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0x0. 问题引入

Linear Attention的论文如下： Transformers are RNNs:
Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention：https://arxiv.org/pdf/2006.16236.pdf 。官方给出实现代码地址：https://github.com/idiap/fast-transformers 。虽然这个仓库是Linear Attention的原始实现，但基于这个codebase也引出了后续的一系列线性Attention的工作比如：Efficient Attention: Attention with Linear Complexities（https://arxiv.org/abs/1812.01243），Linformer: Self-Attention with Linear Complexity（https://arxiv.org/abs/2006.04768），Reformer: The Efficient Transformer（https://arxiv.org/abs/2001.04451）等等。

这篇文章是对Linear Attention的forward cuda kernel进行解析，在此之前我先基于论文的3.2节对Linear Attention做一个复述，明确这里要计算的是什么。

Linear Attention的目的是将 Self Attention 的平方根序列长度级别复杂度降低为线性的复杂度。假设Attention模块的输入为$x$，它的shape为$[N,F]$，其中$N$表示序列长度，$F$表示的是embedding的维度。对于常见的SelfAttention来说，它的计算过程表示为：

其中矩阵Q、K、V是由输入$x$经线性变化得到的。如果用下标$i$来表示矩阵的第$i$行，那么可以将公式（2）中的计算用如下形式抽象出来：

其中sim() 为抽象出的计算Query和Key相似度的函数。在常规的Transformer中，sim()定义为上面的$exp(\frac{q^{T}k}{\sqrt{D}})$。

接着，我们可以将sim()定义为任何我们希望的形式。上述定义过程中对sim()唯一的约束是它需要非负。Linear Transformer采用了kernel来定义上面公式（3）中的sim，这就引出了公式4：

然后在Linear Attention里面$\varphi$被定义为$\varphi (x)=elu(x)+1$ 。注意上式中求和项与$i$无关，因此可以把与$i$有关的项提到前面，可以推出公式（5）：

可以想到我们在遍历Q的时候，由于求和项和$i$无关，所以可以提前把右边的求和项计算出来，所以整体的复杂度和序列长度是线性关系而非平方。对应了论文的这部分解释：

上面介绍的是Encoder部分的Linear Attention工作原理，而本篇文章解析的就是使用cuda如何计算和优化上面的公式（5）。

0x1. 接口介绍

我们先从这个naive的Linear Attention实现入手，摸清代码实现和上面介绍的公式5的对应关系。 https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/attention/linear_attention.py ，这个实现很短，逐行解释一下。

from ..attention_registry import AttentionRegistry, Optional, Callable, Int, \
    EventDispatcherInstance
from ..events import EventDispatcher
from ..feature_maps import elu_feature_map # 这就是论文提到的elu(x)+1


class LinearAttention(Module):
    """实现了未经掩码处理的注意力机制，使用特征映射的点积，在 O(N D^2) 的复杂度下进行计算。

    给定query、key和value分别为 Q、K、V，我们不是计算

        V' = softmax(Q.mm(K.t()), dim=-1).mm(V),

    而是利用一个特征映射函数 Φ(.)，执行以下计算

        V' = normalize(Φ(Q).mm(Φ(K).t())).mm(V).

    上述计算可以在 O(N D^2) 的复杂度下完成，其中 D 是 Q、K 和 V 的维度，N 是序列长度。
    然而，根据特征映射的不同，注意力的复杂度可能会受到限制。

    Arguments
    ---------
        feature_map: callable, 一个可调用的函数，用于对张量最后一个维度应用特征映射（默认为 elu(x)+1）
        eps: float, 一个小数，用于确保分母的数值稳定性（默认为 1e-6）
        event_dispatcher: str 或 EventDispatcher 实例，用于此模块进行事件派发的实例（默认为默认的全局调度器）
    """
    def __init__(self, query_dimensions, feature_map=None, eps=1e-6,
                 event_dispatcher=""):
        super(LinearAttention, self).__init__()
        self.feature_map = (
            feature_map(query_dimensions) if feature_map else
            elu_feature_map(query_dimensions)
        )
        self.eps = eps
        self.event_dispatcher = EventDispatcher.get(event_dispatcher)

    def forward(self, queries, keys, values, attn_mask, query_lengths,
                key_lengths):
        # 对查询（Q）和键（K）应用特征映射。
        self.feature_map.new_feature_map(queries.device)
        Q = self.feature_map.forward_queries(queries)
        K = self.feature_map.forward_keys(keys)

        # 检查并确保 attn_mask 是全部为一的，这表明这种注意力不支持任意的注意力掩码。
        if not attn_mask.all_ones:
            raise RuntimeError(("LinearAttention does not support arbitrary "
                                "attention masks"))
        K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None]

        # 计算键和值的点积（KV 矩阵），以此减少计算复杂度。
        KV = torch.einsum("nshd,nshm->nhmd", K, values)

        # 计算归一化因子（Z）。
        Z = 1/(torch.einsum("nlhd,nhd->nlh", Q, K.sum(dim=1))+self.eps)

        # 最后，使用 torch.einsum 计算并返回新的值（V）
        V = torch.einsum("nlhd,nhmd,nlh->nlhm", Q, KV, Z)

        return V.contiguous()

