一、概念介绍

 

        权重衰减（Weight Decay）是一种常用的正则化技术，它通过在损失函数中添加一个惩罚项来限制模型的复杂度，从而防止过拟合。 

        在训练参数化机器学习模型时， 权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为L2正则化。

1.1理解：

权重衰减（weight_decay）本质上是一个L2正则化系数

那什么是参数的正则化？从我的理解上，就是让参数限定在一定范围，目的是为了不让模型对训练集过拟合。

注：应对过拟合最好的方法还是扩大有效样本（但成本过高）

1.2如何控制模型容量？

1.将模型变得比较小，减少里面参数的数量

2.缩小参数的取值范围

注：权重衰退就是通过限制参数的取值来实现

1.3硬性限制

即使得w的每个项的平方都小于θ这个值，最强情况下就是θ等于0，即所有w都等于0

1.4柔性限制

 即损失函数后面加了一个非负项，为了使损失函数最小化，就得使得后面项足够小——起到限制w的作用，相比于硬性限制，柔性限制并没有将w的值限制在一个固定范围内。

1.5图解对最优解的影响

 

 上式为不加限制条件的最优解，即图中的绿色中心点，但该点会使得||w||^2这一项较大，其和并不是最优解。

而加上限制的最优点即为图中两曲线的交叉点

1.6更新参数法则

 

 1.7总结

   ~权重衰减是通过L2正则项使得模型参数不会过大，从而控制复杂度

   ~正则项权重是控制模型复杂度的超参数

二、示例演示

2.1模型构造

生成公式如下：

# 导入需要的库
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 定义训练和测试数据集的大小，输入特征的维度和批次大小
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5

# 定义真实的权重true_w和偏差true_b，并将其初始化为0.01和0.05
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05

# 使用d2l.synthetic_data函数生成训练数据train_data和测试数据test_data
# 生成的数据是通过真实的权重和偏差加上一些噪声生成的
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)

# 使用d2l.load_array函数将训练数据train_data和测试数据test_data
# 转换为数据迭代器train_iter和test_iter
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

2.2初始化模型参数

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]
# 初始化模型参数w和b
# w的形状为(num_inputs, 1)，从正态分布中随机生成
# b初始化为0
# 参数需要计算梯度，requires_grad参数被设置为True
# 返回一个包含w和b的列表

2.3定义L2范数

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

2.4定义训练代码实现

        下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。

函数的具体实现如下：

1. 首先通过init_params()函数初始化模型参数w和b。

2. 定义net函数为线性回归模型，loss为平方损失函数。

3. 设置训练的轮数num_epochs和学习率lr，同时创建一个可视化工具animator，用于可视化训练过程中的损失值。

4. 在每个epoch中，遍历训练数据集train_iter，对每个小批量数据(X, y)进行如下操作：

   • 计算模型的输出net(X)，并计算损失函数loss(net(X), y)。

   • 加上L2范数惩罚项lambd * l2_penalty(w)，其中l2_penalty(w)为权重w的L2范数。

   • 对损失函数进行反向传播，并使用SGD来更新模型参数w和b。

5. 每5个epoch，计算训练集和测试集上的损失值，并使用animator将损失值可视化。

6. 训练结束后，输出模型参数w的L2范数。

# 带有L2正则化的线性回归训练过程
# lambd表示L2正则化的强度

# 初始化模型参数w和b
w, b = init_params()

# 定义线性回归模型net和平方损失函数loss
net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss

# 设置训练的轮数num_epochs和学习率lr
# 创建一个可视化工具animator，用于可视化训练过程中的损失值
num_epochs, lr = 100, 0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                        xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])

# 在每个epoch中，遍历训练数据集train_iter，对每个小批量数据(X, y)进行如下操作：
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in train_iter:
        # 计算模型的输出net(X)，并计算损失函数loss(net(X), y)
        # 加上L2范数惩罚项lambd * l2_penalty(w)，其中l2_penalty(w)为权重w的L2范数
        # 对损失函数进行反向传播，并使用SGD来更新模型参数w和b
        l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
        l.sum().backward()
        d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)

    # 每5个epoch，计算训练集和测试集上的损失值，并使用animator将损失值可视化
    if (epoch + 1) % 5 == 0:
        animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                 d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))

# 训练结束后，输出模型参数w的L2范数
print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

 2.5训练结果展示

        在这段代码中，lambd是一个超参数，表示L2正则化的强度。在每个小批量数据的损失函数中，会加上L2范数惩罚项，以控制模型的复杂度和防止过拟合。L2正则化的强度由超参数lambd控制，lambd越大，模型的复杂度就越小，对训练数据的拟合程度就越差，但是可以更好地控制过拟合。反之，lambd越小，模型的复杂度就越大，对训练数据的拟合程度就越好，但是可能会过拟合。在模型训练过程中，我们通常会使用交叉验证等技术来选择最优的超参数lambd。

2.5.1忽略正则化直接训练

        其中用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，虽然训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

 2.5.2使用权重衰减

        下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 得到预期效果。

 三.简洁实现代码

# 导入需要的库
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def train_concise(wd):
    # 定义训练和测试数据集的大小，输入特征的维度和批次大小
    n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5

    # 使用nn.Sequential定义了一个单层全连接神经网络net
    # 并将其参数使用param.data.normal_()方法初始化为随机值
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()

    # 使用nn.MSELoss定义平方损失函数loss
    # 该损失函数的reduction参数设置为'none'，表示不对损失值进行降维
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')

    # 设置训练的轮数num_epochs和学习率lr
    # 使用torch.optim.SGD定义一个优化器trainer，该优化器的参数包括网络的权重和偏差，以及权重衰减系数wd
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)

    # 创建一个可视化工具animator，用于可视化训练过程中的损失值
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])

    # 在每个epoch中，遍历训练数据集train_iter，对每个小批量数据(X, y)进行如下操作：
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 将优化器trainer的梯度清零
            # 计算模型的输出net(X)，并计算损失函数loss(net(X), y)
            # 对损失函数进行反向传播，并使用优化器trainer来更新模型参数
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        # 每5个epoch，计算训练集和测试集上的损失值，并使用animator将损失值可视化。
            if (epoch + 1) % 5 == 0:
                animator.add(epoch + 1,
                            (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                            d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
        print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
train_concise(0)    #lambd设置为0