10\end{bmatrix}
AB=[−161033−10],
B
A
=
[
−
5
−
2
7
8
6
−
4
27
15
−
27
]
BA=\begin{bmatrix}-5&-2&7\\8&6&-4\\27&15&-27\end{bmatrix}
BA=
−5827−26157−4−27
我们发现, A B ≠ B A AB≠BA AB=BA。而且比如 A 5 × 2 B 2 × 3 A_{5×2}B_{2×3} A5×2B2×3可以相乘,而 B 2 × 3 A 5 × 2 B_{2×3}A_{5×2} B2×3A5×2不能相乘,所以 A B AB AB有意义,但 B A BA BA不一定有意义。
一般情况下, A B ≠ B A AB≠BA AB=BA,如果 A B = B A AB=BA AB=BA,那么称 A A A、 B B B是可交换的。
3.3 矩阵左乘和右乘的定义
如果 A B AB AB,则称 A A A左乘 B B B, B B B右乘 A A A。
例5:
若矩阵
A
=
[
2
0
−
1
0
]
A=\begin{bmatrix}2&0\\-1&0\end{bmatrix}
A=[2−100]、矩阵
B
=
[
0
0
1
3
]
B=\begin{bmatrix}0&0\\1&3\end{bmatrix}
B=[0103]、矩阵
C
=
[
0
0
2
4
]
C=\begin{bmatrix}0&0\\2&4\end{bmatrix}
C=[0204],求
A
B
AB
AB、
A
C
AC
AC。
解: A B = [ 2 × 0 + 0 × 1 2 × 0 + 0 × 3 − 1 × 0 + 0 × 1 − 1 × 0 + 0 × 3 ] = [ 0 0 0 0 ] AB=\begin{bmatrix}2×0+0×1&2×0+0×3\\-1×0+0×1&-1×0+0×3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} AB=[2×0+0×1−1×0+0×12×0+0×3−1×0+0×3]=[0000]
A C = [ 2 × 0 + 0 × 2 2 × 0 + 0 × 4 − 1 × 0 + 0 × 2 − 1 × 0 + 0 × 4 ] = [ 0 0 0 0 ] AC=\begin{bmatrix}2×0+0×2&2×0+0×4\\-1×0+0×2&-1×0+0×4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} AC=[2×0+0×2−1×0+0×22×0+0×4−1×0+0×4]=[0000]
不难发现: A B = A C AB=AC AB=AC。
矩阵乘法不满足的三条规律:
① 多数情况下,
A
B
≠
B
A
AB{\neq}BA
AB=BA;
②
A
B
=
0
⇏
A
=
0
或
B
=
0
AB=0\quad{\nRightarrow}{\quad}A=0或B=0
AB=0⇏A=0或B=0;
③
A
B
=
A
C
,
A
≠
0
⇏
B
=
C
AB=AC,A≠0\quad{\nRightarrow}{\quad}B=C
AB=AC,A=0⇏B=C。
3.4 特殊矩阵相乘
① 任何矩阵与零矩阵相乘都等于零矩阵。
A
4
×
3
O
3
×
2
=
O
4
×
2
A_{4×3}O_{3×2}=O_{4×2}
A4×3O3×2=O4×2
② 任何矩阵与单位矩阵相乘都不变。
A
E
=
A
,
E
B
=
B
AE=A,EB=B
AE=A,EB=B
举例:
[
3
3
3
4
1
1
5
9
9
]
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
\begin{bmatrix}3&3&3\\4&1&1\\5&9&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}
345319319
100010001
= [ 3 × 1 + 3 × 0 + 3 × 0 3 × 0 + 3 × 1 + 3 × 0 3 × 0 + 3 × 0 + 3 × 1 4 × 1 + 1 × 0 + 1 × 0 4 × 0 + 1 × 1 + 1 × 0 4 × 0 + 1 × 0 + 1 × 1 5 × 1 + 9 × 0 + 9 × 0 5 × 0 + 9 × 1 + 9 × 0 5 × 0 + 9 × 0 + 9 × 1 ] =\begin{bmatrix}3×1+3×0+3×0&3×0+3×1+3×0&3×0+3×0+3×1\\4×1+1×0+1×0&4×0+1×1+1×0&4×0+1×0+1×1\\5×1+9×0+9×0&5×0+9×1+9×0&5×0+9×0+9×1\end{bmatrix} = 3×1+3×0+3×04×1+1×0+1×05×1+9×0+9×03×0+3×1+3×04×0+1×1+1×05×0+9×1+9×03×0+3×0+3×14×0+1×0+1×15×0+9×0+9×1
= [ 3 3 3 4 1 1 5 9 9 ] =\begin{bmatrix}3&3&3\\4&1&1\\5&9&9\end{bmatrix} = 345319319
3.5 三条矩阵乘法运算规律
① 结合律, ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
② 分配律, ( A + B ) C = A C + B C , C ( A + B ) = C A + C B (A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB (A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB
③ k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) k(AB)=(kA)B=A(kB) k(AB)=(kA)B=A(kB)
以上三条规律,注意 A A A、 B B B的顺序,不管是结合、分配还是数乘之后, A A A、 B B B的左右顺序没有发生变化。例如: ( A + B ) C = C A + C B \xcancel{(A+B)C=CA+CB} (A+B)C=CA+CB 是不正确的,因为矩阵 C C C原来在右边,分配进去之后到了左边。
3.6 矩阵可交换的条件
例6:
求与
A
=
[
1
0
1
1
]
A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}
A=[1101]可交换的所有矩阵。
解:因为
A
A
A为2×2的矩阵,设与其可交换的矩阵为
B
B
B,则
B
B
B也必定为2×2的矩阵。
设:
B
=
[
a
b
c
d
]
B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}