注意，K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None] 这行代码是用于在注意力机制的计算中“掩蔽”掉那些序列中的无效或填充部分，确保模型只关注有效的数据部分。这里的key_length表示的是序列中每个元素是否有效，比如在处理具有不同长度的序列时（如在自然语言处理中），较短的序列可能会被 padding 以匹配最长序列的长度。key_lengths 就是用来标识这些 padding 位置的。.float_matrix是将key_lengths转换为浮点数矩阵的操作。[:, :, None, None]这是一个切片操作，用于添加两个额外的维度，用于确保两个张量在进行elementwise乘法之前具有相同的shape。此外，forward的过程中存在爱因斯坦求和表达式，前面2个比较好理解，V = torch.einsum("nlhd,nhmd,nlh->nlhm", Q, KV, Z)这行代码的"nlhd,nhmd,nlh->nlhm"表示的过程为：

• Q 的 d 维度和 KV 的 d 维度会相乘。
• d 维度就会被求和，因为它没有出现在 “nlhm” 中。
• 结果会被重新组织成输出格式 “nlhm” 指定的形状。

这里的代码也就对应着 V’ = normalize(Φ(Q).mm(Φ(K).t())).mm(V) 这个公式。

综上，这里实现的是没有mask的Linear Attention，但目前在主流的解码器架构上进行训练需要的是带因果关系mask的Attention，所以自然也需要一个CausalLinearAttention的实现，而本文要解析的cuda kernel也正是在这个模块引入的。源码见：https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/attention/causal_linear_attention.py 。

# 这个函数实现了因果线性注意力的核心计算。它首先调整输入张量 Q、K 和 V的维度，
# 然后应用 causal_dot_product 函数计算新的值张量 V_new。
def causal_linear(Q, K, V):
    Q = Q.permute(0,2,1,3).contiguous()
    K = K.permute(0,2,1,3).contiguous()
    V = V.permute(0,2,1,3).contiguous()
    V_new = causal_dot_product(Q, K, V)
    return V_new.permute(0,2,1,3).contiguous()


class CausalLinearAttention(Module):
    """实现因果掩码注意力机制，使用特征映射的点积在 O(N D^2) 复杂度下进行计算。

    有关用特征映射替换 softmax 的一般概念，请参阅 fast_transformers.attention.linear_attention.LinearAttention。除此之外，我们还利用了因果掩码是三角形掩码的事实，这允许我们在保持 O(N D^2) 复杂度的同时应用掩码并计算注意力。

    Arguments
    ---------
        feature_map: callable, 一个可调用的函数，用于对张量最后一个维度应用特征映射（默认为 elu(x)+1）
        eps: float, 一个小数，用于确保分母的数值稳定性（默认为 1e-6）
        event_dispatcher: str 或 EventDispatcher 实例，用于此模块进行事件派发的实例（默认为默认的全局调度器）
    """
    def __init__(self, query_dimensions, feature_map=None, eps=1e-6,
                 event_dispatcher=""):
        super(CausalLinearAttention, self).__init__()
        self.feature_map = (
            feature_map(query_dimensions) if feature_map else
            elu_feature_map(query_dimensions)
        )
        self.eps = eps
        self.event_dispatcher = EventDispatcher.get(event_dispatcher)

    # 这个私有方法用于确保 Q 和 K 张量的大小兼容，通过对 K 进行切片或填充以匹配 Q 的大小。
    def _make_sizes_compatible(self, Q, K):
        """Either slice or pad K in case that the sizes do not match between Q
        and K."""
        N, L, H, E = Q.shape
        _, S, _, _ = K.shape
        if L == S:
            return Q, K

        if L < S:
            return Q, K[:, :L, :, :]

        if L > S:
            return Q, torch.cat([K, K.new_zeros(N, L-S, H, E)], dim=1)

    def forward(self, queries, keys, values, attn_mask, query_lengths,
                key_lengths):
        # 对query和key应用特征映射。
        self.feature_map.new_feature_map(queries.device)
        Q = self.feature_map.forward_queries(queries)
        K = self.feature_map.forward_keys(keys)

        # 检查 attn_mask 是否为下三角因果掩码，并应用键长度掩码。
        if not attn_mask.lower_triangular:
            raise RuntimeError(("CausalLinearAttention only supports full "
                                "lower triangular masks"))
        K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None]

        # 确保query和key的大小（长度）兼容。
        Q, K = self._make_sizes_compatible(Q, K)

        # TODO: Shall we divide the Q and K with a relatively large number to
        #       avoid numerical instabilities in computing the denominator?
        #       We used to divide each with the max norm of all q and k but
        #       that seems relatively costly for a simple normalization.

