transformer模型是当前大红大热的语言模型，今天要讲解的是transformer中的positional encoding(位置编码).
我们知道，transformer模型的attention机制并没有包含位置信息，即一句话中词语在不同的位置时在transformer中是没有区别的，这当然是不符合实际的。因此，在transformer中引入位置信息相比CNN, RNN等模型有更加重要的作用。
作者添加位置编码的方法是：构造一个跟输入embedding维度一样的矩阵，然后跟输入embedding相加得到multi-head attention 的输入。
在paper中，作者使用的positional encoding如下：

其中，PE为二维矩阵，大小跟输入embedding的维度一样，行表示词语，列表示词向量；pos 表示词语在句子中的位置；$d_{model}$表示词向量的维度；i表示词向量的位置。因此，上述公式表示在每个词语的词向量的偶数位置添加sin变量，奇数位置添加cos变量，以此来填满整个PE矩阵，然后加到input embedding中去，这样便完成位置编码的引入了。
使用sin编码和cos编码的原因是可以得到词语之间的相对位置，因为：
$$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta$$
$$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$$
即由$sin(pos+k)$可以得到，通过线性变换获取后续词语相对当前词语的位置关系。
positional encoding 的源代码如下：

class PositionalEncoding(nn.Module):
    "Implement the PE function."

    def __init__(self, d_model, dropout, max_len=5000):
        super(PositionalEncoding, self).__init__()
        self.dropout = nn.Dropout(p=dropout)

        # Compute the positional encodings once in log space.
        pe = torch.zeros(max_len, d_model)
        position = torch.arange(0, max_len).unsqueeze(1)
        div_term = torch.exp(torch.arange(0, d_model, 2) *
                             -(math.log(10000.0) / d_model))
        pe[:, 0::2] = torch.sin(position * div_term)
        pe[:, 1::2] = torch.cos(position * div_term)
        pe = pe.unsqueeze(0)
        self.register_buffer('pe', pe)

    def forward(self, x):
        x = x + Variable(self.pe[:, :x.size(1)],
                         requires_grad=False)
        return self.dropout(x)

其中，div_term是上述公式经过简单的数学变换得到的，具体如下：
$$1/10000^{2i/d_{model}}=e^{lo{g}^{10000^{-2i/d_{model}}}}=e^{-2i/d_{model}\ast lo{g}^{10000}}=e^{2i\ast (-lo{g}^{10000}/d_{model})}$$
我在执行过程中，出现了如下错误：
RuntimeError: “exp” not implemented for ‘torch.LongTensor’
估计原因是pytorch的版本问题，解决方法为将torch.arange(0, d_model, 2)中的整型改为浮点型，即torch.arange(0.0, d_model, 2)

添加于2020.10.22：
我在实验中尝试将position_embeddings这个向量注释掉，重新跑一遍生成模型，效果下降很明显，具体表现为容易生成重复的字/词。所以，这个位置编码相对于transformer来说是非常重要的。

参考：
attention is all you need
自然语言处理N天-使用Pytorch实现Transformer第一节
RuntimeError: “exp” not implemented for ‘torch.LongTensor’