B=[acbd],则
A
B
=
B
A
AB=BA
AB=BA。
即: [ 1 0 1 1 ] [ a b c d ] = [ a b c d ] [ 1 0 1 1 ] \begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} [1101][acbd]=[acbd][1101]
故: [ a b a + c b + d ] = [ a + b b c + d d ] \begin{bmatrix}a&b\\a+c&b+d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+b&b\\c+d&d\end{bmatrix} [aa+cbb+d]=[a+bc+dbd]
矩阵相等则左右两边为同型矩阵,且对应元素相等,所以:
{
a
=
a
+
b
b
=
b
a
+
c
=
c
+
d
b
+
d
=
d
⇒
{
a
=
a
b
=
0
c
=
c
d
=
a
\begin{cases} a=a+b\\ b=b\\ a+c=c+d\\ b+d=d\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} a=a\\ b=0\\ c=c\\ d=a\\ \end{cases}
⎩
⎨
⎧a=a+bb=ba+c=c+db+d=d⇒⎩
⎨
⎧a=ab=0c=cd=a
得到:
B
=
[
a
0
c
a
]
B=\begin{bmatrix}a&0\\c&a\end{bmatrix}
B=[ac0a]
其中
a
a
a、
c
c
c为任意常数。
思考:
求与
A
=
[
1
0
1
1
1
1
]
A=\begin{bmatrix}1&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}
A=[110111]可交换的所有矩阵。
解:因为
A
A
A为2×3的矩阵,设与其可交换的矩阵为
B
B
B,则
B
B
B也必定为3×2的矩阵。
设:
B
=
[
a
b
d
e
m
n
]
B=\begin{bmatrix}a&b\\d&e\\m&n\end{bmatrix}
B=
admben
,则:
A
2
×
3
B
3
×
2
=
M
2
×
2
A_{2×3}B_{3×2}=M_{2×2}
A2×3B3×2=M2×2
B
3
×
2
A
2
×
3
=
N
3
×
3
B_{3×2}A_{2×3}=N_{3×3}
B3×2A2×3=N3×3
由于 M M M为2×2的矩阵, N N N为3×3的矩阵,所以 A B AB AB和 B A BA BA不可能相等。
所以:一个矩阵可交换,则该矩阵和其所有交换矩阵必须都是同阶方阵。
即:
A
n
B
n
=
B
n
A
n
A_nB_n=B_nA_n
AnBn=BnAn
3.7 变量间的线性替换
例7:
{
x
1
=
y
1
−
y
2
x
2
=
y
1
+
y
2
①
\begin{cases} x_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2\\ \end{cases}{\qquad}①
{x1=y1−y2x2=y1+y2①
{ y 1 = z 1 + z 2 + 2 z 3 y 2 = z 1 − 2 z 2 + z 3 ② \begin{cases} y_1=z_1+z_2+2z_3\\ y_2=z_1-2z_2+z_3\\ \end{cases}{\qquad}② {y1=z1+z2+2z3y2=z1−2z2+z3②
{ z 1 = u 1 + u 2 z 2 = u 1 z 3 = − u 1 + u 2 ③ \begin{cases} z_1=u_1+u_2\\ z_2=u_1\\ z_3=-u_1+u_2\\ \end{cases}{\qquad}③ ⎩ ⎨ ⎧z1=u1+u2z2=u1z3=−u1+u2③
解:分别将①式、②式和③式改写成矩阵相乘的形式,得:
[
x
1
x
2
]
=
[
1
−
1
1
1
]
[
y
1
y
2
]
④
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}{\qquad}④
[x1x2]=[11−11][y1y2]④
[ y 1 y 2 ] = [ 1 1 2 1 − 2 1 ] [ z 1 z 2 z 3 ] ⑤ \begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}{\qquad}⑤ [y1y2]=[111−221] z1z2z3 ⑤
[ z 1 z 2 z 3 ] = [ 1 1 1 0 − 1 1 ] [ u 1 u 2 ] ⑥ \begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}{\qquad}⑥ z1z2z3 = 11−1101 [u1u2]⑥
将⑥式代入⑤式,再代入④式得:
[
x
1
x
2
]
=
[
1
−
1
1
1
]
[
1
1
2
1
−
2
1
]
[
1
1
1
0
−
1
1
]
[
u
1
u
2
]
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}
[x1x2]=[11−11][111−221]
11−1101
[u1u2]
= [ 0 3 1 2 − 1 3 ] [ 1 1 1 0 − 1 1 ] [ u 1 u 2 ] =\begin{bmatrix}0&3&1\\2&-1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} =[023−113] 11−1101 [u1u2]
= [ 2 1 − 2 5 ] [ u 1 u 2 ] =\begin{bmatrix}2&1\\-2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} =[2−215][u1u2]
= [ 2 u 1 + u 2 − 2 u 1 + 5 u 2 ] =\begin{bmatrix}2u_1+u_2\\-2u_1+5u_2\end{bmatrix} =[2u1+u2−2u1+5u2]
所以:
{
x
1
=
2
u
1
+
u
2
x
2
=
−
2
u
1
+
5
u
2
\begin{cases} x_1=2u_1+u_2\\ x_2=-2u_1+5u_2\\ \end{cases}
{x1=2u1+u2x2=−2u1+5u2
4 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.2 矩阵运算(一)
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