        # Compute the normalizers
        Z = 1/(torch.einsum("nlhi,nlhi->nlh", Q, K.cumsum(1)) + self.eps)

        # Compute the unnormalized result
        V = causal_linear(
            Q,
            K,
            values
        )

        return V * Z[:, :, :, None]

和full mask的Linear Attention的主要区别就是现在的mask是下三角的，以及 causal_dot_product 这个函数的应用。我们可以从LinearAttention的forward过程推出 causal_dot_product 完成的其实是下面的计算过程：V’ = Φ(Q).mm(Φ(K).t()).mm(V)

0x2. CPU实现

先看一下causal_dot_product的cpu实现，确定它的计算逻辑和上面的结论一致。 https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/causal_product/causal_product_cpu.cpp#L10-L125 。下面是一些关键的解释。

// 这个函数计算两个向量 a 和 b 的外积（a 和 b 的转置的点积）并将结果保存在 out 中。
// a 是一个长度为 A 的向量，b 是一个长度为 B 的向量。
// 外积的结果是一个 AxB 的矩阵。
inline void vvt_dot(float *a, float *b, float *out, int A, int B) {
    for (int i=0; i<A; i++) {
        float * bi = b;
        for (int j=0; j<B; j++) {
            *out += (*a) * (*bi);
            out++;
            bi++;
        }
        a++;
    }
}


// 这个函数实现了向量 v 和矩阵 m 的乘积，并将结果保存在 out 中。
// v 是一个长度为 A 的向量，m 是一个 AxB 的矩阵。
// 结果是一个长度为 B 的向量。
inline void vm_dot(float *v, float *m, float *out, int A, int B) {
    // TODO: Consider removing the zeroing part and assuming out already
    //       contains 0s
    for (int i=0; i<B; i++) {
        out[i] = 0;
    }

    for (int i=0; i<A; i++) {
        float *oi = out;
        for (int j=0; j<B; j++) {
            *oi += (*v) * (*m);
            oi++;
            m++;
        }
        v++;
    }
}


// 这个函数计算向量 v 和矩阵 m 转置的乘积，并将结果保存在 out 中。
// v 是一个长度为 B 的向量，m 是一个 AxB 的矩阵。
// 结果是一个长度为 A 的向量。
inline void vmt_dot(float *v, float *m, float *out, int A, int B) {
    for (int i=0; i<A; i++) {
        float *vi = v;
        float s = 0;
        for (int j=0; j<B; j++) {
            s += (*vi) * (*m);
            vi++;
            m++;
        }
        // TODO: Should we be aggregating? See the comment on vm_dot.
        *out = s;
        out++;
    }
}


// 这个函数计算查询（queries）、键（keys）和值（values）的因果掩码点积。
// N、H、L 和 E 分别代表 batch 大小、头数、序列长度和特征维度。M 是value的特征维度。
// 计算公式为：V_j' = (Q_{0:j} * K_{0:j}^T) * V_{0:j}
void causal_dot_product(
    const torch::Tensor queries,
    const torch::Tensor keys,
    const torch::Tensor values,
    torch::Tensor product
) {
    // Extract some shapes
    int N = queries.size(0);
    int H = queries.size(1);
    int L = queries.size(2);
    int E = queries.size(3);
    int M = values.size(3);

    // Create accessors for all the arguments
    auto qa = queries.accessor<float, 4>();
    auto ka = keys.accessor<float, 4>();
    auto va = values.accessor<float, 4>();
    auto pa = product.accessor<float, 4>();
	  
	  // 使用 OpenMP 实现并行计算，增加计算效率。
    #pragma omp parallel for collapse(2)
    for (int n=0; n<N; n++) {
        for (int h=0; h<H; h++) {
            auto kv = torch::zeros({E, M}, queries.options());
            float *kvp = kv.data_ptr<float>();
            for (int l=0; l<L; l++) {
                // 该函数首先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。
                vvt_dot(
                    &ka[n][h][l][0],
                    &va[n][h][l][0],
                    kvp,
                    E,
                    M
                );
                vm_dot(
                    &qa[n][h][l][0],
                    kvp,
                    &pa[n][h][l][0],
                    E,
                    M
                );
            }
        }
    }
}

可以清晰的看到这里的计算过程就是 $V_j^{\prime }=(Q_{0:j}\ast K_{0:j}^T)\ast V_{0:j}$ ，也就是先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。为了更高效，还使用了openmp做并行计算。

0x3. CUDA实现

cuda实现在 https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/causal_product/causal_product_cuda.cu 。

Fallback 的 causal_dot_product_kernel

由于整个kernel的行数有点多，这里先只关注forward的kernel，我去掉了大部分的backward的kernel，精简后的代码放在这里：https://github.com/BBuf/how-to-optim-algorithm-in-cuda/blob/master/linear-attention/causal_product_cuda.cu 。

首先来到kernel的入口：

void causal_dot_product(const torch::Tensor queries,
                        const torch::Tensor keys,
                        const torch::Tensor values,
                        torch::Tensor product) {
#ifdef ENABLE_NVIDIA_OPTIMIZATIONS
  int fallback = nvidia::lmha_fwd(queries, keys, values, product);
#else
  int fallback = 1;
#endif
  if( fallback ) {
    causal_dot_product_(queries, keys, values, product);
  }
}

PYBIND11_MODULE(TORCH_EXTENSION_NAME, m) {
    m.def(
        "causal_dot_product",
        &causal_dot_product,
        "Compute the weighted sum of values but attending only to previous "
        "values."
    );
}

这里值得注意的地方就是如果开启了ENABLE_NVIDIA_OPTIMIZATIONS才会走优化实现，否则会fallback到causal_dot_product_这个kernel，我们看一下causal_dot_product_ kernel的实现。

typedef torch::PackedTensorAccessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits> float_accessor;

#define E_BLOCK_SIZE 8

__global__ void causal_dot_product_kernel(
    const float_accessor queries,
    const float_accessor keys,
    const float_accessor values,
    float_accessor result,
    const int N,
    const int H,
    const int L,
    const int E,
    const int M
) {
    int n = blockIdx.y; // 确定 batch 所在的id
    int h = blockIdx.z; // 确定 attention 所在的头的id

    int e_start = blockIdx.x * E_BLOCK_SIZE; // 确定query的特征维度的开始位置
    int m = threadIdx.x % M; // 确定 value 的特征维度 id

    extern __shared__ float shared_mem[]; // 使用共享内存 (shared_mem) 来临时存储 key 和 value 的乘积。
    float* shared_kv = shared_mem;
		
		// 共享内存的初始化
    for (int e_local = 0; e_local < E_BLOCK_SIZE && e_local + e_start < E; e_local++) {
      shared_kv[m + e_local * M] = 0;
    }

    for (int t=0; t<L; t++) {
      // 对于每个 query 元素，计算与 key 的点积，结果累加到 result 张量中。
      float res = 0;
      for (int e_local = 0; e_local < E_BLOCK_SIZE && e_local + e_start < E; e_local++) {
        shared_kv[e_local*M + m] += keys[n][h][t][e_local + e_start] * values[n][h][t][m];
        res += queries[n][h][t][e_local + e_start] * shared_kv[e_local*M + m];
      }
      atomicAdd(
          &result[n][h][t][m],
          res
      );
    }
}

//  queries, keys, values 这些都是shape为 [N, H, L, E] 的四维Tensor，通过 float_accessor 访问数据。
void causal_dot_product_(const torch::Tensor queries,
                         const torch::Tensor keys,
                         const torch::Tensor values,
                         torch::Tensor product) {
    // 确保使用正确的gpu设置。
    torch::DeviceGuard _guard(queries.device());
		
		// N、H、L 和 E 分别代表 batch 大小、头数、序列长度和特征维度。M 是value的特征维度。
    int N = queries.size(0);
    int H = queries.size(1);
    int L = queries.size(2);
    int E = queries.size(3);
    int M = values.size(3);

    // 每个Block处理E_BLOCK_SIZE（=8）个隐藏层的元素
    // 一共需要blocks_per_sequence这么多个Block来进行处理
    // 注意：这里的blocks_per_sequence还要乘以N和H才是真正的Block个数
    const int blocks_per_sequence = (E + E_BLOCK_SIZE - 1) / E_BLOCK_SIZE;
		
		// 每个Block固定有M个线程
    dim3 blockDim(M, 1, 1);
    dim3 gridDim(blocks_per_sequence, N, H);
    // 每个Block固定使用 E_BLOCK_SIZE（=8）* M个float这么大的shm
    const int shared_mem_forward = E_BLOCK_SIZE * M * sizeof(float);

    causal_dot_product_kernel<<<gridDim, blockDim, shared_mem_forward>>>(
      queries.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),
      keys.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),
      values.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),
      product.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),
      N, H, L, E, M
    );
}

总的来说，这个kernel使用了(E + E_BLOCK_SIZE - 1) / E_BLOCK_SIZE * N * H个Block，并且每个Block里面有M个线程，并且每个Block里面开了一个长度为E_BLOCK_SIZE * M的共享内存来存储当前Block计算出来的KV乘积。

可以这么来想，如果共享内存足够大，那么我们完全可以每个Block处理完一行Q和一行V的计算，也就是E和M做外积得到E*M的矩阵，但是实际上每个Block可以使用的共享内存是有限的，所以在保证线程数为M的情况下，我们每次只能处理一部分的Q，这里就是E_BLOCK_SIZE个，然后处理之后我们要使用atomic_add进行累加，这样才可以保证结果的正确性。

当然，使用了原子加，性能自然会下降，这是考虑共享内存大小和线程数的一个折中，此外虽然key和value的中间结果被存储到了共享内存，但对query的访问依然是走的global memory。接下来我们将看到新的kernel是如何一一解决这些问题。

更优的 lmha_fwd kernel（shared memory+double buffering+free atomic add+pack）

接下来就逐步解析一下lmha_fwd kernel。首先是kernel的dispatch逻辑：

// 此函数的目的是初始化和设置 Lmha_params<T> 结构体的参数，这些参数用于后续的线性多头自注意力操作。
template< typename T >
inline void set_params(Lmha_params<T> &params,
                       const torch::Tensor q,
                       const torch::Tensor k,
                       const torch::Tensor v,
                       torch::Tensor       o) {

  // Define the pointers.
  // 使用 .data_ptr<T>() 方法获取张量的指针，并将其分配给 params 结构体的对应成员。
  params.out = o.data_ptr<T>();
  params.q   = q.data_ptr<T>();
  params.k   = k.data_ptr<T>();
  params.v   = v.data_ptr<T>();

  // Define the strides.
  // 使用 .stride() 方法获取张量各维度的步长，并存储在 params 结构体中。
  params.q_stride_B = (int) q.stride(0);
  params.q_stride_H = (int) q.stride(1);
  params.q_stride_L = (int) q.stride(2);
  params.k_stride_B = (int) k.stride(0);
  params.k_stride_H = (int) k.stride(1);
  params.k_stride_L = (int) k.stride(2);
  params.v_stride_B = (int) v.stride(0);
  params.v_stride_H = (int) v.stride(1);
  params.v_stride_L = (int) v.stride(2);
  params.o_stride_B = (int) o.stride(0);
  params.o_stride_H = (int) o.stride(1);
  params.o_stride_L = (int) o.stride(2);

  // 从query张量 q 中提取出维度信息（如批量大小 N、头数 H、序列长度 L 和特征维度 E）并设置到 params 结构体中。
  int N = q.size(0);
  int H = q.size(1);
  int L = q.size(2);
  int E = q.size(3);
  int M = v.size(3);

  params.B = N;
  params.L = L;
  params.H  = H;
  params.E = E;
  params.M = M;
}



int lmha_fwd(const torch::Tensor queries,
             const torch::Tensor keys,
             const torch::Tensor values,
             torch::Tensor product) {

  // Make sure that we are using the correct GPU device
  torch::DeviceGuard _guard(queries.device());

  // Make sure the inner-most dimension of the tensors is packed.
  // 使用 assert 语句检查张量的最内层维度（即特征维度）是否是packed的
  assert(queries.stride(3) == 1);
  assert(keys   .stride(3) == 1);
  assert(values .stride(3) == 1);
  assert(product.stride(3) == 1);

  // 提取张量的维度信息，如批量大小、头数、序列长度等。
  int N = queries.size(0);
  int H = queries.size(1);
  int L = queries.size(2);
  int E = queries.size(3);
  int M = values.size (3);

  // The structure of params.
  Lmha_params<float> params;
  // 调用 set_params 函数来初始化 Lmha_params<float> 结构体。
  set_params(params, queries, keys, values, product);

  // 调用 lmha<false>(params) 函数来执行实际的线性多头自注意力计算。这里 lmha<false> 表示特定的模板实例化。
  return lmha<false>(params);
}

这段代码主要是做了一些预处理工作也就是设置Lmha_params对象，然后调用lmha<false>这个函数来执行线性多头自注意力计算，这里的fasle意思是这里执行的是forward计算。另外需要注意的是，虽然这里命名是线性多头自注意力，但实际上计算的东西还是上面讲的causal_dot_product。

接下来看一下 lmha 这个模板函数的实现。

// GO_BACKWARD: 一个布尔类型的模板参数，用于指示是进行前向计算还是反向计算。
template< bool GO_BACKWARD >
int lmha(const Lmha_params<float> &params) {
  int blocks = params.B * params.H; // blocks表示GPU的block数量？
  int res = 1;
  if( blocks < LOW_OCCUPANCY_THRESHOLD ) { 
           if( params.E <=  32 ) {
      res = lmha_low_occupancy_< 32, GO_BACKWARD>(params, blocks);
    } else if( params.E <=  64 ) {
      res = lmha_low_occupancy_< 64, GO_BACKWARD>(params, blocks);
    } else if( params.E <= 128 ) {
      res = lmha_low_occupancy_<128, GO_BACKWARD>(params, blocks);
    } else if( params.E <= 256 ) {
      res = lmha_low_occupancy_<256, GO_BACKWARD>(params, blocks);
    }
  } else {
           if( params.E <=  32 ) {
      res = lmha_< 32, 1, GO_BACKWARD>(params);
    } else if( params.E <=  48 ) {
      res = lmha_< 48, 1, GO_BACKWARD>(params);
    } else if( params.E <=  64 ) {
      res = lmha_< 64, 1, GO_BACKWARD>(params);
    } else if( params.E <= 128 ) {
      res = lmha_<128, 2, GO_BACKWARD>(params);
    } else if( params.E <= 256 ) {
      res = lmha_<256, 4, GO_BACKWARD>(params);
    }
  }
  return res;
}

可以看到如果blocks（batch 和 注意力头的乘积 params.B * params.H）小于LOW_OCCUPANCY_THRESHOLD（=40）的时候，走的是lmha_low_occupancy_这个kernel的实现，否则就会走到lmha_的实现。另外，还会根据 query 的特征维度的大小 E 来设置kernel不同的模板参数。先来看一下lmha_这个常规一些的实现：

// 确定lmha kernel需要的共享内存大小
template< int E, typename Params >
static inline __device__ __host__ int smem_buffer_elts_(const Params &params) {
  int M = round_up(params.M, 4);
  return 2*E + 2*M;
}

// E: 代表特征维度的大小。
// THREADS_PER_HEAD: 每个 attention 头分配的线程数。
// GO_BACKWARD: 布尔类型的模板参数，指示是进行前向计算还是反向传播。
template< int E, int THREADS_PER_HEAD, bool GO_BACKWARD >
int lmha_(const Lmha_params<float> &params) {
  // 调整 M 维度: M 是 params.M 的调整值，向上取整到最接近的 4 的倍数。这种调整可能是出于内存对齐或性能优化的考虑。
  int M = round_up(params.M, 4);

  // 计算 CUDA kernel中每个block的线程数。这个数是 E 和 M*THREADS_PER_HEAD 的最大值向上取整到最接近的 32 的倍数。
  int block = round_up(max(E, M*THREADS_PER_HEAD), 32);
  // 如果计算出的块大小超过 512，或者批量大小 (params.B) 超过 65535，则返回 1。
  // 这种情况表示配置不适合有效执行。
  if( block > 512 || params.B > 65535 ) {
    return 1;
  }

  // grid: 定义了 CUDA 核函数的网格大小，它是由头数 (params.H) 和批量大小 (params.B) 组成的二维网格。
  dim3 grid(params.H, params.B);
  // smem: 计算共享内存的大小，基于函数 smem_buffer_elts_<E> 的返回值，它根据特征维度 E 来确定共享内存的元素数量。
  size_t smem = smem_buffer_elts_<E>(params)*2*sizeof(float);
  // 使用 CUDA 的 <<<grid, block, smem>>> 语法调用 lmha_kernel 核函数，这个函数实际上执行线性多头自注意力的计算工作。
  lmha_kernel<E, THREADS_PER_HEAD, GO_BACKWARD><<<grid, block, smem>>>(params);
  return 0;
}

可以看到这个 kernel 将会启动H*B个Block，每个Block里面的线程数由 E 以及 M*THREADS_PER_HEAD 共同决定。注意，E 是 query 的隐藏层大小，而 M 是 value 的隐藏层大小。此外，还通过smem_buffer_elts_函数确定了这个kernel需要的共享内存大小，这个函数里面的2*表示的是double buffering。

接下来就是最关键的 lmha_kernel 的实现了，阅读之前还是要先想着我们要计算的东西是 $V_j^{\prime }=(Q_{0:j}\ast K_{0:j}^T)\ast V_{0:j}$ ，也就是先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。

// 确定lmha kernel需要的共享内存大小
template< int E, typename Params >
static inline __device__ __host__ int smem_buffer_elts_(const Params &params) {
  int M = round_up(params.M, 4);
  return 2*E + 2*M;
}

// E: 特征维度的大小。
// THREADS_PER_HEAD: 每个 attention 头分配的线程数。
// GO_BACKWARD: 布尔类型的模板参数，指示是进行前向计算还是反向传播。
// params: Lmha_params<float> 类型的结构体，包含多头自注意力所需的各种参数。
template< int E, int THREADS_PER_HEAD, bool GO_BACKWARD >
__global__ 
void lmha_kernel(Lmha_params<float> params) {

  // Make sure E is a multiple of 4.
  static_assert(E % 4 == 0, "");

  // The amount of shared memory per buffer (2 buffers for double-buffering).
  const int smem_buffer_elts = smem_buffer_elts_<E>(params);
  // The M dimension for shared memory.
  const int M = round_up(params.M, 4);

  // Shared memory to store Q, K and V. Size is 2*smem_buffer_elts.
  // 分配共享内存用于存储 Q、K、V（query、key、value）。
  // 注意上面的smem_buffer_elts是 (2E + 2M)
  extern __shared__ float smem_[];

  // The various shared memory buffers.
  float *smem_q = &smem_[0*E];
  float *smem_k = &smem_[1*E];
  float *smem_v = &smem_[2*E];
  float *smem_o = &smem_[2*E + M];

  // The index of the shared memory buffer (for double-buffering).
  // 使用 smem_curr 管理双缓冲区策略，以平滑地在不同迭代间交换共享内存。
  int smem_curr = 0;
  
  // 确定处理的序列（bi）和头（hi）。
  const int bi = blockIdx.y;
  const int hi = blockIdx.x;

  // 线程的id
  const int tidx = threadIdx.x;
	
	// 根据线程索引（tidx）和 params 中的 stride 计算 Q、K、的偏移量
  // The offset to the position loaded by the thread in Q.
  int offset_q = bi*params.q_stride_B + hi*params.q_stride_H + tidx;
  // The offset to the position loaded by the thread in K.
  int offset_k = bi*params.k_stride_B + hi*params.k_stride_H + tidx;

  // Determine the base pointers for Q and K.
  const float *ptr_q = &params.q[offset_q];
  const float *ptr_k = &params.k[offset_k];

  // 根据线程索引（tidx）和 params 中的 stride 计算 V、O 的偏移量
  int offset_v = bi*params.v_stride_B + hi*params.v_stride_H + tidx;
  int offset_o = bi*params.o_stride_B + hi*params.o_stride_H + tidx;

  // Determine the base pointers for V.
  const float *ptr_v = &params.v[offset_v];

  // 通过tidx是否在E的范围内判断当前线程是否是处理Q 和 K的线程
  const int active_qk = tidx < params.E;

  // 对于处理 Q 和 K 的线程，从全局内存加载数据。
  float ldg_q = 0.f, ldg_k = 0.f;
  if( active_qk ) {
    ldg_q = *ptr_q;
    ldg_k = *ptr_k;
  }

  // Is it an active V thread?
  // 同样判断当前线程是否是处理V的活跃线程
  const int active_v = tidx < params.M;

  // 对于处理V的线程，从全局内存加载数据
  float ldg_v = 0.f;
  if( active_v ) {
    ldg_v = *ptr_v;
  }

  // Move the load pointers.
  // 这里的stride_L实际上就是在E和M的维度上进行整体移动
  if( GO_BACKWARD ) {
    ptr_q -= params.q_stride_L;
    ptr_k -= params.k_stride_L;
    ptr_v -= params.v_stride_L;
  } else {
    ptr_q += params.q_stride_L;
    ptr_k += params.k_stride_L;
    ptr_v += params.v_stride_L;
  }

  // 每个注意力头的 float4 元素数量
  constexpr int FLOAT4s_PER_HEAD = E / 4;
  // 每个线程处理的 float4 元素数量。
  constexpr int FLOAT4s_PER_THREAD = FLOAT4s_PER_HEAD / THREADS_PER_HEAD;

  // 使用 float4 类型数组 kv 来存储 K 和 V 的乘积。FLOAT4s_PER_THREAD 是每个线程处理的 float4 元素数量。
  float4 kv[FLOAT4s_PER_THREAD]; 
  #pragma unroll
  for( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {
    kv[ii] = make_float4(0.f, 0.f, 0.f, 0.f);
  }

  // 输出的指针位置
  float *out_ptr = &params.out[offset_o];

  // 把q和k存储到shared memory
  if( tidx < E ) { 
    smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_q; 
    smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_k; 
  }

  // 把v也存储到shared memory
  if( tidx < M ) {
    smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_v;
  }

  // 计算每个线程在 V 维度上的位置，用于后续操作。
  int vo = tidx / THREADS_PER_HEAD;
  int vi = tidx % THREADS_PER_HEAD;

  // 遍历每一个时间步（params.L），进行线性多头自注意力计算。
  //（回想一下，输入Tensor的形状是 N H L E/M）
  for( int ti = 0; ti < params.L; ++ti ) {

    // 判断当前迭代是否为最后一次迭代。
    int is_last = ti == params.L - 1;

    // 如果不是最后一次迭代且当前线程用于处理 Q 或 K，那么从全局内存加载 Q 和 K 的下一个值。
    if( !is_last && active_qk ) {
      ldg_q = *ptr_q;
      ldg_k = *ptr_k;
    }

    // 同样，如果不是最后一次迭代且当前线程用于处理 V，那么从全局内存加载 V 的下一个值。
    if( !is_last && active_v ) {
      ldg_v = *ptr_v;
    }

    // 根据 GO_BACKWARD 标志，移动 Q、K 和 V 的指针，以便加载下一组数据。
    if( GO_BACKWARD ) {
      ptr_q -= params.q_stride_L;
      ptr_k -= params.k_stride_L;
      ptr_v -= params.v_stride_L;
    } else {
      ptr_q += params.q_stride_L;
      ptr_k += params.k_stride_L;
      ptr_v += params.v_stride_L;
    }

    // 使用 __syncthreads() 来同步线程，确保所有数据都已经加载到共享内存中。
    __syncthreads();

    // 每个线程从共享内存中加载 K 的值。使用 float4 来提高数据访问的效率。
    float4 k[FLOAT4s_PER_THREAD];
    #pragma unroll
    for( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {
      int ki = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;
      k[ii] = *reinterpret_cast<const float4*>(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]);
    }

    // 每个线程加载单个 V 的值。
    float v = 0.f;
    if( vo < params.M ) {
      v = *reinterpret_cast<const float *>(&smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + vo]);
    }

    // 计算 K*V^T
    #pragma unroll
    for( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {
      kv[ii].x += k[ii].x * v;
      kv[ii].y += k[ii].y * v;
      kv[ii].z += k[ii].z * v;
      kv[ii].w += k[ii].w * v;
    }

    // 类似地，从共享内存中加载 Q 的值。
    float4 q[FLOAT4s_PER_THREAD]; 
    #pragma unroll
    for( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {
      int qi = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;
      q[ii] = *reinterpret_cast<const float4*>(&smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + qi]);
    }

    // 使用 Q 和 K*V^T 的乘积来计算每个线程的部分输出值。
    float sum = 0.f;
    #pragma unroll
    for( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {
      sum += q[ii].x * kv[ii].x;
      sum += q[ii].y * kv[ii].y;
      sum += q[ii].z * kv[ii].z;
      sum += q[ii].w * kv[ii].w;
    }

    // 当每个注意力头有多于一个线程时，需要汇总这些线程的计算结果。
    if( THREADS_PER_HEAD > 1 ) {

      // 使用 __shfl_xor_sync 函数进行汇总。这个函数能够在 warp 内部的所有线程间高效地交换数据。
      // 通过这种方式，线程可以获取并累加其他线程的 sum 变量。
      // mask 用于指定参与交换的线程。每次迭代，mask 减半，意味着交换的范围越来越小，最终实现全局汇总。
      #pragma unroll
      for( int mask = THREADS_PER_HEAD / 2; mask >= 1; mask /= 2 ) {
        sum += __shfl_xor_sync(uint32_t(-1), sum, mask);
      }

      // 如果当前线程对应的 V 维度索引 vo 小于 M 且在其头内的索引 vi 为 0，
      // 则将汇总后的 sum 存储到共享内存的输出部分。
      if( vo < M && vi == 0 ) {
        smem_o[smem_curr*smem_buffer_elts + vo] = sum;
      }

      // 使用 __syncthreads() 来确保所有线程都完成了对共享内存的写操作。
      __syncthreads();

      // 活跃的处理 V 的线程读取共享内存中的汇总结果到 sum 变量中。
      if( active_v ) {
        sum = smem_o[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx];
      }

    } // THREADS_PER_HEAD > 1.

    // 活跃的处理 V 的线程将汇总结果写入全局内存的输出位置。
    if( active_v ) {
      *out_ptr = sum;
    }

    // 根据 GO_BACKWARD 标志移动输出指针，为下一步迭代做准备。
    if( GO_BACKWARD ) {
      out_ptr -= params.o_stride_L;
    } else {
      out_ptr += params.o_stride_L;
    }

    // 切换共享内存缓冲区，以便在下一个时间步中使用。
    smem_curr = (smem_curr + 1) % 2;

    // 如果不是最后一次迭代，存储下一步迭代的 Q、K 和 V 到共享内存中。
    if( !is_last && tidx < E ) {
      smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_q;
      smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_k;
    }

    if( !is_last && tidx < M ) {
      smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_v;
    }
  }
}

kernel里面从shared memory加载Q，K，V的时候的索引代码不是很好理解，这里单独解释一下，以加载K为例：

float4 k[FLOAT4s_PER_THREAD];
    #pragma unroll
    for( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {
      int ki = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;
      k[ii] = *reinterpret_cast<const float4*>(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]);
    }

这里的目的是给每个线程加载一组 float4 类型的 Key 值到局部数组 k 中，FLOAT4s_PER_THREAD 表示每个线程要处理的float4的元素数量，THREADS_PER_HEAD 表示每个注意力头需要分配的线程数，以及tidx表示的是当前的线程索引。

tidx % THREADS_PER_HEAD 这行代码标识当前线程在它所属的注意力头中的局部索引。由于每个注意力头有 THREADS_PER_HEAD 个线程，取模操作确保了索引在 0 到 THREADS_PER_HEAD - 1 的范围内。然后*4用于确保我们访问的是连续的 float4 元素。

接着，ii 是循环变量，从 0 到 FLOAT4s_PER_THREAD - 1。这一步是为了在整个 Key 共享内存中跳过前面所有线程已经处理的部分。乘以 THREADS_PER_HEAD * 4 是因为每个线程负责 FLOAT4s_PER_THREAD 个 float4 元素。

再之后，索引 ki 是以上两部分的和，它确定了当前线程应该从共享内存 smem_k 中读取 K 值的起始位置。

最后，当计算出正确的索引 ki后，kernel就通过 *reinterpret_cast<const float4*>(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]) 从共享内存中加载 float4 类型的 Key 值。这里使用了 reinterpret_cast 来确保将共享内存中的数据正确地解释为 float4 类型。

最后，对这个kernel的计算逻辑以及线程配置做一个总结：

• block size：每个块的线程数计算基于 E 和 M*THREADS_PER_HEAD 的最大值，向上取整到最近的 32 的倍数。
• grid size：由头数（H）和批量大小（B）组成的二维网格。
• 共享内存大小：由 smem_buffer_elts_ 函数计算，考虑到特征维度和双缓冲策略。

计算逻辑为：

• 加载和存储 Q、K、V：
  • 根据线程索引和参数中的 stride（步长），计算 Q、K 和 V 的偏移量。
  • 将 Q、K 和 V 的值加载到共享内存中。
• 计算 K*V^T 乘积：
  • 每个线程从共享内存中加载 K 和单个 V 值。
  • 计算 K 和 V 的乘积，并累加到局部内存中。
• 加载 Q 值并计算输出：
  • 从共享内存中加载 Q 值。
  • 使用 Q 和 K*V^T 的乘积来计算每个线程的部分输出值。
• 汇总计算结果：
  • 当每个注意力头有多个线程时，使用 __shfl_xor_sync 函数在 warp 内部进行数据交换，实现线程间的汇总。
• 存储输出：
  • 将汇总后的结果存储到输出指针指向的全局内存位置。
• 更新指针和缓冲区：
  • 根据 GO_BACKWARD 标志更新指针位置。
  • 切换共享内存缓冲区以备下一次迭代使用。

这个kernel的执行条件是 B * H 比较大（>40），也就是说可以保证 Block 的数量比较多，这个时候可以获得更高的GPU利用率。但如果 B * H 比较小的时候，如果还是调用这个 kernel，那就会导致 Block 的数量较少，比较难打满 GPU ，所以对于这种情况上面还提供了另外一个 kernel，即：lmha_low_occupancy_kernel 用于在 B * H 比较小时尽可能提高occupancy。但是这个kernel我目前还没完全看明白，等看明白了有机会再分析。

0x4. 总结

本文主要是对Linear Transformer的核心组件Linear Attention进行了原理讲解，并对实现Linear Attention组件的forward cuda kernel进行了详细解析，但这里的实现涉及到3个cuda kernel，分别在不同的数据规模和优化选项下触发，这里只解析了其中的两个。对于 lmha_low_occupancy_kernel 等看明白了有机会再分享。

0x5. 参考

• https://www.zhihu.com/question/602564718
• https://arxiv.org/pdf/2006.16236.pdf